Full text of "Arithmetica integra. Authore Michaele Stifelio. Cum praefatione Philippi Melanchthonis"

See other formats

^7-  «t*. 


ARITHMETI' 

CA  INTEGRA.  ' 

% 4 t 

• # . i ) ..  v 

Authore  Michaelc  Stifclio* 

> t/is_  fy****^.fo  l{L*>+  . 


|r» — 1_  U»;  "■«£.'* 


Af 


r JMgba 

* - A » ■ 


Norimbcrgx  * udlohan.Pctr ‘nn. 
AiinoCi  .j  m»  Dt  xiuiit 


Cum  gratia  & priuilegio  Gcfareo 
atq?  Regio  ad  Sexennium* 


f 


Arithmeticum  fcriptum  Micfiaelis  SnTcffj  ftudiofae 
iuuencuci  comendandum  effe  duxi, quod  cum  ad  ex* 
«meationem  proderit,tum  ueroad  caulas  praeceptio* 
num  quaerendas  plurimum  lucis  afferet.  Bene  uaic, 
Vuiccbcrga?  Calendis  ianuarij  ; p 4.  $, 


1 j f 


1 


CLARISSIMO  VI' 

RO  D.  I ACO B O MILICHIO 
Dodori  Medicinae,  Michael  Stifel  Paftor  '• 
Ecclcfiac  Holtzdorfianae  S»  D» 


^Epe  me  confpcdus  ruris  noftri  &nemo* 
rum , & tranquillitas  colonoru  qui  mecu 
habitant,admonetdc  uetcri  fabula, in  qua 

dicit  Aftrca  pulfa  ex  magnis  duitatibus, 

& Principu  rcgijs  , difceflifle  in  pagos  & ad  hos  cce* 
tus  rufticos  , &his  de  Deo  , de  honeftis  officijs , de 
redc  fadorum  praemias,  de  fceleru  pccnis,  denicp  de 
natura  rerum  etiam  condonata.  Haec  ubi  ueftigia  ad 
buc  in  rure  deprehendo,ualdemihi  folitudinis  tsediu 
minuitur,  uidelicct  cu  uideo  in  hocnoftro  rure  Eccle- 
fiam  e (Te,  ac  fonare  laudes  Dei  & filrj  eius  dni  noftri? 
Icfu  Chrilb',cu  intueor  familias  non  ambitione,luxu,. 
aut  odijs  certantes , fed  domi  puerida  affuefadentes 
ad  agnitione  Dei , & fdentiam  ruris  colendi,  deinde’ 
cum  in  his  nemoribus  locum  etiam  philofophiae  efle 
uideo.  Sicubi  paftorcs  Ecclefiaru  amant  ftudiadodri 
nae  Chriitianae,&:  aliarum  bonarum  artium.  Tale  rus 
mihi  fimile  uidetur  illis  praediolis  in  quibus  Sem,A* 
braham,Iiaac,  Iacob,  & fimiles  uiri  uixcrunt,quae  ner 
folum  Ecdefiae,  fed  etiam  omnium  dodrinarum  do* 
micilia  fuerunt.  Deledor  igitur  hoc  noftro  rure,  & 
Deum  precor,  ut  Ecdefias  & dodrinam  etiam  in  his 

nemo*' 


nemoribus  confcruct.  cocp  libentius  ipfe  ad  fctftion? 
{acrorum  libroru,  haec  philofophica  ftudia  adiungo, 
utcxemplu  inuitet  alios  ad  ftudia  colenda.  Quancp 
igitur  Ecdefiae  ruris,  & haec  noftra  ftudia,  & hominu 
candor  ac  humanitas  in  hac  folitudine  magnae  mihi 
uoluptati  fint , tamen  urbanis  comodis  non  prorfus 
carere  pofIumus,praefertim  ubiuidna  eft  Academia* 
hmatibi  interdu  aliquid  iciicirari  de  artibus , nccefle 
eft  etiam  interdu  explorari  aliarum  Ecclefiarum  ftatu 
meae  Ecdefiae  comoncfacicndae  caufa.  Nam  de  tyran 
nis  nihil  ftifeitor.  Jntcrduopus  eft  nobis  Medicortt 
confilqs,  qua  in  re  & tuam  & aliarum  humanitatem 
faepe  fum  expertus,  & ^pfttcor  gratitudine  me  uobis- 
debcrc,quam  ut  preftem  toto  pccftorc  Deum  oro,  ut 
ipfe  benefida  ueftra  compcnfct:  ficut  promifit  fc  arru 
piam  mercedcm  daturum  qfle  omnibus, qui  uel  potu 
aquae  frigidae  miniftros  Euangelrj  adiuuant,  Volui 
autem  edi  hunc  librum  aufpido  tui  nominis,non  fo* 
lum  ut  hac  commemoratione  meam  gratitudinem 
fignificarem,fed  quia  non  folum  in  medendo  3 te  ad» 
iuuor,frd  etiam  in  hoc  toto  genere  ftudiorum  philo* 
(ophicoru  faepe  tuis  eniditiffimis  fermonibus  fruor„ 
Dei  beneficio  tua  opera  fideli  grauifTimo  morbo  8>C 
cruciatu  liberata  eft  chariflima  coiunx  mea,  huius  tui 
offici]  teftis  eft  mea  uidnia,quod  omnium  longe  fuit 
mihi  gratiffimum.  Praeterea  eo  etiam  nomine  plu* 
rimum  te  amo , qudd  ad  ucftram  illam  Phyficcn  fcu 
Iatricen,hanc  noftram  do&rina  addis.ipfe  fao  quan* 

tum 


tum  in  hac  numerandi  arte  ualeas.  Praeterea  tuse  tum 
cubrationes  tcftantur , quales  ,pgreflus  in  fcientia  de 
motibus  aftroru  feceris.  Recte  ergo  faris  qui  uniuer 
fam  philofophiam  coplcctfftudes.  Cumqp  mihi  fu* 
eris  hortator, ut  hos  Iibellos,in  quibus  arris  Arithme 
ricae  mirifica  feries  & ,ppagario  confpiritur , colligem 
rem  & ederem,  erit  humanitatis  niae  etiam  hanc  mei 
inferiprionem  boni  confulere.  PoiTum  aute  hocuere 
dicere,me  dedifle  operam, ut  multiplicem  numeroru 
doctrinam  breuibus  regulis  & idoneis  exemplis  com 
plectcrer,ita  ut  ftudiofi  etia  fine  magiftro  hanc  tracta 
rionem  perripere  pofient.  Quanep  autem  plurimi 
de  Arithmetica  libelli  exten t,&  quotidie  plures  noui 
gignuntur,ego  tamen  adhuc  nullum  uidi  qui  integri 
artem  traderet.  Complexus  itacp  fum  non  tantum 
Algorithmos  uulgares,  proportionum  uarietates, 
progreiTionum  diferimina  ac  intcrualla,  & reliquas 
rationalium  numerorum  pafliones,  Verum  etiam 
integram  tractationem  omnium  regularum  Collae, 
quas  Algcbrae  uocant , & reliquos  omnes  Algorith* 
mos  irrationalium  numeroru.  Quid  autem  in  uni# 
uerfa  hac  tractatione  effecerim  iudicabunt  ftudiofi 
lectores , quibus  opto  meum  laborem  cfie  gratum. 
Bene  Vale, Vuitebergaeferijs  Michaelis  ; f 43  . 

' Sequitur  Index  Ca* 

1 ' pitum. 


INDEX  CAPF 

TVM  OPERIS  HVIVS  ARITH*, 
metlccs  Mlchaelis  Stifelij.  , 

LIBRI  L 

t 4 • 

f.  De  communi  Algori  thmo  numerorum  Integrorum 

& minutiarum.  Folio  i 

i i.  De  natur^i  & fpeciebus  numeroru  abftractorum.  7 
1 1 f«  De  progrelftonibus  Arithmeticis.  1? 

1111«  De  progrefffonibus  Geometricis,  dC  quaedam  ad 
Algebram  pertinentia.  3 o 

T.  De  extractionibus  radicum.  3 p 

vr.  De  Proportionibus,&  earum  Algorithmo.  47 
Yil.  De  «pportlonafltate  Harmonica, Contraharmonica, 
&C  alijs  quibufdam  flmilibus.  5 j 

vnr*  DeprogrelftoneAftronomica.&uIiieius.  6? 

IX.  Dc  Muficls  progrelTlonibus.  70 

X*  De  numeris  uulgarlter  denominatis  * & de  praxl 
Italica.  F 8o 

Appertdix  de  regula  falli,  ^ 

De  regula  Alligationis.  1 Oo 

De  regula  quadam  Hieronymi  Cardani.  j 0 1. 

LIBRI  II.  , 

1 

• 

r.  De  effentia  numerorum  Irrationalium.  io$ 

I I.  Quid  Euclides  feferit  de  numeris  Irrat/onaJib^,  » 04 

III.  De  definitionibus  decimi  libri  Euclidis.  |0j 
1 1 1 1.  De  fpeciebus  numerorum  Irrationalium.  io? 
▼*  Qu/d  Euclides  collegerit  ex  praedictis  fpeciebus,  8C 

ut  collectorum  iliorum  ufus  fit.  1 1 1 

1 -•  & DeAlgoo 


VU  De  Algorithmo  medialium.  1 14 

▼ 1 I.  De  ufu  illortf  medialia.quoru  Euclides  nullam  men* 
tione  facit  in  iuo  decimo:&  de  duplatioe  cubi.  1 1 8 
Vili.  De  proportionibus  irrationalibus.  121 

I X.  De  Algorithmo  numerorum  irrationalium  copofi» 

torum,&  tanquam  compotitorum.  1 2 3 

X.  De  Binomtjs  & Refiduis , atcg  de  eorum  radicibus 

quadratis  extrahendis.  1 27 

X I.  De  Algorithmo  minutiarum  irrationalium  & de  pro 

batione  quadam  huiufmodi  Algorithmorum.  1 3 1 

XII.  De  furdis  radicibus  binomiorum  & refiduorum,&  de 

Algorithmo  earum.  134 

XIII-  De  jppofftionib?  Euclidis,  quibus  ipfe  numeros  irra 
tionales  abftracftc  cofidcratos  tradafle  uidet.  1 44 
XI III.  DepropoOtionibus  quibus  Euclides  utitur  tancg  c* 
lementis  quibufdam  ad  compofitionem  iuarum 
trcdecim  fpecicrum.  15-2 

X V.  De  propofitionibus  decimi  Euclidfs,quas  de  duplici 
fpecie  rationalium  linearum  propofuir.  1 5-7 

XVI.  De  propofitionibus  Euclidis,  quas  pofuit  de  media» 

libus  lineis,  quae  iunt  lineae  primae  fpccieilineartS 
Tutorum  irrationalium.  1 60 

XVII.  De  propofitionibus  Euclidis  quas  pofuit  de  fecunda 

fpecie  irrationalium  linearum  fuarum,  id  eft,  de 
binomialibus  lineis.  1 6 3 

X VII  r.  De  propofitionibus  Euclidis,tradantibus  bimediaa 
les  primas, id  eft,  fpeciem  irrationalium  linearum 
tertiam.  1 69 

XlX.  De  propofitionibus  tradantibus  bimediales  fecun- 
das, conftituentcs  ipeciem  irrationalium  lineari! 
quartam.  174 

X X.  De  propofitionibus  Euclidis  tradantibus  lineas  ma 
fores, quae  conftituunt  fpeciem  irrationalium  line» 
arum  fuarum  quintam.  1 78 

De  pro» 


V 


XXI.  De  propofitionibus  Euclidis  traditibus  lineas  po# 

letes  mediale  Qt  rationale : &!  hae  lineae  coftituunt 
fpec/em  irrationalium  linearam  fcxtam.  i 8 1 

XXII.  De  ,ppoOtionibus  tractatibus  lineas  irrationales  iep 

timae  fpeciei.quae  funt  potctes  duo  medialia.  1 84 
X X 1 1 1,  De  propofitionibus  tractatibus  refidua  binomialia , 
quae  eft  fpeeies  octaua  irrationalium  linearo.  1 88 
XXim.De,ppofitionibus  tractantibus  refidua  bimedialia 
prima»  haecconftituuntfpecicm  Irrationalium  li* 
nearam  nonam.  191 

XXV.  De  propofitionibus  decimae  ipeciei » irrationalium 

linearum.  »94 

XXVI.  De  lineis  minoribus.  » 9T 

xxvi  i.De  lineis  coponentibus  mediale  cum  rationali.  1 98 
xxvili .De  lineis  coponentibus  mediale  cfi  mediali,  a 0 o 
XX 1 x.  De  Epilogo  decimi  libri  Euclidis.  ao» 

xxx.  De  propofitionibus  quibufdam  in  decimo  Euclidis 

defideratis.  aoy 

xxxi.  De  refolutione  linearum  irrationalium  in  lineas 

rationales.  ao8 

XXXI 1*  De  numeris  irrationalibus  contradis  ad  corpora. 

Continens  omnia  illa  , quae  liber  decimustertius  & 
decimusauartus  Euclidis  docent.  aio 

Appendix  de  Quadra  tura  Circuli.  a >4 


LIBRI  III. 

I.  De  regula  Algebrae,  & de  partibus  eius,  earumbp  de* 

daratione.  zty 

I I.  De  partium  regulae  Gebri  oftenfione,  ex  figura  qua- 

drangulari. ajo 

III.  De  Algorithmo  numerorum  CofiScorum.  a 3 j 

Ilii*  De  extractione  radicum  ex  numeris  Codicis/  a4o 

A x Denu- 


P* 


L 


v.  - 

<* 

,n 

VII. 

VIII. 

f 

IX. 

X. 

XI. 

XII. 

XIII. 


De  numer/s  coflicis  irrationalibus,  bi  eorum  Algo* 
rithmo : & de  numer/s  abfordis.  x+6 

De  perfectione  regula:  Algebra: , bC  de  fecundis  ra* 
dicibus.  iyi 

De  exemplis  regula:  Algebrar  pertinentibus  ad  ca- 
put primum. 

De  exemplis  regula:  Algebra:  pert/nent/bus  ad  Ce* 
eundum  caput  prarceptorum.  264 

De  exempl/s  pertinentibus  ad  caput  tertium.  173 
De  exemplis  regula:  Algebra:  pertinentibus  ad  quat 
tum  caput.  i77 

De  exemplis  regula:  Algebra:  pertine tibus  ad  caput 
quintum  libri  huius  terti),  % 8 1 

De  exemplis  regula:  Algebra:  pertinetibus  ad  caput 
^ fextum  praeceptorum.  192, 

Epilogi  uice  repetit  mentione  faciens  perfectioni» 
regula:  Algebra:,  cu  exemplis  quibufdam  Hiero* 
nyrai  Cardani  ad  hanc  rem  pertinentibus-  30* 
Appcndix,ubi  autorgrauia  aliquotexempla  Hiero. 
Cardani  exponit.  j 0£ 


<-  • : 


FINIS. 

Ii- 'aio  i -4 


MICHAELIS' 

STIFELII  ARITHME- 

TICAE,  LIBER.  PRIMYS* 

De  communi  Algorithmo  numerorum  Integro 
rum  dC  Minutiarum • Caput  u 

1GVK1S  decem  utimur,  tanquam  neccflarrjs  ad 
numerorum  reprarlentationem,  u/delicec  i . 2. 3 .4« 
r.tf-7,8.9.o,Et  nouem quidem  priores, flgm’ ficati 
uae  uocantur, Quaelibet enim  earum  lignincat  nu« 
merum  fui  ordinis,licut  eas  u/des  efle  politas:  ut  7. 
Ifgnificat  numerum  leptenarium9(icenim  uides  eam  figuram  fe 
ptimo  loco  efle  politam  Sic.  Decima  autem  figura  nihil  uoca« 
tur,eo  quod  lolitarie  polita,  uel ultimo  loco  figurarum  alicuius 
numeri.nihil  ligniffcet  pror  fus. 

Illa  autem  figura  dicitur  ultima, quae  fuerit  extrema  i parte  II 
mitra,fn  ordine  figurarum  repratfentantium  aliquem  numera 
unum,  Et  illa  erit  prima , quae  i parte  dextra  fuerit  extrema , ut 
hic 3 24.Prima figura  eft4. &ulcimaeft 3.  At  lifingul*  figurse 
ungulos numeros  repraefentent,uthic,  3.  z.4.erit  3 prima,&4 
reputabitur  efle  ultima» 

VDt  repraefentatione  & enunciatione  nu* 
merorum , haec  breuilsima  latisfaciunt. 

Figura  quaelibet  polita  in  primo  loco  alicuius  numeri , fu5 
limplicem  ugmflcationem  retinebit.  In  fecundo  uero  loco  poli# 
ta,lignificationem  fuam  decuplabit»Et  in  tertio  loco  centupla - 
bit.ut  hic,  3 z4,  Prima.id  eft  4,lignificat  quatuor.Secuda , id  eft 
a.lignificat  uiginti,id  eft  decies  z.Tertia  uero.id  eft  ajgnificat 
trecenta , id  eft  centies  3 • Et  lic  de  alijs.  Ex  quibus  iam  uide 

a ** 

•/Y  D.-uia^ 


Michaelis  Stipelii 


V 


quid  faciat  figura  nihili  Cquam  etiam  cifram  uocant)  fct! icet  fo- 
cum occupat>ut  hic  304.  facit  ultimam  figuram , Id  cft  3 . lignis 
ficare  trecenta  ,quar  line  eifra  ( ut  hic  34)  folum  ligni  ficarec  trf= 
ginta  &c. 

lam  (I  magnus  tibi  propofitus  fuerit  numerus,id  eft,  qoi  mul 
tas  habeat  figuras,  tu  ordinem  figurarum  partire  in  membra, 
ita  ut  quodtibet  membrum  habeat  tres  figaras.nifi  forte  ultimo 
membro  defit  una  aut  altera^ut  in  hoc  exemplo  fadum  uides. 

23  ijospr^iSoo, 

Vides  hic  tredecim  figuras,  & ordinem  ipfum  uides  die  parti# 
tum  in  membra  quinqj.Quod1ibetenirnpundum,lignificatprt 
«nam  figuram,  noui  mcmbri.eflc  illam  cui  fupraponitur . Vnde 
ultimum  membrum, id  eft, extremum  i parte finiftra  , uides 

folummodo  unam  habere  figuram  hanc  2. 

Membrum  autem  quod  in  fignatione  pundorum  fuerit  ulti- 
mum, in  cnuncia  tione  erit  primum. 

Membrum  autem  quodlibct  integre  recipiatur.ut  enuncien* 
tur  figurae  eius  fimul,utiam  audies. 

- Primum  ifacg  membrum  enunciandum.eft  2 .facitbp  duo  mil 
lia,millics,millies,millies . 

Sequitur  3 29, facite^  necent  a uiginti  nouem  millia  ,millies» 
millics.  . 

Sequitur  089.  facittj;  oduaginta  nouem  millia , millics. 

Sequitur  y6z,  facitcp  quingenta  fexaginta  duo  millia. 

Sequitur  demum  primu  membrum, quod  in  enunciationeut 
limum  eft.uidelicet  8oo,facitq$odingenta. 

Saus  autem  uides, ut  uoeabuIum(milIies)repetitam,  iuxta  nu 
.merum  pundorum  fcquentiu  illud  membrum  quod  enunciatur. 

DE  ADDITIONE. 

PEr  additionem  efficies  unum  numerum  ex  duobus  aut  plu- 
ribus ,ut  hic, ex  duobus  fupra  lineam  pofitis.fadus  cft  unus 
infra  lineam  politus. 


2 


Arithmeticae  Lib,  1. 

») 290  8pr6i8oo 
.y 40  6 1431480 

1 3 3 J 150995-280. 

► In  Additione,Subtra<flione,&  Multiplicatione  ponimus  ( ut 
uides  ) primas  fub  primis  liguris,  8i  fecundas  figuras  fub  fecun- 
dis&c.Wipimusfcg  operationem  ^ primis , ut  hic  in  Additio* 
ne,  addo  oado.&fit  o.  Id  quod  pono  fub  linea,  fub  primisfi- 
guris  . Deinde  o & 8. facit  8. Tertio  8 &4.faciunt  1 2,ideft,  nu  • 
merum  duabus  figuris  feribendum.  Pono  ergo  primam  earum 
ideft  z.&referuoalteram.addendamfequcmibus.Vtdum  quar 
to  locodico  2 & 2.faciunt4.  addo  unitate  referuatam.atcp  ita  fi 
unt  5, quae  feribo.  Et  fic  de alqs.  Faciliora  haec  funt  qu£m  ut  plu 
ribus  egeant  uerbis. 

DE  SVBTRACTIONE. 

SVbtraftfone  flr,ur,dum  unus  numerus  fubtrahitur  ab  alio, 
fefe  maiore , uideas  quantum  relinquatur , ut  hic.  Secundus 
numerus  fubtrartusi  primo , relinquit  tertium , qui  fub  linea 
ponitur.  r 

1333  150995180 
232908  9 5 6 2 8 0 o 

4061432480 

Primo  fubtrahens  o ab  o,  rei  in  quo  o.&pono  o.fub  primis  fi- 
guris . Secundo  fubtraho  o ab  8.  & manent  S.quae  pono  fub  fe 
eundis  figuris . Tertio.dum  uolo  fubtrahere  8 i 2.  non  poflum, 
tanquam  maius  i minore.  Dico  ergo  8 1 1 1.  remanent  4.  quae 
feribo  fub  terrtjs . Denarium  autem  mutuo  accepi  i fequenti  fi* 
gura  quinaria . Reflat  ergo , ut  quarto  loco  dicam , 2 i 4.  ( non 
i 5.  nam  unius  motuo  accepta  fuit  i 5.  ut  iam  folum  4 remane 
ant ) remanent  2.  quar  feribo.  Et  fic  de  afrjs  . Vter  autem  ma# 
ior  numerus  fit  inter  duos  numeros,  facile  iudicabis  ex  ultimis 
eorum  figuris . 

'•*  a tj  De 


MICHAELIS  jtipelii 


DE  MT  LTIP  LICATIONE, 

*|V  jf  VItipIicatio,eft  /nuentfo  numeri  continentis  muTtipIi- 
XV -L  candum.quoties  multiplicans  continet  unitatem  , ut  in 
hoc  exemplo.lnnmus  ordo  eft  fumma  multiplicationis,  quae  co 
tinet  fupremum , id  eft  multiplicandum , quoties  multiplicans* 
id  eft  (ecundus,continet  unitatem. 

14919x0 


1960090 
I 3 4 3 6 2 8 
89  T7T  10* -d 
746860 

«49*9* 


23  290895*62800 

Et  illi  ordines, qui  ponuntur  inter  multiplicantem  & fummam 
multiplicationis , id  eft, inter  duas  lineas,  proueniunt  ex  multi* 
plicatione  figurarum  numeri  multiplicantis.in  multiplicandi!. 
Nam  quaelibet  figura  fignificatiua.nnmeri  multiplicantis,  mul* 
tiplicatur  in  totum  numerum  multiplicandum,atcp  ita  quaelibet 
earum  conftiuiit  proprium  ordinem,cuius  ordinis  prima  figue 
raftet  fub  fua  multiplicante . 

Summa  autem  multiplicationis,  fltex  add/rione  illorum  ordi 
num  praedidoru,ex  multiplicatione  facftoru . Et  quia  utriq;  nu- 
mero,uidelicct  multiplicando  & multiplicati.praeponitur  cifra, 
ideo  duas  cifras  illas  (impliciter  rcfcripfi.praepofuiqp  fumma:  ag 
gregatiois  collecftac  ex  ordinibus  praedictis.  Scilicet  15-6009.  in 
149292.  Facit  23  >90895-628 . At  15-60090  in  i49292o.Facit 
hunc  numerum  fequentem  23290895-62800. 

Non  etiam  opus  eft  ( fi  obfemes  quae  dixi ) ut  reliquas  cifras 
in  multiplicante  cures.Nam  cum  cifra  nihil  producat  nifi  cifra, 
fiue  multiplicet  flue  multiplicetur,  nullum  faciet,  cifra  aliqua 
multiplicantis  numeri, ordinem. 

Inter  mnltfplicandum  autem  (dum  uidelicet  flgora  multipli* 
icatur  in  figuram)  excrefcen  tis  numeri,qui  duabus  figuris  feri 

bitur. 


ARITHMETICAE  IIB*  I.  % 

bitur, primam  figuram  fcribe,&  fecundam  referua  (ut  in  Addi- 
tione nmile  habes).  Exempli  gratia:  Multiplico  primo  (in  dato 
exemplo)  9 in  z.facit  i8.Pono8.&feruo  i . Deinde 9 in 9. faci 
unt8i.addo  1 prius  referua  tam,fiunt  8 z, Scribo  igitur  z«&rc* 
feruo  8.&  fic  in  limitibus* 

TRegula  multiplicationis  figurae  in  figuram. 

Primo.  Subtrahe  utrancg  figuram  i 10.&  multiplica  relidla 
inter  fe,& dabittibi  haec  multiplicatio,  prima  figuram  fummae 
qua  quaeris.Si  aute  ex  multiplicatioe  illa  exercuerit  numerus  du 
abus  figuris  fcribendus.fcribe  primam, & referua  fecundam* ut 
eam  addes  ad  figuram  fecundam  fummae  quam  quaeris* 

Secundo*  Figuras  tuas  adde,  & dabit  tibi  haec  additio  fecuo 
dam  figuram  fummae  quam  quaeris.  Si  autem  ex  additione  illa 
exercuerit  numerus  duabus  figuris  fcribendus,fcribe  primam.flC 


Vt  feptiesodo 

Item  fepties  fex 

faciunt 

faciunt  4z* 

9.  a 

7*  i 

7*  3 

<5.  4 

r 

4 *•  * 

DE  DIVISIONE. 

D Tuitio  eft  inuentio  numeri  toties  continentis  unitatem, 
quoties  numerus  diuidendus  continet  diuidentem  * feu  di 
uiforem.  Dicitur  aute  numerus  inuentus  Quo  t iens,  no  tatufqj 
huiufmodi  uirgula  curua  (.  ut  in  exemplo  uidebis* 

V Modum  diuifionis  tibi  tribus  literis  dabo  his  Q.M.S* 
Expolitio  harum  trium  literarum. 

Primo  Q, hoc eft  Quaere,uidelicet  quoties  diuifor  inuenia# 
tur  in  tibi  fuprapotito. 

Secundo  M,hoc  efl  Multiplica*uidelicet  figuram  quotientis 
inuentam,in  totum  diuiforem* 

Tertio  S,hoceft  Subtrahe,uidelicetprodu<ftu  multiplicatio# 
fais  ab  illo  quod  diuifori  fupra  ponitur. 

a | Pone 


? MlCHAELIf  StIFELII 

Pone  igitur  diuiforem  fub  diuidendo , ita  ut  ultima  unius  fit 
fub ultima alterius.Vt  uo.lodfuiderc  23  290895-6280,2  1+9191 
Sic  pono  diuiforem  fub  diuidendo  dic  . 

. 83616 

?$?9089f6xSo  (r  i 

-jr+9P9? 

Sic  ita  q?  utor  lireris  prardicflis  Qi  M.S. 

Primo,  quaero  quoties  149292  inueniaturin  232908.  Et  in 
uenio  quod  fcmel.  Pono  igitur  1 ad  uirgulamcuruam,tanqua 
figuram  quotientis. 

Secundo,  Multiplico  figuram  quotientis  inuentam,  in  diui» 
forem  totum, nifi  quod  unitas  nihil  mutat  iua  multiplicatione, 
manet  ergo  diuifor. 

Tertio,  fubtraho  multiplicationis  fummam.ab  eo  quod  diui* 
uiiori  fupraponitur,  id  efffubtraho  149292  ab  232908. Rema 
net  refiduum  8361 6,ut  uides  in  figura  iuperiori.Arq}  ita  expe* 
ditus  eft  diuifor  fcmel,inuenta  unitate  pro  figura  quotientis.Re 
ftant  autem  in  numero  diuidendo  adhuc  figurat  iex,ultra  refidi* 
um,uidelicet  95-6  28o.Vnde  pro  numero  harum  fex  figurarum, 
fexies  innouandus  erit  diuifor,  & per  fingulas  illas  figuras  erit 
mouendus , quemadmodum  uidebis  in  exempli  profecutione» 
Et  in  qnalibet  motione  feu  innoua  tione  diuiforis^eniunt  uten 
dat  prardicftat  literae  Q_.  M.  S-  eo  uidelicet  modo , ut  dixi  pau- 
lo fuperius  • 

FPrima  innoua  tio  diuiforis  poft  fui  prima  politione* 
8970 

n 5-6280  ( s x ; 


746460 

Primo  inuentus  eft  diuiforcontineri  iniuo  fuprapoflto(id 
cft  in  8 3 6 1 69)  quinquies, 

Secunda 


Arithmeticae  Lib,  r*1  4 

Secundo  ergo  multiplicata  lunt  r in  diuiforem  ; 

Tertio  fubtradafumma  multiplicationis,  remanfit  refidu? 

um  89709. 

V Secunda  innouatio  diuiforis  poft  fui  prima  politione*5 

Zxfixfi!)  J 

' ?3?0a8ffs'6  »80  Cixf 

. • f~  1 
• X?  **  '•  - 

. ' ■ ,g  J 

Primo,  Quacro.St:  inuenio  6»  t x 

Secundo,  Multiplico,  & facio  89nr**  ' 

Tertio,  Subtraho  Sirelinquo  1343, 

FTertia  innouatio  diuiforis,  . 

* 3 

8ZfS*.<3#) 

xto  (i  y 6 9 

V ides  ut  diuiforem  ne  femel  quidem  inueniam  in  (iio  fuprapoft» 
to,  ideo  polita  cifra  ad  quotientem,  continuo  ut  innouem  diui 
forem  iterum  pergo. 

V Quarta  innouatio  diuiforis, 

» 3 


z*i* 4 ; . 

*X?908$f6x8o  (iy6oo 
149191 

Et  ne  hicquidem  femel  haberi  poteft  diuiior,  in  eo  quod  libi  (u- 
praponitur,idco'qp  iterum  pono  dfram  in  Quotientem , SC  per 
jgo  innouare  diuiforem  continuo.Cifra  enim  nihil  facit  multipli 
«ndo,ideo  tribus  literis  pnedidishienon  egeo* 


Quinta 


MICHAELIS  ITIF1LI! 

TQuinta  diuiforis  innouat/o,&  hic  rurfumutor  Q.M.S* 

• 3 

4 

ZyfSX/S$ 3 ' 

*J**02$sr6tZo  (f  j6oo? 

****** 

■? 

13436x8 

Primo  inuenio  diuiforem  in  iuo  fuprapofito  nouies,  ^ 

Secundo  multiplico  9 in  diuiforem. 

Tertio  fubtraho  produdum  i fuprapofito  diuiforis  , & nihil 
relinquo. 

FSexta  diuiforis  innouatfo. 

Quamuis  nulla  iam  fit  opus  innouatione,cum  omnino  nihil 
Ct  relidum, Simpliciter  ergo  ponenda  eft  o ad  quotientem» 

*X 
S*  #0* 

Zytx0*ar 

?yp$a80f<SpXo  (iy600?0. 

149 ip x 

Vides  ut  diuifor  non  pofsit  amplius  haberi  in  fuprapofito,  om# 
nino  expedito  & deleto.Pono  ergo  cifram,ut  didum  eft, 
f Sequitur  Algorithmus  Minutiarum. 

QVando  in  diuifione  numeri  per  numerum , relinquitor  ali 
quid  in  refiduo  (ut  fi  1 y diuidantur  per  4. remanet  in  reft* 
duo  3)  tuncnafcitur  Minutia.Namhocquod  remanct,crit  nu- 
meratori^: diuifor  ipfe , erit  denominator  Minotiar. 

Item.quando  numerus  minor  occurrerit  diuidendus  pernu# 
merum  maiorem.tunc  ex  ratione  eadem  nafeitur  Minutia,ut  3 
diuifa  per  4.  faciunt 

Conftat  ergo  Minutia  ex  numeratore  & deno  mina  tore  A po 
nitur  numerator  fupeme,denominator ucro  inferne  ponitur.lt» 
terijcitur'c$  uirgula,ut  diferimen  faciat  inter  minutiam  Qc  pro* 

portio^ 


Arithmeticae  Lib.  i.  ^ ? 

portionem-Nam  quando  dno  numeri  adinuicem  proportiona 
«■ponuntur  ad  regulam  additionis uel  fubcradionis  proportio 
num  (ut  infra  dicam  fuo  loco) , ponitur  etiam  unus  eorum  fu* 
perne , di  alter  ponitur  inferne,  di  non  debet  uirgula  interponi, 
ut  intelligas  eftc  duos  numeros , non  unum . At  Minutia  cum 
numeratore  di  fuo  denominatore  proprie  cft  unus  numenis,uc 
iam  dicam. 

Numerator  Minutiar , eft  qui  numerat  partes  unius,  alicuius  ' 
rei  iategrar.diuiGe  in  partes. 

Denominator  Minutiar, eft  qui  denominat  partes  numeratas 
i numera  tore, ipfe  autem  nihil  numerat: 

Vnde  ficut , dum  dico  3 gr»  3 eft  numerus, & gr.  eft  denomf 
natio  ipfius  numeri, nihil  numeras,(ed  folummodo  denominas. 
Sic  dum  dico  tunc  3 eft  numerus,&  4 eft  denominatio  cius,& 
non  eft  proprie  numerus  ipie  denominator  • 

Eft  autem  pronundatioMinutiarum  admodu  facilis,  quem- 
admodum & earum  reprarfentatio,ut  |.funt  tres  quartae . Item 
. sciunt  tredecim  fexagcfimae,  unius  rei  diuifar  in  partes  iexagin 
ta, inter  Ce  aequales.  V el  \ dicitur  ternarius  diuifus  per  4.  uel  di* 
uifus  in  partes  4.  Vnde  \ eft  quarta  pars  temarij,  di  fic  de  alijs. 

FDe  Additione  di  Subtradfone  Minutiarum. 

DEnominatoresMinutiarum  magnam  fimilirudinemha-  ' 
bent  cum  denominationibusnumerorum  rea  libus.  Vnde 
cum  denominatores  Minutiarum  addendarum,fuerint  inter  Ce 
aequales  (ut  hic  )tunc  numeratores  ad  Ce  adduntur,&  deno 

minator  communis  (impliciter  illi  aggregato  fupponitur,  ut  t* 
adT^.facitT^.  Sic  3 gr.  ad  4 gr.  facit  7 gr.  Vide  certe.bona  (imi* 
Ittudine.rationem  additionis  Minutiarum. 

Sic  in  Subtradione,dum  denominatores  fuerint  inter  iear- 
quales/ubtrahitur  numerator  i numeratore^  relido  Cupponi* 
tur  denominator  communis,ut  75  i 7*  manet  . Item  ^ i 
remanent  Sic  (ut  uideas  rationem  ex  fimilitudine)  3 gr,i  7 

gr  .remanent  4 gr,  dic. 


b 


Dc 


r Michaelis  Stipelii 

FDe  inaequalitate  denominatorum. 

* Sed  fi  denomina  tores  Minutiarum  fuerint  inaequales  inter 

(e,tunc  reducendi  erunt  ad  arqualitatem,aliis  nonrede  poterit 
fieri  uel  Additio  uelSubtradio.Patet  hoc  ex  fimilitudine  fu# 
periusdata.Neqpenim  rede  addis  3 gr.ad4$.  Si dicas,)  gr.fli 
4 & facere  7 gr. aut  7 Sed  oportet  ut  reducas  inaequalitatem 

denominationum , ad  aequalitatem.  Vtfiex  3 gr.  feceris  )6§U 
tunc  rede  dixeris  3 6 & 8C  4 facere 49  $.  Aut  fi  ex  4 $>  feceris  f 

§r,Tunc  rede  dixeris  3 grA'  f gr.facere  3 f gr.Idem  de  Subtra# 
tione  intellige:  Si  enim  4 & fubtrahas  i 1 o gr.  non  remanebunt 
6 gr.aut6$.Sed  reducenda  eft  inaequalitas  denominationum» 
ad  aequalitatem, manente  ualore  & proportione  priore  in  rebus 
denominatis. 

f.f^f******'  Eft  autem  regula,  ex  17&  1 8 propofitionibus  feptimi  Eucli# 

l ^dis  fumpra.quafacile  quaslibetduasminutias  inaequalium  de- 
<fd***^  ^♦v^2^nominatorum,reducere  pofsis  ad  aequales  denominatores,ma# 
*u~i.  ^“"^^..^nenteinutrae^  Minutia.priore  ualore. 

»*f ^ ^,C  aurem  habet  regula. 

'nrf  2%***  Multiplica  Minutias  in  cruce.tunc  producuntur  numerato# 
rnnvuJ  — res . Deinde  multiplica  denorainatores  inter  fe.tunc  producitur 
*___  — • denominator  communis.  Vt. 

,Y*  5^  ^hicit  7I  & 7?« 

e#?**  '*4**  Vnde  y faciunt  fy.ideft  1 y£. 

Subrradae  autem  y 1 y.  relinquunt 
. Ratio  regulae  hdiufmodi  redudionis  fatis  patet  ex  propofi# 
tionibus  Euclidis  praedidfs , id  eft , ex  1 7.  & 18  (eptimi . Scili- 
cet y multiplicantur  eodem  numero,  uidelicet  quaternario,  d< 
fiunt  7 1 . Sic  y multiplicantur  uno  & eodem  numero » uidelicet 
ternario  A fiunt  yf . Quando  autem  utercg  terminorum  Mi- 
nutiae , uno  & eodem  numero  multiplicatur,tunc  non  uaria- 
tur  ualor  eius,neqj  proportio  » quae  eft  inter  terminos  ipfos, 
mutatur  Ac» 

De 


rr 


6 


Arithmeticae  Lib.  'i* 

VDe  Multiplicatione  Minutiarum» 

Vera  Multiplicatio  numerorum  denominatorum , requirit 
non  folum  numeratorum  multiplicationem  inter fe,fcdetian) 
denominatorum  multiplicationem  inter  ie.Omnis  aurem  Minu 
tia  eft  numerus  denominatus , ut  infra  Cap.  a.dicam.Facilis  igi 
tur  eft  regula  multiplicationis  Minutiarum, & breuis.  Scilicet» 
Multiplica  numeratores  inter  fe,8i  proueniet  numerator  g* 
ducftac  fummar.Multiplica  etiam  denomina tores inter  Ce,  Qc  pro 
ueniet  denominator  produdfce  fummar. 

V t f in  Facit  feu  4,ut  infra  dicam . 

Quid  autem  flat  in  multiplicatione  numerorum , uulgariter 
denomina  torum, dicam  fuo  loco» 

Quod  autem  multiplicatio  denominatorum,  requirat  etiam 
denominationum  multiplicationem , liquido  patet  ex  Cofsicis 
numeris,de  qua  re  etiam  fuo  loco  dicam» 


FDe  Diuifione  Minutiarum* 

Ego  Diuifionis  regulam  reduco  ad  regulam  Multiplicatio* 
nis  Minutiarum  , hoc  modo : Diuiioris  terminos  commuto , 
id  eft , numeratorem  pono  fub  uirgula , & denominatorem  fu- 
pra  uirgulam  pono . Hoc  facfto , nihil  aliud  reftat,  nili  ut  opere  * 
r is  iuxta  regulam  Multiplicationis  iiiperius  datam. 

Vtuolo  diuidere  i per  y , Sic  ftabit  exemplum  ad  regulam, 
i l.  facit  ^ quotientem. 

Sic  liuelim  diuidere  j per  Sic  ftabit  exemplum  \ 7. 

facitcg  hunc  quotientem  f . feu  1 j-.Etficde  altjs. 

Et  ego  noui  quim  commode  fiat  harlflgulae  Diuifionis  redu 

IA  /V  I .<-»«  «<*•  r»  i.  ft 


uolo  tibi  exemplum  ad  hanc  rem  commodum  tradere  . Scili* 
cet  uolo  diuidere^  per  £ . Facit  autem  quotiens  diuifionis  2« 
Sed  fi  igiraris  quotientem  efle  maiore  ^ fit  minutia  diuideda, 

b 2 cogita 


Michablis  SriFELrr 

5^S53tSS^  a Minutia 

gn%^^J2^rtSMtaS t‘  "^* 

sffea^^ 

•n/nutiaruro,Paulo(nferius  broifemi  MinutI>* 

«^ta(^ufda™Al^rt^ra“'t,4,n  ofttndms  «*>• 

«Wff^2fi3?p5 

sE@0»ab»s 

d • FReSuIa  cx  i.  & 2,  Septimi  Euclidi* 

oris 


Arithmeticae  Lib,  t« 


eris  diuifionis  per  re  fiduum . Et  fic  deinceps  femper  diufforem 

proximae  diuifionis  diuide  per  refiduum,donec  occurrat  diuifor 

qui  nullum  relinquat  refiduum.Et  talis  diuifor  femper  eft  maxi  s 

fnamenfura,quar  reponat  & numeratorem  & denominatorem 

Minutiae  tuae  in  terminos  proprios  feu  rninimos,ut  £££  facit  jft 

f Vel  fic  operare* 

Diu/de  utruncg  terminum  tuae  Minutiae  per  numerum  ali- 

2 uem  numerantem  utrunqp.Ethoc  fac  toties,  donec  Minutia 
et  in  propriis  fuis  terminis,ut  yf  diuide  g z.  fit  A-  Deinde  per 
3.  fit£.  Eadem  enim  proportio  manet  inter  terminos  tuae  Minu 
tiar,idem'cgualor,fiuediuidasutruncg  terminum  per  unum  ali# 
quem  numerum, fiue  multiplices. Et  eft  18  fcptimi  Euclidis,  $tA 
FDe  Algorithmo  integrorum  comiflorucuMinurijs, 

Integro  numero  fuppone  unitatem  interieda  uirgula , tuc 
integro  numero  fecrfti  Minutiam.  Operare  igitur  iuxta  regu-,*^**'^^3*^»- 
lasMinutiarum,&nulla  opus  erit  propria  regula  aut  proprio 

Algorilhrno.  EtiTi 

FDeAIgorithmo  Minutura  ex  alijsMinutqs*  C. 

Minutias  Minutiarum  fic  repraeientari  debent,  at  i!  fimplid-  ~ 

busMinutijspoisintdiTcerniut  1 - 

Tres  quartae,  duarum  tertiarum,  f * 

uniusfcptimae.ficrepratfententur.  y 

V Idem  autem  faciunt  hx  Minutiae  Minutiaru  fingutac» 


Patet  hoc  ex  regula  reducftionfs  huiufmodi  Minutiarum,qua 
uidelicet  reducuntur  ad  fimplices  Minutias, 

FRegula  haec  eft. 

Multiplica  numeratores  inter  fe, Deinde  multiplica  et/a  deno 
minatores  inter  fc,tunc  efficit  Minutia  fimplex , utex  illis quaa 
pofut, fit  haec  fimplex  Minutia  A feu  7* . 

b 3 Vides 


: • wr- 


M FCH  A ELIS  Stifelii 


Vides  ut  Minutiae  Minutiarum  non  egeant  proprio  aliquo 
Algorithmo, quando  tam  facile  ad  fimpliccs  Minutias  reducun 
tur,earum'qj  regulis  fubijciumur* 

Sed  probemus  operationis  huius  regulam  aliquo  exemplo* 
$fc.  facit  3 6 &.  nam  i fc  facit  i 

zj-i  De  36  & faciunt f*  *4  7 + fc 

Etde  z4&fariunt  «8 Videia  7 

an  ji  faciat  1 3 $. . Operatio  tamen  probationis  huius , fum* 
pta  cft  fecundum  hanc  lignationem , & non  fc-  5 

eundum  priorem.  Vides  autem,  ut  in  huiufmo*  f fc 
di  Minutqs  tantum  fic  unus  numerator  prind<  \ 
palis.reliqui  ucro  improprie  uocantur  numeratores 

De  natura  & fpeciebus  numero R2  abftra&oru.  Gap.  11« 

Vmeri  abftradi  proprie  dicuntur,  § nulla  proriiis 
denominatione  habet.  Cu  aute  omnis  Minutia  de 
! nominatore  habeat,certu  eft  eas  etia  Minutias  im 

lipprie  uocari  abftradas,quar  nulli  reali,aut  artifici 

ali  denominande  funt  lignatae , ut  funt  Minutiae  q fiunt  ex  Di- 
uifione  numeri  abftradi,per  numeru  abftradu  .Solemus  tarae 
eas nihilominus,docendi  gratia  uoca re  abftradas.Scilicet  j- uo 
camus  Minutiam  abftradam.  At  uoca  mus  Minuriam  con 

tradam.  Sicut  autem |f^.funt  duae  tertiae  unius FIoreni,ficy. 
funt  duae  tertiae  unius  unitatis.  Quod  autem  tales  Minutiar,fint 
unitatis  fradiones,potius  quam  numerorum, paret  uel  ex  Mul* 
tiplicatione  Minutiarum.Nam  pono  has  Minutiasy  Si^eAe 
fradioneshuiusnumeri  »zo.&  multiplico  eas  inter  fe.  Faciunt 
autem  iuxta  regulam  Multiplicationis  jf  feu£.  Eli  autem  i dc 
izo.lblummodolo.Aty  de  tao.  faciunt  80. Et  \ de  izo  faciut 
90, Oporteret iam, iuxta  Algorithmi  regulam, quod  80  in  90* 
multiplicata  facerent  folummodo  60  .fed  non  laciunt  60,  fed  po 
tius  7 100,  Certe  uides  clare , ut  Algorithmi  Minutiarum  multi 

plicatio. 


♦ 


Arithmeticae  Lib.  i.  $ 

plica  t/o, non  refpondeat  Minutrjs  numerorum  abffracfforum , 
Icd  potius  Minutijs  unitatis. 

Sed  quid  dices  ad  Arithmeticorum  iententias.qui  dicunt  uni 
ratem  efle  indiuifibilem  C Nam  Boetius  recfle  iuxta  Euclidem 
coIh'gtt,exindiuifibiIitateunitaHs,tmparemnumeru  non  pofle 
diuidi  in  duo  aequalia , dialia  huiufmodi  plura , imo  uniueriam 
Theoricac  partis  Arithmeticae  tractationem , huic  fundamento 
fuperftruunt . Refpondeo  permittendum  efle  Arithmeticis,ut  du 
bona  ratione  & utili  confllio  aliquid  fingunt,uti  pofsint  hmuf» 
«nodi  rebus  fictis , Liceat  igitur  eis  fingere  fractiones  unitatis 
indiuifibilMel  hac  faltem  urii itate.ut  earum  fractionum  Algo 
rithmusjdocendi  gratia,exter,qui  uidelicet  exemplar  fit  regula- 
rum pro  omnibus  Minutrjs  ueris , qualitercunc^  flgnentur  aut 
denominetur,  nifl  forte  Minuta  Pbyfica  uelis  efle  excepta.  Cer 
te  inflgnis  efl  i fla  utilitas , id  quod  nouerunt , qui  calculationes 
Algebrae  non  ignorant. 

Duo  uero  funt,ad  quae  omnia  fere  referuntur^uae  in  hoc  eae 
pite  dicenda  funt,uidelicet  Com politio  & Numeratio . D/fcer- 
nitur  autem  hic  compofltio  i collectione  numeror u, qualis  fit  j> 
additione,quancpalicubiinpropofitionibus  Euclidis  legamus 
compofitione  fumi  pro  tali  colIectioe,quaIis  fit  in  additione  nu 
meroru.  Compofltio  autem  numeroru, proprie  dicitur  confli 
tutio  eoru  per  multiplicatione  numeri  in  numeru . ut  6 compo 
nitur  ex  2 & 3 . Dicuntur  cr  2 & 3 ,hac  ratione,partes  copofltio/s 
fenartj. Compofltio  ergo  & MuItiplicatio,una  & eadem  opera- 
tione ffunt.Sic  Numeratio  & Diuifio,una  &C  eadem  operatione 
flunt.Et  tamen  Numeratio  differti  Diuiflone,  id  quod  uelhac 
exper  ientia  probatur.quod  unitas  omnem  numeru  numerat, nui 
Ium  autem  numeru diuidit  .Numerus  aut  numerum  numerare 
dicitur,quandoeumdiuidittta,utneq)  Minutia  Aatuat,neq;  re 
(iduu  relinquat.  V nde  omnis  numerus  numerans  numeru,cfl  gs 
eius  aliquota.  Et  omnis  numerus, efl  pars  num  eri  fe  maioris,ucJ 
aJiquota,uel  aliquara.  Aliquota  quide,fi  euro  numerer3ut  iain  di 
xL  Aliquanta  uero, fi  eu  non  nuroeret,  Vt 


Michaelis  Stifblh 


Vt  autem  ea  quae  in  hoc  capite  diceda  funt, facilius  atep  prom 
piius  dijudicare  ac  probare  pofsMiligcnter  obferua  quae  iam  di 
cam  denumeratione  & compofitionc  numerorum. 

Vnitas  omnem  numerum  numerat , nullum  autem  nume* 


nim  componit.  , 

^ Binariusquero1ibetnumerumcompomtamimerat,cuiusn 

mira  nrima  ab  ipfb  binario  numeratur* 


gura  prima  ab  ipio  binario  numeratur* 

Ternarius  quemlibet  numerum  componit  & numerat , cuius 
Ongulae  figurae, pro  primis  acceptae, & ad  fe  additae,  ab  ipfo  ter* 
nario numerantur*  \ft-y  9 ,f ' tr  x *'  '7'7' 

Quaternarius  quemlibet  numerum  componit  & numef  at,cu 
ius  ipfe  panem  numerat  illam,quae  fub  duabus  figuris  eius  pri- 
miscontinetur.vf  ^ YL--  15*  4*# 

Quinarius  quemlibet  numerum  coponit  & numerat,  cuius 

prima  figura  fuerit  5-  uelo.  

Senarius,quemlibet  numerum  parem  componit  & numerat; 
quem  numerat  ternarius* 

Septenarius,qucmlibet  numerum  componit  & numerat,  qui 
colligitur  ex  tribus,fex,nouem,aut  duodecim  terminis,propor* 
tionalitatis  duplae, quadruplae  ,aut  fcdecuplae* 

Odonarius,quemlibet  numerum  componit  & numerat,  cu* 
ius  ipfe  numerat  partem  illam,quae  fub  tribus  primis  figuris  cius 


continetur* 

Nouenarius,quemIibet  numerum  componir  & numerat, cu- 
ius (ingulae  figurae  pro  primis  acceptae, Si  fimul  additae , ab  ipfo 


nouenario  numerantur*. 

Denarius.quemlibet  numerum  componit  QC  numerat,  cuius 
prima  figura  fuerit  o. 

Ex  his  iam  facile  fdes,quos  numeros  numeret  xo.aut  3 o.aut 
4o,autfo  &c. 

Item  (cies  fadle,quos  numeros  numeret  »<£ , aut  3 2*  aut  64. 
aut  1*8  &c*  ' 

Item  fdes  quos  numeros  numeret  12, aut  24.  aut  48  ac.  ISa 

ssnii* 


1 


s ■ 


f. 

2. 

*• 

4« 

7- 


4r  -x .--A. 


Jp* 


Arithmeticae  Lib,  i,  p 

f i. numera  t omnem  numerum » quem  fenarius  numerat  nume 
ro  pari  dic. 

FDe  fpec/ebus  numerorum  abftradorum, 

Numeri  abftracfti  prima  iui  diuifionc  diuidun tur  in  Pares  & 

Impares. 

Numeri  pares  iunt,qui  binario  numero  numerantur» 

Numeri  impares,  funt  qui  binario  non  numerantur*  . » 
r Proprietates  numerorum  parium. 

Par  additus  paridpeciem  non  mutar* 

Par  additus  impar/, fpccicm  mutat.  * 

Par  fubtratffus  i pari/peciem  non  mutat* 

Par  iubtradus  ab  impari, fpcciem  mutar. 

Par  numerus  dum  componit, nunquam  murat  ipeciem. 

Par  numerus  dum  numerar,iuz  fpccici  numeru  numerat* 

Pares  numeri  fequGrur  fefe  hac  Arithmetica  Progrcfsidc* 
x.  4.  64  8.  10.  11.  14.  16.  &c* 

Haec  omnia  fuos  habent  uius,ut  fuis  locis  dicam  • * 

FDc  fpeciebusnumerorumparium. 

Subdiuiduntur  autem  pares  numeri  dupliciter*  Nam  primo 
Binarius  differt  fpecie  i quolibet  alio  numero  pari  * Cum  enim 
BinariusGtprimus&incopo(?tus,reliquiparesoesruntc5po«  » r 
fiti.ConftituititacpBinariusibluspropriam  fpccicm.  Hinc  ^>4 

tir  nulli  fpecierum  parium  refpondear  conffanter . Dum  cnim^^ 
additur  aut  fub  trahitur, fer  uat  proprietatem  parium  impariter,  cw 

" Dum  uero  multiplicat  feu  componit, & numera  t, fercta  t proprie 

tatepariupariter.Quodutuideas,proprieutcs  eius  receiebo^M^r  r“~~ 

Binarius  additus  numero  p ari compofito, primae  fpeciei , aut^f 
fubtraeffus  i tali.conftituit  numerum  fecundae  uel  tertiae  fpeciei^***  *****"** 
iuxta  proprietatem  parium  impariter.  Item  e diuerib.^*~*!^*2*  ^ 

Binarius  additus  numero  pari  compotito,  iccundae  uel  tertiae * jj*** 
fpeciei.aut  fubtratff  us  i tali,conft ituit  numerum  primae  fpecieiC^jf*'  JmA 
iuxta  proprietarem  panum  impariter.* 


. . 

ii' S 


•Him 


Binarius  multiplicans  parem  compotitum  fpeciei  fecundae,  . ^ 

^ c compo  cf 


'1 


Michaelis  Stifblii 

componit  numerum  eiufdem  fpeciei,iuxta  proprietatem  parium 
pariter.  Sic. 

Binarius  du  numerat  parem  copofitQ  iecudar  fpeciei,tuc  facit 
. * numerum  ciufdem  fpeciei  juxta  proprietatem  parium  pariter, 

✓ Itacg  Binarius  huiufmodi  ratioibus , necppar  pariter  dici  po 

' teft , neqj  par  impariter . Multo  minus  dici  poteft  pariter  im* 
pariter*#  par , Stet  igitur  binarium  propriam  confhtuere  fpe* 
ciem. 

rDc  fpeciebus  numerorum  pariu  copofitoru. 

Pariam  compotitorum  fpecies  iiint  tres  .quarum  mentio  fa- 
da  eft  proximo  Ioco,prseter  ordinem.mdelicet  re  ipfa,quar  tra# 
z-  dabatur (ic  exigente. 

Primo.  Quidam  pares  compofiti.funt  pares  impariter,  qui 
Vurcfi  tl-r  iparinon  numerantur,  nifi  impariter,  hoc  eft.  Dum  diuiduntur 
^ \ .r*  perp?remnumerum,femper  faciunt  imparem  quotientem. 

4-  • Secundo.  Quidam  numeri  pares  compo(iti.funt  parespari 

n,tti  t x-  ttr>qui  * nullo  impari  numero  numerantur.  >«  6 4- . -g-  1 C-  ; 
Tertio.  Quidam  numeri  pares  compoiiti.iunt  pariter  impa 
Xe  J,^*?*»***^^^  pares,qui  modo  i pari  numerantur  pariter,modo  impa» 

vi*  tA JFVt’  **  riKt^umenjntur,abaIionumeropari,xtviX.'  w 


R 


Proprietates  parium  impariter. 

. Par  impariter,additus  ad  numerugi  fuae  fpeciei,  conilis 
Cuit  numerum  parem  alterius  fpeciei  . 

2.  Par  impariter,  additus  pari  a 1 tcrtu*Tpec^coili  tuitnu  ^ 
merum  fu*  fpeciei. 

3 . Par  iraparirer,fubtradus  1 numero  luse  fpeciei, relin 
numerum  parem  alterius  fpeciei. 

4.  Par  imparitcr,fubtradus  i numero  pari  alterius  fpcci» 
ci,  relinquit  numerum  fu*  fpeciei, 

f . Par  impariter  coponit  ex  impari  namerum  fuse  fpeciei. 

6»  Par  impariter,  componit  ex  pari  numerCI  tertiae  fpeciei, 

7.  Par  impariter  dum  numerat,  numerat  numerum  tertiae 
fpeciei,  ••  ^ # 

» f.  Par 


Arithmetica»  Lib,  r.  JO 

0.  Par  impariter  dum  numeratur  , aut  i numero  'Cux  fpe-  , 
dei  numeratur, aut  ab  impari. 

$>.  Pares  impariter  lequuntur  fcfe  hac  Arithmetica  Pro- 
grefsione,qua  nullus  Intermittitur. 

6.  io.  14.  18.  %%.  x6.  30.  34.  38.&C. 


7*  - — ■ ««i  uuujLiuiii iucc ipcuci  j Iiun-ZOTP»  ^ m«teAw4| 

mutat  fpeciem.  «**»*  •'•^•4. 

4.  Par  pariter  dum  numerat  numerum  fu«e  fpcciei,  aut 
dt  binarium  ,aut  numerum  fuac  fpedel. 

f . Par  pariter  dom  numerat  numerum  alterius  fpecie/.ninc 

nilrru>raf  numrriim  t.rriv  Crurrioi 


2 . Farlter  imparitercp  par.dum  numerat,fuac  fpedel nume ~ •* 

rum  folummodo  numerat.  — 

?•  Pariter  impariterfcp  partu, numeri  tres  primi  egrediatur 
fecundQ  Progrefsfone  Cotraharmon(ca,ut  1 2.  20.  24.  Reliqui 
irregulariter  progrediunt.Impofsibile  aut  eft  Progrefsionc  & 
traharmonicam  polle  extedl  ultra  terminos  rationales  tres.ut 
fuo  loco  dicam. 

Sub  hac  fpede  funt  oes  nu  mcrl  integri  dlametrales , de  qbcls  ' 

TDe  numeris  perfertis.  (fuo  loco  dicam. 

Omnes  numeri  perfert/, funt  pariter  fcnpariteitp  pares.exce 
pto  primo  perfertorum,id  eft  fenario, qui  eft  primus  paria  im- 


c a 


pariter 


Mickaelis  Stifelii 

pulter, & primus  perfectorum.componirurcp  ex  duobus  nume 
ris  primis,id  eft , ex  z & 3 . Reliquorum  autem  perfectorum  cos 
politionem  mox  indicabo  • 

Dicuntur  aute  numeri  pcrfectf,qui  coaceruatione  omniu  par 
tium  Tuarum  aliquotarum  fcipfos  rcftituunt  prarcife,  ut  partes 
(enarti  aliquotae  omnes  funt  bae,  i.  z . 3.  Et  har  fimulcoacerua- 
tar  reftituunt  fenarium.  Hac  ratione  imperfecti  funt , qui  ex 
collectione  fuarum  partium  aliquotarum  omnium , uel  plus  fa 
ciunt  ( ut  t zo. facit  collectione  fuarum  partium  Z84)  uel  minus 
faciunt, ut  z84.facit  collectione  fuarum  partium  zzo. 

FInuentio  numerorum  perfectorum  pariter  im- 
pariter^ parium , hac  pictura  offenditur. 

| 4?  8 | 16.  3Z  | 64.  1 18  | z ?6,  yiz  j&c.  | 

Vides  autem  hunc  ordinem  efle  Progrefsionem  pariter  part- 
um , QC  quemlibet  terminum  habere  iocium.  Poterisautem  co* 
ponere  ex  huiufmodi  Progreisioe  ftngulos  numeros  perfectos, 
fuo  ordine, ut  nullus  obmictatur.  Hoc  modo* 

A maiore  inter  duos  combinatos , fubtrahe  unitatem, & rei?# 
duum  multiplica  per  minorem  , tunc  femper  habebis  numerfl 
perfectum,  Exempla* 

4in7*fac/tz8« 

16  in  3 1. facit  49^. 

4+  in  1 z7. facit  8 1 z8» 
z y6  iti  f 1 1. facit  1308 1 6» 

Et  (7c  de  altjs  in  infinitum. 

FHarc  eft  ergo  Progreisio  numeroru  perfectorfi* 

6 , z8,  4 96.  8 1 z8.  1 308  i6,&c. 

Mira  admodum  funt  perfectorum  numeroru  rationes . QuJ 
uisenim  paruum  uium  habeant  numeri  perfecti,  in  rebus  Arith 
meticis,iucundum  tamen  eft  cernere,  ut  fub  tam  mira  raritate 
eorum  inter  numeros  a1ios,proferri  tamen  poftint  feu  inueni* 
fi  tam prompte,6i  modo  um  facili,ordine'qi  tam  pulchro , Tra 

didit 


Arithmhticab  Lib,  t.  I f 

Adit  autem  Euclides  modum  inueniendi  propofitione  ultima  (i 
bri  noni.  Et  poft  eum  Boetius, 

Vides  autem  compofitioncjn  numerorum  perfectorum  efle 
ex  maxime  diuifibilibus  numeris,ut  funt  pates  pariter;  di  ex  mi 
nime  diuifibifibus,ut  funt  impares  incompofiti. 

Sun  cautem  perfectioni  numerorum  perfectorum  adeo  pro- 
pinqui.paritcr  pares.ut  quilibet  eorum  fola  unitate  deficiat  i per 
fectione  praedicta.  Vr  fi  omnes  partes  aliquotae  numeri  pariter 
paris cuiufcunqt,in  unam  fummam  colligas .addasqj  illi  aggre 
gato,fo!ummodo  unitatem. tunc  reftiruitur  integer  numerus  il 
larum  partium.  Et  cum  partes  illae  inter  fe  fempcrconftituant 
Progreisionem  Geomctricam.uaria  etiam  additione  fui  conti 
tuuc  femper  Progrefsionem  Arithmeticam  numerorum  natura 
lem.ab  unirareufcp  adfuum  integrum  progredientes,cuius  fpe 
culationis  ufiim  habemus  in  ponderibus  inditorum. 

Et  perfectorum  numerorum  nullus  potet  numerare  afifi  nu- 
merum perfectum, quemadmodum  imparium  incompofitori 
nullus  potet  numerare  alium  numerum  imparem  incompofitff. 

Haec  de  paribus  numeris  dicta  iamfuffidant.Sequitur  dc 
imparibus. 

r Proprietates  numerorum  imparium» 

I • Impar  additus  impar/, mutat  fpeciem. 

1 . Impar  additus  pari,non  mutat  ipeciem, 

3*  Impar  fubtractus  ab  impari,mucat  ipeciem* 

4»  Impar  iubtradus  i pari, non  mutat  fpeciem. 

Impar  cum  componit  numerum  cum  numero  fuae  ipe- 
cid.non  mutat  ipeciem. 

6*  Impar  cum  componit  numerum  cum  numero  alterius 
iped€i,mutat  fpeciem. 

7 • Impar  numerus  dum  numerat  numerum  fuae  fpedii/,  no 

mutat  ipeciem. 

8 • Impar  dum  numerat  numerum  alterius  ipecid,  fpeciem 

mutat. 

a c j 9 Jm 


Michael;*  Stifelii 

9*  Impares  numeri, fequuntur  fefe  bac  Progrefs/one  Aritfl 
merica  admodum  admiranda,dc  qua  (uo  loco  dicam* 

*•  3*  S»  7.  9*  fi.  13*  ij\  &c. 

TDe  ipeciebus  numerorum  imparium. 

De  fpec/ebus  numerorum  imparium  pauca  reflant  dicenda» 
Diuiduntur  autem  impares  numeri, in  incompofitos  &compo 
ficos.  Ex  rjs  autem  quar  fuperius  dida  funt.fatis  conftat,qui  nu» 
meri  flmplices/eu  incompofiti  fint,&  qui  fiat  compofiti. 

TDe  imparibus  incompofitis. 

Simplices  feu  incompofiti  fiint , qui  i nuito  numero  numera** 
ri  poflunt . Hi fune,  qui  nullam  partem  aliquotam  habent,  exce 
pta  unitate.  De  unitate  autem  fupetiusdixi,quod  nihil  poflini 
componere» 

Habet  autem  incompofiti  numeri  ufas  uafde  egregios.  Nam 
per  eos  inueniuntur  figna  artis  Algebrar,  quar  res  ineffabilem 
ufum habet.  Et  (ut de  Algebraft  fignis  eius  inueniendis  iam 
tranieam , donec  locus  eorum  proprius  mihi  occurrat)  fecunda 
eam  intientionem , componuntur  figna  radicum,  infinitarum 
Ipccierum. 

Item  per  numeros  imcoropofitos.inueniuntur  partes  nume« 
rorum  aliquotar  utili  & iucunda  operatione». 

r Sic  operor» 

Numero  aliquo  propoflto.  ut  4<5i.  refoluo  eum  in  parte*  fit 
, as  incompofitas  aliquotas  omnes , quae  ipfum  conftituunt , id 
cft,  ex  quarum  multiplicatione  inter  fe , ipfe  reflituitur . Sicai* 
tem  cum  refoluo. Primo  diuido  eum  per  z.tanquam  per  aliquo- 
tam  partem  incompofitam  omnium  minimam.  Facit  Diuifio 
»3  i.ReferuoigitUf  z.&C  zj  i diuido  per  j.  tanquam  per  mini- 
mum numerum  quo  poteft  numerari.  Facie  Diuifio  77.Referuo 
Igitur  3 .&  77  diuidoper  minimu,id  eft  per  7.&cit  Diuifio  i u 
itacpiamhabeo  1.3.7.  i i.uidelicct  omnes  partes  incompofitas 
aliquotas,conft:ituentes  +6  ».numerum  uidelicccintegrum.  Par 
cibus  inuentis  fic  utor. 


Multi-* 


Arithmbticab  Lib.  i.  i* 


Multiplico  7 in  1 1. facit  77.Fado'c$  ordinem  primum  ex  hi* 
tribus  numeris.uidelicet  7. 1 1.77. 

Deinde  recipio  fequentem  incompofitam  partem,  uidelieet 
multiplico  eam  in  primum  ordinem  ,facio'qp ex  3* & pro# 
audis  eius  hunc  ordinem  fecundum  3.21.3). 131* 

Deinderecipio  reliquam  partem  incompofitam,  uidelieet  a. 

multiplico  eam  in  omnes  ordines  fliperiores.  Faciocg  ex  t.dl 
produdiseiushuncordinem  2.  14,12, 15-4.6.42.66. 

Vltima  autem  multiplicatio , femper  producit ipfum  nume* 
rum  integrum,pro  quo  tu  pone  unitatem. 

Habet  itacp  numerus  ille  46  2.  partes  has.  1.2. 3.6.7. 1 1*  14» 
a 1.22. ) 3. 42.66.77.  15*4.23  i.Et certum eft nullam  partem  ali-» 
quotam  efle  intermittam.  * 

Sic  numerus  ille  23  fo.inueniturhaberepartes  aliquotas  tri 
gintaunam. 

Item  numerus  ille  30030,  habet  partes  aliquotas  fexaginta 
(res. 

Sed  uideamus  aliud  exemplum.  Volo  inuenire,partes  aliquo# 
(as , omnes  numeri  huius  4 96. 

Partes  incompofitae  componentes  totum  funt  hae. 


•Sta  2.«  2-a  I*  ) fo 

Primus  ordo  facit  2. 3 1.62, 
Secundus  ordo  facir,  4, 1 24. 
Tertiusfacit,8.  248. ' 

Quartus  ordo,  facit  16, 

Parces  igitur  fingular  funt  hae. 


• I 

^ 'P  O&ii 


4.  2,  4.  8.  16.  31.  6 2.  124.  25*8. 

Ex  his  exemplis  iudicabis  de  omnibus  alqs  faciliter. 

Sunt  autem  Cut  ad  impares  redeam)  omnes  numeri  incotn» 
pofiti,impares,excepto  uno  pari incompofito,id  eft  binario, qui 
in  ufu  imparium  incompofirorum  femper  fcillis  adiungit. 

Haec  autem  eft  incompofirorum  numerorum  Progrefsio, 

3*  S*  7*  H*  <3*  >9*  »3«  *9*  3 i.&c. 

Dc 


Michaelis  Stifblii 


r De  impa  rfbus  com  poflcis. 

Numeri impares  compoOti/unt  qui  ab  uno  numero,aut  i phi 
ribus  numcrantur.Notum  cft  autem,ut  numeri  numerantes  na 
merum,fint  partescompofft/onis  eius.  Vnde  omnis  multiplica 
tio  imparis  in  imparem, producit  imparem  numerum  compofl 
tum. Et  fi  impar  incompofitus  multiplicetur  in  fe  lemefnon  po- 
terit produdus  numerus  numerari,nifi  ab  uno  illo  folo.Si  bis  in 
fe  multiplicetur  impar  incompofitus.producitur  impar  compo* 
fitus,foIidus,qui  £ duobus  folummodo  numeris  numeretur.Et 
(i  ter  in  fe  multiplicatus  fuerit  numerus  impar  incompofitus, nu 
tnerabitur  impar  ille  compofitus  productus,  i numeris  folum* 
modo  tribus,ut  8 1. numeratur  prarter  unitatem  i tribus  his  3. 9» 
»7  .Sic.  Si  autem  multiplicentur  inter  Ce  duo  impares  incompo 
(iti,produciturimpar  compofitus  pure  fuperficialis,utqui  folu« 
modo  i duabus  illis  partibos  fuis  pofsit  numerari.Si  autem  co- 
pofitus  ille  rurfum  multiplicetur  per  alteram,ex  partibus  illis(ut 
fi  1'/ multiplicetur  per  3 .aut  per  j)  tunc  impar  compofitus , qui 
pfoducitur,numerabitur  neceflario  £ numerisquatuor,prarter  u ' 
nitatem . Si  aute  multiplicetur  per  alium  aliquem  imparem  in* 
compofitum  (ut  fi,  15-  multiplicetur  per  7.  aut  per  1 Otuncim* 
par  compofitus, qui  fuerit  frodudus  , numerabrtur  neceflario  i 
numeris  fex. 

Si  impar  compofitus,  pure  fuperficialis , non  quadratus,fue- 
rit.multiplicatus  in  imparem  compofitum,  pure  fuperficialem, 
non  quadratum.Fuer  int'c$  numeri  ilii  duo  contra  fe  incompofi- 
ti,  tunc  compofitus , qui  producitur , numerabitur  neceflario  i 
quatuordedm  numeriSjprzterunitacen^ut  1 j in  77.facit  1 » ST 
numerabilem  i quatuordecim  numeris* 

Et  fi  ille  multiplicaretur  in  alium  numerabilem  I quatuorde* 
cim  numeris , tunc  qui  naiceretur,  numerabilis  e fle/i  ducentis 
quinquaginta  quajtuor  numeris,dummodo  duo  illi  multiplicari 
tes  eflent  contra  feTompofiti. 

Si  impar  compofitus  pure  fuperflcialis,no  qua  drantus,  fuerit 

multi# 


f 


Arithmeticas  Lib.  i.  i; 

multiplicatus  in  imparem  compofi tum,pure  fuperficfaIem,non 
quadratum, fuerint'qj  numeri  illi  duo  contra  fe  compofiti , tunc 
produdtur  impar  numerabilis  folummodo  i decem  numeris» 
praeter  unitate  ,ut  j y.in  77,facic  i^5>r*Item  ij-inti»  facit  3 1 y» 
Si  uero  multiplicentur  inter  feduo  numerivimpares  compofi 
ti.pure  fuperficiales  quadrat/,  producitur  impar  numerabilis  i 
feptem  numerispracter  unitatem,ut  9. in  1 y.  facit  M-f.t 

Omnes  numeri  pure  fuperficiales  quadrati,funt  contra  ie  in» 
compofiti. 

Omnes  numeri  pure  fuperficiales  quadrati, fant  impares,ex- 
cepto  quaternario. 

Numeri  contra  ieincompofiti  dicuntur,  qui  nullam  habent 
partem  aliquotam  communem, ut  efi;  omnis  impar  numerus  ad 
omnem  pariter  parem.Nam  impar.non  nifi  abimpari  numera» 
tur,&  pariter  par,non  nifi  i pari  numeratur, 

Numeri  ergo  contra  fe  compofiti  funr,qui  partem  habent  ali 
quotam  unam  communem,  aut  plures,  ut  funt  omnes  numeri 
pares  adinuice,  Intelliguntur  autem  ifta  de  partibus  aliquotis 
coponentibus.ur  fcias  unitatem  e fle  exclufam. 

Praeter  compofitionem  funt  ah j quidam  modi producendi  nu 
meros  impares  compofitos,ut  fi  i numero  pariter  impariter'<$ 
pari  perfe<fio,auferas  unitatem/emper  fit  impar  compofitus,& 
talis  qui  nouenario  etiam  numeretur» 

Sic  etiam  impares  incompofiti  modos  habent  fimile^qoibus 
producatur,ot  fi  i pariter  pari,cutus  prima  figura  fuerit  z.aut  8 
auferas  unitatem.femper  nt  impar  incompofitus» 

Sic  omnis  numerus  diametralisabicda  unitare,relinquit  im 
parem  incompofitum» 

TDenumeriscompofitis  in  genere» 

Numeri  compofiti  ,aut  funt  quadrati,aut  non  quadrati» 
Numeri  no  quadrati,aut  funt  diametraT^aut  no  diametrales 
Vt  autem  uideas,quo  confilio  nOmeTos  copofitosficdiftinxc 
yfmalia  inftitua  numerorum  copofitor  u diftindiione.  Videlicet 

d Nume 


. X MlCHAELIf  STIFBtrr 

Numeri  com  potiti.au  t fune  pure  fuperfidales,aut  folid/  • 
Purefuperficiales  fune,  qui  folidi  efle  non  poliunt, ut  funtnu 
meri,quiuel  ab  un^folo  numero  numerantur ,uel  i duobus  fo» 
lummodo  incompotitis.ExempIa  primi  funt, 4.9.1  j-.&c.  Ex* 
empla  fecundi  funt  6.  i o.  14. 1 5-.  z 1 . Qic, 

Solidi  funt,  qui  ita  funt  iuperfidales,  ut  etiam  (olidorum  fi* 
guras  orthogonaIiterrecipianr,uidelicet  fecundum  trinam  di* 
menfionem.ut  funt  numeri , qui  uel  i duobus  iolummodo  nu* 
meris  numerantur ,uno  incopofito  & altero  compofito , uel  qui 
i pluribus  quim  duobus  numeris  numerantur . Exempla  primi 
8.  Z7. 1 z j-  &c.  Exempla  iecundi  1 z.  1 <5. 1 s . zo.4 5,7 j-  &c. 

Quia  autem  in  Progrefsionu  Geometricarum  tradatione.uf 
deo  efle  locum, ubi  rede  & cpmode  dici  pofsit,quicquid  dicenda 
fijeric  de  foliditate  numerorum . Et  in  tradatione  Progrefsio* 
num  Arithmeticarum , locus  eft,ubi  de  Polygonalibus  & Pyra-r 
midalibus  dicere  commode  pofcim  quantum  fufiicit  * Nihil  ali* 
ud  reflat  hoc  loco, quim  ut  de  compotitis  numeris  dicam,quatc 
nus  funt  quadrangulares  orthogonaliter , uidelicet  aut  quadra- 
te , aut  aliter  .ut  funt  altera  parte  longiores,ticut  hae  duae  figurae 
faris  indicant» 


1 1 I 

1 

1 

1 1 

1 

1 

III 

1 1 1 

1 1 > 

1 

1 1 1 

1 

1 1 1 

1 

1 1 

r 

1 

• 

1 1 

1 1 

j 

■ * 

1 1 

1 

1 1 

i 1 1 

1 1 1 1 1 1 

1 1 1 1 1 

I 1 • 

I 

1 

Arithmeticae  Lib,  i*  14 

Eos  etiam  numeros, qui  altera  parte  longiores  iunt,hoc  loco 
negligo,tanqua  parum  utiles}nifi  regula  quadam  longitudine 
latitudini  conferant.ut  diametrales  numeri,qui  certas  proportio 
nes  ftatuunt  inter  luam  latitudinem  Si  longitudinem . De  dia- 
metralibus  ergo  numeris  atcp  quadratis>hocloco  dicam, eo  q> 
regulares  fuperficies  habere  uideantar. 

rDe  quadratis  numeris, 

QVadra tus  numerus, eft  qui  partem  habet  al/quotam,  i le 
ipfa  denomina  tam,ut  7 eft  fcptima  parsde^.utuides  ex 
figura  quadrata  paulo  fuperius  polita.  Aequat  enim  illa,  ex  hae 
ratione, longitudinem  latitudini. 

Quadratorum  numerorum  uliis  infinitus  eft,uf  ex  rjs  intelli • 
ges,quae  de  irrationalibus  numeris  Si  de  Algebra  dicam, Suffi- 
ciant ergo  harc  pauca , hoc  loco  pro  multis, 

> Primo,  Notu  eft  unuqueqj  numer u ex  fc  coponere  quadratu, 
at  7 (epties  faciant  4?.ut  indicat  figura  quadrati  polita. 

Secundo,  Omnisnumerusquadratus,multiplicatus  in  qua- 
dratum.quadratum  numerum  componit, 

T ertio.  Numeri  quadratis  fimiles,dum  inter  (e  multiplican# 
tur,quadratum  numerumcomponunt. 

Dicutur  aute  numeri  duo,  quadratis  fimiles, inter  $s  mediat 
numerus, diuides  proportione  eorS  in  duas  ^pportioes  aequales, 
cil  tame  ipfi  no  fint  quadratiJHoc  aut  quadratis  peculiare  eft, ut 
inter  quofcucp  duos, mediet  numerus  ,pportionaIiter,Et  impof 
fibile  eft, ut  inter  numerO  quadra  tfi,Si  numera  non  quadratu,  nu 
merus  cadat,qui  pratditfto  modo  mediet,id  eft  ,,pportione  extrc 
mora  aequaliter  diuidat.Sic  aut  in  Cie  ni  tur  medias  numerus,  feu 
mediu  «pportionale.Numeros  ipfos  (fiuefint  quadrati  fiue  qua 
dratis  fimiles)  interit  multiplica  ,8i  radix  ,pdu<fti  erit  numerus 
medias  que  qrebas.  Ex  his  patet, q»  nullus  numerus  folitarie  po 
fitus,uocat  fimilis  quadrato,fed  p relatione  duoru  numerora  in- 
ter fe,uocant  ipfi  quadratis  fimiles,aut  difsimiles.Similes  quid?, 
fi  ad  fimilitudine  quadra  tor  u habuerint  mediu  ^portionale  Sic, 

d % Produ 


Michaelis  Stipilii 

Producuntur  autem  numeri, fimiles  quadratis , ex  duobusnu 
ineris  quadratis,multiplicatis  per  aliquem  numerum  »qui  non  fit 

auadra  tus, ut  4 di  9. multiplicati  per  .x  faciunt  8 di  18. quadratis 
miles.Sic  multiplicati  per  3.  faciunt  1 1 di  27.  fimiles  quadra- 
tis &c.  Habent  autem  numeri  quadratis  fimiles  ufum  magnum 
in  dedmo  Euclidis,imd  in  omnibusirrationalium  numerorum 
di  linearum  tracftationibus,ut  fuo  loco  uidebimus* 

Impofsibile  cft,ut  quadratus  numerus  producatur  ex  mul  tlm 
plicatione  quadrati  in  non  quadraturo . Sicut  impofsibibile  eft 
ex  additione  paris  ad  imparem  fieri  parem  , 

Impofsibileeft,numerum  efife  qua dratum,cuius prima  figura 
luerit  z.  aut  3 .aut  7*aut  8 . 

Cum  numerus  i fronte  habuerit  rifrafub  numero  impari  ( ut 
hic  160,1 6000,  dict)  Impofsibileefteumeflequadratum. 

Cum  numerus  firerit, cuius  prima  figura  fit  j. impofsibile  eft 
eum  efle  quadratum, nili  fecunda  figura  eius  fit  2. 

. Reliqua  de  quadratis  pumeris  dicenda , dicam  in  alijs  locis, 
ubi  nccefle  erit, 

FDe  numeris  Diametralibus. 

Numerus  diametralis , eft  numerus  non  quadratus , habent 
partem  aliquantam,cuius  quadratum  fit  aequale  duobus  quadra 
tis, partium  aliquotarum  eius  aliquarum,  quae  partes  aliquotae 
inter  Ce  multiplicatae, totum  conftituant  diametralem , ut  12  eft 
numerus  diametralis,  cuius  latera  diametralia  funt  3 &4.eo  q» 
quadrata  eorum  addita  ad  fe/aciant  2 j-,id  eft  numerum  quadra 
tum.Diame  ter  ergo  eft  j\ 

Sic  in  omni  numero  diametrali  eft  diameter  pars  cius  ali# 
quanta, & latera  diametralia  funt  partes  eius  aliquotae. 

Licet  numerus  diametralis  nonnunquam  ualde  multas  habe 
at  partes aliquotas,tamen  praeter  duas,nullas  habebit  alias,quo 
rum  quadrata  iurufta,faciant  numerum  quadratum.Hoc  eft.  Di 
ametralis  numerus  non  poteft,nifiuno  fimplici  modo  efie  dia- 
Jnetralis,Seu,no  poteft  habere  plura  latera  diametralia  duobus. 

Si  fuerit 


•i*  3$«  4 1* 


'Arithmeticae  Lib.  V if 

Si  fuerit  numerus  diametralis^ieceflfe  efhut  latera , eius  dia# 
metra  lia  fint  fub  proportione  aliqua  eaium  quae  bis  duobus  or* 
dinibus  fignantur. 

FPrimus  ordo. 

- , - T7«  6 11*  77?* 

FSecundusordo. 

• i*  3 fl*  4 r§«  s It-  6 H*  i H*  &c* 

Si  iam  habere  uelis  numerum  diametralem,  recipe  terminfl 
aliquem  ex  ordinibus  diis , quemcuncg  uolucris,  farito<$  ex  eo 
unam  Minutiam,tunc  numerator  oftendet  tibi  latus  diametra- 
le maius. Denominator  uero  latus  diametrale  minus  . Duo 
itaqp  numeri  illi  inter  fe  multiplicati , fernper  faciunt  numerum 
diametralem.Et  quia  proportio  laterum  manet,  dum  numero 
quocuncg  multiplicantur dacile  uides,  ut  ex  uno  diametrali  face 
re  pofsis  infinitos  diametrales.Patet  etiam  ex  his,quod  diame# 
tralis  numerus, multi plica  tus  per  numerum  quadratum,  neccl# 
firio  producit  diametralem. 

V ides  & hoc,ut  ordo  utercp  progrediatur  in  infinitum,  & mo 
dus  progrediendi  facilior  fit,quim  ut  uerbis  egeat.NuIla  autem 
proportio  Iareram  diametralium  obmittitur,  quemadmodum 
in  Progrefsione  na  turaKnumerorn, nullus  obmi  ttiur  numerus. 
Sunt  hate  certe  admirationedigna.Deinde magnum  8C  iucun# 
dum  ufum  habent  in  Geometricis. 

Habes  itaqp  Cut  repetam)  modum  producendi  latera  diam»* 
tralia,fub  infinitis  proportionibus,quas  tibi  (ubminiftrantordi 
nes  illi,  ( ut  ex  i }.  fit  f .habes  itacg  latera  duo,uidelicet  maius  4. 
& minus  3 . ) & cum  uterq*  ordinum  infinitas  proportiones  cora 
plicet , cum  fine  flhe  utercp  progrediatur , nihilominus  tamen 
quaelibet  etiam  proportio  complicat  infinitum  numerum  late# 
rum.  Ex  lateribus  autem  duobus  diametraIibus(utdixipaulo 
fuperius)  componitur  diametralis  numerus. Item  per  latera  dia 
metralia  conftiruirur  etia  diameter  numeri  diametralis.Quod* 
jibet  enim  multiplicatur  in  Ce,&  quadrata  iila  duo  (duorum  late 

d 3 rum 


\\  .1  Michaelis  Stifelm 

rum)  adduntur. fitcg  ita  ex  duobus  quadraris  additis,  unu  qua* 
dratum,cuiusradtxquadrataeft  diameter  numeri  diamecralis. 

Eft  8i  hoc  mirabile,ut  fub  infinitis  infinitatibus , diametraliu 
numero ru  conftituendoru  (ut  iam  fuperius  oftendi)  nullus  inue 
niatur  numerus  diametraUs.cuius  prima  figura  poftit  efle  alia 
quim  z. aut  8.  aut  o. 

Omnes  autem  numeri  diametrales  continentur  fub  fpecic 
tertia  numerorum  parium.Hoccft,  omnes  diametrales  nume- 
ri funt  pariter  impariter'^  pares. 

- Impofsibile  eft  unum  numerum  diametra!em,babere  dia  me* 
trosplures,uni.Sicutimpoisibilceftunum  numerum  quadra- 
tum,habere  radices  auadratas  plures,unl. 

Pofsibile  autem  elt,unam  diametrum,  efle  pluriu  diametralit 
numeror  u diame tr u, ut  (acis  oft enditur  hac  figura  fequenti* 


i 


- 


Arithmhtic**  Li*«  U' 

Maior  numerus  diametralis  fadt  *oz8 . Minor  facit  i yoo* 

Reliqua  fatis  indicat  ipfa  figura, uidelicet  ut  6;  fit  communis  U* 
triufcp  numeri  diametraUs,diameter  8Cc. 

Si  autem  i me  petas  regulam, iudicadi  de  fingulis  numeris,ge 
neralem, qua  de  quolibet  uidelicet  numero  fcire  liceat , an  fit  dia 
metraliSjUel  non  diametralis.  Ego  tibi  breuius  hanc  rem  non  pol 
fum  oftendcre^  at  numeri  propoflti  partes  aliquotas  omnes  » 0 
quaeras(ut iuperius docui)easq? inuetas ita difponas.ut cuilibet 
partium  ex  minoribus , ad/uda  fit  ea  pars  ex  maioribus.quae  cd  ^ 
ea  totum  illum  numerum  componat  propoGtu , atcp  ita  quasli-  Jj* 

bet  duas  partes  examines,utrum  diametralium  laterum  condi- 
tionem  habeant,  an  ne  Sic. 

V t uolo  fcire.utr om  numerus  ille  3^o.fit  diametralis,  uel  non  ^ mq- l,' 

diametralis.Sic  difpono  partes  eius  aliquotas  oes  inucntas. 


* J 

I80 

i 

no 

4 

90 

T 

7» 

ip 

n 

ir 

18 

3« 

3° 

»4 

zo  1 

6 

6o 


8 

45- 


9 

40 


Binas  igitur  & binas  examino.Scflicet;[Jj.non  iuntdiametra 
lia.Necp 4.funt diametralia latera.Necp \ ‘.Necp \ %>  Sed 4?.ifi 
uenio  efle  latera  diametralia .Na  quadrata  eorum,  uidelicet  8 1. 
& 1 6oo.fadunt  (fi addantur)  1 68 1 numerum  quadratum,cuius 
radix  quadrata  facit  4 1 .diametrum  uidelicet  huius  numeri  3 60* 
Ergo  3 6o.eft  numerus  diametralis . Vel  fic  exploro . Maiorem 
partem  inter  combinatas  diuido  per  minorem,&  uideo  an  Quo 
dens  contineatur  in  allero  ordinum  quos  iuperius  pofui  > ut  40* 
per  9 .facit  4 f . Quotientem.uidclicet  quartum  primiordinis. 

Notum  eft»ut  ad  partem  minorem  inoematur  fua  pars  ma* 
<or,  uidelicet  diuifionc  totius  per  partem  minorem , ut  3 60  per 
p.  fadt  180  &c» 


De 


MICHABLIS  STIPBLir 

rDenumerateonc  circulari. 

NVmcrationcm  circularem  fcu  reciprocara,uoIo  huic  par~ 
ti  connedere.tanquam  Epilogu  quedam,  eo  quod  hoc  ex 
erdtium  reuocet  omnesfpecies  numerorum  parium  Qt  impari 
um.Rationem  autem  appellationis  huius  flatis  intelliges  ex  ip» 
fa  numeratione* 

Recipitur  autem  pro  numeratione  hutolmodi,ffgura  quadra: 
ce  ccUuIata,8i  numerantur  cellulae  figurae  illius, quae  funt  in  ex* 
tremo  amb!tu,ut  funt,quas  uides  eflefignatas  in  «gura  fequeti* 

Et  cum  figura  fit  quadrata,  im- _____ 

pofsibile  eft.ut  numerus  cellularu,  o|o|o|o|o|o|o|o 

ambitus  extremi  fic  numerus  im*  j j j r j 0 

par,  aut  fitpar  impariter  * Etdu  la*  — — p-r — j — j — j — 

tus  unum  ngarae  quadratae,  habue-  5L — L_ 

tic  cellulas  fub  numero  pari,  impof*  ° 1 II 

fibile  eft  numerum  cellularum  extre  oj 1 | | | I [o 

mi  ambituseffe  de  numero  pari  pa  o|  t I II  11° 

riter.Neceffe  eft  igitur.ut  fit  de  nu-  0 1 i i t i t 1 0 

«nero impariter paritercp pari. Ita*  — ■ , ~ 

" numerus cellularum  ambitus « °l°  o|°|o|o.l°l£.. 

tremi,  tunc  poreft  elTe  par  pariter, 

quando  latus unum.figurae  illius,habueritceiru!asde  numero  in» 
pari. No  autem  iemper  eft  ambitus  de  numero  pariter  pari, quo 
ties  la  tus  unum  figura:  fuerit  de  numero  impari,fed  folum  duri» 
latus  habuerit  numerum  imparem  huius  fequentis  Progrefsio- 
nis.cuius  differentiae  faciunt  Progrefsionem  Geometricam  pa- 
riuro  pariter  numerorum*. 

3*  9 • 'T,  3 3*  *r* 

Cellulae  ambitusuniufcuiufcg.numerari  poflanr,  per  dimidia 
numerum  cellularum, eiufderfi  ambitus.  Loquor  autem  ( ut  no- 
fti)  de  ambitu  extremo.figurae  cellulane  quadrate.  Item  de  nu- 
meratione circulari  loquor, quae  fic  fit  ,ut  fequitur. 

Numera 


O | O | O | O | O | 0 | o 

O 

ol  1 1 II 

O 

o lllll 

O 

o|  1 1 

|o 

ol  1 1 1 1 1 

|o 

ol  1 II  1 1 

|o 

ol  1 | 1 1 1 

|o 

o|o  o o|o | o | o 

O 

rr 


A I Q 

1 c 

d| 

m| 

1 

E 

L 

1 

F 

;k|  i 

H| 

G 

Arithmeticae  Ljb,*j 

FNumeratio  circularis.. 

Incipe  numerare  iqpacunqp  cellula  ambitus  libuerit.ut  incU 
pe  i cellula  fignata  litera  a. Numerabis  autem  fex  cellulas  imme 
ala  te  fequentcs,id  eft  ab  a uf<$  ad  f.  Senario  au 
(em  numcrabis.eo  quod  ambitus  habeat  i z cel* 
lulas,&6  (it  dimidium  de  rz.Pones  autem  cal- 
culum ad  cellulam  finitae  numeratlonls}ld  eft:  ad 
cellulam  f.  Deinde  una  cellula  obmifta  , incipe 
i fequentl  Iterum  numerare,donec  compleas  Ce 
narium,  fciltcet  obmifta  cellula  lignata  litera  g- 
Incipe  numerare  i cellula  h .tunc  complebis  fenarium  tn  cellula 
a,&C  illic  repone  calculum  fecundum.  Tertio,  obmifta  cellula  bt 
(femper  enim  fle  una  cellulam  obmittes)  incipe  numerare  i c el* 
lula  c,tunc  perueniet  calculus  tertius  in  cellulam  h . Et  fledein* 
ceps  numerabis,donec  omnes  cellula?  repleantur ,una  folummo 
do  excepta.Nam  cum  hac  lege  flat  numerat  io,  ut  i nulla  cellula 
pofsisincipere  nlfl  fic  uacua,necefle  erit,ut  tandem  una  remane 
at  uacua.Perueniet  autem  quartus  calculus  ad  cellulam  c.Quln 
fus  ad  cellula  k.  Sextus  ad  cellulam  e.  Septimus  ad  h.  Odauu* 
ad  cellulam  c.Nonus  ad  cellulam  b. Decimus  ad  cellulam  i,  Vn 
decimus  ad  cellulam  n.Et  cellula  l,  manet  ftne  calculo, id  eft,ua 
cua  maner. 

Acqjita  per  hacc  habes  modum  numerationis  circularisiatis 
clare  traditum* 

Ambitum  quemlibet  habentem  cellulas  fub  numero  pari* 
fer  pari,  numerat  non  folum  dimidius  numerus  cellularum,  cir* 
cularirer.fed  quilibet  numcrorumparfum,qui  continetur  fub  il- 
lo numero  dimidio.  Vt  fi  ambitus  figurae  quadratae  habeat  cellu 
Ias  5 x.Cut  eft  ambitus  quadrati,  habentis  cellulas  in  unoquoq? 
latere  nouem)  numerant  ambitum  illum  Anguli  numeri  Progref 
fionishuius  parium  numerorum,  1.4.6.8.10,11.14.  i6.Seruit 
autem  huic  Progrefsioni alia  Progrefsio.uidelicet,  r.y.9. 13.17, 
quanda  16  numerat,  tunc  poft  quamlibet  nu- 

c metatione 


Mfchaeljs 


SriPEti 


I 


merationem  obmimtur  i cellula . Quando  autem  numerat  14; 
tuncobmittuntur  femper  ycellular.Quandouero  12  numeras 
ambitum , tunc  obmfttuntur  iempcr  cellulae  9.  Et  fle  de  alijs,pn> 
cedendo  in  una  Progrefsione  iiniftrorftim,  QC  io  altera  dex* 
Crorfum. 

Ambitura  habentem  cellulas  denumero  impariter  pariter 'cg 
par/ , non  numerant  ffnguli  numeri  pares , qu/  continentur  fub 
dimidio  numero  cellularum  ambitus  • Et  hic  uide  mirabilem  na 
(uram  numerorum» 

Quando  Progreisio  /Ua  parium  numerorum  habuerit  termi- 
rios  de  numero  impari  incompofito  ( de  pari  incompofito  hic 
pulchre  nihil  dicitur)  tunc  medius  terminus  non  numerat  am« 
bi  tum  circulariter,reliqui  ucro  ftnguli  numerant. 

Exemplum.  Vt  ii  lacus  figurae  quadratae  habeat  8 cellulas, ha 
beb/c  ambitus  z 8. cuius  dimidium  eft  14» Sic  autem  itat  Progref 
fio  parium  ufep  ad  14. 

z.  4.  6.  8»  10,  iz . 1 4. 

Sunt  autem  termini  7 * Et  eft  7.  numerus  impar  incompofi- 
tus. Igitur  medius  eorumuidelicets.non  numerat  28.  circulas' 
riter.Reliqui  uero  numerant . 

Qjjandoucro  Progrefs/o  illa  parium  numerorum  habuerit 
terminos  de  numero  compofito  , tunc  qutrre  omnes  partes* 
compofitionis  eius  aliquotas  impares  incompoftras , & diui- 
de  fecundum  fingulas  earum,  ordinem  terminorum, & inueniet 
cuiuslibet  partis , medium  parem , non  pofle  numerare  ambitu, 
Vt  hunc  ordinem 

, *•  8.  10.  iz.  14«  16.  18 . 

Sicdiuide. 


1 z,  4.  6,  | 8.  10.  iz.  | 14,  16 . i8.  j 

« 

Hic  uides,  ut  necp  4,neqj  1 o.neqj  1 f .pofsit  numerare  3 6,  circi^ 

lariter. 


i 


Arithmeticae  Lib*  4 i.  v£ 

latftcr  .Reliquos  autem  uides  poflc,  Sic  4 non  numerat  1 z.fimi* 
li  ratione.  ^ 

ritem  hunc  ordinem 

a*  4*  4.  8*  10.  iz*  14.  1 <?.  18*  zcr* 

Sic  diuide. 


| x«  4.  d.  8.  10.  1 ix.  14.  itf.  18.  zo. 

Hic  uides,ut  necg  <S  necp » <5. numeret  40.  Reliquos  autem  odo 
uides  polle  numerare  4o.circulariter. 

ritem  hunc  ordinem* 

a*  4*  6,  8«  40«  iz.  14.  16.  18.  zo«  zz.  14.  z6.  18.  3 a.  , 
Diuide  primo  fic. 


j 1, 4.  6.  | 8-  10.  1 z.  | 14-  r6.  18. } zo.  z».  Z4,|  z6,  z8t  30. 
(Secundo  fic  eum  diuide. 

1 1.4.6.  8.  10. | iz.  14.  16.  18.  zo.  | zz.  Z4«  z 6.  z8.  30. | f 


Vides  hic  ut  60  non  pofsint  numerare  muneri  hi,  . . 

4/  io.  1 6,  zz.  z8.  6.  26. 

Reliqui  odo  numerant  * o.  circularirer  * uidelicet. 
a.  8.  iz.  14.  18.  zo.-  24,  30. 

Etficdealijs. 

Patet  ex  his.cur  omnes  termini  Progrefsionis  parium, cuius 
extremus  eft  pariter  par.numeret  duplarem  illius  pariter  paris, 
«lidelicet  numerus  terminoru  femper  eft  de  pariter  pari, qui  nut* 
iam  partem  habent  aliquotam  imparem  incompofitam. 

FDato  numero  ce!lularuambitus,inuenirelatua 
quadrati , cuius  eft  ille  ambitus . 

Diuide  ambitu  per  4.&  ad  quotientem  adde  unam  uniratem* 

V Ambitum  quadrati  inuenireex  latere  quadrati. 

Subtrahe  unitatem  de  numero  lateris  unius>&  multiplica  re» 
fiduum  per  4. 


t a-  De 


Arithmeticas  Ltb.  ip 

Cum  8 numerat  1 8, obmittuntur  tres  celiular.poft  quamlibet 
numerationem.  Et  cura  6 numerat  is.  intercalatur  7 .Et  dom 
2 numerat,  1 y eft  intercalari  s.Nam  fleut  4 obmittitur,ut  no  nu- 
jmerer.ita  1 1 obmittitar^ut  non  intercaletur. 

Satis  eft  per  haec  Indicata  di  explicata  circularis  numeratio* 

De  Progrefsionibus  Arithmeticis.  Cap,  m, 

V 1 T prarcedentiscapitistratftatio  de  numerisiQ 
fe,&  in  fuis  partibus  confideratis.  Sequentia  uero 
jj  capita , erunt  de  admirandis  numerorum  uicibus, 
id  eft.de  Progrefsioibus  feu  ordinibus  numerorfl. 
Inter  ipecies  autem  innumerabiles  progrefsio- 
num,duae  funt  prae  alrjs  utiles,atcp  in  frequentiori  ufu  ueriantut 
• nide licet  fpecies  Arithmeticarum  Progrefsionum , & Geo  me» 
Cricarum.De  Arithmeticis  prius  dicam. 

Arithmetica  Progrefsio , eft  fucceisio  numerorum  progredi 
entium  fecundum  aequales  differentias,  ut  hic  uides, 

4*  4»  4»  4*  4»  4. 

3*  7.  in  ly»  19,  »3.  »7.  &c* 

Hoc  autem  uide,  ut  in  qualibet  Progrefsione  Arithmetica, 
differentia  communis.addita  termino  excremo  .cStinuer  /piam 
Progrefsionem.Et  hate  eft  regula  progrediendi  Arithmetice,  ut 
his  duobus  terminis  pofitis  3 . 7,  addo  differentiam  eorum  roa* 
Iori>(id  eft  4 ad  7)tunc  fit  terminusdeb/te/equens>uidelicet  1 u 
Iterum  addo  4 ad  1 1 .fiunt  1 y.  Et  fic  deinceps , in  hac  &!  in  alijs, 
qu/bufcunqj  Progrefsionibus  Arithmeticis.cotinuabis  eas. 

Videmur  forte  haec  inutilia  effe , ut  funt  facilia . Sed  ex  Geo- 
metricis Progreisionibus  oftendam  iuo  Ioco,quim  fint  haec  uti" 
lia  atcp/ucunda. 

F Regula  qua  uniufcuiafq^  Progrefsionis  Arithmeticae 
termini  in  unam  iummarn  redigantur. 

Addeterminos.Ptogreisionis  Arithmeticar,extremos,ad  Ar» 

« 3 8 


MichAilij  Sti»»h»:A 

§1  aggregati  partem  dimidiam  multiplica  per  numerum  loco# 
tum  > tunc  proueniec  (limma  omnium  terminorum  Progrefsio 
ais  difpoficae,  ut 

j.  6 . 9.  i*«  »«♦  *»•  M* 

3 ad  inficit  27.  Huius  dimidium  factt  quod  multiplica  per 
8 (eo quod fint termini oAo»(oi  Ioca8.  ) facit  io8,iummai» 
Progrefsionis  illius. 

Sufficit  haec  regula  eriam  pro  inuentione  arearum  Polygo# 
tialium  fuperficierum,  talium  ^.quales  Boetius  ponit,  uidelicet 
trigonalium  » pentagonalium , hexagonalium  fuperficierum* 

rSic  operare» 

Primo  refolue  tuam  Polygonakm  aream  infuam  Progrcfsf- 
anem  Arithmeticam  (quaelibet  eriam  earum  conftat  ex  rermi# 
Iris , Progrefsionis  alicuius  Arithmeticae  » firaul  collc&is  ) hoc 
modo» 

Denumero  angulorum  (feu  laterum)  iubtrahe  unftatem, 
tunc  unitas  erit  terminus  primus  illius  Progrcisionis,fii  refidu» 
tim illius  iiibtra  Aionfs ( id  cft  numerus  unitate  minor, quin» 
fttnumetus  angulorum  tuae  Polygoniae ) erit  terminus  fecun- 
dus. Poteris  iam  continuare  tuam  Progrefsionem  per  quot  ter# 
minos  liberit . Sed  uide  quotpunAa  habeat  unum  latus  tuae  P» 
lygotnae.Nam  tot  terminos  conftituendifuntin  illa  tuaPro- 
grefsione,  quot  punAa  habuerit  tua  Polygonia  in  uno  latere* 
Conftituta  uero,fecundum  haec, tua  Progrefsione , utereregu- 
iaiuperiusiamdata,  qua  ex  omnibus  rermfnis,  unamiummi 
lacias  ♦ Et  ea  (limma  erit  area  tuae  Polygoniae* 

rExemplum* 

Sit  hexagonus  Arithmeticus  , cuius  ratus  imum  habeat 
eunAa  k>. uthicuides . Subtraho  1 i<J.(eoquod  fit  hexago- 
nus) remanet  x»  Erunt  ergp  duo  priores  termini  Progrefsio- 

aisfaoi 

» *" 


Aritrmbticab  tl>*  I. 


ti- 


nis faciendae  , duo  hi,  i . r • 
Sic  ergo  ftabit  Progrcfcio 
fienda* 

♦ ' * 

»•  f.  9.  *3*  *7.  *l« 

*r*  *?•  33*  37. 

Hos  decem  terminos  i3 
collige  in  unam  fummam  , 
per  regulam  fuperius  data, 
tuncinuenies  190.  Et  tanta 
cft  area  huius  hexagoni  que 
eofui.  Etficin  alijs  operae 
ocris  fimiliter* 

* • . 1 

*,  • . . : ! ■'.* ' j) > * y 


8 e, 

oeo°o°o 

00  000 
000000 
0000  000 
0900000® 

o 0 0 o o o o_  o o_ 


Q _ 

ww_oooo__ 
00000  o O O a 

OOOOO  OOO 
vo  o o o 00  o 

WoW 
VoV  • 
V 


; * Tl/J 


, « 


•O  I 


-r-1  k- , 


rinterc/f*  ProgteGiones, 
ut  hac  funt. 

J - * ’ ' • 

1«  a»  1,  a»  1»  t ». 

T*  7«  «.  10.  Ii;  I4'&* 

Item* 

* * .1  * i ; 1 ''".irft**4  ‘ ' *;v  » , vt 

^ 4* 

Mi  »3*  17*  »7«  »3*  *;♦  »3«  3 *♦ 

• . •;  Item 


VCVe» 


MfCHAlLI*  STlFBtlf 

* ritembarc. 

6*  j.  J«  - 


6. 


Ij-.  18.  c.  »4*  *T»  3 3*  3^*  41.  &Ci- 

non  funt  Progrefsiones  Arithmetfcat  propf  ie.Habent  tamen  fu 
os  udis  (ut  uidebimus  in  capite  de  Proportionibus ) licet  iu  Cnt 
interdfar. 

rDeProgrefsione  naturali  numerorum. 

NAturalis  numerorum  Progrefsio.eft  Progrefsio  Arithme 
rica  progrediens  abunitate  per  binarium  adreliquos  nu# 
meros- fecundum  differentiam  unitatis.ut 

i.  r»  i.  r*  i.  i*  i»  i*  t* 

l.  *.  3 • 4*  JV  T*  8.  10.  ac. 

Notum  autem  eft  quim  in  frequenti  ufufitharc  Progreisio^a* 
pud  omnes  homines^tiam  apud  pueros  Sic. 

Et  ficutomnia  folemus  numerare  hac  Progrefsione,  ita  etiS 
per  eam  numeramus  proportiones  proportionalitatum,in  qua 
re  mirifice  feruit  Algebrar.  „ ^ _ 

LongumautemeiTet  nimis,recen(creu(us  eius  uarfos.  Et  ne 
mo  eft  qui  hoc  ditis  praftare  poilet . Exempla  autem  udis  eius,, 
frequenter  occurrent  nobis  in  hacmea  Arithmetica,utdealijs: 
negorqs  taceam. Eft  autem  Progrefsioilla  naturalis  numero- 
rum,fons  & origo  omnium  fpeculationum  Arithmeticaru  &c. 

Huius  Progreftionis  termini  nouero  priores,finguIi  una  figo 
ra  fcribuntur,&  nonaginta fequentes  binis  figuris  fcribuntur.de 
inde  noningenti  fequentes  termin/,tribus  fcribuntur  figuris , Et 
fic  deinceps  iuxta  hanc  Progrefsipnem  Geometricam.. 

9.  90.  900.  90 no*  90000.  6(Ck 

TDe  Progrefsionenaturalinumerorum  parium. 

Si  de  Progrefsione  numerorum  naturali  deleantur  terminf 
locorum  imparium  (ut  primus>tertiusxquintus  &c. ) tunc  teli» 
quitur  Progrefsio  numerorum  parium.ut  hic  uides.  4 ; 

2.  4,  £?  8*  10*-  l*.  14«; *. 

f Habet  haec  Progrefsio  ufum  egregium  in  Geometria.  Re* 

fpondee 


Arithmeticas  Lib,  r. 


21 


fpondct  autem  Ordini  Polygoniarum  Gc,  ut  facile  ex  hac  Pro» 
grefsione  dicere  pofsis.de  qualibet  Polygonia, quot  angulis  re» 
rtis,ualeant  omnes  anguli  eius.  V t ( exempli  gratia)  io  eft  quin 
tus  terminus  Progrefsionis  huius , et  Heptagonus  eft  fub  quin- 
ta fpecie  Polygoniarum  Jtaqp  feptem  anguli,cuiuslibet  hepta» 
gon/,ualent  angulis  re&is  decem.  Sic  omnes  anguli  cuiuslibet 
Hexagoni.ualent  angulis  redis  odo . Sic  enim  8 . eft  terminus 


quartus  Progrefsionis  parium,quemadmodum  Hexagonalium 
ipec' 


ipedes, quarta  eft  interfpecies  Polygonalium.EtGcdealijs, 

VDc  Progrefsione  naturali  numerorum  imparium. 

Side  Progreisionenaturali  numerorum, deleantur  numeri lo 
eorum  parium  (utiecundus.quartus,fextus,Sic.)tunc  relinqui» 
tur  Progrefsio  naturalis  numerorum  imparium  ,ut  hic  uides. 
i.  3*  S*  7.  9»  ii*  n*  ir.  17.  19.  Sic. 

Hacc  Progrefsio  numeroru  imparium,omnescompIicatPro 
grefsiones  Gcomecricas,numerorum  integrorum,  quas  ab  uni» 
tate  incipiunt.Si  excipiuntur  folummodo  radices  ProgreisionS 
. <d  eft.numeri  fecundo  loco  ponendi.  , 

Quadratos  em  numeros  omnes  coprathedit  hoc  modo.Duo  iu&*x**  tb<*jtt***> 
termini  primi.id  eft,  1 Si  3 faciunt  quadratum  binarij.  Tres  ter» 
mini  primi, id  eft  1. 3. 5-. faciunt  quadratu  ternarrj.  Quatuor  ter-  ^ 
mini  primi,  faciunt  quadratum  quaternarij  ,ut  1,3, 5-, 7.  faciunt 
i6.Etftc  deinceps. 

Necefte  aut  eft  in  qualibet  Progreft/one  Geometrica  ab  uni 
tate  incipicnte,in  tertio  loco  poni  quadra  tum, deinde  in  quinto, 
ieptimo,nono  Sic.  femper  inuenies  quadratos,ut  non  Gc  necefle^ 2? 
dicere  de  numeris  illorum  locorum-  rc 

Cubicos  numeros  GnguIos,etiamcompr«ehedit,  hoc  modo ,+********^\» 

V nitas  reputatur  pro  primo  cubo  • Deinde  duo  termini  iequen 

tes.id  eft, 3 8 i j-. faciunt  Cubum  binarij.id eft  8.  Deinde  tres  fe» ^ 

quentes  termini,uidelicet  7.9. 1 1 .faciunt  Cubum  ternarij . Ddn  ^ o* 

de  quatuor  termini  fequentes  13.  iy.  17. 19, faciunt  Cubum  qua  -z 

ternarij, Et  Gc  ddnceps.Necefle  eft  autem  in  omni  Progrefsioe  c?  wr  JS&L 


I- 


Michaelis  Stifelii 


Geometrica , ab  unitate  incipiente , in  quarto  loco  poni  Cubi!, 
& deinde  in  feptimo,  decimo,  decimotertio  fide.  femperinue* 
nies  Cubum,  ut  non  fit  necefle  de  numeris  locorum  illorum 
dicere, 

Surdefolidum  numerum^d eff  fexti loci  numerum, Ttemtm 
decimijiedecimi  fide.  Sic  inucnies  comprarhcndi  in  prardi&a 
Progrefsionc.  Vnitas  reputatur  pro  primo  Surde folido.  De* 
inde  obmittitur  unus  terminus,  Sd  bis  duo  termini  iequentes 
faciunt Surdefolidum  binarij  ,ut  j\ 7. 9,  m. faciunt  3 z,  Dein* 
dc obmittuntur  tres  termini  fequentes  , uidelicct  13.  15*.  17, 
J5t  ter  tres  termini  fequetes , faciunt  Surdefolidum  ternarij , ut 
19.  ii,  »3.  2j-.  27.  29.  31,  33,  35-.  Faciunt 243, De 
inde  obmittuntur  termini  fex,  uidelicet  37.  39. 4 1.43, 45. 47, 
Et  quater  quatuor  termini  fcquentes  faciunt  1 0 24»id  eft  Surde- 
folidum quaternarij.Et  fic  deinceps. 

Numeri  autem  terminorum  obmittendorum  hac  Progrefs/a 
ne  repraefentantur,  cuius  differentias  funt  termini  Progrefs/o- 
nis  naturalis  numerorum . Et  eft  Progrcfsio  trigonalium  fuper 
■ > ficicrum,  quas  etiam  alios  ufus  habet. 

* ' 1*  3-  6»  10,  1 r*  21.  28,  3 6.  4f.fi dc. 

Item  ( ut  de  Cubis  denuo  dicam  ) fi  de  Progreisione  nume* 
rorum  imparium , obmifer/s  terminum  unum , dabunt  tibi  duo 
: * reliqui  Cubum  binarij . Cubum  ternarij  dabunt  tibi  tres  termi- 
ni , oroifsis  tribus  primis . Obmiisis  ucro  fex  primis,dabunt  ti- 
bi quatuor  termini  fequentes,Cubum  quaternarij.Et  fic  (eruit  il 
, Ia  Progrefsio  etiam  Cubis , uidelicet 


I.  3.  6.  10,  if,  21,  28.  8idC. 

Bfurdefolidum , id  eft,  numerum  ocftauiloci,  fic  inuenies, 
,(Suntetiam in quintodecimo,8duigefimo  fecundo  loco  nume- 
* ri  Biurdefolidi ) Vnitas  reputatur  pro  primo  Bfiirdefolido . De 
inde  obmittuntur  tres  termini,  id  eft  3.5-,  7,  Et  ex  iequentibus 
bis  duobus bisterminisCid  eft  otfto his 9. 1.1,13. 13, 17;  19,21,23 
colligitur  Bfurdefolidus  binarij.  Deinde  obmittuntur  termini 


■*p  f 1 


v*f 

M 


quin- 


%s 


ARrTHMtiTiCAB  LlB.  U 22 

quindecim,  Et  ex  fequentibus  terminis^er  tribus  ter^idef^ex 
jigintifeptem  terminis ) colligitur  Biurdelolidus  ternarij.Dein* 
de  obmittuntur  termini  42.  Etexiequentibus,quaterquatuor 
quater , terminis  colligitur  Bfurdefolidus  quaternarij.  Et  fle  de 
inceps  in  infinitum*  - 

Numeri  autem  terminorum  obmittendorum  hac  Progreftio 
ne  reprarientantur. 

3*  fy.  42*  90*  f6jv  tyft  420.  &C»  * 
Diffcrentire  faciunt  quadratos  triplicatos , quod  dico , ut  intefa 
ligas  rationem  huius  Progreisipnis,&modum  progrediendi, 

V Alia  ratio  Progrefsionis  huius  fle  habetur,  i 

3-  7*  9*  tf*  o-  17 • &c# 

I»  3,  6»  io«  iy.  ii»  28.  )6.  dic* 

u IJ.  4»»'  90,  I&S*  »7J.  4*o.  612. 

Vides  Progrefsioflem  priorem  efle  numerorum  imparium. Pc* 
Aeriorem  uero  elfe  trigonalium  fuperftcierum  . Si  iam  multi 
plicentur  termini  eorum  inter  fe , ita  ut  primus  terminus  unius 
Progrefsionis  multiplicetur  in  primum  terminum  alterius 
Progrefsionis , Et  fecundus  unius  in  lecundum  alterius , Et  fle 
deinceps , tunc  efficitur  Progrefsio  illa  prxdida  fer  uiensBfur 
defolidis  numeris  ♦ 

TDe  numeris  Polygonalibus , &• 
eorum  Progrefsionibusy 

Polygonal/um  nurrterorurnpaulo  fuperius  obiter  fada  eft 
mentio  • Euclides  autem  folummodo  tetragbnalium  numero 
rum  mentionem  facere  uoluit , eo  quod  illi  folummodo  reipon*1* 
deant  Geometricis  flguris , Trigonalesuero  numeri  & Pentas 
gonales,  Hexagonales , & reliquarum  fpecierum  Polygcna- 
ks  numeri.non  refpondent  Geometricis  figuris, id  quod  paucis 
hoc  loco  uolo  offendere  »■ 

€ %■  Tetrago- 


Michaelts 

Tetragonalis  numerus  fic  de 
pingitur , uel  ficut  fuperius  ui- 
difti  quadratum  depidum.  Re 
(pondetaute  Geometricis  qua 
dratis.  Nam  latus  Tctragoni- 
cum  in  fedudum , aream  pro 
ducit,  ficu  t hic  quocg  fleri  uides 
tot  to  <n  fe  multiplicata  faci- 
ant fOO, 


Stifbli  t 

0000  00  0009 
o o o o o o o o o o 

OOOOOOOO  0-0 

oooooooooo 
oooooooooo 
oooooooooo 
0 0 00-0  00000 
oooooooooo 
oooooooooo 
oooooooooo 

I • I 


Trigonalis  numerus  ita  de*- 
pingitur.  Vnde  fi  latus  unum 
faciat  i o. faciet  area  rj-.In  Geo 
metricis  autem  , fi  triangulus 
acquilaterus  habeat  latus  unum 
quod  faciat  i o. faciet  area  non 
plene  44 . Itacfj  non  reipondent 
Arithmetici  trigoni , trigonis 
Geometricis . In  Geometricis 
fic  habet  regula  triangulorum  „„ 
arquilaterorum  * Dimidium  unius  late- 
ris,multiplicaturinlineam  credam  i me 
dio  bafis>ad  oppofitum  angulum  ortho- 
gonaliter.Et hoc produdum  facit  aream 
, trianguli  acquilateri.  Ratio  regulae  huius 
fatis  offenditur  ex  his  figuris  fequenti* 
frus. 


o 

00 

000 

'dboo 

00000 

000000 

0000000 

00000000 

000000000 

oooooooooo 


Amthmbtic a.b  Lib,  r ♦ 


Scilicet  omnis  triangulus  arqufla' 
ferus  refoluitur  in  duos  orthogonii 
os.qui  conftituant  unum  quadrans 
gulum  redangulum  QCc, 

Pentagonalis  numwus  ita  depii} 
git.Vndc  fi  latus  unu  faciat  io  .faci- 
et area  pentagoni  itf*  In  Geometri 
cis  aut  fi  latus  petagoni  arqlaterifa 
ciat  i o. faciet  area  totius  pentagoni 
aliquanto  plus i7*Jraqpnorefpo 
dent  Arithmeticipentagoni  Geome 
tricis  pentagonis . Et  nihil  eft  quod 
contentiofi  contra  haec  dicant , Me? 
fano  folida  eft. 


ero 

) X)  o 


; #X 

...iit 


o°o  o o 
o o o o o - 
o o o o o o 
o o o o o o o 
oooooooo 
o o o o o O O O o 

0000000009 
0000000009 
0000000000 
0000000009 
0000090009 
0000000009 
00000 00009 
0000000000 
b o o o o o o.o  o 9 

0000000009 

Quaelibet  autem  Polygonia  ae<* 
quilatera,refoluitur  in  tot  triangtp 
los  orthogonios,  ut  numerus  iile 
orthgoniorum  duplos  fit  ad  nume 
rum  laterum  Polygoniae,  ut  uidea 
in  figura  hac  auadrata.  contineri 


hexagono  duodecim  flCc» 

f f Reg* 


tt  Michatli s Stieeli  r \ 

Regnla  ergo  Geometrica  efi:  ge« 
neralis,ut  dotf  a linea  i centro  figurae 
Polygonie»,  ad  medium  alicuius  la- 
terum eius,&  alia  linea  ab  eodem 
centro  ad  extremitatem  lateris  eiuii» 
dem.Figurato  autem  hoc  modo  or* 
thogonio.multiplicanrur  latera  eius 
duo  inter  fe,  quae  conrinent  angulo 
rertum  . Multiplicatur^  produdii 
illud  per  numerum  laterum  Polygo^ 
ni» , fcilicet  in  Pentagono  multipli- 
catur per  j- « In  Haxagono  per  6 , Et  fic  de  alijs  « Et  ratio  re 
gulae  huius  fatis  clara  eft  ex  figuris  illis  iuperius  pofiris. 

Hexagonus  Arithmeticus,  fi  unum  latus  fuerit  i o . totaa» 
rea  faciet  1 9 0 . At  Hexagonus  Geometricus , cuius  unum  latus- 
fuerit  1 o»  facit  tota  area  plus  aliquantum  quim  z 5-9, Et  fic  de  a *■ 
Itjs  Polygonrjs. 

Quemadmodum  uero  Progrelsio  imparium  numerorum » 
complicatquadratos  numeros  fingulos, ita  naturalis  Progref* 
fio  numerorum , complicat  trigonalisnumeros  fingulos . Sicetir 
amhaec  progrcfsto 

o 1«  > «o*  •*  13»  i€,  r?»  zz  &c. 

complicat  fingulos  numeros  Pentagonales.  Et  haec  fequensr 
Progrefsio^complicat  fingulos  numeros  hexogonales  eodem» 
modb*  1 

t»  r.  9,  13«  17«  z’ r»  Sic, 

Et  fic  de  al  qs  Progrefsionibus  Arithmeticis  numerorum  in  te  it 
grorum,  abunitate  incipientibus , per  quas  numeri  Polygono* 
les  Boeti),  optime  tractantur  proponuntur.] 

Quacuncp  enim  Progrefsione  tali  propofita  , produces  fem’ 
per  Polvgonalem  numerum,  ex  quibufcuncg  terminis  primif 
pofitae  Progrefsionis. 

Denominatio  Polygonalium .quos  fert  Progrefsio  pofftaL 

colligi. 


Arithmeticab  Lib.  i,  24 

<olI(gitiK,cx  duobus  terminis  prinus  additis , id  cft,ex  unitate  & 
termino  immediate  fequenti. 

Polygonalisnumerus,  fupcrflcialiterdefcriptus,  tot  habe* 
bit  in  uno  latere  punda , ex  quot  terminis  Progrefsionis  fuae,ip 
{e  colligitur. 

Et  uiciTsim.numerus  tuus  PptygonaJis.conftat  ex  tot  termf* 
siis  Progrefsionis  fuar,  quot  ip(e  in  uno  fuorum  laterum  pun* 
da  habet.  * * 

Si  autem  proponatur  numerus  Polygonalis , per  figuras  fu 
as  (criptus » & quarftio  fiat  de  eo , quot  uidelicet  terminos  com 
plicetdefua  progrefsione  (ut  hoc  numero  Pentagonali  propo- 
flro  176,)  Hac  utere  regula» 

* Numerum  propofitum  multiplica  per  differentiam  Progref 
fionistuac  dupIatam,produdo adde  unitatem  .Subtrahe dimi- 
dia tam  differentiam  tuae  Progrefsionis  i radice  quadrati  prae* 
didi  aggregati , Tunc  remanet  lemper  extremum  maius  tuqp 
Progrefsionis . Reliqua  patent  ex  didis  Iuperius* 

JTDe  numeris  Pyramidalibus  ,&  de 
Progrelsionibuseorum. 

Pyramidalium  Arithmeticalium  mentionem  nullam  facere 
voluit  Euclides , eo  quod  non  refpondeant  Geometricis  Pyra- 
midibus. Habent  etiam  numeri  Pyramidales  fuas  Progrefsi- 
pnes  ,ut. 

Ifta  eft  Pyramidalium  trigonalium  Progreisio,  quae  SC  alios 
tiliis  habet,  ut  partim  uidimus  iuperius,  &partim  inferius  uia 
debimus , praefertimin  tabula  extradionum  radicum  &c . 

a.  3.  4.  y.  tf.  7*  differentiae, 

f.  3*  io.  iy»  zf»  18»  8ic* 


^Pyramidalium  tetragonalium  Progrefsio. 

3.  y,  7,  9.  ii,  differentiae. 

4.  9»  i*»  XT*  i**  &c* 

Pyrami 


9 » 


itf. 


. <*  Michaelis  Stifelii 

rPyramidalium  pcntagonalium  Progrefsio. 

4,  7.  io.  1 3«  16,  differ  e tisr, 

1;  : r-  **.  JF*  yi.&c. 

Et  fic  de  alf>s  in  infinitum 

Pyramidalis  numerus  conftatex  tot  terminis  Progrefsionit 
fuac.quot  ipfe  in  uno  latere  lineali  punfla  habet, 

Progre  fsione  Pyramidalium  propofita,produdtur  Pyrami- 
dalis numerus, ex  additione  quotcuncp  terminorum  prinioru. 
Et  hince(l,ut  praedidae  Progrefsioncs  dicantur  Pyramidalium 
Progre(siones>cum  tamen  Ungulis  terminis  Polygonalcsnume 
sos  ferant. 

Denominatio  Pyramidalium  numerorum  quos  fert  progref 
fio  aliqua  Pyramidalium , modo  iam  oftenfb,fumitur  iuxta  ter 
minum  Progrefsionisfecundum,utfatisuides  Pentagonalium 
Pyramidalium  Progreisionem  in  loco  fecundo  ponere  j-  &c. 

Vt  autem  fiant  Progrefsiones  illae  PyramidaU'um>iatis  fignhs 
ficat differentiae  terminorum, quas  ea  ratione  exprimere  uoluf, 
un^  cum  ipfis  terminis,ut  hoc  uideres , 

r Sequitur  mirabilis  rranfpofitio  terminorum 
Progrefsionum  Arithmeticarum. 

PRogrefsio  Arithmetica,!!  habeat  terminos  fecundum  nu# 
merum  aliquem  quadratum , id  eff  fi  habeat  terminos  ?.auf 
i6.aut  15-. aut  3 6,&CC.  (Nam  4 uoloeflereiedum)  poterunt  ter* 
mini  eius  fub  figura  quadrata^ita  tranfpon^ut  eade  fumma  fem 
per  proueniat , ex  Additione  omnium  terminorum, in  uno  late* 
te  inuentorum.fiue  latus  fumatur  fecundum  Iatitudincm,(?ue  fe 
eundum  longitudinem . Voco  autem  hoc  loco  latusmon  folum 
extremas  lineas  cellularum , fed  omnes  etiam  intermedias.imb 
diametros  etiam  ambas  uolointclligi,ut  in  exemplo  fequenti.in 
uenies  nouem  lineas,fccundum  longitudinem  acceptas, et  no» 
uem  alias  fecundum  latitudinem. Deinde  funt  duae  diametri.  Ha 
rum  linearum  quaelibet  proferet  tibi  hunc  numerum  £<£9. fi  om- 
nes numeros  eius  in  unam  fummam,  per  additione,coliigas. 


Arithmetica*  Liber  u 


ll6|8l|75?l77|7rlM>»3 1 1 y| 


78|z8|6j|<S}|6l|*y|i7|l8|4l 

"j6\6x\i6\si 

y rj B y| 3 °| zo|  6 

|74|tfo|j-o|4o 

4y|38|3*|»i|8 

9 UiTTih? 

4'l43l49ly9|73 

Io|h!34|44 

37k*l48|y8|7i 

iz|z6|j-z|i? 

3»l47My<S|7o 

I4|64|i7|.i9|zi|j-7!jr|y4|68 

8o|  I | 3 | y 

\y\-7  i\6?\6-j\66 

Sic  operare. 

Incipe  ab  ambitu  maximo  leu 
primo : QC  illo  repleto  fuis  nu- 
meris, recipe  fequentem 
fic  deinceps. 


Sic  autem  replebis  ambimm  primum  deinde  fingulos 
eodem  modo . Numera  cellulas  ambitus,ut  fecundum  mime# 
rum  cellularum  recipias  numerum  terminorum , de  tua  pro# 
grefTione.  Dimidiam  autem  partem  terminorum  recipiendo# 
rum,recipedc  minimis  fetide  primis  terminis.  Et  alteram  par 
tem  dimidiam  recipe  de  maximis  feu  de  ultimis  terminis, 

V Ambitus  primus* 

Vides  ut  dimidia  pars  terml 
norum  minimorum  imparia, 
in  latere  infimo  progrediatur. 

Alteram  parte  dimidiam  ho 
rum,uides  ponere  prfmu  ter# 
minu  fuum  intra  cellulam  me 
di5  (iniftrilateris.&reliquoj 
in  fupremo  latere. 

Deinde  uides  utparsdimf# 
dia  terminorum  minimopi  pi 
riu,defcedat  in  lateredextro. 


M 1 1 !»'|ij|iy 

*l 

9 

10 
— 

1 z 
»4 

• \ 

1 1 |«M* 

1 h |y  7 | | | 

Y |Uv  # ^ wmm  ...  ^.1  • a — — — — 

4n  Gniftro  Iatere,&  maiore  fuum  ponere  irirra  cellula  m primi, 

g Secundus 


t 


MlCHABLH  STIFBLIt 
F Secundus  ambitus. 


z8 

1 1 1 »5*  1 

IS 

zo 

zz 

l4 

x6 

»7  | »J>  |»  • | | 

Satis  uides.ut  unica  fit  regula 
in  quolibet  ambitu  repledo.fi ha» 
beat  latera  imparium  cellularis* 


F Sequitur  de  Dtfpofltione  terminorum 
maiorum. 

Satis  iam  indicauf.ut  minores  termini  intra  cellulas  Tuas  cq! 
locentur,  reflat  crgo,ut  o flendam  idem  de  maioribus. 

V acuar  aut  cellulae  (quas  uidifli  in  fuperioribus  figuris  dua* 
bus , 8C  quas  inferius  uidebis  ) debentur  terminis  maioribus. 
Nam  qudd  in  quolibet  ambitu  totuidcsuacuas  ccIIuIas,quot 
repleta sefTe  uides,fignum  efl  quemlibet  terminum  ex  minori- 
bus.reipicereunumaliquem  terminum  ex  maioribus.  Eum 
autem  maiorem  quem  refpidt  minor,  reponendum  e fle  icito. 
Intra  cellulam  ipfi  minori oppofleam . Sic  enim  uides , & infrl 
etiam  ufdebis,cutlibct  minori  termino  uacua  cellulam  opponi. 
Angulares  aurem  cellulae  feie  refpiciunt  diametralirer. 

Facile  uero  cft  inuenire  maiore  quemlibet  ex  fuo  minore. 

Ita  operare. 

Minimum  terminum  totius  progrefTionis.addeadmaxi* 
Aium  terminum  eiuidem  progreflionis  ( ut  in  pofito  exempto 
i & 8 1 faciunt  8 i.)aggregatum  ferua.ut  quod  utile  tibi  fit  futu 
sum,  per  omnes  ambitus  totius  exempli.  Iracg  numeris  mino- 
ribus difpofitis  intra  ambitum  iuum , uacuas  cellulas  refiduas 
fic  replebis.  Subtrahe  de  minoribus  unumqueep  ab  aggregato 
referuato  (dc  quo  /am  dixi,  (.de  8 x in  excplo  hoc)  tunc  femper 
relinquitur  maior  terminus,quem  minor  ille  fubtratfus  refpi- 

cic 


ARltHMBTlCAB  LlBB*.  I#  2^ 

dt:  ut  in  hoc  ambitu,exempli  pofid,ter  tio,uidcs  poni  maiores 
«batillis  minoribus. 

V Ambitus  tertius* 


Quilibet  ex  maioribus  his, 
fubtracflus  ab  8z,  relinquit 
minorem  fuum. 


Quemadmodum  autem  impares  minores  progred/unf  per 
inffmum  latus  6C  fupremu,  ita  maiores  impares  regrediuntur, 
(id  eft, gradiuntur  retrorium  )per  infimum  latus  & Uipremum. 
Et  quemadmodum  pares  minores  defcendunt  per  dextrum  la 
tus  &C  finiftrum,  ita  maiores  pares  afcend&t  per  eadem  latera. 
Sed  Iistc  intnaiori  aliquo  ambitu  clarius  peripidunmr. 

V Ambitus  quartus. 

Ille  eft  ambitus  qaartus  & ulcimus.cuius  mi* 
nores termini  fiint hi quatuor.  37*  3 9, 38. 40. 
Maiores  funt: 

-H.  4r«  4*.  44. 

Relinquitur  tandem  media  cellula,intra  quam  ponatur  me 
«dius  terminus, totius  progreifionfs,  ut  hic  eft  4 1 ♦ 

Medius  terminus  prouenit&  dimidiatione  aggrcgati,co!Ie 
<fli  ex  additione  maximi  termini  &-romirni  progreflionis : ut 
Si&i  faciunt  8 z.  cuius  dimidium  e&4 1 , 

Medius  terminas  multiplicatas  per  dimidii!  numerum  cel» 
lularum  unius  lateris.prodnCit  fummam  numerorum  exifter» 
tium  in  unoquocp  Iatere;ut  4 1 per  9 Jacit  3 69,  habet  eih  unum 
datus  noucm  cellulas. 

Sequitur 


i 4o|45-|?8 

39] |43 

| 44|37|4* 


n s\ 

11 

49 

4 

48 

1 147 

46 

Michablis  Stifelii 
f Sequitur  Quadratura  cellularom  fub  numero  par/, 

HA  cycnus  de  quadratura  cellurarum  fub  numero  impar/. 
Videamus  nunc  etiam  de  quadratura  cellularum  fub  nu 
mero  pari*  In  illud  aute  negotium  ponam  exemplum, quo  ex* 
plicabo  rem  hanc  uniueriam*ExempIum  quod  ponam  facit  in 
qualibet  linea  20 ?6.  Et  prouenit  ille  numerus  etiam, fi  aggre* 
gatum  colledum  ex  additione  maximi  termini  & minimi,mul 
ciplicetur  per  numerum  cellularum  dimidiatum  ,qui  eft  in  uno 
latere : ut  2 5-7  per  8 • facit  2 05-6. Habet  enim  unu  latus  fedecim 
cellulas, ut  uides, 

rExemplum. 


9 b47|i4<s|l*  1 13  |24J|»4*I  l«l  |7  |*39|i?S|  xo|xi  |zjr|  i 

3 |ii(s|ii3|4r  |4*  I110I109I49  |xoa|20f|  3-3  |f4 

*oil3»bf4 

4 i 33  |iooj 3 I193I 

6 7 I19SI1SSI70  1 71  ||Sf 

rs  I«4l*f3 

54|f9li7J|MS9l  89I  9° 

93 1 94 |f£  1 1 80 

I98|xx3|  f 

XJ-|(ll2|ffO  | S 1 ||<SQ||Ol|lff 

ir+lio4|ic'f|inl  98  [17  6 

I97l  35*  1 6 

7 |ii||i9*|  Sz  | 99  1 1 40 1 1 4 • 

1 1 7 |l  1 8|l  37l l 1 x|if  S|t7f 

6i  | 3<r|ifo 

8 1 37|<Ti  |l74|loo|i  I3|i3a 

1*3 

• **|l3  3 1 * 4-4 1 1 5*7 1 83  |i9f|xxo|x49 

*3  1 38 I73  1 1 73 1 1 °7| » 1 4 1 1 19 

|X<S 

Ii7|i3»ll43brcl64|l84|i|9|134 

»4  |»i8|rS3|8f  1 1 oS ji  Ij-jiir 

I3e 

13  l|l*8|i4*|l49 

I71!  74  1 3 9 ll33 

i3ajil7|7r  | 8tf  I14SI13SI1X4 

• 3f 

I34|ixi|i  I9|i°9|i7l|,8x|  40  | if 

23 1 1 41  |7«|  87  |l47|l4r 

1 16 

140 

1 39ll  10lf  1 l|nc 

170 

1 8 f 1 2 1 6 1 2<S 

X7  l4»|l8o|itfi|if9|lJ-ff 

I0i|i03|if  3|if  x||Otf|97 

9F 

77|»lf|i30 

i8  j 43  |i79l«‘77l  88  |itfS 

167}  91  1 9i|iff4|lff3|  96 

79 1 78  |»  14)2x9 

xiSlxox|i99|i94|  ff4|  rr 

191I190I  «3 

ff9  1 1 8?|  1 Sa 

7*\F7\rr\  »9 

x27|xxf|  44-|xii|i|  1 1 47 

4-3  |xo8|xc7 

f' 

3-x|xo4|xo3|  f6  |3i  | 30 

xrr|i48|  10 1 n |»4r|x44 

«4  1 irl»4l 

*4o 

18  | I9  l*37l*3tf|  3*1  • 

Primu^ 


Arithmbticab  Liber  r« 
rPrimus  ambitus. 


27 


r 

£ 

■ 

! 

i 

5- 

11 

fi 

»7 


18 


.9 1 I Mnl  I h<s|i7| ‘ M*qM 


f 


Quando  ambitus  numerum  habet  cel 
lularum  per  8.  numerabilem,  tunc  termini 
defcendunt  in  finiftro  latere.atque  dextro, 
hinc  indc,donec  tot  cellulae  repleant , quot 
unum  larus  dimidiu  cellulas  habet.Et  tunc 
intermiflo  defcenfu  illo,  tranfltus  fit  ad  la- 
tus fupremum , & fit  progreflfus  per  fupre* 
mum  latus  atc$  inf?mu,ficut  deicenfus  fieri 
folet  per  latus  dextrum  at qj  fimftrum.  Sci 
licet  femper  duo  termini,  par  & impar,  ex 
, uno  latere  ponuntur  immediate.Excipiun 
tur  quatuor  celluloe;infima  cellula  dextri  Ia 
teris,  ea  efl  primi  termini  cellula : item  fus 
prema  eiufdem  lateris : item  fecuda  cellula 
fupremi  lateris;et  penultima  infimi  lateris. 


|io|i  i|  ( |i4liy  I I I»S|I9|  I |11 


VT 
2 6 


l9 


Finito  autem  progrefTu  praedico  per  latus  fupremu  & inff* 
mum,repetiturdefcenfusille  prius  intermiflus.  Intermittitur 
autem  femper  in  finiftro  latere, & illic  iterum  repetitur . Hinc 
fic,ut  quatuor  celllulas  cotinue  uideas  repleri,  & ex  alio  latere 
quatuor  uacuas. 

U g <0 


g 


MlCHAfUS  Stifeui 
rSecundas  ambitus* 


1 

UtM  14  9S0\  | InM 

ii 

11 

s ) 

11 

ii 

37 

3» 

, . 

“ e 

ii 

40 

11 

4* 

— 

43 

. • — 

£1 

44I  1 I47MI  1 lr»M  1 * 

Quando  ambitus  habet  numerum  cellularum  qui  eft  impa* 
titer  par^tunc  fitdcfcenfus  hincindeCut  fuperius  didum  eft)do 
nec  una  folummodo  cellula  fuperfit,  ex  ijs  quae  minoribus  ter- 
minis debentur  in  dextro  Mfiniftro  lateribus.  Finitur  autem 
defcenfus  ille  in  Oniftro  latere  tribus  terminis  immediate  poff* 
f is.Quo  fic  flnito,flc  rranfitus  ad  infimum  latus.Ec  inde  fit  pro 
greflus  per  fupremum  &C  infimu  latera  hincindeCut  in  fuperiorl 
ambitu  dufhim  eft,atcp  ut  hic  uides.  Oum  ante  ad  finem  illius 
progrefluspeweneris(.i.ad  penultima  cellulam  infimi  lateris} 
non  pones  intra  illam, terminum  iHum.quem  ordo  progredior 
nis  tangit,fed pones  eum  intra  cellulS  indefcefa  intermifiam, 
W eft , intra  penultimS  cellulam  dextri  latetis : (equentem  uero 
aerminu  pones  intra  penultimS  illam  cellulam  in  fimi  lateris. 

Vides  igitur  hic,utquinq?  cellulae folitarios  numeros  exci» 
dptant:  uideltcct  infima,  penultima,  fuprema,  dextri  lateris: 
fecunda  &C penultima  infimi  kucris» 


Arithmeticae  Liber  jr« 
FTertius  ambitus* 


%8 


Quando  ambitus  numerum  habet  cellufaru,  numerabilem 
per  4«&  non  per  8.  tunc  eadem  fiunt  per  omnia, quae  in  ambitu 
fiunt, cuius  latus  unum  per  odo  numeratur  (ut  fuit  primus.SC 
quintus)hociolo  excepto, q>  intermiflio  de(cenfijs,non  fit  cum 
duobus  terminis  in  uno  & eodem  latere  ponendis,  ied  prius  po 
nitur  unus  folitarie  In  dextro  latere, & deinde  finit  fequens  ter 
minus  folus  partem  illam  defcenfus,uidelicet  in  finiftro  latere. 
Idem  fit  dum  dcfcenfus  repetitur.Ponitur  enim  onus  primo  in 
finiftro, 6t  deinde  (equens  ponitur  in  dexrro  latere : atque  ita 
odo  ponuntur  folitarie. 

Satis  aatemuidcs  quae  fint  illae  odo  cellulae,  quae  folitariae 
excipiant  terminos  minore$,Scilicer,infima&iupreina  dextri 
lateris : item  fecunda  fupremi  Iateris,&  penultima  infimi  late- 
tis; dttnde  quatuor  iliae,de  quibus  didum  eft  paulo  fuperius. 

Quartus 


\ " 

MlCHABX.lt  StiFBLII' 

V Quartus  ambitus. 

Ille  ambitos  fimtlis  cft  Ce» 
eundo:  nec  enim  dabilis  eft 
ambitus  qui  differat  ab  il- 
lis fuperioribus  amplius,ir 
ratione  difponendi  feu  traf 
ponendi  terminos , nifi  An- 
gularis ille  ambitus  qui  am 
bit  quadratum  quatuor  cel 
Iu1ap,cuius  uidelicet  unum 
lat?  habet  quatuor  cellulas. 


FHabent  igitur  ambitus  omnes  impari 5 later  3 folum  un8 
modum  difpontionis  feu  regulam  unam,  ut  fatis  ditium  eft. 
At  ambitus  parium  laterum, habent  tres  modos,(eu  tres  regu- 
las difponendi  terminos.Videlicet  aliter  Ht  difpofiriodum  Ia» 
'cera  numerantur  per  8.  Et  paulo  aliter  dum  non  per  8.  fed  per 
quatuor  numerantur  .Item  aliter.dum  neqj  per  8 aecp  per  4,  fed 
per  i numerantur, 

V Quintus  ambitus. 

Ifte  ambitus  eftAmi 
Iis  primo : numeratur 
enim  latus  unum  otio* 
nario.  hoc  eft,numera^ 
tur  feipfo  otionarius. 


Sextus 


loi|  | 1 104I  ioyf 

98 

99 

100 

— 

107 

/ 

108 

# 

■ ~ 1 

4 » . ' ■ r ;l  ' **  # ( 

— 

— 

« * . , i • • 

109 

1 IO 

I f 0 z|  1 0 3I  1 j 106 

97 

Arithmeticae  Liber  u 29 
FSextus  ambitus.  , 

Et  ambitus  ille 
flmiliseftfecund®  . . 

QC  quarto*  j 


FSeptimus  ambitus*  FMed tj  numeri. 


I3^|iz)|izz 

mH 

ij! 9 

'1? 

l^T 

1 28 

ii4l»)J-|«34|»»»| 

Quado  perueneris  ad  ultfmfi  Ambitus  aut  ille,qui  qua- 

ambitu, qui  uidelicet  ambit  qua  dratum  quatuor  cellularum 
dratum  quatuor  cellularum ,tuc  ambit,  fola  comutatione  an* 
repone  16.  terminos  tux  pro*  gularium  numeroru  fefe  re* 
greftiois,qui  reflat,  fuo  ordine,  fidentium , adarquat  latera 
ut  uides  fadu  in  fequeti  figura,  fua  inter  fe«  At  propter  qua*  - 

dratum  quatuor  cellularum, 
(quod  numeros  fuos  feruat 
imutabiliter,  in  quatuor  fuis 
cellulis,  quemadmodum  ora 
dine  fuerant  repofiti  qua  tuor 
numeri  ad  cellulas  illas)necefle  eft  ut  etiam  inrermedij  commu 
tentur. Commutatur  ergo  primuscum  ultimo, & quartus  cum 
tertio  decimo  A iecundus  cum  tertio,  & quintus  cum  nono,& 
odauuscnduodecimo,&  quartusdecimus  cu  quinrodecimo* 
Medtj  autem  quatuor(ut  dixi)  manent  ranquam  medium  unu, 

& non  commutantur  • Harc  omnia  uides  in  ambitu  feptimo 
/uperiuspofito. 


I<zi|tzz|iz3liz4 
IZ4[  i4<$|  12.7!  1 28 
|Z9|»3°1>3  »1 1 3 z 
*33|  * 34 1 * ? 5*1  * 3 ^ 


|M7|h8| 

1 12 

«<3 

114 

• IT 

1 19 

Il6\  | | 1 20 

1 1 1 

h 


M ICHAELIS  STIPBLII 

rSi  progreflio  Arithmetica  inciperet  i numero  par i,  habe# 
ret'cp  progreilio  illa  nihilominus  numeros  impares,  toc  omnia 
quae  dixi  de  terminis  imparibus.intelligeda  eflTent  de  terminis 
paribus : & quae  dida  funt  de  terminis  paribus,inteliigeQda  eC» 
fent  de  terminis  imparibus. 

Si  autem  progreflio  nullum  haberet  imparem,  tunc  ea  quae 
dida  funt  de  terminis  imparibus , accommodanda  eflent  illis 
terminisparibus,qui  in  locis  imparibus  inuenirentur,  id  eft, in 
loco  primo, tertio,quinto,feptimo  &c. 

Sic  fi  progreflio  nullum  haberet  termino  parem, tuncea  quae 
dida  funt  de  paribus,intelligenda  eflent  de  illis  imparibus  ter 
minis,qui  inuenirentur  in  locis  paribus,id  eft,in  loco  fecundo, 
quarto,(exto,odauo  flic. 

Sufficientia  aute  regularum  negottj  huius  fle  colligitur.  Aut 
enim  numerucelluIarumCquae  funt  in  uno  latere  ambitus)  nu- 
merat quaternarius,aut  no  numcrat.Si  numerat,tunc  aut  pari 
numero  numerat(ut  latus  primi  ambitus  in  fecundo  exemplo, 
\ & latus  quinti  ambitus  in  eodem  exemplo  fccudo)  aut  impari 

numero  numerat,  ut  latus  tertij  ambitus  in  fecundo  exemplo. 
Si  non  numerat,tunc  numerus  ille  i quaternario  non  numera# 
bilis,auteftpar(uteft  in  latere  lecudi  ambit?, Si  in  latere  quarti 
ambitus,&  in  latere  fexti  ambitus,in  exemplo  fecundo)aut  eft 
impar, ut  eft  in  quolibet  latere  primi  exepli  per  oes  ambitus, 
FReipondent  etiam  fpeculationi  huic,  progrefliones  Geo- 
metricae;  in  qua  re  fuffilciant  duo  exempla  quae  ponam. 

Primum  exemplum,de  quadra 
to  cellulato  pari , fedecim  cel- 
lularum* 


31768 

4 

r 

4096 

ij-6 

3 z 

64 

1048 

1 6 

1014 

l xS 

8 16184 


8 Ipi 


\ 


r 


Arithmeticas  Liber  i.  $o 

Secundum , de  quadrato  cellulato  im- 
par i,  nouem  cellularum.  In  illis  autem  non 
additionibus,fed  multiplicatioibus  agen* 
dum  eft,  ut  proueniat  squalitas  laterum 
inter  fe : ot  8 in  aj  6 bis, faciunt, quantum 
4(ededesin^4.dic. 


Vides  autem  in  utroqp  cxemplo,pro- 
grefllonem  duplae  proportionalitatis. 


Deprogreflionibus  Geometricis*  Cap.mr. 

e qv  v n t v r poft  Arithmeticas  progreflfiones, 
Geometricae,redo  ordine,  nifi  quod  proportio* 
num  tractatio  potuiflet  intcrponi,c6  q>  progreP 
(Iones  Geometricae . nihil  aliud  ftnt , quam  pro* 
portionaIitates,id  eft,  proportionum  continua* 
tiones  aequalium : ut  in  hac  progreftione  i.  2.4.8. 16,  32.64. 
fuccedit  proportio  dupla.proportioni  duplae, per  omnes  termi  \ 
nos  continue . Sed  propoucum  hoc  loco  eft,(oiumodo  ponere 
progreflTiones  numerorum  integrotum,(ub  genere  proportio 
nalitatis  multiplicis.quatenus  numerorum  (olidorum  appella 
tiones, & alia  quaedam  ad  Algebram  8C  irrationalium  numero 
rum  tradtarionem  utilia, poftem  exponere.  Quare  proportio- 
num  tracftatione  hoc  loco  non  eft  opus. 

Eximiam  ucro  laudem  merentur  Geometricae  progrefllo* 
nes,  ucl  ex  hoc,  quod  Coda  Ceu  ars  Gebri , nihil  aliud  elt,quim 
calculatio  pef  progrefllones  Geometricas:quaetum  tanta  eft , 
ot  omnium  Arithmeticorum  regulas  calculandi  complicet,ira 
menfutn  quocp  ufum  habeat  in  Gcomctricis,&c. 

rSub  genere  uero  multiplici  funt  infinitae  fpecies  progref^ 
(Ionum . Quaedam  enim  uocanrur  duplae  propordonalitatis 
progrefliones,ut  haec  eft,  3. 6,  1 2. 24.48. ptf.&c.Quaedamuo* 

h ij 


8 

%S6 

2 

4 

. 1 6 

*4 

128 

1 

3* 

Michabli*  Stifelii 

cantur  triplae  proportionali tatis.ut  haec,  z.  6. 1 8, 5-4«  i6i.&c» 
Quaedam  quadruplae  .quaedam  quin  tuplae:  & fic  in  infinitum. 

Sciendum  tamen,  quod  progrefliones  Geometricae . nifi  ab 
unitate  incipiant.modicum  ufum  habent. Omnes  autem  Geo* 
metricae  progrefliones , fubiacent  regulae  quae  fumpta  eftex 
Euclidis  penultima  noni,  fiue  ab  unitate  incipiant , fiue  i nu* 
mero.uel  minutia. 

Ea  autem  regula,docet  terminos  progreflionis  geometricae 
In  unam  fummam  contrahere.  Sic  uero  praecipit. 

Multiplica  maximum  terminum  per  nnmeru  denominantem 
tuam  progreilionem.  id  eft,  per  numerum  qui  producitur  ex 
diuifione  minimi  in  fibi  proximum.Subtrahe  minimum  termi 
num  ab  eo  qui  fibi  eft  proximus,  & uocetur  hoc  relidum.Reli- 
dum  minus.  Subtrahe  etiam  minimum  terminum  I produdo 
prius  fado  per  multiplicationem : & uocetur  relidum  hoc, 
Relidum  maius.Deinde  multiplica  terminum  minimum  in 
relidum  maius,&  produdum  diuide  per  relidum  minus,  tunc 
prouenit  fumma  terminorum  tuae  progreflionis  Geometricae, 
qualifcunq?  fit. 

At  pro  progreflionibus,  quas  hoc  loco  tradandas  iufcep/, 
breuioribus  traditur  regula.  Multiplica  ultimum  terminum 
per  numerum  denominatem  tuam  progreftionem , 2 produdo 
(obtrahe  primum  terminum,  relidum  diuide  per  numera  uni* 
ta  te  minorem  illo  numero,qui  tuam  progreftione  denominat, 
& habebisfummam. 

r Regula  continuandi  progrefliones. 

Item  ad  omnium  generum  & fpecierum  progrefliones  Geo 
metricas,  pertinet  haec  regula  faciendi  & cotinuandi  ,pgreflia 
nes:  uide  licet.  Quacuncp  ,p  portione  propofita,diuide  terminu 
pofteriorem  per  priorem:  quotientem  autem  illum  multiplicas 
bis  in  terminum  pofteriorem,atq?  hac  multiplicatione  produ* 
ces  terminum  tertium.  Quo  multiplicato  per  eundem  quotien 
lem,  produces  quartum  terminum ; ex  quarto  produces  quin* 

cum 


Arithmetica*  Liber  i.  31 

tum . & fic  deinceps  in  infinitum.  Habes  iam  totum  negotium 
progreflionum,nifi  q>  fpecies  proportionum  di  exempla  refers 
uantur  in  alium  locum. 

Sed  de  rjs  mihi  reflat  dieendum,quae  ab  unitate  incipiunt. 
In  omni  progreflione  Geometrica  ab  unitate  incipiente,dici* 
tur  radix  progreflionis  ille  numerus,  qui  unitatem  immediate 
fequitur.ed  quod  omnes  termini  illius  progreflionis  fequentes 
ex  eo  termino  excrefcant  tanquam  ex  radice.  Si  enim  radix  bis 
ponatur, fiafcg  ita  multipIicatfo,tuncoritur  terminus  tertius, 
qui  radicem  immediate  fequitur . Si  radix  ter  ponatur , oritur 
. terminus  quartus . Si  quater,  oritur  terminus  quintus : & fic 
in  infinitum. 

Et  hic  uide,ut  progrefiio  naturalis  numerorum  feruiat  pro* 
greflionibus  Geometricis ; ut, 

i*  a.  3.  4.  f* 

1.  2.  4.  8.  1 6,  32,  64,  Sic. 

Primo  hoc  quod  in  Geometricis  progreflionibus  eft  unitas, in 
Arithmeticis  progreffionibus  eft  cifra . Quod  autem  2 fupra- 
ponitur  termino  tertio.figniflcat  ipfum  terminum  tertium  pro 
duci,  fi  radix  (ut  dixi ) bis  ponatur,  atcp  ita  fiat  multiplicatio. 
Simile  eft,qudd  3 fupra ponitur  termino  quarto.  Si  4 fuprapo* 
nitur  termino  quinto : 8C  ficdcahjs. 

F De  numeris  (olidis. 

SOlidus  numerus  eft,quf  tres  dimenfioncs  recipit,  unam  Ion 
gitudinis,aliam  latitudinis,&:  tertiam  altitudinisjut  3 o con 
flat  ex  bis  tribus  quinquies. 

V Solidorum  numerorum  quidam  funt  regulariter  folidi, 
quidam  irregulariter. 

Solidi  irregulariter  funt,  qui  ita  fuastres  dimenfioncs  recipi 
unt.ut  nullam  radicem  recipianr,cuius  multiplicationealiqua 
regalari  excrefcant . Quorum  quidam  funt  folidi  injrqualiter 
fecundum  omnes  dimenfiones.ut  funt  numeri  quiex  tribusin- 
compofitis  numeris  producuntur  ;qual(s  eft  3o.cuiusdimenfio 


Mjchaelis  Stifelii 

nes  funt  2.  3 . j-.  Sic  1 oy  confta  t ex  3 . j\  7.  & fic  de  alrjs.  Quida 
funt  (olidi  inaequaliter  fecundum  unam  dimenfionem ; ut  24 
confta  t ex  2.2 .6.  quanquam  conftituf  poffii  inaequaliter  fecun 
dum  omnes  dimenfiones,  Sic  2.3.4. 

Solidi  regulariter  funt, qui  radicem  aliquam  habent.ut  fimt 
omnes  numeri  progrefTtonis  Geometricae  ab  unitate  incipien 
tis,i  termino  quarto.in  infinitum  ufep.  Vnde  in  qualibet  pro* 
greffione  Geometrica  ab  unitate  incipiente,  unitas  ponit  loco 
pundi,&  radix  ponitur  loco  lincae,&  tertius  terminus  ponitur 
loco  fuperfleiei;  & reliquorum  finguli  funt  folidi, 

PDc  Cubis. 

Primus  igitur  (olidorum  eft  cubus.Cubusauteeft,qui  pro* 
ducitur  ex  numero  ter  pofftoatcp  ita  multiplicato : ut  2.  2.  2, 
interfemult/plicati.fac(unt8.  , 

Haec  eft  autem  figura  cubi . Et  in  omni  pro- 
greftione  ab  unitate incipiete,quartus  terminus 
eft  cubus : quia  omnis  numerus  in  quarto  loco 
4>ducit,ex  radice  ter  pofita  atq?  ita  mutiplicata, 

FDe  Zenfizen  fis. 

Terminus  qui  cubum  (equitur, uocatur  zenfizenfus.  Refpe 
xit  autem  uocabuli  impofitor  ad  modum  multiplicationis  po- 
tius,quim  ad  figuram  huius foliditatis.  Zenfum  uerouocant, 

3uod  nos  quadratum  uocamus:  dC  zenfizenfum,quod  nos  qua 
ratum  ex  quadrato  uocare  pollemus. 

Nam  zenfizenfus  nafeitur  ex  radice 
quater  pofita  atque  ita  multip!icata,ut 
2. 2, 2. 2.  facit  16.  &idemprouenitex 
bac  quadrata  multiplicatione  quadra* 
ti  4.4,  Zenfizenfus  autem  eft  linea  cu* 
borum,  queadmodum  radix  progref* 
fionis  eft  linea  pundorum.  Vndezenfizenfus.in  dupla  pro- 
greffione  eft  cubus  duplicatus»  in  tripla  eft  cubus  triplicatus; 
« ficdcalijs,  Dc 


V 


r~ 

7 

/ 

Arithmeticae  Liber  i* 

FDe  Surdefolidts.  • 

Numerus  furdefolidusfcquit  zenfizen(um,non  ai/ter  quim 
quadratus  numerus  fequitur  radfcem.Et  tamen  raro  eft  nume  * 
rus  quadratus,  fed  eft  (olidus , di  quantum  attinet  ad  radicem 
quadratameft  Turdus : attamen  fuat  fpeciei  radice  habcqid  eft, 
lurdefolidam,fic  uocatam  i numero,cuiUs  eft  radix,ut  Tuo  loco 
dicam  latius.  


Sicut  autem  in  dupla  progreftione 
quatuor  cubi(ut  hic  uides)faciunt  unu 
furdefolidum,  fic  in  tripla  progreftioe 
nouero  cubi  facifit  unum  furdefolida ; 
&in  quadrupla,  (edecim  cubi  faciunt 
unum  furdefolidum,  di  fic  deinceps  in 
infinitum. 


A 


FDe  Zenficubicis, 


Zenficubus  fequitur  furdefolidum,  quemadmodum  cubus 
(equitur  quadratum  feu  zenfum.  Sicut  autem  indupbe  propor 
tional itatis  progreftione  8 cubi  faciunt 
unum  zenficubum  ( ut  hic  uides ) fic  in 
tripla  progreftione  uiginti  feptem  cubr 
faciunt  unum  zenficubum:ct  in  quadru 
pia, <5+ cubi  faciunt  unum  zenficubum, 
di  fic  deinceps. Vides  etiam  hic.utdao 
furdefolidi  faciant  unum  zenficubum; 
in  tripla  uero  progreftione,faciunt  tres 
furdefolidi  unum  zenficubum  &c, 

Eft  prar tcrca  zenficubus  talis  numerus, 
ut  (imul  etia  fit  quadratus  atep  cubicus: 
quod enimfacit multiplicatio harczenficubica.i.  2. 2. 2,  2,. 2 
hoc  idem  facit harc  multiplicatio  cubica,  4. 4, 4,  Atcp  idem  fa» 
cit  etiam  haec  multiplicatio  quadrata,  s.  8, 


, Michaelis  Stifejlii 

TDe  Bfurdefolidis. 

Qpid  fit  numerus 
bfurdefolid*,  fatis  tibi 
indicat  liare  cius  figus 
ratio.  Eft  autem  linea 
quardam  zenficubopr, 
quemadmodum  radix 
progreflionis  eft  linea 
pundorum.Quare  fi- 
milia  omnino  hic  di# 
cenda  funt  ( quantum 
ad  figuram  attinet)  rjs 
quar  de  zenflzcfo  (qui 
cft  linea  quardam  cuborum)  djda  fimt, paulo  fuperius.Videli* 
cct}quod  Bfurdefolidus,  in  dupla  progreflione,eft  duplicatus 
zenficubus:  in  trfpla5eft  triplicatus  &c . Sed  quantu  attinet  ad 
multiplicationem,  furdus  efle  inuenitur : raro  enim  radicem 
habet  qaadratam,ut  zenficenfus habet. Licet  habeat  aliam,ta- 
lem  uidelicet , quar  ab  ipib  numero  denominetur.ut  pofiea  di- 
cam , qualium  radicum  Euclidesnullolocolibrorum  fuorum 
meminit:fcilicet  radix  iepties pofita  (ut  2-2.2. 2. 2.2.2.)  facit 
bfurdefolidum.  Aptiflima  aut  harc  appellatioeft.multis  ratio* 
nibus.  Si  uocaueris  huiofmodi  numeros  Bfurdefolidos,obicu 
rabit  ipfa  appellatio  rem  figniflcarS,  cum  uox  harc  ioner,qua(i 
fit  conftitutio  quarda  ex  binis  furdefolidis.  Item  fi  appelles  fur* 
defolidum  fecundum , cogitabit  imprudens  Lcdor  quandam 
cohaerentiam ,uel  quandam  communicationem  efle  fecundi  cQ 
primo.  Deinde  ratione  fignorfi  (de  quibus  dicam  in  Algebra) 
ualde  commoda  eft  harc  praeiens  appellatio : & etiam  propter 
fequentes  has  iblidorumappellationes,CfurdeibIidus,Diur# 
defolidus,Efurde(blidus,Ffurdefolidus,&c. 

De  Zcnfi* 


Arithmetica*  Libbr  i» 
FDeZenfizcnzenficis. 


U 


Zenfizenzenficl 
numen'  huiufmo 
dt  folidiratis  figu 
ras  conftituunt. 

Sunt  autem  duo 
Biurdefolidi : fic 
era  in  dupla  pros 
greflione  fit.  In 
tripla  aure  fit  u* 
nuszenfizezenfl 
cusextrib*  bfur* 
defolidis:in  qua- 
drupla, ex  qua* 
tuor.  Item  uide% 
unum  hunc  zetfi 
fizenzenficum  cotinere  quatuorzenficubos,quemadmodum 
furdefolidus  continet  quatuor  cubos:  at  in  tripla  proportion» 
litate.continet  unuszenfizenzenficus  nouem  zenficubos  Sic. 
Nafdtur  uero  zenfizenzenficus  ex  numero  odies  pofito  atque 
ita  multiplicato.uthicfaciunr,  a»z.a.a.a«a«a*a.  zj-tf.&uoca*^ 
tur  haec  multiplicatio  zenfizenzeofica . Idem  autem  facit  haec 
multiplicatiozenfizenfica,  uidelicet  4. 4. 4« 4.  Item  idem  fa* 
cit  haec  multiplicatio  zenfica  feu  quadrata,  1 6, 1 6, 

FDe  Cubicubic/s. 

Cubicubicus  numerus  habet  fe  ad  zenfizenzenlTcum,  ficut 
ie  habet  cubus  ad  quadratum  ♦ Continet  ^utem  hic(tanquam 
in  dupla  progreifione  ) odo  zenficubos . Nam  in  tripla  con* 
jtinet  a 7 zenficubos : &C  in  quadrupla  64  ♦ 6Cc  • 


< • 


Michaelis  Stifelii 


Eft  autem  cubicu# 
bus,  edam  cubus, 
ut  patet  ex  ipfa  fl* 
gura, Item  ex  mul- 
tiplicatione : nam 
i»x,x.i»x*x,x»x»x. 
facit  j- iz.  Et  tanto 
facit  etiam  8,8,8. 


FDe  reliquis  folidis. 

Sequitur  Zenfurdcfoltdus.qui  eft  linea  quaedam  cubicubo* 
rum.ficut  radix  eft  linea  pundorum. 

Sequitur  Cfurdefolidus,qui  eft  tanquam  fuperfides  cubicu 
. borum,ficut  quadratas  eft  iuperfic ies  pundorum. 

- Sequitur  Zenfizeflcubicus , deinde  Drurdefolidus,deindc 
Zenbfurdefolidus,  &c. 

Si  forte  tibi  uidetur  difficilis  illa  folidorum  numerorum  tra» 
datio, expeda  donec  locus  ueniar,ubi  de  uiu  eorum  dicendum 
erit  ♦ llliCjDeo  dante,  rem  hanc  omnem  ita  clare  tradam, ut  tu 
ipfe  huiufmodi  folidoru  appellationes  ualde  faciliter,  per  quot 
libuerit  terminos.poffis  nominare  & continuare,quemadmo- 
dum  iam  terminos  continuare  potes. 

F Alia  notabilia. 

I . Fln  progreftione  Geometrica  ab  unitate  incip/ente,duo 
quilibet  tcrmini,inter  quos  mediat  unus  tcrminus.aut  funt  an» 
bo  quadrati, aut  quadratis  fimiles. 


Arithmeticas  Liber,  r.  $4 

Et  (?  duo  illi  termini  fuerint  qua 
drati,runcf?  medium  duplicatum 
fugaddas  illis  terminis  quadratis, 
tunc  aggregatum  ex  omnibus  illis 
neceflario  etiam  fiet  quadratum,ut 
harc  figura  fatis  indicat. 

Item  fi  ab  aggregato  duoru  qua 
dratorum , fubtrahatur  duplatum 
medrj, hoc  quod  relinquitur.cft  nus 
merus  quadratus:  cuius  radix  qua 
drata,e(l  relidum,quod  fit  ex  fubtradione  radicis  A radice* 

Habent  iftar  fpeculationes  egregios  ufus.  Na  primo  often# 
ditur  ex  priore, modus  extrahendi  radices  quadratas  ex  nume* 
ris  rationalibus  & binomialibus,ut  fuis  locis  dicam . Secundo, 
ex  priore  & pofteriore  fpeculatione,  oft  epdit  modus  addendi 
& fubtrahendi  binomiales  numeros,ualde  utilis.Etpraeter  haec 
figura  illa  pro- 
politionis  quar* 
tar  fecundi  Eu# 
didis , ufus  ha- 
bet magnificos 
i Algebra.ut  fuo 
loco  offendam. 

. 2.  f\n  pro# 
grelTione  Geo# 
metrica  ab  uni# 
tate  incipiente, 
duo  quilibet  ter 
mini.inter  quos 
mediat  duo  ter# 
mini,aut  ambo 
funt  cubici,aut 
cubicis  limites» 

j: 


4 

8 

8 

it 

l 


19 


Michaelis  Stifelii 

Si  duo  illi  termini  extremi  fuerint  cubici,tuccoaeeruatio  ex 
filis  duobus  cubicis,  & ex  urroqp  medio  triplicato , fit  cubicus, 
cuius  radix  cubica  fit  aggregata  ex  duabus  radicibus  ctibicis, 
prcediifiorum  cubicorum  minorum. 

Item  fi  ab  aggregato  maioris  cubi,  & triplato  minoris  me- 
di), fubtrahatur  minor  cubus,  5C  triplarum  maioris  medrj , boc 

3uod  relinquitur  efi  cubus,cuius  radix  cubica  eft  relicfium.^d 
t ex  fubtra&ione  radicis  cubica;  unius  ab  altera.  Habent  iftae 
fpeculationesufus  fimiles  prardidis. 

FIn  progrefiione  Geometrica  ab  unitateincipiente,duo 
quilibet  terminidnterquos  mediat  tres  numeri,  aut  iunt  ambo 
zenfizenfici.aut  zenfizen ficis  fimiles. 

Etfiduoilli  termini  fuerint  zenfizcnfici,  tunc  coaceroatio 
ex  illis  duobus  zenfizenficis , Si  ex  medio  primo  multiplicato 
per  4,&  fecudo  medio  multiplicaro  per  6yQi  medio  tertio  muk 
liplicato  per  4, fit  zenfizen  ficus  numerus,  |(6|,  2I64I 

cuius  radix  zenfizenfica  fit  aggregata  ex “ 

duabus  radicibus  zenfizenficispracdido- 
rum  zcnfizenforum.ut  hic  uides. 

Irem  fi  ab  aggregato  amborum  zenfi* 
seniorum, & medio  fecundo  multiplicato 
per  <5.fubtrahantur  quadruplicata  reliquo 
rum  duorum  medioru,id  efi,  medrj  primi 
di  medi) terti), tunc  reli&um  quod  relinquitur  efi  zenfizenfusr 
cuius  radix  zenfizenfica  efi  rclidum,  quod  fit  ex  fiibtrarfiione 
radids  zenfizenfica;  unius  ab  altera. 

4,FIn  progrefiione  Geometrica  incipiente  ab  urmate,duo 
quilibet  termini,interquos  mediant  qua  tuor  numeri,  aut  iunt 
ambo  furdeiolidi,aut  furdefolidis  fimiles. 

Et  fi  duo  illi  termini  fuerint  furdefo!idi,tunceoaceruatio  eX 
illis  duobus  furdefolidis  , 6i  ex  medijs  duobus , uidelicer  primo 
Si  quarto  .quincuplicatis, reliquis  uero  duobus  medijs.uidclicec 
fecundo  Qi  tertio  >multiplicacis  per  10 , fit  furdefolidus  nume- 
rus 


3 2|64|h8 


3i|64|ii8 


)i|64|l28 


64 


64 


i 


Arithmeticae  Liber  i. 

fus,curas  radix  furdefolida  fit  aggregata  ex  duabus  radicibus 
furdefolidis  pracdidorum  fordcfolfdoru ; ut  in  iequenri  figura 

uidere  poteris,  

Item  fi  ab  aggregato  maioris  furi?  2l<^4l 1 *8Uy6js- i 1024) 


64!  izSizj-%li 


64 

1 18|  1 z 

64 

izS 

64 

128 

2J-d|j-|Z 

1 28 

zj-6 

128 

2 s6 

128 

2 y<5 

128 

25-6 

128 

2J -6 

defolidiA  medio  primo  multiplica- 
co  per  j-,mediofcg  tertio  multiplica* 
co  per  10  .fubtrahatur  furdefolidus 
minor,  & medius  fecundus  multipli 
catus  per  10A  quartus  multiplica* 
tus  per  j-,  tunc  relidum  quod  rcJin* 
quitur , cft  furdefolidus , cuius  radix 
(urdciolida  cft  relidum  quod  rclin- 
quiturex  fubtradione  radicis  furdc 
folidae  unius  ab  altera.  Et  GcdcaJijs 
hoc  modo  in  infinitum. 

Numeros  autem  multiplicantesroedios  numeros, inuenics  ' 
ex  tabula  qua  ponam  capite  fequente  de  radicib.inucniendis. 

Vera  iunt  etiam  omnia  iamdida,deduobus  quibufcuncp 
quadratis ,&  medio  fiio  proportionali.  Item  de  duobus  cubicis 
quibufcuncp,cum  medi js  eorum  duobus.  Item  de  duobus  zen* 
fizenfis  quibufcunq;,cum  medijs  eorum  tribus.  Item  defurde* 
folidis  duobus  quibufcuncjj,  cum  quatuor  medias  eorum  qua* 
tuor,  8ic4 

V Sequitur  utilis  quardam  tradat  io, ut  progreflroni  Arith 
meticae  refpondeat  Geometrica  progreisio. 

1 . Additio  in  Arithmeticis  progrcfttonibus,reipodet  mul 
tiplicationi  in  Geometricis.Vt , Ocut  in  hac  Arithmetica  pro* 
greflione,  3,7.  11,1  y.  duo  termini  extremi  additi,facium  quan 
tum  medtjad  fc  additi,utrobic$  enim  fiunt  iS.  Sic  in  hac  Geo* 
metrica,  3. 6. 1 2.  24.  duo  extremi  inter  femultiplicaii.faciunt 
quantum medij  inter  fe  mulriplicati,ucr©biq$cnim  fiunt7z« 
& fic  de  infinitis  alijs  exemplis. 

2.  Subtractio  in  Arithmeticis } rcfpondet  in  Geometricis 

i iq 


MichAelif  Stifelii 

diuifioni.Vt  ficut In  hac  progreflione.8.  i 3.  1 8. 23.  idem  rema 
net  ex  fubtradione  primi  4 fecundo.quod  cx  fubtradione  tcr- 
rijiquart° : fic  in  hac  progrellione,x.6. 18.3-4.  Idem  proucnit 
rx  diuifionc  fecundi  per  primum, quod  ex  diuifione  quarti  Der 
tertium  Sic.  r 

3 • Multiplicatio  fimplex  (id  e (1, numeri  in  numerum  )qux 
min  Arithmeticis , refpondet  multiplicationi  infc,qU*fitin 
Geometricis.V r duplatio  in  Arithmeticis,  refpondet  inGeo- 
• metricis  multiplicationiquadratar/cilicet  inhac  Arithmetica  - 
r.t  i.i 7. racit duplatio medij, quantum  additio  extremorum: 
fic  in  hac  Geometrica,  4. 6, 9.  facit  multiplicatio  quadrata  me 
dij, idem  quod  multiplicatio  extremorum  inter  fe.  1 tem  tripla* 
tioin  Arithmeticis,  refpondet  muItiphcarionicubicarinGeo# 
metricis : ut  in fuperiori exemplo. r.  1 1. 17. tripla tiomedtjfa- 
. clt  quantu  additio  omnium  trium , fic  hic  4. 6.9.  multiplicatio 
cubica  medij  facit  quantum  tres  inter  fe.  Item  quadruplatio  in 
Arithmeticis.refpondel  multiplicationi zenfizenfic*  in  Geo# 
muricis: ut  hic  z.f.8.  r 1. 14. quadruplatio  medii  facit ciuatum 

p J/L  / upl/catio  ^eofizenfica  huius  4F.facit  quantum  FcTTCufqDa ruor 

^ r- *nt*r  (*»  utrobiq*  autem  fiunt  3-30841  6,  Item  quintuplatio 

m Aiichmeticis, refpondet  multiplicationi  furdefolidar  in  Geo 
metricis.  Vt  hic  2.3-. 8.1 1.  i4.quintuplatiomedtj>ideft,8.  fecit 
<a/*Z4^  quantum  additio  quincp  illorum  terminorum:  fic  hic  31248 

>91-768. mul tip! ica tio  furdefolrda  medij,  fecit  quantum  illi 
fpV' 1 ^^ju‘nc?  'ntcr  A multiplicati , utrobiepenim  fit  2 y 4 s o 3 9 6 8. 
|7“V'  fic  de  alijs  in  infinitum. 

i**  yr***/r>a*  &°s  4.  Diuifio  in  Arithmeticis  progrcflTonibus , refpondet  ex- 

rad,cum  in  progreffiombus  Geomcnicis.Vtdi- 
o4A#w^rnidiatfo  in  Arithmeticis,refpondet  extradioni  quadrat*  in 

Ctr/C^*^cd,'cct  kfc.r.n.  i7.mcdiuseft  pars  dimidia, 

' fl*mmac duorum  extremorum . Sic  in  hac  3.6.12. 
iil  2><  tJuadxata  fumma:  multiphc^ionis cxiremoR.. 

*■*>  S.;  **i*t*sro. 

— — -A<3  * ^ -lvl <lu <^l*i  4.  . fW/tM  lw/4rU^24  O 


Arithmeticae  Libe*  i,  5 6 

''Item  diuifio  per  3 .refpondet  cxtradioni  radicis  cubicar.Vt  hic 
5*.  1 1 « »7.  medius  terminus  eft  pars  tertia  fummar  totius aggre 
gationis  ex  terminis  eribus  illis : fic  hic,  3 ,6  , 1 z,  terminus  me* 
dius  eft  radix  cubica  fummae  multiplicationis  trium  horum  in* 
ter  fe.  QC  fic  de  alijs  in  infinitum.  • 

rDc  ufu  praedirarum  fpeculationum. 

Primo  facile  potuit  ex  confideratione  harum  fpeculationum 
inucniri  regula  DeTri,&  regula  DeTri  conucrfa. V t ficu  t hic 
z,  j-.  8.  ex  additione  terttj  ad  quartum,  &fubtra<ftione  primi  i 
fumma  aggregationis,relinquitur  quartus  terminus  illius 
progrefiionis : fic  hic  3. 6. 1 z , ex  multiplicatione  fecundi  in 
tertium, & diuifione  fumma:  per  primum, fit  terminus  quartus 
illiusprogreflionis. 

Exemplum  de  contigue  proportionalibus. 

Non  folum  refpondent  illa  in  iftis  continuae  proportionali- 
bus,fcdetiamincontigue  proportionalibus : ut  hic,  3. y. 8, 
facit  quartus  10,  fic  hic  3. 6,  z7.  facit  quartus  5-4, 

Exemplum  iuxta  DeTri  conuerfam. 

5*.  8.  io.  3.  item  6.  8.  11,  4. 

In  priore  addo  primum  ad  fecundum  fubtraho  tertium  ab 
aggregato, tunc  relinquitur  quartus.  In  pofteriore  multiplico 
&diuido,&c.  & refpondent  probationes . Sed  de  regulis  illis 
fuis  in  locis  dicam. 

Secundo  potuit  cx  confideratione  harum  fpeculationum  in- 
ucniriferequicquid  de  natura  quadratorum, atque  folidorum 
regularium,  dici  poteft  : ut  eft  inuentio  mediorum  inter  duos 
quadratos,  inter  duos  cubicos  , inter  duos  zenfizenficos.inter 
duos  furdefoIidos,&c,Scd  fatis  eft  fi  inuentiones  illae  fuis  figu* 
iis  fignentur, 

f De  quadratis. 


4*  5 • ^ ♦ 


4-  9 • 

z • ■■  ■ ■*  3* 


De 


Wichablis  Stifblii 
FDe  cubicis, 

3,  4*  y*  B»  i *♦  l8  xj* 

4r\/"  9- 

FDezenfizenfij. 

4«  f*  6»  7«  8*  *4*^3»y4*  ®(i 


3» 

*. 

r« 


U 
* 6* 

4* 

z* 


t.  V ^ Z7.  ✓ 

4* 

z. 

rDefurdefolid/s. 

6.  7«  8,  ?,  io,  3»,  48,71*  108,  idz,  *43* 


rDezenficubis. 

^4,96, 144,1 16.3 14,486.7*9 


FObferua  hic.utquod  in  Arithmeticis  eft  numerus  par, in 
Geometrias  eft  numerus  quadratus : Siquod  «n  Geometricis 
funtquadratisfimiles,in  Arithmeticis  funt  impar  di  impar. 
Sicut  ergo  par  ad  parem  additus,  parem  effiat, Item  impar  ad 
imparem;  fic  quadra  tusinquadratu  multiplicatus, quadra  tum 
emcit.Ifcm  fimiles  quadratis  inter  fe  multiplicat/ Ac, 

Item  inter  parem  di.  parem  necefle  eft  cadere  medium  arith- 
ineticale.unum  ut  mioimum,Icem  inter  imparem  et  imparem: 

(ic 


Arithmeticae  Liber  r,  $7 

fle  inter  duos  quadratos,aut  duos  (imiles  quadratis,necefle  eft 
cadere  medium  Geometricale,  dic. 

Et  quod  in  Arithmeticis  funt  duo  numeri  ternario  numera 
bilcs.hoc  in  Geomctricisiuntduo  numen  cubici;  di  qcP  in  Geo 
metricis  funt  duo  numeri  cubicis  fimiles,  hoc  in  Arithmeticis 
iuntduo  numeri  ternario  differcntes,quoru  neuter  tamen  ter  a 
nario  numeretur.  Vides  aut,  ut  duo  numeri,  quorum  differet/a 
eft  ternarius , cum  tamen  neuter  eorum  numeretur  per  terna* 
rium, additi  ad  fe  non  conftituantnumerum  per  ternarium  nu 
merabilem ; ita  non  eft  tibi  experta  ndum, ut  duo  fi  miles  cubi- 
cis,inter  ie  multiplicati.producant  cubicum.  At  fi  diuidas  ma* 
iorem  per  minorem,certcexit  quotiens  cubicus : fic  enim  duo* 
bus  numeris  pofitis,quorum  differentia  fit  3,fitfcg  nullus  eorum 
per  3 numerabilis,fiminorfubtrahaturi  maiore,  relinquitur 
ternarius.  di  fiede  omnibus  alijs  iudicabis. 

Si  fuerint  quatuor  numeri,  iuxta  progreflionem  ArithmetI 
camdifpofiti,quorumextremi  ternario  numerentur,  neceffe 
erit  ut  medij  duo  additi,ternario  numeretur.  Item  tres  priores 
di  tres  pofteriores,additihumerabunt  ternario : di  huiufmodl 
alia  multa  poteris  fcrutari,fciens  quod  omnia  refpondcat  Geo* 
metricis  progreftionibus. 

Seruit  etiam  hic  na  turabs  numerorum  progreflio  Geome* 
tricis  progreftionibus;  ut, 

o«  i»  x.  3*  4»  T* 

l»  %•  4*  8*  3 x.  £4« 

Quinarius  qui  ponitur  fupra  furdefolidum,  fignificat  hoc  efle 
in  Geometricis  furdefolidum,  quod  in  Arithmetica  naturali 

Erogreftioe  eft  quinarius,aut  numerus  quinario  numerabilis, 
te quod  in  Geometricisfontfordefolidis  fimiles,hoc  in  Arith* 
meticis  funt  numeri  quorum  differentia  eft  5-,  di  ipfi  tamen  qui 
nario  non  numerantur:  di  fiede  alijs. 

Tertio  potuit  ex  confiderationehuiufmodi  fpcculationum 
inucniri  illa  admiradac  latitudinis  ratio  calculandi,quam  Cof* 

k 


• Michaelis  SriFBtif 

fam  uocantfeu  Algebram  : & hic  mirifice  feruit  naturalis  mp 
merorum  progrcftto  progrcftionibus  Geometricis.Sicutenim 
In  fuperiore  ordine  x ad  3 faciunt  y : fic  In  inferiore  ordine  4 in 
8 faciunt  3 x.id  eft  .furdefolidum  quinario  defignatum,  feu  nu 
merum  quinto  loco  poft  unitatem  exclufam  ponendum . Item 
ficut  in  iuperiori  ordine  2 ad  4 faciunt  6: ita  in  inferioreordine 
4 in  16  multiplicatus,  facit  numerum  fub  6 ponendum, id  eft, 
zenficubum  progrcflionis.Itcm  ficut  in  fuperiore  ordine  1 fuba 
tracfta  i 6, relinquit  5- : fic  in  inferiore  ordine  z diuiforediuiden 
te  64, producit  numerum  ponendum  fub  j-,id  eft  furdefolidum 
progrcftionis  illius . & fic  de  alijs . Sumpta  eft  igitur  hinc  ratio 
Algorithmi  peculiariter  ad  Algebram  pertinentis,&c. 

Quarro,notum  eft  fatis,quim  affinis  fit  Algorithmusminu 
torum  Phyficalium,AIgorithmo  Algejbrae, 

Quinto,  potuit  etiam  Algorithmus  proportionGexhuiuf- 
modi  fpecuiationibus  inueniri : ut  quod  ] ad  * facit  ? • Item 
id  eft  dupla  triplicaca,quodiIlafacit  facile  potuit  confi 
derari:  ucl  ex  illis  ordinibus,qua  naturalis  numeroru  progref- 
fio,(eruit  progreflionibus  Geometricis,ut 

0.  u i#'  3«  4*  T* 

1.  2.  4.  8»  16.  3 z. 

hic  y non  folum  fignificat  numerum  fibi  fubfcr/ptu  ( id  eft  3 x) 
facere  proportionem  quintam, (ed  fignificat  etiam  eundem  na 
merum  fibi  fubfcriptum  collatum  unitati,  efle  proportionem 
quintuplicatam  refpetftu  primae  proportionis.Et  tertio  fignat 
modum  ipfum,quo  uel  per  additionem,  uel  per  quintuplationS 
primae  proportionis,fiat  proportio  haec  quintuplicata  ]l,(ciU# 
cet  ] quinquies  pofita, atep  ita  fecundum  regulam  multiplicati 
onis  Minutiarum  facfta  operatione,  producitur  quintuplicatae 
proportioniscoIIedum:ut*.*.^.*.*.facit  ’*«Etquia  pcrmul 
tiplicationis  regulam  quam  habent  Minutiae  uulgarcs,fit  addi 
tio  proportionum,facile  fuit  ( hoc  intelle<fto)concludere,ut  re- 
gula diuifionis  Minutiaru , feruiret  etiam  fubtradioni  propor 

tionuna 


Arithmeticae  Liber  r.  38 

donum, cum  ubicp  hoc  ucrum  fir,  quod  additio  probet  iubtra^ 
<ftionem,&  fubtradio  additionem, &c.  Deinde,  cum  Inter  1 8C 
3 x medient  numeri  hi,  2,4.  8. 1 6.  ita  ut  diuidat  proportionem 
i1  in  quincp  ^portiones  aequales.i.in  quincp  duplas . Faciliter 
recepta  eft  coniedura  hacc  de  numeris  quibulcuncg  politis  or* 
dinc  aliquo, quod  proportio  extremorum  conftituatur  ex  pro- 
portionibus intermediorum  dic. 

Reliqua  quaerat  diligens  Lector  quantum  uelit.  Sunt  enim 
alia  multa  quae  progreffioncs  Geometrica^ucI generaliter  com 
plicat,uel  ipecialiter,&c.ot  progreffio  Geometrica  triplae  pro- 
porrionaliratis  ab  unitate  incipiens  > iucunda  ratione,  quibuf- 
cunq*  terminis  primis^efticit  tot  terminos  progrelfionis  natu* 
ralis  numerorum.quot  ipf?  coaceruati  faciunt  unitates.V  t (ex- 
empli gratia  ) 1 ♦ 3 . 9.  27.coaceruati , faciunt  40  unitates.  Itacp 
illi  terminiquatuorfaciunt4o  terminos  progrelfionis  natura 
lis  numerorum;  quemadmodum  haec  deferiptio  indicat» 

1.  3 — l.  5.  3 ~t~  *•  9' — 3 — •*  9 — 3‘ 

p-f-i — 3«  9 — »•  9»  9~ 9~f~  3 — l*  9- f~3» 

9~ *7 — 9 — 3 — »•  47 — 9 — 3*  »7— f— » — 9 3* 

»7  — 9 — l * »7  — 3t7— f—« — 9«  a-7— f— 3 — 9 — •* 
*7  — f — 3 — 3X7— f—  3 — f-  f — p , xy — 3 — 1. 

»7 3*  27 -f- 1 3*  27 1.  17. 

*7  — f—  I»  »7-f-3 — »♦  27 -f- 3.  27 -f—  3 -4-  f» 

27 -f- 9 — 3 1»  27 -f-  9 — 3.  2.7 — | — 9 — f — 1 — 3» 

37  -f-  9 ••  27  -j -9.  27  -f-  9 -f-  I. 

27  — f—  9 — f — 3 — *•  27— f — 5) — f — 3 , 2-7  -f-  9 -f~3  —f—  I ♦ 

Eft  hoc  etiam  iucundum  cernere,utdao  numeri  integri  im- 
mediate fc  lequentes  in  naturali  ordine  numerorum.qufcuncp 
tandem  lint  duo  illi  numeri , reddat  tot  terminos  progteflionis 
naturalisnumcrorum.quot  ipft  inter  le  multiplicati  fecerint 
unitates.Vt  (exempli  gratia)  4.7.  inter  fe  multiplicati  faciunt 
xo  unitates : itaqj  4 & f reddunt  quemlibet  numeru  ab  unitate 
pftpad  uigenarium» 


I 


I 


Michablis 


Stife 


LI 


I 


Tam  fl  numerus  5 tc  fit  eledus,qui  mihi  fit  occultus,quem  tti 
dicas  fcribi  quatuor  figuris,  tunc  ego  recipio  duos  aliquos  nu- 
meros immediatos,qui  inter  fe  multiplicati  faciant  numerum 
qufncp  figuris  fcribendum  (ut  certus  fim  meu  produdum  fupe 
rare  tuum  eledum,qu5titate)ut  funt  hi  duo  numeri,  100,  io  i. 
quorum  multiplicatio  facit  10100. 

Peto  igitur  ut  diuidas  numeru  i tceledum,per  meum  prio- 
rem,id  eft,per  i o o.dicasbp  mihi  quantum  remaneat . Eum  aut 
numerum  qui  remaner, multiplico  per  meum  pofteriorem,& 
referuo  produdum. 

Secundo  peto,ut  tuum  numeru  eledum  diuidas  denuo  per 
meum  pofterioremnumerum^d  eft per  i®  r,dicasq?  quantum 
remaneat.Eum  autem  numerum  qui  remanet»  multiplico  per 
quadratum  mei  prioris.ft:  illi  produdo  addo  id  quod  prius  fue 
rat  referuatum:  &C  aggregatum  illud  diuido,  per  numerum  qui 
prouenitex  multiplicatione  duorum  meoru  numeror u primo 
receptorumCid  eft,per  io  100,  cum  receperim  100&  ioi)tunc 
apparebit  femp  numerus  i te eledus,inrcfiduo  diuifiois  meae* 


i 


1 


De  cxtra&ionibus  radicum*  Cap.  r* 


vemadmodvm (unt infinitae fpecics multiplis 
cat'onum  numerorum  in  ie,ex  quibus  nafei  uidi- 
mns  numeros  quadratos  &fo!idos:ita  infinitas 
ede  oportet  radicum  fpecies,uidelicet  iuxra  foli* 
dorum  appelIationes,nafcentium  ex  ipfis  radici- 
bus.per  multiplicationes  uarias.  Sedhaecomnia  fignificat  feu 
repraeientat  naturalis  numerorum  progrefito  ieruiens  progrefc 
fiombus  Geometrias  ab  unitate  iucipientibus,  ut 
o*  f»  a*  J»  4'  S*  7* 
r.  z.  4*  8*  16»  }z.  6 4.  f z8« 

Primo, numeri  fuperioris  ordinis  fignificat  multiplicationum 
fpecies;  fcilicec  z fignificat  multiplicationem  quadratam  fieri, 

dum 


Arithmeticae  Liber  i.  jp 

dum  radix  bis  ponitur,atque  ita  multiplicatur,  ut  2.  2,  facit  4. 
Sic  3 (igni fleat  multiplicationem  cubicam , qua  radix  ter  poni 
tur,atqj  ita  multiplicatur  ut  producatur  cubicus.  Sic  4 repne- 
fentat  multiplicationem  zenfizenflcam,  & y repraefentat  fur« 
defolidam:  8C  fic  deinceps.  Secundo  (igniflcant(numcrifuperi 
ores)  radicum  fpecics.Vt  2 (ignifleat  radicem  quadrata, com- 
ponere quadratum  numerum  per  multiplicationequadratam. 
Sic  3 (ignifleat  radicem  cubicam,  componere  cubicum  nume* 
rum  per  multiplicationem  cubicam;^  fle  deinceps» 

Es  r ergo  radicis  extradio,inuentio  numeri  ex  numero  pro 
polito, qui  multiplicatione  aliqua  in  Ce  producat  numeru 
propofltum. 

FPrimum  quod  in  extractionibus  radicum  obferuandutn 
uenit,cft  figurarum  ffgnatio,in  numero  de  quo  extrahenda  eft 
radix  aliqua. 

In  extradione  radicisquadratae  lignantur  figurae  in  locis 
imparibus;figura:  autem  in  locis  paribus  non  flgnantur.Hinc 
fit  ut  alterna  tim  femper  una  figura  obmittatur  quae  non  figne 
tur,ut  hic  uides,  ...... 

687  1947673  6 
In  extradione  cubica  obmittuntur  femper  duae  figurae  quae 
non  fignentur,ut  hic  uides, 

6 S7I9476716 

In  extradione  zenflzenfica  obmittutur  femper  tres  figurar, 
ot  hic  uides,  • . • 

68719476736 

In  extradione  radicis  furdefolidae  obmittuntur  femper  qua 
tuor  figurac,ut  hic, ... 

6 * 7 1 9 4 7 6 7 } 6 

Et  flcdeincepJin  infinitum, 

Rcfpondct  autem  hae  Agnationes  medijs  proportionalibus» 
- k ii) 


c.  * . Michaelis  Stifelii 

o.  i.  z.  3»  4*  T* 

» . i.  4*  8,  1 6,  3i.  64. 

ut  hic  uidcs, inter  quadratum  & unitatem  poni  unum  medium, 
inter  cubum  & unitatem  duo  poni  media, inter  zenfizenfum  et 
unitatem  tria  media:&  Gc  deinceps. 

FSecundu,quod  in  extradiombus  radicu  obferuandu  ucnit, 
eft  cognitioqua  fcias  q figurae  pertineat  ad  quodlibet  pundu. 

Ad  pundum  ultimumCid  eft,ad  extremu  i Gniftris)pertinet 
figura  fub  ipfo  pundo  polita  cu  reliquis  figuris  uerfus  finiftrat 
& Gc  de  alijs  pundis  iudicabis,  ut  in  illa  fignatione  iurdefolida 
uides exemplum; »or ai  n»ow49 

Ad  ultimum  itaq?  pundum, pertinet  hae  figurae  ,*ori  «Se- 
quens pundum  uerfus  dextram  habet  has,  u no  .Primum  ha* 
bet,  9+J+9. 

V Tertium, quod  obferuandum  eft  in  radicum  extradioni* 
bus, pertinet  ad  pundu  ultimum, & cfi  ipGus  pundi  abiolutio» 
In  extradione  quadrata , fubtrahitur  ab  ultimo  pundo  qua 
dratus  numerus  maximus  qui  poteft  iubtrahi. 

In  extradione  cubica, fubtrahitur  cubicus  maximus  qui  fub 
trahi  poteft  ab  ultimo  pundo.  c 

In  extradioe  zenGzeGca , fubtrahit  maximus  zenfizenGc*. 
Et  in  furdefolida  extradione  fubtrahitur  maximus  furdefo 
lidus : & fiede  alrjs  in  infinitum. 

Tabula  pro  radicibus  cubicis* 


1 1 

4 

*4 

7 

343 

z 8 

T 

8 

S • * 

6 

z 16 

9 

7z  9 

omni  extradione  cubica)  fubtrahitur  ab  ultimo  pundo,&  ra* 
dix  (ubtradi  cubi  ponitar  in  quotientem  ultra  uirgulam  curua 
ut  fit  in  diuifione,  Qi  refiduum  fubtradionis  reputabitur  pertfc 
nere  ad  iequens  pandum  uerfus  dextram. 

Hoc  autem  quod  iam  dixi  de  abfolutione  ultimi  pundi.Gio 

modo 


Arithmeticae  Liber  i.  40 

modo  intelligi  debet  de  quacurn  alia  extra dione.Facilior  ucro 
eftmuentio  quadratorum  ex  figuris  fingulis , quim  ut  tabula 
aliqua  opus  fit.Ratio  etiam  eft3qua  inferius  intelliges,  cur  pro 
zenfizenfic is  & zenficubids  non  pofucrim  tabulas. 

Tabula  furdciolidorum. 


1 

1 

4 

1024 

7 

16807 

a 

r 

3'  lr 

8 

327^8 

3 

MI 

6 

777* 

9 

S9  °49 

Tabula  Bfurdefolidorum, 


l 1 

4 

16384 

7 

8235-43 

x 128 

S 

78123- 

8 

209715-2 

3 '»»87 

6 

*799 3 6 

9 

4782 969 

r Quarto,ob(eruandum  cft  circa  quamlibet  fpedem  extra- 
dionum,ut  reliqua  punda, ultimo  expedito  (eft  autem  ultimu 
pundum3in  operatione  primum)  abfoluantur.ln  qualibet  aut 
fpecie  extradionum,cft  una  propria  regula3qua  omnia  fcquen 
da  punda,poft  ultimum  expeditum,  abfoluantur. 

V Quinto.obfcruandam  eft,ut  quselibet  regula  pro  pundis 
fequencibus  ulcimumjiabcat  (uos  numeros  peculiares» 

Ext  radio  quadrata  habet  unum  hunc,  20. 

Extradio  cubica  habet  duos  hos,  3 00. 3 0. 

Extradio  ceiifirenfica  habet  tres  hos,  4000. 600. 40. 

• • 

Extradio  furdefolida  habet  quatuor  hos,  5-0000 , 10000« 
f 000  4 50, 

Extradio  zenficubfca  habet  qufncg . & fic  de  alijs, 

Refpondent  itacg  numeri  numerorum  huiufmodf,nunier/s 
figurarum  obmifiarum  in  fignationibus.Vt  dum  fignantur  fi* 
gura:  numeri  dequo  extralicnda  fit  radix  zenfizenfica,poft  pri 
«nam  figuram  fignata,obmittcdx  erunt  quinq?  figurac,&  foeta 
flgnabicur(ut  fuperius  didum  eft)fic  hicquinqj  numeri  pecuU 
ares  requiruntur3ut  /am  indicauf.Qua  ucro  ratione  aut  § tan- 
dem modo  fint  inucniendi  numeri  illi  regularum  peculiares^a 
fis  clare  indicabo  inferius  per  quandam  tabulam. 


Michablis  Stife lh 

F Sexto , obfcrua  modum  depingendi  regulas : hoc  enim 
©bferuato,  facile  poteris,  abfcg  libro,  cuiuslibet  ipeciei  radice* 
extrahere. 

Extradionis  quadratae  regula,  fic  depingitur  ex  exemplo 
hoc,  • « 

676 

x-  --»0 6 

■ . . 3* 

Extradionis  cubicae  regula  fle  depingiturexnumero  hoc; 
• • 
a 3 83x8 


3 *■ 
d- 


300- 

3o- 


x 

4 

8 


l?xtrad/onfs  zenfizenficae  regula  fic  depingitur,  ex 


1477^3 3 6 


zt6- 

3^“ 

d- 


-4000- 

- d 0.  0 - 

- 40- 


P 

•4 

•8 

Id 


Extradionis  furdefolidae  regula  (7c  depingitur  ex  exemplo, 
numeri  huius,  . . 

9 1 61 3 x 8 3 z 


i*9d- 

zid- 

3d- 

<- 


-joooO- 
-10000- 
- 1000- 
fO- 


' * 

4 

8 

Id 

3 = 


Extradionis  zenficubicae  regula  fic  depingitur  ex  hoc  nu* 
jncropro  exemplo  polito,  . • 

fd8ooz3jy84 


/ 


tf*  * 


4* 


r, 


Arithmeticae  Liber  i. 

7 776  600000  2 

li?6 15*0000  . 4 

21 6 — — 20000  8 

3 6 15*00  1 16 

6 60  3 2 

<4 


Sequitur  pidura  regulae  extradionis  bfurdefolidae  ex  hoc 
numero,  • • 

35*216  14606108,  1 

4665-6 7000000  *— 

7776  2100000 

12 96  35*0000  

216  35*000  

36  2100  

• • * 

6 70  


2 

4 

8 

16 

3* 

64 

128 


Et  fic  de  alrjs  regulis  aliarum  fpecierum  in  infinitum, 
rExpofitio  pidurarum,id  eft.declaratio 


Q regularum, 

Voties  expeditu  fuerit  pundum  aliquod,tunc  pro  pun« 


do  uerfusdextram  fequete,fic  operaberis,Depinge  regulam. 

FPrimo.pone medios  numeros, id  eft,eos  qui  tuae  operati* 
oni  debentur  tanquam  peculiares. 

F Secundo,  conftirue  progreflionem  tuam  afcendcntem,id  r 
eft.eamqux  ponenda  eft  i finiftris,  ea  enim  femperafcendit. 

Sic  autem  ponenda  uenit. 

Ad  infimum  locum  pone  totum  quod  eft  in  quotiente,tancji 
radicem  progreftionis,8f:  fic  afcende  per  quadratum  & cubum 
&c.donec  quilibet  mediorum  habeat  fuum  collateralem  nume 
rum  i parte  finiftra.Hoc  fado, parabis  tibi  diuiforem  quo  diui 
das  pundum  tuum, ut  inuenias  nouam  figuram  reponendam 
ad  quotientem,  Scilicet  quemlibet  mcdioiu  multiplicabis  per  A ' ' 


_ t - 


y ’ V» 


:: 


Ii 
%* 


1 


'JV--  - 


I# 


•« 


iri  ci  1 — r 


u 


Michaelis  Stifelii 


(uum  collateralem  pofirum  a finiftris.&produdailfa  ad  fcad* 


dita.dabunt  tibi  tuum  diuifbrem.  Nifi  qliod  non  eft  necelTe,uf 

lc.fe  ' 


Ha. 


(empcrtotam^plcasmuk/plicarionc/cdfuff/citutduasmui 
tiphcatioesfa  As  ex  iupremis,8(!  fle  addas,utd{uiTorc  habeas. 

FTertio,coi3(titue  progreffionem  tuam  defcendcntem.id 
eft,eam  quae  ponfnda  eft  i dextris , ea  enim  femper  defeendet. 
Sic  autem  eam  difponas. 

Ad  fupremum  locum  pone  figuram  tuam  nouam  quot/en* 
tis,uidelicet  quae  inuenta  eft  uia  diuifionis.  Ea  fiepofira,  tanCfj 
radice  tuae  progreflionis,progredf  re  defeendendo  per  quadra 
tum  &t  cubicum  ftc.donec  progreffio  tua, numero  locorO,e  xce 
dat  eam  quae  i finiftris  ponitur , in  uno  loco,  quemadmodum 
pldurac  regularum  fatis  indicant.His  fadis, multiplica  tres  fu- 
premos  inter  Ce,  deinde  tres  fequentes  etiam  inter  fe : & fic  de* 
incrps.Pewdis  multiplicationibus  illis.adde  illa  produda  otn 
nia  ad  fe,fupe®dde  etiam  illum  numerum,  qui  i parte  dextra 
in  infimo  loorfblitarie  ponitur . H«c  igitur  aggregato  i tuo 
punefto  fubtrado.abfolutum  erit  illud. 

Vides  ut  ex  infinitis  regulis,  unam  regulam  compofuerim, 
ateg  ita  totum  negotium  hoc  abfolucrim.  Reflat  igitur,ut  ex» 
cmplis  regulam  declaremus. 

V Exemplum  dc  extradione  qua  dr  a ta,flt  numeras 
, ille  prius  politu^  h 2 * . . 

Primo,  fub  ultimo  pundo  fubtrahmur  4,tanquam  maximus 
numerus  quadratus  ,qui  ab  eo(id  eft,i  6 ) poftit  fubtrahi.  Poni 
turergo  radftc.huius  fubtradi  quadrati  (id  eft  1 ) in  quotiente, 
in  rcfidpo  manet  2 : &'  fic  expeditum  eft  pundum  unum, 
paro  iamdiuiforem  ex  figura  quotientis  multiplicata  in  xo, 
fifqj  40  dtuifd»,quo  diuido  pundum  quodreftatdd  eft  17  6 ,6$ 
inuenio  6 nouam  figuram.Sic ergo ftat  exempli  regula. 
t xo  - 6 


3* 


X-"7  4’  ‘Zaokk 


dia*jo,cui  addo  3 6,  fiunt  iy6i 
»**  ye«di  fviiSl 


-2-0 


1 v * »>niv>  t t 


ETICAB* 


PjLn» 


. - — " _ *»■.«,  t- 7 

boc  fubtradum  i pundo  meo, nihil  relinquit.  In  ucn  ta  eft  ergo  ^ 
rad/x  i6 , quam  fi  quadrato  mult/plicaueris  redibit  6 76 . & ita 
probatur  operatio. 

Si  iam  numerus  exempli  huius  habuifler  plura  punda.tunc 
eflet  regula  illa  repeteda.pro  fingulis  pundis.Vt  fi  radix  qua-, 
drata  quarreda  fit  de  hoc  numero  fierioi .Xunc  expeditis  pun 
diis  duobus  ultimis.fic  flabit  exemplum,*  . . P P 

0-ffSftOt  (26  0 

o 


■ 10 


cun^yodCiurif  cfXl+2t/te- 


Totum  quod  eft  in  quotiente  multiplico  in  20,  facit  y 20  diui*  <x 

forem  quo  diuido  pundum  iequens.uidelieet  y 2.  Vides  aurem  . 

ut  ne  iCrnd  QUldfni  lislvsm  Hdiilriffm  in  fitA  ^ im 


lorcm  quo  aiuido  pundtum  iequens.uidelicet  y 2.  Vides  autem  ’ 
ut  ne  femel  quidem  habeam  diuiforem  in  fuo  fuprapofito,  idcolLtjL^^  i&Tsrr»** 
pono  cilram  in  quotiente:  Si  fic  fit  in  omnib.alijs  opcrarionib.^%^ 


— • • ■«%.  Ili  III  UlillllUtdJ 

Pergo  ergo  repetere  regulam.  & fic  flabit, 
260- 


|<wjc  #*£***<■■' a otfy 
■ />  $*> 

StUC*  (T &£otc& 


Multiplicatio  facit  y 100.  addo  1 , facit  y 20 1 , quod  fubtraho  ln2*fZt*xu*nx$  -z<xdi6 
P™<*°  VMt  nihilrelinquit. 

Quando  igitur  uenerit  unitas  pro  noua  figura,  tunc  non  fitaZa  stjpcruz^dt'— — 
8 dextris  progreftiodefcendens.fed  unitas  flabit  loco  quadratr 
a cubi,&:c.Non  folum  hoc  loquor  de  quadrata  extradion?,fed 
dequacunqjalia. 


FExempIum  de  extra  dione  cubica.fit  numerus 
priuspofitus.uidencet?)  eV  a. 


^ m 0 — — ▼ 

Primo.fub  ultimo  pundo  fubtrahitur  2 1 6,quia  non  efl  ma« 
ior  numerus  cubicusquipofHcfubtrahide  238 : remanet  ergo 
22 .unde  fequens  pundum. habebit  hunc  numerum.  22328, 
/\d  quotientem  autem  pono  radicem  cubicam  de  2 1 6. id  eft  6, 

Iam  paro  diuiforem  pro  nouo  digito  inueniende 

300 

- . 6 


Michablis  Stibblit 


V 


/*( 


^S^K^MuIUpBco  ,«n  3 o o .facit  r o3  o o.  & hoc  fuffidt  mihi  pto  d/ul 
^r^^7^^rore,quo  inaeniam  nouam  figuram.  Noua  figura  eft  i,  fcilicet 
^5^25^4^  11318  diutium  per  10800  facit  1:  unde  ficftarregula. 


' 3< 300 

.#-V%  6 1 ■ — 30- 

—Duae  multiplicationes  faciunt  1 1600  8ijiot  quibus  addo  S, 

;^Z£nsp£*  ■ - 


r 

4 

8 


T^iTck  ^£«3  »puncftum  quod  remanferat. 

***** f f ^ f Exemplum  de  extracft/one  furdcfolida.Gt 

u &*****»<  t A^k-  <-  numerus  siffij  i8ji. 


+■  c*f  ff^otAC*rt 


e/ 

HMKX/" 


, numerus  9. 

^ «t  >a^  Jf”  *^jUr  Primo, (ub  ultimo  puncfto  fubtraho  777^,qu/a  no  eft  maior 

furdefolidus.qui  poflit fubrrahi ab  hoc  pundo  9 1 e*. 
^ ^t^W^~Reman«aul*m  1 3 8r,& 6 ponitur  in  quotientemian^i  radix 
' ‘ • furdefolida  de  7776.atcg  ita.abfolui  puncfton/ultimum, 

m m J 


lurdeiolida de 7776.atcp ita aDioiui  punctum uiununn. 

t k *■»!«.  R«ftat  pundtom, . j s » ) x «i » .Quaero  nouam  figuram  in  qua 

tuc~*  7.-.;tieni«mponcndamhocmodo: 

_rj.j  I ^ |»S><5  j-oooo 

10000 

**  T • „ 

>0  * *.«.?»<«, u.  e/  ?>c  Multiplico  duos  fuperiores  inter  fe.uidelicet  1 iptf  « 5-0000^ 
ne**.*  Tt*  £ <*  facit  64800000 : hoc  diuiiore  inuenio  in  puncfto  remanente  1 

--t-  ** — '****¥  f~#nouamflguram.Sic  ergo  ftabit  regula» 

?.7  e/  *'<•  6 j0ooo x 

, 1 . * . , 1 / zi6 10000 4 >•  ' 


.A  ^ ^ .* 


*r+-n*'  m 


, iu»^- ' 3 

?4 


looo- 

J-0- 


8 

/6 

3» 


Harquatuor  multiplicationes  faciunt  1385-31800,  quibusfu# 
peraddo  3 1,  & tunc  fubtraho  £ puncfto  remanente,  tunc  nihil 


relinquitur» 


Exemplum 


Arithmetica»  Lieee,  i.  41^^^^. 

. v FExempIum  de  extradionebfurdciblida, fit  ft+£  ?/~- 

numcrus  ille  i r * i <r ' 4ffo«rxo8 , fa 

Primo,(ubtrahoab ultimo  pundo 4 66$ 6, tanquam ma cJLl4+~* 
mumbfurdeiblidum,qui  fubtrahi  poffitabeo.  Remanet aute/o) 

7zz25*,utpundum  remanens  habeat  7m  r+ffotfio» , Radicem^©  ** 

uero  fubtradi  bfurdefolidi,bfurdefolidam,id  eft  6,pono  in  quo 

tientem : atcg  ita  abfolui operationis  meae  pundum  primurn,£%m***^ 

id  eft  .ultimum  pundum.Notumeft  enim, ut  ultimum  pundu^  - fie&ioc  «fltfy  ^ 

pofitioniSjfit  primum  operationis. 

Quaero  iam  nouam  figuram  pro  remanente  pundo, qu*^  in  oti 


quotientem  ueniat.Hoc  autem  modo  quaero  eam  ^ 

,/z,,vcy 


7000000 


% 100000 
35-0000 
3fooo  lt\ 
»100  "'■* 

70 


.y- 

*~//L  {****■ 1 


4665*6 

777* 

»196 
216 

** 

6 

Multiplico  duos  fupremos  numeros  inter  te, ~ , n 

rem  huius  inuentionis.quo  uidelicet  diuida  pundu  remanens.^^^^j^^t^y* 
Facit  uerohoc  produdum  3165-9x000000.  Vides  autem  ut£’*'^w^r 
illum  numerum  bis  habeam  in  pundo  meo  remanente ; itacg  y%  '■  ** 


.rr ' 


noua  figura  eft  x.  unde  fic  ftat  regula. 


4665*6 

777* 

1196 

xi6 

3* 

6 


7000000 
x 100000 
35*0000 
35*000 

XIOO 

70 


Vides  /n  regula  depidaseflemultiplicationes  iex,  quarum 
produda  addita  ad  te,fadunt  7x2 15*4606030 : huic  adde  » ut, 
tunc  habebis  aggregatum  quod  fubtradum  i pundo  rema* 
nente,delcat  ipfum  totum» 


1 itj 


•'  Michaelis  Stieflii 

T De  extra d/one  zenfizenfica,&dezenficubfca:itemde 
zenfizezenfica,ct  de  cubicubica,ite  de  zcnfurdefolida,n5  opus 
eft  ponere  exempla.  Praeter  hoc  enim, quod  facile  ex  pofitisjex* 
emplis  facere  fit  exempla  huiufmodi  operationfi  tanquam  ex 
fimilibus,  aliam  habent  illae  extra diones  operationfi  formula, 
quam  uel  ex  ipfa  appellarfonfi  ratione  liceat  colligere .fcilicet: 
Extradurus  radie?  zenfizenfica,ex trahat  primo  radice  zen 
ficam.i.quadra  ta.  Et  de  radice  illa  quadrata  denuo  extrahat  ra 
dicem  quadrata:erit  em  haec  radix  zenfizenfica  qua  quaerebat* 
Extradurus  radicem  zenficubicam, quaerat  primo  radicem 
quadratam  ,8i  ex  quadrata  illa  extrahat  radicem  cubicam : di . 
haec  erit  illa  zenficubica  quam  quaerebat. 

Ext/adur*  radie?  zenffz?zcnfica  de  numero  aliquo, quaerat 
primo  radicem  quadratam, & de  radice  illa  iterum  quaerat  ra- 
flicem  quadratam,&  de  illa  radice  tertio  quaerat  radicem  qua* 
dratam;  & illa  tandem  erit  ea  quam  quaert  bat. 

Extradurus  radicem  cubicubicam,  quaerat  primo  radicem 
cubicam  de  numero  propofiro,deinde  de  radice  illa  inoenta  de 
nuo  quaerat  radicem  cubicam:  6i  illa  erit  ea  quam  quaerebar. 

*‘  ExtradurusradicemzeniurdefoIidam,quaeratprimoradi- 
cem  quadra  tam, deinde  quaerat  de  ea  radice  furdefolidam  radi 
cem : & illa  erit  ea  quam  quaerebar.  Et  fic  de  infinitis  alijs, ut 
dezenzenficubica,zenbfurdcfolida,cubifurdefolida&c. 

TSed  tamen  ut  res  eo  fit  planior ,uo!o  radice  zenfizenzenfi 
cam  quaerere  de  hoc  numero  iequenti : uolo  aut  quaerere  iuxta 
regulas  fuperius  fignificatas,4V9497i98<n*  f7»  i . 

Primo,ab  ultimo  pundofolamun/tat?  poflum  fubtrahere: 
irat^  unitas  ponitur  in  quotientem  tanefj  radix zenfizczenfica 
de  unitate,  & remanet  3 .itaqj  feques  pundu  habet  * r 9497»  9 e * 
Quaero  igitur  nouam  figuram  pro  hoc  pundo  per  aggrega 
tumex  80000000  Ci  z8oooooo,hoccft  p er  »08000000  :nam 
, 1 in  quotiente pofita  nullam  facit  progrcfiionc  ut  uidcbis.necp 
multiplicat.lnucnio  aut  3,(cd  recipio  tantumedo  1'  aliis  enim 

' ’ fieret 


Arithmeticae  Liber  7.  44 

fieret  fubirahcndu  maius.cp  illud  i quo  fieri  deberet  iubtradio, 
id  quodf  L'’  'Jr3^  0,1  ' 


3 0000 000 

1 . 

2 

4 

8 

16 

__  ✓ - 

fio 

64 

— 1 28 
276 

nunt  3 1998 1 6?6.Subtra<flus  ille  numerus  i pundo  quod  pr* 
inanibus  habeo,relinquic  295- 1 76o2.hincficutpundumrema 
nens  faciat  »9rirffoiffjf7xiff*,,  * 

Quarro  igit  iam  figura  quoticcis  noua  pro  illo  pOdo  Ccilicct 
multiplico 80000000  i 3783 18 08, facit  2866744640000000- 
& hunc  numerO femel  folumodo  inuenio  in  pundo  meo  remal 
nente.  Vnde  fic  flabit  regula, cum  in  quotientem  ueniatiolum, 
modo  unitas  ad  has  duas  figuras  prius  inuentas  1 2, 

3783 1808  -■  ■ 80000000 — . 

2987984  ■ ■ <28000000  - — 

248832 -■  - ■ . . 7600000  — ■■■ 

20736  ■ 700000———— 

1728——  ^76000  — ... 

144— — — 2800  — 


j 2« 


So 


l .* 


Produda  multiplicationis. 
1866744640000000 
£3607772000000 
!39J47?2ooooo 
14717200000 
96768000 
403200 
960 


I 


Michailis  Stifiiii.  . 

'A  fOOOO 

19000 

1000 

yo 

Qu/ncp  (equcnccs  (crufunt  rad  ici  zcnficubtae, 

600000  ■ 1 

IfOOOO 

; 19000 

, iy°° 

60 

Sex  fequentes  feruiunt  radicibus  bfurdcfolidis, 

7000000 
1100000 
. 35-0000 

35-000 
iioo 
70 

rSed  ufdeamus  quo  nam  modo,quilibet  ordo  tabulae  tran& 
uerfa!is,conftituat  Tuos  numeros  illos  qui  extractionibus  fero 
uianr. Exemplis  autem  optime  uidebimus  boc.  ur. 

Ex  ordine  illo  s.  18. 56.70.  fumuntur  numeri qoiieruiant 
extractioni  zenRzenzenficar. 

Primo  recipiuntur  eo  ordine  quo  ponuntur . Deinde  repe# 
tuntur  omnes  retrograde, excepto  ultimo.  Erunt  ergo  (eptem 
numeri,  uide  licet  8.  18.  56.  70.  56,  a8.  8. 

& cuilibet  eorum  praepono  Tuas  cifras . Recipit  autem  quilibet 
eorum  pro  fe  cifram  unam , & proquolibet  fequenti numero 
etiam  anam  recipit.  Vt  8 recipit  ieptem  cifras,  unam  pro  (e,& 
reliquas  fex  pro  reliquis  fex  numeris  fequetibus : fic  fecundus 
numerus, id  eft  lS.recipit  icx  cifras, unam  pro  (c.&C  alias  quincp 
pro  numeris  quincp  fequentibus  I.fic  tertius.id  eft  r^,  recipit 
quinq; : & quartus,  id  eft  70 , rcc  pit  quatuor . QC  fic  deinceps, 
quemadmodum  uidcs.eos  hic  e fic politos* 


Arithmeticae  Liebr  u 4* 

8000000* 

28000000 

5-600000 

^oeooo 

^ 5-6000 

2800 

80 

Aliud  exemplum.  Vt  ex  illo  ordine,  9. 5 6 . 84. 1 26. 1 26.  fu* 
muntur  illi  nameri  odo,  dcferuicntes  extractioni  cubicubicar, 
uidelicet  9. 36.  84. 126. 116.84. 36.9.  Quia  ergo  funt  odo 
numeri.ideo  primus  recipit  odo  cifras>iecundus  recipit  iepte, 
tertius  fex  recipit  cifras.quartus  quinc$,quint9  quatuor,  fextus 
tres/eptimus  duas,&  odauus  unam : ut  hic  uides, 

. 900000000 

360000000  l \.'J  ; ■ . 

84000000  ■* 

11600000 
1260000  1 
84000 
3600 
9 o 

Vnde  quando  primus  numerus  (ut  abfcp  effris  ponitur)  eft 
par,  tunc  numerus  numerorum  eft  impar.  Ratio  eft : quia  ille 
numerus, qui  in  tabula  eft  ultimus  tranfuerfaliter,no  repetitur. 
Reliqui  ucro  omnes  retrograde  repetuntur,ut  iam  oftendi. 

Quando  autem  primus  in  tabula  traniuerialiter  fuerit  im* 
par  .tunc  numerus  numerorum  eft  par  .Ratio  eft:  quia  omnes 
repetuntur  retrograde .utuidimus.  • - 

Habes  itacp  totum  negotium  per  haec  ablolute  traditum. 

Noucm  (equentes  numeri  feraiunt  zenfurde- 
foltcLc  extradioni. 

m tj 


Michablu  Stivilm  \ 


1000000009» 

45-00000000 
I 100000000 
xi  0000000 
15-100000 
. aiooQoo 
. 110000 

■ ; $ > ; .0  45-000  \ 

loo  , 

Sumpti  funt  autem  numeri  illi  ex  ordine  illo  tabplat  tranfaerli 
lirer  pofico,uideIicet  10.  45-.  110.1 10. 15-1. 

Sic  ex  ordine  illo  tranfuerfali,  r 1. 5-5-.  1*5*.  330. 461, 

Sumuntur  illi  numeri, pro  extradione  radicum  Cfurdeibli* 
darum,  uidelicet  1 r ♦ 5-5-«  165-.  330.462.462.330,  i'ti 

qui  cum  cifris  fuis  politi  fic  liabunt. 

1 >0000000000 
5-5-000000000 

J (<$5-00000000  ^ 

‘3300000000 

462000000 

46200000 

r ->  - * 3300000  , , ' 

165-000 

*.  ss  00 

no 

Et  fic  deinceps  poterit  fecundum  haec,  aliarum  extradionum 
numeros  educere. 

r De  extradione  radicum  ex  numeris  fradis. 


Nulla  radix  rationalis  poterit  efie  in  Minutia , nif?  eam  fi* 
«nui habeat  numerator  &i denominator.  Ex utrocp  ergo rer« 
mino  minuriarquarrenda  eft  eiuflcm  appellationis  radix : ut  7 
cft  radix  quadrata  de^  , Q(  radix  cubica  de  ^ , di  radix  zenfii 
senfica  d?  £7 , & radi*  furdefolida  de^,  radix  zcnffcubica 

deTXj.Etiicdcaltjs, 


Arithmetica!  Liber  i. 

De  Proportionibus,#  earum  Algorithmo. 

Caput  vr. 

a n d e m poli  radicum  extradiones,quaru  ufum 
uidcbimus  in  Algorithmo  proportionum,  uidea 
mus  de  proportionibusnumerorum . Fit  autem 
proportio  numerorum,  ex  collatione  numeri  ad 
i i j numerum, ucl  fub  confideratione  menfuraticol* 
a : mfnfurantcm>ucI  menfurantis  collati  ad  menfuratum. 
Atqp  ita  duo  colliguntur  proportionu  gcnera.uidelicet  Maio. 
fis  inaequalitatis, Minoris inarqualitatis:  & his  duobus  gene 
fibus  opponitur  proportio  aequa  litaris. 

PDe  aequalitate.  > 

PRoportio  aequalitatis  dicitur  ea, qua  numerus  cofirrtur  ad 
numerum  libi  aequalem,  ut  frequentiflimelit  in  Algcbricis 
operationibus,  in  quibus  aequalitatis  uis  & efficacia  mirifica 
inuenitur  ellc  latitudinis  immeniir. 

• ^e.ncC  autcm  ProP°rtio  aequalitatis  quodammodo  medium 
inter  duo  proportionum  genera  inacqualitatis.Nam  proporti- 
ones maioris  inarqualitatis,uidentur  decrefcendo  appropin- 
quare aequalitati:  &'  proportiones  minoris  inaequalitatis  uiden 
tur  ei  appropinquare  crcicendo . Hoc  aurem  mirum  eft.quod 
abunaquaqj  proportione  maioris  inaequalitatis,  iit  infinitus 
oefcenfus  ad  aequalitatem.  Vt  proportio  dupla, ».  j.  hic  d/uifa 
eft,2,).4.in  (efquialteram  & ieiquiiertiam  i & leiquitertia  hic  • 
6.7.8.diutTa  cft  induasalias,quarum  qutrliberdiuifibilis  fit  in 
#duas  alias . 8c  fic  defpceps  in  infinitum,ut  nunqua  fit  deuenire 
ad  aequalitatem. 

r Aliud  uide  experimentum.  Quemadmodum  dupla  adJira 
ad  iubJuplam,ladtaequalitatern:  ficquaelibetproportiomaro 
ris  inaequa  litatis, addita  ,p  portioni  minoris  inaequaliraris,qu<e 
fit  confimilis  appellationis,  conftituit  proportionem  aequali* 
Catis.  Er  ha.  ratione  uidetur  non  folum  medium  tenere  inter 
l «oiq 


I 


' * Michabu*  Stifblii 

proportiones,  (ed  uidetur  etiam  omnes  &t  fingulas  proportio# 
nes  utriufq?  generis  complicare,  accp  unamquancg  mutare  de 
genere  in  genus,  dum  eam  abijeit  i ie,  fcilicet  dum  fubtrahitur 

Sroportio  ab  arqualitate.mutatur  genus.  Ipfa  autem  aequalitas 
ue  addatur  fiue  fubtrahatur  i proportione  quacuncp,  nihil  ex 
ea  mutat ; nec  ipfa  mutatur  quacuncp  multiplicatione  aut  di# 
uifione, 

FDe  proportionibus  innequalitatir,&  de 
fpecfebas  earum. 

T T Trunqj  genus  ( id  eft.maioris  inaequalitatis  & minoris) 
V <n  fpecies  quincp  diuiditur. 

Nam  proportionum  maioris  inaequalitatis , quaedam  funt 
fub  fpecie  mu1tiplicium,quacdam  fub  ipecie  fuperparticulariu, 
quaedam  fub  fpecie (uperpartientium,quaedam  fub  ipecie  mul* 
tiplicium  iuperparticulariuro,&  quaedam  fub  ipecie  multipli# 
Cium  fuperpartientium. 

Sic  proportionum  minoris  inaequaliratis,quaedam  funt  (ub 
fpecie  fubmulciplicium, quaedam  fub  ipecie  iubfuperparticula# 
rium , quaedam  fub  fpecie  fubfuperpartientium  .quaedam  fub 
fpecie  iubmultiplicium  fuperpaj-cicularium,  di  quaedam  funt 
fub  fpecie  fubmulciplicium  fuperpartientium. 

V Vides  ut  in  utrocp  genere,  fpedes  quarta  & quinta  ,habe# 
ant  appellationes  compoiitas.  Vc  autem  facileeft:  fecernere 
genus  i gne,ita  fpecies  i fpecie  facile  difcerni?,in  utroq;  genere. 

Satis  uero  indicatum  efh  ut  ipfa  collationis  uariatio  mutet 
genus: utdum  confero  3 ad  z,con(lituo proportionem maio# 
ris  inaequaliratis.Dum  aut  confero  1 ad  3 (id  eft,minore  num« 
rum  ad  maiore)  conftiruo  proportione  minorisinarqualitatis. 

Videbatur  mihi  olim  diftintftio  illa  generu  maioris  inarqua 
litatis  et  minoris,nihil  aliud  liabere  quam  inanem  uerbofitate, 
& difpliccbat  mihi.doncc  in  Algebr/cis  & Geometricis  exerci- 
tijs  fentirem  eius  diftincflionis  ulum.Item  aliquSdo  cogitabam 
de  proportionibus  minotisin%qualitatis,tanquade  fidis  pro» 

portionibus 


i 


Arithmiticai  Liber,  i.  4$ 

portioibus  di  minime  ueris:&  quae  fub  aequalitate  e flent  fidhe, 
queadmodum  fingutur  numeri  minores  nihilo, ut  funt  o -—3. 
o — 8 ,&c.  Poftea  uero  uidi  tam  uere  dici  4 efle  fubduplum  ad 
8,auim  uere  dicitur  otftonarius  duplus  elTe  ad  4. 

Proprie  autem  ipfa  figuratione  difeernitur  genus  maioris 
inaequalitatis*  minore  fle:  Vt  dum  maior  terminus  ponitur 
fupra  minorem(ut  hic  * ) reptat fen ta  tur  genus  maioris  inxqua 
litatis : dum  uero  minor  terminus  ponitur  fupra  maiorem  (ut 
hic  \ )repraefentatur  genus  minoris  inacqualitatis.Dum  autem 
terminus  fcquitur  terminum, id  quod  frequentius  fieri  ioIetCut 
hic  2.3*)  tunc  difeernitur  genus  a genere , ex  uerbis  illius  qui 
cos  fic  ponit. 

TDe  fpeciebus  etiam  utriuftp  generis dixi.qudd  facile  di- 
fcernantur.Difcernuntur  autem  diuifione  maioris  termini  per 
minorem : aut  enim  prouenit  integer  quotiens  fine  aliqua  mi> 
nutia,&  tunc  eft  fpecies  multiplex  aut  fubmultiplex : aut  pro* 
uenit  unitas  cum  minutia  habente  unitatem  pro  numeratore, 
& tunc  eft  fpecies  fuper particularis  aut  fubfuperparticularis; 
aut  prouenit  unitas  cum  minutia  habente  numerum  pro  nume 
ratore , & tunc  eft  fpecies  iuperpartiens  aut  fubfuperpartiens; 
aut  prouenit  numerus  cura  minutia  habente  unitatem  pro  nu 
meratore , & tunc  eft  fpecies  multiplex  fuperpartiailaris  aut 
fubmultiplex  fuperpartiailaris.*  aut  prouenit  numerus  aim  mi 
siutia  habente  numerum  pro  numciarore,&.'  tunc  eft  fpecies 
multiplex  fuperpartiens.aut  eft  fubmultiplex  fuperpaniens. 

Tales  igitur  funequotientum  fignationes. 

V 'a*  »?•  if,  . , 

Signationes  quinqi  fpecierum  maioris 
inaequalitatis. 


1» 

Sequuntur 


1 


* • MicHAEtir  Stipelii 

i 

Sequuntur  lignationes  qufncg  fpecierum  minoris 

inaequalitatis,  * 

i I x.  - I-  | j-  x J.  ) • 
x | j | r I r I 9 r 

Obferuabis  autem  quot/entes  proportionum  nonefle  unita 
tum  fradiones  fed  numerorum, ut  x £ repraefentat  4 contineri 
fub  hoc  numero  1 1,  bis  cum  tribus  quartis  quaternarij:  atque 
ita  repraeientat  minor  inaequalitas.Vel  x\  repraeientat  1 1 con 
dnere  4>bis  cum  tribus  quartis  quaternarii:  atcp  ita  reprzfenra 
tur  maior  inaequalitas. 

• Ex  rjs  quae  iam  dixi  de  utrocp  genere  proportionum, fuffici-r 
cnter  intelligis,  ut  uno  genere  declarato  per  fpecies  & fubfpe- 
cies  fuas , alterum  quocg  genus  (7mul  fit  fatis  declaramm. 

Quantum  autem  ad  appellatione  attincr,minorinnrqualiras 
femper  prarmit  tit  uocabulis  fpecierum  et  fubfpecierum  fuarum 
praepofitionemhancgramaticalcm  svb, atque  ca  praepofitione 
omnino  differunt  appellationes  proportionu  minoris  inaeqa* 
litatis  ab  appellationibus  proportionu  maioris  inaequalitatis, 
Vc  autem  genera  differant  in  modo  referendi  terminum  ad  ter 
minum , item  ut  differant  diipofitionc  terminorum, fatis  indica 
tum  cft.Itacp  genus  maioris  inarqualitatis  uolo  per  fuas  fubfpc 
Cies  monftrare,quantum  fufficere  puto,ne  uerba  fruftra  multi* 
plicentur  in  re  manifcfta. 

Sequuntur  lignationes  fpecierum  Maioris  inaequalitatis  __ . 
cum  appellationibus  earum» 


fSignationes  fubfpecierum  fpeciei  multiplicis 


I 1 1 : I 

[Tripla  I Quadrupla! 


Pupia  [Tripla  [Quadrupla!  Quintupla 


Sextupla 


V Signationes  fubfpecierum  fpeciei 
iuperparticularis» 


Arithmeticae  Liber  i. 


r» 

Sefquudten 

l k' 


4' 

I 

Sefquitcrtii 


S 
4 

Sefquiqmrti 


Quotientes  earum. 


4 

r 

Scfquiquinti 


»T« 


* 7* 


4P 

7 

&C. 
Scfquifexti.  p 


Vides  ut  in  his, appellationes  uarientur,  fuxta  denomina 
torum  uariationes. 

V Signationes  iubipecierum  fpeciei  (uperpartientis* 

Habet  harc  fpecies  infinitas  fubipecies  aliarum  fubfpecieru: 
& tamen  proportiones  fub  tam  infinitis  infinitatibus  fingulas 
occurrentes  facile  appellabis  ex  quotientis  infpe&ione,  quem 
facit  diuifio  maioris  per  minorem  terminum.  Variantur  uero 
appellationes  iuxra  uariationem  numeratorum  & denomina- 
torum minutiarum  in  quotientibusinuentarumfut  uidebis. 
Diligenter  autem  obleruabis  in  fuperpartientibus  & multipli  - 
dbus  fuperpartienribus  (in  alijs  no  opuseft ifta  obferuatione) 
ne  appellationem  fumas  i quotiente,qui  minutiam  habeat,cu- 
ius  termini  ad  inuicem  fint  compotiti. 

»3 

ii&c* 
Superbiparties 
undecima. 

* 7i* 


5*  ; 

3 

Supcrbipirties 

tertus 


7 9 U 

5-  7 9 

Superbipirdens  Supcrbipirties  SupcrbipsrUcns 
quintis  (eptimis  norns 
Quotientesearum. 


* 7* 


»7* 


Aliae  fpecies  fuperpartientes» 


7 

8 

IO 

II 

4 

r 

7 

8 

Supcrtripirti- 

Supcrtripirti’ 

Supertripirties 

Supertripirties 

pts  quarta. 

ens  quintis. 

feptimss , 

odium» 

»3 

I o 

Supertripirties 
deams. 


•i- 


<7- 


Quotientesearum^ 

* 7»  1 

Sequuntur  aliae  Agnationes  fiiperpartientfutn» 

Q 


I |o* 


* 

II 

d 

IT 

s 

7 

9 

II 

Superquarpdr. 
lient  quintae. 

Superquarpar- 
tiens  feptimae . 

Superquarpdr * 
tiens  nonae. 

Superquarpdr. 
tiem  undeamas 

MlCHABLlf  STIFBII! 

»7 
»3 

Superquarpdr» 
dens  tredeamm 

Quotknfes  earum. 
if*  »£•  »$•  »m*  * V 

Et  ira  in  infinitum  protenduntur  fubfpecierum  fpecicshu» 
iuslpecieitcrriar:  ut, 

• 5*  * ■*«  i j*  ® 

Item, 

I 1 7f*  * r»« 

rSignationes  fubfpecierum  fpeciei  multi* 
plicis  fuperparticularis. 


V. 


X 

a 

I Hptafefqm» 
altera. 


7 

3 

Dupldfefqui' 

tertia. 


* M 

4 r 

Dupldfefqui • Dupla  fcfqui. 
quarta.  quinta. 

Quo  tientes  earum. 


»3  a 

6 &C. 

Dupla  fefquio 
I exta. 

*?• 


7 

a 


io  1 13 

1 16 

** 

%t 

3 1 4 

1 J 

6 

1 7 I 

1 8 

Qaotientes  earum* 

3r*  3?*  3f*  3ff*  3f*  3 i* 

Quadruplar  iuperpartieulares. 

4**  4t*  4?«  4r*  4?* 

Et  fic  de  alrjs  in  infinitum. 

fSignationesiubfpecie^  fpeciei  multiplicis  fuper  partientis. 


8 

3 


Dupla  fuprrii> 


1 1 


Duplafuperbi 


porticui  tertiat,  jpartiet  quintat.\partieefeptimoilpartieni  imas 


1 6 
7 

Dupla  juperbi 


20 
9 

Dupla  fupctbim 


*4 
1 1 

Dupld  fupbipar 
nens  undecimae 
Quo* 


Arithmeticae  Liber  t$  ?o 
Quotientesearum. 

, *j«  *T*  ^71* 

Vide*  ut  denominationes  uarientur  fecundum  uaria  tfonem 
Humeri  integri  & utriufcp  termini  minutiae. 


ii 

4 

II 

) 

TripU  fupnbi- 
portent  terto, 

»r 

4 


Duplae 

»5 
r 


upertripartientes 


17 

7 


»9 

8 


»5 

io  Si c. 


Quotientes  earum. 

* 1 1. 

Triplae  fuperbfpartientes. 


1 r* 


o» 


17 

r 

Tripla  fuperbi- 
partient  quinto 


M 

7 


*9 

9 


Tnplj/upWpsrlTnpfd  /aperto- 
tiens  fcptimo  \psrtiens  nonas 
Quotie  ntes  earum , 

5 7»  3$» 

Triplae  (upertripartientes. 


3J-  . 

1 1 Sic. 

Tripla  fupbipar 
a ens  undcfimat 


5 TT* 


I» 

f 


3*. 


»4 

7 


53 

«9 


3< 

H&e* 


jfl* 


Quotientes  eorum, 

. 3j* 

Et  f?cde  alrjs  in  infinitum, 

FVides  fatis ut  ubiqj appellationes feu denolationes pro- 
portioni! fumantur  fecudum  quotientes  dfuifioniS.quibus  ma< 
for  terminus  diuiditur  per  minorem, at  facile  fit  inuenire  deno 
mination?  ^portionis  inter  quofcucp  duos  numeros ,ppofitos. 

Sub  duobus  generibus  proportionfi  inaequalitatis  continen 
tur  dece  fpecies.quincp  maioris  inarqualitatis,&  quincp  mino- 
ris inaequalitatis.  Ex  illis  decem  fpeciebus,funt  qua  tuor  fpecies 
'quar  u quaelibet  fuO  ordine  unicG  habet  cotinentc  fpecies  infinf 
(as:  & ex  illis  duae  fpcdesfunt  maioris  inaequalitatis,uidelicet 
multiplex  & fuperparticularis,&  duae  funt  minoris  inaequali» 
(is, uidelicet  (ubmultiplcx  et  fubfupcrpaiticularis. 

o ij 


% 


Michablij  Stipeui 

Deinde  ex  reliquis  fune  qua  tuor  fpecies  aliquarum  quae* 
libet  infinitos  ordines  habet  ,&  fub  quolibet  ordine  infinitas 
fpecies  proportionum.  Et  ex  illis  funt  duae  maioris  inaequali* 
tatis.uidelicet  fuperparties  et  multiplex  fuperparticularis:duae 
uero  reliquae  funt  minoris  inaequalitatis,uidelicet  fubfuperpar 
Ciens  St  fubmul  tiplex  fuperpar  ticularis. 

Demum  reflant  duae  fpecies,quarum  quaelibet  infinitas  ipe- 
cies  complicat, ita  ut  quaelibet  earum  infinitos  ordines  harbear, 
& in  quolibet  ordine  infinitasipecies  proportionum . Harum 
una  efl  fub  genere  maioris  inaequalitatis , uidelicet  multiplex 
fuperpartiens:  altera  efl  iub  genere  minoris  inaequalitatis,ui* 
delicct  fubmultipiex  fuperpartiens. 

VDc  inuentione  duorum  numerorum  iub  fpecie 
aliqua  proportionum  propofita  quacuncp. 

Scribe  quotientem  fecundum  denominationem  (eu  appelfa 
tionem  quam  audis  i proponente, ut  fi  quis  petat  i te  dari  pro- 
portionem , duplam  fupertripartientem  feptimas , iuxta  hanc 
denominationem.hunc  feribito  quotientem  St  cum  ex  quo 

Ciente  ilfo  unam  minutiam  feceris(ut  ex  i|,fit  ferunt  termini 
minutiae  illius,termini  proportionis  quam  quaeris,ut  ^eft  pro 
portio  dupla  fupertripartiens  fcptimas,fada  ex  quotiente  hoC 
25. Pro  inuenienda  proportione  iub  fpecie  multiplici,ut  efl  dm 
pia, aut  tripla  &c.nihil  aliud  facies , nifi  ut  numero  appellat  io#’ 
nis,unitatem  fub(cribas,ut  decupla  fic  flabit  J °« 

FDe  Proportionalicatibus,  . 

PRoportionalitas  nihil  aliud  efl  quim  proportionum  aequa 
lfum  per  inaequales  numeros difpofit/o. Quaedam  propor 
tionalitatesfuntcontinuae,ut  progreffiones  Geometricae.de 
quibus  didum  efl  quarto  capite.  Tot  autem  funt  fpecies  pn> 
portionalitatum  continuarum,  quot  ipfae  proportiones  fpecie 
bus  fubiacent.Quim  uero  infinitae  fint  fpecies  proportionum» 
fatis  dixi  paulo  fuperiuS . Et  ut  ex  duobus  numeris,cuiufcuncg 
fuerint  proportionis,  poffis  proportionalitatem  cotinuam  de* 

ducere 


Arithmeticae  Liber  i. 

ducer e.pofui  fuperius  in  parte  quarta  regula.  Item  cuiufcunc$ 
propor  tionis  quotientem  potueris  pro  radice  ,pgreffionis  Geo 
metricae, erit  dedudio  illa  progreflionis.proportionalitas  con, 
tinua.denominata  i proportione  q fecerat  illum  quotiente , ut 

i.  i?.  3 a*  S n?.  7il.eftproportionalitasfcfquialteras 
proportonis. 

r De  proportionali  tate  contigua.  ,• 

/'""lOntigua  fcu  difeontinua  proportionalitas,fub  quatuor 
V^/foIummodo  terminis  utilis  ede  inuenitur,  & ualde  utilis. ; 
adeo  ut  fere  nihil  fit  in  mathematicis  difciplinis,  quod  non  ufii 
eius  gaudea  t.Sic  autem  eft  natura  eius.ur  d aabus  proportioni 
bus  «qualibus,  fub  quatuor  terminis  conftitutis,  fit  contenta, 
nihil  omnino  curans  qua  proportione  habeant  termini  medq’ 
dummodo  proportio  duorum  pofteriorum  teririinoru  refpon 
deat  proportioni  terminorum  duorum  priorum . Prior  autem 
proportio  ponitur  tanqua  exemplar,  Sifequitur  pofterlor  tan- 
quam  exemplatu  opus,  ex  aequalitate  prioris  fumptu . Et  quia 
proportio  inter  duos  medios  terminos  non  curatur,  contingit 
nonnunquam  ut  continua  proportionalitas  pro  contigua  fe 

afei 


ingerat  .praeter  negotq , quod  geritur,iadura  feudetrimetum* 
Exemplu  Gcometricu, 

Quoties  duae  lineae  di 
ufdunt  quadrangulum 
reda  ngulum  orthogo* 
naliter.tuc  qua  tuor  par 
tes  diuifi  quadranguli, 
erunt  ad  inuicem  pro» 
portionales. 

Huiufmodi  figuris  ea 
oculis  fubieda  uides,q  . 

Euclides  de  quatuor  nu 
tmris  proportionalibus 
proponit , ut  14.  quinti 


| 1 s»*- 

^ r*V  ^ y*&t*M* 

> r*7 

4* 


Michablij  STfF H L II 

fic  dicit:  Si  fuerint  qua  tuor  qualitates  proportionafes.fuerftfgt 
prima  maior  tertia,  fecundam  quarta  efle  maiorem  necefle  efh 
quod  (i  prima  minor  fuerit  tertii,  erit  etiam  fecunda  minor 
quarta. 

Item  G fuerint  qua  tuor  quantitates  proportionales,  permu- 
tatfmquocp  proportionales  erunt:  & eft  14  fcptimi,item  1 6 
quinti . hoc  eft,  Gcut  ea  eft  proportio  primi  ad  fecundum, quae 
eft  terti)  ad  quartum:Gcea  eft  proportio  primi  ad  tertium,quae 
eft  fecundi  ad  quartum. 

Item  quae  eft  proportio  primi  ad  fecundum, ea  eft  proportio 
primi  & tertij ad  fecundum  dC quartum.  Hoc uult Euclides  j 
iept  imi, item  18  quinti.ubi  fic  proponit:  Si  fuerint  quantitates 
difiundim  proportionales.coniundim  quocp  proportionales 
erunt.  Sic  quae  eft  proportio  primiadtertiuni.eaeftpropors 
Cio  primi  & fecundi  ad  tertium  & quartum. 

Quando  tertius  inter  extremos  fuerit  medium  arithmeticas 
le,tunc  fecundus  inter  eofdcm  extremos  erit  medium  harmo* 
nicale , ut  6. 9. 1 x.  18.  Quando  unus  ex  eis  fuerit  quadratus, 
necefle  eft  ex  multiplicatione  trium  reliquorum  inter  ie  fieri 
quadrarum.  Quando  utertp  extremoru  fuerit  cubicus. necefle 
cftquatuor  illos  proportionales, non  contigue  fcd  continue 
efle  proportionales. 

Ex  multiplicatione  duorum  mediorum  inter  fe.&diuiflone 
produdi per  primum,nccene  eft  produci  quarrum.  Et  haec  eft 
regula,  quam  DeTri  uocant , id  eft,  regula  de  tribus  numeris 
propofitis  quibuicuncp,  per  quos  inueniatur  quartus,  propor* 
tfonalis  ad  tres  priores  propofitos.Quidam  uocant  eam  Mer- 
catorum regulam cd  quod  omnes  calculationes  earum  medi* 
ante  hac  regula  fiant.  Alij  uocanteam  regulam  auream,obex» 
ccllcntiam  eius,&  immenfam  latitudinem  eius,  ut  quae  ferd  in 
omnibus  negotrjs  & artibus  homini!  fe  immifeeat  & confulat. 
Siquidem  & Algcbra  ipia,quantacuncp  laude  iplendeat,  nihil 
cflet  abfty  huius  r egulae  auxilio. 

Duo 


Arithmeticas  Liber  i. 

Quo  extremi  termini  inter  fe  multiplicati.idem  faciunt  pro 
dutf  u,  quod  duo  medij  inter  fe  multiplicati.Et  harc  eft  oprfma 
probatio  regulat  De  tri,&  eft  2 o .feptimi  Eudidif : qux  in  AU 
gebra  etiam  frequentatum  habet  ufum. 

Ex  ea  fequitur,quod  ex  multiplicatione  quatuor  terminoHS 
inter  fe  nccefle  eft  produci  numerum  quadrarom.Ex  multipli* 
catione  duorum  mediorum  inter  fe,&:  diuifione  produdi  pro- 
uenit  primus.Et  haec  eft  regula  quam  De  tri  inuerfam  uocant 
quae  & ipfa  ufum  habet  in  uarijs  negotq s. 

Contingunt  etiam  calculationes,  ut  fuis  locis  uidebimus,  in 
quibus  mediorum  alter  inueniedus  fit  per  reliquos.  Vt  tertius 
prouenit.fi  produdum  extremorum  inter  fe  multiplicatorum 
diuidarur  per  fecundum:  fic  tatius  diu/dens  produdum  extrc 
morum  .producit  fecundum. 

T Algorfthmus  proportionum. 


'didum  eft  iniuperiore  loco.ltemde  redudione  propo 
donum  in  terminos  fuos  proprios.non  opus  eft  aliqua  alia  re* 

§ula  .quirn  ea  quam  dedi  in  Algorithmo  minutiarum,  de  re- 
udtone  terminorum  minutiarum  in  terminos  minimos ; ex 
prima  & fecud?  feptimi  Euclidis.  Reflat  nunc  ut  de  additione 
« fubtradione.de  multiplicatione  & diuifione  dicam. 
FRegula  Additionis» 

Multfplica  duces  inter  fc,  & comites  etia  inter  fe  multiplica. 
Boetius  ducis  uocabulo  notat  terminum  proportionis  qui 

fuperne  fcribitur.dum  ipfa  proportio  ponitur  ad  regulam.  Sic 
Comitis  nomine  fignat  termini!  alterum  qui  infer  ne  feribitur. 
Exemplum  regulae. 


9- 

4* 


■7 


fac/t 


IX 


Demonftra  tio  regulae. 

V idc  ut  ex  duobus  ducibus.unus  dux  fia  t : & ex  duobus  co. 
anicibus.unuscomes. 


Certe 


Michablis  Stieflii  . 


i » 

%<  I 

I . 


1 1 

1 

1 

LL 


I 


I 


I I I 


l I r 


1JJ. 


II  I 


I I I 


I I I 


i I I 


I I I 


m 


Certe  uides,  ut  linea  longitudinis  in  minore  quadrangulo 
fit  4 : di.  linea  longitudinis  iq.fnaiore  quadrangulo  fit  9.  Et  ut 
9 ad  4 faciat  unam  proportionem , Deinde  linea  latitudinis  in 
minore  quadrangu!o,uides  efle  3 : & Iincaitf  latitudinis  in  tna« 
iore  quadrangulo  uides  efife  7.  & ut  7 ad  3 faciat  aliam  propor 
f tionem. Tertio  uides  aream  minoris  quadranguli  eiTe  1 2 : 8i' 

aream  maioris  quadranguli  efie  63 . & ut  6 3 ad  1 2 faciat  unam 
proportionem  aggrega  tam  ex  duabus  proportionibus  la  ter  u. 
Sic  Euclides  proponir  j-.odauiiOmniumdnquitjnumerorum 
compofi torum  proportio  unius  ad  alterum,eft  produda  ex  Isu 
terum  fuorum  proportionibus* 

Exemplum  de  genere  minoris  inaequalitatis . 

s*  4 3 facit  •* 

w-  * /m£  - rRc«ula  C>btta«S*,nto. 


yCrLo  t~l  ^erm^nos  proportionis  (ubtrahendae  t ranipone  ( id  eft,e* 

^ ZZZ  fcccomitem,&  ex  comite  ducem)  & tunc  operare  fecun* 

«K*****iluiii  regulam  additionis:  ut  | fubtrahenda  de  ?’,fic  fiat  ad 

f2tfacit'qj relirta proportio  hoceft 

Item  5 fubtrahenda  de  fic  fiat  ad  regulam,  \ ~ i^facirtp 

08  ja  0ci  r 


^ -rirfiTjcf^rfnju«a  regulam  additionis:  ut  | fubtrahenda  de  ?2,  fic  fiat  ad 

— - — <-  - - , - T * 

Cum  autem  additio  proportioni!  .fimilis  fit  multiplicationi 


*r‘Vr7>fdeft 
»iUk 


e/  fa^  pr^  minutiarum 

tJtffr  StUsof}  \ytJe3’  . **’ 


0»ttJi’00r' 
l ib,*,  tiri  j,  »io  ,* 


- Arithmeticae  Liber  r.  ff 

minutiarum, reftat  ut  iubtradio  proportionum  fimilis  Htdiui 
fioni  minutiarum* 

Quando  ex  fubtradione  mutaf  genus, hoc  lignum  eft,  fub» 
trahendam  proportipnem  fuifle  maiorem  ea  i qua  fadaeft 
fubtradio.  * 

VDc  multiplicatione* 

Quemadmodum  pannus  aut  lignum,  non  multiplicat ,(cd 
multi  plicatur  :fic  proportio  non  multiplicat  ied  multiplicatur. 
Habet  autem  multiplicatio  duas  regulas,unam  quae  docet  mul 
tiplicare  proportiones  per  nutri  eros  integros : alteram  quae  do 
cet  eas  multiplicare  per  numeros  frados  feu  per  minutias. 

Regula  muitiplicationisproportionum  per 
1 numeros  integros. 

Pro  numero  multiplicante,  pone  proportioni  multiplicans 
jiam,  quoties  ipfenur.iCrus  multiplicans  continet  unitatem: 
deinde  multiplica  duces  inter  Omiliter  comites  multiplica 
inter  ie.Vtuolo  multiplicare  l per  4,  pono  ergo  i quater,  hoC 
modo:  i.  facit  fi* 

Regula  multiplicationis  proportionum 
per  numeros  frados. 

Primo,  multiplica  tuam  proportionem  per  numeratorem, 
iuxta  regulam  iam  fuperius  politam . Secundo,  ex  produdo 
fa  do,  extrahe  radicem , qualem  denominator  minutiae  reprar# 
fentat.  Exemplum. 

Volo  multiplicare  fi  per  primo  multiplico  iuxta  numera 
forem,  hoceft,ego  triplo  hanc  proportionem  propolitam  fle, 
fi.  ?i.  fi*  facit n ii^i*  Deinde  quaero  radicem  zenfizenficam 
ex  utroqp  termino,facitzi.Ideoautequaeroradicem  zenlizen* 
(icam,  quod  denominator  (id  eft  +)  reprarien  tat  radicem  zenli* 
zenlicam, quemadmodum  z rcprcrfentat  radicem  quadratam, 
&C  3 repraelentat  radicem  cubicam : ut  fatis  docui  fuperius  in 
parte  libri  huius  quinta, ex  hac  progreftione, 

1 ia.  6 


y* 


t 


— , 

'*>  .^Michaelis  Stipeli!  n. 


i fDe  diuifione  proportionum.  * * 

Quemadmodum  numerus  ulnarum  diuiditur  uel  per  nume 
rum  ulnarum,uel  per  numerum  abftradum:  fic  proportio  d U 
Uiditur  uel  per  numerum  abftracftum.uel  per  proportionem. 

Quando  proportio  diuiditur  per  proportione, tunc  in  quo* 
tiente  prouenit  numerus  Si  nunquam  proportio:quia  inquiro 
quoties  proportio  diuidens  inueniatur  in  proportione  diuiden 
da, ideo  neceflTe  eft  ut  proueniat  quotiens  aduerbialis.  Eodem 
modo  diuiditur  pannus  per  pannu:inquiro  enim.quoties  pars 
panni  fumpta  iuxta  meniura  ulnar  .inueniatur  in  ipfo  panno* 
Quando  autem  proportio  diuiditur  per  numerum  abftra* 
dum, tunc  femper  prouenit  in  quotiente  proportio:  quia  tunc 
inquiro,an  ipfa  proportio  pofltt  diuidi  in  partes  aliquot  inter 
& xquales . Sic  dum  diuido  Borenum  per  numeru  abftra&utn, 
tunc  prouenit  quotiens  nominalis  & dcnominatus,3tc. 

THabet  aut  diuiflo^ppordonu  tres  regulas,ut  iam  uidebis. 
i Regula  diuilionis  proportionum  per  proportiones. 

Subtrahe  proportionem  diuidentem  i proportione  diuiden 
da, donec  uel  aequalitas  occurrat, uel  genus  proportionum  mu 
tetur.ColHgitur  aut  quotiens  ex  unitatibus  illis,quibus  fignan 
cur  uices  fubtradionum ; nam  uice  uniufcuiufqj  fubtradionis 


ponenda  eft  unitas. 

Exemplum  de  occurrente  aequalitate» 

Vtuolo  diuidere  per  1 ,id  eft  per  feiquialtera  proportione* 

Prima  (ubtradio. 


■7i9  facit  ftu  »43 

64  191  3» 

Secunda  fubtradio* 


facit  4‘? 

3»  96 

Tertia  fubtradio» 

facit  161 
— 1 6 48 


feu 


fcu 


81 

16 


»7 

8 


Quarta 


Arithmeticae  Libes,  r. 

Quarta  fubtracfHo. 

facit  (eu  * 
24  4 


?4 


-»7 
- 8 


»• 
3 ' 


Q*Unta  liibtraftio. 

=4  ftc,t  !I 


feu 


I 

a 


.*• 

3- 


Sexta  fubtraftio, 

•l  ^ 6 Ecce  aequalitas; 


Quando  occurrit  squalitas,  lignum  cft  proportionem  dlui 
dentem,numerarediuidendam  proportionem  prxcile  :&e(Te 
diuidentem  proportionem  panem  aliquotam  proportionis 
diuidendx. 

Quia  autem  fatftae  funt  lex  fubtradiones,ideo  quotiens  diul 
(Ionis  huiuseft  6, 

Exemplum  ubi squalitas  non  occurrit* 

Quando  non  occurrerit  squalitas,  ied  genus  tantum  fuerit 
mutatum, fignum  cft  proportionem  diuidentem  cfle  partem  ali 
quanta  diuidends  proporrfoni$,&  diuidendam  np  numerare. 

Prima  (iibtractio.  - 

2 »37  facit  1 W6 


V t uolo  diuidet  e 


8 

»7- 


8- 

»7' 


Ii8  34 T* 

Secunda  fubtrad/o. 

8'  facit 
i<5  41» 

Tertia  fubtradio* 
=1  bdt  » 


lea 


feu 


8 1 
1 6 

3 

s 


• t* 


* V 


(eu 


4 

9 


Vides  hic  genus  eflfemutarumiprouenit  enim  proportio  m( 
norisinsqualitatis.Quare  tertia  fubtra&io  non  debuit  Heri. 

Quia  ergo  dus  fubtradliones  fadls  funt,  ideo  quotiens  fa- 
dt » .Remanfit  aut  £ , & eft  illa  remanens  proportio, tertia  pars 

i ^ - i . v:  o ij 


Michaelis  Stifelii 

diuidentis  proportionis.ideo  totus  quotiens  facit  xf,Eft  igitur 
proportio  dupla  fefquitertia  inter 1 J £ e & x a-  - 
Regula  diuifionis  proportionum  per  na* 
meros  integros. 

Pro  abfolutione  diuiforis,  extrahe  de  utrotp  termino  pro- 
m tyax.  portionis  radicem  illam  quam  diuiior  reprariencauerit : ut, 
i diuifa per  i, fecit  x7.  Item 7^diuiia  per  3 .facit  Item 

, diuifa  per  6, facit  Item  xt’  diuifa  per  y, fecit  i . Item 1 dfe 

6V)r-  i uifa  per  4, fecit  f.  Item 1 diuifa  per  7 .facit  l . Si  fic  de  altjs. 

Regula  diuifionis  proportionum  per 

Permuta  terminos  minutiae  diuidentis , & tunc  operaberis 
»7 


r r 


Itixta  regulam  multiplicationis  fuperius  datam  ,uidelicet  de 


7 multiplicatione  proportionum  per  numeros  fracflos. 


• •*  r^^t^-W^ExempIum. 

T”  VoIo  diuiderelg  per  | : fic  ergo  ftatexemplum  ad. regulam. 


7 igitur  4 hanc  proportionis  repe  titione, ^^a.17, 

* Lt  • ? • facit  ’^o9j'«  Deinde  quaere  radicem  cubica  de  utroqp  termino 

to  scJ&>  -tom*.  jpportionisfadaeCpropter  3 repraefentante radicem  cubicam) 
J ^fecit  tff.itaqj^s  diuifa  per  £ facit  ®£. 

'ToC^vK- 


V Sequitur  de  proportione  minutiarum* 


£ P°^tis  minuti js  duabus, illa  erit  inter  eas _proportio,quae  fiie 


7 __ 

^5^  ^^T^Siitinuenta  inter  numeratores  illarum,  poftquam  ad  aequales 
J GT  denominatores  fuerint  redudar. 

-v  y Vt  inter  f Si  | eft  proportio  fefquiodaua : nam  redudae  ad 

aquales  denominatores  fic  ftant,~  . t£. 

PDe proportionibus progreffionum. 

n'  ux  Polito  numeroru  ordine  quocunq?,  proportio  quae  eft  inter 

»ii!U.  'M/»^^'iaii»i<rxtremos  numeros,conftat  ex  additione  omnium  proportio- 
^^/L*T*^*«AGe«^.numintermediarum,ut3.  j-.  6,  3. 12. 13,  »4.Quaeeft  propor 
pTx»g^v-tio  1 4 ad  3 . ea  eft  .pportio  colleda  ex  omnibus  his  iequentib* 
|:‘J:  JI:  |J:  facit  autem  additio  omnium  harum  propor- 
m-  proportionem  hanc  uljia.hoc  eft 

‘ 5^'JL  /( 


Arithmeticas  Liber  i. 

Sed  breuius  fic  inuenies.  , ^ > 

Quilibet  numerus  ex  inferioribus.delet  aequalem  (ibi  ex  fu# 
perioribus.  Vnde  fic  ftabunt  termini : 

t*  « »4«  manent  *4 

ff.  X?.X3*  ) 

FDe  propor  tionibus  irrationalibus»  * 

OMnis  proportio  rationaIi$,eft  proportio  integra:  & om# 
nis  proportio  irrationalis,eft  proportio  frada,tanquam 
minutia  alicuius  proportionis  integrae.Nam  ficutex  diuifione 
numeri  denominati,per  numerum  abftradum/rcquenter  ori- 
tur denominatus  numerus  fradus ; fic  dum  proportionem  di- 
uidit  numerus, oritur  frequent  proportio  frada.i.irrationalis» 
Omnis  proportio  numeri  rationalis  ad  numerum  irrationa 
lem  eft  irrationalis.  Sed  non  omnis  proportio  numeri  irratio# 
nalis  ad  numerum  irrationalera.eft  irrationalis.Omnis  autem 
proportio  numeri  rationalis  ad  numerum  rationalem,rationa 
Us  cft.De  reliquis  dicam  inferius  fuo  loco» 

%De  proportionalitate  Harmonica, Contra# 
harmonica  ,&alqs  quibufdam  ilmiii# 
bus.  Caput  vii. 

e geometricis  proportionalitatibus conti# 
nuis  dC  contiguis  arbitror  me  fatis  dixifle,  donec 
de  ufu  earum  integer  mihi  liber  ueniat  feribedus. 
Ex  multis  autem  audiui>  progrefTtones  & radicu 
extradiones  efle  fpeculationes  inutiles,  cum  inte 
r/m  Arithmeticam  damma  laude  conarentur  efterre.Sed  aliud 
eft  (cire  ut  progrcfliones  progrediantur, & aliud  eft  ufum  earfi 
cognofcere.  Certe  ars  Gebri,  quanta  quanta  fit,  nihil  aliud  eft 
quim  uius  proportionalitatum . Eft  autem  duplex  relatio  nu# 
meri  ad  numerum : refertur  enim  nomerus  ad  numerum  fub 
obicruatione  exceftus,quo  numerus  differt  i numero.  Deinde 

o ii) 


Michaelis  Stifelii 

Coirfyuntur  numeri  .tanquam  menfura  & mcnfurandum , (ub 
obiVRtioncquoticntis  proucnientis  ex  numeratione  (eu  diui- 
fione  maioris  per  minorem . Prior  relatio  facit  proportionem 
Arithmericam,&  inde  habemus  pportionalirates  (eu  progredi 
fiones  Arithmeticas . Altera  uero  facit  proporriones  proprie 
fic  didas. Et  ex  his  habemus  progreflioncs  Geometricas. 

Conflat  autem  Harmonicas  proportionafitates,&  Contr» 
harmonicas,&  alias  huiufmodi.eflecompofitas  ex  Arithmeti* 
cisSi  Geometricis  propoufonalitatibus.edquddnonminus 
differentiae  in  illis  confiderentur  quim  proportiones  proprie 
didar . Et  inde  habemus  Mediorum  diflindiones.ut  quardam 
Media  dicantur  Arithmetica , quardam  Gcometrica,quardam 
Harmonica.quardam  Contraharmonica  &'c.  circa  quorum  ex 
plica  tionem  dum  Boetius  elfet  occupa rus,&  tres  terminos  po* 
neret.nihd  interim  folicitus  de  proportionalitatum  huiufmodi 
eontinuationibus.inuenti  (lint  poflea  qui  negarent  huiufmodi 
proportionalitates  pofle  extendi  nitra  tres  terminos  continue. 

Vidit  autem  Boetius  uim&  efficaciam  immenfameflein 
proportionibus  proportional  itar  ibus:  ideo  (hidiofe  obfcrua 
uit  in  illis  uariarionum  modos,ut  uidebimus» 

Et  quia  neceffe  eft  duos  terminos  efTc  in  una  proportione, 
di  in  proportione  differentiarum  oportet  concurrere  rresnu* 
merosCid  cft,racdium  Qt  duo  extrema  ) ideo  uoluit  Boerus  de 
proportionalitatibus  trium  terminorum  lingularem  tra datio 
nem  habere , non  curans  interim  de  continuatione  earum  pe? 
terminos  plures. 

V Prima  uariatio  proportionalitatum. 

Geometrica  proportionalitas.  Geometrica. 

i V^N,  9 x 7 i 

• • 4 . f 

Harmo* 


****}&>«£& 

^ s 


f^?r 

Arithmeticas  Liber  i,  ct \A •*•  r* 

<*»-•/&  ■ 

• Harmonica.  / i. va  ^ , •-*■?. 

3 Ii  (tonZ >2»  ttoi&L£i 

T 10  if- 

8 „ w~r^re 

Primo.ea  eft  proportio  6 ad  i 8,quae  eft  3 ad  9.  id  cft.minorM  y^^Ue"^^  vx*u- 
extremi  ad  medium . Hinc  fit,ut  multiplicatio  prioris  extremi  >£l 
in  medium  tantum  faciat,  quantum  multiplicatio  pofterioris^^j^T-  "* 
differentiae  in  extremum  minus.  ^ 


Secudo,ea  eft  proportio  6 ad  1 8, quae  eft  9 ad  ijAd  cft.medij  yusbx.  oxh*>~~- 
ad  extremum  maius . Hinc  fit  ut  differentia  prior  multiplica  taJ*'  & truZU?  ye**  -tj* 
In  extremum  maius  tantum  faciat,  quantum  differentia  pofte  ^ 7 

rior  in  medium. 

Tertio, ea  eft  proportio  3 ad  1 i.quae  eft  y ad  lo.id  eft,mino  f *^/  CA~ 

r is  extremi  ad  maius  extremum . Hinc  eft  ut  differentia  prior  f*****^4,  *fU^lc  9 
multiplicatainextremum  maius  tantum  faciat, quantum  facitf?-- 
differentiapofteriorinextremumminus.  . C LE-- 

r De  proportionalitate  Harmonica.  ^ 


PRoportionalitas  Harmonica  eft  difpofitio  trium  numerc^^*^ £***  9 v 

nim  fecundum  proportionafitatem  contiguam,  qua  pro 
portio  priorisdifferentiae  ad  differentiam  pofteriorem  eadem  < 


eft  cum  proportione  minoris  extremi  ad  maius  extremum:»^ «£«7* 

Ut  , '4  V awc. 

Sig  igitur  uidit  Boetius  fecundum  Geometricam  proportio3^" 
nalitatem  fuifte  quaerendam  Harmonicam.  ** 

Quamuis  autem  Harmonica  proportionalifas  non  iecund5k*w*®*  4* 

Arithmeticam  proportionalitatem , fed  fecundum  ^ 

cam,(lt  inuenta:  tamen  ipfa  non  ex  Geometrica , (ed  ex  Arith-p^r"  eoAi»  >u^e. 
metica  inuenta  eft.  Mirisuero  modis  inter  Geometricam  pro  ‘L  — * 

portionalitatem  8C  Arithmeticam  uerfatur  & uariarur  Har*  r'’ 

monica  proportionaIitas,ut  obhanccaufamexiftime  illi 
appellationis  uocabulum  effe  inditu.  Modo  enim  ab  Arithme  f-cr 
tica  difcedit  ad  Gcometrica;modo  ab  hac  ad  illa  turfus  accedit^**^^*'»*: 


k .<L4> 


• IV 


Michablis  Stipblii' 

modo  utricp  indiflolubiliter  coniun&a  uider : modo  ab  utraqj 
difcedit.  Atqj  his  modis  difiimilitudo  quae  eft  inter  Arithmeti# 
cam  & Geometricam  proportionalitatcm.abHarmonica  iu- 
cunda  uariationcmoderatur.Nonemuideo.quid  Harmonica 
babeat,quodad  concentus  Muficos  pertineat,quod  Arirhme# 
Cicanon habeat  aequali  commoditate. 

FInuentio  proportionalitatis  Ha‘rmonicae  trium 
terminorum/ecundum  proportionem  quam 
uolueris  diuiiam  efle  per  mediu  Harmonico. 

Pone  duos  numeros  (ecundum  proportionem  quam  uolu? 
risciTediuifam  per  medium  Harmonicum,  & coniiitue  inter 
eos  medium  Arithmeticale  (id  eft, adde  eos,8(  aggregati  diml 
dium  recipe),  Conftituta  uero  hoc  modo  progrelhone  Arith* 
metica, multiplicatione  terminorum  eius  procreabis  fic:  Multi 
plica  primum  in  fecundum,deinde  primum  in  tertium,et  derou 
fecundum  in  tertium.Hac  breui  faciliqj  regula  ex  qualibet  pro 
grefltone  Arithmetica  trium  terminorum, producitur  progreG 
fio  Harmonica  trium  termino^.  Vt  ex  hac  Arithmetica  1.2.3. 
fit  hacc  Harmonica  2.  3 ,6.  Item  ex  hac  Arithmetica  3.4.5-.  fit 
harc  Harmonica  12.15-.  20.  Item  ex  hac  Arithmetica  progrefir 
fione  2. 5-.  8.  fit  harc  Harmonica  10. 1 6. 40. 8C  fic  de  altjs. 

Pi&ura  regular  de  inuentione  Arithmeticae  cx 

Harmonica  proportionalitate.  • 

I ' I 

% 5- -8 

10  16  4» 

Eodem  autem  modo,quo  ex  Arithmetica  progreflione  fit 
Harmonica.fit  rurium  ex  Harmonica  progreiftone, Arithme» 
tica.  V t ex  hac  Harmonica  2.3  .fit  haec  Arithmetica  6, 1 2. 1 8f 
& fic  de  altjs* 

Inuentio  Harmonicae  ex  Arithmetica* 


Arithmeticae  Liber  u 


T7 


I 


S '■ 


8- 


T 


20 


40  I OO  l6o 

Cum  uero  medium  Geometricum  In  fe  multiplicatum  tantS 
faciat,  quantum  extrema  inter  le  multiplicata , facit  medium 
Arithmeticum  plus,&  tanto  plus  facit,quacum  fit  ex  multipli- 
catlone  differentiarum  inter  fe : medium  uero  Harmonicam, 
tanto  minus  facit  in  fe  multiplicatum,quim  extrema  inter  fe, 
quantum  facit  ipia  differentiarum  multiplicatio  inter  fe . Sic 
Geometrica  pulchra  ratione  uidetur  medium  quoddam  efle 
inter  Arithmeticam  & Harmonicam. 


Arithmetica» 
i i 

m 


.10 


Harmonica. 


IX 


8 


20 


Habet  autem  Arithmetica  progreflio  differentias  inter  fe 
srqualesj&  proportiones  terminorum  inter  fe  inarquales.Geo* 
metrica  uero  habet  differentias  inter  fe  inarquales,&  proportio, 
nes  terminor  u inter  fe  aequales.  Harmonica  aute  neq?  aequales 
habet  diff-ren rias.neqg  aequales  proportiones  terminorum. 

rVide  autem  miram  trium  proportionalitatum  coniun* 
dlionem. 

Quoties  Geometrica  proportionalitas  quatuor  termfnorG, 
receperit  numerum  intermcdium,qai  fueritmedium  Arithme 
ticale  inter  extrcmos.neccfle  erit  reliquum  Intermediorum  efle 
medium  Harmonicum  intereofdcm  extrcmos.Sic.ufce  uerfa, 
fi  recipiat  medium  Harmonicum,ncccflariorecipietetiam  me 
dium  Arithmeticum.  Talis  autem  proportionalitas  Geome* 
trica  necefiario  erit  contigua:  exemplum,  6, 3. 9.  1 x, 

T V trum  progreflio  Harmouica  poffit  extendi 
ultra  tres  terminos. 

Certum  eft  hanc  progreflionem , z . 3 . 6 . bC  alias  infinitas 
progrefliones  Harmonicas  trium  terminorum *non  poffe  ulte 


> 


Michahlij  Stifelii 

rfus  extendi.  Nihilominus  tamen  certum  eft  hanc  Harmonidl 
3 . 4. 6 . & alias  infinitas,  poflfe  extendi  ultra  tres  terminos.  Et 
pofftbilitatis  huius  poterat,  eos  qui  hoc  negant, admonere  fal* 
tem  cubi  confideratio:  qui  cum  habeat  fex  fuperflcies,&o<flo 
an gulos (olidos  , duodecim  latera, & uigintiquatuor  angulos 
fuperfidales,  pulchre  nobis  Harmonicam  quatuor  terminorS 
proponit  hanc  6. 8.12.  24. 

Item  hocipfum  admonere  potuit  fcalar  Muficalis  infpedio: 
nam  in  deicenfu  fcalac  inueoies  Harmonicam  progreffronem 
quatuor  terminorum  non  femel  fed  faepiustfcilicet  dd.aa.d.D. 
Item  cc.  g.  c.C.  Item  aa.e.a.  A.Item  g.d.G.  rut, 

Deniq?  ex  qualibet  progredione  Arithmetica  poter(s  pro- 
greflionem  Harmonicam  producere  habentem  tot  terminos, 
quot  ipfa  Arithmetica  terminos  habet . Sic  autem  operaberis. 

Terminos  tuae  Arithmeticae  progreflionis  inter  fe  omnes 
multiplica : deinde  produeftum  diuide  per  fingblos  terminos 
tuae  Arithmeiicae,incipiens  i maximo  ufque  ad  minimum.Vt 
exhac  Arithmetica,  r.  2.  3. 4.  j\  6 . fit  haec  Harmonica,  10.12« 
1 y.  20, 3 0.60.  Et  rurfum  ex  qualibet  Harmonica, eode  modo» 
fit  Arithmetica. 

Probatio  pulchra  continuationis  Harmonicae 
peraequationes. 


Hoc  eft, quantum  facit  diff  erentia  2 in  1 s natuum  fa  cft  differen 
tia  3 in  10 : & quantum  facit  differentia  3 in  20,  tantum  facit 
differentia  5- in  1 z : St  quanrum  facit  diff  erentia  j-  in  jo.tantu 
facit  differentia  10  in  ly.  & fic  deinceps.  Item  quarum  faciunt 
2.  if.  10.60. inter  fe  multiplicati,  tantum  faciunt  10.3,20. 30« 
iaterfe  multiplicati,  Alia 


9« 


Arithmeticae  Liber  t. 


Al/a  probatio  continuationis  Harmonicar. 

In  progrcflione  Harmonica  multorum  terminorum,  erunt 
etiam  Harmonicae  proportionales,  termini  locorum  parium 
Inter  fe,  item  termini  locorum  imparium  inter  Ce,  Sic . Similia 
horu  fiunt  etiam  in  Arithmeticis  & Geometricis  ^greffionib. 

Exemplum  de  Harmonica. 

Prima  Harmonica  progreffto» 

70  84  lOf  (40  2 10 

Secunda  progreffio  Harmonica, 

84  140 

Tertia  Harmonica  progreflio, 

70  loy  210 

Quarta  Harmonica  progreflio. 

IOf 


60 


4*®. 


69 

jm/ 


4*°« 


60 


4201 


Regula  inueniendi  extremum  maius  per  medium  fJ  . ■*' 

Si  extremum  minus. 

Multiplicaduostuos  numeros  inter  ie,SiproduAum  d/uide1^  a-t 


lviuiiipiicd  uuuiiuui  numerus  inicr  ic,u  pruuuaum  uiuiue  7’  «7* 

per  differetiam  amborum. Vt  ex  60  Si  io5-,inuenio  420:  item^^j^^^^V^ 
ex 70  Si  loy.inuenio  210  : item  ex  60  Si  84,inuenio  140 
ex84Si  i4o,inaenio42o.Itemex^o8i7oinuenio84:muIti*^Cr*^H^^M 
plicoenim  6oin7o,8ifacio4ioo.hocdiuidoper5-o,  ideft,perrr%r~ 
differentiam  inter  60  di  10  differentiam  amborum. 

Regula  qua  ex  maiore  extremo  Si  medio  inuenii^j^ 
tur  extremum  minus.  f 

Multiplica  duos  tuos  numeros  inter  fe,  Si 
de  per  aggregatum  ex  maiore  numero  tuo.  Si  differentia  inter*^  ^**^^ 
ambos  tuos  numeros,  $*s  Co . te  t a s - ^ 

Progreflio  Harmonica  non  habet  finem  regrediendo.^^- 


>•*«*♦•*«'£*  at- 


r * Michablis  Stifblii 

Haec  autem  non  funt  intelligenda  de  numeris  integris  fol/s, 
fcd  (ut  Beti  folct  in  proportionum  & proportionalita tum  tra- 
datione)etiam  de  numeris  fratfhs  feu  minutiis. 

FSequitur  alia  uariatio  medij  comprehendentis 
tres  fpecies  proportionalitatum.quarum  \ 
nomina  & exempla  hic  uides« 
Contraharmonica. 


di HHI 

inter  terminos  minores  .In  prima  uero  uariatione  ponebantur 
minores  differentiae  inter  minores  terminos. 

Primo, ea  eft  proportio  5 ad  1 , quae  eft  6 ad  z ♦ id  eft,maio# 
rte  extremi  ad  minus  extremum. 

Secundo,ea  eft  proportio  zad  1,  quae  eft  4 ad  a.  id  eft, medii 
ad  minus  extremum. 

Tertiora  eft  proportio  3 ad  z, quae  eft  6 ad  4*  ideft}maions 
extremi  ad  medium. 

FDe  proportionalitate  Contraharmonica. 

PRoportionalitas  Contraharmonica , eft  difpofitio  trium 
numerorum  fecundum  proportionalitate  contiguam,qua 
proportio  prioris  differentiae  ad  differendam  pofteriorem,ea- 
dem  eft  cum  proportione  maioris  extremi  ad  minus  extremo; 

' r • F I nuent  io  proportionalita  tis  Contraharmon  icar. 

Contraharmonica  proportionalitas  fit  ex  Harmonica  pro# 
portionalitace  trium  terminorom.Nam  commutatis  differen* 
tqs  in  ^portionalitate  Harmonica,  ftatim  uidebis  medij  muta 
tionem  inter  priora  exuema;  ut  ex  1.  z.  fit  z.  r. 


6 


Similis  Geometricae  prior.  Similis  Geometricae  pofterior. 


3»  4»  I 3» 


p 


Arithmeticae  Libe*  i, 

Sic  rurfum  cx  Cotraharmonica,fit  Harmonica, codcni  modo, 
uidclicet  commutatione  differentiaram. 

Sic  aute  fignantur  arquationes,quae  fiunt  ex  multiplicatione 
terminorum  di  differentiarum. 


Inter  quofcucp  duos  numeros  facite  inuenitur  medium  Con 
traharmonicum  rationaIc,integrum  uel  fradum,qucmadmo- 
dum  inter  quofcuncp  duos  numeros  inueniturctiammedium 
Harmonicum  rationale  integrum  uel  fraeffum . Et  inter  quof- 
cunqp  duos  numeros  inuenitur  medium  Arithmeticum  ratio* 
nale  integrum  ( ut  dum  numeri  fuerint  ambo  pares  uel  ambo 
impares)ucl  fradum.Sed  non  inuenitur  medium  Geometricu 
rationale  inter  quofcuncg  numeros  duos. 


Progrefliones  Geometricae , Arithmeticae,  8i  Harmonica, 
U fuerint  continuae  proportionales  fecundum  fpeciem  fuam 
fuerint^  duo  termini  primi  rationales,  impoflibile  erit  ut  nu* 
v merus  irra  tionalis  alicui  earum  continuetur.  At  in  Contrahar 

monicacotinuatur  irrationalis  numerus  duobus  rationalibus 
immediate  pof?tis,ut  hic  j.  6.  14-^3 . imo  irrationalis  nu* 

merus  continuatur  Cotraharmonicae  tribus  rationalibusim» 
mediare  pof?tis,ut  hic '2.  f.  6.  14-f-  3. 

In  progreflionibus  Arithmeticis,Geometricis,&  Harmoni 
cis  trium  terminorum, (i  inter  medium  di  extrema  utrinqj  po- 
nantur duo  media  alia  fecundum  fpeciem  illius  proportionali 
tatis.tunc  fiunt  quincg  termini  continue  proportionales  fecun 
dum  fpeciem  ^portionalitatis  illius.  Sed  in  proport/onalirate 
Contraharmonica  diuerfum  inuenimus,  ut  in  hac  Contrahar* 
monica,4. 10.11.  Si  inter  mediu  di  extrema  ffatuas  duo  media 
Cottahaimonica,fic  ftabunc  numeri  quinq^.s}.  1 o.  1 1 -i, , 


10 


* if 


rDiffimilitud/nes, 


P «i 


V 


WlCHAELlS  STIFELir  - 

Et  tres  numeri  priores,uide1icet  4, 8 7.  lo.funt  Contraharmo 
rice  ,pportionaIes.Item  tres  pofteriores.uidclicet  10. 1 177. 1 i» 
quemadmodum  tres  illi  locorum  imparium,4. 10. 1 z.  Sed  tres 
medii  non  funt  proportionales  Contraharmonice,uideliccc 
8|.  10. 1 1 77. Quare difpolicio illa  quincp  numerorum  n5  fadt 
progreflionem  Harmonicam  continuam» 

Quando  aute  ponuntur  quincp  termini  Contraharmonice 
proportionales  continue, tunc  termini  locorum  imparium  non 
erunt  adinuicem  proportionales  Contraharmonice : ut  hic» 

1 1 o 6144.  zz  0.144. 164.  11304-4- 1 3 z.tres  priores 

termini  funtContraharmonici,&  tres  medrj  tres  ultimi* 

Ergo  habes  hic  Contraharmonicam  quincp  terminorum  con- 
tinue proportionalem : di  tamen  primus , tertius,  di  quintus» 
non  faciunt  ad  inuicem  proportionalitatem  Contraharmoni- 
cam,quod  ualde  miror,  in  fuperioribus  enim  proportionali» 
tibus  res  aliter  habet. 

Regula  inueniendi  extremum  maiusexminore 
extremo  & medio. 

Polito  medio  di  extremo  minore,multip1icadifteretiam  eo* 
rum  in  extremum  minus,&  hoc  produtfhim  adde  ad  quadratQ 
medij  dimidiati : di  radici  quadratae  illius  aggrega ti.adde  me- 
dium dimidiatum.  Vt  uolo  inucnire  extremum  maius  ad  illos 
duos  numeros  14.34 , ita  ut  fiat  proportionalitas  Contrahar* 
monica : medium  eft  34 , eius  dimidium  eft  1 7, huius  quadratu 
facit  z8?.Ad  hoc  quadratu  addo  140:  tantum  enim  fit  ex  diffe- 
rentia 1 o in  minus  extremum  i4.Eft  igitur  aggregatum  7 z p* 
Huius  radix  eft  13.  ad  hanc  addo  t7(id  eft,dimidiumedqfea 
numeri  34)  fiunt  40.  Quare  ficftat  proportionalitas  Contra* 
harmonica  inuenta,i4. 34.40. 

Regula  inueniendi  extremum  minus  per  medium 
Si  extremum  maius» 

Polito  medio  di  extremo  maiore,multip!ica  diffcretiam  eo* 
rum  in  extremu  maius,ft  hoc  producum  fubtrahe  i quadrato 

medtj 


Arithmeticas  Liber  i.  do 

medijdimidiati,&  radici  quadratae  illius  relidi,  adde  medium 
dimidiatum,tunc  habebis  extremum  minus, 

Harc  regula  requirit  magnos  numeros  cum  paruis  differenr 
djs,ut  tuipfe  facile  fenties  in  operationibus  tuis. 

fDe  proportionalita  te  priore  fimili  Geometrica:, 

PRoportionalitas  fimilis  Geometricae  prior , eft  difpofit/o 
trium  terminorum,in  qua  proportio  prioris  differentiae  ad 
pofteriore, aequat  ^portioni  medij  ad  extremu  minus,ut  x Vr* 

Regula  inuentionis  proportionalitatis  huius.  v 

Duobus  numeris  pofftis  quibufcuncp , multiplica  maiorem  hocct 
in  fe,&  produdo  huic  adde  quod  fit  ex  differentia  in  minore, & 
hoc  aggregatum  diuide  per  maiorem,tunc  habebis  extremumf  ^ 

«naius  ad  priores  duos  numeros  pofftos.Vt  ex  his  duobus  200^.-,  -j 

j8o  ,flt  ille  tertius7if : item  ex  his  duobus  5-80. 7 zy,  fit  illc^^.*C»r  c <x 

84 1 : & ex  his  duobus  725-  & 84 1 , fit  ille  941.  Atcp  ita  habebis  ^ $c-we  o ■ 

hanc  progreffioiiem  proportionalitatis  huius  continuam  290.ee-  5 -y  o - i***£.s< 

5-80. 725- .841.94 1,  fG*>  Jyo 

Aequationes  autem  quas  faciunt  termini  cum  fuis  differen»"**'*"^  • 

tijs  multiplica  tf.fic  fignantur.  00- 

290  145*  ritf  1 00  r<j_ ■ ■ ■ <‘> 

//  / / *****~<^ {/!• 
/ / / tjcc, e/Ztjf 

290  y8o  72  j-  841  941,  JT‘ y»  ^ 

Hoc  eft,  quantum  faciunt  290  in  290,  tantum  faciunt  145-  in  i ^ 

j8o:  & tantum  etiam  faciunt  1 1 6 in  72  j-,&  etiam  ibo  in  84 1 . ^ 

Quemadmodum  autem  medium  Geometricu  non  fe m p er* 
eft  rationale  inter  rationalia  extrema : ffc  medium  proportio*^ 
nalitatishuius,nonfempereftrationale,dumextrema  fberint^  .>«6^5 
rationalia.VtinterduosillosnumerosS  fk  14, mediat  ille  irra*»  rJr  - 
tionalis  A 9o-f-3  fecundum  proportionalitatem  hanc. 

Regula  inucniendi  medium  inter  extrema  data. 

Pofftis  cxtrcmis,adde  ad  quadratum  dimidiata  diffbentiac^^yP 

eorum*0  1: «« 
f/oo  - <r«** 


J • < 


#c-  *»*«^(*» 


j*xjl£  **** 

ICHAELIS 


irjt.  ^-^*4**  ^ 

Stipblu 


I - t '%jnZ$ 'Zzvxpfe  «.viuiii,»» ijvova.»»..^.».»..., 1 

I ^««^Vrisiggregato^ddc  dimidium  diffcrctiae  numerorum  pofitorum. 

* *Zr^r^t  uolo  mediom  ponere  inter  io&  ij-.eft  differentia  eoru  if, 

c^^~J^^^uiusdimidia  eft-1/ ; huiusquadratumeft  lif,huic  addo  100; 
****** ^ n ‘ m'  ^Wdeft, minoris  extremi  quadratum)  facit  6\* . cuius  radix  facit 

H >cui  addo  (id  eft, dimidium  differentiae  extremorum) fiunt 


‘jr  »cuiaaao^uaeir,aimiaiumainerenuici.-j 
Sic  ergo  ftat  exemplum,  io.  j-. 

[ 4St  ,0*  *°* 

1 ^^dReguIa  inueniendi  extremum  minus 

^ _ _ - X extremo  & medio. 


- ^ivcgula  inueniendi  extremum  minus  ex  maipre 

t 7 -£  extremo  & medio. 

& Pone  numeros  tuos,&  hoc  quod  fit  ex  differentia  eorum  in 
^ . g norem,  fubtrahe  i quadrato  quod  fit  ex  dimidio  minoris  in 

15  Y ' **,  radicem  quadratam  illius  relidi  adde  ad  dimidium  mino# 

vv*^fis,tunc  habebis  extremum  minus  ad  duos  pofitos  priores : ut 
3CSS/§^ & 1 J zo.Item ex 


•N 


f 


"z^^^FDc  proportionalitate  pofteriore  fimili 
’ f i Geometricae. 

^Py^Qj.  ti^aiJ^^m  ,'i/s  Geometricae  pofterior,  eft  difpofi- 
trium  terminorum,  in  qua  proportio  prioris  differentiae  ad 
7*Spoft«rforem,jrquatur  proportioni  maioris  extremi  ad  mediu; 
siXlsi-~z^gut,  3*  ». 

-~+  4.0'  1/**-  1«  4*  <£• 

’ ^'^Regula  inueniendi  extremum  minus  ex  duobus 

~ «^.numeris  datis. 

cSx*T”'~ /if^. « #a-* 'Recipe  duos  numeros, qaorom  differentia  non  fit  maior  ipfo 

minoreimultiplica  minorem  in  fe,&  ab hocprodudo  fubtrahe 
quod  fit  ex  multiplicarione  differentiae  in  maiorem  ,6t  rclidum 
hoc  diuidc  per  minorem.tunc  habebis  extremum  minus.Vt  ex 
35-io&:  3s>6o,flt  3o2j-.Sicex 30ij-& 3J’*o,fit 2449. Et ficex 
2449  di  3023-,  fitadhuc alius. 

Sic  autem  fignantur  aequationes,  quas  faciunt  termini  cum 
differentijs  fuis  multiplicati. 


"11 

] 


6l 


ll 


i 


Arithmeticae  Liber  u 
f7*  4 9T  44° 

\ \ \ 

»44?  3°*f  3 T*o  3960. 

Qy  cadmodum  prior  progrediens  per  terminos  rationales, 
nuriquam  recipit  !rrat!onalem,fed  regredlens  recipit  tales;  fle 
haec  poflerlor  proportionalitas  nunquam  recipit  irrationalem 
numerum  regrediendo/ed  progrediendo  recipit.ut  hic,  1.4.6, 

*/^  x 1— f—  3 . 

Regula  progrcdlend/.hoc ei^imieniendi  extremum 
malus  ad  duos  tftnvnos  praecedentes*. 

Pone  tuos  numeros, & hoc  quod  fit  ex  differentia  eorum  in 
maiorem, adde  ad  quadratum  dimidij  ipflus  maioris,&:  ad  radi 
cem  quadratam  illiusaggregati,  adde  dimidia  ipflus  maioris, 
tunc  habebis  extremum  maius:  utex  y j-  & 64,facles  7*. 

Sed  quemadmodum  prior  proportionafltas  inter  duos  nu* 
meros  rationales  nonnuncjj  recipit  irrationalem(quemadmo# 
dum  Geometrica  etiam  fo!et)Ita  et  haec,ut  hic  4 1 09 — 3 . 1 0, 

Regula  inueniendi  medium  inter  extrema 
proportionalitatis  huius. 

Pone  numeros  tuos  >&  quadratum  dimidiatae  differentiae 
eorum.adde  quadrato  maioris,  & i radice  aggregati  huiusfubf^.  'flgL ■ 

rl /msrlsum  i *■*»  ♦imriim  nnm^mriim  * llf  ir\tPY  C + /J-  —m 


bv/iuuijawui.  vjiiauiaiu  uiaiuiia|  va  <x  i aviilv  y * - y/  — 

trahe  dimidium  differentiae  tuorum  numerorum ; ut  inter  f df-.  7 

- - * ' - •: 


jrinucnies?. 

Sequitur  tertia  uariatio  proportlonafltatum, 
r De  proportionalitate  fim 


proportionalitatefimiliContra-  ^ ^ 

harmonicae  priori.  ^ 

PRoportionalitas  fimilis  Cotraharmonlcac  prior,  eft  difpo 

fitio  trium  numerorum  habentium  differentias  inaequales,*^.  ' 

quae  ambae  ad  priorem  differentiam  relatae,  faciant  eam  pro  c* 

portione, quam  fac  it  extremu  maius  ad  extrema  minus,  ut  hic^  n tx. 


6*  4« 

11.  f;, 


4*  16. 

r.  *jv 

4 


*a.  ^ ■»  - * 


at 


Se^ 


Michaelis -Stifelii 

Addidi  in  defcript/one  proportionalitatis  huius, particulam 
de  inaequalitate  differentiarum , propter  Arithmeticas  illas 
trium  terminorum,  quarum  extrema  funt  fub  proportione  du 
pia : ut  eft  haec  6,  ?.  i z,  & fimiles,quas  particula  illa  addita^b 
bacfpccie  excludit. 

Regula  inventionis  huius  proportionalitatis# 

Pone  duos  numeros,quorum  differentia  non  co incidat  cum 
numero  minore.  Adde  differentiam  eorum  ad  maiorem,&  hoc 
aggregatum  multiplica  per  minore,  & produdum  diuide  pet 
maiorem, tunc  habebis  medium. 

Quando  differentia  duorum  numerorun),quos  recipis,fue- 
rit  maior  numero  minore,tunc  peruenit  minor  differentia  in- 
ter minores  terminos.  Quando  uero  differentia  eorum  fueris 
minor  minore  numero  recepto,  tunc  peruenit  maior  differen* 
tia  inter  minores  terminos. 

Exemplum  primi,  ut  ex  his  duobus  numeris  x ’ r • producet 

hocexemplum,  lofflff9xr.  ? 

Exemplum  fecundi,ut  ex  his  duobus  numeris  ,0«  prodii 

dtur  hoc  exemplum,  go  ff9ff+»oo* 

Hoc  autem  de  uariatione  uide. 

,v.  ‘ • 

In  prima  uariatione  ponitur  differentia  minor  femper  inte? 
terminosminores. 

In  fecunda  uariatione,  ponuntur  iemper  differetiae  maiores 
inter  terminos  minores. 

In  fpeciebus  tertiae  uariationis,ponut  fingulae  fp edes  modo 
minorem  differcntiam,modo  maiorem  differentiam,  inter  ter 
minos  minores. 

Regula  inoeniendi  maius  extremum  huius 
proportionalitatis. 

: Quadratum  minoris  numeri  diuide  per  diam  differentiam 
quae  cft  inter  minorem  numerum  Q ( differentiam  amborum, 
tunc  habebis  extrempm  maius  huius  propoxtiooalitatis. 

Regula 


i 


Arithmeticae  Liber:  i. 

Regula  inueniendi  minus  extremOm. 

A quadrato  maioris  numeri,  fubtrahe  hoc  quod  fit ex  multi 
plicationeeorum  inter  fe,8t  relidi  radicem  quadrati  fubtrahe 
ab  ipfo  numero  maiore.  Vt  ex  63  64  inuenies  s6& i ex  63  & ;6 
inuenies  4 r : QC  fic  dc  alijs,  • .> 

PDe  proportionalitate.Gmfli  Contraharmo- 
nicae.poftcriorc. 

Proportionalitas  fimilis  Contraharmonicae  pofterior , cft 
di fpofitio  trium  numerorum,  habentium  differentias  inaequa* 
les,quar  ambae  ad  pofteriorem  differetiam  relatae, faciunt  eam 
proportionem, quam  facit  extremum  maius  ad  extremum  mi- 
nusiuthic, 

4*  4.  j »tf.  4. 

IT»  19 • *T»  | T*  *l»  *T» 

Quemadmodum  ex  Harmonica  trium  terminorum,fit  pro 
portionalitas  Contraharmonica  trium  terminorum,&  rurfum 
ex  Contraharmonica  fit  Harmonica, fola  uidelicet  commuta* 
tione  differentiarum  inter  fe : Sic  ibla  commutatione  differen* 
tiarum,  commutant  iua  exempla  inuicem.hae  duae  proportio* 
nalitates,quae  funt  fimilesContraharmonicae.Sicenim uides 
duo  illa  exepla  paulo  iuperius  polita, eflfe  tranflumpta  ex  prae- 
cedentis fpeciei  exemplis,&c.Nihilorainus  tamen  proprias  rc 
gulas  pro  proportionalitate  hac  ponam. 

Regula  inueniendi  medium. 

r Pone  numeros,quorum  differentia  non  coinddat  cum  nu- 
mero minore,  A quadrato  maioris  fubtrahe  quod  fit  exdiffe* 
rentia  multiplicata  in  minorem, & relidum  diuide  per  maiore, 
tunc  habebis  medium. 

Regula  inueniendiextremum  maius. 

Pone  duos  numeros^  fubtrahe  quadratu  minoris  numeri, 
i quadrato  dimidiatae  luminar  amborum,&  radicem  relidi  liu 
<us,adde  ad  lummarn  dimidiatam  ex  ambobus  numeris  illis 
poli  tis,  tunc  habebis  extremum  maius* 

q ii 


Michaeli*  Stuelii 


Regula  inueniendi  extremum  minus. 

Pone  duos  numero»»  & hoc  quod  fit  ex  differentia  in  maio* 
rem,fubtrahe  2 quadrato  dimtdi]  maioris,&  radicem  relidi  hu- 
ius adde  ad  dimidium  maioris,  uel  fubtrahe  eam  ab  illo  dimi* 
dio, tunc  habebis  extremum  minus. 

Qudd  autem  regula  iubet  ultimo  membro  addere  uel  iiibtra 
here, fit  ex  duplici diipofitione  differentiarum . Quando  ergo 
exemplum  ponit  minorem  differentiam  inter  minores  tenni* 
nos,  tunc  fit  additio.  Quando  uero  maior  differentia  ponitur 
inter  minores  terminos,tunc  fit  fubtradio. 

Ex  regulis  illis  tribus , facile  intelligis, qu2ra  fimilis fit  haec 
proportionalitas  proportionalitati  Contraharmonicac. 

FDe  proportionalitatibus  duabus  quae  funt  fimiles 
illi  priori  Geometricae  fimili. 

T N fecunda  uariatione  funt  duae  proportionalitatum  (pedes 
1 fimiles  Geometricae  proportionalitati.Harum  priori  fimiles 
funt  duae  illae  fpecies  quae  iam  fequuntur. 

Harum  prior , eff  diipofitio  trium  terminorum  habentium 
differentias  inaequales,quae  ambar  relata:  ad  priorem  differen* 
tiam, faciunt  eam  pr oportionem, quam  facit  medium  ad  extre 
snum  minus,ut  hic 

*«  f«  I d.  j>» 

4*  & . 7.  | 4*  io»  i ?. 


Inuentio  extremi  maioris  regula  principalis. 

Pone  duos  numeros,quorum  differentia  non  cofacidat  cum 
numero  minore.  Minorem  multiplica  in ie.di huic  produdo 
adde  quod  fit  ex  multiplicationedifferentiae  in  maiorem, &ag 
gregatum  diuide  per  minorem,tunc  habebis  extremfi  maius. 

Quando  igitur  uis  ut  exemplum  tuum  ponat  minorem  dif- 
ferentiam inter  minores  terminos,  tunc  recipe  duos  numeros, 
quorum  differentia  fit  maior  numero  minore : nam  fi  differen* 
tia  fit  minor  numero  minore, tunc  uidebis  in  exemplo  poni  ma 
forem  differentiam  inter  terminos  minores. 

Sed 


Arithmeticas  Liber  i.  6$ 

Sed  in  illa  ^porrionaliute  qua;  hanc  immediate  praeced/r, 
aliud  eft:  uidelicer,quando  uis  habere  excpla,quae  ponant  diffe 
rentiam  minorem  inter  minores  terminos, tunc  tuorum  duoru 
numerorum  differentia, erit  minor  quim  fit  numerus  receptui 
minor : di  fi  differentia  fit  maior,  tunc  uidebisctiam  maiorem 
differentiam  poni  inter  terminos  minores. 

Regula  inueniendi  medium. 

Pone  duos  numeros,  & differentiam  eorum  moltiplicatt) 
minorem,  & produdum  adde  ad  quadratum  d/midtj  minoris, 
di  huius  aggregati  radicem  quadratam  adde  ad  dimidium  mi 
noris,tunc  habebis  medium. 

Regula  inueniendi  extremum  minus. 

Pone  duos  numeros,adde  illos  ad  fe , di  i quadrato  dfmfdrj 
illius  aggregati fubtrahe  quadratum  minoris,  di  radicem  qua 
dratam  illius  relidi,(ubtrahe  i dimidio  illius  aggregati  quod 
fit  ex  additione  amborum  numerorum  pofitorum:  ut  ex  4 z 8C 
43  fit  3 6, deinde  ex  3 6 di  41  fit  i*.Et  fic  oritur  haec  proportio- 
nalitas,24»  3 6, 41. 43. 

FDe  proportional/tate  pofteriore  quae  eft  fimilia 
fimili  Geometricae  priori. 


faciunt  eam  proportionem  quam  facit  ^diumadatremMm^^^^^*^^^1  f 
minus;uthic, 

f**’*’" 


i.  a. 

*•  3«  y* 


Regula  extremi  maioris,ex  minore  extremo  ^ 

& medio  inuento, 

Pofitis  duobus  numeris,  quorum  differentia  non  coincidat^^f^f^66^^ '■!;££* 
cum  numero  minore, adde  eos,tunc  habebis  extremum  mams^ 

3 


i*«4 


+**  { 

(O  c-ic 

CZ  r*ri**f  fc***+-  i""— 


r 


Michaelis  Stifelii 

Regula  extremi  minoris  ex  maiore  extremo  & 
medio  inuento. 

Poficis  duobus  numeris  quorum  differentia  non  coinddat 
cum  numero  mi  nore.fub trahe  minorem  i maiore, tunc  habebit 
extremum  minus. 

Regula  medrj  ex  extremo  maiore  & mi* 
nore  inuento. 

Politis  duobus  numeris  quorum  differentia  non  coinddat 
cum  numero  minore,fubtrahe  minorem  i maiore»  tunc  habe- 
bis medium. 

Regula  continuandi  omnes  proportionalitatct 
huius  fpedei  in  infinitum. 

Polita  proportionalitatealiqua  huius  fpedd , adde  femper 
duos  terminos  maiores  ad  ie,  ateg  ad  eum  modum  progredere 
uthicuides»  ir.  i,  u.  13,  25-. 

l*  1 a.  i).  3®* 

Haec  eft  omnium  ultima  fpedes  proportionalitatu  quas  Arith 
metid  ponunt, facilem  (ut  uides ) habens  egrediendi  modum 
in  infinitum , quemadmodum  Arithmeticae  progreffiones  dC 
Geometricae  fic  refpondent  ultima  primis. 

F Videtur  autem  fufficientia  requirere  adhuc  duas  fpedes 
proportionalitatum. 

Vnam  uidelicet,quae  ambarum  differentiaru  proportionem 
ad  differentiam  priorem,aequet,  proportioni  maiorisextremi, 
ad  medium . Sed  talem  diipolitionem  trium  numerorum  non 
inuenies  ex  tota  uniuerfitate  numerorujopor  teret  enim  ut  duo 
numeri  priores  haberent  differentiam  aequalem  maiori  eorum, 
quod  eft  impoffibile*  Vnde  fi  cifr5  pro  numero  primo  reputes, 
rcfpondebut  poftea  proportiona  litati  illi  quilibet  numeri  duo, 
ut  ex  his  fatis  ftnties  exemplis. 

i*  f*  I a.  1.  f 2.  4, 

o»  l*  a,  | o.  2«  3«  I o«  a»  £« 

Pcinde  alteram  Ipedem  proportionalitatum  uidetur  requb 

rere 

* *•  . 


Arithmeticae  Liber  r. 

rerc  fuffidentia  proport/onalftatu.eam  uidelicet,  qu*  propor- 
tionem ambarum  differetiarum  Gmul  fumptarum.ad  differen- 
tiam pofteriorem,  aequet  proportioni  maioris  extremi  ad  me. 
dium.  Sed  talem  etiam  uidemus  negled^imo  refedaro  i Boe- 
tio  & alijs  :di  merito . Malo  enim  illa  fe  continent  intra  fines 
fuos/ed  altjs  fe  immifeet  fperiebus.ut  ex  iftis  exemplis  di  Qmig 
libusuidemus»  3.  6.  j.  io 


9»  18,  |y#  10,  30. 

Cum  enim  fint  Harmonicae , nihilominus  tamen  reipondent^^3^?- 
proportionalitatf  quam  iam  dcfcripfl.  * ^f***~* 


r uis  iam  «iis  uixi,cx  in  tuperforibus  etiam  l 
progrefliones^nter  quas  maxime  miror  has  duas. 

*>»  *?•  3?*  4?»  r-fi* 


'i* 


i xi 

* IX» 


,21 

3 itf» 


4 fi* 


' ~ J Iff*  txo*  Tll*  «c. 

Hae  ne^  funt  Arithmeticae  nec*  Geometricx  &c.  & tamen  ui«^v*~  f*T'lWZ 
des  eas  progredi  iuxta  Arithmeticarum  progreilionum  uiam.<iZ^^r^^<' 
Pulcherrime  aut  er  optime  (ignant  In  uniuerfa  (pede  proportio 
num  multiplicium  nullam  inueniri  proportioera.iub  nua  dari 


dic. 

dic. 


. yi  tffuUst  jtuXZL  ime 


, — 7 *t*o 

>******  *‘ ti  ojfrt  , 
•*4*****5  L*r(u.rm  . 


« o vgw.n|  i«i^ifluuuirt:uuiTi  dligUUiinconi  ^ ® 

tinentia.quae  latus  recipiant  tertium  figuram  orthogonii  clau 
densfub  rationali  numero.  Item  (ignan,  i»  unSa7p,< 
proportionum  multiscium  fuperparticularium  nullam  inue. 
niri  proportionem  ffub  qua  poflit  Heri  hoc  quod  fuperius  dixj./^^Jw’- 
Item  lignanr  in  uniuerfa  fpecie  proportionum  fuperparticula.^r^ 
rium.unam  folummodo  inueniri  proportione  qux  hoc  noflit  * 

.Item  fignaniunam  folummodo  pro^  rtionemTnue^itauni^C^X^ 

propojrtionu  multiplicium  fuperpartientiO,qoae  hoc  Doffint  fid  ctA*\l* v?  w 


™ ««mnas  «pporriones  inueniri  lub  fpecie 

proportionu  multiplicium  fuperpartientifi,qaae  hoc  poffntdd  . , ~ * 

dixi  .Et  quod  illae  proportiones  certoordine  inueniantur  eSe  ”"****  «kiWv*  usa 

Kpon«;fellcetinduplafUEpartlemerunt<iua.lniriplaquo(ii— ' 

lUDCrDartiere  funt  duar  JV  in  ninHtimU  e****-*: /V  ? . p* 


r**  * r upw  ^^ariicnKluntuuXjin  ir/pla  /Hmi 

& flcd^Vp^toStum. qUi,<itUpU  ruBP"li“«  fi»‘  duae^^^r-f* 


-•rW 


/ MiCHABLIS  STIfBLI! 

De  progreffionc  Aftronomica,&  ufu  dus* 

Caput  viii* 

v o d proportionalitates  & progrefliones  non 
fiat  ociofac  aut  fteriles  fpeculationes.uolui  pau* 
cis  admonere  in  capite praecederi : fed  hoc  capiti 
oportet  me  rei  hoius  exemplumponere  aliquod 
egregium,  id  quod  mepraeftitme  nemo  poterit 
- negare,  fi  Aftronomicam  progreflfionero  pro  exemplo  QC  tcfti 

monio  rei  huius  cuocatam  expoiuero. 

Recepta  efl  Aftronomica  progreflio  ex  Geometrica  pro* 
grefilone  illa,quar  ab  unitate  incipit,&  per  proportiones  fexa*  • 
gecuplas  continue  progreditur  in  minus,  ut  eam  hic  uides, 

i«  L » « 1 

6 o.  3600,  116000.  12960000.  777600000. 

Et  illa  iuperior  Geometrica  minutiaruuulgarium  progreflfto, 
quadam  Aftronomorum  eximia  induftria  transfigurata  eft  in 
hanc  fequetem  progreffionem  minutoru  Phyficalium;  fic  enim 
uocant  minutias  Attronomicas. 

o.  1.  2.  ),  4«  f.  , d*  7* 

f.  I»  1«  I.  I*  I*  I*  I* 

Idem  aute  fignificant  termini  illi  minutiarum  Phyficalium, fti 
progrcifionehac  Aftronomica,quod  termini  minotiarumuul 
garium  in  illa  fuperiori  Geometrica,  Primo  enim  ponitur  uni 
tas  cum  fuprapofita  fibi  cifra : harc  unitatem  fignificat  integri,  •» 
contrahendam  uel  ad  tempus  horar,ueIad  motum  gradus  K6. 

Et  quod  ei  cifra  fuperponit,  fignum  eft , nollam  inefle  termino  * 
huius  loci  fradionem.Sic  dum  in  ufu  progreflio  illa  fueriqftii# 
bueritfy  fuac  contradionis  denominationem,  ut  hic 

Grad.  Min.  i • •3’“.  * • 

i.  i*  1«  i*  .1*  >, 

• ' aut  hic, 

---  • Hor.  ' Min.  r.  f.  f.  v 
u 1.  it  v b 


s 


N 


Arithmeticae  Liber  r.  6$ 

tunc  multiplicatio  & diuifio  in  illo  loco  primo,  non  aliam  de- 
nominationis notam  agnofcunt.quim  o. Sicut  in  iecundo  nui 
lam  aliam  agnofeunt  notam  quim  unitatis , ut  paulo  inferius 
per  exempla  oftendam* 

Itacp  primus  locus  progreflionis  Aftronomicae  unitatem 
habet.Secunduslocushabet  minutum  unum, hoc  eft, fragmen 
unitatis  diuifac  in  partes  fexaginta  inter  ieaequalest&uocatur 
haec  fragio  prima.  Vndefracftiones  fub  hac  denominatione 
Min.uocantur  minuta  prima.Deinde  quae  fub  hac  denomina» 
tione  x fuerint  inuenta,uocantur  minuta  fecunda : funtenim 
fecundariae  diuiftonis  firagmeta,  uidelicet  qua  unum  minutum 
primum  denuodiuiiiim  cfleinuenitur  in  fexaginta  alias  parti 
culas.  Et  in  hunc  modum  reliquas  diuifiones  intellige,ex  qui» 
bus  habemus  minuta  tertia.quarta, quinta, &c.Sed  iolemus  mi 
nuta  prima  (impliciter  uocare  Minuta, & fecunda  minuta  fole 
mus  umplidteruocare  Secunda,  &c.  ficenim  magiscxplicate 
& iimplicius  loquimur  Si  intelligimur. 

* Facile  autem  uides,  ut  numerus  ille  60.  id  eft  fexagena  rius, 
limes  fit  totius  negotrj  huiufmodi  fradionum,  queadmodum 
i o.td  eft  denariusjlimes  eft  calculationum  uulgarium.Hinc  iit 
ut  quaelibet  denominatio  denominans  minutias  Phyficales, 
quemlibet  numerum  ab  unitate  ufe^  ad  fexagenarium  poftit 
recipere : iicut  in  fequenti  repraefenta  tione  uides  poni  non  uni 
tates  fed  numeros. 

Hor.  Min.  T.  f,  fiic, 

6»  ao.  40.  yp» 

Atcp  ita  per  haec  habemus  modum  plenum  Si  perfedum  reprae 
fentandi  minutias  Phyiicas. 

Quemadmodum  uero  termini  in  Aftronomica  ,pgreflione, 
modo  iimpliciori  repraefentantur  fi C pronundantur  quim  ter- 
mini progreflionis  illius  Geometricae, quae  refpondet  Aftrono 
micae  in  ualore  terminorum : ita  facilfbrem  multiplicationem 
& diuifione  habent  terminiAftronomicae  progreflFonis,quim 

t 


,1 


Michaelis  8tipex.ii  .* 


termini  illius  Geometrica?  progreflionis.Item  faciliorem  com 
modiorem'q$  modu  additionis  & fubrradlionis  habent  hae  prae 
illisit  hoc  quod  eft  in  Aftronomica  in  Geometrica  eft 

{* 

,,.,»7o.Aobot^-oor..cun»',  10 * faciat  J ,8i0cdeali)sope 
rationum  fpeciebus. 

Vide  autem  ut  non  folum  commoditatis  gratia  Sed  etiam 
neceflitatis  caufa,commutata  fit  Geometrica  in  AftronomicS 
reprsrfentationem.QuidenimfadluruseiTet  tabularum  Aftro 
nomicarG  fabricator  ( ut  caetera  tranfeam)  fi  conaretur  ponere 
terminos  iuxta  Geometricae  progreflionis  repraefentationem. 

Vide  autem  quim  faciles  fintfpecies  operationum  fecun- 
dum repraefentationem  Aftronomicae  progreflionis,. 

V Algorithmus  Minutiarum  Phyficalium 
fimplicium, 

Minutias  Phyficales  eas  uoco  (docendi  gratia)  firopliccs, 
quxfolae  ponuntur  (iibuno  fimplicc  denomina  tore,  ut 
*“repr»fentat  mihi  duo  tertia. Sed  ufu  hoc  non  fit,ut  denomi* 
nator  aliquis  ponatur  abfque  praecedentium  denominatorum 
politione:  fcilicet  ufu  duo  tertia  fic  repraefentantur, 

Hor.o.  Min.o.  o.  3“.  x. 
uclfic,  Gra.o.  Min.o.  £\o.  3“.  i. 

uel  fic. 


o. 

o. 


X .0, 

r.  x.  f.  i 

o.  o.  ». 

Et  hoc  modo  pulchre  fit  additio,  iiibtra<ftio,moltipIicatio,aut 
diuifio.Sed  fine  me  fimplicium  fradionum  tradere  Algorith# 
mum  (impliciter. 

1,  Additio  adeo  facilis  eft, ut  fere  coincidat  cum  repraefenr 
tatione.Vt  duo  fecuda  addita  quatuor  quintis,faciunt  f & \ * 
Item  quatuor  tertia  di  ieptem  tertia.faciunt  £.id  eft  .undecim 
tertia,  &c. 

2 . Subtra&io  fere  nihil  aliud  efle  uidemr  quim  deletio  mi 
nutiarum  repraefentataru.Vt  politis fubtrabasdgp 

fecuar 


Arithmeticae  Libe*  r.  66 

- P K. 

fecunda  ,rcmancnt  qua  tuor  quinta.  Item  tria  quinta  i qua  tuor 
quintis,manec  quintum  unum. 

i . Certe  ranta  (implicitate  non  perficiuntur  terminorum  pro- 
grefiionis  Geometricae  additiones  & fubtra ediones , ut  mirum 
m di  iucudum  ccrnere,eafdem  res  iub  diuer fis  figuris  ta ntam  di 
uerfitateconfequi.Sed  uideamusreliquas  operationi!  fpccies. 

3 . Multiplicatio.Adde  denominatores.tuc  habes  fummae  dw**/»  (Usj 

tuaeproduGcdaedcnominatorem.  Numeratores  autem  «nrcr  uvrt 

multiplicantur  , ficur  Algor/thmus  uulgaris  docet:  ut  in  tZTZXnL&x.  Jcife 
faciunt  ^.fic  jrin  ^faciunt  Pono  autem  minut.3  fubdenoa*^ 


cifra  additione  fua  nihil  mutat, (icut  unitas  nihil  mutat  du  muU* 
tiplicac:atdumadditur,cerremutat&mutatur}uthic  ^in  fe t\ au»**'*- «-v 
facit  "/•  l” . Item  “j-  in  fe  cubice  facit  \l»  jG. 

4.  Diuifio,  Subtrahe  denominarorem  minorem  i maiore, 
tunc  relinquitur  denominator  tui  reli&i.  Numeratores  auremTy -» 
diuide  ficut  uulgaris  Algorithmus  docet : ut  diulfa  per  re  ^ '**'^T* 

linquunt Sic  $4 diuifa  per  "'  relinquunt  Item  diuifa 
per  ^ faciunt  ***-&■  d»u  'btt  + fi 

f.  Radicum  extrario  quadrata  ponit  ex  denominatote 
dimidium.Vt  far  if  rarl/rom  nusHrQnm  lianr  Sif  radfX  C"Z  oiC2.  ~ 

quadrata  de  7 
quarris 


ata  de  7'rfacii  Tj;. Quando  enim  minutia  de  qua  radicem  -j— — — rT7T 
s,no  deterit  fub denominatote  paris  numerijtunc  reduc 
eam  ad  talem:  ut  7r  faciunt  900, cuius  radix  quadrata  ed  7r  * u 

1 reducas^«/- 


'24* 


Sic  dum  radicem  cubicam  quarris,uide  ut  minutiam  i 
ad  denominatorem  dtuiObilem  ternario:  ut  radix  cubica tt 
71,  i*  facit  {o.Redudio  enim  facit  ,7^0, cuius  radix  cubica ^ 
tacir  } o • > -»*  ct  m.*"'11  •#»1* 

Sic  radix  zenfizenfica  extrahitur  iub  denomina  tore  diuii 
bili  per 
per 


craaix  zenuzenuca  exrrantrur  iuDaenoroinaioreaiunis/«*4w»etj*^j<  ■ 
•er  4 : di  radix  furdeiolid3  fub  denominatote  diuifibili**-^e**^»e  <f«  f 


/. 


Michaelis  Stifelii 

F Algorith  mus  minutiarum  Phy  fica  Iium  generalis# 

SI  ea  quae  in  fiiperioribus  huius  capitis  regulis  rede  intelli# 

gantur, nihil  erit  opus  pro  generali  Algorithmo  minutiarii 

Phyficaliumtnifi  exemplis. 

FExemplum  Additionis* 

Integra.  Min.  x.  3".  4~«  f*  ‘T * 

a*  o*  o.  5-0.  40.  3 6,  28.  3-0. 

o.  30.  o.  9.  20.  5*0.  o.  io.  1 

■ — — — ■ ■ ■' 

2.  '30.  I.  O..  r.  26.  2 9%  o. 

Dum  ex  duobus  numeris  additis.excreuerit  numerus  fexa- 
genariomaior.tuncexceflus  ille  fiipra  fexagenariu  feribitur; 
fexagenarius  autem  abit  in  unitatem  addendam  aggregato  fe- 
quentium  addendoru  uerfus  finiftram. Vides  ut  eadem  ratione 
hic  incipiamus  2 dextris,addere,  fubtrahcreatqj  multiplicare, 
qua  hoc  fit  in  Algorithmo  uulgar/,ut  i dextris  incipiamus  dic» 

FExemplum  Subtractionis. 

Integ.  Min.  f*.  i**  4**  f*»  ^*  tT»  T 

, 2.  30.  1.  o.  1.  x 6»  29.  o. 

. . 2.  o.  o.  s 0«  4°«  1*-  x8«  r°« 

o.  30.  o.  9.  20.  j-o.  0.  10. 

Primo  fubtraho  3-0  feptima,quibusfupraponitur  cifra,ideo 
mutuo  accipio  lextum  unum , quod  facit  60  feprima,  a quibus 
fubtraho  j-o  feptima  illa,  & manent  1 o feprima . Deinde  fub* 
traho  28  fexta  i totidem  fext/s  (nam  unum  fextum  abqt  in  Cc* 
prima)  & nihil  remanet.  Deinde  3 6 quinta  non  poliunt  fubr 
trahi  5 26  quintis:  ideo  iterum  mutuo  accipio  uidelicet  unum 
quartum  quod  facit  60  quinta,  fiunt  ergo  86  quinta.i  quibu* 
iam  fubtraho  2 6 quinta,tunc remanet  3-0  quinta.  Deinde  cum 
uolofubtrahere4o quarta,  nihil  inuenio  nifi  unum  quartum 
quod  prius  fuit  expeditum . Et  in  Icfco  tertiorum  etiam  nihil 
inuenfo,ideo  mutuo  accipio  unum  Iccundum, quod  reponit  5-9 
tertia  Qi  60  quarta,&c, 

. Exemplum 


Arithmeticas  LiEer  i,  6y 

FExempIum  Multiplicationis. 

Integra,  Minut,  f»  4*.  f.  6W. 


z. 

t» 

Io, 

4. 

Multiplicanda,  x 

6. 

5- 

8. 

7. 

Multiplicantia. 

»4* 

36.  10.  z8. 

16. 

4». 

20,  32» 

<?. 

IT» 

3°» 

»2. 

3 •• 

0. 

24. 

tz.  37.  3 z.  5-0.  8.  41.  28. 

Primo  multiplico  tertia  7 in  tertia  4 , facit  fexta  2 8,qua?  po- 
nantur iubfuodenominatore,ideftfub6w.  Etfic multiplica* 
bis  terti  illa  7 in  lingulas  minutias  multiplicadas.  Et  ordo  ipfe 
non  flnet  te  facile  errare  poft  primam  multiplicationem. 

De  numero  limitante  n5  opus  eft  at  tc  moncam,nofti  enim 
fatis  quid  faciendum  fit:ut  dum  multiplicas  fecunda  8 in  fecun 
da  1 o , fiunt  8 o quarta.  At  tu  pones  20  quarta  * nam  60  quarta 
abeunt  in  unum  tertfun^&c. 

FExempIum  Diuifton/s. 

Integra.  Minut.  r.  3",  locus  quo* 
2. o.  tientis, 

lnte.  Min.  zV  3".  4'»  f*  6~» 

Vtft#****  8.42,  z8* 

0.  j,  8.  y.  diuifor. 

‘ i z figura  quotientis 

'fS.  xt.  xjf»  multiplicans. 

3 1.16.  j^.refiduum. 

Sequor  autem  hoc  loco  illum  meum  modtim  diuidendi.que 
in  primo  capite  tradidi  fub  tribus  his  literis  Q.  M.  S,  quarum 
fignificationcm  in  eo  loco  poteris  quaerere. 

Secundo  ponitur  exemplum  fic. 

Integ.  Min.  z\  3".  locus  quotientis* 


r ^ 


MlCHABLFS  Stifblii 
Int.Mf.  x,  r . r“  <r* 

o.  j-r.  -itf.  37*.  s.  4»*  x8. 

0.  f.  s.  y. 
t numerus  quotiemis. 

?*•  xy.  *cr*  yf. 

1.  o.  ff.  33«  refiduum. 

Et  hoc  modo  pofi  quamlibet  innouationem  diuiforis,moue 
turtpfc,doneccompleaturdiuifio*Sicetiam  indiuifione  quae 
fit  iuxta  Algorithmum  uulgarem,mouetur  diuiior,doncc  pri- 
ma figura  eius  fiet  fub  prima  d/uidendi. 

Tertio  exemplum  fic  ponitur* 

Integ.  Min.  i".  3“  locas  quotientis, 

x»  10. 

* lnt.Mi.  x.  3".  4%  T~.  6“. 
o*  x . o.  yy.  jj.  *jr,  x8* 

/f.  j.  ;8.  y.  diuiior. 

10  numerus  quotientis, 

y.  0.  j*.  *r. 

X4.  ix«  3 x.  refiduum. 

s Hoc loco.dum  primo quaeris.quoties diuifor  habeat  in  iuo 
fuprapofito.tunc  rcfolue  min*  1 * ut  uideas  6 haberi  in  60  fccun 
dis  decies* 

Quarta  & ultima  huius  exempli  pofitio. 

Inte,  Miout*  x".  3"'.  Ioais  quo* 

X,  f*  10.  4*  tientis- 

Int.Min.x'.  3W.  4“.  f,  6“. 

••  o,  0.  Xft ypt*8% 

0*  y*  8*  y* 


Vides  completam  eiie  diuifionem  nullo  refiduo  remanente; 
quocientem  autem  completum  uide$  in  fuo  Iqco.&c, 


Dc 


Arithmeticas  Liber 
TDc  tabulis  Aftronomids. 


U 


68 


Ampum  exerciti)  latiflimum  fubminiftrantnobis  tabulae 
L yrcfolura,quas  Schonerus  fideliflime  corredas  nobis  uti* 
les  fecit.  Poteris  autem  exempla  additionis  colligere  quotquot 
libuerit  iuxta  propofitioncm  das  primam.Et  fubtrad/onis  ex 
cmpla  colligere  poteris  innumerabilia  ex  propofit ione  eius  Ce» 
eunda : item  iuxta  tertiam,quartam.&  quinta.  Multiplicatio* 
nis  etiam  exempla  & diuifionis  infinita  ,uel  ex  iolis  tabulis  mc 
diorum  motuum  colligenda, paucis  monftrabo ; ut 

Ponamus  motum  Solis  medium  in  triginta  hor/s  perficere 
gradum  unu, minuta  tredeciro.fecunda  j-j-  prarcife:  hunc  enim 
motum  tabula  ponit.Volo  autem  ex  motu  illo  inuenire  mo« 
tum  diei  unius  pnfcife , tunc  fie  pono  exemplum  ad  regulam 
DeTri. 

Hor.  I Grad.  Minut.  x.  I Hor. 

30  I 1 «3  SS  I *4 

Vel  fic  ponitur. 

Hor.  I Grad,  Min.  i".  I Hor. 

r I * 13  JT  I 4 

Habesin  huiafmodi  exemplo  quolibet,  & multiplicationis 
& diuilionis  exemplum, ut  fatis  manifeftum  eft, 

Proueniunt  autem  ex  regula  DeTri  pra eciie  r T 

Grad.  Minut.  a“. 

o S9  8.  . ' . 

& tabula  reipondet  calculationi  luiic. 

Item  ex  priore  motu  Solis  medio,  quem  ponit  tabula  facere 
in  3 o horis,  uolo  inuenire  motum  3 o minutorum  unius  horae. 
Sic  ftabit  exemplum. 

Hor.  I Grad.  Mia,  r. 

3°  | - * 13  SS* 


Minut. 

30. 


r* 


* 


M ICH  AB  LIS  StiFBLII 
Vel  fle  ponitur. 


Hor.  Grad.  Min.  x*  I Min* 
i * I/.  I i 

Proucniunt  autem  ex  hac  operatione. 

Grad.  Min.  a".  3*"  ♦ 

o.  I U ST* 

Et  ex  hoc  exemplo  faefle  intelliges , qua  ratione  flat,  ut  tabulae 
mediorum  motuum  pro  horis  datar,(atisfaciantetiam  pro  fra# 
tSionibus  horarum  quibufcunq* , Sic  enim  eodem  modo  inuc* 
nies  motum  3 o fecundorum  unius  horar  facere  praecife. 

Grad.  Min.  f.  3".  4* 

o,  o.  i»  13«  yf*  . - • ■ 
Ei  motum  30  tertiorum  uniushorar.fecere 

Grad.  Min.  a".  3'-  4".  y-.’ 


o.  o.  o.  1,  13,  yy. 

Si  autem  contingat,ut  operatio  tua  non  refpondeat  tabulae 
prarcife.difces  quo  confilioauthor  tabulae  declinet  ad  minus, 
uel  ad  maius  refpiciat.  Vtdumuoloex  motu  diei  unius,inue* 
nire  motum  unius  horar ,inuenio  praecife 

Grad.  Minut.  z“.  3~. 


o.  x,  X7t  yo. 

Tabula  autem  ponit  uni  horar  folummodo  . . 

Grad.  Min.  f . 

o.  x»  z8» 

Hoc  igitur  fuit  authorisconfilium : quia  enim  tertia  ponere 
uo!uit,fatius  efle  (latuit  fl  fuper fluant  tertia  1 o,  quam  fi  defici# 
ant  tertia  yo. 

Conflat  uero  numerumper  regulam  DeTri  inuentum,  efle 
. propinquiorem  ueritati  ipflus  rei,  quim  fit  numerus  ille  quem 
ponit  tabula.  Nam  fecundum  motum  dium  quem  tabula  po# 
nir.uni  anni  (olum  proucniunt 

Dies  Hora  Min. 

364.  xo.  4y.  fiic. 


Grad. 

3 60 


Arithmeticae  Liber  i, 

Sed  fecundum  numerum  ptr  regulam  Pc  Tri  inucntaro,pro- 
uenianc  uni  anno 

> Dies  Hor,  Mm, 

j7* 

Sic  autem  ftat  exemplum  ad  regulam  De  tr /. 

Grad.  Min.  jTt  f,  Hor. 

o.  x . i7.  yo  f 

pfuifor  fadt  tertia  8870 ,QC  diufdendus  facit  tertia  77760000: 
proueniunt  ergo  ex  diuifione  illa  horae  8766.  HtreOduum  di- 
uifionis eft  3-580, hocrefiduum  refolutum per  6o,fadt  produ* 
dum,quod  diuiditur  per  priorem  diuiforem;  QC  fic  proueniunt 
^7*ninut.&c. 

Sic  uero  flat  exemplum  pro  numero  tabulae. 

Grad.  Min.  r.  I Hor,  I Grad. 

o.  a.  zS.  j 1 I 360 

piuiiorfacitiecunda  148  , diufdendus  facit  fecunda  1 196000'* 
proueniunt  ergo  ex  diuifione  illa  horae  8756.I10C  eft,  dies  3 64. 
hor, zo.  Remanferunraurm  ex  diuifione  horae  1 1 z,quae  refo* 
lutae  in  minura,atcp  ita  (i  diuidantur  per  priorem  dfuiforem,ui 
delicct » 48,fa ciun t min.  4 5.  8ic.  . 

Itacp  annus  bifextilis  potius  fumitur  iuxta  numerum  opera« 
jionis  meae,quim  iuxta  numerum  tabulae. 

Deinde  uides,ut  numerus  operationis  meae  plus  tribuat  an 
no,qu!m  bifextilis  annus  reportet : reportat  enim  bifextilis 
pro  quolibet  anno  6 horas  praedfe.  At  motus  fecundum  opera 
tionemmeam  praedidamuni  anno  tribuit, 

D/es.Hor.Min,  T.  3-. 4-.  f.  6~.  ?.  8".  9\  t<T.  1 r, , z~,  rf> 
365.  6.  37»  44»4z*4f«  3*.  *•  38.13.  10.53.  z6.  18.  48» 


rr-r 


14".  15”.  17“ . 18",  ijT.  zo*".  &C. 

77.  T«.  *3.  36.  47.  53.  30* 

Videmus  etiam  hoc  loco  quid  fecerit  Nicolaus  de  Cufa  prQ 


v Michablis  Stifblii 

\A  ' 

corredioe  Calendarij.Cum  era  uidiflet  motui  huic  Ubius  horae 
Grad.  Minut.  x.  f. 

o x »7*  J"o* 

addendum  aliquid,&!  additionem  unius  rertij  excedere  menfu 
ram.ed  quod  diuifor  adaudus  uno  tertio  integro, plus  adimat 
anno  quam  par  fit.inuenit  fubtrahendas  efle  partes  unius  ter* 
tij  70 S9  denominatas  fub  hoc  numero 43 8 19  :hoccft,?yfg} 
unius  terrij  fubtrahendas  eiTe  inuenit  ab  uno  tertio^:  relidum 
huius  fubtradionis,hoceft  £f|ri  unius  tertij.cenfuitefleaddeii 
dum  ad  motum  quo  una  hora  perficit 

Grad.  Minut.  z".  f* 

o,  a.  »7*  fo» 

Sic  enim  calculationis  ratio  perfuadet  mihi  hoc  de  fado  eiui 
diuinare.qui  libros  eius  diu  non  uiderim  * Adimit  autem  tan- 
tillum momenti  illud.de  anno  omnes  illas  fradiones  quas  paif 
Io  fuperius  pofui.cu  quinta  parte  unius  horae.  Hinc  fit  ut  anno 
folari  remaneant  praedic 

Dies  Hor.  Minut. 

3 6s»  ?:  48. 

Et  hunc  numerumfe/o  Nicolaum  de  Cufa  poiuifle. 

* Satis  nunc  uides  ex  rjs  quae  pofui.ut  non  folum  exempla  ex* 

ercicr)  pro  Algorithmo  minutianitnPhyficalium  fumere  pof* 
fis  infinita,fed  etiam  uides  qua  ratione  experientias  Aftrono- 
micas  facere  poiTis  innumerabiles. 

Habet  etiam  regula  DeTri  inueria  fuum  ufum  in  Aftrono* 
micis  huiuimodi  calculat  ionibus.id  quod  exeplo  aliquo  opor* 
tebi.t  me  hoc  loco  fignifleare. 

Ponamus.exempli  caufa,feftum  natiuitatis  Chrifti  ab  Apo 
ftolis  fiiifle  inftirutum.idcg  fadum  efle  mox  eo  anno  quo  CbrJ 
ftus  paflus  eft,uidelicct  anno  domini  34.  Ponamus  etiam  fol* 
ftitium  hyemale  incepiflfe  efle  in  die  Natiuitatis  domini,  hoc 
eft  zy  die  Decembris:  anno  autem  domini  1474(0! ftitium  hye 
male  incepifle  efle  1 3 die  Decembris >td  eft  in  felio  Ludar* 


Arithmeticae'  Uber  r.  70 

H/s  ira  pofitis,uoIo  inurere  quanta  fellat  bifextiiis  nofter.’ 
Sic  ftabit  exemplum  ad  regulam  DeTri  /nuerfam.  • 
An.  Hor.  Annus  ^ Min. 


y An. 

4*  120,  12. 

Sic  a titintelligendumeft exemplum. Horae  6 corrigunt  anno», 
4 , Qua ntum  ergo  temporis  corrigit  annos  120'  Sic  uero  cor 
rigunt  6 horae  annos  4,quod  fex  horae  quolibet  anno  deperiret 
de  ilippuratione  Aftronomorum.nifi  bifextilis  hoc  tempus  re=» 
pararer.Faciut  igitur  6 horae  in  quatuor  annis  diem  unum,qui 
quarto  anno  femper  inrercalatur,ut  notum  eft.Dcberent  au  te 
recipi  fex  horte,  minus  aliquantulo  temporis.  Quaero  ergo, 
quantum  fit  illud  modicum  quod  debuerat  i fex  horis  efle  fub- 
fraclum  c'  Hic  ego  iam  pofui  Solftitium  hyemale  receflifle  per 
dies  1 2 integros  intra  annos  1440  ( i die  enim  13  Decembris 
iifeg  ad  2j-  Decembris iunt dies  i*,8iabann0  34ufcp  ad  anna 
I474  fant  anni  1440).  Sic  ergo  colligo  primo  p regula  de  Tri, 
Dies  An.  Dies  ..  . Annos 

^ 12  1440  1 ”clt  1x0  t 

Deinde  fic  colligo  per  regulam  DeTri  inuerfam: 

An.  Hoi*.  An.  _ Min.  * 
4 6 ixo  fadt  it 

Deberent  ergo  fubtrada  efle  1 2 minuta  de  4 horis  illis,  ita  ut  5- 
horae  & minuta  48  fupputarenrur  ultra  dies  3 6$:  id  quod  pul« 
dire  fieret, fi  femper  in  anno  centefimo  uigefimo  intermitteret 
unus  bifextilfs,ut  ficut  annus  quartas  femper  eft  bifextilis,  ita 
trigefimus  bifextilis,nilnquam  eflet  bifextilis. 


Dc  Muficu  progredionibus , Cap.  ix. 

i*  v n c demum  de  Muticis  progreiTionibus  dicam, 
hoc  eft,  de  difpofitione  numerorum  iuxta  fcalas 
Muficales  politorum, Ponunt  aute  Mutici  primo 
fcalam  Muticae  uerar;  deinde  ponunt  fcalam  Mu* 

« *J 


MlCHAELlS  SriEBLII 

flcse  fKftat.Videbimus  ergo  de  utriufcp  fcalae  difpofition*. 
VDc  progreflGone  numerorum  iuxta  fcalam 
Muficse  uerae. 

/^v  V/  uoluerit  difponere  progreflioneni  ItjXta  fcalam  Mas 
r V /fica  uerar  .Incipiat  i proportione  duplatHaec  autem  pro 

jL * /4Mf4/^porxio  omnium  proportionum  prima  eft , fi  ortum  caram  e* 

I / / i- C.v «nim  p<iTr  nrrtmti  intfr  nump< 


numeris  confideres.  Sic  enim  termini  eius  proprij  inter  nume* 
ros  minimi  funt.  Binarias  enim  relatus  ad  unitatem  duplam 
proportionem  conftituit , fub  qua  interuallum  ipfius  diapafoa 
inuenitur.ut  hic  uides : 

Gfolreut  i \Dfapafo n#  - 

tut  t r . . 

Eft  autem  hoc  interuallum  icalae  per  fe<ftifilmum,compIic54 
Omnia  reliqua  interualla,  ita  ut  quicquid  ultra  ipfum  inuenitat 
|n  (cala,  nihil  aliud  elTecenfeaturquim  repetitio  eorum  quae 
intra  ipfum  firtt  repofita . Sic  enim  uoces  hominum.a  inftru* 
menta  Muficae,  iucundo  aurium  iudicio , naturae  numerorum 
tefpondent. 

lam  fi  utercp  terminorum  dupletur  .inter  dupla  tos  termind* 
cadet  ternarius,diuidens  Diapafonin  Diapente  & Diateftas 
ron*Sunt  autem  duo  illa  interualla  inuenrionis  metra , ut  quis 
bus  omnia  utriufcp  icalae  interualla  inuenias : comata  infuper 
atqj  recifa.&c.  Mira  autem  diuifio,ut  proportio  quae  in  fua 
fpecie  omnium  eft  rninima,diuidatur  in  ^portiones  duas,qune 
in  fpecie  fua  fintomnium  maximae, & quantum  attinet  ad  Scas 
lam,fint  pfediftimi  interualli,praecipuae  partes  diUifionis  &c* 
Sic  autem  ftat  interuallum  hoc  diuifum* 

^ Diapente* 

C 3 

* ^ Diatefiaron* 

r 4 

Reliqua  interualla  omnia  utrfufq;  Scala:  ( ut  dixi ) imienlei 
per  Diapente  Qc  Diatefiaron.  In  quam  rem  funt  qua  tuor  te* 

gd* 


Arith  Matre  ab  Li*m'r.  *7i 

fculae : duaf  liidcUce  t de  intentione  utriufcp  metri, & duae  de  rc* 
roiflioneutriofcp.Omhia  enim  harcinueniuntur  uel  per  inten- 
tionem ,uel  per  remiiTionem  diapente  aut  diateflaron. 

Prima  regula  de  intcnfionc  Diapente. 

Multiplica  fingulos  numeros  clauium  tuarum  per  3 .deinde 
humerum  clauis  iquo/ntedis  multiplica  per  2,&produduni'# 
diuide  per  3 ,tunc  prouenit  numerus  clauis  tua:  que  quarrebas* 
Secunda  regula  de  remiffione  Diapente. 

Multiplica  fingulos  numeros  clauium  tuarum  per  2 .deinde 
humerum  clauis  i quo  remittis  multiplica  perj.&produdum 
diuide  per  2, tunc  prouenit  numerus  clauis  tua:  inter  reliquos* 
Tertia  regula  de  intenfibne  Diatellaron. 

Multiplica  fingulos  numeros  clauium  tuarum  per  4,dcinde 
humerum  clauis  i quo  intendis  multiplica  per  3 produdunt 
diuide  per  4,tunc  prouenit  numerus  clauis  tuae  que  quaerebas* 
Quarta  regula  de  remifltone  Diatellaron. 

Multiplica  fingulos  numeros  clauium  tuarum  per  3, deindt 
Alum  numentm  clauis  i quo  remittis.multiplica  per  4, pro- 
dudum  diuideper  3 , tunc  prouenit  numerus  clauis  tuae  quem 
quaerebas. 

Harum  regularum  exempla  copiore  uidebis* 

V A numero  inuento  in  ,pxima  diipofitione,id  eft  i numero 
impari , intende  Diateflaron  ( fic  enim  uides  efle  faciendum: 
hihil  enim  faceres  remittendo  diatellaron, ut  fatis  uides  ex  ipfa 
interualli  diuifione.  intendendo  autem  diapente ,tranfilires  G. 
temittendouero  diapente,cadercs  infra  r.  ) Intenfione  aurem 
flla^diatelTaron.  inuenitur  numerus  clauis  illius  F,  facittp  nu- 
merus inuentus  Vnde  fic  fiat  diuifio. 

G 

^•Tontw* 

F 9^ 

. ^ ^>Diateflaron* 

- C 12^ 

j*  t6 ^^Diateflaron* 


a f.j 


Michablis  Stifelii  *■ 


' Iam  i numero  impari,remitte  diapente , tunc  inuenitur  nu« 
merus  B rotundi  (quod  non  ponitur  in  fcala,nifi  enim  defcen- 
fus  flat  ultra  r.non  eft  in  ufu)  numerus  autem  B rotundi  inuen 
tus  facit  x7»Vnde  fic  flabit  amodo  clauiura  difpoflUo, 


G 16 
F' 

C 

Bfa 
r 


Tonus. 


iateflaron* 


tonus* 


ort 

ii 


t, 


v Oportet  iam  ut  i r intendas  diapente , tunc  inuenies  D has 
bere numerum  hunc  6 4, ut  uides  hic. 


f *■ 


Semiditonus* 


9 


A numera 


Tonus. 


Arithmeticae  Liber  * i,  7* 

A numero  indento,  remitte  diateffaron  ( remittendo  enim 
diapente  nihil  ageres &c»)  tunc  inuenies  numerum  danis  il> 
Uus  A,qui  eft  256,  ut  uides  in  fequenti  difpofitione* 

G 144 

.....  F >.  1 6x 

Semiditonus*  ut 

D 191  <" 

/ Tonus* 

C xi  6 ^ 

'z1  Tonus* 


> 


Bfa  243 


Semitonium  minus 


A xj 6 C 

r 288  / Tonus. 

A numero  inuenro,  feu  i claue  A,  intende  diapente  ( nihil 
enim  faceres  intendendo  diateftaron,  quia  incideres  in  dauetn 
D,quz  prius  eft  inuenta)  tunc  inuenies  numerum  dauis  E, qui 
eft  s 1 2,  ut  habet  fequens  difpofitio. 

G *>Tonus. 

4»<  <T  . ... 

Semitonium  mulus* 


F 

E 

D 

C 


ft* 

T7*‘ 

648 


Bfo  7*9 


A 

r 


768 

864 


Tonus* 

Tonas* 

Tonas* 

Semitonium  minus* 
Tonus. 


MtCHABLlS  STUELII 

A claue  inuenta  ,id  eitabE,  remitte  diateflTaron , tunc  /nue* 
files  clauem  Ijmi , habentem  numerum  hunc  »048 : atep  tunc 
habes  diapafon  cum  Angulis  dauibus  & tetrachordis,  comple 
tami$  progrefTionem  Mu(?cam,quam  potes  protendere  in  in- 
finitum producendodiapaibnexdiapaibn*Ec  fit  illa  extendo 
feu  progreflio  (olummodo  per  duplatione,ut  ex  fcala  pulchre 
uidere  poteris» 

,z96  \ Tonus, 

»4*8 


G 

F 


E 

P 

C 

kmi 

Bfa 

A 

r 


17*8 

!«4 

10+3  < 


»187 

»304 


< 


Semitonium  minus» 
Tonus» 

Tonus, 

Semitonium  minus» 
Semitonium  maius. 
Semitonium  minus? 


& 


Tonus, 


Jam  0 commutentur  daues  capitales  feu  graues,  in  excellen 
tes  feu  geminantes,  tunc  nihil  aliud  reftat,nifi  ut  duplatis  fingu 
lis  numeris  illis,  facias  ex  eis  diapaion  acutarum  dauium : &C 
deinde  ex  diapaion  acutarum  dauium,faciasdiapaibngrauio 
dauium ,(eu  ca  pitaliunvliterarum,  id  quod  fit  fola  duplatione, 
ut  dixi. Quibus  peracflis.poteris  delere  gg  &ff  excelle  tes, item 
Bfa,  tunc  itabit  fcala  complctafic,inminimisfeuinproprijs 
fuis  terminis. 


Arithmeticae  Liber  j. 


7* 


X, 


ce, 

dd. 

cc. 

blj. 
bb. 
aa. . 

'£ 

e. 

d. 

c. 

S: 

4 

a. 

G* 

F. 

E, 

D, 

& 

I 

r. 


17*8 

»944 

»048 

»187 

»304 
»5-91 
i?  16 

307* 

34r* 

3888 

4096 

4374 

4608 

5-184 

f83i 
<5144 
69  u 

777* 

8191 

9x16 

10368 


Tonus, 

Tonus,  . 

Semitonium  minus. 
Semitonium  maius. 
Semitonium  minus. 
Tonus. 

Tonus» 

Semitonium  minus. 
Tonus, 

Tonus, 

Semitonium  minus. 
Semitonium  maius. 
Semitonium  minus. 
Tonus. 

Tonus. 

Semitonium  minus. 
Tonus, 

Tonus. 

Semitonium  minus. 
Tonus, 

Tonui, 


Si  autem  uolueris  deicendere  infra  rut,  tunc  oportet  B ro* 
fundum  ieruari etiam  in  grauibus,ea  neccilitate  qua  b rotun* 
dum  it)  acutioribus  ponitur, & bb  in  excellentibus.Sicenim  re* 
fcinditur  putamen  illud  quod  aures  offendit , fcilicet  iemitonid 
cnaius  abicinditar  de  tritono.  Natura  autem  numerorum  ,8i  ra 
fio  fonor um.iemper  diapafon  gignit  ex  diapafon,ut  didu  eft, 
TDe  probanda  progrcflione  illa  Mufica,quam 
uides  dauibus  appofitam. 

Si  uelisfdre,an  tonus  fit  inter  ee  &dd,ideft  inter  19)6  fid 
f 7*8,tunc  recipe  minimosnumeros  illius  proportionis,uideIi 
fet  8 &c  9 .Diuide  ergo  minorem  per  minorem,  & maiorem  per 


Michaelis  Stifelii 

maiorem:  & fi  idem  numerus  pueniat.probata  res erft,ut  15-3  6 
per  8 facit  191.  & tantfi  facitetiam  1728  per  9.  Vel  multiplica 
minorem  numerum  fcalar,  per  maiorem  numerum  proportio- 
nis : & maiOTem  fcalar, per  minorem  proportionis. 

Quemadmodum  uero  tonus  per  8 & 9 probatur : fic  Cernit 
tonium  maius  per  2048  & 2 1 87  proba tur.Et  femitonium  mi* 
nus  per  243  & 23-6.  Et  femiditonus  per  27  dC  3 2 . Et  ditonus 
per  64  & 8 1.  Diateflaron  per  3 & 4 prob*atur.  Tritonus  per 
y 1 2 & 7 29.Semidiapete  per  7*9  & • 0 24.Diapcnte per  2 Qi  3 . 
Semitonus  cum  diapente  per  8 1 & 128.  Tonus  cum  diapente 
per  1 6 dt  27.  Semidi tonus  cum  diapente  per  9 & 1 <S. Ditonus 
tum  diapente  per  1 28  & 243  .Semidiapafon  per  2 1 87  & 4°?*» 
Diapafonper  1 & 2 probatur. 


Vide  autem  ut  intra  Dfapafon,  cuius  termini  funt  bb,&  b. 
ipfius  diapafonintcrualla  optimo  ordine  diipofita  tnuenianf, 
ucuc  haec  (ccjucns  figura  indicit» 


Diapaibn. 

Ditonus  cu  diapetej 

Tonus  cu  diapete|  | 

Diapente.  Illi 


I J Semidiapafon. 


I 


Tritonus.  | | 


-aa.2304- 

-g. 

-f.  2916- 
-e.  3072- 


I 


jSemidito.cu  diape, 
|Semito.cudiap. 


Illi  Semidiapete. 


|Diateflaro 


— 

c:  3CSS  1 1 1 1 1 1 

q.  4096^^ 

b.  4 3 74^>SemitonitS  mai?. 

Scnd. 

minj. 


Sic  intelligc.  De  bb  ad  b eft  diapafon  ,de  bb  ad  t)  eft  femidia pa 
fon,de  aa  ad  b eft  ditonus  cum  diapente, de  aa  ad  q cfi  femiii# 
conus  cum  diapente. Et  ficdealijs. 


I. 


Arithmeticae  Liber  i,  74 

FDe  progreflione  quae  flt  iuxta  fcalam  Muticae  fidae. 
T)RogreiTio  quae  fit  iuxta  fcalam  Muticae  fidae.cadem  pror* 
Jj  fus  habet  q (uperior  illa  Muflcar  uerae  (cala : icilicet  .Scala 
Muticae  uerae, progreditur  iuxta  progreftionem  tetrachorda  r 3 
in  clauichordio,ubi  femper  duos  integros  tonos  fequitur  femi 
tonium  minus,  & ne  tritonus  obdet,  inuenitur  tonus  fuo  loco 
diuifus  in  femitonium  minus  & iemitonium  maius , ut  fatis  cft 
fignificatum,atcp  illa  eft  progreflio  Mutica  proprie. 

Habet  igituj  ,pgrcffto  Mutica  .iuxta  fcalam  fiedam,  ea  (dem 
proportiones  omnino,(ed  ita  ut  fubiaceant  ulteriori  diuitioni: 
itaq?  uidelicet  ut  nullus  tonus  remanear, qui  non  diuidatur  in 
iemitonium  minus  di  femitonium  maius.ficut  uides  fadum  in 
fequentihacdiapafon  diuitione. 

1 Semitonium  maius. , 

’ Semitonium  minus.] 
Semitonium  minus.  5 

■ Semitonium  maius. 
Semitonium  minas, 
•Semitonium  maius. 

• Scmitoniumminus.  >a 

• Semitonium  minus, 

• Semitonium  maius.  3 

•Semitonium  minus, 
•Semitonium  maius. 

• Semitonium  minus. 

Poteris  iam  ex  his  excellentibus  fcu  geminantisclauibus, 
ieu  clauium  numeris,  totam  Scalam  facile  compIere,uideIicee 
(ingulos  numeros  duplando, ut  fuperius  indicatum  eft. 
Harc  autem  diuitio  huius  diapaion  fada  eft  ut  fuperior,uide!i- 
cet  per  diapente  & dia  tedaron.  Et  ex  illa  fuperiori  eft  fa<da,ici 
liceti  num?ro  impari.quem  uides  potitum  cum  Bfa,  fada  eft 
intentio  iptius  diatefiaron,&c.Et  fle  deinceps  femper  fit, 

* t ij 


gg* 

ff. 

163-888 

•77147 

126614 

rrullcir 

■k, 

ce. 

196608 

llWl  * 'i  fll  ‘4)1* 

dd. 

zoppyi 
axi  184 

cc. 

w. 

136196 

148831 

'i 

16x144 

rtxl crinon  b- 

bb. 

1799)  <5 

» jsc‘di>nr<\  t 

aa. 

»949 » * 

g* 

3 149*3 
3 3 »77 6 

Michaelis  Stifelii 

ut  ab  impari  incipias  :ubicp  autem  habebis  unum  imparem 
folum.Icem  hoc  lemper  fi  r deinceps,  uc  diateflaron  intendatur 
& nunquam  remittatur : diapente uero  remiftatur.&nunquS 
intenda  tur.His  igitur  regulis  ufus,non  poteris  errare. 

Vides  hic  etiam  qua  ratione  Mufici  p a canant.fubclauibus, 
quarum  diciones  fa  non  continent.  Item  qua  ratione  mi  non 
admittatur  in  fingulis  clauibus.queadmodum  fa  admittit  dic. 

Item  uides  qua  ratione  Mufica  flda.dicatur  fida.  Ncq»  em 
ita  intelligi  debet,  quafi  opponatur  Muficae  uerac , tanq^  nd/o 
rei, quae  non  extet:  fed  quod  fida  Mufica,ultra  fcalamcommu 
nem, aliam  requiratdiuifionem  diapaion,  atq?  aliam  Ccalsr  di£« 
poficioncm.l  taq?  fi  fyllabas  feu  uoces  clauium  refpicias,  fidio 
efife  uidetur ; at  fi  rationem  numerorum  fpedcssres  cft&ars, 
quaeMuficis  regulis  nequaquam  aduerfatur , tanquara  edet 
fidio  rei  non  exidentis. 

Vides  etiam  ex  ratione  numerorum,  tonum  non  ede  tono 
duriorem  aut  molliorem.necg  ullum  aliud  interuallum  alq  in# 
teruallo : quod  numerorum  ratio  iudicat  fibi  ede  arquale,nif! 
forte  duritiem  uel  mollitiem  iudices  penes  attenuatione  uods. 
Ratio  uero  harc  numerorum,  graue  QC  acutum  iudicat  • Sicut 
autem  alia  ratione  numerorum,iudicamus  inter  uoces  longas 
& breues : ira  alia  ratione  numerorum  iudicamus  inter  uocem 
grandem & attenuatam, &nihilhorumed quod  non  habeat 
rationem  diam  ex  numeris.  Satisautemcondat  graciliores 
chordas  cytharar,nedum  acutiores  grofiioribus  reddere  ionos, 
fed  etiam  magis  tenues.  Huius  autem  digreilionis  occafionem 
prardirit  mihi  Muficorum  diuifio  iJIa.qua  fex  uoces  Muficale* 
diuidun  t in  tres  dia  tedaron,  hoc  modo,  * 

h I)  dur. 

lol  . natur. 

Bt  7 bmof. 

mi  fcjdur, 

re  natur, 

n(  bmoJ. 


Arithmeticae  Liber  i.  74- 

Vocant  autem  femicontj  minoris  uocem  acutiorem,  mollem: 
grauioremucro  uocem  eius,  uocant  duram.  Et  quia  nulla  cla- 
uis  didio,quac  ia  haber,admitrit  uocem  fa  aut  ur,  cum  tamc  ad 
mittat  uocem  mi.ltem  nulla  dieflio  quar  uocem  ut  habet,admit 
tit  uocem  mi  aut  Ia, cum  tame  admittat  fa.Hac  ratione  cenfue 
runtla  efle  uocem  duram,  eo  quod  uideaturquandam  cognati 
onem  habere  cum  uoce  mi.quemadmodum  uox  ut  uidetur  cfle 
cognata  uoci  fa.Sicfol  & re.na  turales  uoces  uocant:  hac  enim 
necp  q duralium  necp  bmollium  amicitiam  uitant,  quanqua  fol 
^ magis  inclinet  fe  ad  bmoIles.Licet  enim  nunquam  commifcca 
tur  uoci  mi.commifcetur  tamen  uoci  Ia : fic  rc  nunquam  com- 
mifcetur  uoci  fa,a  t uoci  ut  comiicetur.  V ides  cerre  ut  hac  fpecu 
latio  Muficorum  non  uerierur  circa  rationes  numerorum,  fcd 
circa  fyllabas  dicionum  ipfius  icalar,&c. 

Alia  progreflio.  ideft,alia  diuifio  diapa Ion  in 

commata  & femitonia  minora*  • 

gg.  42467328 
*■'  . 43046721 

43-349632 


47773-744 
te.  3-0331648 
5-1018336 

J-374771» 
dd,  56623104 
. 5739*628 
60466176 
ce.  63700992 
67108864 
68024448 
bb.  71663616 

aa.  7549747» 

76527504. 
8062 1568 
g.  84934656 


Comma. 

Semitonium  minus* 
Semitonium  minus. 
Semitonium  minus* 
Comma. 

Semitonium  minus* 
Semitonium  minus* 
Comma. 

Semitonium  minus* 
Semitonium  minus. 
Semitonium  minus* 
Comma. 

Semitonium  minas* 
Semitonium  minus* 
Comma. 

Semitonium  minus. 
Semitonium  minus* 


t tif 


MlCHAELtS  STIFELII 

Potes  etiam  & hanc  progrelTtonem  commatum  8t  Cernito* 
niorum  minorum  excendere,ufqj  ad  rur,pcr  duplationem  (in* 
gulorum  numerorum. 

Eft  aurem  Comma  differentia  qua  (cmitonium  maius  fupe 
rat  femitonium  minus. 

Polles  iam  etiam  facere  progreflionctn  Reciforum  di  Com 
matum. Sunt  autem  triplicia  recifa:  quaedam  funt  prima  quae- 
dam funt  iecunda,&  quxdam  tertia.HH  autem  reciium  prirnu 
' differentia femitonij  minoris  fupra  comma, ut 

134x177*8. 

1x91401  63. 

Et  recifum  fecundum  eH  differentia.qua  reciium  primum  fupe 
ratcomma.ut  189994x885-7969*8. 

• 8j’X997966^3  1S4I* 

Recifum  ter  tium,eft  different  ia, qua  recifum  fecundum  fuperat 
comma,ut  996  1 i7*JT7<>8699787xrf4. 

98475-909  * 3 8479**1  x88  ». 

Ex  his  patet.quod  adhuc  alias  ,pgrcffiones  Muficas  pollent 
poni,uidelicet  commatum  di  femitoniorum:  item  commatum 
di  reciforum  primorum  : item  commatum  di  reciforutn  fecun* 
dorum : item  commatum  di  reciforum  tertiorum. 

Et  habent  hx  omnes  unum  di  eundem  modum  inuentionis, 
fcilicet  progrelfio  commatam  di  femitonioru  recipitur  i pro- 
grellione  femitonioru  minorum  di  maiora,  di  fumitur  prine  i# 
pium  i numero  impari,&  remittitur  diapente,ut  facile  uides. 
DiapenteaCt  nun^  intcnditur.nifidumprogrelTfotonorum 
di  ffmitonibru  inquiritur,  i.dum  Icala  Muficat  uerx  conftruif. 
Sic  diatefifaron  nunqua  rcmittitur,nif?  dum  illa  tonoru di femi 
toniorum  progrelfio  inquiritur.Item  i numero  pari  nunquam 
fit  inchoatlo,nifiinillaprima  progreflione  tonorum  &femi« 
toniorum. Item  facileuidebisubicp,quando  remittendum  fit  dC 
quando  intendendum,  ut  nihil  fit  ulterius  quod  in  huiufmodi 
operationibuspofiit  defiderar/. 

Exercitium 


Arithmeticae  Liber  *r  76 

FExercitium  pulcherrimum  ex  (cala  Muficali&AIgorithmo 
proportionum  hac  (equenri  pidura  fignificatur. 

| — bb.n^—, 

■aa.  1304- 
-g* 


• 1 > 1 1 
1 11 1 1 

IMI 


IHI 


I I I 


I I 


t I I 

»«  r 


1 1 1 


m 


T 


I 


I 


I 


1 


“f.  x 916- 
-e.  307*- 

"d.  345 6 | 

"c.  3888 

fcj.  4096' 

_b.  4374 


1 1 1 r 
1 . N 
1 1 1 


| 1 'JJ 


1 1 i 


1 1 1.^ 


LTTl 


1 1 


I 1 1 I 1 1 
I I 1 II  II  - 


Volo  iam  finire  tradationem  numerorum  rationaliu  abfolu 
torum,hac  iucunda/nuentione.propofitionum  talium.quibus 
quidam  libros  fecer utiquoru  exemplo  fi  ludere  uellcm,  multo* 
libros  faciliter  feribere  poflfem.  Occafionem  huius  mihi  dedit 
collatio  termino*  progreflionis  Aftronomicjr,et  terminorum 
illius  Gcomctr/car,  ex  qua  prodqt^grefiio  Afironomica,ficut 
Superius  oucndi.Nam  quanta  facilitate,  modus  operandi^per 
minuta  Aftronomica,fuperat  modu  operandi  per  Algorithmu 
comunem.tanta  facilitatefuperat  modus  operand/.que  dabo, 
modum  operadi  illum  quem  fuperius  ded/.uidelicet  cum  qui  fit 
per  Algorithmum  proportionum. 

Pro  repraefentatione  aut  huius  me/  Algorithmi,  fdto  me  to 
num  fic  fignare,  1 uidelicet  unitatis  notula ; quare  ditonu  fic  fig 
nabis » »,&  tritonu  triu  unitatu  notulis  fic  1 1 i.Sem/tonifl  uero 
minus  fic  quare  femiditon*  fic  fignabit ' dia  reflaro  fic  Ii 

& diapente  fic  diapafon  fic  1 Commaaurem  cifra 
notulaiq  habebit;  quare  iemitonium  maius(quodconftac/cmi 
tonio  minore  & commate)  fic  fignabitur  z. 

Qii/a  uero  Muficietiam  loquuntur  de  proportionibus  qui, 
turdam  irrationalib.ut  de  fchifmate  & diafchifmate,&:  nonul- 
lis  ahjs.Voloetia  illarum  repientationc  indicareXfchifmartjd 


Michailis  Stifblii 

uocanc  commatis  dimidium)fic  figno  v:  diafchifina  uero  fic 
Eft  autem  diafchifma  iemitonij  minoris  dimidium, Quare  di- 
midium toni  fic  fignabitur  u : eft  enim  dimidiatus  tonus,pro- 
portio  irrationalis,coftans  ex  ichifmate  di  femitonio  minore. 
Sic  dimidium  femitonij  maioris  ita  fignandum  uenit  2 : con- 
ftat  enim  dimidium  femitonrj  maioris  ex  fchifmate  & d iafchif* 
mate.Et  dimidium  unius  diapafon  fic  erit  fignandum  = ,con 
ftituitur  enim  ex  diateftaron  di  tono  dimidiato. 

& fic  de  alrjs, 

TDe  Additione. 

DE  additione  proportionum  ,extant  Iordani  di  aliorum 
quoqj  uirorum  dodorum  hominum,  propofitiones  plu* 
rcs.uti  eft  haec  Iordani  propofitio. 

Compertum  eft  confonantiam  ipfius  diateftaron  continere 
quinqjdiefcs  & duo  commata.  Vocatur 'autem  diefis,  (emito* 
nium  minus. 

Quincp  femitonia  minora  fic  diiponuntur. 

256.  256.  256.  256.  256. 

243.  243.  243.  243'.  243. 

Duo  uero  commata  fic  diiponuntur. 

53  *44  *•  53  »44»« 

524288.  5-24288. 

Et  iuxta,  Algorithmi  proportionu,regu!am,quae  de  additione 
datur  .laboriofa  multiplicatione.hanc  tandem  diateiTaron  pro 
portionem  efticies.uidelicet 

3 «0534559388245484896256. 
232900919541184113672192.  • 

Iamuide  quanta  facilitate  quanto'<$  compendioex  quincp 
femitonrjs  minoribus  duobuscp  commatibus  fiat  diateftaron. 
Semitonia  enim  quincg  cum  duobus  commatibus  fic  ftgnanda 
tradidi  = : duo  autem  iemitonia  minora  cum  uno  commate, 
faciunt v 0 unum  tonu.Vnde  facile  uides  ex  ==  fieri  —,&uicc 
perfa&c. 

Alfa 


I 


Arithmeticae  Liber  l • 77 

’ Alia  Iordani  propofit/o. 

Duplae  /ntCruallum,  ex  duabus  maximis  proportionibus 
fuperparticularibus9coniungitur.  Hoceft,  inceruallumipfius 
diapafon,conftat  ex  interuallo  feiquialtero  & feiquitertio ; ut 
CX  LL&  LLf  flt  * === 1 . * 

Iam  uide , quim  facile  (It  ponere  propofleiones  huiufmodi 
innumerabiles : ut» 

* Diateflaron  condat  ex  tonis  duobus,  & femitonio  minore, 
ut  J_i. 

- Diapente  confiatex  dia  teftaron  & tono.flue  ex  tribus  toni* 
& uno  femitonio  minore ,ut  JLL». 

Diapafon  condat  ex  tonis  quincp  & (emitonijs  minoribu* 
duobus,flue  ex  femitonijsininoribus  duodecim,etcommatibu* 
quincg,  ' 1 

Schifma  additCI  ad  femfdfapente,  facit  dimidium  unius  dia# 
pafort  * ut M ad  4^  facit 

fetflcdcalijs  infinitis.  u ’ ’ 

PDe  SubradWone. 

Extant  etiam  ppofltiones  Iordani  de  iubtradhbrte,utefl:  illa  J 
Sefquirertium  interuallum, demptum  i fefqu/altcro, relinquit 
fefqtiiodauum  interuallum,ut  JJL  ablL'  facit  r. 

Item  illa : Subrra&ionc  fada  confonantiai  unius  diapente» 
i confonantia  unius  diapafon , relinquitur  conionantia  ipfius 
diateflaron:  ut  'J_iab  'IL*'  facitJ_I, 

Eft  St  hic  facile  lordanu  imitari.atcg  ita  proponere.Sclquf# 
odlauum  interuallum  .fubtra  dum  ab  interuallo  fcfquitertio, 
relinquit  iemiditoni  interuallum:  ut  i ab  U.  facit-. 

Item  flc:Tonus  fubtradhis  i femiditono.relinquit  femitoniQ 
minus : ut  i ab  - facit  — • 

Item  fle:  Semitonium  minus  fl  fubtrahatur  i tono, relinquit 
(emitonfum  maius:  ut — ab  o facito,  ♦ 

Item  flc:Semitoniu  minus  fubtradum  i femitonio  maiore, 
relinquit  comma:  ut  — ab  « relinquit  o* 


Michailu  SriFBLir 

Item  fictDfmidiumtoni  unius,fubtratiumi  dimidio  Unios 
diapafon.relinquit  dlatcflaron;  ut  j abi=  facit  11« 

In  his  omnibus  confentiunt  fcalar  Muficalrs.AIgorithmo 
proportionum.a  tque  huic  meo  Algorithrao»  fucando  certe  & 
admirando  confcnfu. 

Item  :Tertia  pars  toni^ubtrada  i fuma  duaru  tertia  j»  unius 
femitontj  minoris, & unius  diafchifmatis,atcfe  tertia  parte  dia* 
fchifmatisA  unius  fchifmatiscum  parte  tertia  unius  fchifma- 
tis, relinquit  toni  partem  tertiam»  Et  Gc  de  alijs  infinitis  pul- 
chris^ exemplis. 

TDe  Multiplicatione  propofitiones. 

Prima.  Scmfditonus  cum  fchifmatc  & diafchifmate>multi* 
plicata  per  4,faciunt  bisdiapente.  , 

Multiplicanda  fic  fignanf  =% 

Multiplica  quodiibet  horum  feorfum  per  4 , tunc  fiunt  nuBC 
£=  Qc  -rm & ww^fcilicet  quatuor  iemitonia  minora  cum  qua- 
tuor  ichifmatibus.facifit  duos  tonos.qui  fumpti  cum  quatuor 
tonis,&  quatuor  diafchtfmatibus.i.duobus  femitonqs  minori 
bus, faciunt  bisdiapente,ut  habet  propofitio. 

Secunda.  Semitonium  minus  cum  fchifmatc  , multiplicata 
per  ^faciunt  triconum. 

Multiplicanda  fic  fignantur  5. 

Tertia.  Semidiapente  cum  fchifinate,multiplicata  per  4,  fi» 
fiunt  bisdtapafon.  , , 

Multiplicanda  fic  fignantur  ir. 

Et  fic  de  aliis. 

rDeD/uifione, 

I . Si  diuidatur  bisdiapente  per  4, tunc  prouenft  femidito- 
niis  cum  fchifmate  di.  diafchiimate : atcp  ita  probatur  ,ppofitio 
Hia  prima.qm*  paulo  fuperius  data  cft  de  multiplicatione. 

Diuidenda  fic  fignantur  ’ '• 

Tocddfcbtruindiuifipcr4.ficiunt  1 i ton.hocefti. Deinde 
: ~ a fimi» 


Arithmeticas  Liber  t.  78 

t fentf,min.diuifa  per  4, faciunt  4 femi.mfn.  hoceft-i, 

2.  Si  tritonus  diuidatur  per  6, tunc  producitur  lemftonium 
minus  cum  fchifmate.  hoceft  4 ton.  facit  v. 

Si  bisdiapafon  diuidatur  per  4 , runc  prouenir  femfdia# 
fxntf  cum  fchifmate. Primo, deccrp  torj/  per  4 diuiO,  facinr  24 
con.  hoccft—.  Deinde  reliquum,  i.4  femi.min.diuifa  per  4,fa* 
dunt  — ,hoc  elt  iemitonfuro  minus.  Summa  omnium  facit  ==. 
Et  fic  de  aliji  Omilibus.  " 

rMultipl/catiopermfnutias. 


Si  firmldlapente  multiplicatur  per  tunc  producitur  femidi 
tonus  cum  femi.  minore, (chifmate  8t  diafchifmate,  hoc  eft  =. 

Multiplicanda  fic  lignantur  =.  M 

Primo,  x ton. multiplica  per  numeratorem  mlnutlar.I.per  )• 
fecit  6 ton.qul  dlulfi  po  denomina  torcm,  Id  cft  per  4,  faciunt 
1 4 ton.  hoc  cft  i 4 

Secundo,  i Icmiton.mfno.  multiplica  per  numeratorem# 
produdu  diuide  per  denominator?,  facit  1 4 fcmi.mi.  hoc  cft  % 
Proba  multiplicatione  produdi.pe  r 
Primo,  multiplicatio  produdi  ( hoc  cft  per  4, facit  4 to. 

& 8 femi.min.fi^diafchifmata.fitquatuor^fchffmata  : Harc 
omnia  fimul  addita,  faciunt  6 tonos  & 6 fem  ironia  minora* 
Harc  igitur  diuila  per  3, faciunt  1 tonos Qi,  x femitonia  minora, 
hoc  e{t==i  feu  femidiaprnte. 

Ex  his  patet  duas  tertias  unius  femitontj  minoris.cum  uno 
diafchifmare,at<$  una  parte  tertia  onius  diafcbifmatis,  fit  uno 
rchifmate,  atcp  tertia  parte  unius  (chifmatis , conftituerc  duas 
partes  tertias  unius  toni  • Patet  ftc : 4 toni diuifi per  3 , item  9 
femitonia  min.  diuila  per  3 , item  4 diafchifmata  diuila  per  3, 
item  4 fchifma ta  diuifa  per  3 . faciunt  ( ut  paulo  fuperius  pro« 
t>a^i ; — . Si  autem  i quotcntibus  iftis  fu b trahas  «{ton.cum 
duobus  femi.  mi.relinquuntur  3-  femlr.roin.8t  f diafcbifmatis, 
& f Ichifmatis.Et  harc  ora  aequantur  a terrijs  unius  toni.Patet* 
_ V ^ u n 


Michabus  Stifbxii' 


Si  enim  | toni  addantur  ad  1}  toni,  tunc  integrantur*!  ton/, 
qui  cum  duobus  femitonrjs  minoribus  faciant  femidiapentc. 
Vel  ita  probabis  calculando. Recipe  numeratores  quotientugi 
pro  integrisjiaxta  uniufcuiufcp  minutiae  denominationem  uul 
garem : fcilicet  recipe  1 femitonia  minora, & 4 diafchifmata, 
cum  4 fchifmatibus.Haec  (imul  addita  faciunt  * tonos,  & illos 
iam  diuide  per  3.  hoc  eft.per  denomina  tore  quotientum  com* 
munem.  Atcp  ita  proueniunt^  toni,exquotietibuspracdidis 
ad  fe  additis* 

TDiuiffo  per  minutias» 

Proportio  diapafon  cum  diapente  diuifa  per  1}  ,facitdiapa  . 
fon  minus  una  o&aua  parte  femitonij  m inoris. 

Hic  diuidendi  funt  8 toni  & 3 femi.min.per  f . feuCqd*  idem 
. cft)  8 toni&  3 femi.min.multiplicandafuntper  facit  opera 
tio  haec  s tonos  6i  —femi.min.  Vides  hic  fatis  ut  defit  jfemit* 
min.3  perfedione  unius  diapafon . Illis  igitur  modis,propor* 
tiones, irrationalium  terminorum, irrationales^, per  rationa 
les  numeros  pulchra  ratione  iiipputantur. 

PDe  quaeftione,an  tonus  poiTit  dimidiari. 

ILII  qui  contendunt,  tonum, & fimilium  modorum  propor* 
tiones  (uidelicet  diateflaron, diapente,  diapafon,  &Cc.)  non 
poiTe  dimidiari,dudi  authoritate  Iordani  & aliorum  quorun- 
dam  hominum  eruditorurn.conliderenteofdemuirosquorum 
authoritate  nitunt,  no  fruftra  ponere  fchifma  atq$  dia  fchifma. 
Qui  aut  ponit  fchifma,hoc  eft, commatis  dimidium,  ille  certe, 
eo  ipfo  fado, ponit  etiam  tonidimidium,cum  fchifma  fumptiS 
cum  femitonio  minore  uere  fit  toni  dimidium.Pater.Nam  duo 
fchifmata  faciunt  unum  comma : comma  uero  fumptum  cum 
duobus  femitonijs  minoribus, complet  tonum  integrum.Vt? 
faciunt  i.hoccft, tonum. 


Sic  autem  ponitur  dimidiatio  comatis  & pofitio  fchifmatfi» 


5^78<l8lWC08>|C|,([n,a“ 
si  1441  >Sdufma* 


11  v<«- 


Arithmeticae  ^Liber.  i»  79 

Et  toni  dimidiatio  praccife  ponitur  fic:  •’ ; 

8 ■— ^Semitonium  minus  cum  fchifmatc  ? 

9 ^Semitonium  minus  cum  fchifmate  7 
Probabis  autem  dimidiationem  hanc  efle  praccifam,per  dupla 
donem  partium : cum  necefic  iit  utrancg  partium»  duplatione 
fui,reddere  tonum  prarcife» 

Sic  proportio^ i duplata,  facit  yi  feu  £ 

item  proportio  duplata,  facit  g*  feu 

Sic  etiam  qui  toni  ponit  dimidium,neceiTario  admittit  dia# 
pafon  dimidiationem,  cnm  diapafon  conftet  ex  duobus  femi- 
tonrjs  minoribus  & quinq;  tonis.ut 1 ~ 1 . Sic  autem  ponitur 
dimidiatio  ipfius  diapafon» 

1 ^Semidiapente  cum  fchifmate.  = 

x ^"Semidapente  cum  fchifmate, 

• u s 


Deinde  qui  ponit  diafchifma  ( hoc  eft,iemitontf  minoris  di* 
midium)  is  certe  conutnc/tur  admittere  dimidiationem  ipfius 
diateiraron.Sicautcmfumitur  dimidiatio  femitonij  minoris, 
pofitis  diafchifmatibus, 

M ) “7  Diafchifma,-i 
J%6xu>Z<^_ 

x t 6 — ^D/aichiima.  n 

Et  diateflTaron  dimidiatio  ponitur  (ic : 

\ "~^Tonus  cum  diafchifmate,  i, 

4 — — ^Tonus  cum  diafchifmate.  \ 

Sic  fimiliter  fequitur  dimidiatio  ipfius  diapente, politionem 
fchifmatis  & diafchifma tis.  Item  dimidiatio  femitonij  maioris 
eandem  poGtioncm  fequitur, 

u iij 


V*  r MlCHAUlf  STlPELrr 

Sic  autem  ponitur  dimidiatio  femitonrj  maioris:  > 

* ® 4 8 ”^?Schifmacumdiaichifmate.7 

•/^4789  7 

* 1 9 7 — -SchiTmacumd/afchifmatc,^ 

Et  diapente  dimidia  tio  ponitur  (ic; 

* ^^Sctniditonus  cum  fchiiinate  & diafchifmate ^ 

3 ^^Semiditonuscumfchiimate  & diafchifmate^. 
Singula  hacc  probantur  additione  partium  ad  ie,  ieu  ( quod' 
Idem  eft)  duplatione  partis  alterius. 

Sunt  autem  dimidiatioes  ilIarcertiores,quim  ut  aliquiseas 
pofltt  negare.Nec  lordanus,  aut  Stapufenfis,uel  ullus  hominS 
doCorum.aliquid  aliud  circa  hanc  quatftionrm  negauit,quim 
qudd  tonus  in  duo  arqualia  diuidi  poflTi  r, certo  et  conft  itu to(ut 
Ipfl  Ioquuntur)numero,hoc  eft  numero  rationali.  Non  autem 
negant  tonum  pofie  diuidi  per  numeriS  incertum,  & qui  nulla 
unitatum  aggregatione  fit  conftitutus.id  eft, per  numcru  irra* 
tionalcm.Et  quia  quaelibet  pars  dimidiationum  praedicaram 
conftat  ex  termino  certo  feu  rationali,#  ex  termino  incerto  6t 
incognito,ieu  irrationali : ideo  partesetiamillae  Gngufce,funt 
proportiones  incertae  # incognitae  feu  irrationales.Sedde  nu* 
(neris  irrationalibus  # proportionibusirrationalibusfuo  loco 
plura  docebo, ut  de  Muficis  rebus  haecdiCa  fufte/ant. 

Oc  numeris  uulgaritcr  denominatis,  # df t 
praxilulica.  Cap.x, 

v m b R 1 uulgaritcr  denomina t/,funt  numeri con 
traCi  ad  res  naturales  u el  artificiales,  recipientes 
fuas  denominationes  i rebus  fua:  contraCionis, 

j quar  quide  denominationes  nulla  lege  proportio 

naIifibiinuicccolKeret;ut(8  fl.j  hgna.4  toni#c 
V itiraa  autem  particula  deferiptipnis  huius,  polita  eft  propter 

numero? 


Arithmeticas  Lieer  i#  g0 

numeros  CofTicos,&minnta  Phy  fica  I/a. Horum  em  denomi* 
nationes  certa  lege  proportionali  fibijnu/cem  funt  colligar*: 
ideo  inter  numeros  uulgariter  denominatos  non  recenlentur 
numeri  Codici  & minuta  PhyOcalia. 

Additione  8C  Subtractione  numerorum 
uulgariter  denominatorum. 

O Vr!r°dUm  mJi?Ut,ac  abfoIut*  < denominationibus 
VJLuuIganljus  non  addentur  ad  fe,nec  fubtrahutur  ad  inui- 
cem,nifi  aequales  habeant  denom/natores.  ita  numeri  uulgartf 
denomina  ti, non  adduntur  ad  fesneq,  /obtrahuntur  ab  inuic? 
mfi  pr/us  hrennt  reducti  ad  eandem  denotationem . Si  autem 
numeri  habeat  eafde  denom/nationes,tunc(ad  fimflitudinead. 
ditionum  minutiara  abfolurarG)colligunt  numeri  in  unius  nu 
meri  fumma  ,&  illi  fumm*  adijdtur  denolario  comunis  ficuti 
notum  eft  omnibus  hominibusjut  io  arbores  QCi  6 arbores 
tacunt  a 6 arbores*  * 

. percdwSlone  denominationum. 

SI  numeri  uulgaritn  denomiaj  ti  hjbta  nt  denotationes  «4» 
dbllMJut  ,00  groffi  Mardi.*  40»  groCSaxonici  (quorQdana 
aut  immo»0  detwminariones  funt  <rreduc*fle.,Wio  grana 
tritici, & t<>  equi  aut  afini)  recipe de quolibet nomro  urlltil!? 
cum  denominatione  fui  numeri  f ut , groCMar.*  , ei  Sjx  1 
& uide  quae  fit  proportio  uaioris  inter  utrunen  ( ut  quia  *i  grof 
March.uak,  8 denariolis  A ^.Sax.udeTti  % eiufdem  u,k£ 
ris,l(fco  eft  inter  utruna  groffim  proportio  idquialtera)  Pro* 
portionem qi  inuen.a,<fantem'q,  In  minimi,  fini  tetminis!a7m 
In  forma  minuti*  abfoluur  redadam,  luxtaexigenrfa m H»n!? 
minationis  reducend*(ut  (i reducendi  litu Marcbionia’ 
btt  minuna  uero  Saxonlci  ad  Marehionictvs 

fic  ftablt i)  multiplica  In  numeru  reducedum,  tone  prSuotJ 
numerus  redudlus : ut  ,00  gro.March.  multiplicatHn  } fiu« 

^ogrof.  Saxon,  aequati  900  groflisMarchioniV.»  cl!  Unt 
Saxonwmiltiplicati  in  i , fiunt  ( fub  ualore  priori ) doo  Marcb! 

Itacf 


t* 


. i M rcH  ate  l-1  s - Srr  BfVftt  ' 

Iiaq?  (7  addere  uelis  900  grof.  Marcb.ad  400  grof.  Saxon/cof, 
redudo  prius  altero  numerorum  adde,uidelicet  addendi  erunt 
uel  600  Saxon.ad  400  Saxon,  ucl  900.March.ad  600  Marcii, 
fcilicet  900  Marcb.ad  400  Saxon. faciunt, uel  1000  Saxon,  uel 
1 500  March.  Sic  400  Sax.fubtradi£ 1 yoo  March  .relinquunt 
uel  900  March.uel  600  Saxon. 

In  (imilibus  fimilicer operaberis. Vt  3 r flor.Rhenenfcs,  ad 
4100  grof.  Saxon.additi , faciunt  uel  2 3 x flor,  uel  487*  grof. 
Proportio  enim  inuenta,&  ad  minutiam  redada,  fic  ftabirM»’ 
uel  fic  £-f : facit  enim  1 flo. x 1 grof.  Iracp  proportio  inter  1 fl.fli 
igr.eft  proportio  numeri  zi  ad  unitatem.  i '• 

FDe Multiplicatione  numerorum  uufgarirer « ' 1 * 

denominatorum.  ,,tp’  ’ ‘,if  r>*  , 
1 Vmerusuulgariter  denominatus,no  poteft  multiplicari 
JL  N per  alium  numerum  uulgariter  denominatum  ^ nif?  alter 
eornmiuam  denolationem  deponat,©*!  fiatabftradus.Abftra 
dus  autem  numerusyquemlibet  denominatum  numerum  mul 
tiplicarepoteft  :ut:izflor.per  10 multiplicati, faciunt  lio  flo. 
Et  fic  femper  recipit  fummaprodu(fh,denominarioncm,mul# 
tiplicati  uel  multiplicantis. Sed  12  flo.  per  10  fl.non  multipli# 
cantur.nec  per  1 o groC&c.  quia  multiplicatio  requirit ,ut  tota 
in  totum  multiplicetur,  ita  uidelicct  ut  noniolum  numerus  in* 
numerum,  fed  etiam  denominatio  in  denominationem  multi# 
plicetur.ut  patet  in  numeris  Cofliciset  minutrjs  quibufcuncp, 
Denominationesautemuulgares  nonflbi  inuicem  cohrtrcne 
fub  proportionalitatis  alicuius  Iege,(7cut  cofltcar  denominatio 
nes : ideo  inter  fenonpoflunt  multiplicari,fiau  coflicar  deno# 
minationes  inter  ie  multiplicatur.  Quiduero  fiat  per  regulam 
De  Tri/uo  loco  dicam  paulo  inferius. 

FDe  diuifione  numerorum  uulgar/tcr 
denominatorum.  . 

T Icet  numerus  uulgariter  denominatus  non  poflit  multipli 
Jocare  alium  numerum  uulgariter  denominatu  ( flue  ambo 

habeam 


Arithmeticae  Liber  r.  8t 

habeant  diuerfas  denominatione*, fiue  habeant  eandem)  alter  - 
tamen  per  alterum  diuidi  poteft  .modo  ambo  eandem  habeant 
denomina  tionem.  Quando  autem  diuerfas  habent  denomina 
tiones,tunc,anre  diuifionem, debet  fieri  redudio ; ut  fint  diui* 
dendi  46*  gro.Saxon.per  4 flor.Rhcnenfes.  Reducendi  funt, 
uef  4 flo.ut  fiant  $4  gro,  uel  4 6 2 gr.reduced i iunt  ut  fiant  **  fl, 
Siue  autem  46  2 gro,  diuidantur  per  84  grof,  fiue  1 1 flor.diai- 
danrur  per  4 flor,  producitur  quotiens  ille  sk  • filKcei  numerus 
abfolutus  feu  abftradus  producitur . Quando  enim  numerus 
denominatus  uulgan(ter,diuiditarper  numerum  uulgariter  de 
nominatum,  tunc  altera  denominatio  alteram  tollit,  tanquam 
aequalis  aequalem : dC  fic  necefle  eft,ut  quotiens  quocp  .pueniaf 
fine  denominatione  illa . Quando  autem  numerus  uulgariter 
denominatus,diuiditur  per  numerum  abftradum.tunc  necefle 
eft  ut  quotiens  (eruet  denominationem  numeri  diuifl ; quando 
enim  numerus  uulgariter  denominatus  diuiditurpernumerd 
abftra  dum,  tunc  numerus  diuidendus  diuiditur  in  tot  partifUs 
las  inter  (e  aequales,  quot  diuifor  habuerit  unitates.Et  fic  quae* 
yitur, quanta  fitquarlibet  pars  rei  fic  diuiiar. Vnde  necefle  cft,ut 
quatlibet  pars  feruet  denotationem  rei  fuae  integrat.  At  quado 
numerum  uulgariter  denominatum, diuidit  alius  numerus  uul 
gariter  denominatus, tunc  quarritur, quotiens  numerus  ille  diu 
uidens  habeatur  in  diuidendo?  unde  ad  quaeftione  illam  cadit 
refponfio  aduerbialis;  ut  9 gro.inuenio  contineri  fub  36  grofl 
qua  ter  .quam  refponfionc  exprimo  per  numerum  quotientis*. 
Habes  igitur  iam  aliam  rationem,  quare  hoc  cafu  producatur 
quotiens  abfty  denominatione  numeri  diuidedi.  Adde  tertiam 
rationem. Cum  multiplicatio  probet  diuifionem,ncceflc  eft  at 
aut  diuifor  ( quado  diuiditur  numerus  uulgar If  -denominatus) 
aut  quotiens,fit  numerus  abftratfhis , ut  poflit  fieri  multiplica# 
gio  quotiemis  in  diaiiorem.  Qaando  ergo  diuifor  denominat 
uulgar  if, tunc  quoties  neceflariocric  abfolutus  (eu  abflrados, 
Hoc  loco  ifidr, ut  omnia  quae  dida  funt  de  denominatis  nunc 

* 


i 


i 


?’  'rMtCHAB  LIS  8 TlFB  LU  * 

ris, habeant  etiam  locum  in  minutiis  abfolutis  feu  abftradis  s 
propter  denominatores  earum : fed  fufficiat  hate  monuifle.  1 
IN  umerus  denoiatus  uulgarif  nuncjj  diuidit  numera  abftradu. 

• rDeMinutrjs  uulgariter  denominatis.  ; 

Minutia  uulgariter  denominata,  oritur  ex  diuifione  nu#  ^ 
meri  uulgariter  denominati,per  numerum  abftradum,  . 
ipfumcp  diuidendum  nonnumerantem.Vtdum  dinido  ' 

per  8,quia  8 non  numerat  iy,ideo  ex  diuifione  illa  oritur  mi*i 
nutia’  & quia  diuifor  abfolutus  diuidit  denominatum, necefle 
eft  minutiam  prouenientem  efle  denominatam,fdIicet  ex  diui 
fione  ij-f^per  S.nafcitur  i ^flor.Excauia  igitur  iamdida  fit,  . 
ut  denominator  minutiae  uulgariter  denominatae  iemper  habe  . 
atur  pro  numero  abftrado,atcB  ita  denominatio  uulgarisper  > 
tineat  ad  numeratorem  folummodo. 

^De  Algorithmo  minutiarum  uulgariter  , 

denominatarum. 

i Lgorithmus  minutiarum  uulgariter  denominataru  con# . 
ftat  ex  regulis  Algorithmi  minutiarum  abftradarum,&; 
Algorithmi  integrorum  uulgariter  denominatorum : ut  nihil, 
noui  ueniat  hoc  loco  docendum,fed  tantum  «templis  quibuf* 

damregukeilbeueniantrememorandae..  ..  . 

FExemplum  additionis  primum, 

. f flor,  ad  £ flor,  facit  i fr  floren.  < I 

Exemplum  additionis  fecundum. 

^ March.ad  \ Saxon.grp . facit  i \ Marchio.grof,  uel  facit 

jiSaxon.grof.  ■ ' •' 

Primo  fiat  redudio  denominationu  uulgarium  antequam 
fiat  redudio  denominatorum  minutiarum , quado  occurrerint 
exempla  requirentia  duplicem  illam  redudionem : ut  in  fe* 
quenti  exemplo,  f March.ad  | Saxon . facit  i g March.gtof. 

uel  facit  i Saxon.grof.  ' ' , 

, Probatur : Reduc  i ^ Saxori.ad  March. tunc  uidebis  fum- 
mam  additionis  fub  denominatione  MarduOnfc*  moneta* 


A *. I T H MU  1 1 CA H X-L.B E i.  $% 

v- Vel  reduc  i ~ March.  tunc  uidebis  fummam  additionis,  fub 
denominatione  Saxonicx  monetae. 

Obferua  etia m,ut  rcdudio  illa  denominationum  uulgariu. 


nitatur  regula  de  Tri : 

:ut. 

• * > 

~ 'Mar,  : 

Sax,  . 

March. 

Saxon. 

• ; k 

X 

X 

•;t 

facit,  y / 

Item; 

. ; 

^ ' Saxo. 

Mar. 

< Saxon. 

March, 

X 

3 

i 

facit  | ; 

•i  ^ 


FExemplum  fubtradionis, 
yMar.ab  i7^Saxon,relinquunt|Sax.uel  March. grof. 

Aliud*  * . , 

% Saxo,  ab  iyf  March.  relinquunt  j March.uel  $ Sax.grof. 
Etilcdefimilibus,  . , 

V Exemplum  multiplicationis. 
lyfSaxon.groC  per  i £.  fadt  i # Saxon,  grof. 
Exemplam  aliud. 

I Marchion.  per  y . facit  iy|  March;grof.  . 
FExemplum  dimfionis  primum.  ^ 

t f flor,  per  \ gyo.  faciunt  9, 

Reduco  primo^  ftad^f-gr.atcpita  diuido  ^-ff  grof.  per$ 
grof , uel  diuido  rS  P"  rs  ft  - - . 

Exemplum  diuiffonis  fecundum.  * 

* rs  grof.  per  y . faciunt  1 ff  grqjf.  ■- 
F De  ufu  numerorum  uulgarirer  denominatorum 
fub  regula  De  Tri. 

DE  regula  De  Tri  uidere  poteris  ea.qiue  fuperius  dixicap. 

fexto.  Hoc  autem  hic  uolo  docere  fol  Gmodo  .quod  ^aulo 
fuperius  promift;uideIicet,ut  denominationes  numeroru  mul 
f /plicandorum  ic  non  impediant  fub  regula  de  Tri^repetamfcp, 
iit  ex  tfibus  numeris  denominatis  producatur  quattus. 

Primo  igitur  ponatur  numerus  quacftionis  £ parte  dextra, 
ptfitin  ordine  tertius , Eft  autem  numerus  quaeftioni»  ille, 

x ij 


/ 


v Mictuum  Stitbiii 

qnnnpronunriattoneexempll.fequtair  huiufmodi 'aliquod 

uocabulor  3, quanti, quanwm,quot,quories  .qua  mdiu  Oii. 

Secondo  ponitur  numenudimdens  4 parte  finiftra,utfitin 

oidine  primus . Eft  aurem  numerus  doridens  eandem 

denominationem  habuerit  cum  numero  quarftionisjuel  u 
eandem  non  habucritomnino,tamen  takm  habebit  quae  redu- 
catur ad  eandem.  . 

Tertio  poniturruimerus  reliquus  In  medio.ttt  taordme  ea 

cum  fit  fecundus.  .... 

Intelligitur  aOt  numerus  dfuidens.diuiuerc  numerum  qu** 
ft  tonis:  & cum  eadem  fit  denominatio  uulgaris  in  utroq;,  n t ut 
denominatio  unius  tollat  denominationem  alterius,pcr  legem 
diuifionii.fitcp  per  hunc  modum,  ut  proueniat  quotiens  abltra 
<Sus  qui  tandem  poflit  multiplicare  terminum  fecundam,  uul 
gariter  denominatum, atep  ita  producere  terminum  quartum» 
habentem  denominationem  termini  fecundi. 

rExemphim.  ^ . 

Septem  llbrse  croci  emuntur  pro  40  ibr^nfs, quantum  ergo 
eroci  emo  pro  duodecim  groflls.Sic  fiat  cxeplum  ad  regulam, 
t edu  Ais  groflis  ad  flerrenos. 

4„  7 I 

Vel  Gclht.redudHs  florenisadgroflfos. 
grof.  B grof.  . ti, 

840  7 1*  fedt^lib. 

T Aliud  exemplum. 

Septem  lib,croci  pro  40  florenis,quanti  emuntur  1 1 HbfJC. 
Sic  fiat  exemplum  hoc. 

B ft  ^ 

j 4.0  11 

V Exemplum  de  minueqs. 

PcotSaf  fior/emo  j 1 libras  crod.quintuai  faduat  librae  7. 


, AtlTHNlTlCAI  LlIMl  !,  ;■  || 

Sic  flat  exemplum  hoc  ad  regulam» 

$ f fac/t  40  flor, 

Quandoenun  minatu  fiiait  fnuenta  c/rca  terminum  unum, 
tunc  omnia  integra  franguntur.  Vt  * 2 frangutur  in  feptimas, 
iid  e ft.in  deno  minatorem  minuti?  fibi  adiundae)  fradacs  in- 
tegra illa , adduntur  minutiae  fibi  adiundae : atque  ita  ex  6z % 
fiunt  ^.Reliqui  uero  numeri  duo  exempli  illius  franguntur 
per  folam  unitatem  fuppo  liram  utricp , eo  quod  nulla  illis  fit 
minutia  adiunda.  Sic  operare. 

Tef  minos  minutiae  diuidentis,  feu  primae, commuta . fd  eft, 
tx  numeratore  fac  denominatorem , ex  denominatore  fac 
numeratorem.  Deinde  multiplica  fingulos  numeros  fuperne 
poGtos.inter  ie,  & fimiliter  fingulos  numeros  inferne  politos 
Inter  fe  multiplica:  ut  in  fequend  dtlp ofitione 

lam  ex  minutia  fa  da, facito  integra . facit  40  flor. 

rExcmpIum  determinisexintegrisdiuerRa 
compotitis. 

Quanti  emuntur  7 librae  croci,  fi  1 1 librae  emuntur  pro  6% 
floren.&  1«  grof. 

Primo  fic  flat  pars  exempli. 

# * * 

11  D*z  f * . 

Pars  exempli  fecunda. 

8 grof.  8 

__  J1  , _ «*  7 facfrnfjgro. 

Duo  illa  produda  partium  exempli, addita  ad  fe/aciunt  40  fl. 

r Qpaeftio  pulchra. 

Dum  1 1 libraeemuntur  pro  62  flor.  & 18  grof.  tunc  emun* 
tur  7 librae  pio  40  florems : quaeritur  iam,  quot  grofii  pro  uno 

X iij 


O MlCHABLIS  < STITELU  * 

41oreno  fint  recepti.  Sic  operare.  ‘ 

Mqltiplica  quartum' terminum,  per  primum,  &fecundum 
terminum  per  tertium,  tunc  fiunt  pradufla  illa  duo;  primum 
440  fl;, fecundum  434  1 x6  gro . Iam  fubtrahe  florenos  ib 

inuicem,uidelicet  434  ab44o  remanent  6.  Et  per  hunc  numeje 

- diuide  1 26  gro.  facit  2 1 grof.  & tot  groflt  recepti  funt  pro  uno 
floreno.Ih  fimilibus  fimiliter  operaberis. 

'•  Multis  autem  modis  contingit  operatio  compendiofa  circa 

- regulam  De  Tri : ut  hic, 

15  ; ' tt  4 f 

V »i  ^ "p".  . > fzdt 40 

- Diuido^pcr  1 1, fiunt  Deinde  tollit  feprenartus  unus fe* 

* ptenarium  alterum, ed  quod  unus  fit  denominator  multipk* 
: candar  minutiar,&:  alter  fit  tanquam  numerator  multiplicatis; 

atqj  ita  remanet  quartus  terminusjuidelicct  40  f£.  > 

.....  FPraxisItalica, 

Jp^Raxis  illa  quam  ab  Italis  ad  nos  deuoluta  effc  arbitra* 
j kyMmur,eft  ingeniofa  quaedam  intictio,quarti  tei  mini  re- 
^^gulteDe  Tri.ex  tribuS  termfnis,mediantediftradHone 
juaria  earundem  terminorum  ,diftradarum'q;  particularum 
L pfoportftfnattoile.atq?  dcnominitfonu  uulgariu  translatione. 
Verfaturitacy  praxishaec  poriflimum  in  his  tribus,  uidelicet 
indiftracffione  terminorum  reguke  dcTri^n  diftradoru  pro* 
poriionatione,  & in  denominationum  uulgarium  traslatione: 

• win  exemplis  fcquentibus  clare  uidebimus.  ' ' 

I . Ratio  diftrartionis  fiimitur  iuxta  Euclidis  propofitio* 
npmprfmam.libri  fecundi  ;quardocet,ut  4 multiplicatain4, 

k • * • i 


4 

I.  * * 

l6 

. 3* 

’ 4? 

# 

i . . 

. 4 

8 

Ii 

T-  . J 

dc 


Arithmeticae  Lieer*  i.  $ 4 

&in  8,&in  t z Cepa ratim , faciant,  quantum  4 multiplicata  in-. 
Tummam factam  cx 4 & 8 di.  1 z, hoc  eft  in  24 . & fimilia.  ‘ 
2 , Proportionatio  autem  particularu  diftractionis  factae*' 
fit  per  inuentione  aequationis  inter  particulam  unam  illius  dif*. 
tractionis,&  numerum  aliquem,  ucl  minutiam  aliquam,alte- 
rius  denominationis  uuIgaris.V  t ( exepli  gratiajdum  inuenio 
7 groiTos  aequari  huic  minutiae  jfi;  dCc.  ,J 

. 3*  Translatio  denominationum  facilime  fit.  Nam  deno* 
minatio  tertij  termini  regulae  De Tri,  femper  intelligitur  efle 
deleta  per  primi  termini  denominationem : imo  ambae  ie  mu* 
tuo  interimunt,  ut  facile  (it  transferre  denominationem  fecudi 
termini,iuper  terminum  tertiunp^c.  1 

Sed  uideamus  haec  ex  fequentibus  exemplis. 

F Exemplum  primum  de  moneta  Principum  Sa> 
xoniae3uno  floreno  faciente  z 1 gro.&  uno 
grolTo  faciente  1 z denariolos. 

VLna  una  uenditur  pro  1 y grollis  & 1 o denariolis  & uno 
obulo, quanti  uenduntur  48  ulnae  de  panno  eodem  C 


* ulna 
1 

• ’ gro.  den. 

0 . »5-  1 0 x 

ulnae  :i 
48 

• 

7 d locus  diftradaru 

7 ' 3 particularum.  ■’ 

1 ii  • 

r- * 

• 

. t 

- . 16 

16  • * 

» d . locus  productorum» ; 

. . .1  i ’•  • . ! 

. : 1»  : _ , . i ■■ 

^ ■.  : l ■ • . • . i 

facit 

?6tf  6grof.  ..  Summa  productorum. 

* Primo  diftraho  Quindecim  groflos  in  7 & 7 & 1 grofToi. 
> ‘ Ratio 

4H  ^ 441»  JJ  >1.. 


RflCHAEtlS  SflFELM 

£atfo  fiuius  diftradf  io  nis  cft  harct  quod  i florenus  facit  * i grd4 
unde  fit  ut  7 gto.arquentur  uni  terti*  parti  florenf  unius,atqi 
Ita  ftatim  teneo  caput  prdpOrtfonat/onfs  In  hoc  ex?p!o  requl 
rendae  &c.Quia  7 grol.  arquantut  j f( , Ideo  loco  7 groflbrum 
recipio  { .translatabj  denominatione  florenorum  fupra  ter* 
tertium'  ( Id  eft.fupra nutnerd  48} multiplico 48  get 

:{ 


* jnniuin  uiuvuii  v ..hm.v.w  7v/  — t-  h r 

'^.facit  1 6 flf.  Et  tantum  facit  etiam  fecundus  feptenarius  diftra 
^ CUoriis.Et  1 (quareft  tertia  particula  diftracftionis,  cum  fit  fe- 
ptlma  pars  feprenartj ) facit  pruductoirt,  quod  fit  leptlma  par* 


^ Sequitur  diftracfliodenarlolorum, 

\ JusjforrLt^  J Denarlolos  10 i diftraxi In  <S&j  & 1 £ dena, refp/ciens ad 

fy  >»*£  ul(imam  particulam  dlftractoruttt  groflorum , Id  cft  ad  upum 

groflum, cUlus  dimidium  facit  ddenarf os ,&dfmldtfidc^  dena 
i,  rtjs  facit  3 §,,&hplus  dimidium  fadtil^.Atcp  ira  fit  ut  reliqua 

t<^y-  T**  ~ operatio  huius  exempli  compleatur  continuis  dimidiationi^* 

<9*-/  ^ fcilicet, dimidium  de  * flor.  & 6 gtof.  facit  ift&j  grof*  hulua 

d/midiumCcum  ip’8l3grof.faciantz4gro.)6c<ti>gro(riw, 

T n culus  dimidium  facit  6 grofi 

Tandem  fit  additio  productorum, fcilicet  groflt  6,  j,  1 * • $* 
tAu^L^  fiLrt  <V®  faciunt  1 fl:  & * grof.  Scribo  igitur  6 gro.&  referuo  1 florenum 
1 t€^aJ.  ® addendum  ad  reliquos ,frc. 


/3  /2’  > feniu.cransiaraiupcrcumutrijuiitiiwiuii*.  *• . *•* 

afficiunt  1 fr,  faris  cx  priore  difpofitione  eiusfcg  declaratione  dir 
T°^*  fi fccre  potes, cur  48  grof.diftraxcrim  in  1 1 n ,&  3 t&C 3 grof* 

* f3  X 1 grof, recipio  1 flor.eumq;  multiplico  per  ij-.ndc  f r fv* 

i c0fiTr  f/fiheu ergo  particula diftratftionis  tertia,  id eft  3 gro.  leptimatn 

partem  de  ij-ft(cum  j fit  feptima  pars  de  a O hoc  eft,  r flore* 
oflbs.&c,  ' ‘ " “ - * 

Jriipx.  t 


Arithmeticae  Liber  r. 


* ulna 

R 

gro. 

& 

ulnae 

1 

O 

•T 

lo  4 

48 

21 

0 » 

ai 

t ’■> 

,•  j * jfvr.f  f 

5 

•J" 

•r 

X 

3 

* 

* 

I 

t-  JJ  fr  | 

X 

% 

facit 

6 grof. 

fequunt  t o*  den.multiplicandi  per  48.Transfer  denominatio 
nem  den.ad  48,&  fiunt  4 gro.Transfer  rurfum  denomina  tio* 
nem  grof.ad  1 o &t  faciunt  1 o i gro.hoceft  i flor,  qui  multipli 
catus  per  4,facit  2 foutdelicct  ultimum  producum* 
FTertiadiipofitio  primiexempli. 


ulna 

f? 

•gro. 

& 

ulnae 

1 

0 

•r 

IO* 

4« 

- 

10 

6 

14* 

, * 

r 

3 ‘ 

6 

• i 

20 

-10 

f 

• "*-■ 

i * 

• 

IO 

6 

* • > ■ • 

• 

r 

3 

j 

1 

0 

0 

i 

IO 

6 

9 

36  ft  dgro.  o& 


Michablij  Srirsi.ii 

Primo  diftraxi  tertium  terminum  in  41  & 6.  Nam  denomi 
natione  gro (Torum  translata  fupra  4i,fiunt  z Jf : qui  multipli 
cati  in  10  faciunt  zoft,&in  y faciunt  10  ft.  Deinde  6 dena, 
faciunt  i gro.qui  multiplicatus  per  41  facit  1 ft.Ergo  3 den.in 
4»  faciunUf|Mdeft  10  gro ,&6$:8C  1 i facit y gr.&  3 dcn. 
& fle  expedita  iunt  4*.Reftat  ut  6 etiam  multiplicentur  in  fin» 
gulas  particulas  diftra «flionis  fecundi  termini.  Faciunt  autem 
10  gr.6  den.  i flo.qui  multiplicatus  per  6, facit j t ergo  y gr. 

3 $ multiplicati  per  6,faciunt  1 flo.  10  gro.<5  Reflat  multipli 
catio  6 in  1 4 dena,  facit  9 & . Ex  bis  fatis  uides  cur  ftcundum 

terminum ficdiftraxerim.uidelicet in  10  8iygro,&d,  3,1*^. 


"EciT 


ulna 

grof. 

& 

ulnae 

1 

0 

•f 

10& 

48 

7 

6 

4» 

7 

X 

6 

f 

ik 

«4 

»4 

* 

• i 4 

a 

• -/ — — 

f \ 

a 

% 

« 


s 

6 

4 

l 


4 

I 

o 

a 

o 

6 

9 


3<S  ft  6grof. 


1 9. 


Inhacdiipofltione  diftraxi  48  (ea  ratione  qua  circa  fuperio 
icm  diibofitione  expofui)  in  4»  & Multiplico  ergo  4 a, id  eft 


Arithmeticae  Liber  f,  86 

1 *Secudo  multiplico  7 gro.  id  eft  \ ,in  6,facft 
iteru  idem  facio  propter  7 bis  pofita. Tertio  multiplico  ' 
4*  ln  6.  3.  1 iden.fcilicet 6 faciunt k gro.  qui  multiplicatus 
per  4i,fecit  1 flor.Ergo  3 faciunt  10  grof.  6 den.  hoc  eft  k flor. 
«1  * facit  j gro. 3 Quarto  multiplico  1 gr.per6,facic6gro. 


eri 

6 


rgo  6 den. (id  eft  k gro.)  facit  3 grof.  &C  3 den.  faciunt  1 grof. 
den, « 1 i facit  ? den, 


ulna 


r Quinta  dilpofltio  primiexempl/. 
ft  gro.  & ulnae 


16 

4 

* 

1 

0 

* 

1 


!• 

y 

'4 

i 

1» 

6 

i 

f 


4 

i 


o 


facit  36  6 grof.' 


6 

5> 

^7 


Vides  hic  terminfi  fecundum  diftradum  in  feptem  termino* 

continue  proportfonaIes.MuItipIicanturaat4i,hoc  eft  1 flo. 
in  finguIos.Deinde  etiam  6 in  Ongulos  multiplicantur.&c. 


y n 


1 


,/ 


Michablis  Stifbu i 


Minima  particula  diftra&ionis  eft  i \ dena  .Transfer  deno 
TOinationeden.ad48,fiunt4gro.quosmultiplica  per  ii, fiunt 
<dgro.  & hoc  recipe  pro  primo  produAo.  Deinde  progredere 
*ta,ut  tua  progreflio  habeat  terminos  (eptem,(  funtenimfe* 
ptem  particulae  diftracfiionis)  diipofitos  fecundum  progreflio* 
nem  Geometricam  duplae  proportionalitatis.Pro  14  gro.po* 
•nitur  1 , & 3 grof,  Sic  pro  8 Qc  »4  grof.  ponuntur  9 & * 

groflfi. 

TSequitur  exemplum  probans  ipfum  1 
exemplum  primum. 

Videstit  3 6 flor.diftradli  fint  in  24  & 1 2 flor.Deinde  6 gro. 
•diftradi  funt  in  dena. 4 8 & 24.1n  utracg  cin  diftraftione  opor 
ituit  me  reipicere  ad  diuiforem}qui  eft  48.  ftaqj  14  flo.diuifi  per 
^S.frciunt®  flor.hoceft,iogrof.&6dcna.  Ergo  1 2 flor.facf* 
vory  grof.&  3 dena.  Sic 48  denarij  diuifi per 48, faciunt  1 dcn. 
«ergo  24  dena  .faciunt  k dcn». 

•ulnae 


i 


87 


A&ivhmbticab  Liber  i. 


ulnae 

4« 

* 

gto. 

6 

& I ulna 

0 | 1 

»4 

it 

* • 

IO 

S 

6 

3 

1 

i 

facit 

»J-gro. 

40  k den. 

FExemplum  aliud  probans  exemplum  primum. 


ulnae 

48 


facit 


3<S 


gro. 

6 


* 


ulna 
4 _ 


9 

4 

a 


6 

3 

J 

i 


M 

3 


8 

4 


ij-gro.  4o£den. 


Primo,in  hacdifpofitionc,  translata  eft  denominatio  flore, 
ad  terminum  tertium : ideo  uides  1 flor.diftratfum  efle  in  gro. 

j.Vnde  i2gro.diuifiper48,faciunt£gro. &harcminu 
tia  multiplicata  per  3 6yhclt  9 gro.  Qui  dimidiati(,ppter  fecun 
dam  diflradlionis  particulam)  faciunt4  gr.&  dden.undeulte* 
riordimidiatio  facit  z gr.&  3 atcp  ita-cxpedicos  habeo  3 6 fr. 

Sequuntur  6 grof.  in  fecundo  termino  cxempli.Transfero 
igiturdenominationem  gro.ad  terminu  tertium.  & fic  fit  1 gr. 
(loco  unius  ulnat)  ita  qj  iamdiftraho  1 grof. in  8 &4denar- 
Diuiff  aut  8 dena.pcr  4S.  faciunt  £ den  .Ce  harc  minutia  multi* 
plicata  per  6 (uideliccr  perdium  fenarium  qui  flatin  fecundo 
termino  cxemplgfacit  1 deo.Ergo  4 ( id  eft,  fecunda  particula 
Juiusdiftratfionis  fecundat)  facit  i dena. 

y fq 


Michablis  Stifelii 

^Exemplum  fecundum  de  moneta  ducis  Vuirtenbergen. 
uno  floreno  faciente  18  (olidos,  QC  uno  (olido 
faciente  fex  denariolos. 

VNa  libra  croci  pro  j-  florenis.az  (olidis,  j-  denar.  Quanti 
3 6 librat  ? 


r Prima  difpofftio  exempli  fecundi* 


R 

f 

a 

* 

• 

r _ 

aa 

j- 

1 3« 

• • r 

a 

»4 

3 

a 

7 

■* 

f 

1 

i 

7* 

7* 


l8 

9 

• 3* 

fS  ^ 

. . « * * £>*.  v 

9 

3 

facit  loTW  \ » • 

■ 1 ' i»  — " v 

Primo  dtftraxi  j-  florenosin  a*  a,  r floren. Secundo  diftraxf 
aafolid.in  14.7*  1 (olidos:  faciunt  enim  14.  (olidi  k flor.Vndc 
pro  14  folid/s,multiplicatur  i ff  in  3 6,  facit  1 8 ff’ : ergo  7 (olidi 
■faciunt p florenos . item  1 folid.  in  36 , facit 3 6 (olidos.Tertio 
diftraxt  f denarios  in  3 . 1 £.  £ dena. Quia  enim  3 dena. faciunt 
£ (oli.  facile  eft  uidere  ut  ex  multiplicatione  £ iol. in  3 6,  produ  - 
cantur  18  (olidi.  Deinde  1 £ eft  dimidiam  ex  3 :ergo  1 2 den» 
facit  p f olidos, dC i facit  3 (olidos,  eft  enim  £ tertia  parsex  1 £♦ 

Secunda 


1 


• \ V 

V 

< 

Arithmeticas  LiEeiI 
FSecunda  difpoOt/o  fecundi  exemp 

& ' f * 

r **  J 

U 

ili. 

I' 

88 

'T 

1 a 

5 - 

3* 

\ 

28 

7 

$ 

«8o 

22 

S H , 

22 

, 5o 

- 

facit 

209  10 

Diflradio  terti)  termini  fblummodo  refpicit  illos  zzfolid, 
gui  intra  terminum  fecundum  huius  exempli  inucniuntur. 
r r r*Ur den°minati° iolidorumde 22  ad 36  junde  29 
rohdi  fadunt  1 fcqui  multiplicatus  per  22  facit  12  Quare? 

folxdi  faciunt  partem  quarta  ilIiusprodu<fH,ideft  s fi  dC  14  9 
yd  1 lolidus  fimpliciter  multiplicatur  in  zx/acitcp  22  folidos! 
Sic  primo  omniu  multiplicati  funt  rftin}6  fimpUdterjet  fcdfc 
lunt  1 8 o ff  .NouiTftme  uero  multipMcadfunt  s den.in  3 ts/cili- 
cettraslata  denominatione denariolorum  ad  3 <S,(iunt  6 folidi. 
qui  multiplicati  per  s faciunt  3 o foUdo  j,  3 ^ 


V T ertia  difpofit/o  fecundi  exempli. 

Primo  f floreni in  3 4 mult/plicati/aciunt i8otf.Et ultimo. 
T dena,  multiplicari  fn  3*,faciimt  30  folidos,ut  infupenoridi* 
^ofinone  offendi.  Manetigftur  22  foWdi  mulriplrcandiin  3 
Diftraxiautem  lafokdosillosin  pa  r ricul  a s progredi  en  tesfc 
eundum  progreflionetn  duplae  pioportiona!iratis  .fcilicetin  • 
2-4*S.  16  folidos : eos  ucrotermirwsqxnTuperfluant^iT* 

& 8,R€l,qui  fac,unt «foWos,fiad 


s 

I 


M I C H'A  ELIS  fiTlYSUI 

ft  f * 


xx 


tt  - 

if— 


X 

X 

4 

g 

16 


180 

X 

X 

s 

xa 

xo 


g 
1 6 

4 
g 
1 6 

3° 


209  'of 


Multiplicata aurem  prima particula, uidelicet  i fo! 
fadt  foHdosjd  eft  i flor.8i  8 folfd.  quare  duo  fqlidt  faciunt 
duplum  prioris  produdi.  Progredere  itac*  donec  habeas  termi 
nos  progrefltonis  duplae  quinqj.iuxta  quinq,  particulas  diitra 
dionis.Et  ficut  parricular, prima  arcp  quarta,  fignat*  funi  uir- 
cula : ita  fignanda  funt  etiam  produda  earum , uidelicet  pri- 
mum produdum  & quartum  fignari  debent  uirgula , ne  cum 
alijs  produdis  colligantur  in  fummam  aggregationis. 

T Quarta  diipofitio  exempli  iecundi. 

Hanc  difpofitionem  fatis  intelliges  ex  tertia  difpofitionehu 
ius  exempli  fecundf.Translata  autem  ^ominationefohdora 
fupra  primam  particulam  diftradionis  termini  terti), 
i flor,  qui  multiplicatus  in  t6.g.  +.X.X.  fadtid.*.4.  i ^ 

Sic  8 etia  debet  multiplicari  in  lingulas  particulas  illas: & dum 
8 in  1 6 folidos multiplicantur  (id  eft, in  primam  particulam) 
debent  ildiftrahi  in  14& afolid,  faciunt  enitn  i4foIi.*nore. 


f 


Arithjibtica»  Libea  i,  89 


Etficuides,ut8  in  14  (id  eft  in  k ft)  faciant  4 Deinde  8 in 
1 foli.faciunt  1 6 folidos.Sicergo  multiplicatio  8 in  s/acitift 
8 f . Ec  fic  deinceps  pergendum eft  per  dimidia tionem.  Vnde 
illae  particulae  z & 1 4,  quae  dant  in  loco  dtftradtarum  circa  1 6, 
polita  funt  propter  lccundam  particulam  diftratfti  termini  ter» 
trj,uidclicet  ut  uideas  qua  ratione  e debeant  multiplicari  in  1 6, 
Notum  eft  autem  ut  j-ff  in  36,  faciant  illos  1 8 o florenos,  quos 
uides  poni  i principio  produdorum.Item  ut  j-  & in  3 6,faciant 
illos  36  fol idos, qui  ultimi  funt  inter  produtfta* 

f" Sequitur  exemplum  probans  exemplum  fecundum, 

6C  maxime  difpofi  tionem  primam 
eiufiiem  exempli. 


c : 

$ 

3* 

Michabu*  -Stifeim 

(t  f * i 

200  IO  O 

1 •' 

9 i 36  1 
18  18 

3«  9 

7*  '3  ■ f 

7*  'i  ^ t 

•* -■  -'*  ----- 
• 

7 

14  01 

1 0 

* 0 > 

% 0 

1 ♦ 

3 

. 

k 

• 

fecit 

Primo  in  diftrahendis  209  flor,  reipexi  ad  diuiforrm : unde 
diuifi  per  3 d, faciunt  a fi;, hoc  eft  7folid.Ergo  18  faciunt 
14  fo!i.&  3<S  faciunt  1 florcn.  6i  71  Aorc. faciunt  2 flore,  dic* 
Sic  36  foli.faciunc  1 fol/d.  Qi  1 8 folidi  faciunt  2 foli.id  eft  3 de* 
& 9 folidi  faciunt  1 k den.  & 3 (oli. faciunt  i dena. 

Facit  a fit  diftradtarum  fumma,fub  209  flo.inuenta,  folum* 
modo  207  f^.Na  duo  floreni  refoluti  funt  in  denario!os,qui  co 
« o Ss.fub  qbus  ponunf  jfumpti  funt  atcp  diftradi,ut  fatis  uides* 
V Alia  difpolitio  exempli  probantis  excplum  fecundu. 

In  fcquenti  difpofitione.transfertur  denominatio  flor.fupm 
■termina tertium,ut loco  iffiintelligasponi  ift:&diftrahitur, 
flle primo im 8.9.  1 folidosJDiuiflafit  iSf  per  3^/aciunts^. 
cjai  multiplicatusper  209, facit  3 ,3  $,Ergo  9 folidi  faci 

<unt  dimidium  illiusprodu(3i,uidelicet  1 f^,z4fo)id.  1 \ dcn.  8C 
huius  partem  nonam, facit  1 foli.uidelicer  yfoli,&4?dcn. 

Secundo 


Arithmeticae  LiebRT  i.  $o 

• ' Secundo  transfertur  etiam  denominatio  toUdorS  Capra  ter * 
minum  tertium, ut  iam  i ioli.  poni  inteliigas  /n  loco  unius  lib* 
Qui  cum  faciat  6 & diuidendos  per  $6,  inuenies  modo  illo  i & 
multiplicari  per  i o,facere<$ » £ Vnde  fic  dabit  illa  difpofitio. 


1 S 

3* 


e 


p' 

IO 


* 

0 


w 

I 


18 

9 


20 

*4 

T 


3 

»4 

:i 


facit 


* 

- rExempIum  tertium  de  moneta  Palatini elc<3oris,uno 

, floreno  faciente  x6  albos, dC  uno  albo  faciente  8 $>,. 

VNa  libra  piperis uenditur  pro  20  albis  & j denariolis» 
Quanti  uenduntur  s 2 librae  t 


IS 

1 

r Exempli  prima  difpofltio* 

R >lb.  9«  I 

0 . 20  • r 

tt 
. sr, 

1}  4 

■v 

6%  1 

4 

. <-  4 

| 

26 

»3 

1 

»■  'r,  1 t 

1 *. 

0 64 

1 - 

,» * - ; 

. 1 * 

1 

) H •*  ' 

\ 

facit. 

4»ft  *alb.  . 4den. 

■4— — — - 

• *« 

• z n 


Michailis  StiFBIII' 

Albi  1 3 faciunt  4 flor,  qui  multiplicatus  per  y *,  facit  x6  flo*. 
Ergo  dimidium  de  1 3 ,ideft  6 i, facit  1 3 flor.Item  k alb.multi* 
plicatus  per  y 1, facit  x6  albos,td  eft  1 . Similiter  4 den.  (cum 
faciant  4 alb.)  multiplicati  per  y ^faciunt  1 : ergo  1 deniadc 

huius  produdi  partem  quartam,hoc  eft  6 alb, 4 


rAlia  difpoOtio  huius  tertij  exempli. 


. IS 

* 

IS 

1 

0 1" 

T 

r* 

• 

4 

26 

'•  f 

. 

io 

• 

16 

1 

0 d * 

4 

"facit  4«ft  *alb- 


Denominatio  alborum  transfertur  fuper  tertium  termino, 
ut  x6  albi  faciant  1 flor,  qui  multiplicatus  in  20, facit  20  & c. 
Item4dcna.faciunt4alb.qui  multiplicatus  per  y i*fadt  1 flo. 
Ergo  1 dena.fadt  4 flor.uidelicet  6 alb.4  dena, 

TTertia  difpofitio  huius  tertij  exempli. 


!6 

'1 

0 

alb.  9.  I 8 

*o  • f 1 y* 

t 

|6 

* 

4 

> • 

4* 

4 ideft/fdena. 

1 

* 

4 id  eft,  1 dena. 

Arithmeticas  Liber  j. 


9* 


3* 

8 

4 

* 

i 

o 


6 


facit 


.±18. 


6 alb. 


4». 


Totus  terminus  fecundus  Jdeft  20  albi  &ydena.diftradi 
fumm  terminos  odo  continuar  proportionalitatis ; ergo  oro* 
ducfla  fub  eadem  proportionalitate  ftabunt.Transfertur  aute 
denominatio  alborum  fupra  terminum  tertium  fient  ex  rz 
libris,  j-  z albi, id  eft  z multiplic5di  in  fingulas  particulas  dif. 
tracftionis  &c.  Minutiar  pertinet  ad  T &,ut  facile  uideri  poteft 
rExemplum  probans  hoc  tertiurttexemplum. 

alb.  ■ * f fc 

AI ^ 4 I r 


J-* 


facit 


»3 


y* 


y* 


*3 
<5 
I 

0 

zoalb.  3*$. 


4* 

0 

1 


DiftraflfO  ubiq*  fatfa  eft  intuitu  diuiforis,  fcilicet  z 6 tfdi. 
Iftujber  y z faciunt  5 foid  eft  1 3 albos : ergo  13  faciunt  1 flo. 
JdefU alb.&4*.Sic,zalbifaciunt  1 alE.&ylVSt  ,a. 
Duo  floreni  translati  funt  refolutiq*  in  f z albos,&  6 albi  faci- 
entes 48  dena.collckfti  funt  ad 4 dcna.facitq?  aggregatum  illud 


tt 

r* 


. MiCHABIIS  STIFBLII 

• • 

fAUa  difpofltfo  exempli  probantis  hoc  tertium 
exemplum» 
alb.  & 

6 4 


R 

4» 


15 

i 


i6 


io 


4 

i 


io  alb. 


j'9'* 


Denominatio  alborum  transfertur  fupra  terminfl  tertium, 
di  fic  1 6 albi  (facientes  i florenum)diuifi  per  y i,faciunt  k alb, 
qui  multiplicatus  per  4 i,frcit  io  albos  & 4$  . Deinde  6 albi  et 
4 denarii  qui  flant  in  fecundo  termino,  additi  ad  fe,  faciunt  y 1 
den.diuidendi  per.y  i,uidelicet  per  diuiforcm,&  inde  uenit  1 9* 

TExemplum  quartum  de  wofteta  Argentinenfium, 
qu*  1 floreno  facit  ioblaphardos,&uno 
blaphardo  fadt  6 dena. 

TRes  cadi  uinl  uenduntur  pro  1 1 f(  dC  y blaphar.  & i dena. 

Quanti  uenduntur  347?  cadif 


num>turic  fle  ftabft  exemplum, 
cadus  I R * “ap. 

* 

I "d‘r 

1 1 * 1 r 

1 

-l—l  'jj— 

rJDeindc  rccipc  lenjj  iermininufncr4iurcm,««ui«^iu  ucw 
minatore, 8C  fic  multiplicat  eft  tertius  terminus  per  1 1 .Opor 
teter^o  ut  fecundum  terminum  diuidasper  n,ne  uidelicet 
mutetur  fumma  multiplicationis  debita.  Hoc  fado,  fic  flabit 
exemplum 


cadus 

i 


ft  blap.  & 1 cadi 

1 18 4 1 

rVnde  io  difpofitioe  praxis  Italicae  fic  flabit  cxeplum  hoc. 

cadus 


7 


Arithmbticab  Liber  j# 


92 


l 


'j**  • 


Michablis  Stifblii  ' 

Sunt  & hic  tres  dimidiationes  in  diftradione  flor.Parricute 
uero  illae  i z 6.6^  i b t?  L non  referunt  Z43  , fed  deficiunt 

6±f(.  Et  illitraslatifuntad  bIaphardos,fadentes  cu  izblap. 
147  blaphard.  Ex  quibus  z 1 blap.  ulterius  refoluuntur  in  1 x6 
denar.quos  fub  denominatione  denariolorum  poni  uides. 

TPuto  autem  per  harc  pradWcam  Italicam  fatis  efie  explica- 
tam : nam  qui  mea  harc  exempla  inteliigit,  facile  poterit  ex  fe* 
ipfo  fibi  formare  alia  exempla  quotquot  libuerit. 

De  regulis  illis,  quae  ad  regulam  De  Tri  reducuntur,  dicam 
(Deo  uolente)  in  mea  Algebra.Et  plura  alia  de  regula  DcTd 
dicam  in  pluribus  locis  librorum  duorum  iequentium. 

LlfiRI  PRIMI  DE  NVMERIS  , 

rationalibus  finis. 

. " ..  itiiunira 


<•:  APRENDIX  DE  REGVLA  91  ■ 

FALSI.  i 

n • : 3 • • . 

‘AD  MOICEMATEM  SVVM  D.  ADOL» 

phum  i Glauburck  Fra  neo  ford/en  fem  1 

patricium,  MichaelStifelius.  S. 

vm  nuper  Petrefus  Typographus  Norimbergen. 
totam  meam  Arithmetfcamrecepiflet,mox*po* 
ftea  per  literas  periit  i me, regulat  Falf?  explicatio 
nem,ea  occaftone,  qudd  liber  ille  titulum  ferret’ 
integrae Arithmeticar/Erant  mihi  liter* ili*  ad- 
modum gratae .propter  u iri  diligentiam , artes  tantopere  pro* 
mouere  ftudentis,  ut  qui  aegreferat  titulos  librorum  magnifi- 
cos, quibus  minusrefpondeant  rescontentaeatqp  tradat*  in 
efi dem.  Et  ego  te,mi  Adolphe,eo  quocg  nomine  uehementer' 
ueneror  St  amo, qudd  fucos  odias,  negotia  uero  candide  fada 
lyncere  colas.  Oportebat  igitur,ut  fic  admonitus.de  titulo  libri 
rationem  redderem.metuens  ne  & tibi  fortaflis  efle  uideretur 
fiiperbior  quim  deceat,  Itaqj  titulus  ille  (quem  tamen  noego 
libro  dedi,  fed  dodor  Milichius)  non  promittit  talem  Arith* 
meticam,in  qua  omnia  inueniasqaaede  numeris  dida  dodacrf 
fint,  aut  quae  de  eis  inueniri  poflint  ab  altjs.Talem  Arithmeti- 
cam dabit  nemo.Sed  ideo  datus  eft  libro  titulas  ille,  qudd  nu- 
meros rationales  St  irrationales  tradar, qudd  rradat  numeros 
abfolutos  fli relatos, qudd  tradat  numeros  abftrados&con- 
trados,q>  tradat  numeros  denominatos  proporrionalirer  & 
improportionaliter , qudd  docet  algorithmos  Arithmeticos. 
Geometricos.Muficos,  Aftronomicos.Si  Cofltcos : qudd  do- 
cet Algebrae  rationem  perfediflimam.  Qudd  fi  harc  non  fuffi- 
ciunr,ut  commode  dici  pofllt  Arithmetica  integra.hoc  uiderit 
dodor  Milichius,  qui  tanto  titulo  extulit  meum  hunc  librum. 
Verum  fieri  potuir,ut  artifex  aliquis  libris  quindecim,aut  plu»  * 


Michaelis  Stifblm 

ribus.de  Arithmeticae  Fer iptis, non  docuerit  tanta, quanta  ega 
•in  libris  tribus  illis  partialibus.  • ■ 

Vt  autem  ad  Petrerj  poftulata  ueniara , puto  ego  regulam 
Falfi,(eu  falfaium  pofitionurn,tnuentam  foifle,pcr  paruos  nu* 
meros, fnquarftionibus  facilimis,&  cognitis.Sic  enim  ego  ali- 
quando folebam  inuenire  uarias  regulas , uariabp  numerorum 
theoremata:  de  qua  rc  plura  poflem  dare  exempla  ,fcd  fuffidat 
unum  atep  alterum.  Vt  primum  hoc,  2 & 3 faciunt  r.&tantS 
facit  differentia  quadrati  de  3 fupra  quadratum  de  2 : nondum 
autem  habeo  theorema  quod  ponam,redpio  ergo  2 Qi.  4,  quo- 
rum additio  facit  6,  at  quadratum  de  4 non  excedit  quadratum 
de  2 fenario.fcdcxcedit  illud  duodenario, id  eft, tanto  quantum 
faciunt  2 Qc  4,  multiplicata  per  differentiam  eorum. Et  quia 
eodem  modo  refpondent  duo  numeri  prius  recepti,ideo  fufpi 
Cor  iam  me  inuemfte  theorema  .Sed  ut  certus  fim  de  eo.recipio 
duos  alios  numeros,  uidelicet  x&y  «Et  quia  in  cis  hoc  idem 
4nuenio  .concludo  & dico : Quorumcunqj  duorum  numeror 9 
differentia  fuerit  multiplicata  in  aggregatum  eoru, producit 
fpfa  differentiam  quae  eft  inter  quadratum  eorum.  Aliud  ex- 
emplum,ut  2. 3. 4. faciunt  progrcfllonem  Arithmeticam.  Facit 
autem  multiplicatio  medi)  in  fe,  quantum  facit  multiplicatio 
extremorum  inter  (e,  cum  additione  unius  ex  differentiis  nu* 
- merorum  illorum  rrium,id  eft,unitatis.Hic  nihil  adhuc-habeo. 

Pergo  ergo  recipiens,  2. 4. 6,  Hic  inuenio  multiplicationem 
medij  in  fe, facere  quantum  multiplicatio  extremorum  inter  fe 
fadr,cum  additione  ambarum  differentiarum.  Cum  igitur  ui« 
deam  additionem  no  refpondere,  refpicio  ad  multiplicatione, 

i.  rpfnnndprp  . R?r inin  ioinn  aliam  nrnarrffion? 


a ^tdiipofltis,fcidt multiplicatio  medij  in  fe,  quantu  multiplicatio 

erU*\f  , ■.  petremoru inter fp.cum  multiplicatione differeriaruMnCerfe. 


[ ***  1£s*^*V/*X*J}f*x*  E^cde  alrjs  huiufmodi  inuention  ibus. 

Vt  jjtMh****- 


••  «]>.  ••  «ji»  ••  ««i 


Appbkdix  regvlae  fa lst.  94 

Slmfli  modo  (ut  ad  fnft  ituram  reuertar  tra dationem)  puto 
inuentam  eiTe  regulam  Falft  i primo  eius  autore.Huiu* 
inucn tionis  audiuelhiftoriam  uel  fabulam. 

lnuenturus  author  regula  Fal(i,diifimulabat  fe  (cire  nume- 
mm  illum.i  quo  z fubtrada  relinquerent  3 . Recepit  ergo  pri* 
' mo  4 loco  numeri  illius : quem  cum  examinaret  fubtrahenda 
»,uidit(  loco  3 ) relinqui  folummodo  ».  Itaqj  deficere  uidit  uni 
tatem.fli  hunc  numeru,cum  defedu  illo>(eparatim  annorauit. 
Deinde  recepit  6,  quem  numerum  cum  exanimaret  iubtra- 
hendo  z,uidit  ( loco  3 ) relinqui 4.  Itaqj  fuper fluere  uidit  uni- 
tatem : & fic  fenarium  cum  (uperfluente  unita  te  etiam  iepara* 

• tim  annotauit.Et  fle  pofteaexplorauit,qua  ratione  ex  adnota 
cis  numeris  produceretur  quinarius , qui  uidelicer  fubtradis  I 
e **  rc^,ncluerct  )•  Facile  autem  uidere  fuit,  qua  ratione  hoc 
nerer/cilicet  ex  aggregatione  numerorum  receptorum  (id  eft 
ex  4 fle  <^)  fiebant  1 o^Et  ex  aggregatione  falft  ratum  (id  efl.ex 
1 « 1 ) nebant  a . Itaqj  ex  diuiuonc  10  per  z,proueniebant  f 
id  e Innumerus  qui  quaerebatur. 

Figura  politionum  pncdidarumr 


IO 

1 

4 

6 

■ 

Minus 

r 

1 

1 

1 

X 

* . 

Poflea  recepit  4 8C  y , &.  per  eos  (Imili  modo  tentauit  inue* 
nire  quinarium.  Et  cum  uideret  figuram  huius  inuentionis  (?c 
fiare  (i7t  (equitur)  fatis  uidebaqqudd  fimplex  aggregatio  non 
. A r\  refpon 


MiCHAELIS  Stipelii 


-5,' 


Minus 


Plue 


t efponderet  utrobicp.inuetioni  priori.Tcntau/t  igitur  onm  es 
inucniendi  modos  poflibiles»donecinueniretaggregationera 
mediante  multiplicatione  in  cruce  refpondere;  idl/cet  bi*4& 
femel  7 ( id  eft,8  QC  7)  faciunt  17 , quae  dinifa  per  j ,fadunt  jv 
Figura  inuentionis  prardidar. 


•w:  l 


Minus 


iy 


,9 


Plus 


U 


Poftea.ut  poflet  concludere, tentauit  eiufdem  numeri(.i.f%) 
inuentionem  per  4&  100 : & exibat  figura  inuentionis,prardi 


^ fteru?4m4 

J . <j.-«  J po 

•v». 


480 

4 ^ 

J 00 

1 

X 

P ,4 

9*  1 

P. 


deficit,  feu  minus  cft,  altera  iuperflue  rite* 


APPENOIX  REGVLAfi  FALSI,  pf 

feu  plus  exiftente.  Deinde  conuertit  fc  ad  dexteram,tentans 
inuenire  huiufmodi  inuentiones,per  falfltates.urrobicg  fupcr* 
fluentes, Recepit  ergo  pro  experimento  7 & 8 , quibus  nume* 
ris  uoluit  inuenirequinarium.modo  prardido ; unde  figura  in» 
uentionis  fle  exibat. 


Plus 


* 


i • < 

Plus 


Sed  hic  cum  uideret  aggregatione  nihil  fleri,  tentauft  rem 
per  fubrradfonem  • Et  fic  uidit  operationem  «le  bonam,  QC 
reipondererei. 


•*l\ 


Figura  operationis  huius. 


Hoc  eft,  2 de  3 relinquunt  4 diuiiorem : QC  3 In 7 multiplicata 
^faciunt  2 1:& 2 in  8,taciunt  itf.At  1 6 de  2 1 «relinquunt j- diui 
denda  per  1 diuiiorem. 

Poftea,ut  de  inuentione  i dextris  etiam  concluderet , rece* 
pit  7 & ioo, quibus  numeris  quinarium  produceret, modo 
prardido : & exiuit  figura  inucntfonis  flc,ut  fequitur. 


Michablj s Stipe  lm- 


at 

’■?  ‘i 

siyift 
f ;/.;U 


Poftea  uidens  fucceflfum  fe  habaifle  talem  i dextris, aertit  ie, 
ut  Idem  experiretur  etiam  £ finiftiis.Recepit  ergo  3 & 4.1'd  eft, 
numeros  quos  fciebat  allaturos  e fle  falfitates  deflcietes  utrincp. 
Per  eos  itac$  quaefiuit  quinarium  producere»ficut  prius  ;&  in* 
uenit  hanc  figuraro. 


Minus 


y 


Minus 


Scilicet  1 de  x fubtrafla, relinquit  diuiforem  1 : Si  x in  4 multf 
plicata,producunt  8:  & 1 in  3,manent  3.1cacp  3 de  8,relinquut 
j-  diuidenda  per  diuiforem  1 .Et  fic  de  alrjs, 

Poft  tantos  fuccefliis  in  quacflionibus  ludicris  pracdidHs,caz 
pit  autor  negotium  illarum  operationum  transferre  ad  obfcu 
ras  quseftiones,  numerorum  abftratforum  Si  contradloram. 
Sentiens  igitur  immenfam  latitudine  negocij  illias,magnifice 
. laetabatur  .reputans  fe  reperifle  thefaurum  artis  incomparabi 
lem.Eas  igitur  operationes  redegit  ad  regulam,  ut  fequitur. 

Textus  regulae  Falfi. 

REcipe  duos  numeros  ad  placitum, paruos  uel  magnos,8i 
utruncg  eorum  examina.iuxta  exempli  propofiti  pronun 
dationem , ut  uideas  quanto  mercjj  eorum  fallat,  quo  minus 

hoc 


inter  tallitates : fciliccr  aut  una  additur  alteri,aut  una  fubtrahf 
turabaW  Deinde  fic  multiplicatio  in  cruce,  multiplicante 
una  ralntatum,numcru  politum  alteriusfalfitatis.  Quo  fado, 
fequitur  additio  fecunda  ( aut  fubrradio ) uidel/cetprodudft 
unum  additur  ad  alterum»  aut  fubtrahitur  ab  altero  produdo, 
iuxta  praecedentia  regula:  nerba.  Et  fic  tandem  St  diuifio.qua 
ue^  aggrcSatl,m  produdorum,  uel  relidum  eorum»  diuiditur, 
ueLpcr  aggregarumialfitatum,uelper  relidum  earum. 

Sequuntur  nunc  regulae  illius  exempla  aliqua. 

Primum. 

V Quaeratur  numerus, i cuius  dimidio,fubtradae  partes  ter 
tia  & quarta,relinquanr  300.] 

Recipio  primo  24 , qui  numerus  /deo  mihi  boc  loco  placet, 
quod  dimidium  cius  habet  partes  in  pronunciat/onenomina- 
tas,id  eft, tertiam  Si  quartam  partes, fine frad/one  aliqua.  La- 
bor io  lior  atep  magis  taediofa  eft operatio  per  frada,  quim  per 
integra, ideo  frada  deuito  ubi  deuitari  polTunt. 

Secundo  recipio  duplum  prioris  numeri,  id  eft  48 , fic  enim 
expeditius  operor : unde  figura  exempli  huius  fic  ftab/t. 


Minus. 


7200 


*4> 


*9T 


48 


190 


Minus, 


Primo 


} 


'cs  . Michaelij  Stifblii 

r Pr fano  examino  primum  numerum  receptum, id  cft,*4*  w 
■us  dimidia  eft  i s,de  quo  pars  tertia  eft  4,  & pars  quarta  eft  3« 
Eas  partes  aggregatas  ( id  eft, 7 ) fubtraho  de  1 *,  remanent  f y 
qua  deberent  e (Te  (iuxta  pronunciationem  exempli)  3oo,Fal 
fit  ergo  numerus  receptus  per  15»  j-,&  eft  minus.  m • 
t Secundo  examino  alterum  receptum  numerum,  id  ettyfS* 
Huius  dimidium  eft  14.  Dimidij  illius  partes  tertia  & quarta, 
faciunt  14, qua  iubtra&ar  de  i4,relinquuni  10,  qua  deberent 
c(k  3 oo.Itacp  numerus  ille  receptus,fallit  per  290,6*:  eft  etiam 
minus.Quare  fubtraho  190  de  2 9 s .relinquuntur  y.i.  diuifor. 
Deinde  multiplico  in  cruce,uidelicet  290  in  24,  & fiunt  696 0} 
& 2 9 y multiplico  in  48,fiunt'cp  14 1 60 . Subtraho  igitur ^960 
de  14 1 6o,&  remanent  7200  dfuidenda  per  y.Iracp  1440  eft  nu 
merus  uerus  quem  quarebam.Nam  eius  dimidium  facit  720, 
cuius  partes  tertia  & quarta  fimul  faciunt  420,  qua  ambade 
720  fubrrada,relinquunt  3 oo.Et  fle  ueritas  prouenit,&  nulla 
(allitas,  hoc  loco. 

Secundum  exemplum*  - v 

rQuserantur  tres  numeri,  quorum  primus  additus  ad  73,  , 

faciat  duplum  duorum  reliquorum.  Secundus.cum  7)  > 
triplum  duorum  reliquorum  .Tertius  fumptuscum73 , cadat 
quadruplum  duorum  reliquorum.] 


1 V 

/ 3 

,0?  vSs 

Plus 


'3?  ...  a- 

Satis  hic  uides, ur  18  unicus diuifor communis : aut 

j-^atep  365,fint  duo  numeri  multiplica  nres  communes,cum 
fint  dua  ftilicates.Gum  autem  amba  follita tes  lint  plus , fitut 
o.v.1  ' diuifor 


I 


APPENDIX  EISVIAB  EA  LSI.  $7 
diuifor  communis,  nafcatur  ex  fubtracftione  unius  ab  altera. ' 

Primo  autem  multiplicatur  i per  ,8C  nihil  mutatur  de 

multiplicante,  ut  notum  eft . Multiplicantur  etiamj  per  5-4 1, 

6(  fiunt » 64^. Subtraho  igitur  3 6Fde  1 remanent  1 17 
Relid  um  hoc  diuiditur  per  diuiforem  communem,  tunc  pro-  ^ < -*■ 


»7feasH 


ducitur  numerus  primus  exempli  huius,  qui  eft  7. 


*■ 

Secundo  multiplicantur  1 o£  per  3 6£,fiuht'cg  3 74  £ . Et  1 1*  , . 
multiplicantur  per  3-4  5, &C  fiunt  684-f . Subtraho  igitur  374-5  ^ 

de  684  ,&  remanent  3 1 0*.  Relidum  hoc  diuiditur  per  diui« 

(orem  communem,  id  eft,  per  184,  tunc  producitur  numerus 

exempli  fecundus, qui  eft  17.  • 

Tertio  multiplicantur  a 6 £ per  3 ffuntfcg  $16 1 . Et  xj k T*Z3t<P£** 

multiplicanturper  j-4|,fionta’  1396-5.  Subtraho  igitur  976^  s4-  Sf 

de  i39^,tuncremanet4i9^.Reli(ftumhocdiuiditurpercom  **' 

munem  diuiiorem,  id  eft,  per  183,  tunc  producitur  numerus  ‘ ^ 
exempli  tertias,  qui  eft  17.  1 

Primus  numerus  exempli  7.  1»* \y  & 

Seaindus  numerus  exempli  »7,  u/°\ 

Tertius  numerus  exempli  xj.  ^ <0 

De  pofitionibus  exempli  duabus  fuperioribus.  */■ 

Opus  eft  quim  maxime, ut  rationem  politionum  duarum, 
exempli  praefentis.fuperius  politarum, reddam.  Habet  autem  ‘(xt^fTs  + s- 
quodlibet  exemplum  regulae  Falli  duas  polinoes  regulariter.  ***** 
ut  fatis  uides  ex  ipfo  textu  regulae,atcp ex  operationibus  exem 
piorum.  Operationes  autem  quae  fiunt  per  unam  politionem, 
magis  fiunt  per  regulam  De  tri  (formatis  arte  diuifore  QC  mul  7 ~ 
tiplicante)quim  per  regulam  Falli.Sed  uideamus  politiones.  ^ " " “ ** 


mm . ***?*£  *&*- 

Pro  priore  politione , placuit  primo  ponere  unitatem,  co  q>  TsZJl  *f+- 

faciat  cum  7 3 (quem  numeru  exprimit  pronunciatio  exempli)  ^ cm-+  l+  JL 

rum  parem,cuius  iubduplus  lit  numerus  integcr.Quancpr— ~ 


roui*fi  1 


numerum 

enim  frada  non  pofttnt  ubicp  uitari,tamcn  uito  eas,iibi1ine  \z<* 
boreeasuitare  polium,  Dicit  atuem  pronunciatio  exem  pii  ,q>^ 

• ® 5 +/£**■*  ex  h ,f  3-  7* 

■v*~****Stf\_  1*  " 


i!) 


r-  /'  Michab-ui 

primus  numerus  debeat  cum  74  facere,  duplum  duorum  refc 
fluorum  Jtac$  cum  73  & j faciant  74,  facient  (iuxta  haec)  duo 
reliqui  3 7, id  eft, dimidium  de  74. 

Itaqp  (iuxta  pronunciationem  exempli)  oportet  ut  diuidanr 
tur  37  in  duas  partes,  quarum  prior  (umpta  cum  73, faciat  tri- 
plum partis  alterius,  iumpeae  cum  unitate.  Et  fic  exemplum 
noftrum  ia  m pnrfupponit  aliud  exemplum  partiale,  cutusam 
bat  politiones  fic  ponuntur. 


Minus 


Diuidendus  41(10* 

Diuidendus  107  (z6^ 

X 

ir 

7 

• Diuifor 

4 

Minus 


4 


Recepi  autem  primo  z,ed  q>  z addita  ad  73, faciant  numerum 
numerabilem  i ternario:  & eadem  ratione  pofiea  recepi  j-  &c. 

De  fecunda  politione  exempli  tota1is,quat  habet 
hos  tres  numeros:  3.  iz£,  zy£. 

r Quo  confilio  autem  receperim  3 , fatis  patet  ex  declaratione 

S rimat  pofitionis,quat  habuit  hos  numeros  1 .105.  z 6\. 

lecepi  inquam  primo  3,  quae  addita  ad  73 , faciunt  7 6.  cuius 
pars  dimidia  facit  38,fummam  duorum  reliquorum , iuxta 
pronunciationem  eiuidem  exempli  totalis, 

Itacp, iuxta  pronunciationem  eiufdem  exempli  total is, opor 
tebit  ut  diuidantur  38  induas  partes, quarum  prior  fumpta 
cum  73 , faciat  triplum  alterius  partis, iumptat  cum  ternario, 
I3t  hoc  eft  iam  fecundum  exemplum  partiale, quod  exemplum 
totale pnefupponir,cuius  ambat  politioes  fic  figurari poliunt. 

' ‘ o Diui« 


r.* 


APPENDIX  RlGVtAB'  IA:4SI, 


Minus 


Diutdendus  3x0,  (iz£ 


Diuidendus  714,  (15* 


,)  5 


Plus  v, 


ofitionens 
atis  patent 


Inuenti  quotientes  ii±&  zy£,  reponuntur  ad  p 
fecundam  exempli  totalis  fuperius  poflti . Caetera  fai 
exfuperioribus.  1 

Sequuntur  exempla  locupletatae  regulae  Falli  ^ 1 

per  Gemmam  Frifium : &cft  inuentum 
ualde  egregium. 

QVaerantur  duo  numeri  fub  proportione (efquialtera,  qua- 
rum multiplicatio  inter  fe  faciat  364.] 

Prima  pars  regulae  locupletatae eft,ui  quaeras  falfitates  iuxr 


Minus 


1 

4 

» . 

) 

6 

8x3 

* t 

0 

00 

c-t 

• + 

18 

\ I 

-? — 

Minus 


3x8,  &c.. 


A 


Secunda  pars  regutae  eft,  ut  (propter  multiplicationem  nu- 
merorum inter  fe  fartam)  pro  receptis  numeris,  ponantur  re- 
ceptorum numerorum  quadrata, manentibus  falfitatibus  prio 
ribuSjCucn  dipiforc  cx  cis  farto,  iuxta  priorem  partem  regulae: 

B ij  QC 


K* 


'farffn  **  r>uix**Z7i>J  *»«****& % V*  • i C?  tt  1-^x  * 

' nt*  rn-VK-f  c*S  wliijJ*  C«xa-K.  +~*tsyj*.  C*  x>-c^c^t-  m~ 

/Z^)A/ '*LL  tt  a£.  J I"*  • 1*  • fZjtZi*-  30  *» 

SriPELii 


ftx.CiJ^*'  s'i-£ 


,v~%  r*XtrL<*- *r*-4ur-L-L*^ 

~»i*#  ni-  <*~p  ^ : ~ 


fe/  ***«- 

Ai,  -I  . ^u«  »•  £* 

-^‘'V  \ 

-k~~  *~t**?b  \oA .jVfUct  "J^uijj 

s* 


P/ 


j 10368  (5-76 

l *33*8 

(1196 

l/  ,s 

? > 

^ 5' 

8r8 

^ 840 

18 

Minus 


.* / ° **_  ^^r^Tertia  igitur  pars  regula?  eft,  ut  inuentis  quotientibus,  ex* 


7,c/*-  TJ  a***.*™»'  V ,ow  p-«a  UK««  »..»,  Ui  >uuvmW  ijuwiu.uwuuj, 

1 ~ jZcL».  Jz  tranas  radicerri^e!  quadratum  ( ut  hic,  ubi  multiplicatio  inter 

/•  /1  . f»  rl.  In... r.1 !1 I _ C.  \ » 1 ! ..»_• • - > 


^ /z^ct+ii.  ^Cc  duorum  numerorum  iolummodo  fit)  uel  cubicam, ubi  multi 
9 s f ^^-.>^6iS  (T  phcatio  trium  numerorum  fitinterie&c.Vnde  cum  quotien- 


T':.  ^72^7"  — ^#twjhoc  loco,fint  $76  Qi  1 1$6,  erunt  numeri  exempli  24  Qd  36. 

j5>r°t,a tur*  Nam  ex  horum  multiplicatione  inter  fe,flui 


£ ^UuT*^»^oJuxta  exempli  pronuntiationem. 

Aliud  exemplum. 


, fiunt  864*, 


%r/>~"  ff1 1 Quarrantur  tres  numeri  fub  proportione  dupla, qui  inter 

>#~v*c  ^-^^multiplicati-feciant  1744*] 


SX 


,c  ? * * 

'rPr~z 


CA*£c<4>— 


^ V,  flf'  — j/  — 

T*£°*.  *~'C  T ‘ .«*  y*>/VT  <* 

x.  ? / e2*>  «4>.ay 

s ^5  f i/^  fbzzzr  ‘y-cz?cf  d Minus 

Y**tT 

1 £ ^ *■ t/«-  x 


» 

io 

4 

xo  • 

8 

40 

z68o 

fij-6 

793^ 

Plus 


^oj  >♦*»« 


( -y  6^*  — - I.  - 

l v e<  /~P bfterior  uero  exempli  figura  fic  (lac, 

» .i,,  — \ — _ 


C * *^r  v>t,  y ^ 

7^**  -5-  c 


•'f r 


■ufe- 


^ 


•>*****?  £?“*"  2. 7-  ^ ^ 

/»<•  40' 


APPENDIX  HEGVLAE  FALSI, 


99 


Minus 


Vides  ut  hic  pro  receptis  numeris  ad  pofit/oncs,recip/antur 
cubi  eorum  . Deinde  ex  quotientibus  /nuentis  extrahuntur 
radices  cubicar.Et  harc  fle  fiunt,  quod  numeri  tres  inter  le  mul« 
tiplicantur,  iuxta  exempli  pronunciationem . Numeri  funt, 
7«  14*  *8» 

Aliud  exemplum. 

Y Quaerantur  qua  tuor  numeri,  quorum  duo  minores  flne 
fub  proportione  fefquirertiat&duo  maiores  flntfubjjportionc 
fefquialtera,  Duoueromedtj  flnt  fub  proportione  dupla.  Et 
illi  quatuor  numeri  inter  fc  multiplicati,faciant  ujtJ} 

Hic  pro  numeris  receptis  ad  politiones,  uidebis  recipi  eorfi 
zenflzenfos.  Et  de  quotientibus  inuentis,extrabcntur  radices 
zenflzenflcar* 

Sequitor  figura  exempli  prior. 


6 

9 

8 

It 

,,  • • 

1 6 

H 

> - j 

*4 

17180 

14400 

Plus 

2880 

— ' —•  - « 
, > 

Sequitur  figura  exempli  pofterior, 

B iij 


■u 


MrcHABtis  SrifBur 


Plus 


Plus 


1!  iV'i 


Numeri  exempli  fune , 3.  4.  8.  iz. 

Aliud  exemplum  locupletatae  regulae  Falff.  > 

r Quaerantur  quincg  numeri  fub  proportione  dupla, quorft 
multiplicatio  inter  fe  faciat,  148  8 31.]  , 


It 

\ z 

.i. 

z. 

4 

1 V 

4 

8 

*'{  L ' ' lV»t  i 

8 

16 

16 

3*- 

' Minus 

Z47808 

z 16064 

4> . . ■ 

3*744 

Minus 


'I 

ii 


Sequitur  figura  exempli  pofterior* 


•M. 


' Numeri  exempli  fant,  3 .6. 1 z.  14,48. 

Vides  autem  ut  Jnhoc  exemplo  recipiantur,  furdefolida  nume 

' • rorum 


Appbhdix  uegvlab  alliga,  ioo 

-rorum, in  priore  figura  receptor  u.Et  radicer  furdefolidac  quo* 
•tientum  inuentorum.dant  numeros  exempli  praefentis.  > 

Et  fic  de  alijs  exemplis  in  infinitum,quemadmodum  infini- 
tas regulas clle  intelligimos,ea  ratione, qua Chnftophorus 
pofuit  quatuor  regulas  Algebrar : fecundum  quas  Frifiusille 
nobis  fua  mirifica  hac  adaudione, regulam  Falfi  dilatauit  ( ut 
uides)  in  immenfum. 

Haec  modo, pro  inftituto  compendio,  de  regula  Falfi, dida, 
ad  Pecreij  rcquili  tionem,fufficianr,donec  alia  dederou  ^ 

* * « * 

De  regula  Alligationis. 

POil  regulam  Falfi  /n  precio  eft  regula  Alligationis,  cuius 
ufus  folummodo  circa  numeros corrados  uerfatur.  Quae 
qualis  fit,paucis  exemplis  abunde  fatis  poteft  o (lendi.  V idea* 
mus  igitur  unum  aut  alterum  de  ea  regula  exemplum. 

Primam  exemplum  de  regula  Alligationis, 
i FHabeo  uina  duplicisualoris.  Vna  menfura  uilioris  uini 
-ualet  6 dena.  Alterius  uero  uini  menfura  unaualet  13  denari- 
olis.Volo  aut  habere  menfuramunam  commixtam  ex  utroqp 
uino  ualentem  8 denariolis. 

i Quceftio  iam  eft.  * 

v Quantum  eft  recipiendum  de  utrot^uino? 

Regula  eft, ut  primo  ponas  numeros  alligados,  uno  ordine. 
Deinde  ponasiIlum,ad  que  fit  allegatio,feorfum.,ut  hic  uides. 

.6.  1 3.  Numeri  alligandi. 

8.  Numerus  ad  quem  fit  alligatio. 

Numeris  autem  difpofitis  modo  hoc , differentiae,  inter  illum 
ad  quem  fit  alligationi  numeros  alligandos,recipiuntur,Si  coi 
locantur  pcrmurarim.ut  hic  uides, 

Operatiotalisuocatur  alligatio. 

6 , -j  13  Numeri  alligandi. 

8 | Numerus  ad  quem  fit  Sic, 

Z...  f 1 | 1 Differentiae,  ~ " 


t Michablis  Stifblii 

Et  reliqua  perficiuntur  per  regulam  De  tri , eo  modo  quo 
• (ocie  tat  es  & diuifiones  pecuniarum  inter  focios : fcilicet  ex  ag 
gregatione  differentiarum  fit  diuifor  communis,&  ex  ipfis 
differentijs  feparatim  pofids,flunt  termini  fecundi,  feu  multi. 
plicantes  &c.  ficut  hic  uides. <1 

7 * t facit 


X 

y 


Hoc  eft,7  menfurac  de  utrocp  uino  comixtac.rcripiunr  j*  roen. 
furas  de  uino  uiliori.Ergo  una  menfura  de  utroqp  uino  com. 
mixta,recipit  5 unius  meniurar  de  uino  uiliori. 

Item  7 menfurac  commixtae  ex  utrocp  uino.recipiuntduas 
menfuras  de  uino  preciofiori.  Ergo  1 menfura  de  utro®  uino 
fic  commixta,continet  V unius  menfurac  de  uino  preciofiori. 

Probo  fic, 

Vna  menfura  de  uiliori  uino,  facit  6 Ergo  | menfurac  de 
eodem  uino.faciunt  4^.  Item  1 menfura  de  uino  preciofiori 
facit  1 3 : ergo  f menf.  de  eodem  uino  faciunt  3 £ Faciunt 

autem  (ut probationem uideas)  4 j&dC  3 f 9\>denarioIos  8* 
Exemplum  de  triplici  uino. 

jrDe  triplici  uino.uolo  commifcere  1 menfuram  ualentem 
7 Primi  uini  ualet  una  menfura  4 &.  Secundi  uini  menfura  i 
ualet  6 &.Tertij  uini  1 menf.ualet  9 &. 

Sic  fiat  exemplum  ad  alligationem. 

4.  6- 1 | 9.  Numeri  alligandi. 

ITI  ~ 

* ~l  ( 1 
3 


Numerus  ad  quem  3fc. 
"Differentiae. 


Sic  fiat  ad  regulam  De  tri, 

t 

x 1 facit 
4 


f 

? 

i 


t 


1 


APPENDIX  XZ6T.  COMBINAT,  IO) 

Sic  ftit  ad  probationem, 

4 i # 

i 6 4 facit  15^ 

9 £ 4£& 

■ Et  fic  de  alijs  regulae  Alligationis  operationibus  & excm- 
plis.ex  rjs  quae  iam  fum  dida, facile  iud/cabis.  De  alijs  regulis 
(uidelicet  Aequalitatis,  Augmenti, Decrementi  dCc.)  uidebiS 
memionem  fieri  in  Algebra  mea,  , 

De  regufa  quadam  Hieronymi  Cardanf, 

♦ • 

POnit  Hieron.Cardanus  regulam  qoandam,  de  combina* 
tionum  modis,rerum quarumcunq?  politarum, guae  mihi 
admodum  uideturelle  iucunda : eam'qj  uideo  eHe  utilem  pro 
rjs  regulis, quas  libro  primo  docui, deinuentione  partium  ali* 
quotarum.quorumcunqr  numerorum.  Volo  igitur  de  ea  re  ex* 
cmplum  ponere  pro  regula  illa. 

rpolitis  numeris  his  quatuor,  i.  3 . j-.  7,  uolo  breuiflimo 
compendio  inuenire  numerum  numerorum  producendorum- 
ex  multiplicatione  eorum  inter  fe.  Hoceft,  quoties  pofltt  fieri 
multiplicatio,  nouum  numerum  producens.] 

Regula» 

Poneprogreflionem  Geometricam  duplae  proportionalita 
tis, incipientem  ab  unitate , habentem  terminos  quatuor  ( ed 
quod  exemplum  politum  habeat  terminos  quatuor)  fltquot 
unitates  fecerint  termini  progrelfionis  illius,  redadi  in  unam 
fummam, demptis  unitatibus  quatuor  (ed  q>  progrefTio  illa  ha 
beat  terminos  quatuor)  tot  numeri  produci  poliunt  ex  multi* 

Slicatione  numerorum  horum,  z.  3.  y,  7.  inter  fe  omnibus  mo* 
is  multiplicatorum,  ut  funt  6, 1 o.  14. 1 y . 1 1 . 3 5-.  3 o . 41 . 70. 
105-.  2 1 o.Ethi  numeri  (inguli.numerantmaximum  eorum.id 
ell,z  1 o.tanquam  partes  eius  aliquotar,  Vndc  ita  poteft  exem 
lumuariari. 


C 


) 

MiCHABLrs  STIfcEUt 

fPofitishis  numeris  quatuor.z.  3.  j- . 7 > fpducftobp  maximo 
numero  ^pueniente  ex  multiplicatioe  eoru  inter  (e(qui  eft  z 10) 
uolo  compcndiofe  inucnire  numeru  partium  eius  aliquotaje.] 

Regula. 

Quot  unitates  progreffio  habet  geometrica  haec  1. z.  4,8« 
tot  habet  numerus  ifte  z 10,  partes  aliquotas, 

Habet  autem  progreffio  haec,  1.  z.4,8,  quindecim  unitates. 
Vnde  tot  partes  aliquotas  etiam  habet  numerus  ifte  z 1 o,uide* 

licet  I.Z.3.J-. 7. 6.10.14.15-, zi^y^o^z^o.ioy. 

Sic  numerus  ifte, z 3 1 o.compofitus  ex  incompofitis  nume* 
risiftis  z.  3. 5.7. 11. habet  partes  aliquotas  triginta  unam,ficu,t 
progreffio  haec  1 .z,4. 8. 1 6. habet  triginta  unam  unitates. 

Et  ficdealijs. 

Et  ut  finiam  tandem  appendicem  hunc , dico  efle  impoffibile, 
ut  Arithmetica  talis  feribi  poffit  ab  homine,  quae  omnes 
>>  huiufmodi  regulas  & fpeculationes  contineat, 
ita  ut  nihil  amplius  arti  illi  aliquid  egre* 

r . gij  fuperaddi  pofsit. 

, ♦ 

l , v • \ . . , 

! ^ - fiNif. 


i 


102 


DOCTISSIMO  ET  HVMANISSIMO  'J 
uiro  domino  Iacobo  Milichio  Medicina:  do- 
dori,fuo  patrono  obfernando,  Michael 
Stifclius  falutem  dicit. 

Redo  te  credere,  uir  huma  niffime.quod  ne* 
minimortaliu  magis  gratificari  ftaduerim 
meo  hoc  labore, quim  tibi.  Satis  hoc  teftatur 
liber  magnus  ille,  qui  occafioncm  praebuit, 
ut  ifta  mea  Arithmetica  tandem  aederetur. 
Illum  enim  tui  gratia  fcripfcram,  te  necg  iu* 
bente  necp  rogante,fed  fponte  mea,  quate* 
nus  tibi  diligentiam  meam  teftatam  facerem:  qua  ex  paucis 
Arithmeticae  praeceptis,quae  i te  acceperam, tantam  potuerim 
(Deo  fic  dante)  copiam  exprimere.  Videre  enim  potes,quata 
copia  illam  unicam  regu’am  tuam  deinuentione  digitorum, 
fub  extractione  radicum  cubicarum,  adauxerim  in  lib. primo, 
cum  praeter  eam  nihil  haberem, qno  iuuari  pofTcm  ad  inuenien 

das  radicum  (iirdeiblidarum&bfurdefolidarumextradiones. 

Videbam  quidem  Apianum  ifta  fcire,fed  ille  prorfus  nihil  do 
cebat  de  ea  re,nifi  q>  punda  fignanda  fignficabat . Quid  qero 
nunc  promouerim  hoc  libro  fecundo,  tuo  iudicio  committo 
decernendum . Cum  autem  feriptus  fuiftet  liber  ille,  cuius  iam 
paulo  fuperius  memini,8i nihil  interim  minusrogitare,qu$m 
ut  huiufmodi  ftudia  mea  aliquando  proditura  eftent  in  lucem, 
accidit  forte, ut  dominus  dodor  Iuftus  lonasad  mc quadam 
node  declinaret  in  hoipitium,u(r  uidelicet,cuius  ego  comitate 
& facilitatem  erga  inferiores  ie,fatis  mirari  nequeam  ,&  ego  ef 
(cum  hilaris  efiem  foper  tanto  hofpire)  proderem  illum  libru» 
promifit  fe operam  daturum  quatenus  typis  excufus  arderetur 
quod  uideret  eum  efle  refertum  tam  uarijs  Algorithmis,  bona 
copia  exemploru  probatis.Id  quod  ipfe  poftea  prarftitit  egre- 
gia fedulitate  ac  fide.Vnde  ficot  caufampraccipuam  8i  prima,. 

^ C i).  quod 


MlCHABLJJ  STIFEU* 


. /t. 


p. 


465- 

• » t • • 

7 

IOO 

z 

9S 

5>J 

p. 


Poftea  uidens  fucceflum  ie  hab affle  talem  i dextris, aertit  (er 
ut  idem  experiretur  etiam  i finiftf  is.Recepit  ergo  3 & 4»id  eft, 
numeros  quos  icicba  t allaturos  e fle  falfltates  deflcietes  utrinqj. 
Per  eos  itaqj  quacfiuit  quinarium  produccrc>ficut  prius;&  in* 
genit  hanc  figuraro. 


Minus 


Minus 


Sdlicet  1 de  z liibtracta, relinquit  diuiforem  1 : 6i  z in  4 multi- 
plicata,producunt  8:  &I  in  3,manent  3;Itaqj  3 de  8,relinquQt 
f diuidenda  per  diuiforem  1 .Et  fic  de  alrjs, 

Poft  tantos  fucceflus  in  quatftionibus  ludicris  pracdict  is, cae 
pit  autor  negotium  illarum  operationum  transferre  ad  obfcu 
ras  quaeftiones,  numerorum  abftractorum  & contractor  oro. 
Sentiens  igitur  immenfam  latitudine  negocij  il!ias,magnifice 
ketabatur  «reputans  fe  reperifle  thefaurum  artis  incomparabi 
lcm,Eas  igitur  operationes  redegit  ad  regulam,  ut  fequitur. 

Textus  regulae  Falfi, 

REcipe  duos  numeros  ad  placitum, paruos  uel  magnos,& 
utrunqp  eorum  examina, iuxta  exempli  propofiti  pronun 
dationem,  ut  uideas  quanto  uterqj  eorum  fallat,  quo  minus 

hoc 


V»  * 


Appendix  regvlab  * FAlIfi.  $€ 

hoc  exeat  quod  qaarr/tur.Obieruab/s  aut  femper &C  ubicp,urrfl 

differentia  fallens/eu  falfitas,plus  fit,uel  minus  eo  quod  inquf  «' 

r/tur.Nam  fi utrobicg  prouenerfc  aut  minus,  aut  plus, tunc  fit 

fubtradio,&  nulla  addi tio.St  autem  ex  uno  numero  prouenit  **  ^ 

plus,  8t  ex  aj tero  numero  prouenit  minus , tunc  fit 

nulla  fit  fubtradio . Fit  autem  additio  prima  ( aut  fubtradio) 

Inter  falfitates : fcilicet  aut  una  additur  alteri,aut  una  lubtrahf 

tur  ab  a’tera.  Deinde  fic  multiplicatio  in  cruce,  multiplicante  * 

una  falfitatum,numeru  pofitum  alterius  falfitatis*  Quo  fado, 

fequitur  additio  fecunda  C aut  fubtradio ) uidel/cet  produftS 

unum  additur  ad  alterum,  aut  fubtrahltar  ab  altero  produdo, 

iuxta  praecedentia  rcgulx  uerba.  Et  fic  tandem  fit  diuifio.qua 

uel  aggregatum  produdorum,  uelrclidum  eorum»  diuiditur, 

ueLpcr  aggregatum/alfitatum,uel  per  relidum  earum* 


Sequuntur  nunc  regula:  illius  exempla  aliqua, 
Primum. 


T Quaeratur  numerus, i cuius  dimidio,fubtra<fbe  partes  ter 
tia  & quarta, relinquant  300.] 

Recipio  primo  24  > qui  numerus  ideo  mihi  feoc  loco  placet* 
quod  dimidium  eius  habet  partes  in  pronunciatione  nomina- 
tas.ideftjtertiam&quartam  partes, fine  fradione  aliqua.  La- 
boriofior  atep  magis  rardiofa  eft:  operatio  per  frada,  quim  per 
integra, ideo  frada  deuito  ubi  deuitari  po fiunt. 

Secundo  recipio  duplum  prioris  numeri,  id  eft  48 , fic  enim 
expeditius  operor : unde  figura  exempli  huius  fic  flabit. 


Minus* 


Primo 


c*  'Michaelij  Stifelii 

Primo  examino  primum  numerum  recepfum,/d  eft, 24.  ciy 
iusdimidiueft  1 1, de  quo  pars  tertia  eft  4, 6i  pars  quarta  eft  3. 
Eas  partes  aggregatas  ( id  eft, 7)  fubtraho  de  1 2,  remanent  jy 
ouac  deberent  efte  (iuxta  pronunciationem  exempli)  3 oo.Fal 
Iit  ergo  numerus  receptus  per  29  j*,& eft  minus* 

; Secundo  examino  alterum  receptum  numerum,  id  eft, 48* 
Huius  dimidium  eft  24.  Dimidij  illius  partes  tertia  & quarta, 
faciunt  i4,quarfubtra<ftarde  24,relinquunt  10,  quae  deberent 
efte  3 oo.Itacg  numerus  ille  receptus, fallit  per  290, & eft  etiam 
minus.Quarefubtraho  290  de  295- .relinquuntur  5 -.i.  diuiior. 
Deinde  multiplico  iricruce,uidelicet  290  in  24,  & fiunt  696 0} 
& 293-  multiplico  in 48, fiunt'qj  14 160  .Subtraho  igitur  6960 
de  14160,61  remanent  7*00  diuidcnda  per  j-.Iracp  1440  eft  nu 
merus  uerus  quem  quarrebam.Nam  eius  dimidium  facit  720, 
cuius  partes  tertia  & quarta  (imul  faciunt  420,  quae  ambae  de 
720  fubrradae, relinquunt  3 00, Et  fle  ueritas  prouenit,&  nulla 
lalfitas,  hoc  loco* 

Secundum  exemplum. 

V Quaerantur  tres  numeri,  quorum  primus  additus  ad  73 , 
faciat  duplum  duorum  reliquorum.  Secundus,cum  73 , faciat 
triplum  duorUm  reliquorum.Tertius  fumptus  cum  73 , fadat 
quadruplum  duorum  reliquorum.} 

Sic  ftant  duae  politiones  exempli  huius.  ’ 


% 

1 V 

S 3 

,o  ? >x 

»*5 

\ 

i6*  ^ 

^ %S ^ 

Plus 

3^5 

>:x 


Plus 


'3* 


Satis  hic  uides,ut  i8^ftt  unicus  diu/for  communis  ut 
T4f  atcp  3<S5,fint  duo  numeri  multiplicantes  communes,cum 
fint  duae  falfitates.Gum  autem  ambae  fklfica  ccs  lint  plus , fit  ut 
1 __  diuiior 


APPENDIX  REG7LAB  tALSI.  py 
diuifor  communis,  nafcatur  ex  fubtracfiionc  unius  ab  altera. 

Primo  autem  multiplicatur  i per  3 <?£,&:  nihil  mutatur  i 
multiplicante,  ut  notum  eft . Multiplicantur  etiam3  per  r4  * . ,.*m 
&ffunt  i^.Subtrahoigitura^idei^f&remanent  uyl.T***  f 
Relidum  hoc  diuidicur  per  diuiforem  communem,  tunc  pro-  Zull ^ 


ducitur  numerus  primus  exempli  huius,  qui  eft  7. 


X 2 X 


Stcundo  multiplicantur  1 o*  per  3«4>ffunt'q, , 74  i . Ht . 
multiplicantur  per  74 fiunt  684!.  Subtraho  Igitur  374  ~ M 
de  684  remanent  3 io|.  Relidumhocdiuiditurper  diui*  ^a****^*»^?.*.  ca- 
lorem communem,  id  eft,  per  1 8 i , tunc  producitur  numerus  — ? •s‘f~ 
exempli  iecundus,qui  eft  1 7*  ^ itfiJkf******9^ 

rjn  • • * - . v n • 


3 97f 1 • Et  z sk 


multiplicanturper  5-4^,  fiontee  Subtraho  igitur  97 6\ 

**  »3  9^5  .tunc  remanet  4 i^.Kelitftum  hocdiuiditurpercom 

mn n«_  .A _ ■ . * 


1 *1“'  */*• 

Primus  numerus  exempli 
Secundus  numerus  exempli 
Tertius  numerus  exempli  zj. 

De  politionibus  exempli  duabus  fuperioribus. 


et* 

munem  diuiiorem,id  eft,  per  183, tunc  producitur  numerus  ^f&f****4 

exempli  tertias,  qui  eft  Z7. 

7#  ^ t*» 

17+ 

c*aj  40 
ujr 

r\  n.  \ * * -w  | 

Upus  eit  quam  maxime, ut  rationem  politionum  duarum  £j.\  - p 
exempli  prarfentis.luperius  politarum, reddam.  Habet  autem 
quodlibet  exemplum  regula:  Falf?  duas  politioes  regulariter  ^fr*-*0* 
ut  fatis  uides  ex  ipfo  textu  reguli,atcp ex  operationibus  exemr--’  “~  J- 

piorum.  Operationes  autem qu*  fiuntperunampofitionem,i'~ 
magis  fiunt  per  regulam  De  trf  ( formatis  arte  diulfore  & mu!  7 7' 
tiphcante)quim  per  regulam  falfi.Sed  uideamus  politiones. 

i ro  priore  politione , placuit  primo  ponere  unita  rem,  co  q>  7-/^  ^ 

faciat  cum  7 3 (quem  numeru  exprimit  pronunciatio  exemolft  *t4.*a,r/0 
numerum  paiem,euius  fubduplus  fit  numerus  Integer.Quan®  ‘ Z. 

enim  fracta  non  pofttnt  ubiep  uitari,tamen  uito  eas,ubi  (inela^*^-  *• 

DOf££a£  f lirare  nnlliim  ^ . # 5 . . « 


■rJZ 

,CV 

reius/f  *"  ♦ 


. ^"^**»“»‘-"^uu4ri,ianienuiroeas,ubilinela^,'“‘w  ‘-  ci** 

fxjreeas  unare  polium, Dicit  amem  pronunciat io  exempli,^ 

g " C/}  t«“ 

j ^/luAI  tx  4» 

2 <*— 


J»**.**4 


K A- 


/'  • Michabks  Stibexii"  * 1 

primus  numerus  debeat  cum  7-3  facere,  duplum  duorum  refr 
cjuorum.Itacp  cum  73  & J faciant  74»  facient  (iuxta  haec)  duo 
reliqui  37,ideft,dimidiumde74. 

Itaqj  (iuxta  pronuntiationem  exempli)  oportet  ut  diuidanr 
'fur  37  induas  partes,  quarum  prior  (umpta  cum  73 , factat  tri- 
plum partis  alterius,  (umprac  cum  unitate,  Et  fic  exemplum 
tioftrum  iam  pnrfupponic  aliud  exemplum  partiale,  cuiusam 
bat  pofittones  fle  ponuntur. 


r* 


Minus 


Piuidendus4i  (107 


Diuidendu»  107  (167 


IS 


n 


3* 


Diuifor  4 


..i 


Minus 


Recepi  autem  primo  x,  eo  q>  z addita  ad  73 , faciant  numerum 
numerabilem  i ternario:  & eadem  ratione  poftea  recepi  s 

Deiccunda  poflrione  exempli  tota1is,quae  habet  n 
bos  tres  numeros:  3«  iz£,  zy4. 


_ .... 

*"  Quo  confllio  autem  receperim  3 ,fa  tis  patet  ex  declaratione 
primae  pofltionis,  quae  habuit  hos  numeros  1.107.  z 6\. 
'Recepi  inquam  primo  3,  quae  addita  ad  73 , faciunt  7 6.  cuius 
pars  dimidia  facit  38,fummam  duorum  reliquorum , iuxta 
pronunciationcm  eiufdem  exempli  totalis, 

Itacp,  iuxta  pronunciationem  eiufdem  exempli  totalis,opor 
tebit  ut  diuidantur  38  induas  partes, quarum  prior  fumpta 
'cum  73 , faciat  triplum  alterius  partis,iumptaecum  ternario, 
*Et  hoc  eft  iam  fecundum  exemplum  partiale, quod  exemplum 
totale  praefupponir, cuius  ambae  politi des  fle  figurari  poliunt. 

Diuf* 


1 U. 


APPENDIX  R"E G V LAB  ' F A I $ I. 


Minus 


Diuidendus 

3ro.  (ix* 

Diuidendus  714.  (zyi 

X-  \ 

* v.  1 

i 3«  ^ 

V *' 

• l 

\ * 

' 14 

" b.  »4 

Diulior 

x8. 

> % 


Plus  * 

'ir 


fecundam  exempli  totalis  fuperius  pofiti . Cartera  fatis  patent 
exfuperioribus,  1 

Sequuntur  exempla  locupletarae  regulat  Falli,, 
per  Gemmam  Frifium : & cft  inuentum 
ualde  egregium. 

QVaerantur  duo  numeri  fub  proportione (efquialtera,  quo- 
rum multiplicatio  inter  fe  faciat  864.] 

Prima  pars  regular  locupletatae  cft, ut  quarras  falfitates  iuxr 


Minus 


X 

4 

3 

6 

8j-8 

840 

• c 1 

• * 

18  > 

Minus 


Scilicet  x in  3 faciunt  rf^quar  deberent  efte  s 64 ; deficiunt  ergo' 

8j8,Sic..  ' . , « . U 

Secunda  pars  regulae  eft,  ut  (propter  multiplicationem  nu- 
merorum inter  fe  facftam)  pro  receptis  numeris,  ponantur  re- 
ceptorum numerorum  quadrata, manentibus  falutatibus  pr/o 
«bustum  diu  (fore  cx  cis  facio,  iuxta  priorem  partem  regube: 

B i)  SL 


* +h  t>u^**Z«J  . ,,;  _ ;JL^  ^ v^u.  — 

pgv-~a 


1^4  atn  »u*4**t«-2oj  * J / ^ <~*  ~~  'l'" 

<^  v r~  1^-3*' ±<>u 


~4  ■ *-  ~\r-  — 

'y  .^^MlCHABLIS  ST1FELI! 
*£&*  ^&  tuncS»bunt  numeri  ad  regulam  Falli  fic  difpofiti, 

- • ^ $<**+  ,0j68~  (y7^ 


9lUe*^1/ 

tt  ab*- 


j^VPt 


&**  t 

|4<AA  - - - - -, 

^ i~S 

//.  I o-  c 4 c^-. 


»3318 

(1x96 

4«\ 

✓ »6 

9 

8y8 

^ 840 

18 

Minus 


0 a ^ pHcatio  trium  numerorum  nr  imer  it  uc,  v i.u.  - 

5,  (W  rtrjTetfc^,  Quaerantur  tres  numeri  fub proportione  dupla, qui  inter 
' - ~ ‘f}*  -^fc -^**Xe  muhiplicatijfadant  »744*3 

' IT*"*  Prior  exempli  figura  fic  ftat. 


:%r~x 


c **£ccx>— 


MF"^*y  •r/ry  v — ~ 

io  *c/tf&yZp» 

- • »*«  5*  7^U«T  y(. 

! e/j^-  . f • ■ t&£  ■ y jG-ci 

7 1-  «*“5$**  7 ?--? 

^-r«  7'_\.9  lJL' 


v , .'  i ( 

_,#/>**  ^**-c  -y  • t/  •«  " 

x. * * «.St  c*  &** *£v: 


-A»?i*rS-2 


S i 


'•«'Z*  <3^*0 

^ \^Qt^s  * * \J> 


1 

10 

4 

xo  • 

8 

40 

1680 

j-xj-d 

7936 

Plus 


6*  * C-I,cf  1 ’ 7 > ___J 

7fe*$oRcxiox  uero  exempli  figura  fic  ftat, 

. *C  . •>  <—»  . — \ • r»  /n 


«<*f  V>t-J  r^0z&'Lf  'K  (~  tsX.  *»/Llo 
l£o~JC£-  j,  t«c«i 

j 7'-*^<*  ■£  . * 

„4. 


-«  ~Z-  f-  ^/V»x  C^-w^-  *<* AOA^y^J:  cj  i *-y< 


»*•  nf.  Xjat^t^y-  t*cctsi>t»J  1A~-'l*,**jJ  • t-f-  - ^ 7*“'  •>  *** 

ffcz?+., '7%?'  £~S  ° C«.nH»aM  J.IK-  -r»  ^C-  • 4° 


APPBN.DIX  REGVIAE  PA1SI. 


99 


Minus 


Vides  ut  hic  pro  receptis  numeris  ad  pofitioncs,recip/antur 
cubi  eorum . Deinde  ex  quotientfbus  inuentis  extrahuntur 
radices  cubicar.Et  harc  fic  fiunt, quod  numeri  tres  inter  ie  mul* 
t/plicantur,  iuxta  exempli  pronunciationem . Numeri  funt, 
7.  »4* 

Aliud  exemplum* 

rQuacrantur  qua  tuor  numeri,  quorum  duo  minores  fint 
(ub  proportione  (eiquitertia:  & duo  maiores  fint  fub^pportione 
fefquialtera.  Duo ucro medij  fint  fub proportione  dupla  «Et 
illi  quatuor  numeri  inter  fe  multiplicati,fadant  i ij-sJ 

Hic  pro  numeris  receptis  ad  politiones,  uidebis  recipi  eorS 
zenfizenfos.  Et  de  quotientibus  inuentis^xtrahentur  radices 
zcnfizenficac. 

Sequitur  figura  exempli  prior. 


■ r 1 


Plus 


6 

9 

8 

IX 

t6 

»4 

*4 

3^ 

17*8® 

14400 

x88o 

Plus 


Sequitur  figura  exempli  pofterior. 


B irj 


Mfcitabiis  Stiibuf 


Plus 


40  96 

*rn*.t  „ ^ 

331776  -7' 

. 17*80 


65-61 
1 10736 
-33«776 
t 6796 l 6 

14400 


28  80 


Plus 


Numeri  exempli  funt , 3.  4.  8,  12.  ■ .* 

Aliud  exemplum  locupletatae  regulae  Falff.  > 
rQuaerantur  quincp  numeri  fub  proportione  dupla, quorft 
multiplicatio  inter  fe  faciat,24883  2.]  1 


<fpO  *'  * * 1 

—‘•i  * » 


Minus 


fl 

\ 2 

2. 

4 

4 

8 

a 

16 

16 

3* 

247808 

216064 

3*744 

Minus 


Sequitur  figura  exempli  pofterior. 


•M. 


Numeri  exempli  iiint,  3.6.12.2448. 

V ides autem  ut  in  hoc  exemplo  recipiantur,  furdefolida  nume 

rorum 


APPENDIX  B.EGVLAE  AILIGA,  100 

-rorum, in  priore  figura  receptoru.Et  radicej  (urdefolidae  quo * 
tientum  inuencorum.dant  numeros  exempli  prarfentis.  > 
Et  fic  de  altjs  exemplis  in  infinitum,quemadmodum  infini- 
tas regulas  cfle  inielligimas , ea  ratione , qua  Chriftophorus 
pofuit  quatuor  regulas  Algebrae : fecundum  quas  Frifiusille 
nobis  fua  mirifica  hac  adaudione, regulam  Falfi  dilatauit  ( ut 
uides)  in  immenfum. 

Haec  modo, pro  inftituto  compendio,  de  regula  Falfi,dida, 
Ad  Petreij  requifitionem,fufticianr, donec  alia  dedero*  -> 


De  regula  Alligationis. 

'T)Oft  regulam  Falfi  /n  precio  eft  regula  Alligationis,  cuius 
< JL  ufus  folummodo  circa  numeros cotra dos  uerfatur.  Quae 
qualis  fit, paucis  exemplis  abunde  fatis  poteft  oftendi.  Videas 
mus  igitur  unum  aut  alterum  de  ea  regula  exemplum* 
Primam  exemplum  de  regula  Alligationis* 

1 FHabeo  uina  duplicisualoris.  Vna  menfura  uilioris  uinJ 
ualet  6 dena. Alterius  uero  uini  menfura  unaualet  r 3 denari- 
olis.VoIo  aut  habere  menfuramunara  commixtam  ex utroqt 
uino  ualentem  8 denariolis, 

• Qiincftio  iam  eft. 

v Quantum  eft  recipiendum  de  utrotyuino? 

Regula  eft , ut  primo  ponas  numeros  alligados,  uno  ordine* 
Deinde  ponasillum,ad  que  fit  allegatio,feor(uir>,ut  hic  uides* 

-6.  13.  Numeri  alligandi. 

8.  Numerus  ad  quem  fit  alligatio* 

Numeris  autem  diipofitis  modo  hoc , differentiae,  inter  illum 
ad  quem  fit  alligatio^;  numeros  alligandos>recipiuntur,&  coi 
locantur  pcrmuratim.ut  hic  uides. 

^ Operatio  talis  uocatur  alligatio. 

6 | 1 13  Numeri  alligandi* 


■Sii 


J_l 


Numerus  ad  quem  fit  &c* 
Differentiae. 


(■  OJ 


Michaelis  Stifelii 

Et  reliqua  perficiuntur  per  regulam  De  tri,  eo  modo  quo 
(ocietates  & diuifiones  pecuniarum  Inter  (ocios : (edicet  ex  ag 
gregatione  differentiarum  fit  diuifor  communis, & ex  ipfis 
differenttjs  (eparatim  pofitis.fiunt  termini  fecundi,  feu  multi* 
plicantes&c.  ficut  hicuides. 

r : i ™ 


facit 


i 

V 


Hoc  eft,7  menftrraede  utrocp  uino  comixtae, recipiunt  r roen*  • 
furas  de  uino  uiliori.Ergo  una  menfura  de  utro<$  uino  coma 
mixta, recipit  | unius  menlurae  de  uino  uiliori. 

Item  7 menfurar  commixtae  ex  utrocp  uino, recipiunt  duas 
menfurasdeuinopreciofiori.Ergo  i menfura  de  utro»  uino 
fic  commixta, continet  ? unius  menfurae  de  uino  preciofiori. 

Probo  fic, 

Vna  menfura  de  udiori  nino,  facit  6 Ergo  j menfurae  de 
eodem  uino,faciunt  4 ? Item  1 menfura  de  uino  preciofiori 

facit  1 3 9s : ergo  f menf.  de  eodem  uino  faciunt  3 7 $.  Faciunt 
autem  (ut  probationem  uideas)  47  3 f &,denarioIos8. 

Exemplum  de  triplici  uino. 

r*De  triplici  uino.uolocommiicere  1 menfuram  ualentem 
7 $ .Primi  uini  ualet  una  menfura  4 Secundi  uini  menfura  1 
ualet  6 ^.Tertij  uini  1 menf.ualet  9 &. 

Sic  fiat  exemplum  ad  alligationem. 
4 6-|  | 9 Numeri  alligandi. 

J 7 | Numerus  ad  quem  3tc, 

x x f 1 » Differentiae. 


Sic  fiat  ad  regulam  De  tri, 
x 

x 1 facit 
4 


f 

i 


Sic 


APPENDIX  &E6T.  COMBINAT,  10] 

Sic  ftat  ad  probationem. 

4 k * »* 

• 6 4 facit  r£& 

9 g 

* Et  fic  de  alijs  regulae  Alligationis  operationibus  & exe m- 
pl is, ex  tjs  quae  iam  funt  dfda, facile  iudicabis.  De  alijs  regulis 
(uidelicet  Aequalitatis,  Augmenti, Decrementi  dCc,)  uidebiS 
mentionem  fieri  in  Algcbra  mea,  , 

De  regura  quadam  Hieronymi  Cardani. 

»♦ 

POnit  Hicron.Cardanus  regulam  qoandam,  de  combina* 
tionum  modis,rerum  quarumcunq*  pofirarum,  quae  mihi 
admodum  uidetureile  iucunda : eam'qj  uideo  ciTe  utilem  pro 
rjs  regulis  ,quas  libro  primo  docui,deinuentione  partium  ali* 
quotarum.quorumcuncp  numero  tum.  Volo  igitur  dc  care  ex* 
emplum  ponere  pro  regula  illa. 

FPofitis  numeris  his  quatuor,  2.  3 . f,  7,  uolo  breu/flimo 
compendio  inuenire  numerum  numerorum  producendorum 
ex  multiplicatione  eorum  inter  Ce.  Hoceft,  quoties  poffit  fieri 
multiplicatio,  nouum  numerum  producens.] 

Regula, 

Pone  progreffionem  Geometricam  duplar  proport/onalifa 
tis, incipientem  ab  unitate , habentem  terminos  quatuor  ( ed 
quod  exemplum  pofitum  habeat  terminos  quatuor  )&  quot 
unitatesfecerfnttermini  progreflkmis  illius,  redatfi  in  unam 
(ummam,demptisuniratibusquatuor  (ed  q>  progreiTio  illa  ha 
beat  terminos  quatuor)  tot  numeri  produci  poflunr  ex  multi* 

Slfcatione  numerorum  horum,2. 3,  j-.  7.  inter  Ce  omnibus  mo* 
is  multiplicatorum,  ut  funt  6. 10.14.  ij.  21.3  f«  30.42.70« 
ioj*.  2 10. Et  hi  numeri  finguli.numeranr maximum  eorum, Id 
eft,2 1 o.tanquam  partes  eius  aliquotar.  Vnde  ka  poteft  exem 
lumuariari. 


C 


f 


) 

Michabu s Stibeui 

TPofitishis  numeris quatuor.i. 3.  3%  7>,pdu<fto'q»  maximo 
numero ,pueniente ex  multiplica tioeeotu  inter  fcCquieft  z io) 
uolo  compendiofe  ihuenire  numeru  partium  eius  aiiquotaj*:.] 

Regula. 

Quot  unitates  progreflio  habet  geometrica  haec  t*  2.4, 3« 
tot  habet  numerus  ille  z 1 0,  partes  aliquotas. 

Habet  autem  progreflio  haec,  1.  2.4.8.  quindecim  unitates* 
Vnde  tot  partes  aliquotas  etiam  habet  numerus  ifte  2 1 o,uide# 
licet  1,2. 3. 5-.  7.6. 10.  14. 15-. 21.33-. 3 0.42,70.105-. 

Sic  numerus  ifte, 2 3 1 o.compofitus  ex  incompofitis  nume* 
fisiftis  2.3.5V7.1 1.  habet  partes  aliquotas  triginta  una  m,ficut 
progreflio  haec  1.2.4. 8.  «S.habet  triginta  unam  onitates. 

Etficdealqs. 

Et  ut  finiam  tandem  appendicem  hunc , dico  efle  impoflibile, 
ut  Arithmetica  talis  fcribi  poflit  ab  homine,  quae  omnes 
huiuftnodi  regulas  & fpeculationes  contineat, 
ita  ut  nihil  amplius  arti  illi  aliquid  egre* 
r . gf)  fuperaddi  pofsit. 

♦ 

1 , *, ' ‘ . . v • \ 

i - fiNif, 


. . . ' * ' • . 

i ■ * . • • 

. * ' • f.  ) 


j 


1 l 


• -'3  102 

DOCTISSIMO  ET  HVMANISSJMO  V 
uiro  domino  Iacobo  Milichio  Medicinae  do- 
dori,fuo  patrono  obferuando,  Michacl 
Stifelius  falutem  dicit* 

* * t ' a'  \ t 

Redo  te  credere,  uir  humaniffime.qudd  nea- 
mini mortaliu  magis  gratificari  ftaduerim 
meo  hoc  labore, quim  tibi.  Satis  hoc  teftatur 
liber  magnus  ille,  qui  occafioncm  praebuir, 
ut  ifta  mea  Arithmetica  tandem  aederetur. 
Illum  enim  tui  gratia  fcripferam,  te  necp  iu* 
bente  necp  rogante,  fed  fponte  mea,  quate# 
nus  tibi  diligentiam  ineam  teilatam  facerem;  qua  ex  paucis 
Arithmeticae  praeceptis,quae  I te  acceperam,tantam  potuerim 
(Deo  fic  dante)  copiam  exprimere.  Videre  enim  potcs,quata 
copia  illam  unicam  regulam  tuam  de  inuentione  digitorum* 
fubextradione  radicum  cubicarum,  adauxerim  in  lib. primo, 
cum  praeter  eam  nihil  haberem, quo  iuuari  poffem  ad  inuenien 
das  radicum  fiirdefolidarum  & bfurdefolidarum  extractiones. 
Videbam  quidem  Apianum  ifta  fcire,fed  ille  prorfus  nihil  do 
cebat  de  ea  re,nifi  q>  punda  fignanda  (ignficabat . Quid  qero 
nunc  promouerim  hoc  libro  fecundo,  tuo  iudicio  committo 
decernendum . Cum  autem  feriptus  fuiftet  liber  ille,  cuius  iam 
paulo  fuperius  memini,&nihil  interim  minusrogitare,quim 
ut  huiufmodi  ftudia  mea  aliquando  proditura  elTent  in  lucem, 
accidit  forte , ut  dominus  dodor  Iuftua  Ionasad  me  quadam 
node  declinaret  in  hofpitium,uir  uidelicer,cuius  ego  comitate 
facilitatem  erga  inferiores  (e,fatis  mirari  nequeam  ,&  ego  el 
(cum  hilariseilem  fuper  tanto  hofpire)  proderem  illum  hbru, 
promifit  fe  operam  daturum  quatenus  typis  excufus  arderctur, 
quod  uidereteumefte  refertum  tam  uarijs  Algorithmis,  bon* 
copia  exemploru  probatis.Id  quod  ipfe  poftea  praeftitit  egre* 
gia  (edulitate  ac  fide.Vnde  ficat  caufam  praecipuam  &C  prima, 

^ C i]  qudd 


qudd  fcrfpta  fit  Arithmetica  haec  i me>in  te  rerjeio:  ita  caufant 
quod  typis  fit  ardita,reijcio  in  praefatum  dominum  Do&orem, 
qui  tunc  erat  epifeopus  meus.  Et  cum  poftea  opus  i Typogra 
phis  differretur,  adeo, ut  &fgo nihil  ampliusiliud  curarem, 
contentus  quod  i Bibliopola  quodam,pecuniam  mihi  pro  Ia» 
bore  meo  promiflam  recepiflem : accidit  uxorem  meam  ad» 
uerfa  ualetudinc  confiidari  adeo  miferrut  ad  fletum  pleruncp 
commoueret  uicinas,  quae  eam  compaflionis  (ludio  frequenta 
bant.  Quam  cum  ope  fuaChriflus  perpharmaca  Sdconfilia 
tua  re(lituifiet,&ego  debita  facere  pararen^refiftebas^iTeue» 
rans exiguum  officiam  temihipracflitiflc.Cumautem  non 
pcrfuaderer,ut  exiguum  ducerem,curafTc  uxorem  como  da  m, 
fidelem ,& in aduerfis  conflantia  probatam,coepidenuome 
conferre  ad  priorem  ratione  gratificandi  tibi  per  Arithmetic2* 
Illis  igitur,quf  necp  eam  nolebant , necp  uolebant  excudere, 
promifi  me  locupletaturum,  ut  uel  fic  detentam  tamdiu,dc  ma 
ntbus  eorum  eriperem, quatenus  per  hanc  occafionem  alij  cui- 
dam Typographo exhiberetur, qui  huiufmodi  artium  ftudia 
diligentius  curaret.Tandem  ita  fucceflit.ut  pro  uoto  talem  in» 
ueniremus,  qui  de  peregrinis  cha  radier  ibus  nihil  (ut  alij)  con» 
quereretur, fed  par  negotio,  & uellet  &,’poflet . Et  fic  librum 
iecundum  tandem  confidenter  adauxi,  decimo 
■ t-  Euclidis, ut  nonfruflriadme,&$mead 

Pctreium,redieritexemplar  i capti 
piutc  fua.  Vale  feliciter* 


MICH  AEL  l'§ 

STIFELII  ARITHMETICAE 

UBER  SECVNDVS,  DE  N V» 

s meris  irrationalibus ♦ 

* v*  •»  .4.  ' 'A 

t • • . A' 

* 

De  efTentia  numerorum  irrationalium» 

Caput  i» 

e r i r o difputaturdenumerisirration»libus,an 
ueri  fint  numeri,an  fidi. Quia  enim  in  Geometri 
cis  figuris  probandis , ubi  nos  rationales  numeri 
deftituunt, irrationales  fuccedSt,probant'c$  prae* 
c iie  ea,  quae  rarionales  numeri  probare  non  pote* 
rant, certe  exdemonftrationibus  quas  nobis  cxhibcnt:moue* 
mur  8t  cogimur  fateri,  eos  uere  efle,uidelicet  ex  effc&ibus  eo- 
rum .quos  ientimus  e fle  reales,  certos,  a tep  confla  ntes. 

At  alia  mouent  nos  ad  diuerfamaflertionemyutuidelfcet 
cogamur negare,numeros  irrationales  efle  numeros. Scilicet, 
ubi  eos  tenta  ucrimus  numerationi  fubijcere,atcp  numeris  ratio 
nalibus  proportionari.inuenimus  eos  fugere  perpetuo,  ita  ut 
nullus  eorum  in  feipfo  praecife  apprehendi poflit : id  quod  in 
refoluci5ibus  eoru  fentimus,ut  inferius  fortefuo  loco  oltenda. 
Non  aute  poteft  dici  numerus  uerus,qui  talis  eft  ut  prarcifione 
careat,&  ad  numeros  uerosnullam  cognitam  habeat  propor* 
tionem.Sicut  igiturinffnitus  numerus.no  eft  numerus:  ficirra 
tionalis  numerus  non  eft  uerus  numerus.q»  lateat  fub  quadam 
Infinitatis  nebula.  Sit'q?  non  minus  incerta  proportio  numeri 
Irrationalis  ad  rationalem  numerum.quam  infiniti  ad  finitum» 
Deinde,  fi  numeri  irrationales  eflent  numeri  ueri,  tunc  aut 
edent  integri,aut  eflent  fra  di.Fradps  autem  numeros(ut  flet 
diftindio  debita)  uoco  eos. qui  conflant  numeratore  & deno- 

1 • C itj  minatore 


K.  O 


r::  Michablis  Stifelii 

minatore,ita  ut  inter  duos  aliquos  numeros  integros  Sffmnrtk 
diatos  cadant ; ut  8f  feu  ^ cadit  inter  8 & 9. Necp  enim  ^ aut 
inter  frados  numeros  recipiojed  inter  integros  &c. 

Quod  autem  numeri  irrationales  non  fint  numeri  integri, 
facile  oftenditur.  Quilibet  enim  numerus  irrationalis,  cadit 
Inter  duos  aliquos  numeros  immcdiaros.V t 6 cadit  inter  x 

& 3 & 1 II  1 z.  1 3 . A 1 4- A » cadunt  inter  3 & 4, 

Et  fic  de  alijs.  Satis  autem  confiat, ut  inter  duos  numeros  inte- 
gros immediatos.nullus  cadat  numerus  integer,  id  quod  ratio 
uocabuli  manifefte  tradit.  Ergo  nullus  numerus  irrationalis 
potefi  efle  numerus  integer.cu  (inguli  cadant  inter  imetftaros. 

Item  nullus  numerus  irrationalis  potefi  efle  numerus  fra- 
dus.Impoflibile  enim  eft,ut  ex  multiplicatione  numeri  fradi, 
jnfe,fiat  numerus  integer.  Sed  numeri  irrationales  multiplica 
tione  fui  in  ie,faciunt  numeros  integros : ut  y*  6 in  ie  quadrate 
facit  6,&  y^  6 in  fe  cubice  facit  &&o.Ergo  numeri  irratiomu 
les  non  funt  numeri  fradi.  Antecedens  patet.Si  enim  denomi- 
nator non  numerat  numeratorem,  multo  minus  quadratum 
denominatoris  numcrabitquadratunumcratoris.Item  multo 
minuscubusdenominatoris  numerabit  cubum  numeratori*, 
ot  fiat  numerus  integer  &c.Vndeficut  nullus  numerus  inte- 
ger multiplicatione  fui  in  fe  potefi  producerenumerumfra- 
dum.fic  nullus  numerus  fradusmultiplicatioe  fui  in  fe  potefi 
producere  numerum  integrum,  r 

Item  quilibet  numerus  fradus,  certam  habet  cognitam'cp 
proportionem  ad  quemlibet  numeru  integrum  ;fed  nullus  nip 
merus  irrationalis  habet  certam  cognitam'qg  proportionem 
ad  ullum  numeru  uel  integrum  ucl  fradum,  ut  paulo  fuperiiis 
dixi.Ergo  numerus  irrationalis,  ficut  no  potefi  efie  numeru* 

, integer,(ic  etiam  non  potefi  efle  numerus  fradus.  } 

Item  licet  infiniti  numeri  fradi  cadant  inter  quoslibet  duos 
•numeros  immediatos,  quemadmodum  etiam  infiniti  numejri 
irrationales  cadunt  inter  quoslibet  duos  numeros  integros  im 

mediato» 


Arithmeticae  Liber  ir.  104 

. ifiediatos.Exofdfnibus  tamen  utrorum  cp  facile  Hfuidere.ua 
nullus  eorum  ex  fua  ordine  in  alterum  pollit  tranfmigrare.; 
N ihil  igitur  eft, fi  cogites  numer u aliquem  irrationalem  pofle 
coinciderc  cum  aliqao  numero  fratflo  propter  infinitatem  fan 
(ftor  um.Sed  uideamus  ordines  quorum  mentionem  feci. 

Ordo  fra dorum  inter  2 & 3« 

2^, 2 y, iy,  2?»  Et fic dein- 
ceps in  infinitum. 

Ordo  medialium  cadentium  inter  2 8i  3. 

8.*/rt  p.Jct  10.  Jct  1 !,»/(*  12  ./c«  13. 

14. iy.yct  i^.yct  i7.y*  is.y^  i^.yct  20. yct  2 »* 
y^c.  2i«yre  23.  y^e  24,  yct  23-.  yce.  26.  y^i7»yi%  «y^  »?. 
y%&  20.  y^%  2 i,y^  2 2.  y$%  23,  y^  24.  y$&  26.  Et  fic  deinceps 
in  infinitum. 

Non  temoueat  in  ordinibus  illis,  quod  nulla  (eruatur  ue] 
proportionalitatum  uel  progreflionum  lex . Res  ordines  fic 
poftulant. 

Quid  Euclides  fenferit  de  numeris  irra* 

xionalibus,  Cap.  jj.  • 


| L a n e negat  Euclides , propofit/one  quinta  iu£ 
decimi  .numeros  irrationales  eflfe  numeros.  < 
&mninm, inquit,  buarum  quantitatum  com* 
munitantium  eff  proportio  ranqun  numeri  ab 
numerum.  Sequitur  certe,  proportione  duarum 
quantitatum  no  communicantium.non  efie  tanquam  numeri 
ad  numerum.  V t ficut  proportio  y%  24  ad  6 , eft  proportio 
tanquam  numeriad  numerum , uidclicet  tanquam  4 ad  2 : fic 
proportio  y%  24  ad  8 , eft  proportio.tanquam  non  numeri 

ad  numerum , uidelicet  tanquam  y%  1 2 ad  2 . Sic  y*  8 ad  24 
eft  proportio  tanquam  numeri  ad  non  numerum, uidelicet  tan 
' i quam 


JWJCHAELIJ  STlPELir 

cniam  iad^i  a.Satis  igitur  patet,Euclidem  negare  numeros  . 
irrationales  efle  numeros.  Hinc  Campanu^qui  Euclidem  iiw 
tellexit,afleruit  propofitionem  undecimam  fecundi  libri  EucU 
dis,non  poffe  probari  per  numeros,  Dodior  autem  fuit  Cam- 
panos.quim  ut /gnorauerit  undecima  illam  polle  probari  per 
numeros  irrationales:  fed  negauit  hoc  quod  Euclides  negat,ui 
delicct  quod  numeri  irrationales  fint  numeri* 

Nec  tamen  Euclides  uoluit  eos  omnino  efle  nihil,  cum  eis 
pulchre  ufus  fit,  tanquam  numerorum  imaginibus, pratiertim 
in  fuo  decimo,ubi  eos  fub  duplici  cofideratione  tradauir,uide 
licet  in  ,ppofirionibus  prionbus.tradauir  cos  tancp  abftrados, 
nomine  quantitati! : & in  reliquis  propofitionibus  libri  illius, 
tradauir  eos  tanquam  conrrados,  redo  uidelicet  & pulchro 
ordine.  Qu6d eninvEuclides  uocabu»o  quantitatis  noluerit  Ii 
neas.fuperficiies.atque  corpora  generaliter,  hoc  loco  rradare, 
led  potius  abftrados  numeros  irrationales,quos  pofica  trada 
tet  contrados,uidetur  ipfe  fatis  indicarr  Sc  primo  /n  definitio 
nibus.  Aliter  enim  loquitur  de  commenfurabilitate  & imcom 
mcnfurabilit a te  quantitatum,  ateg  aliter  de  comenfurabclirate 
& incommenfurabilitate  linearum, ut  ftudiofe  fignificalTe  uide 
atur, lineas  non  comprehendi  fub  quatitatis  uocabaio,eo  loco. 

Si  autem  lineas  no  uult  comprehendi  fub  eo  nomine,  quid  tum 
uotetfNumcopora  Qi  fuperficies  < At  corporum  nullam  facit 
mentionem  per  totum  librum  decimum . Et  ne  quidem  iiipefi» 
fides  curat  in  decimo  tradare,nifi  quantum  ratio  dicendorum 
de  lineis  ipftim  cogir.In  cuius  rei  fignum  fpecies  fuperficierum 
irrationalium,data  opera,difTimulat,ac  negligit  aded.ut  ne  ii* 
las  quidem  nominare  uoluerir.  Sic  em  propofitione  txv.dicit: 

Si  dux  fuperfides  coniungantur, quarum  altera  fit  rationalis,, 
altera  uero  medialis  &c.Dicere  autem  poterar,Si  fuerit  fuper- 
fides binomialis  &c.  Et  propofitione  fequenti,cum  dicere  po- 
tuiflet,Si  fuerit  fuperficies  binomialis  terriar  aut  fextar  fpecici, 
fic  dixit:  Cum  coniundae  fuerint  duae  iiiperficics  mediales 


Arithmeticae  Liber  ii.  j o? 

(hat  folummodo.id  eft.mediales , ex  irrationalibus  nominat) 
fncommenfurabiles  dic.  Sic propofitionc  103  fimili  diffimula 
Itone  noluit  nominare  refiduales  fuperflcies  prim*  di  quartse 
fpede/.Ec  fequenti  propofitiortenoluit  nomftiare  fuperficieii 
refidnales  fecundae  oi  quintae  fpeciei.cum  tame  de  his  fpccfcbus 
ageret.  Et  fimiiiter  propofitionc  105-  noluit  nominare  faperfl* 
cies  refiduales  tertiae  & Textae  fpeciei , ut  certo  Teias  eum  de  iii* 
perffeiebus  nihil  agere  uoluifife  in  decimooufi  quantum  linea* 
ram  irratfonalifi  expofitio  hoc  exegifler.Setfdc  his  etiam  alibi 
dicam  in  Tods  iuis. 

Dc  definitionibus  decimi  libri  Eucttdif r 
Caput  in, 

d integram  tractationem  numerorum  irr a* 
t/onalium.  pertinet  liber  decimus  elementorum 
Geometri*  Euclidis . Ideo  uolo  illum  huc  ad  me 
recipere,  fufpectamty  illius  difficultatem  ( Deo 
uoIente),pfligare,&  i definitionibus  eius  incipe. 

In  definitionibus  aute  phrafim  propofftionum  Tuarum  pau« 
cis  fubindica^eas^nihdominus  uice  argumenti  pofuilie  ui« 
detur, quod  ordine  meminerit  quantitatum, linearum/uperfi* 
cierum'cg>&  i Tuperfidebus  ad  lineas  pofiea  reuerfus  (it. 

TPrimo  meminitquantitatS,dicens:(koantttate8  quique 
fuerit  pna  quantitas  eae  numerans»  comenfurabtlee  Mcun- 
tur.Vt  numerat »4  &c. (kuibueuero 

non  fuerit  t>na  quantitae  communis  eae  numerane.  bicun* 
turincomm<nfurabiIed.ut^i8  diJwi6i* 

Volo  hic  i principio  huius  tractationis  mear  ponerefigura, 
f ut  pagina  uerTa  uides ) in  qua  omnia  quar  de  definitionibus 
dicenda  ueniur,  tanquam  in  fpeculo  quodam  infpicerepofiis. 

D 


M 

Quadratum  illud  modicum,  lignatum  1/tera  e , eft  mcnfura 
communis  quadrati  lineae  a b,&  quadrati  lineae  b d.  Ergo  qua 
drata  nominatarum  linearum  fune  comenfurabilia . Numerat 
autem  quadratum  e , praedida  illa  quadrata , quemadmodum 
onitas  numerat  quemlibet  numerum  rationalem  : fcilicet  dum 
enumerat  quadratum  maius,fadt  1 8,  & ex  minore  facit  p. 
Numerat  etiam  e triplicatu,ambo  quadrata  illa  Sic  Jam  (icon 
trahas(exempligratia)hanc quantitatem 6,ad  quadratu  e, 

faciet 


Micmaelis  Stifelii 
yil8  - /*;'J 

i> 

Ct 

M 


Arithmeticae  Liber  ii*  i oS 

faciet  quadratum  lineae  a b :& quadratum  lineae  b d faa 

ciet y%ip44.Etfcies tam  quantitatem  6 ede  menfuram  com 
munem  utriufcp  quantitatis.  Scies  etiam  */%  5-4  (id  eft,  triplam 
ad  6)  numerare  utranqj.  Atqjifto  modo  facile  dabis  quot# 
quotuolueris  exempla  quantitatum  commenfurabilium. 

Haec  ideo  dixi,  ut  intelligas  quim  comodum  fiteonfiderare 
numeros, modo  ut  funt  abftradi , modo  ut  funt  contratfri . Et 
quamuis  res  haec  algorithmum  requiraqquem  inferius  ponam 
capite  fexto,  nihilominus  tamen  pergaro,ut  definitiones  red* 
dam  perfpicuas. 

Sic  autem  iudicabis  quantitates  eflecommenfurabiIesai.it 
<nc5menfurabiles,Pofitis  duabus  quantitatibus,!?  ex  diuifione 
unius  per  alteram, proueniat  quotiens  rationalis,  tunc  quanti 
tates  illae  duae, erunt  comenfurabiles.fcu  (quod  idem  eft)  com 
municantes,Vtdum  diuido,/%7*6oo  per%/%  xpcn.tuncpro* 
ducitur  7%  2 y,  id  eft  5*.  Sunt  ergo  quantitates  illae  adfnufcem 
commcnfurabiles.Sic  dumdiuido  ,/%  7x600  per  ^46464 , pro 
ducitur  Airf.idea  «i  funt  ergo  quantitates  illae  etiam  com- 
menfurabiles.Si  uero  ex  diuifione  unius  per  alteram  fiat  quo- 
tiens irrationalis,  erunt  duae  quantitates  illae  incommenfurabi 
les,ieu(quod  idem  eft  )non  communicantes.Vt dumdiuido 
y%48  per  8,produciturquotien3  ille  irrationalis  Ergo 
quantitates  illae  funt  incommenfurabiles. 

Vt  autem  inuenienda:  fint  menfuraecommunes>uidebimu» 
circa  propofitionem  tertiam  decimi, 

r Sccfido  meminit  Iincarum.dicens:  [iinee  potentia  coiit* 
mciifurabilca  bicuntur  > quarum  quabrata  nunterar  x>n<r 
communia  fuperfleiee.]  Quafi  dicat : aliter  loquimur  de  com 
menfurabilitate&incommenfurabiIitatequantitatum(id  eft, 
numeroru  irrationalium)  abftracftarum : atq*  aliter  loquimur 
deeifdem,quando  contrahuntur  adlineas . Quando  enim  lo- 
quimur decommenfurabilitate  quantitatum , tunc  nulla  uti- 
mur determinatioe  diftinrtionis,  (ed  (impliciter  dicimus, duas 

D ij.  quanti 


Michabus  Stifelii 

'quant/tates,aut  e(Te  commcnlurabiles.aut  incomenfurabiles,. 
Sed  quando  loquimur  de  commenfurabilitatclinearum.tunc 
utimur  aliqua  determinatione  diftinguunte  ,di  non  cam 
(impliciter  loquimur.  Vt(  exempli  gratia ) lineas  a b &bd, 
fuperioris  f?gurae,uocamus  commenfurabiles.led  non  (impli- 
citer, funt  enim  in  (eipfis  ad  inuicem  incommenfurabiles , fed 
uocamus  ea$  commenfurabiles  potentia.  Quia  lineae  quarum 
quadrata  numerat  una  communis  (uperficies(ut  quadrata  line 
arum  ab&bd,  numerat  (iipcrfides  e , item  utrancg  etia  nume 
ratfuperftcies  k e L.fcilicet  ternarius  numerat  9 di  1 8)  dicatur 
commenfurabiles(etia  m (i  in  fcmetipfis  adinuicem  fint  incotru 
menlurabiles)  potentia. 

Deinde  adhuc  aliam  reftri&ionem  facimus.Cum  enim  ora 
nes  lineae  longitudine  rationales,  ad  inuicem  fint  commenfu- 
rabiles potentia  di  longitudine  (ut  a b ad  a b c dic.)  Item  tnul 
cae  lineae  rationalespotentia  tantum,  fint  adinuicem  commen 
furabiles  potetia  di  longitudine  (ut  eft  b d ad  b d p,id  eftVfc  1 8 
ad  7 i.  item  b d f ad  b d f g,  id  eft  7 * ad*/%  1 6 i dic,)  Itera 

mulrae  etiam  aliae  lineae  irrationales  longitudine  & potentia» 
fint  ad  inuicem  commenfurabiles  potentia  di  longitudine  ( ut 
eft  b C ad  b c H,id  eft , Jw  1 6 i ad  J fcfc  15-91  dic.)  quaedam  uero 
in  (eipfis  fint  adinuicem  incommenfurabiles,licet  quadrata  ea» 
rum  fint  commeniiirabilia  ( ut  funt  lineae  a b di  b d , id  eft  3 di 

1 8) : ideoquafdam  lineas  uocamus  commenfurabiles  longi 
tudine  di  potentia,  id  eft,  commenfurabiles  (impliciter : alias 
uero  uocamuseommeniurabiles potentia  tantum » id  eft,com» 
snenfurabiles  fecundum  quid. 

Sequitur: 

tincc  autem  petentia  incotnmenfurabilee  bicuntur ,qn«- 
rum  quabrata  non  numerat  t>na  communio  fuperftcice.  Vt 
lineae  fuperioris  figurar,  a b6C  Bc,itent  b D&BC.Iropoftibileau 
tem  eft,ut  duae  lineae  potentia  incommenlurabiles,  pofiint  e fle 
longitudine  commenfurabiles ; ficut  nccefle  eft,ut  duae  Iinex 

longi» 


Arithmeticas  Libbr  it.  107 

longitudine  comenfurabiles.fint  etia  poteria  comen  furabileS. 

Omnes  trero  lineae  tredecim  fpecierum  irrarionaI/um,quas 
ponit  Euclides,funt  poteria  incQmmenfurabiles,ad  quamlibet 
lineam  rationalem : ficutiomnes  Jineae  potentia  tantum  ratio* 
nales.funt  potentia  tantum  commenfurabiles,  ad  lineas  ratio- 
nales longitudine. 

Vnde  iequitur  in  Euclide : Que  cum  ita  fint,  manifeflwn 
eff  >quob  cuilibet  linee  poftte.multe  alie  linee  funt  incommen 
furabiles,que&ani  in  longitubine  tantum, quebam  in  longi* 
tubine  et  potentia* 

Lineam  politam  uocat  eam,  qua  (ut  mox  dicet)  ratiocinar 
mur.Ea  non  eft  alia,qu*m  rationalis  longitudine.  Omnes  aflt 
linear,quaead  lineam  aliquam  iongitudinerationalem,func 
commenfurabiles  potentia  tantum(utfunt  omnes  lineae  poten 
Cia  tantum  rationales  ,f?cut  paulo  fuperius  dixi ) funt  ad  eam 
incomenfurabiles  longitudine  tantu,ut  faris  patet , Et  omnes 
lineae, quae  ad  Uncam  aliquam  longitudine  rationalem  diintpo 
tentia  incommenfurabiles  ( utfunt  omnes  lineae  tredecim  fpe 
cicrum,Gcut  paulo  fuperius  dixi ) funt  etiam  ad  eandem  longi 
tudine  incommenfurabiles.  Scilicet  polita  linea, fuperioris  fi- 
gurae,eft  a B,ad  hanc  eft  incommeniurabilis  longitudineiinea 
a d,&  linea  b d f,&  linea  b d f g,8>C  linea  bdfg  B.Et  ad  eandem 
pofttam,eft  incommeniurabilis  in  longitudine  & potentia, li- 
nea b c,&  linea  b c h,  & linea  b c h if£dinca  b c h i b,&  linea 
cbn;  item  etiam  linei  c b i,&c.  ' 

Sequitur: 

Omnis  autem  linea  poftta , a qua  tatiocirtamur,Docetur 
rationalis,  iLineefcg  ei  commenrurabiles.bicnrur  rationales* 
A£ibem  autem  incommenfurabiles.bicuntur  irrationales. 

Lineam  politam  uocat  eam,  i qua  incipimus  ratiocinatio- 
nem,qua  oportet  cfle  rationalem  in  longitudine,  jncipitmim 
srariocinatioifenftbiliternoto.NulIus  autem  ienlus percipit 
Jinca  cfle  irrationalem;  ied  irra  tionalis,ex  ratiocin  atione  fa  da 

D iij  i ratior 


Michaelis  Stifelit 

I ratfonali, apprehenditur  eflfe  talis . Sunt  autem  ualde  uarte 
ratiocinationes,*  lineis  6i  fuperficiebus  rationahbus.ad  irrati 
onales  lineas  & fuperffcies , quarum  unam  exempli  caufa  uolo 
ponere, fecudum  figuram  priorem.  Sit  linea  polita  a b,  figurae 
fuperioris:quaecumdiuifafitintres  partes  inter fe aequales^ 
ab  ea  ad  dia metrum,(ic ratiocinor.  Lineam  a sdiuiditharepar 
ticula n o, fecundum  hunc quotientem 4,&  eadem  particula 
n o.diuidit  diametrum  b m fecundum  hunc  quotientem  i 8* 

Ergo  licut  pro  linea  A B ponitur  numerus  3 : fle  pro  linea  b m, 
feu  b d (eaedem  enim  funt)poniturquantitasy&iS.Et  non  po 
terit  linea  b d , aliam  quantitatem  recipere,  nifl  mutetur  diui 
(io  lineae  a b , Nec  linea  b c (ad  quam  poftea  ulterius  pergo) 
poteft  aliam  recipere quantitate.ab  hac  Jw  16  i,dCc.  At  fi  mu- 
tetur diuilio  lineae  politae , id  eft,  a b>  tunc  omnia  uidebuntuf 
mutari.  Vt  fi  A B diuida  tur  in  partes  8,  tunc  B o habebit  hanc 
quantitatem  1 18 : & quadratum  eius  habebit  1 *8.  Linea 
uero  BC  habebit  hanc  quantitatem  J %%  8 19 1 :8i  quadratum 
eius  habebit  8 191.  & eandem  quantitatem  habebit  etiam 
(uperficies  contenta  lub  ABdiBG,  Atcp  ita  omnia  dependene 
i diuifione  lineae  politae. 

Vbi  Euclides  pofiea  dicit, quod  lineae  comtnenfurabilesieu- 
communicantesdincae  politae,  Qi  quae(caula  fundamenti)dica 
tur  rationalis  (cum  uidelicet  talis  fit  & longitudine  & potetia) 
dicantur  rationales:  eidem  autem  incommenfurabi!es,leu  non 
communicantes.dicantur  irrationales,  cgotfecundum  ea  quae 
dixi liiperius  cap.  x.)  fic  arguo. Linea  B D.fuperioris  figurae, eft 
incommenfurabilis  lineae  politae  a B(quia  nullam  habent  men 
furam  communem  eas  numerantem)  ut  1 8 uere  eft  incom# 
menfurabilis  huic  numero  3 . Ergo  b d non  dicitur  rationalis, 
fed  irrationa!is,&  contraria  huic,quae  fuperius  dida  iunt(uide 
licet  quod huiufmodi  quantitatum  lineae  dicantur  rationales) 
(unt  falfa. Dicit  enim  Euclides  hic,quod  lineae  incommenlura# 
biles  lineae  pofitae,jd  eft,  rationali  in  Iongitudinc,dicantur  irra 
‘ , tionalea 


Arithmeticae  Liber -/ii,  fo 8 

ttonalcs.Rcfpondco  (fecundum  ea  quae  fuperius  dixi  cap.i.) 
licet  linea  b d incommenlurabilis  fit  longitudine.ipfi  lineae  po 
fitar  B D,  non  tamen  eft  ei  incommenfurabilis  potentia!iter,& 
hoc  fufficitut  ipfa  linea  b d dicatur  rationalis.  Illae  aute  lineae, 
quae neqp  longitudine,  necp  potentia  commenfurabiles  funt, 
lineae  politae  ( ficut  funt  b c >&  m p ) dicuntor  folummodo  irra 
tionales,  apud  Euclidem. 

FTcrtio  meminit  Euclides  fuperficierum  non  alia  ratione, 
qu£m  quod  illis  utatur  ad  ufum.pro  Iineis,commodum,a tq*  ex 
eis  rati ocinctur  ad  lineas.ut  iam  dicam.  Dicit  itacp : [Omnia 
quabrata  fuperfkiea,a  qua  per  bypotbeftm  ratiocinamur.bi 
<itur  rationalia . l£t  ftipei  ficte  a ei  comttienfurabtLea  bicutur 
rationales  .iCibcm  autem  non  communicarce,bicuntur  irra 
tionales.  latera  vero  que  in  illae  quabrataa  fupetfictea  pof- 
funt>bicuntur  irrationalia.] 

Propofitione  decima  quinta  fui  decimi.  Inchoat  Euclides 
curium  ratiocinationis  fuae  principa!em,i  fuperfide rationali, 
contenta  fub  I neis  rationalibus  in  longitudine,ut  fuo  loco  ui* 
debimus.Scilicet  (ut  Si  hoc  loco  etiam  hanc  irem  parum  tanga 
mus ) ficut  lineam  quadrati  abn  m,  fu  per  toris  figurae,  quam 
Collam  uocant,  cogitur  uocarc  rationalem : ficlinea  quadrati 
B D F G etiam  uocat  rationalem, cum  utraqj  linearum  fit  colla 
quadrati  rationalis.Licet  autem  quadrata  iHa  duo , (pede  non 
differant, cum  unum  aeque  fit  rationale  ut  alterum,Iineae  tame 
quadratorum  illorum  inueniuntur  differre  fpede.  Atque  ita  ex 
(uperfidebus  duabus  rationalibus  quadratis,ratiocinatur,  Qi 
colligit  tandem  duas  fpecies  luas  rationalium  Iineapt.  Deinde 
ficut  lineam  B d uocat  rationalem,*  quadrato  fuo  rationali ,cu 
lus  eil  colla, fic  lineam  b c uocat  medialem,£  quadrato  luo  me* 
diali,cuius  ell  colla.  Atcp  ita  ex  talibus  lineis  quadratorum^ 
delicet  medialium.formatfibi  Euclides  fpeciem  irrationalium 
Jinearum  primam. 

Reliqua  in  defiaitionibus  faciliora  funt, quam  ut  expofitioe 

egeant 


MlCHAEUS  STIFELIT 

egeant : fdlicet  quadratum  lineae  a b,praefupponittir  tali  rado 
cinationi,  quali  Euclides  omnia  inuenir,quae  propofuit.  i pro- 
pofitione  fui  dedmi  quintadecima  ufep  in  finem  libri  illius  5Cc 
tBt  fbperftciee,  inquit.que  illi  funt  commenftirabilce  ( ut 
cft  quadratum  lineae  b d )bicuwtur  rationaleo.JStbcni  autero 
non  commcnfurabiles  Cuteft  quadratum  lineaebc,item  qua* 
dra  tum  lineae  m p uel  p f,  conflans  ex  duobus  quadratis  ratio* 
nalibus.figurae  noftrae,&  fuperficie  q duplicata  ) bicuntur  irra 
tionalco.iatera  vero  (-  fic  redirifugficiebus  ad  lineas,utoften 
dat  (e  omnia  quae  de  fuperficiebus  dicit,  dicere  propter  lineas) 
que  in  ilfoerquabratae  fuperffcieejpofiiint  (ut  eft  linea  a b , ite 
linea  m p)  bicuntur  irrationalia.  Quia  funt,ut  oportet, longi-- 
cudine&  potentia  irrationalia. 

De  fpccicbu»  numerorum  irrationalium^ 
Caput  mir 

r avtim  nihil negligam eorum, quae ad HatUK 
tam  i me  tradationem  pertinent , uolo  (anteit 
propofitiones  Euclidis  ad  manus  recipiam)  dc* 
fpcciebus  numerorum  irrationaliumabftrado- 
nim  agere.  Sunt  autem  quaedam  fpeciesprind* 
pales.quaedani  minus  principales.  De  principalibus  prius  di- 
cam,pofltea  dicam  de  alijs  fpeciebus. 

De  ipeciebus  principalibus  numerorum  irratio*’ 
nalium  abftradorutoi. 

V Quinqj  autem  fimt  (pedes  irratio 
nalium  numerorum  abftradorum« 

PRima  fpeciesuocatur  Simplicium,^  haec  continet  Media 
les.Sunt  autem  mediales  numeri,  quaedam  radices  furdae, 
numerorum  rationalium, & iubdiuiduntur  in  fpecies  infinitas* 
Prima  medialium  (pedes  continet  quadrate  mediales,  quo* 

tum 


Arithmeticae  Liber,  ii.  iop 

rum  fignum  eft  Hoc  enim  fignum,  fi  prarponatur  numero 

«nonali  , radicem  quadratam  non  habent/, continuo  ex  ratio- 
nali fit  medialis  quadrate. 

Secunda  medialium  fpec/escotfnet  cubice  med/ales,horum 
fignum  eft  At. Quod  fi  prarponatur  numero  rationali,  radice 
cubicam  no  habenti,fft  ex  rationali  medialis  cubice.utyrt.  1 6. 
Quado  autem  praeponitur  numero  ratlonali.habcntiradicem 
cubicam, tunc  manet  numerus  rationalis,  ut  vte$4,6cft4.Sic 
quando  fignum  medialium  quadrate,praeponiturnumero  ra« 
tionali  quadrato , tunc  manet  numerus  aliquis  rationalis . ut 
facit  4. 

Tertia  fpecles  med/aI(um,uocatur  zenfizenficc  medialium: 
horum  fignum  eft  Si  hoc  fignum  prarponatur  numero  no 

habenti  radicem  zenfizenficam,  nem  zenficam,feu  quadrata, 
tunc  efficitur  numerus  medialis  zenuzenfice.ut  24.S1  autl 
prarponatur  numero  non  habenti  radicem  zenfizenficam,ha* 
benti  uero  radicem  quadrata,tunc  efficitur  medialis  quadrate, 
ut  Al  *4,facit  A 8. Si  uero  prarponatur  numero  rationa!i,ha« 
benti  radicem  zenfizenficam,  tunc  manet  numerus  aliquis  r a* 
tional/s.  ut «/%%  1 2cx$,facit  6 . 

Quarta  fpccies  medialium,eft  furdeiolide  medialium:  horff 
fignum  eft  . Quod  fl  numero  rationali  fuerit  prarpofitum, 
qui  non  fit  furdefolidus , conftituitur  medialis  furdeiolide . ut 
y/?  i z • At  jji ) 2 , facit  2,  &c. 

Quinta  fpeciesdicitur  medialium  zenficubice:horum  fignil 
eft  y%c*.ut  1 2.  At  y^c*  3 6»facft  ^ 6:&  y*rt  2 1 tf.facit  A 61 

& y 01466?  6,  fecit  6, 

Sextar  fpeciei  exemplum, eft  Sbfiu : eft  enim  mediali» 
bfurdefolidar. 

Septimar  fpeciei  exemplum  JWd  1 1 : eft  enim  numerus  me« 
dialis  zenfizenzenfice, 

• Otf  auar  fpeciei  excplum  Jcct  1 2 : eft  em  cubicubice  mediaP. 

Nonae  fpeciei  exemplum  1 2;  eft  emzenfurdefolide  med. 

£ Decimat 


MlCHAEliS  STIFELM 

Decimae  fpeciei  excplum,  Jcfi  1 1 : eft  em  cfurdefolidae  m ed. 

Vndecimae  fpeciei  exemplum^/fcfctf:  i z. 

Duodecimae  fpeciei  exemplum,*/d/5.  Et  fiede  alrjs. 

Ex  rjs  lpeciebus  poteris  iudicare  de  alqs.Horum  autem  ligno- 
rum inuentionem  docebo  in  mea  Algebra. 

Licet  aute  hae  fpecies  dicantur  Simp1ices,tamen  figna  earfi 
inueniuntur  eflfe  compofita  faepiflime.Vt  liare  figna  funt  com 
pofita : Jw . tf.  7%%% . . Jtf . Jifttf . J%bp.  Jtf.fl . Jmft» 

J^ctf.&c.  Sed  haec  fcquentia  figna  funt  fimplicia : v/% . Jtf.  Jfc 
Jbfi.  Jcfi.Jdfi.  & c.Satis  autem  intell/gis,utuox  figni}8c  figura 
figni  fc  muto  pona  nt. 

Exiftimo  ego  ( ut  de  ratione  uocabul/  difputem)  Mediales 
dici.propter  media  proportionalia.qua?  per  mediales  numeros 
inueniuntur.Poteris  enim  (medialium  bencficio)inrcr  quosli- 
bet duos  numeros,media  proportionalia  c5fti  tuere, quotquot 
libuerit. Sed  de  hac  inuentionc  infri  dicam  fuo  loco. 

Numeri  etiam  rationales,redudf  ad  figna  medialia  (de  qua 
redudione  in  Algorithmo  medialiu  dicam)  ufus  fuos  habent* 
Nam  quoties  medialium  aliquisuenerit  multiplicandus.aut 
diuidendus,per  numerum  rationalem,tunc  rationalis  ille  redu 
citur  ad  fignum  illius  medialis.  Sed  haec  ad  Algorithmum  per 
tinent.  Item  numeri  rationales  fubfignis  medialium  redudi. 
pulcherrime  probant  regulas  Algorithmorum  quafcuncp.de 
numeris  irrationalibus  dabilesiquoties  uidelicer  pro  exemplo 
regulae  probandae  aflumuntur  &c.Sed  &i  haec  ad  Algorith* 
mos  pertinent* 

f Secunda  fpecies  numeroru  irrationalium,uocatur  Come 
politorum : Qi  habet  duas  fubfpecies. 

Prima  uocatur  bimedialium,&  fit  ex  additione  medialis  nu 
meri  ad  medialem, ciufdem  fpeciei  medialiu.  Vt  J$  i * -f-A  8, 
item  Jtf  i z-f-y(*6,item  J}&  1 8-f-Ja6MeJj?i8  -f—Jfi  i z 6(c* 

Secunda  fpecies  compofitorura,  uocatur  binomialium : & 
fit  ex  additione  medialis  numeri  ad  rationalem, uel  ad  media# 

1(0, 


Arithmeticae  Ltber  'ii.  iro 

fem,  alterius  tame  fpeciei  mcdialiu.  Exemplu  primi  6-f-Jy  n, 
item  Jy  1 2 -f-  2 . Exemplum  fecundi  Jy  1 2 -f-  Jrt.  i x , itent 

De  Ggnis  illis  duobus  -f-  & — . 

Quando  addenda  funt  duo  incommenfurabilia,  uelduoaTf 
qua.quorum  proportio  ignoratur  ( ut  in  cofltcis  numeris  ferd  ' 
ubicp  fit)  tunc  interponimus  fignum  hoc  -f-  ipfis  addendis, 
d/cimuscg  ita  completam  e fle  addicionem.Et  hac  ratione  uo* 
eatur  fignum  additorum. 

Simili  ratione  uocamus  fignum  hoc — .fignum  fubtrado- 
rum : dum  em  fubtrahere  uolumus  a!iquid,ab  alio  fibi  income 
menfurabili , aut  ab  eo , cuius  proportio  ad  fubtrahendum  cft 
ignota.tunc  utimur  illo  (igno.ut  in  exemplis  tanquam  compo 
litorum  uidebis  paulo  inferius. 

fTertia  fpecies  irrationalium  numerorum,  uocatur  radi- 
caliumcompofitorum.Sunrenhn  numeri  irrationafes  fpeciei 
illius, radices  quadratae  compotitorum  numerorum.  Vt  Jy, 
Jy  1 1 Jy  8.  Item  Jy.  6-\-Jy  i x.&c. 

F Quarta  fpecies  irrationalium  numerorum  uocatur,tancfj 
compotitorum.  Quanquaenim  (ut  rationem  uocabuli  redda) 
numeri  fpeciei  huius,non  fiant  per  additione  ficut  compotiti, 
fed  per  fubrradionem : tamen  funt  per  omnia  fimiles  compos 
litis,  ut  Euclides  prolixe  probat  • Subdiuiditur  ergo  etiam  flhr 
fpccies.in  duas  fubfpedes* 

Prima  uocatur  refidualiu  bimedialium : & fit  ex  fubtradio 
ne  medialis  i mediali,eiufde  fpeciei  medialiu,  V tJy  12 — Jy  6,. 
item  Jct  14 — Jct  1 8.  Et  fic  de  alijs. 

Secunda  fpecies  numerorum  irrationalium  tanquam  com- 
pofitorum,uocatur  refiduaIiumbinomiaIium:&fit  cx  fubtra- 
dione.  Primo,  medialis  numeri  i rationali;ut  ii — Jy  140. 
Secundo.rationalis  2 mediali:  ut%/%  200 — 1 x.Tertio , media* 
lis  2 mediali.alterius  fpeciei : ut*/}*  1 1 — Jct  tfo.itetn  Jtf.  1 2 — 
Jw  8»  item  Jyi  1—  Jyy  8 0,  Et  Gc  de  alijs. 

E ij  Quinta* 


Michaelis  Stifelii 

FQuinta  fpecies  irrationalium  numerorum  .uocatur  radi- 
alium tanquam  compofitorura.  Sunt  enim  numeri  fpcciei  il- 
lius, radices  quadratae  numerorum  tanquam  compotitorum. 
utSiVin — item  s/%.6 — »/%<S,itemy%V%ix  — x.item 
Jci6o  — y^xoo.Etflc  dea^s. 

De  fpeciebus  minus  principalibus. 

NVmeros  irrationaIes,fpecierum  minus  principalium, 
(quorum  ulum  forte  etiam  in  Algebra  mea  uidebimus) 
quantu  polium brcuilTimis,in  genere  faltem, comprehendere 
tentabo.  Scilicet : 

FPrimo, quidam  eoru  fiunt  additione.ut  funt  T rimediales, 

QuadrimediaIes,&c.ItemTrinomiaIes,Quadrinomiales&c 
Exemplum  de  Trimedialibus. 

Exemplum  de  Quadrimedialibus. 
z4^f-*/c?8  z. 

Exemplum  de  Trinomialibus. 

iz-f-^fciz-f-v/rtiz. 

Exemplum  de  Qjiadrinom/alibus. 

»/?{%  z o o -f- yj?  i o o o i o -f- y b/?  z . 

F Secundo ,quidam  eorum  fiunt  fubtra  dione , ut  funt  rei?» 
duales  trimedialiter,&refiduales  quadrimedialiter  Stic.  Item 
refiduales  trinomialiter,&  refiduales  quadrinomialiter.&c. 
Exemplum  de  refidualibus  tr imedialiter. 

A *4 — A 8 — >/%6t 

Exemplum  de  refidualibus  quadrimedialiter* 

Jtfs  zo — 17 — — y^z. 

Exemplum  de  refidualibus  trinomialiter* 
y^zo — y^zo — yy?  zo. 

Exemplum  de  refidualibus  quadrinomialiter* 

— -y%i8 — y/?7 — 

FTertio,  quidam  eorum  fiunt  additione  & fubtradione, 
quorum  fpecies  numerabit  nemo. 


Exempla 


Arithmeticae  Liber  i i#  m 
Exempla  huius  generis  funt  — 8« 

Item io— y%i4 — i» 

Et  fle  de  alrjs  Innumerabilibus  exemplis. 

fQuarto,quidam  eorum  fiunt  extradlonc  alicuius  radic/s 
de  numero  allquo.fupri  pofitorum  generum. 

Exempla  huius  gencrlsiunt  harc,&  fimil/a. 

J t$-,Jfyio— j—  4~ f~  d. 

//?s. 

. 8-j-Vct  io  — /fc  ioo. 

r Qulcquld  lam  reflat  numerorum  irrat/onal/um.compre* 
hendltur  fub  aliquo  quatuor  generum  prardidorum. 

Vt  ( exempli  cauta ) hoc,  . 6- f-  /fc  io — *. 

comprehenditur  fub  primo  genere. 

Et  hoc  exemplum  /fft . Jtf-f- , M 8 -f-  i a. 
comprehenditur  fub  fecundo  genere. 

Et  hoc  exemplum,  6 -f-  io  -j-  1 1, — ,/*  8,  compre 

hendltur  fub  tertio  genere. 

Et  hoc  exeplum  Jcl.  io — 1 o.  -j-  * — J $z. 

comprehenditur  fub  quarto  genere.  Et  f?c  de  alijs  omnibus. 
Nihil  autem  poteft  cfle  reliqui,  quin  fub  aliquo  genere  prae* 
dido  comprehendatur. 


Quid  Euclides  collegerit  ex  praedi&is  fpecie* 
bus,&  ut  coi  ledorum  illorum  ufus  fit. 
Caput 


v. 


j!  I B R v m Euclidis  decimum  ( quem  multi,  alrjs 
i'  elementorum  fuorum  libris,  longe  difficiliorem 
!;  efle  exiftlmanfjficut  Illis  alijs  multo  eft  prolixior) 

1 ego  breuiffrmum  facilimumcp  hoc  capite  redda,- 

1 atqiintegrum,antequampropof?tioeslibri  Illius 

aggrediar, ut  dC  hoc  caput  ulce  alicuius  argumenti  prarmitrat. 

E ii)  Primo 


MrCHAELlS  STIFBtII 

Primo  diuilit  Euclides  unlueifos  numeros  rationales,  fii 
quadratos,  & non  quadratos.  Atque  ita  ex  duabus  illis  Ipecie- 
busfuis,  contraxit  numeros  ad  fupcrfides  quadratas.  Etlic 
mox  inuenit  fuas  fpedes  illas  duas,linearum  rationalium.  V C 
9 di  1 8 (figurae  quam  pofui  cap.  3 )contra<fti  ad  fuperficics  T R, 
faciunt  latera  3 & 1 8 • Itacp(  modo  hoc)  primo  omnium,  de 
fpedebusnumerorum  irrationaliumrecepit  fpedem  medialiu 
quadrate,utftatueretexea  fpeciem  rationaliumlinearumfe- 
cundam,idcft, potentia  tantummodo  rationalium. 

r Secundo.numeros,ex  fpecie  illa  medialium  quadrate,rece 
ptos,contraxit  ad  fuperficies  quadratas  ( ut  in  figura  noftra  u* 
des  medialem  numeru  1 6x  contradu  ad  fuperficiem  lignata 
fitera  S ) & uidit  latus  quadrati,  facere  numerum  zenlizenlice 
medialem  (uidelicety%%i^ i)  & fic  recepta  eft  illa  aliafpecies 
medialium  numeroru.utexea  fta  tueretur  fpecies  prima  irra- 
tionalium linearum.  Atcp  ita  cx  infinitisfpeciebus  medialium 
duae  folummodo  fpedes  exceptae  funt:  uidelicet  fpecies  media# 
lium  quadrate,  ut  ex  ea  fta  tueretur  fpecies  linearum  rationa» 
Rum  fecunda,  8C  fpecies  medialium  zenlizenlice,  ut  ex  ea  fta# 
tlieretur  fpecies  prima  linearum  irrationalium. 

' Tertio  tranfiuit  ad  fpeciem  numerorum  irrationalium  com 
politam.  Et  primo  recepit  ex  bimedialibus,  illos,  qui  quadrate 
elTentbimediales:  (ed  illosnoluituocaribimcdiales.ateosuo’ 
cauit  binomiales.Bimedialium  uero  fpecies  reliquas  omnes  re* 
iecit,ni(i  q>  b/ media!  es  zenlizenlice  interim  diftimuIauit,ot  itu 
feriusintelligcs,  Secudo.exbinomialibus  recepit  aliquos, uide 
licet  ilIos,quos  uiditefle  c5politos,ex  uno  numero  rationali,et 
ex  altero  quadrate  mediali . Reliquas  uero  fpedes  binomialiS- 
omnes  cotemplit,6i  reiecit.  Atcp  ita  ex  omni  genere  copolitoju 
folumodo  duas  fpecies excerplitCut  iam  dixi)eascg  Binomialcs 
uocari  uoluit,etiam  fi  elTentbimediales  quadrate. 

FBinomia  illafua  Euclides  diuilit  primo  in  duo  genera. 
Ad  primum  genus  reiecit  omnia  quae  e flent  quadrata  (de  qui 

bur 


Arithmeticae  Liber  i i,  u* 

feus  inferius  proprium  caput  in  Aituam) : quaeucro  non  e flent 
quadrata  binomia,  conftituitfubgenere  fecundo  binomiorff. 

Sub  utrocp  aut  genere  bino  m iorum  .confli  tuit  tres  fpedes: 
Primam, qua?  contineret  binomia  c6ftitnta,ex  parte  rationali 
fnaiore,&  mediali  parte  minore.Secundam.qu*  contineret  ea 
qcx  parte  rationaIiminore,&  ex  parte  medialimaioreelTent 
conftituta.  T 'erria  m,quae  cotincret  ea  quae  ex  duabus  partibus 
medialibus  coftituta  eflet.Et  fic  fadhc  fint  fex  fpes  binomioR:. 

I Binomialesautcnumerosprima;  fpeciei, contraxit  ad 
(uper ficies  quadratas.uidifcg  latera  quadratorum  illorum ,eflc 
binomiales  Iineas,moddprimar,modd  fecundae, modo  tertiae, 
modo  quartar,modo  quintae, modo  fextar  fpeciei. 

ytex97-f-^23j-i,fir7-f-y%46,  Etex  34-f-Vfci  ij-a, 
nt/%  1 8-f-4.  Et  ex  p8-f-y%9<5oo,fitV%  j-o^f-^48. 

Et  ex  7 -f-/#  48,  fit  *-f-«/%3.  Et  ex  3o-f-y%87^,flt 

A 1 1 -+-  3.  Et  ex  3 z -f-  768 , fit  24-f-*/%  8. 

Vt  autem  ifta  fiant, infri  fuo  loco  pulchre  docebo. 

Et  hae  funt  fex  binomialium  Iinearu  fub(pecies,comprehen(ae 
(ub fecunda  fpecie  irrationaliumlinearum  Euclidis. 

2.  Binomiales  numeros  fecundae  fpeciei,  contractos  ad 
fuperficics  quadra tas.uidit  facere  latera  facientia  numeros  bi- 
mediales  zenfizenffce.  Er  talcs(  ut  partes  compofltionis)  inter 
ie  multiplicatae,(emper  faciut  numeru  rationalem  (impliciter. 

Vtex^is  -f-4.flr^8-f-Aiz. 

Ex  talibus  igitur  lineis,  conftituit  (pedem  irrational/umlinea 
rum  fuarum  tertiam. 

$ . Binomiales  numeros  tertiae  fpeciei,contra<flos  ad  fu* 
perficiesquadraras.uidirhabere  larera  facientia  numeros  bi« 
mediales  zenfizenfice.  Et  tales  quidem,qui  partium  multipli- 
catione inter  fe, faciant  femper  numeru  medialem  quadrate. 

V t ex to  -f-  48 .fit  1 8 -f-  8. 

Ex  talibus  igitur  lineis.con  Aituit  quartam  fpeciem  irrationa 
lium  linearum,  eascy  lineas  uocauit  Bimediales  fecundas;nam 
priores  uocauit  Bimediales  primas. 


•Michaelis  Stipelii 

Sunt  praeterea  quidam  bimedialcs  numeri  zenfizenficev 
quorum  partes  inter  fe  multiplicatae , nec#  faciunt  rationalem 
numerum.necp  medialem  quadrate/ed  mediales  zenfizenflce 
faciunt. Et  tales  abiecit  £ fpcciebus  fuarum  linearum  irrationa* 
lium.eoquod  i nulla  fubfpecic  binomialium  profluant. 

Poteft  ergo  haec  fpecies  tertia  bimedialium,  dici  Species  bU 
medialium  abieda.  Et  fic  pater, quod  licet  numerorum  media 
lium  zenfizenfice, nullum  excludat  i fpeciebus  fuarum  lineapj 
irrationalium.tamen  bimedialium  zenfizenfice,multos  exclu- 
dimur iam  uidimus. 

4.  Binomialesnumerosquartaefpeciei.contradosadfu» 
perficies  quadra tas,uidit  habere  latera,  facientia  radices  bino 
miorum  quartorum.  Et  tales  lineas  uocauit,  lineas  maiores* 
Fccitcp  ex  eis.fpeciem  linearum  fuarum  irrationalium  quinta*. 
Vtex6-f-/fc  z,fity%.  6— f-V%  2. 

5'.  Binomiales  numeros  quintae  fpeciei,  contrados  ad  fii 
perficies  quadra  tas,uidit  habere  Iatera,facicntia  radices  bino> 
miorum  quintorum. 

Vt  ex 6— f—  2»fit 6 — 

Et  tales  lineas  uocauit  potentes  rationale  & mediale . Patete# 
fatis  appellationis  huius  ratio, uel  ex  ipfa  pidura  numeri : fcili 
c et  A.  A 6-\- * in  fe  dudus  quadrate,facity&6-f—  1 .Vides 
certe,ut  potentia  haec  cotineat  rationalem  numeru  i,Q(  media 
lem  numerum  6»  Confticuit  autem  fpeciem  linearum  fuar& 
fex  tam, ex  huiufmodi  numerorum  lineis. 

6»  Binomiales  numeros  fextar  fpeciei,  cotrados  ad  fuper 
fleies  quadratas.uidit  habere  latera  .facientia  radices  binomia 
rum  fextorum . 

Vtex«/%d-f-/sa,Et^y%d-t-yi{a. 

Et  ex  lineis,huiufmodi  numeros  ferentibus,conftiruit  feptima 
fpeciem  linearum  fuarum  irrationalium.Vocauitfc#  lineas  hu 
iufmodi , potentes  duo  medialia  .Ratio  appellationis  fimiiis  eft 
rationi  appellationis  linearum  fuperioris  fpeciei*. 

Et. 


Arithmeticae  Liber  ii#  uj 

Et  harc  funt  ferd  omnia  quae  docet  Euclides  in  fuo  decimo, 
Ofqpad  propofitiones  de  Refiduis . Quae  autem  docet  in  illis 
propofitionibus  refiduor  um,  facllime  intelliguntur  ex  prstcej 
dcntibus,atcp  breuiifimis  tradi  poliunt, 

rRefidua  d/cuntur.Tanquam  compofita.Talia  enim  funr, 
qualia  compoGta ; Rcuti  Algorithmi , & propofitiones  Eucli- 
dis iatis  teftantur  • Sic  aute  ea  producere  poteris,  ex  binomijs. 
Pro  Rgno  additorum,pone  flgnum  fubtradorum,  manetibus 
numeris  tuae  lineae  compofltar , tunc  mutafti  compofitam  in 
tanquaro  compofitam, Rmilis  fpeciei. 

Sic  ex  7-f-A4S» fit  7 — </$48  ♦ hoceft, ex binomio  primo, 
fit  refiduum  primum. 

Etcx^is  — f—4,fit»/%i8 — 4.  hoc  eft,ex  binomio  fecundae 
fpeciei, fit  refiduum  fecundae fpeciei. 

Etexy%ro-t-y%48,fity%fo — v/%48.hoc  cft,ex  lineis  bino 
mialibus  tertiae  fpeciei.fiunt  lincaerefiduales  tertiae  fpeciei. 

Etcx6~f~y%  — y%  ».boceft,ex  binomio  quarto,  fit 

refiduum  quartum* 

Et  ex  6-f-  z,fu  — x.  boceft.ex  binomio  quinto , fle  • 
refixu»»  quintum. 

Et  ex  */%  6-\-  1 ,fft  6 — t/fc  z,  hoc  cft,cx  binomio  fexto, 

fit  refiduum  fextum. 

Sicut  igitur  fubfpeciebinomiorum  (quaeeft  iecuda  fpecies 
irrationaliumlinearum)continenturfex  fubipecies  binomio- 
nim : fic  fub  fpecie  refiduorum  (quae  eft  odaua  fpecies  irratio# 
nalium  linearum)  condnentur  fex  fubfpecies  refiduorum. 

I tem  ex  </*%  8 -f- z fit  8 — /*%x.  hoc  eft , ex  bime# 
diali  primatfitrefidualis  bimedialisprima.Et  extalibus  lineis 
• condituit  Euclides  fpeciem  nonS  diarum  linearuirronalium. 

Sic  ex  1 8 -f-  A*  8 , fit  » 8 — 8. hoc  eft,ex  bime# 

diali  fecunda, fit  refidualis  bimedialis  fecunda. Et  ex  talibus  Ii# 
neis  conftituit  fpedem  linearumfuarum  irrationalia  decima. 

F Item 


Michabus  Stifelm 

Ttcm  ex  6 -f-  z , fit  . Sicut  autem  prior 

numerus  reijcitur,  ut  non  computetur  inter  ipecies  bimedia- 
Hum  linearum:  ita  pofterior  quocp  rerjcitur  , ne  inter  fpccies 
refidualiumbimedialium  recipiatur.Er  f?cut  prior  non  fluit  ab 
aliquo  binomio.cuius  e(Tet  radix  quadrata : fle  pofterior  non 
poteft  efle  radix  quadrata, alicuius  refldui  binomialiter. 

Item  duo  numeri  hi,%/%%  3 z -f-  3 z — z,  fiint 

longitudine  commcnfurabiles  ad  inuicem,funtc£  eiufdem  fpe 
cici.Sunt  enim  ambo  mediales  zenfizenfice.  Scilicet,prior  fa 
cit  1 61:  pofterior  uero  ( id  eft , 3 z — z ; nihil  aliud 

facit  quam  z.  Sicubicpeft,  ut  dum  partes  compofltionis, 
longitudine  funt  comenfurabiIcs,in  unum  coeat  mediale,&c* 
Deinde  etiam  ex  . 6 -f-  z , fit  j%.  6 — z . hoc  eft , ex 

linea  maiore  fit  linea  minor,mutatione  uidelicet  -f-  in — . Et 
funt  lineat  minores/ub  ipecie  undecima  irrationalium  lineap* 
Exex»/%.y%6-f-z,nt  — z. hoc  eft, ex  potente 

rationale  & mediale,  fit  componens  mediale  cum  rationali. 
Tales  uero  lineat  conftituunt  duodecimam  fpeciem  irrationa# 
Iium  linearum « Ratio  appellationis  huius  eft,  quod  quadrata 
huiufmodi  linearum  (ut  eft  %/fc  6 — z)  faciant  medialem  iiiper 
flciem.cum  rationali  fuperficie  flbi  fuperaddita.  ut  fi  z addatur 
ad  6 — z,tunc  fit  6 medialis. 

Demum  ex  6 -f-  %/%  z , fit  6 — z ?hoc  eft,ex 

potente  duo  medialia , fit  componens  mediale  cum  mediali. 
Patet  ratio  appellationis  ex  ratione  appellationislinearum 
iuperioris  fpeciei.  Et  ex  illis  lineis  tandem  conftituitur  tertia# 
decima  fpecieslinearum  irrationalium. 

Hacc  funt  quat  Euclides  docet  in  fuo  decimo 
elementorum* 

Pt 


t 


Arithmeticab  Liber  ii. 


ff4 

De  Algoruhmo  medialium . 

Caput  vi* 

portet  aure  pro  abioluta  priorum  atqj  fub# 
fequent  ium  didorum  cognitione,nos  Algorith* 
mos  aliquot  pcrluftrare , quorum  tres  necelfario* 

1 ede  iudico.Primum  uidelicet,de  numeris  media» 
. libus.  Secundum.de  irrationalibuscompofiris& 
tanquam  compolitis.Tertium,  de  radicibus  compotitorum  QC 
tanquam  compotitorum. 

Algorirhmus  medialium* 

PDereprarfentationc  numerorum  irrationalium,  atque  de 
eorum  pronuciatione.fatis  didum  cft  in  iuperionbus  capirib. 
Reftat  igitur,  ut  aliarum  operationum  fpecies  peripiciamus: 
Sidatis  exempIisopportunis,dccimam  Euclidis  cum  tota  irra 
tionalium  trada tione  reddamus  facilem  ate^  perlpicuum  • 

De  multiplicatione  di  diuifione.  * 

FMuItiplicatiodi  diuilio,  in  hoc  Algorithmo,  praecedunt 
(uia  dodrinae)  additionem  di  rubtradionem. 

Regula  prima. 

Quando  medialis  mulripIicans.Si  multiplicandus, in  mul- 
tiplicatione Catcp  in  diuifione,diuifor,  di  diuidendus  medialis) 
habuerint  idem  lignum  radicale,tunc  numeri  ad  ligna  radicas 
lia  politi,  multiplicantur  autdiuiduntur  per  omnia  fecundum 
regulas  Algorithmi  comunis,&  quod  prouenit(liue  ex  multi 
plicationejiueex  diuifione)  lemp  recipit  idem  lignu  radicale. 

Exempla  regular, 

Ifte  medialis  numerus  /$148 , multiplicatus  per  A 6 , facit 
^1488.  SiCv/%1488  diuifus  perv/^65facitv/%  148. 

Item  Jet  1 2 96  multiplicatus  per  ,/rt  i4,faciWrt  1 8 »44. 
Sicrurfumyrt  18  i44diuifusperyrt.i29^Jfacityct  14, 

Item  1 2 multiplicatus  per  1 3,  facit  A% 

Sic  Av  s ^ diuifus  &Ai  13 , facit  A%  1 2*  Et  fic  de  alijs  mediat 

F ij  Si 


. MlCHABLIS  STIFBtir 
Secunda  regula» 

Si  mediales  multiplicandi  ,autdiii(dendi,non.habuerint 
Idem  fignum, tunc  reducuntur  ad  idem  fignum.Quod  cum  fa- 
dum  fuerit, fit  deinde  operatio  fecundum  regulam  priorem. 
De  redudione  fignorum  radicaliumdiuerforum 


F Modus  reducendi  figna  radicalia  diuerfa,  ad  idem  fignQ 
(cuius  meminit  fecunda  regula  multiplicationis&diuifionis 
medialium)  fimilis  eft  quodammodo  redudioni  illi, qua  minu 
ciae  reducuntur  ad  eundem  denominatorem. 


to,quemadmodum  poni  folet  denominator  minutiae  »lub  luo 
numeratore»  Et  quid  deinde  faciendum  fit , facile  diices  ex  pi* 
dura  exempli  quod  ponam.  V t uolo  reducere  y%f&</ct^.ad 
idem  fignum, fic  ftabit  exemplum  ad  regulam» 


Iuxta  figni  Jct  fignificationem,muItipIicab/s  y cubice,  facit 
i zy, quem  numerum  pone  pro  y.  Deinde  mulripl icabis 4 zen- 
fice  feu  quadra  te,iuxta  figni  /g  fignificationem,fadt  1 6 , quem 
numerum  pone  pro  4.  Demum  adde  figna  ( eft  enim  haec  addi 
tio  fignorum, quaedam  multiplicatio  ) facit  /fcct  fignum  com- 
mune pro  utrocp : fcilicet  1 z y 6C  %/fcc*  1 6 , faciunt  id  quod 

y 4.Multiplicatus  igit  y per  «/ct4»facit«/%rt  zooo. 
Sic  medialis  ille  numerus  %/fcre  zooodiuifusper%/%  y .facit  ^^.4« 
Sic  ftabit  exemplum  ad  regulam  redudionis. 


Multiplicata  y zcnficubice,factunr  lydzy,  & 2000  zenfice 
faciunt  4000000 : di  utriqp  praepone  fignum  commune  ,ui* 

dclicet 


ad  idem  fignum  radicale. 


Sic  autem  operaberis. 


zooo 


Ar.ith*btfcae  Liber  rr.  ei  9 

dclfcety^rt.DAi/decrgo*/i%c«4ooopoo  peiV^ct  i 

x . Sed  hoc  nihil  aliud  e(i  , ut  inferius 

etiam  dicant* 

Aliud  exemplum. 

Volo  multiplicare  Syy  » z per  6 . fic  ftabit  exemplum  ad 
ledudhonem  • 


»/o 


It 


vo 'Jyy 

Multiplico  6 zenlizenfice  C propter  ftgnum  ce  nfizcn  ficum 
hoc Jy^ ) facit  1 296.  Sed  1 x non  multiplico  propter  fignu^o» 
quod  iignat  nullam  efle  faciendam  multiplicatione*  Itacp  mu! 
tiplicoy^ix per^i xj>6,facity^ifryz.  Sic  dum  diuido 
f m*  pery^%  I X,  tone  proueniunt  ^1296.  hoceft,<S. 

Et  ffcdealijs.Vry*<*  multiplicatus  per  3 , fac/ty^-mult/pli- 
catur  enim  y%^  per  y%p.  Sic  y rt  6 multiplicatus  per  3 , facit 
Sc*  16*  : multiplicatur  enim  /rt  6 perJrt.ij.8Cc. 

Habent  autem  reductiones  illa:  (de  quibus  iam  loquor, ut  de 
ffs,qux  ad  multiplicationem  & diuiilonem  medialium  diuer* 
iarum  ipecierum,  fiint  neceilariac)  iua  operationum  compen* 
dia.quar  fiunt  modo  in  ligni  alicuius  abiectione,  modd  in  ligni 
alicuius  aiTumptione  * 

Exemplum  de  abiectione  (Igni  radical/s. 

Volo  reducere  ad  idem  fignum  hos  duos  numeros y^  10  24 
(Xy/ycX  2 1 6,Vtot  igitur  regula  hac. 

Quando  numero  praeponitur  lignum  radicale , Hgn/ficans 
radicetn.quam  numerus  habet.tunc  extrahitur  radix  illa  quam 
ugnum  lignificabat>&  lignum  ipliimdeletur.  Itacp  extraho  ra- 
licem  iurdefolidam  de  / o z4,facit 4 , deletoq^  flgnoflgniflcate 
ad/cem  furdefolidaro,  manebit  Jy  4.Et  de  altero,abqcio  lignQ 
gnifteans  radicem  cubicam , extracta  prius  radice  cubica* 
lance  igitur  Jy6t  ficqj  ftant  reducti  ambo  ad  idem  lignum 

.F  irj  Aliud 


MtCHAEUS  STlFELir 

Aliud  exemplum  de  afiumptione  figni  radica!/?* 

Volo  reducere  i & . multiplico  numerum  priorir 

medialis  /n  fe,&  addo  lignum  zenficae  radicis.  Sic  ergo  ftabut 
redudi 

Multiplicationes  medialium,quadratar,cubicar,&c. 

V Medialis  quadrate  multiplicandus  quadrate,de!eto  ligno» 
relinquit  produdum.  ut  Jb  6 in  fe  quadrate.fadt  6. 

Sic  medialis  cubice,muIc/pIicanduscubice,deleto  ligno, re» 
linquit  produdum.  ut  Jct6  in  Ce  cubice  Jacit  6«  Et  fic  de  aliarfi 
(perferum  medialibus . 

Sed  A 6 in  Ce  cubice,  facit  */fcn6.  Vnde  radix  cubica  de 

y^ii6,facity%6,&c. 

Sic  J&6  in  Ce  quadrate , facit  Jrt  3 6,  Vnde  radix  quadrata 
ex  J&}  6,  facit  Jc*.  6, 

Sic  Jb a 6 in  fe  quadrate,facit  */rt6.Vnderadix  quadrata  ex 
Jbrt-6  Jacit  Jrt-6, 

Et  ficutv/£rt6  in  fe  cubice, facit  Jb*  \ fic  radix  cubica  ex 
y^fcdt  Jb&&* 

Et  licutv/^6  in  fe  quadrate  .facit  ^<5 : fic  radix  quadrata  ex 
Jb  6, facit  Jbl  6.  Et  fic  de  altjs. 

Fluunt  ifta  omnia  cx  cognitione  fupcriorfi,ideo  nolui  ledo 
rem  hoc  loco  grauare  pluribus  regulis  frufiri. 

De  additione  & lubtradione  medialium. 

fln  iiiperioribus  fatis  didumeft,  ut  incommenfurabilia, 
addantur  per  interpoficionem  figni  additorum,  & alterum  ab 
altero  fubtrahatur,  per interpofitionem  figni  fubtradorum. 
Vt/fci  2 ad  y%6,fadt  Jb  1 2 -f-Jb  6.  Siccet  1 2 a J%)  2,  relinquit 
Jb  12 — Mu. 

Et  prarter  haec  fatis  confiat  regula  de  addendis  aut  fubtra» 
hendis  medialibus  inter  fe  aequalibus.  Nam  aequale  fubtradu 
ab  aequali, nihil  relinquit.Et  aequale  additum  aequali,  coinddit 
cum  duplato  alterius  ex  eis.  Vt  Jb  6 dupla  tum, fcu  multiplica 
tum  per  2,producit  aggregatu  exJb$  & Jb6jd  cft/fc24.  dfic. 

Rcfiat 


Arithmeticae  Liieh  ii.  utf 

Reftat  regula  danda  de  additione  dC  fubtrartione  medialia 
commenfurabiIium&  inaequalium  a d in  uice  m . Vt  fun  r /fc  1 8 
& A 8.  Quod enim  fint  commenfurabiles,  paret  ex  diuifione 
unius  per  alteru.  ut  1 8 per  A 8,facit7*  2 i,hoceft,  i^feu  f. 

Vnde  proportio  y*  1 8 ad  8 , eft  tanquam  3 ad  a.  Sicut  ergo 

a88r<-8a*u  ex  3 &C  1 (id  eft  y)  ad  unitatem  (quae  eft  tertia  pars 
ex  3 ,& dimidia  pars  exi)  facit  proportionem  quintuplam : 
2f  necefte  eft  ut  aggregatum  ex  y*  1 8 Q(  y*  8,fit  quincuplum  ad 
dimidium  ex  7%  8,ieu  (qcf  idem  eft ) ad  tertia  partem  ex  1 8. 

Vnde  cum  dimidium  ex  As  fit^i,fatispatet  ut  ex  multipli- 
catione/%  iper  j-,ideft,pery^  ij-  proueniatneceftario>aggre 
- gatum  «Ai  8 8 additis ; CeiUcet  y*  yo,  facit  quantum 

y/^  i 8 cv  y ^ 8, Et  eft  fatis  miranda  res, calculationem  fieri  prar* 
citam, in  ijs  quar  prardfam  quantitatem  in  feipfis  non  habent. 
Sed  addamus  etiam  Geometricam  demonftrationem. 

Quadratum  diametri  a b, acuatur  quadraris  duobus  duo 
rum  (acerum,  a f,&  f b , ut  habet-ftf  primi. 


3 * 


Sic  quadratum  diametri  b c aequatur  duobus  quadratis  duo 
rum  laterum  bg&g  C.  Vides  autem,ut  ex  utraqj  diametro, 

fa&a 


• T 


Michablis  Stifblii 

fatfta  fit  una  diameter  a c,cuius  quadratum  aquabitur  duobus 
quadratiSjduorumlaterumjUidcIicef  AB&  e C «Cum autem 
aiameter  ab,  faciat  fiia  longitudine 1 8 > 6C  diameter  B c fa- 
ciat 8,faciat'cg  aggregatum  ex  eis  j-o,  iuxta  ea  quae  fupe* 
rios  tradidi : poteris  iam  uidere  an  figura  refpondeat,  id  eft, at» 

diameter  a c ex  lateribus  a e E c faciat  A yo.  ^ 

Ea  etiam  quar  de  iubtradlione  commeniurabilium  mcdialm 
dicenda  ueniut.funr  tjs  quar  iam  ditfta  funt  fere  fimilia : fcilicet 
8 ab«/fc  1 S.relinquiWfcx.  nam  ,p  portio  eoru  eft  r.ut  patuit. 
Iam  fi  fubtrahatur  z i 3 > remanet  unitas  quar  eft  dimidiu  ex  x. 
Ergo  dirtiidiu etiam  ex/fc  8 relinquitur,  dum  %/%  8 iubtrahitut 
de  1 S.Refpicit  enim  x ad  8,tanquam  minus  ad  minus.Ec 
3 refpicit  ad/fr  »8,tanquam  maius  ad  maius:  fcilicet /fc  x rel  n 
quitur.  Eft  enim x dimidium  ex  7%  8,dt  tertia  pars  ex  7%  »8« 
Vnde  fi  b Cjiuperioris  figurar,abfcindatur  de  a B,tunc  relinqui 
fur  A idnferiorisfigUrar/acirt^  a i (ut fatis  uides),/%x,Supima 
eft.Quatrc  proportionem  addendorum  medialium  aut  uibtra 
hendoru.qua  inuenta.ex  infpctfioneterminoru  eius  fatis  uidc 
bis,qd  fictaciendd,fiue  addendi  fint  medialcsjfiuc  fubtrahedi* 


c . 


Potcft 


Arithjubtjcab  Libbr  It.  ,,7 

prob'a«.  &c^  C’  S(C  d*  a,pIatl0ne  P°‘«fa  4»  *>“«& 
Itero  (ut  de  diuifionis  demonftrattone  etiam  dicam)  t e 
hTJL  v^V  E‘  “ C 'ftPars  dimidia  ipfius^.'* 

B G &4G  c.  ” “ * C “mUm  6d»>«  laiaibu» 


facit  b r -V\/Vr*  °>clu*ntu,n  3 fVel.quantum 

&8^X^ZS£ig££ 

&.y  f Primum  exemplum  additionis. 

. Y.°  ° a£^crje  '/iSady^is.  Primo  quaero  proportionem 

*wer  1II03  mediales  .qua:  eft  Huius  proportionis  termino* 
addo, facit /.  igitur  tfc colligo; 

i facit  r.ergo  y*  8,  facit  y*  yo« 

Vel  fic  pono  atep  probo; 

3 facit  s,  ergo  y*  1 8 facit  y*  jo. 

xrirt.  f ExemJpum  fubrradionis. 

Volo  fubtrahere  A 3 i /*  ro.  Proportio  «ft  1 , Subtraho  fef 
fur  z 4 y .remaner  3 .Sic  igitur  pono  numeros  ad  regula  De  tri 
i facit  3 . ergo  y*  8 facit  y*i«.  * ' 

Vel  ftc  pono  atep  probo: 
j-  facit  3 , ergo  y*y  o, facit  A 1 8.' 

Secundum  exemplum  additionis* 
rvoloaddero^rtitfzadyrtzoxs . Proportio  cft  f.  Addo 

G terminos 


, • MlCHAEtl?  Stipblit 

terminos.facit  i o.  Sic  ergo  pono  numeros  ad  regulam  De-tri. 
.3  farit  io.ergoVc£.i62,fadt»/c*booo, 

Velfic  pono  atcp  probo: 

7 facit  i o«  ergo  2 o f8,  hckJct.6  ooo, 

v Exemlpum  fubtradfonis.  ' 

Volo  fubtraherc  Jct6ooo*  Proportio  eft  ^,Vnde 

3 1 1 b.remanenf  7»Sic  ergo  pono  numeros  ad  regulam,  • 

j fac/t7.crgo,/c*  i6z,fadtA*xoj-3.  , 

i Vel  f?c  pono. 

l o facit  7,  ergo  o o,fadt  >/rt.  ; o r 8, 

i Vel  fic  pono  exemplum: 

; Volo  (ubtrahere  ^205-8, i Vct  6000,  Proportlo.eft^. 
Vnde  7 i 1 o .remanent  3 . Sic  ergo  ftabut  numeri  ad  regulam,. 

. 7 fade  3 ♦ ergo  1 0 j- 8 , radt  vte  1 6 2 . 

• vel  depono  & probo : ; ’ **• 

lo  fecit  3.  ergo/r£bcyoo,facityrt»62. 

Tertium  exemplum  additionis, 
rVolo  addere  243  ad  3888 . Proportio eft  f ♦ Boe 

terminos  addo, facit  3 . Sic  ergo  ftabit  exemplum, 
|fiicit3.ergoA%243,focity%%i?^83. 

Velficlbf. 

* , 3 • V»  3 8 8 8,/adt  v/%% » 9 6 8 3 . 

Exemplum  fubtradionis. 

Volo  (ubtrahere  /^243  ,i  1968  3. Proportio  eft  ^.Sub# 

traho  1 i 3,remanent  2.Vnde  fic  ft at  exemplum. 

« I,  *. «/%%  »4  3 » facit %/%%  3 888, 

Velficftat. 

3,  ».  ,faciry^  3888. 

Vel  fic  muto  exemplum. 

Volo  fubtraherc  3888,1  1968  3. Proportio eft^.Sub 

(rabo  2(3  .remanet  1 .Vnde  fic  ftar  exemplum, 

. *j*  i,  ^|%3888,6dt/«|a«f 

Vel 


w 


Arithmeticae  Liber 'ir.  n$ 
» • . Vel  ficftat.  . . r 

' 3.  1.  A*»?6  8 3,  facit,/**  14  3. 

Et  fic  de  additione  & fubtra&ione  medialium  aliarum 
ipecierum  fimilia  facies» 


Dc  ufu  illorum  metJialiumjquorum  Euclide* 
nullam  mentionem  facit  in  fuo  decimo: 

& de  duplatione  cubi.  Cap.  vn, 

tsi  Eudidesin  fuo  decimo,  duabus  folumodb 
fpeciebus  medialium  numerorum  utitur , tamen 
noeft  putandum, mediales  numeros  aliarum  fpe* 
cierum/rflc  adeo  fteriles,ut  ufu  careanr,&  Arith 
meticis  Geometricis^  fpeculationibus  nihil  con 
ferant. Quantum  uero  illis  conferat,  experimur  tum  maxime 
quando  ea  quarde  rationalibus  numerisdidicimus,  transferre 
conamur  etiam  ad  numeros  irrationa!es,ut  funt  progrefiones 

Arithmeticar,Geometricar,Harmonicar,&C6traharmonica>. 

Item  proportionum  diuifiones,de  quibus  hoc  loco  exemplo» 
caufa  aliqua  uidebimus,ct  primo  de  proportionQdiuifionibus. 
De  proportionum  diuifionibus. 

AD  proportionum  diuifiones  pertinet  ars  ponendi  med/a 
proportionalia,  quotquot  libuerit,  inter  numeros  quof* 
cuncjj.Eam  artem  uolo  iam  paucisdocere. 

FPrimo.  Si  unum  medium  conftituendum  fit  inter  duos 
numeros  aliquos  rationales,*uc  recipiendi  funt  p rimar  fpeciei 
«nediales,uidelicet  mediales  quadrate:ut  funt  z. 

Si  autem  duo  media  proportionalia  fint  conftituenda.erunt 
tibi  necefTarij/ecundae  fpeciei  mediales,uidelic«t  mediales  cu* 
bice:  ut  funt  M 1.  Ja  3 . M 4.  Jc*.  y , &c.  ' 

' Si  uero  tria  media  proportionalia  uelis  conftituere , opus 
habebis  medialibus  tertiae  fpeciei, uideltcet  medialibus  zenfi- 
zenfice.  ut  funt  hi,  ^2,^3,  Sn  s,Jw6, 

G q, 


Et 


Michaelis  Stivblu 

Et  fi  quatuor  media  proportionalia  fine  conftituenda.utl 
oportebit  quarta  fpecie  medialium:  uidelicet  mediales  furdeio 
Ude  recipiendi  erunt . utfunthi%/j?2.*/j?j  Jfa  flic. 

r Et  fic  deinceps. 

T Secundo.  Cognita  ipecie medialium  recipienda,  cofhtue 
progreifionem  Geometricam,  cuius  terminus  primus  fit  uni- 
tas,&fecundusrerminus  fit  quotiens  diuifionis  numerorum. 
Inter  quos  conftituenda  iunt  media  proportionalia,  minore  ui 
dei  icet  diuidente  maiorem.  Itaqj  fecundum  radicem  illam  pro« 
greffionis  progredere, donec  tot  habeas  media  portionalia, 
quot  fonftituenda  fuerant.  Notum  uero  eft,ut  numerus  terml 
norum  femper  excedat  numerum  mediorum , binario : nam 
ubi  iunt  media  .oportet  efle  extrema . 

TTertio . Praepone  cuilibet  termino  progreffionis  fadar, 
fignum  radicale.medialium  illorum, quorum  (pedes  tibi  uten# 
da  eft,ut  dixi  fuperius ; nidclicet,fi  unum  medium  fit  conftitu- 
endum  .recipiendum  eft  boc  fignum  . fi  duo  media  fint  con« 

ftituenda,recipiendum  eft  hoc  fignum  %/c?..Ec  fic  deinceps. 

r Quarto.  Extra  dis  radicibus  fignorum  extrahendis,  dele 
figna,quorum  radices  funt  extractae. 

Vt  ( exempli  gratia  ) fi  uideris  fignum  radicale  quadratorS 
praepofitum  numero  quadrato,  tunc  extra  dam  radicem  illam 
pone  abfque  figno  illo  ,•  Et  fic  de  alijs  fignis  intellige  fimilia 
effe  facienda. 

r Quinto.  Pro  extremis  progreffionis  tuae  fadar,pone  tuos 
numeros,inter  quos  conftituenda  funt  media, & per  minorem 
multiplica  media  fingula , Sed  fingula  haec  te, exemplum 
quod  iam  ponam,docebit  plenius,  fuo  ordine. 

Exemplum. 

Volo  ftatuere  quinq?  media  proportionalia  inter  68i  1 8, 

Primo  recipiofignumhocmedialiumquintae  fpedei 
Mudqj  reieruo  in  ufum  quem  uidebis. 

Secundo  conftituo  piogrefftonem  inc/pientemabunttate, 

cuius 


Arithmeticae  Liber  ii,  r jp 

cuius  progreflionis  radix  fit  quotiens  d/uifionis  i8  per  6.1.  3. 
Et  quia  quincp  media  requiro,  ideo  ponendi  funt  termini  pro* 
greflionis  feptem:  uidelicet, 

r.  3.  9.  27.  81.  243.  72?« 

; Tertio,finguIis  terminis  illis  prarpono  fignum  radica^ ,qcf 
mihi  primo  referuaueram.tunc  flabit  progreflio  f?c: 

%/fcc*  1 . SicZ).  Jtf*.  9.  27.  ,/fcrt.  8 1.  24  3 . Jy*.  7 29, 

Quarto, cxrradis  radicibus  tignorum  delendorum  , fic  fla- 
bit progrefsio : 

1.  3 . j • 3 .*/c*9.»/V*Z43. 3» 

Quinto, multiplica  fingulos  terminos  illos  per  6 (quieflmi 
nor  numerus  eorum  inter  quos  conflituenda  fun  t media  pro* 
portionalia)  tunc  habebis  extremos  tuos  terminos,cum  inter- 
pofitcs  fuis  medijs  proportionalibus  inuentis , ut  * 

13 9968.^648,  ,/fcio8.«/c*  1944 1337408.18. 
Quod  autem  fit  continua  proportionalius,  per  illos  termi- 
nos feptem,  poteris  probare  fecundum  ea  quae  dixi  fibro  1 . de 
proportionali  ta  te  Geometrica.  Vi  fi  probare  uelis  hunc  termi 
num  1 399^8.mediareproportionaliter,inter  6 

multiplica  ,/^648  per6(idefl,per«/ct2ftf)facit«/ce  139968, 
de  quo  extrahe  radicem  quadratam,facit%/$ce  1 39968. 

Et  fle  de  alijs; 

De  duplatione  Cubi. 

VrT  autem  ufus  ifle  medialium  numerorum, ab  Eudidene 
glcdorum  in  fuo  libro  elementoru  decimo, magis  appa* 
reat  efle  illuflris , uolo  & ego  numeros  mediales  cubice,  ad  li« 
neas  contrahere,  & eorum  beneficio,  expedire  quarftionem  de 
duplationecubi , quam  uideo  i quibufdam  anxie  & Iaboriofe 
efle  tracfla  tam,  magnis  de  ea  re  uoluminibus  confcriptis. 

Sit  igitur  cubus  duplandus  altitudine  fex  pedum.  Recipio 
primo  lineam, ad  roenfuram  altitudinis  cubi  duplandi.Secudo 
recipio  lineam,  quae  fic  dupla  ad  altitudinem  illam  cubidu- 
..  -:.j  G iij  piandi 


c Michaelis  Stifelii 

piandi  ( & H cubus  triplandus  effiet,  recipienda  ellet  linea  ad 
altitudinem  cabi  trlplandi  trip1a,&  fle  deinceps).  Atqj  ita  in» 
ter  duas  illas  lineas  receptas,inuenio  duas  alias  lineas,  cj  pro* 
portionaliter  medient  inter  eas.Erit  autem  prior  linea  (lic  pro 
portfpnaliter  medians)  menfura  cubi  flendi , qui  fit  duplus  ad 
cubum  datum  atqj  duplandum. 

Numeri  ad  lineas  contrahendi  fic  dant; 

6^  %/ct3^4.  ix* 

Cubi  harum  radicum  funt  hi : 
xi  6.  43  x,  864,  17x8* 

Vides  certe  cubum  fecundu ,efTe  duplu  ad  cubum  primS.  Et 
clt  6 radix  cubica  primi  cubi : atqj  Jtt+y 1 eft  radix  cubica  Ce» 
eundi  cubi.Reftat  ergo, ut  ^43 1 fortia  tur  linea  iufbe  longiter 
dinis,  ut  q menfura  fit  cubi  flendi,qui  faciat  fua  ibliditate  43  u 


Sic  autem  lineas  illas  comraodiiTime  inuen/es. 

Primo  protrahe  duas  lineas  obfcuras  > interiecantes  fefe.ad 
quatuor angulos recdos: ut lunt illae pertranfeutesLB  & K C. 
ct  fic  lineam  minoris  extremitatis  defigna,  £ pundo  interfe* 

dtioni* 


Arithmeticae  Liber  it«  fio 

cfhonfe,  deorfum,  fuper  obfcuram  * ficut  uides  defignatam  ede 
lineolam  a b .Lineam  autem  maioris  extremitatis,defigna>fii- 
per  alteram  lineam  obfcuram , ab  eodem  pundo  interfodio* 
nis,dextrorium,ficutuidesdefignatam  lineam  A C.  Deinde 
ad  menfuram  A B,abfcindc  a D,de  A c,  ita  uidelicet,  ut  a d di. 
A B fint  a? quales. Poftea  diuide  a d in  duo  aequalia, in  pudo  E« 
Diuide  fecundo  A e in  duo  arqualia,in  pundo  f.  Tertio  diuide 
F B in  duo  aequalia, in  pundo  i.Et  tu  c in  pundo  i pone  pedem 
circini  immobilem,  & alterum  pedem  circini  extende  in  pun« 
dum  C , id  eft,in  finem  lineae  maiorisextremitaris : atqj  ita  de- 
fcribefomicirculum,utuides  khlc  deforibi  fupra  diame- 
trum K C.  Atcp  ita  habes  duo  media  proportionalia,  uidclicet 

A,&  l A.pofira  inter  extremitates  duas,  ba&ac,  Id  quod 
ex  ipfa  figura  facile  eft  uidere  in telligcn ti  propofitionem  Eucli 
dis  nonam,  libri  elementorum  foxti : fcilicet  k a , eft  medium 
proportionale  inter  a b & a L.Etea  caufa  (uidelicetcaufa  pro 
Dationis  ) defcripfi  fomicirculum  fupra  lineam  L B,  uidclicet 
B K g L.  Er  eadem  ratione,  qua  k a mediat  proportionali* 
ter  inter  b a & a l,  mediat  etiam  l a proportionaliter  inter 

K A & A C * ' 

Vfdeo  autem  hic quandamdiiputationem,denumerisirra* 
tionalibus  contradis  ad  lineas  : fod  illam  uolo  relinquere 
contentiofis. 

Caeterum  quae  dediuifione  proportionum  ulterius  dicenda 
funt,uolo refer ua re  ad  caput  fequens. 

De  progreflione  Geometrica  medialium  8ic. 

VTiles  etiamiunt  mediales  numeri  ( quos  Euclides  in  fuo 
decimo  neglexit) ad  ftaruendas  uarias  progreffiones, 
modo  facilimo.  Scilicet : 

Pofita  progreffione  Geometrica  numerorum  rationalium 
quacuncp , fi  cuilibet  termino  prarpofueris  idem  fignum  radi- 
cale,tunc  ftatim  fada  e fi:  progrefito  medialium  geomctrica.ut 
6.  ii,  z4«  48«  96»  facit 

. vteia.  i/ctiq.  </^96,  Et  fic  dealrjs. 


Michaelis  Stifelii  A 

Quando  progreifio  Geometrica’  medialium  quadra  te.incfs 
pit  ab  unitate,tunc  femper  inter  duos  rationales  cadit  unus  md 
dialis.uthicuides: 

»./%2.  z,4 8. 4. </%$». 8. */% i*8.  i*» 

Quando  progrefUo  Geometrica  medialium  cubice,  incipit 
ab  unitate,tunc  iemper  inter  duos  rationales^cadunt  duo  medi 
ales,uthicuides: 

I . Jci  2.  « 2.  1 6 . 3 z.  4, 

Sic  quando  progreifio  Geometrica  medialium  zenfizenfice 
incipit  ab  unitate,  tunc  'femper  inter  duos  rationales,mediant 
tres  mediales : & fic  de  alrjs  in  infinito.  Scilicet  in  progreifione 
Geometrica  medialiamfurdefolidc»  mediant  femper  qua  tuor 
mediales  inter  duos  rationales  Ac» 


De  progreflionibus  medialium  generaliter. 

EOfita  progreifione  Arithmetica  terminorum  rationalium, 
G termini  illi  mulriplicentur  per  numerum  aliquem  media 
,tunc  Oritur  progreifio  Arithmetica  medialium* 

Pofita  progreifione  Geometrica  terminorum  rationalium, 
(2  termini  illi  multiplicentur  per  numerum  aliquem  medialem, 
tunc  oritur  progreifio  Geometrica  medialium» 

Pofita  progreifione  Harmonica  terminorum  rationalium» 
G termini  illi  multiplicentur  per  numerum  aliquem  medialem, 
tunc  oritur  progreifio  Harmonica  medialium. 


rProgrefifiones  rationalium  numerorum 
multiplicandae  per  4 2. 
zo»  5*0.  So.  Arithmetica, 

zo.  40.  80.  Geometrica, 

ao.  32.  80»  Harmonica, 

. Progrefiionesmedialium, 
y%8oo«  5*000,  12800.  Arithmetica» 

4 800,  Ajzoo,  4»*8 00.  Geometrica, 
4800.  4*°4-8.  4»i3oo,  Harmonica» 


Obferua 


Arithmeticae  Liber  it,  m 

Obfcrua  edam,  ut  Geometrica  mediet  inter  Arithmeticam 
Si  Harmonicam:  nam  media  etiam  trium  progreflionum  con 
ftituunt  Geometricam.Sed  haec  alio  loco  fuerantobferuanda. 


Dc  proportionibus  irrationalibus, 

- Caput  vii  U 

R e v i s adhuc  reflat  tra&atfo  proportionum;, 
praeter  illa  quae  in  libro  primo  tradita  funt.Breuis 
inquamseo  quod  fere  omnes  regulae,  datae  dc  pro 
portionibus  rationalium  numerorum,  quadrent 
ad  proportiones  medialium,de  quibus  mihi  nunc 
sreuibus  efl  agendum,breui  hoc  capite. 

Docui  autem  libro  primo,  propor uones  aut  efle  rationales 
aut  irrationales.  Suntuero  proportiones  illae  omnes  rationa* 
Ies,quae  terminos  habent  commenfurabiles.  Quae  autem  ter- 
minos incommenfurabiles  habent, funt  irrationales.  Vnde  qui 
libet  numerus  medialis,ad  numeru  rationalem, habet  propor- 
tionem irrationalcm.Non  aute omnis  medialis  ad  medialem,' 
habet  proportionem  irrationalem : fcilicet  /i  6 ad  ^24  ratio# 
halem  proportionem  habet,uidelicet  duplam. 

Quando  unus  terminus  proportionis  rationalis,  fuerit  irraf 
tfonalis.tuc  necefle  efl  reliquQ  terminu  eiufdem  proportionis 
etiam  efle  irronalem.  Ifla  notiora  funt,c|t  ut  exemplis  egeant. 

Quando  unus  terminus  irrationalis  ruerit  irrationalis, tunc' 
terminus  reliquus  potefl  efTe  rationalis. 

■ Quando  unus  terminus  proportionisirrationalis  fuerit  ra- 
tionalis,tunc  necefle  efl  reliquum  terminum  efle  irrationalem.- 
Sunt  autem  proportiones  irrationales  minutia:  proportio-* 
num  irrationalium.ur/fc  6 ad  7% 2 , efl  minutia  tripla?  propor- 
Cfonis.Efl  enim  dimidia  pars  triplae.  Sic  6 ad ^4  3 2, efl  tertia' 
pars  dupla:  proportionis : ut  patet  exijs  quae  dicfla  funteapire' 
yraecedenthde  duplatione  cubi.  Patet  etiam  ex  regula,qua:  do- 

H*  cer 


t.  V •MlCHABtiS  Stipelti 

cet  proportiones  denominare : fcil/cet  diuifo  termino  maiore 
{ per  minorem , denominatur  ipfa  proportio , ab  illo  diuifionfs 
quoriente.Vt  diuifo  Sct4)  2 per  6,  (eu  per  z t6,  producitur 
ille  quotiens  >/ce  z.  E t fignificat  binarius  duplam  proportione. 
Signum  aut  radicale, fignificat  parte  tertia  noiatar  /pportionis. 

Vndepropofiris  numerisrationalibus  quibuscucp,fi  utroq? 
termino  ptarponatur  Jignum  jadicale  quadratorum,  mox  erit 
proportio  illa  (quar  erat  inter  duos  illosnumeros  rationales; 
diuifa  in  duo  arqualia,altera'c$  pars  diuifionis  illius  g numeros 
illos  fic  fignatos  r eprarfenta  ta . ut  3 ad  z , facit fcfquialteram*  - 
Sed%/fc3  ad/%  z, facit  dimidiam  parte  fefquialterar. Et  fic  fimi- 
lia  intelligenda  funt  de  fimilibus.  ut»/c«.3  ad  Jc*.  z.facit  tertiani 
partem  fefquialterar  proportiois.  SicV4%  3 ad»/%$  2 .facit  quar 
tam  parte  fefquialterarproportionis.Sic/^3  ad  //? 2, facit  quin 
tam  partem  fefquialterar  pportionis.  Et  fic  deinceps , ut  facik 
fit,darc  proportionem  irrationalem  medialium,  fub  quacuncp 
petita  denomina tione,  ficut  facile  eft  proportionem  propofitg 
denominarent  iam  docui.  Vt  fi  danda  fit  pars  fexxa  proportio 
nis  triplar  foper  tripa  rtientis  quintas,  tunc  fecundum  quotien# 
tem  denominantem  proportionem  ipfam.uidelicet  3 f , inue- 
nio  bos  duos  numeros  8 & ; ( ut  libro  primo  de  pportionibus 
docui)ijs  ergo  terminis  inuentis  .prarpono  fignum  medialium 
fextar  fpeciei .ufdelicet  J fcc* . ut/fcc£  8 ad/fcet  j-.  eft  fexta  pari 
triplar  fupertr  ipartientis  qui  ntas,&c. 

De  proportionibusmediafium  fratftorum. 

fRcgula  quar  datur  de  proportionibus  denomina  ndis,nul 
Iam  omnino  exceptionem  habet.Dum  igitur  ucnerint  tibi  me 
dialium  fratiorum  proportiones  denominandar,  diuide  fratfu 
maiorem  per  minorem : uel, fi  dubitas  uter  fratftorum  fit  ma- 
ior .reduc  cos  ad  eunde  denominatore,&  reietftis  denominato 
iribus, diuide  numeratores,  ut  ea  eft  proportio  intVfc  j &' 
q eft  inter  */$  8 dC  3 .uidclicet  pportio  fefquiocftauar  dimidiatae, 

Dc 


Arithmeticas  Liber  ti.  ut 
De  proportionibus  irronalium  numero^  rationalibus. 

rProportiones  rationales,  irrationalium  terminorum,ni«. 
hil  differat  i ,pporrionibus  rationalibus,rationalin  termino*. 
Scilicet  eadem  proportio  cft  omnino  inter  68d  3,quxeft  inter 
A *4  & A 6 , Dupla  enim  cft  dupla  „ qualitercuncg  fignetur 
(eu  reprarientetur,  &c. 

De  proportionibus  denominandis  i quot/ente 
habente  tignum  additorum  autfubtrado*. 

rProportiones  itiar.quarum  terminus  minor  ( dum  diuidit 
terminum  maiorem ) facit  quotientem  habentem  fignum-f- 
— , duplicem  habenrdenomfnationem,  ut  proportio  qu3 
ftcit  »o-f-y%7j-,ad  s (cuiusquotiensdenomiftans  ipfam,eft 
»-f- A 3 ) uocatur : uel, dupla  plus  dimidia  triplae : uel  uocat, 
dimidia  duodecuphe : ut  latis  uides  ex  hac  reprsefentatione, 
*+**,icilicet  dupla  addita  ad  dimidiam  triplar.fecitdimidiam 
duodecuplar.  uidclicet  * ad  Affecit  A ; »,  Sic eti5  io— 75- 
ad  j.duplicem  denominationem  habet,ut  uides  ex  hacpropor 
lionis  repracfentatione,1- A \fcilicet  dimidia  tripfce,fubtrada 
&dupla,relinquit  dimidiam  feiquitertiar,&c. 

De  Algorithmo  proportionum  irrationalium. 

V Algorithmus  proportionu  irronalium  ex  eifdcm  omnino 
reguliscoftat,ex  quibusAIgorithraus  rationalia  proportionS 
conftat.ut  hic  nihil  opus  1 it  ulla  aha  regula . Sed  forte  exempla 
ledor  aliquis  requiret : harc  nongrauabor  apponere,  prater 
ca,quac  paulo  luperius  pofui. 


Exemplum  additionis 

ad  ,?  facit 9 
• * A*  f 

Exemplum  multiplicationis. 
^'8  duplata  facit^ 


Exemplum  fubcra&ionis. 

ytab!“man“/x,8"I<4» 

Exemplum  diuiiionis- 
9 dimidiata  facitA^uef^ 1 * 

*■  1 X 


1 


Miohablis  Stifblii 

De  Algorithmo  numerorum  irrationalium 
compotitorum , & tanquam  com* 
potitorum.  Caput  ix. 

X Algorithmo  medialium , ateg  ex  Algorithmo 
fignorum  additorum  & fubtratforum.conficitur 
Algorithmus  numerorum  irrationalium  compo 
litorum  & tanquam  compofitoru.  Algorithmum 
autem  medialium  habuimus  capite  (exto.Reftat 
igitur.ut  ctia  m Algorithmum  fignoa  horum  -f- . — .ponam» 
Dc  repra?  fentatione  Qc  enunciatione. 

FSignum  hoc  -f-  Cquod  additorum  didtur)fignificat  plus. 
Ut  6-f-V*  1 2,ficenunciatur,Sex  plus  radice zenfica  de  i x. 

Signum  uero  hoc — Cquod  fubtrafiorum  dicituOfignificat 
«ninus.  ut  i z — »/%  8,  fic  enunciatur, Radix  zenfica  dc  i z mi 

nus  radice  zenfica  de  8.  Et  fic  de  alijs. 

Regulae  additionis  Scfubtrad/onis. 

1 . Eadem  figna  idem  fignum  ponunt, nifi  dum  in  fubtra- 
cfiione  numeri praepollere  ponuntur. 

2,  Diucria  figna  commutant  Ipecies , QC  A ponit  M,  S 
uero  ponite. 

Regulae  multiplicationis  8C  diuifionis. 

I , Eadem  figna  ponnnt  fignum  additorum. 

2 * Diueria  figna  ponunt  fignum  fubtradorum. 

Dici  uero  fatis  non  poteti, quantam  uim  habeant  haec  duo 
figna  -+-  & — ,per  regulas  illas  quatuor.  Non  enim  feruiunc 
folummodo  irrationalibus  numeris,  fed  etiam  Cofftcis , ut  fuo 
loco  copiofe  dicam  .Vix  autem  funt  regulae  in  tota  Arithme* 
tica  aliae  .quas  magis  uelim  commendari  memoriae , quim  has 
qua  tuor.Et  ea  caula  illas  ftudiofe  fub  breuita  te  tali  coartaui,ut 
obfcuritatem  etiam  inuoluerer.Sed  euoluenda  cft  illa  obicuria 
eas  expolitionibus  & exemplis, quatenus  breuitas  prardirta 
permaneat  commoda.  Primo 


Arithmeticae  Liber  r i;  uj 

PPrimo.  Eadem  figna  idem  ftgnu  ponere  dicuntur,  quado 
iponitur  lignum  -f-,ex  eodem  figno  bis  poflto.  Vt  uides  In  ex- 
emplis duobus  addJr!onfs,ex  addito  & addito,  fleri  additum  : 
& in  duobus  alqs  exeplis  additionis  uides  ex  fobtrado .&  fub* 
trado,  fieri  fubrradum. 


Exempla  additionis. 

Exemplum  primum. 

6 -f-  y%»8 

4-f- 

Exemplum  fecundum* 
A *7  -f-  A 8 
A 1 x -f-  a x 

io-t-y%  j-o 

A7T-hAl8 

Exemplum  tertium. 
A>  6x  — x 
J%x  00 — 3 

Exemplum  quartum. 

^i&z43 — 

Sii*8  — 

A7zz  — s j ^1875- — JlftizTo 


Dicuntur  autem  Addita, quae  fequQtur  lignum  additorum. 
Sic  fubtrada  dicuntur  illa, qua:  fequuntur  lignum — .Numeri 
enim  qui  iequuntur  lignum  -f-,  aut  lignum — , pertinent  ad 
Jpfum  lignum.Numeri  uero, qui  praecedunt  lignum -f-,  aut  li- 
gnum — ,non  pertinent  ad  lignum  iplum.  Sequuntur  autem 
numeri.non  lignati  ligno-f-,aut  ligno  — , regulas  numerorS 
lignato^  ligno-f-.ut  uidebis  ex  quibufda  exeplis  lequentibus. 

Exempla  fubtradionis. 


A%Z4J-W%%«61 

Aro — r 

— x 

Si  18 — 3 

Non  puto  efle  neccfie,ut  de  medialium  fubtradione  aut  ad* 
ditione  te  ulterius  moneam . Necg  necefle  efle  puto, utplures 
Ipecies  medialium  inducam  pro  exemp!is,cum  fatis  fcias,ea 
quae  de  his  dico  quae  ponuntur,  intelligenda  efle  flmiliterde 
ijs  quae  non  ponuntur* 

H irj  Secundo  - 


/ 


Michablis  Stifelii*  * 

f Secundo . Sequitur  exceptio  in  exemplis  fubtradfonisr 
Nifi  ( inquit  regula ) dum  in  fubtradione  numeri  praepollere 
ponuntur.  Dicuntur  autem  numeri  praepollere  poni,  quando 
in  fubtradione  maius  ponitur  fub  minore,quau  uidelicet ma- 
ius poiTit  fubtrahi  i minore . Hoccafu,  eadem  figna  non  po* 
nunt  idem  fignum,  fed  ponunt  lignum  diuerfum : fcilicet,ex 
-f-  & -f-  non  fiet  -f- , fed  fiet  minus . Sic  ex  — & — non  flet 
— ,fcd  fiet  -f-.  ut  uides  in  exemplis  fequentibus* 

Exempla  de  exceptione  in  lubtradione* 


A yo  — z 

y*i8-f-4 

4 

> 

00 

1 

H 

,/%8-f-z 

De  fola  fubtradione  poiTunt  dari  excpla  exceptionis : nam 
in  additione  ponunt  eadem  figna,idem  lignum, line  aliqua  ex* 
ceptione. Satis  autem  uides,ut  numeri  -f-z  & -f-  4»  item  — z 
& — 4, ponantur  praepollere  tfcilicet  maior.qui  fuerat  dibtra 
hendus.ponitur  inferius ,fub  minorc.Et  ex  illa  praepollera  po- 
litione, fit  etiam  praepollera  operatio,  uidelicet  ut  luperiorab 
inferiore  fubtrahatur.  Itacg-f—  z ab-f— 4,fadt  — » ;o i — z ab 
— 4,  facit  -f-  z. 

Sequuntur  alia  exceptionis  exempla» 


</%  yo  -f-d 

y%7Z-4-2 

z 

6 -f— A 18 

4—JMz 

— 4 

In  priore  exemplo  ponuntur  praepollere , numeri  priores* 
Vnde  ex  eis  fit  — /fc  z . In  polteriore  uero  ponuntur  6 Qi  z. 
praepollere, ideo  ex  eis  fit — 4,&c. 


FTertio . Sequitur  regula  fecunda,  dicens : Diuerfa  figna 
commutant  fpecies.  Loquitur  autem  regula  de  fpeciebus  ope 
rationum  Algorithmi.Quod  ideo  dico , ne  exiilimes Ipcciem. 
aliquam  medialium  efle  mutandam»  Commutare  fpecies» 

ftenfUi 


% 


Arithmeticas  Liber*  it,  124 

(jfenfo  regula: ) eft  (obtrahere,  in  exemplis  additionis : Qi  ad* 
dere.in  exemplis  fubtra  dionis.ut  uidebis. 


Exempla  additionis  pro  regula  fecunda. 


Aj-o-f-3 

Aro  — 3 

Aii— r 

A?*-t-r 

J$i6i — x 

Vides  ut  in  exemplis  illis  additionis.ftat  fubtradio,  inqs 
numeris  quos  refpiciunt  figna  diuerfa.  Signa  autem  non  refpi 
duntretrorfum,  quare  inijs qui  praecedunt  figna  illa  diueru, 
non  fit  fubtra  dio  fed  additio. 

Exempla  fubtradfonisproregula 
* eadem  fecunda. 


Al6z-f-x 

A <6* — * 

Aro— 3 

Aro-f-3 

A)»-i-r 

A)»— r 

Vides  & hic, ut  in  exemplis  fubtradionis , fiant  additiones 
in  numeris  illis  quos  figna  -f-  6c  — - refpiciunt. 


V Qjiarto.  Regula  Ioquif  de  ponendis  fignfs  illis— f— 8^ — . 

A, inquit, ponit  M.  Hoc  eft, in  additione  C quae  per  literata 
Adefignatur)  ponitur  fignum  numeri  maiorisCid  quod  litera 
M defignat . Et  s ponit  5 . Hoc  eft , in  fubtradione  ( quae 
perl/teram  s defignatur)  ponitur  fignum  numeri  fuperioris, 
id  quod  fecundum  s defigna  r.  Exemplum  horum  ufdere  po 
tes  in  exemplis  fuperioribusquatuor  proximis,  quorum  duo 
funt  de  additione,&  duo  de  fubtradione . In  additionum  ex- 
emplis non  curandum  eft,  an  numerus  maior  C cuius  fignatn 
poni  debet)  ftet  fuperius  (iue  inferius . Et  in  fubtradione  non 
eft  curandum, an  fuperior  numerus  (cuius  fignum  poni  debet) 
ut  maior  fiue  minor. 


Alia 


..  . . ,MlCHA£US 

Stipelii  r 

Alia  exempla  additionis. 

8 — A j-o 

Aro-f-*  . 

A*4* 12 

24 — A*4l> 

A72 — 4 

30 — A 71 

Primo  addo-f-8  ad  — 12  (ideft,  fubtraho  propter  diuerfe 
Hia  figna-f-& — ) facit — 4.  Deinde  fimiliter  addo  -f-Ax4* 
ad  — A j-o  (id  eft, fubtraho)  facit  -f-  A 7 2, 

Secundo, in  fecundo  exemplo,  addo  -f-  7%  j-o  ad  — A »41»' 
(id  eft,  fubtraho)  facit  — A7*«Deinde-f-  24  ad -j- fa- 
cit -f-  30,, 

Exempla  fubtradlionfs. 


A7* 4 

30 A 7* 

8 — Ar<> 

Aro-H* 

A 242 — 'lz 

24 — Ah» 

Primo, fubtraho  -f-  8 1 — 4 (ideft,  addo  propter  diuerfe 
illa  figna  -f-  & — ) facit  — 1 2,  Deinde  fubtraho — A j-o; 
a -f-^%  7 2 ( id  eft,addo ) fecit -f- A 242. 

Secundodn  fecundo  exemplo, fubtraho  -f-  A r°  * — A 7* 
(id  eft, addo)  facit  — A 24*«  Deinde  fubtraho -f-  6,4 -f-  30,- 
remanent  -f-  24. 

Sicut  autem  fruftri  ponitur  cifraante  figuram  fignificatfe 
uam  (ut  hic  08)  ita  fruftra  poneretur  fignu-f—  ante  numeros 
initiales  feu  fundamf  tales  (ut  fic-f— A 7 2 — 4 ) nihilominus 
tamen  fubintelligitur  tignum  -f-  prarponi  cuilibet  numero1 
initiali  feu  fundametali.niti  exprefle  habeat  fignu  fubtradoje,. 

Cautela  quardam  utilis  pro  quibufdam 
fubtradionibus. 


fQuando  in  ordine  fuperiori  occurrerit  locus  uacuus,tu' 
pone  in  locum  illum  cifram  femper  lignatam,  figno  hoc  -f-*- 
Et  tunc  operaberis  fecundum  regulas  additionis  8C  fubtrar 
dionis  datas*. 

Exemplat 


I 


. 


is 


Arithmeticas  Liber  ii,  u? 


tc-j  ■- 

Exempla  cautelae. 

« «/feO-f-ld 

y%i8o-f-o 

\/%J20 8 

.i*  520  — 8 

24 J$)20 

8— y%2o 

Vides  /n  exemplo  priore,ur(ubtraxerimv^  j 20  — 8 de  16, 
& ut  yfco.f.nihfli  Agnum,  poiuerim  in  locum  uacuO, cum  ligno 
additorum  fubintelligendo* 

_ Sic  in  pofteriore  exemplo  fubtraxi  J%)zo  — 8 1 1 8 o,po# 

(uit#  o in  locum  uacuum,aim  flgno-f-  expreflo* 

V Vel  pro  cautela  illa  ,hac  utere  regula . Commuta  lingula 
ligna  illa  -f-& — , in  rjs  quae  debentTubtrahi  ( id  eft.ubi  inue 
neris  -f-,tu  pone — »8t  ubi  inueneris-^-  pone  ru-f- ) fic'cg  uno’ 
ordine  omnia  fcribe.uidel/cct  poft  illa  i quibus  fleri  debet  fub* 
cratfio : deinde  reduc  reducenda* 

Exemplum*  ' 

Volo  lubtraherey%  180  — 8 de /$3  20. 

Sic  ftabunt  particulae.  . 

SZ}2o—Sii8o-j-S. 

• Redudar  particulae  (id eft,fubtrado  iSo  de vfyj  *o)’ 
flcftabfcrelidum  fubtradionis. 

8- f-*/%20,  vl  . 

Aliud  exemplum  illius  regulae 
V olo  fubtrahere  8 ~ 1 1 de  */*  7 1 — 4. 

- r-  Sfcft^tordo, * 

Sic  Itabit  ordo  redudus:  7.1-f-Vfc » 2 it 

. Ego  loleo  ipjiujufmodi  numerorum  exemplis  omnia  lic  po' 
nere,ut  merantutfomnia  ad  numetu  fundamentalem  feu  initia 
■ ‘ uariata  enim  relatione  taIi,oporicreruariare  etiamiirpe 

regulas  aIiquas,quod  nop  uidetur  efle  confultum*  . . 

De  multiplicatione.  • '■'  }* 

T Regula  multiplicationis^  d/uifionis  prima,  fle  dicit? 
£adem  figna, ponunt  flgnum  additorum  ♦ Siue  igitur  multipli 

jj'.,  1 CCS' 


1 


' ' t iMjchasli*.  Stifclu:  .-.A 

tes  plus  in  plus,  fiue  multiplices  minus  in  minus , femper  po< 
nendum  eil  fignum  -fr-  * V t 4-8  in  •+  6,facit  48«Sic  — 8 in 

— tf.facit -f-48.  ! - 

Secunda  regula  fic  dicit  : 

Diuerfa  figna,ponunt  fignum  fubtradoruro « Vt  G multi# 
plices  -f-8in  — 6,facies — 48. Sic — s in-f-7, facit  — 35-, Sic* 
Exemplum  multiplicationis. 

6 — y%2  o 

* s— Ait ' ' 

48-1-30  — %/%l28o — «/%»6  20 
i Haec  addita, (eu  ad  le reducia, faciunt  78— Vfcj -7807" 
Aliud  exemplum. 

^288— y%^48  , 

/&128  — Jtol6x ; 

A«9  2-f- 18^— y%288 — y%2  t6. 


Etlicdeains  exemplis. 

Dediuifione. 


TDiuifio  probat  multipIicationem,ficut  multiplicatiodiui 
fion^m,  ut  , 48 — Jtyj.20 — Ji*<S}.o -f-jo  (8  — ^4f. 

,is — a>oV%.<54— 

Vides  hic  fummS  multiplicationis  ex  primo  exemplo  pro# 
du&am,diuifam  per  multiplicandum,atqj  in  quotiente  redrjfle 
multiplicanfem. 

Sic  fumma  multiplicationis  fecudi  exempli.diuiia  per  mul- 
tiplica ntem,  producit  multiplicandum,  ut 

Jvtft-Jwz—Jwit- \-*8  (y^88-%S*48« 

$ed  huiufmodi  exempla, diditur  exempla  arte  fafta  feti  paV 
rata : quae  hoc  loco  etiam  ideo  ponere  uolui,  ut  fatisfacereiri 
regulis,  quas  de  multiplicatione  & de  diuifione  pofuf.V idebis 
enim  in  Algcbra  aliquando,  ut  profit  cognitio  talis  lignorum. 
Oportet  aute  mcminifiTc  regulat  um  C de  diuifione  medialium) 

pofiwruth 

H — 4 • • 


ARirHMBriC?Afi  'LlBBK  f fi;  126 
fjofitarum.V t dum  quotfentem  uelis  quaerere  in  y%  ip  2 per  dfJ 
Biforem  1 28  ,ipfum diuidendum  reducasad  fimiie  fignum 

Bi quod  habet  diuifor,  fcilicet  numerum  figni  multiplica  inft 
quadrate:&  fic  recipiet  producftum  illud  fignum  zenfizenficff, 
fcilicet  ex  19 1 fferv/^36864  ,&  ex  ^288  fictas  2944,  & 

ex  ^216.  fiet  J^66  s 6tQc  ex » 8 fiet  >/&  1 o4976.Qudd  autem 
pofui  mediales  zenficepro  medialibus  zenfizenfice,  feci  bre- 
vitatisgratia,ut  paucis  multa  fignificarem,&  ut  uno  ordine  to 
tus  pollet  compledi  diuidendus  cum  quotiente. 

' fct  fi  in  exemplo  polito  nondii  uides  regulas  illas  per  omnia 
quadrare  ad diuifionera.lta  fac.  Exemplum  illud  iam  politum 
jinuerte  pauIifper,hoc  modo: 

— A288 -f-*/%J92-f-i8— (/fc%288. 

- — «/^1^24-^128. 

At  qp  ita  perge  dluidendo  ut  prius,  fcilicet  diuidens 

r — 2944  .faciet  quotientem-*  /&&288,&c. 

Sic  fimiie  uidebisin  altero  exemplo  quod  pofoi,G  illud  fic 
inuerteris : ( 

1 280-4-48-4-30—  S%i6zo’  (f 
■ ■ 20  -*•[■—  6 

Sed  tame  regulariter  nihil  poteft  efle  diuifor,  nffiqudd  i (ignis 
-f-  & — fit  foIutum,ut  eft  rationalis  aut  medialis  numerus, 
i : Vnde  cum  ubi  occurrerit  diuifor  qui  habeat  lignum  uel  — , 
regula  quadam  mutandi  erunt  termini  proportioni$,qu*  fue- 
rit inter  diuiforem  & diuidendum, ita  ut  terminos  diuidens  fiat 
aut  numerus  rationalis.aut  medialis. 

Regula  iuxta  x vi  1 i/eptimi  Euclidis, 
y ^Diuiforem  tuum  feribito  bfs.  & ln ‘aiteroCdrum  corii* 
muta  fignum  additorum,  uel  fubtradorum , in  fignum  di» 
uerfum , ( hoc  eft,  fi  habuerit  fignum  4- , facito  pro  eo  — : fi 
autem  habeat — .facito  pro  eo  4-  ) & illam  fummam  fic  mu- 
tatam in  diuerfum fignum, multiplica  in  utruncp  terminum 
tua?  proportionis,  hoc  eft,in  diuiforem  tufi,8f  in  diuidendum. 

Ii)  Sic 


Michablij  Sttfblii  ,A 

"Sic  enim  flet.ut  exdiuifore  compofiro,  auttanqu?  coirpof!t<\ 
fiat  diuifor  rationalis,aut  medialis»  & nihilominus  tame  mane 
bit  proportio  prior  illacfa  > ut  non  poftit  nili  debitus  quotiens 
prouenire»ex  ea  diuilione  fle  parata. 

Sumpta  eft  haec  regula  ex  decimaodaua  propofltione  fepti 
m i libri  Euclidis.quaefic  dicit:  Si  unus  numerus  ducatur  io 
duos, tantus  erit  duorum  inde  productorum,  alter  ad  alterum, 
quantusduorum  multiplicatorum  erat  alter  ad  alterum. 

Exemplum  diuiflonis  primum. 

Volo  diuidere, 66 — zooo  ,per  8 — v'%45’»  multiplico 
utrunq;  (id  eft.diuiforem  & diuidendum)pcr  8 -{-7%  4j\Tunc 
fit  ex  diuiforc.i.ex  8 — v^j.ea  multiplicatione,  19, nouus  dis 
uiior.Etex  diuidendo.1.66 — y%2ooo. ea  multiplicatione, fit 
%z8-f-*/%7*2o>noiius  uidelicet  diuidendus.  Prouenit autem 
exdinifione  illa,ifte  quotiens  1 z-f-Vfc  zo. 

Proba.  Hoc  cft,  multiplica  » z-f-  in  8 — ^45-,  tunc 

prouenict  66 — »/%  2000. 

Exemplum  diuiflonis  fecundum. 

Volo  diuidere  6 pcr»/fci  2-f-V%  6. Multiplico  igitur  utrunep 
per  6 , tunc  ex  J\  1 2— f— %/%  <5,  fit  6 nouus  diuifor : & 

ex  6 diuidendis»fity%43  2 — 1 6,nouus  uidelicet  diuidedus. 
Diuidc  ergo,  & inuenics/fci  z — */%  6 . 

Probatur  per  multiplicationem  quotientis  io  diuiforem:  fci 
licet  ^ 1 z — 6 in  1 6,fadt  6. 

Aliud  exemplum. 

Volo  diuidere  J&i)  3 z8 — 103  68  per  6,facit  diuiflo  illa 
^ 6»  Et fic de  alijs. 

tUc 

_ - , - - •,  1 • ) ' ' * • 


-1 


Arithmeticae  Liber  -ii;  1x7 

DcBfhomijs  &Rcfiduis,atcpde  eorum 
radicibus  quadratis  extrahendis» 

Caput  x» . 

AD.ICVW  extra&io ex b/nomrjs 8>C rcfidufs.res 
talis  cft  ac  tanta,ut  fola  fufficiat  ad  expediendas 
omnes  difficultates  totius  decimi  Euclidis.  Et  fl 
uis.ut  breui  fent entia  dicam.quid  habeat  ille  decf 

mus, audi.  Habet  primo  medialia  quadrate,&  eo 

rum  radices.  Habet  fecundo  binomia,& eorum  radices.Habet 
tertio  refidua,&  eorum  radices.  Sic  itacp  habes  totu  decimum. 

Radices  aut  medialium  quadrate, funt  mediales  zenfizefice. 
ut  radix  quadrata  (de  talibus  enim  folis  hic  agitur)  exVj.d,  eft 
, ut  etiam  fuperius  in  Algoritbmo  medialium  docui. 

Radices  ex  binomtjs  primae  fpeciei,funt  binomia.  V olo  aut 
‘amodo  de  fpeciebus  numerorum  irrationalium  loqui,  more 
Euclidis,uidelicetut  fune  contradi ad  lineas. 

Radices  ex  binomrjs  fecadae  fpeciei  & tertiaret  bimediales,*  * 
Sic  radices  ex  refiduis  primae  fpeciei,  funt  refidua. 

Radices  ex  refiduis  fecundae  & tertiae  fpeciei,  funt  refiduales 
bimedialiter. 

Itac^ficut  numerorum  rationalium  quidam  fant  quadrati, 
quidam  funt  nonquadrati:  (ic  numerorum  binomialium  qui-* 
dam  funt  quadrati,quidam  non  quadrati . Item  etiam  quidam 
refidualium  funt  quadrati,quidam  funt  non  quadrati. 

r Quadratos  binomiales.ibinomialibus  non  quadratis  i 
item  refiduales  quadratos, i refidualibusno  quadra tis,fic  certo 
cognofces.  Si  differentia  quadratorum  particularum  habuerit 
proportionem  >ad  quadratum  particulae  maioris,  tanquam  nu 
meri  quadrati  ad  numerum  quadra  tum,  erit  binomium(aut 
refiduum)  huiufmodi  particularum  abfque  dubio  quadratum. 
Si  nat  talis  proportio,non  fit  proportio  tanc^  numeri  quadrati 
* I tij  ‘ ad 


; 


' Michaeli*  STrPBt^i  A. 

ad  numerum  quadratum, non  erit  binomium  tale  quadratum» 
nec  refiduum  tale  quadra  tum  erit» 

Exemplum.  - 

Volo  fcire , utrum  quadratum  fit , hoc  binomium  Jtfs j- 
. Quadrata  particularum  funt7y&7»:  horum  diffe- 
rentia eft  3.  Diuido  ergo  7r  per  3 ,&  produco  numerum  qua* 
dratumij-.Itacp  necclfc  eft,  ut  prxdirtum  binomium  habeat 
radicem  quadratam. 

Aliud  exemplum» 

• Volo  (cire  de  hoc  refiduo,  an  fit  quadratum^  145-8 — 36, 
Quadrata  particularum  funt,  145-8, & 1 2 96:  horum  differentia 
eft  162.  Diuido  igitur  145-8  per  ilr.&fadoquotientemqtHU 
dra  tum , uidelicet  9 ♦ Ergo  necefte  eft , ut  pofitum  refiduum  fit 
quadratum, habeat'q;  radicem  extrahendam» 

T Aliud  exemplum. 

Volo  fcire  utrum  44-f-Vfc  1 1 s 2, habeat  radicem.  Quadrata, 
particalarufunt  1936,$  1 15-2 : differentia  eft  784. Quar  dum 
diuidit  19  3 6, facit  quotientem  quadratum, uidelicet  2^. Ergo 
necefte  eft,utpropofitumbinomifi  habeat  radice  quadratam» 
Si  binoinium,aut  refiduum, fuerit  fub  prima  fpecie,&  diffe* 
rentia  quadratorum  fit  numerus  quadratus, tunc  necefte  eft  bi* 
nomium  illud, aut  refiduum, habere  radicem : ut  patet  in  exem 
pio  proxime  poflto.  Si  autem  binomium,  aut  reuduum , fuerit 
fub  alia  fpecie  quim  fub  prima/ucritfcg  differentia  quadrato^, 
particularum,  numerus  quadratus,  tunc  impoftibile  eft, ut  bi# 
nomium  propofitum,aut  reftduum,(lt  quadratum. 

V Radicum  uero  extradiones  fle  fiunt. 

Primo.  Pro  binomio  aut  refiduo  tuo(de  quo  radix  eft  extra 
henda)  pone  dimidium  cius.  * 

Secundo.Recipe  quadrata  particularo  dimidrj  illius  fic  po* 
fiti,ea'cg  quadrata  fubtrahe  ab  inuice,&  radice  relidi  illi*  ferua» 
Tertio.  Recipe  maiorem  particulam  dimidtj(tui  binomtj, 
aut  refldui, primo  pofiti  loco  fui  integrOeamhp  primo  adde  ad 

radicem 


ARlTMMETfCjAB  J-IBER  yu  liS 

radicem  prius  feruatam,& radix  quadrata,  illiusaggregati, 
erit  parricula  prima  radicisquam  quaeris. 

Quarto.Eandem  radicem  relidi  prius  feruatam,fubrrahe  i 
priore  illa  particula  maiore  (illius  dimidii»  quod  primo  pofue* 
ras,loco  lui  integri,dumdimidiares  tuum  binomium,aut  refi* 
duum). Et  radix  quadrata  illiusrelidi  noui(7imi,erit  particula 
(ccunda  radicis  quam  quaeris. 

Duabus  ergo  particulis  tuae  radicis  inuentae , interpone  17* 
gnum  additorum  uel  fubtradorum.  Nam  (i  fit  radix  binomij» 
interponendum  eft  lignum  -f-  ,S i autem  fit  radix  refidui , tunc 
interponendum  eft  lignum — . 

Exemplum  primum. 

<•  -FSit  radix  extrah?da  de  hoc  binomio  primo,  3 8— f— 

Pono  primo  pro  integrOjdimidiumeius  hoc,  »9-t-^7*. 
Secundo  recipio  quadrata  particularum  illius  dimidij,uide 
jUcet  3 6 i,&  72, eaq;  ab  inuicem  fubtraho , tunc  relinquuntur 
189 : huius  relidi  radicem  quadratam  extraho,atque  referuo* 
quae  eft  17«  % 

? Tertio  recipio  i*(  hoc  eft,  particulam  maiorem  dimidtj  W 
homij  mei,  primo  politi  loco  lui  integri ) & addo  ad  radicem 
relidi,  prius  ferua  tam . Hoc  eft , 19  addo  ad  1 7,  facit  3 6.  Et  ex 
hoc  aggregaro  extraho  radicem  quadratam , facit  6 , uidelicet 
priorem  ieu  maiorem  particulam  radicis  inueniendar. 

Quarto.  Minore  particulam  radicis  inueniendar  flcquarro* 
Radicem  relidiprius  ferua  tam.id  eft  17 , fubtraho  4 particula 
maiore  dimidij  illius,  qcP  priu-v  fuerat  politum  loco  fui  integri: 
fcilicer  17  fubtraho  4 19, remanent  2. Radix  iracp  illius  no* 
uilTimi  relidi  ( id  eft , ) erit  particula  fecunda  radicis  meae 

inueniendar. 

Itacpduabus  particulis  radicismcaeinuentfs,uidclicet£& 
a » interpono  lignum  additorum, co  qudd  Ut  radix  binomij 
Vndeflcftabit  radix  inuenta:  , 

• ; * Probatur 


Michaelis  Stifeliv 

^ ‘ Probatur operatio per multiplicationem' 

radicis  in  fe,  ut 

6- • u • 

6- f-A* 

f-A7* 

Summa,  3 8 -f^7%  188, 

Secundum  exemplum. 

FVolo  extrahere  radicem  quadratam  de  hoc  refiduo  A 18 
—4, fecundae  fpeciei. 

I . Pro  integro  illo, pono  dimidium  eius  hoc/ ^ — *; 

2«  Particularum  quadrata, id  e(l,* i * 3|&4,  ab  inuicem  fub*. 
traho,  remanent  f . Et  huius  relidi  radix  quadrata  facit  A?» 
quam  reieruo , uel  A k* 

3 . Recipio  A H (id  eft, particulam  maiorem  dimidij, b I0 
nomij  dimidiati  ( addo'qj  ad  A£  ( id  eft,  ad  radice  relidi , prius 
refertiata)facit  A A .i.  A 8.  Itacp  Afc8  erit  prior  particula  &<? 

4«  Eandem  radicem  relidi,prius  feruatam  ( id  eft,  A £ ) 
fubtrabo  i A . remanet  ex  ea  fubtra  dioe  Af»  fcuA  z,  cuius 
radix  quadrata  facit  A%  2. Et  eft  fecuda  particula  radicis  meae 
inueniendar. 

Itaq?  radicis  meat  particulae  funt  A% 8 & A%  i.  Quibus  itu 
terpono  tignum  fubtradorum  ,co  quod  radix  iit  retidui,  Vnde 
fic  flabit  radix  inuenta , A%  8 — </&*« 

Probatur  operatio  per  multiplicationem  radicis 
> in  fe  quadrate,  ut 

«%8— A** 

' A%8— A%* 


A 84-  A 2 — 2—  2 

Summa . A 1 8 — 4. 

Tertium  exemplum. 

rSit  extrahenda  radix  dc  hoc  binomio  tertio, 

A**  -f-  A »4* 


Primo, 


ArITHMITICAB  LlBBR.  II.  I2p 

Primo, pono  dimidtom,facit</*  8-f-V%  <?♦ 

Secundo, reMum  et  quadratis  ab. inuiccm  fubcra &is,eft  i. 
cuiusradixeft%/fcz, 

Tcrtio,addo  8 ad  v/%z, facit  1 8 «cuius  radix  quadrata  fa 
cir  1 8, fit  eft  particula  prima  meae  radicis, 

Quarto,fubtraho%/%iab  ^8  ( id  eft  .radicem  relidi  prius 
feruatam,4  particula  maiore  illiusquod  primo  tanquam  dimi 
dium  interi  binomij  politam  fuerat)  facit  lubtradio  y%z;  cu» 
A»  radix  quadrata  eft  z,  & eft  particula  fecunda  meae  radi# 

cis,quae  fic  ftat  inuenta,  1 8 z.  Probatur; 

/%%l8-f-/%%S 

J Afr'8-Wta* 

j'.. ..  , A>8-{-y^z-i-y%<s-4-y^<j. 

Summa,  /&3z-f-  zj 

FTentabo  nunc  huiufmodi  operationum  reddere  ratione, 
Humeris  (quos  g>  excplis.pofui)cotradis  adfupficies  qdratas; 
Ut  binomiu  hoc  3 8— f— z8  8,  fic  cotrahit  ad  fupficie  quadrati. 


z 


, . > ]( 

z 

u3  * ^ 

« * 
I 

/fcz  -4-  6 


K Certe 


Michablij  SriFBur  t 

Certe  utdes,  ut  radix  ejus  z, mult/pl icat/one  fui  in 

fe.conftiruat  fuperfideoi  hanc,diftributa  per  luas  pari iculas^ 

2uaru  duae  (quae  fune  rationales)in  numeroabftrado  coeunt, 
iciuntcg  particulam  eius  maiorem  :&  reliquae  duae  etiam  co* 
cunr.faciuntcg  particulam  eius  irrationalem.  .> 

Medirans  igitur  regulam  de  extradione  huiufmodi  rad/cS, 
refpcxi  ad  particulas  talis  compofitionis,  fciens  eas  elle  opor- 
tere etiam  reiolutionis  particulas.eascp  - . . : — — . 

polle  fle  proportionaliter  poni.ur  dimi  j j , 

dium  partis  minoris,debinomio  (aut  l^7tl 

refiduo)  femper  fit  medium  proportipnafe,  inter  partes  duas 
particulae  maioris, de  binomio,  aut  refiduo.  Vidi  igitur  nihil 
efleopus,nifi  regula  tali,  qua  quilibet  numerus  rationalis  aut 
media  lis.po  flet  diuidi  in  duas  partes,inter  quas  confiirui  pof- 
fit  numerus  aliquis  propofitus.  Vt  (exempli  gratia)  quaeftio 
fit  talis.Numerus  ifle  38  ,diuidendus  eft  in  duas  partes, quae  in 
ter  (e  multiplicatar/aciam  71.  Quaeritur  ergo, quantae  fint  par 
tes  illae  < Quia  autem  admodum  facile  eft , huiufmodi  regulas 
formare.per  Algebram  C quae  fertililfima  eft  regularum  for# 
■nandarum)  contuli  me  ad  illam,  atque  illius  ufu,  compolui  il« 
lam  quadrimembrem  regulam,  quam  hoc  capitepofui , fecifcp 
hoc  fecundum  ea  quae  iam  recitaui. 


Iam  fi  quis  ftudiolorum  meo  exemplo  uelit  conftrucre  regu 
lam  de  inuentione  radicis  cubicae,ex  binomio  cubico,  aut  re  fi* 
duo  cubico,recipiatbinomium  aliquod  cubicum.  Vt  eft  hoc* 
-f-*/*z4zoo ; cuius  radix  cubica  eft  z, 

|| 

i* 

(' 

fr 


Arithmeticae  Liber,  iit 


*/%  z -f-  6 

Binomfum  autem  illud  contra  (Sum  ad  cubum,  cernitur  iub 
iftis  particulis  compofitionis. 


| y%3  I tx  l^jis-px  | tl6  j *_  ; 

1 •*  iA*r9* 

I «* 

Copofitur*  /git  regula  de  extra  tfionib?  cub  Icis  ex  b/nomtjs 
& refiduis,refpiriat  ad  diftradione  particula^  pofitam,&  iciat 
efle  ,pporrionalitate  continua  inter  4 (upremas  parnculas.fci* 
licet  inter  y%8  8C  1 infanti  2 duo  media  ,pport/ona 

iia,fdatq$  particulas  mediales  ad  fe  additas, per  ficereporrionc 

K ij  binomij, 


Michaelis  Stifelit  *\ 

'bfnomti  cubfd  minorem,  ficut  particulae  rationales  perficiat* 
portionem  eius  maiorem. 

Pofitis  igitur  particulis  perfidentibus  portionem  cubid 

binomtj  maiorem,  hoc  modo»  icru-  . 

tetur  qua  ratione  aut  regula  diuidat  I 0 1 1 ^ I ° 1 — 3*zJ 

14100  C.i.  minor  portio  bmomij  j o / 

cubici ) in  duas  partes , ita  ut  tertia  j 1 ^ j o f 

pars  maiorispartis,fit  medium  pro* 
portionale  inter  1 n & z j-  x — 3 ^ : talis  enim  regula  expediet 
totum  ncgocium  de  extradidhe  cubica  binomiorum  & refidut 
orum.&c . Zenfizenfus  habet  particulas  fedecim . Surdefoli- 
dos  habet  triginta  duas : ficut  etiam  lib.  \ .oftendi,&c. 


X 


Arithmeticae  Liber  ii.  iji 

«quadratam.  Eius  aut  binomium  efti/fci8-f-  4» V nde  nihil  difi* 
tert  extrario  radicis  refidui,  ab  extractione  radicisbinomtf, 
quantu  attinet  ad  operationem  illam  quat  fitiuxta  regulam: 
nifi  quod  fignum — ponitur  in  refidqis.ubi  fignu  -f-  ponitur 
in  binomrjs.  Qui  autem  intelligit  multiplicationem  quadrata, 
die  etiam  intelligit  radicis  cxtracflioncm. 

Sic  autem  habet  multiplicatio. 
y*%8— a*x 

A%8 — JtfiX 

• >/%8-f^7fex — Z — a.  •*'  ’ . • 


Prima  multiplicatione  C id  eft,  Jtfi  8 in  ✓%*  8 ) conftituitur 
fuperficies  ABC  d, quae  facit  8.  Secunda  multiplicatfone,ul 

dclicet  — in — Afc  conftituitur  fuperficies  quadrata 
Tertia  multiplicatione,uidelicet  -f-Vfc%8  in  — 
nt  fuperficies  Efubtrahenda  i fuperfleiebus  duabus  prius.coq- 
ftirutis, uidelicet ab  abcd x.  Tollit  itacp  fuperficies  B, 
fuperficiem  a b.  Sic  fuperficies  p.quae  fit  ex  quarta  multiplica 
fione,tollitetiamfibiaequalem,uteftAC.Sed  A prius  fublata 
fuit  per  fuperficiem  E.Idcointelligatur  fuperficies  x in  loeu 

A fucceffifle.cum  Afint  aequales.  Itaqp  fuperficies  F. 

fubtrahit  Et  fic  tandem  manet  fuperficies  D fola.quae 

facit  1 8 — -4  « Et  eft  illa  fuperficies  de  qua  extrahitur  radix, 

mediante  iuper fide  binomiali,*/#  x e f A b c d. 


r“De  tertio  exemplo  non  eft  opus  dicare : eft  enim  per  om* 
nia  fimile primo  exemplo.  Nifi  quod  particulacin  tertio  exem* 
plo.omnesfunt  irrationales.  QC  radix  eft  bimedialis. 

Si  autem  quaerat  aliquis  de  radicibus  trimedialium  di  trino# 
mialium  dic.  illi  refpondeo  per  fignificationem  huiusfequen- 
jlis  figurat, Nemo  enim  omnia  ipeciatim  recenfcre  poteft,  # 


;K  Hj 


y * f 

* C:  % 


MiCHAsiif  S TrPEtrr 

i io  ioo  . 


■.i  /v 


s '» 

It  1 

>iid;nr 


io» 


Multiplicatus  eft(ut  uides)  numerus  Ille  1 1 1 quadrate,  qui 
habet  tres  figuras, tanquam  tres  radicis  particulas,&c* 


De  Algorithmo  minutiarum  irrationalium,, 
fit  de  probatione  quadam  huiufmodi 
Algori  thmorum.  Cap.  xu 

peraTio  illa  fecundi  exempli,  /ncap/teprac- 
cedcnti,de  extratflioe  radicis  ex  rcfiduo,admonet 
me,ut  non  negligam  ponere  Algorithmu  mfnu* 
ciarum  irrationalium, co  9 illud  exemplo  progrei 
difltur  per  regulam  illam  exrradionis,  fub  minui 
tijs  irr  onahbus.Conftat  aut  Algorithmus  ille  cx  regulis  Algo 

lithmi 


ArtYhmbticab  Liber  ii.  i$» 

ffthmi  minutiarum  comunium,&  ex  regulis  integrorum  irra* 
tionalium  numerorum  >ur  uidebimus. 

Dereprxfentatione&pronundatfone,  \, 
rQuando  fignu  radfcaie  ponitur  ad  medium  minutis,ttmc 
fignu  m illud  refertur  ad  utruncg  terminum.  At  fi  denominatio 
aliqua  ponatur  ad  medium  minutix,  non  refertur  ad  utruncy 
ter  minum, fcd  ad  numeratorem  folummodo. 

Exemplum  u triufcp,  f f^.facit  y- 
Minutia  reprxienrata  fub  integro  aliquo  numero, addito  ad 
minutiam,pronunciarur  fub  fradura  integrffacientis  cum  mi 
qutia  illa  unicam  minutiam . Vt  ijf?  pronunciatur  iuxta 
banc  repraesentationem  fic. Radix  cubica  de  i^i.diui» 

ia  per  radicem  cubicam  ex  r a j>  Vel  pronunciatur  iuxta  hanc 
repfentatione/^91 : fcilicet  radix  cubica  ex  19  i,diuifa  per  jy 
Vel  ,pnunciari  poteft  fub  hac  reprxfentari5eyct,+j|rooo 
Minutix  irronales.qux  non  ftant  in  minimis  fuis  ter  minis,  • 
seducunt  ad  minimos,ca  regula, qua  minutix  c5munes,quam 
uidelicet  regula  pofui  lib.  i ,cap.  i.Vt^ct  $ 2,ide  funt, 

Ideetiaefi  'Sfrur  patet  ex  redudione  ad  idem  fignu  radicale. 

De  Additione  & Subtrad/one. 
r Vt  autem  Algorithmus  ifte  minutiaru  irrationalium  con 
fiet  ex  algorithmo  minutiarum  c5munium,  & ex  algorithmo . 
integrorum  numerorum  irrationalium,  pulchre  pacet  ex  iftis 
duabus  minutijs  addendis  aoc  fubtrabendis, 

yo-f-Vct  3 I JcZ  8 

*■_ : ! > • — 

Primo  reducuntur  ad  xquales  denominatores,  per  multipli 
cationem  in  cruce,  iuxta  algorithmu  minutiarum  comuniumj; 
non  th  omnino  abfcp  regulis  Algorithmi  medialiu,ut  fatis  pa 
tet  ex  numeratoribus  prxdidis,&  ex  algorithmis  fuperiorib. 
Sic  autem  ftant  redudae  ad  eundem  denominatoreou 
»/frzpo-f-,/rtz4  i J%ioo 


io 


io 


Michablis 

Stifelii 

'4 

Iam  poteris  addere  aut  fubtrabete* 

Additio  facit 

Subtractio  facit 

t/$8oo  j- 184 

Jcl  15-3  6 

IO 

In  additionibus  & fubtradionibus  huiufmodi , referuantur 
denomina tores, donec  numeratores  fuerint  expediti>&tunc 
denominator  rurfum  fupponitur;id  quod  exempla  pofitk  fatis 
probant  atcp  declarant# 

De  Multiplicatione* 

^Numeratores  ( inquit  regula  comunis  Algorithmi)  mul/ 
tipliccn tur  inter  fe,&  denominatores  inter  fe  multiplicentur  i 
fed  fic  tamen, ut  flgna  radicalia  flnt  reduda  ad  idem  lignum  ra* 
dicale,  ut  dicit  regula  integrorum  numerorum  irrationalium* 
Aequalitas  autem  denominatorum,quae  in  additione  requiri 
Cur,  in  multiplicatione  non  requiritur* 

, Exemplum* 

Volo  inter  fe  multiplicate 
^§00^.^5-184  I -36 

1 o I »o  . . . 

Primo  reducuntur  numeri  ad  aequalia  figna,antequam  inter 
fle  multiplicentur* 

Sic  autem  fiat  exemplum  redudionis* 

$00  5-184  15-3$ 


Facit  fiaecredud/o 


/je^5>rsoooooo-f--y^a^87385-^>fli</^i35-piy^# 

' I®  IO 

Iam 


Arithmeticae  Liber  ii, 

Iam  poteris  multiplicare  aut  diuidere. 

Multiplicatio  facit  ^rt,i°79739rri"4'^c^7|^itfl+,ic/licet 
Slrtijs 9x  9*  in  yicty , * (nam  y**  s , * li>  oooooo 

funt ) facit  y%  ct  1 1079595$  u Deinde  v^r&1-ir91 9? 

De  Diuifione. 

rDiuifio  requirit  reductionem  utranqj./.redurt/onemad 
eofdem  denominatores.  Et  redurtionem  ad  eadem  (igna  radi- 
calia.Dum  uero  redurtio  ad  eofdem  denominatores  farta  fue 
rit,rerjduntur denominatores , dC  fit  diuifio  per  numera tores,- 
Vtuolo  diuiderey^cgy  >zoooooo-f-  J%ct  16873  856 
per  Sirttjs?*?**- 


lO 


Refertis  igitur  denominatoribus,diuido 
y^j-iaoooooo-f-yjcti68758j^pery%rtz3fp2otf,. 
Facit  diuifio 

1 177!“*”  1 x,  1 

De  probatione  regularum  numerorum  irrationalium,- 

OMnes  regulas  Algorithmorum  irrationalium  numero^ 
integrorum  &C  frartorum,  irtuenies  efle  probas.per  ratio- 
nales numeros, pofitos  fub  fignis  radicalibus,  quemadmodum 
exemplo  ifto  oftcnditur.&c. 

A_49“f~yrt-8  | y ce  1 2 j- — y*p 


Hac  minutiae  redurtac  ad  aequales  denominatores, 
• , > fic  flabunt  j* 


JV96^-J*.64 

15625 — y%zzj- 

IO 

' IO 

L. 

Michablis  SriPELfi 

f Adduntur  autem  numeratores  ad  (e,  & aggregato  luppo 
Olcur  denominator  communis  • ut 
(/{t 

stety^zy — </ftzzy 
^>4389 — 

10 

r Sic  In  (ubtradione  fubtrahuntur  numeratores  ab  inuicE* 
relido  iupponitur  denominator  communis,  ut 
Ve*.  64-4-«/$  196 
^ceiy^zy — 

^841  —Jrt-916* 

io 

FVolo  nunc  illos  numeros  (quos  ad  (e  addidi,&  ab  inuiefc 
fubtraxO  etiam  multiplicare.Reduco  autem  eos  piimo  ad  ea* 
dem  figna  radicalia. 

Rcdudio  ad  idem  Agnum  radicale. 


10 

Jy*.  144 1406 zy — S$ct  1 1 )po6if 
10 

Multiplicatio  tantum  &cit,quantum  diuifio  iiiperiorisper 
4nfcriorcm ; utrobiq*  eniminucnies  1 f. 


Arithmeticae  Liber  ii. 


1 $4 

De  furdis  radicibus  binomiorum  CC  refiduorum, 

. SC  de  Algorithmo  carum.  Cap.  xir* 

I c v T radices  quadratae  binomiorum  & refiduo 
rum,proueniunt  ex  binomijs  Qi refidiris fpcdd 
primae, fecundae  ,&  tertiae ; fic  fordae  radicesbino 
iniorum  & refiduorum,  proueniunt  ex  binomqs 
& refiduis,fpedeiquartar,quintae,&  (exta:. 

Surdae  radices  binomiorum  quartae  fpcciei,uocantur  maio 
res:  ut  A-  6- f— x. 

Surda  radices  refiduorum  quartae  fpecJci  «uocantur  mino- 
res:«A.6— y%ix. 

Surdae  radices  binomiorum  quintae  fpedei,  uocantur  po* 
•entes  mediale  & rationale : ut  6- f-  x. 

Surdae  radices  refiduorum  quintae  (peciei,uocantur  compote 
nentes  mediale  cum  rationali : ut  — x. 

Surdae  radices  binomiorum  fextae  (pedd , uocantur  poteo» 
tes  duo  medialia:  ut  X4. 

Surdae  radices  refiduorum  fextae  fpedei , uocantur  compo* 
nentes  mediale  cum  mediali : ut 

De  refolutionibus  fordarum  radicum. 
iLgorithmus  radicum  fordarum  complebitur  flngufa 
lriter  (pedem  operationum  quandam,quam  Refolutio 

Inem  uocamus. Cui  opponitur  alia  fpeciesoperationiL 

quae  uocatur  Compofltio.  Ad  reiblutionem  pertinent  propofl 
tiones,3s>.4o,4f.  libri  decimi.  Adcompofitionemaure  perci* 
nenthaetrespropofltiones,3}.  34. 35,.utfoolocouidebimu$. 
Item  ad  operationes  illas  refpiciunt  propofitiones  illae, quae  ufi 
dentur e(Te  omnium  difficilimae, ut  funt  x7.x8.xp,  item  7 1. 7 x. 
73.  item  77.78.79. 

ra  Atet  uero  fub  radice  qualibet  maiore, duae  aliae  radices, 
Kfel quae  refpondeant  propofitioni  X7,  decimi,in  quas  /pfa 
''  | radix  maior  refoluit.Refoluitur  aut  illa  eadem  regula, 

L i\  quam 


"Michaelis  StifelIi  a 

-quam  fupcrius capite  decimopofui,  de  extractionibus  radicQ 
quadrata  ru,ex  binomijs  & rcfiduis  quadratis.  Ideo  illa  regula 
hoi  capite  ucnict  repetenda  per  fingula  exempla  refolutiorum 
Turdarum  radicum.  Vt  iub  hac  radice  maiore  */%.  14-f— 
latent  hae  dua:  radices  7%.  1 2 -f -Ji6,dC  J%.  1 2 — /&6.Har,inqua, 
funt  duae  radices,potcntia  incomenfurabiles  (ut  loquitur  pro- 
poiitiouigefimaieprima)  fuperficiemfcp  medialem  cotinentes, 
quarum  quadrata  pariter  accepta,  fint  rationale. 

FEas  autem  radices  ficinuenies,pcr  regulam  prsdidam. 
Primo  recipe  dimidiu  quadrati  radicis  taac.facit  1 2 1 3 8. 

Secundo , quadrata  particularum  fubtrahe  ab  inuiccm,  & 
relidi  radicem  quadratam  ferpa.Vt  138  i 144 .remanent  6, 
huius  radix  quadrata  eft  %/fc6,quam  referuo. 

Tertio,particulam  maiorem  dimidtj , quod  primo  politum 
fuit.i.  1 x.addo  ad  radicem  referuata, facit  1 i-f -J%6.  Et  huius 
radix  quadratajUidelicet^fc.  1 z -f-  6 eft  maior  radix^in qua 

refoluitur  data  radix. 

Quarto, eandem  radicem  prius  feruatam  (ideft,»/fcrf)  fub- 
traho  i priori  particula  maiore,fumpta  de  dimidio  primo  po< 
(ito  (.(.  i 11)  facit  1 2 - — .J%6 : & huius  relidi  radix  quadrata, 
uidclicet  , 1 2 — , eft  minor  radix,  in  quam  refoluitur 
A»  *4-W$JT*. 

FVt  autem  illae  duae  radices  12-f 1 2 — 

(in  quasreioluta  eft  radix  illa  maior,  24-4-»/%  yy  2)  reipon 

deantpropofitioni  x X v 1 1.  decimi, pulchre oftendit  figura 
(cquens  pofita : fcilicet  partes  refolutionis  funt  potentia  ineo* 
menfurabiles . Eft  enim  12  incommenfurabilis.  huic 

1 2 — : quia  funt  numeri  irrationales  diuerfarum  fpecieru, 
ut  nccefte  fit  eos  ede  incommenfurabilespotentia.Patet  etiam 
ex  diuilioncunius  per  alterum.Talis  enim  diuifio  facit  quott- 
■entern  irrationalem. 


£ 


Arithmeticae  Liber  .ii* 
i 2 — J%6  B Vfc.ix-f -Jtf* 


9 


Secundo,duae  illae  partes  refolutioniscotinent  iiiperficietn 
medialem  Cuc  requirit  propofitio  illa  uigefimaieptima).  Vides 
enim  ut  iupetficies  harcyfcijS  contineatur  fub  A B (faciente 
i x — J%6)  & B C, faciente,/*,  i x -j-A  6. 

Tertio  ,uides  ut  quadrata  accepta  pariter  (ut  loquitur  propo 
fitio)  id  eft,ad  ie  addita,faciant  rationalem  fuperficiem.fcilicet 
1 1 — additum  ad  i x-f-y^,facit  14. 

De  compofitionc  partium  refolutarum.id  eft, 
de  additione* 

T uero  partes  illae fic  refolutae  .iterum  componatur .feti 
ad  fe  addantur.ac  illa  compofitione  feu  additione  refti* 

L iij  tuant 


Michaclis  Stifelii  • 

tuant  prforcmradiccm  J,y%.  24-}— 2 < etiam  pulchre  fa* 
dicat  illa  eadem  figura . Scilicet  ( ut  breuiffime  dicam  ) adde 
particulas  quadrati  ad  fe, facit  14-f-/*  j-j-i.  unde 24-4- 
Jfos  i tantum  facit,quantumy$.  1 1-4 1 2 — 

Et  ut  rem  hanc  plenius  cognoicas . Multiplica  hoc  aggre* 
gatumCtanquam  radicem  quadrati  poffti)  in  fe  quadrate.  Si 
produrto  praepone  lignum  radica  le  qaadratorcf , uidelicet  hoc 
y& , tuncuere  addidifli  illud  quod  in  fe  ita  multiplicaucras.Eft 
enim  regula(cuius  rationem  ex  figura  pofita  facile  poliis  per- 
fpicere,&  quam  uanjs  quocp  exemplis  probare  poliis)  additis 
duobus  numerisquibufcuncp,fi  aggregatum  ex  eis  compofitS 


multiplicetur  quadrate,  erit  radix  quadrata  produ&i,  aequalis 
aggregato  priori.  Melius  autem  tradi  non  poteft  additio hu* 
iufmodi  numerorum, quim  mediante  multiplicatione. 

Sic  uero  flat  exemplum  ad  multiplicationem, 

y%«  1 2 -j- 1/%6.  -4-  ,y^,  1 2— ’j\6 

y&.  1 2 -f— 1 2 - -j\6 

6 -f- 12  — y%  $ ~ 

y%  «144 — • • 44 — d 

Particulae  autem  hae,  multiplicationis  huius,  faciunt  24-4- 
S 2:  unde  y*.  24-f~y%r s * «H  aggregatum  additionis  huius 
radicis y%.  1 ad  hanc  y$,  1 2 — 

Haec  de  additione  fufficiunr* 

De  Multiplicatione, 

Es"  Arnen  multiplicatio  forte  eget  pleniore  explicatione; 
ii?  ^Pro  0*  qul  minus  iunt  exercita  ti,  quim  ut  exemplum  po 
«fc^afitum  intelligant.  Volo  igitur  ijs  exemplum  multiplica 
tionis  datum, exponere  per  lingulas  particulas,ut  ex  illis  de  rc* 
liquis  iudicare  pofsint. 

Notum  uero  eft,  ut  ad  multiplicationem  quadratam, numc 
rus  multiplicandus  bis  icribatur;  ut 

y%.  1 2 -f-  y%tf.-f-*  y%.  1 2 — y%  d 

y^.  1 2 -f-  ,y^,  1 2 — - y^d 

* ' t Primo 


Arithmeticas  Liber  ii* 

Primo igitur multiplico  i in  fe,hoceft,lny&.  i » 

— f-v/fc6,fac»t  i i-f-  */%  6.  Quia  lignum  folummodo  deletur.tunc 
continuo  fit  quadratum.  Sic  etiam  multipIicoVfc.  i z — J%6  in  _ 
fe.i.deleto  ligno.facio  hoc  produAum  i » — J%6.  Harc  aut  duo 
producfta  quadra  ta,uidclicet  i z — » z — J%6, addita  ad 
fe,faciat  z^-.ut  fatis  patet  ex  algorithmo  horum  lig.  -f-& — » 

Deinde  fequif  multiplicatio  in  cruce,  hoc  cft,  i z -f-  J%6 
multiplicatur  iW*.  i z — A 6.  Hic  certe  non  eft  multiplicatio 
quadrata ; non  em  funt  arquales  numeri  inter  (e  multiplicandi, 
y% . i z-f—  6 
y%.iz — j%6 

DiiTimula  interim  lignum  primum  radicale,quod  in  utrafcp 
particulas  uim  fuam  extendit.boc  eft, multiplica  quadrata  in- 
terfe,proradidb.fcil:cet  izin  1 1, facit  144.  Deinde  in  — 

4n-f— »/%6, facit  t — 6.Vnde  6 fubtra&a  2 144,  relinquunt  13*. 

Itaqj  multiplicatio  harc  tora  facit  1 3 8. Nam  » z in  -f ' 
facit  quidem  -f-y$864»fed  izin  — y*6farit  — y%  864.  Et  fle 
alterum  tollit  altera, quia  diuerfa  ligna  c5mutant  fpedem,&c* 
Atqp  ita  nihil  remanet  ex  illa  multiplicatione»/^ . 1 z-f— in 
,/*.  1 z — y%.  144 — <5.hoc  eft,y^  13  8.  Non  enim  negli# 
gendum  eft  fignu  radicale,quod  primo  fuerat  diflunulatum. 

Deinde  iterum  multiplicatur  yfc.  1 z-f -V*  6 in  y%.  1 z — 

(ut  perficiatur  multiplicatio  in  cruce ) facit  itera  138  .unde 

y*.,8  duplari  debet,facit  j-yz.  Harc  ex  figura  patent. 

T Ex  ifto,inquara>exeplo  expolito,  cartera  facile  iudicabfc* 
Volo  th  nihilominus  aliud  ponere  exempla  multiplicationis; 
llidelicet  radix  harc  . 1 z -f-  y%  6 lit  multiplicanda  per  6* 

Sic  ftat  exemplum. 

»/%.i2-f-y%$ 
y%3^  y%%»29^ 

^•4JZ-f-y%7776. 

Cum  enim  primu  lignum  radicale  lit  commune  lignum  ad 
tttranqg  particulam  multiplica nd i, fit  ut  1 z multiplicet  tanqua 
medialis  quadrate, et  multiplicet  tancp  mediatfzcnfizefice. 


«W  . 


V 


Michaelis  Stifelii  . 


Probatur  hxc  operatio  per  numeros  rationales, 
A»*3-hA*44' 

, < a *<>  

^.4<58~f-y%  186614 

Hic  multiplicantur  y per  6 , facit  3 o.  Vide  ergo  an  fumma' 
multiplicationisfaciat  3o.SciIiccty^i8^6z4,facit43  i:&4j  a. 
ad  468,fadunt  A 900;  id  ed,  3 o. 

Aliud  exemplum* 

Volo  multiplicare  1 z -f-  A 6 per  A 1 z -f-  J%6 . Reduco* 

multiplicantem  ut  det  (ub  forma  radicis  furdar.uidelicet  ut  det: 
fub  fuo  quadrato  (ic  A-  1 8 -f-  A z 8 8 . 

Vnde  fle  dabitexemplum  ad  multiplicationem* 

%/% ♦ 1 x.  -f -J%6 
A*  18-f-  Az88' 

A»  Zl6-f-y^l7^8-f-y^4i472-|-y^ic?^4  \ 

Didimulato  enim  flgno  communi,  multiplicatur  quadrata 
unius  in  quadratum  alterius,  & reponitur  podea  flgnum  radii 
calecommune,ad  produdam  fummam. 

DeDiuifione. 


X rjs  quae  dida  funt  fuperius  capite  nono, de  diuiflone; . 
: & ex  rjs  quaeiam  funtde  multiplicatione  dida , facile' 

) ed  iudicare  de  diuifioneAlgorithmihuias.Id  quod  ex* 

emplis  paucis  fudiciat  admonere. 

Exemplum  diuifionis*- 

Volo  diuidere  A.43  i-f-v/%7776  per  6, Sic  dat  exemplum*> 

A-MM -Aiiif*  ( A*  1 *-f-A  6*' 

Ax&  A\x?9<* 

Aliud  exemplum  pulchrum*- 
Volo  diuidere  A*  t2B-\-A  34848  per  A>  tx-f-A  S* 
Primo.multiplico  diuiiorem  per/%..|z  — V%S  (fecundum 
regula m datam  de  diuiflone  cap.9 .)  facit  1 3 6 diui  fore  nouu» 
Secundo*  multiplico  etiam  diuidendum  pctA  ♦ 1* — A*+ 

facite 


Arithmeticae  Liber  vfr.  137 

facit  noiiu  diuidendum  numer  u hunc,  . 6 j-  2 8 -f-  3 2 9 z 8 . 

Diuidoergo  v/%.  rfjzS  per  ,/fci  3 <J, 6c/fr.  y%  3 3 29  28  diuido  per 
Jtfi  1 849  <S,runcprouenit  ille  quotiens  »/^,48 1 8.  Eft  aute 
» 8496 jidem  quod  A 1 3 6.  >-  . * 

Probo  ftc. 

f Quotientem  illum  ^.48  -f-V%  1 8 multiplico  per  diuiibrenr 
fllum  y%.  1 2 8,tunc  ,puenit  mihi  ifta  radix  furda,  J%.s 88 
-f-y% 34848 : Scilla  foic  primo  fufccpta,  ut diuideretur  per 

~y%8. 

De  Subtradione,  flf dereliquo  negotio  capitis  huius,  ' 

H [rabitur foriican  aliquis,cur  praeter,  morem  pmniunr 
Algorithmos  fer  ibentium  .inter  pofuerim  multiplicati- 
onem flC  diuiiioneadditioni  fle  fubtradioni.Sed  ut  hoc 
facerem, fuit  in  caufa.quod  additio  non  potuit  abfcp  multiplica 
fione  doceri.Quia  ergo  additio  SC  multiplicatio  concurrebant, 
flC  illa?  operationum  ipecies  ambar.quadrabant  ad  figuram  illa, 
qua  ego  17  decimi uoluiefle claram, effert*}  res  eo  perduda* 
ut  diuifio  nihil  egerer  niii  paucis  exemplis,quar  protrada  in 
alium  locum,  eguifTct  repetitione  multarum  regularum,uoIui 
eam  (obmifla  interim  (ubtradione)multiplicationi  cotinuare. 
Itacp  breuitatis  gratia,flc  ut  Algorithmus  ille  integer  atefa  to- 
tus in  uno  loco  haberetur,hunc  ordinem  obferuaui, 

Defubtradione  aurem,&  de  additione,  radicum  fordarum 
illarum, quae  font  ad  inuicem  commenfurabiIes,ideft,  qua  ha- 
bent ad  inuicem  proportionem  rationalem,  utenda  eft  regula 
quam  dedi  capite  6.  de  additione  flC  fubtradione  medialium, 
Vt,y%.  i fubtrada  i vW%48  6 — 162,  relinquit 

A*  96 — A 3 z . Cum  enim  fint  fub  proportione  tripla,  fic 
fiant  ad  regula  m De  trf, 

1.  z.  — Az, facit — 43 2. 

‘ Vel  fic  pono  flC  probo. 

-i  »/fc4S6 — 16 2, facit  v/fc.  — V^3  2, 

> M Vel 


Michaelis  Stieelh 

Vel  proba  per  additionem  fic. 

i « j . y$.  — y%  i,fac/t  y*.  y^s  6 — y%  i $*« 

Item ; 

y%j  z,fodty%.y%48d — y%id*. 

Et  ficdealijs. 

jE  fubrradione  autem  fordarum  radicum,  ut  ad  prop* 
• (itionem  Euclidis  7 1 decimi  pertinet,  item  ad  77,  utere 
^multiplicatione,  fecundum  regulam  hanc. 

Subtrado  numero  aliquo  quocunq;,ab  a!io,fi  relidum  mul 
tiplicetur  quadrate,  erit  radix  quadrata  produdi  aequalis  rtli* 
do  priori. 

y$.  ifc-f—  j/i  6* 


Arithmeticae  Liber  ii.  rj$ 

Vt  fft  fubtrahenda  haec  radix  Turda,  »/&.  i 2 — J%6  ab  hac  fa# 
dice v/%6 ( funt enim potentialiter  incommenfurabi* 
lcs,continentes'cg  mediale, quadrataqr  earum  pariter  accepta 
faciunt  rationale,utuultpropofftio  71  )fubtrahe  eam  primo 
perinterpofitionemflgni  fubtradorum,  hoc  modo : 

» I a 1 1-“»/%  6* 

Atque  ita  hocrelidum  totum  multiplica  quadrate:  uidelfcef, 

1 1— , «/%.  1 1 — 6 
*/%•  i i-f— • i a — 

iz — — ^138 — ^138. 

Hae  particulae  additae, feu  in  unum  numerum  redutftae,  faciunt 
24 — j-yz.Tanta  uidelicet  eft  fuperficies  D.cuius  radix  qua 
drata  eft  24 — %/fcj- y 2. E t dicit  radix  fuper ffeiei  talis,Linea 

minor, ut  docet  propofitio  7 » .©idnquit.ltnea  be  linea  betra- 
batur  (ut  e F,  id  eft,  1 2 — J\6  detrahitur  de  F H .i.de  % 1 2 
-f- 6 ) fuciin  tqr  potentialiter  incommcnfurabtl<8(utcum 
E F fit  linea  minor,di  F H fit  linea  maior, fintfcp  per  haec  diuerfa 
rum  fpecierura  Iinear.necefte  eft  easeffe  incommcnfurabiles, 
non  folum  Iongitudine,fed  etiam  potentia)  ccntincntcotg 
mebialeCut  in  figura  uides  fuperficie  K contineri  fub  e f 8C  e i, 
qeft  fuperficies  medialis)quabrata'cp  earnm  ambo  pariter 
accepta  fecerint  rationale(ut  quadratum  lineae  E F > id  eft» 

1 2 — J^6,  dC  quadratum  lineae  F H,id  eft , fuperficies  ABCD, 
quae  facit  ix-f-Ji  <5,  pariter  accepta, faciunt  24)  relicta  linea 
erit  irrationa(i8>x>ocabitui'cp  linea  minor*ut  linea  g H,faciens 
24 — z.Sed  de  ijs  latius  in  propofitionibus  dicam* 

De  radicibus  potentibus  rationale  & mediale. 

4Nter  illas  radices  furdas, de  quibus  iamdixi  ,&illasde 
‘quibus  reflat  ut  dicam  .pulchra  eft  differ  et  ia.  Illae  enim 
lradices,de  quibus  fuperius  dixi  in  hoc  capite  (id  eft,ra» 
dicesquae  ueniunti  binomqs  fiCrefiduis  quartae  fpcciei  )non 
habet  aliquas  fubfpecies  alias.Hae  uero  radices.de  quibus  tam, 
dicam, fingulae  fuas  habet  fubfpecies*ut  dica  in  $ politionibus. 
.•  M qr  Sed. 


f ;;  ’ .MiCHAEtIS  STIFELII 

* Sed  de  refolutione  potentium  mediale  & rationale  dicende 
eft,quanquam  modus  huiufmodi  refolutionum,  nihil  uarietj 
regula  data  capite  io.de  extractionibus  radicum  quadratarum 
cx  binomrjs  di  refiduis  quadratis. Vt  fit  refoluenda  hiec  radix 
potens , mediale  6>C rationale,  y*  . *o8  -f-  8. 


f ♦ Dimidiuquadratiradic/s  rcfolaendac/ac/ty^rz-f-^ 

2 . Qjadrata  particularum  ab  inuice fu  b tracta, rcl/nquqt 
: fciiicet  1 6 i y z,rclinquit  3 6.  cuiusradicem  (.i, 6)  reieruo. 

Addo%/*yi ad  6 (id  eft, ad  radicem  feruatam) facie  N 
f *-f  - 6:  dc  huius  radix  quadrata,idefty*«  £eft  pars  \ 

refolutionis  maior. 

4*  Sub* 


Arithmeticae  Liber  ii» 

„ 4.  Subtraho  radicem  feruatam  i s x , facit  s * — <*♦  , 
Huius  radix  quadrata,  quae  eft  %/%  ♦ yx — cft  pars  relblu- 

tionis  minor,  * 

VHx  uero  partes  rcfolotionis,refpondent  propofitioni  x8. 
ut  uides  ex  figura.  Sunt  enim  potentiahterincommenfurabi* 
les.quia  differunt  fpecie:  di  continent  fupeoffeiem  rationalem, 
quia  multiplicatione  fua  inter  fe,faciunt  4 . Et  ambo  quadrata 
carum  pariter  acccpta,funt  mediale : nara»/fc  yx~f —6  ad,/fc  yx 

— 6 addira,faciuntv/fc  j-x. 

Com  politae  uero  partes  hae,reftituunt  radicem  priorem,  ui- 
delicet  /fc . »/%xo  8 -j-  8 . 

Scilicet  multipl/candaeinter  fe,fic  ftant . 

Ar  x -f-6.  -f- , A r 1 — 

yx— ,«/%,</%  yx — 6 . 

Arx-»-.6-f-y%yx  — <S-h4-t-4 
Haec  multiplicata  addita  adle,faciunt  -f-  8 • cui  praepo 

nendum  el£  lignum  7%. 

De  radicibus  componentibus  mediale  cum  rationali, 

E»  Omponentes  mediale  cum  rationali,flunt  ( iuxta  pro* 
tfg  politionem  7 x)  ex  fubtradione  partium,  quales  defcrl 
y|bit  propolitio  xS.Vt  (it compones  mediale  cum  ratio 
nali,  y*xo6 — S.lfta  radix  fit  ex  fubtradione,/*.  j-  x — 6 

deVfc  .7%  j-  x 6 : fcihcct  a b de  b C fubtrada,rclinquit  B D. 
Refpodet  autem  a B & B c propofitioni  x8,  item  7 x.Et  iuxta 
propofitionem  78,oportet  ut  ex  DC  poliis  inuenire quantita- 
tes ab  Si  B C.Inucnies  autem  eas  ex  DC  per  regulam  illam  ra 
dicum.&pe  iam  repetitam:  fcilicet.dimidium  quadrati,de  hac 
rad.cc,y%;y%xo8— 8,fiacity%rx  — 4. 

Secundo.Quadrata  particularu  ab  inuicem  fubtradta  .relin 
quunt 3 6 : fcilicet  1 6 1 y x,rclinquit  3 6 . cuius  radice  6 referuo. 

Tertio.addo  Ay*ad  huius  aggrcgatI* radix  quad«»> 

J&cu  mihi  B c. 


M irj 


‘ IVIrcHABtis  SriPHtrr 


Probo  per  fubtradionem  hoc  modo* 

j-i — 

— 6 

— 6 — 4 — 4» 

Harc  multiplicata  ad  fc  addita}faciunt«/%  108 — 8;cuius  radix 
«ft  A-.  — 3, 

De 


v 


mm mmm 


Arithmeticae  Liber  ii;  140 
De  radicibus  potentibus  duo  medialia. 

Ibsi  TaN  refoltitionibus  radicu,  uenientium  i binomtjs  (betae 
^^Pcc,ci  (quae  uocaorur  potentes  duo  medialia)confide4 
I^Jfei  randa  uenir  propofitio  29  decimi.  Illi  enim  ,ppofitionl 
refponderc  debent  partes  reiblutionis.Vt  (it  refoluenda  h«ec 
radix  potens  duo  medialia  1 2 8 -\—J%  9 * : erunt  partes 
refolutionis  illius  hae : 3 2 -j-  3 ,&  %/%  V%  32  — 3, 

Sunt  autem  hae  partes  iuxta  propoHtione  29  primo  incom 
«nenfurabiles  potentia.quia  funt  irrationales  fpeciedifferetes. 

Secundo,  continent  iuperficiem  medialem  hanc , 2 3 ♦ ut 

irides  in  hac  figura. 


I 


•t * 

w 

w 


•e 


f— — 

■ 

• — .• 

' 1 * x 

• * | • * w • 

• * 

-TOlCHAfiLIS  STl*»Lir  ^ 


Tertio,  quadrata  earum  ad  Te  addita , faciunt  hoc  mediale, 
A i lS.Et  funt  medialia  illa  duo,i ncommenfurabilia .ffcut  opdr 
tet.ut  necefle  fit  etiam  A9 i (id  eft,duplu  huius  A*  3)  & A 1 18 
ad  inuicem  efle  incommenfurabilia  medialia.Sic  enim  propo* 
(itio  29  dicit : Duas  lineas  inucnire^otentia  incommenfura- 
bilcs/uperficiemfcp  medialem  continentes , quarum  quadrata 
pariter  accepta, fint  mediale,  incommeniiirabile  duplo  fupei- 
ficici,unius  lineae  in  alteram. 

r Modus  autem  reiolutionis  nihil  uariat  i regula  farpius 
iam  repetita : fcilicet. 

Dimidium  quadrati  ipfius  radicis,  quam  pro  exemplo  po* 
fui,facitA3*’trA*3«  • 

Item  quadrata  particularum  ab  itiuicem  fubtrada  relin- 
quunt 9.  cuius  radix  eft  3 . 

Deinde  addo  3 ad  A 3 2 , facit  A 3 s-f-  3'.  Cuius  radix  facit 
A . A 3 *-f-  3.  & eft  pars  maior  rcfolutionis. 

Demum  fubtraho''}  i A 3 ^.relinquitur  A 3 * — 3 .cuiusra* 
dix  eft  A • A 3 * — 3 >&  eft  pars  minor  reiolutionis. 


Probatur  per  additionem  fic. 

A*A3*“t-3»-t“«  A*  A 3*  — 3» 

A«  A 3 *~t~  3--f~*  A- A 3 2 — 3» 

A 3 * -f-  3 -+-  A 3 * ■ — 3 -+- A »> 3 i-  A * 3 « 


Hae  particulae  additae  ad  ie,  faciunt  A * A 9 * « Cuius  ra- 
dix  quadrata  facit  A.  A 1 * 8 -f-  A 9 *• 

Aliud  exemplum  reiolutionis..  . 

T In  hoc  exemplo  fequenti,  refoluta  eft  radix  haec  potens- 
duo  medialia,  A ♦ A 9 6~f-  A 4<>« 


Arithmeticae’  Libhr  ii. 


4 t ' j ' . » | ^ r * ^ y~'^  , ,-  ' . . ’.  • ^ 

A 14 — y%f4*- 


Ax4-Vii4 

\ I c * # *"*•■  v ^ 1 

y*i* 

A IO 

• * i. ' w ... 

Y.»  "S  ' 

4*4 -f- A >4’ 

" * 1 

r *' . . 

• 

i 

\ 

Sequitur  aliud  exemplum. 

In  qoo  refolutam  uides  radicem  hanc  potenfem,med/aIe  di 
rationale.  J%J%s6-\-6,ir\  porentem  duo  med/alia,  & /n  com- 
monentem mediale  cum  mediali,. 

H 


i . MlCHAEllJ  STiVBLIT 

— A j-*  A^i4-f-Ar* 

IU.  £\..*\. 

of 

a> 

t 


6- 

& 

•? 

4 

»*» 

9 \ 


A 14— Jv 

1 v.l.  : 

1 • * 1 

* # • - 1 

• i 

s 

> -!* 

' ‘ 1 

< i 

* - ! 

1 

• ' ! !• 

§ 

1 i 

I3c  radicibus  componentibus  mediale  cum  mediali. 

I Andem  omnium  nouifllma  (ardarum  radicum  (pedes 
(inter  eas  quas  Euclides  tradat)  fuo  iam  ordine  uenit 
I tradanda:  ea  uocatur  fpecies  Componentium  mediale 
cUm  mediali.Cuius  appellationis  ratiofatis  patet  ex  fuperio- 
ribus , ea  eft  nouiffima  fpecies  irrationalium  linearum  apud, 
Euclidem. Fjunt  autc  lineae  illius  fpedei.ex  fubtradfone  radi 
cis  furdae,i  radice  furda, quibus  conueniunt  omnia  illa  qua  ha 
bet  propofitio  19, bC  propofitio  73  ,uidelicetut  (intincommen 
Curabiles  potentia.quod  fuperficiem  medialem  contineant,  bi 
? quadrata  earum  ad  feaddita,faciant  fuperficiem  medialem. 

income 


Arithmeticae  Liber  ii;  14* 

* ■ . T . • ' , • ’ ’ # 

A*  Ai  * — 3 • 


B 


2> 


/&v/fcra8-Vfc9* 


C 

incommcnfurabilem  ei.quam  continent  ipfac  radices,(icuf  foc 
figura  illa  omnia  per  exemplum  clare  habet « Exemplum  aute 
figura  infcriptum,eft  de  hae  radice  componente  mediale  cun» 
mediali,  A . A r i 8 — ./*  9 z.Harc  fit,fi ,/%.  %/%3 1 — 3 iubtraha 
fur  ab  hac  A-  A 3 * -f—  3 • ut  in  figura  uides  fubtrahi  a b de  b c,, 

atqg  ea  fubtradione  relinqui  d C» 

< * *^v  - » ..  *. 

Repericndar  uero  funt  fiuxta  propofitionem  79)  lineae  a b 

& b c,per  lineam  D C.  Regula  ea  eft , quam  iarpiilime  repetit* 

nudes  per  exempla  capitis  huius,.&  capitis  decimi. 

' N q, 


A)*— 3 z 


A*3 


Ax* 


m 


Ait—*  - 


MichablIs  Stipelii 
1 » Dimidium  quadrati,  radicis,  pro  exemplo  potiti,  eft 
A3i—  Am.  ; ' ' 

2.  Quadrata  particularum  ab inuicemiubtra<fla,relin« 
quunt9,cuius  radix  eft  3, 

$ . Addo  3 ad  3 2 , fit  3 x -f—  3 . cuius  radix  eft  »/$. 
^%3*-f-3.  &eft  b c. 

4.  Subtraho  3 i%/^3z,fity%3i — 3, cuius  radix  Ji.Jfyx 
— 3 , eft  a b , 

Probatur  per  fubtracftionem  tic. 

*+■  3* — — 3» 

^ A*  3 24-3. — .y%.y%3 1 — 3» 

>/%3  » 4 3 i- A3  i — 3 — ^i*3— ^l3 

Aliud  exemplum  de  hac  fpecie. 


\ 


f»vv 


Arithmeticae  Liber  it,  141 

In  fuperior/ exemplo  (uberabitur  haec  radix  componens  me 
•diale cum  mediali, 14 — */%»4,ab  hac  radice  potente 
duo  medialia, 14,  & relinquitur  haec  radix  coith 
ponens  mediale  cum  mediali,^,^  96 — ^40. 

, Sequiturexemplum,inquocomponensmediale 
cum  mediali,(ubrrahitur  i potente  duo  medialia, 
di  relinquitur  coponens  mediale  cum  rationali. 


i{> 

A*  14— Air. 


V*.  **d. 


N 


-v 


Af* — d 


De  his  plenius  uidebimus  in  propofitionibus. 


ut 


MiCHAfiirj  S t i f e l r r 


Depropofitionibus  Eudidis,quibus  ipfe  nu* 
meros  irrationales  abftrade  confidera* 
ros  tratftaflfe  uidccur.  Cap.xm, 

RDINBM  propofitionum  Euclidis,  ut  ipfe  eas 
pofuit,  exemplaribus  etiam  graccis  uariantibujr 
nemo  iam  amplius  C ut  puto)  fatisoftendere  pd- 
teft . Quanquam  enim  ego  fim  ignarus  Linguae 
fflJ  graecar, tamen  hoc  ita  eflTe  didid,ab  honeftiftimitf 
& egregie  do  dis  hominibus  magiftro  Dionyfio  Ronero  Efle* 
lingenfe,& magiftro  Ioan.Heinrico  May  er  Bernenie,  atque 
domino  Adolpho  i Glauburgk  Francofordien(e,qui  mepro 
fua  eruditionepulchre  iuuerunt.Cum  enim  illi  uoces  intellige 
rent  graecas  propofitionum  decimiA  ego  rem  ipiam,  fadum 
cft  ut  iucundiftimaconueriatione  & communicatione  nos  mu 
tuo  iuuaremus.  Itacg  totum  mihi  de^mumEucIidis  interprc 
tati  funt,oftenderunt'q}  pulchris  rationibus,  demonftratione*. 
propofitionum,  quas  graecus  habet  codex , non  efte  Euclidis, 
red  Theonis»  Id  quod  ego  etiam  ex  ipia  tradatione  propofi# 
tionum  uerum  efte  multipliciter  fcnfi , quemadmodum  pluria 
bus  oftendam  » ( 

Depropofitiofie  prima» 

!Ede  & pulchre  incepit  Euclides  I praxi  quadam,qoa 
(fignificare  uoluit  minimum  in  ftumero  irrationali,  non 
-elTc  dabile . Sicut  enim  in  fuo  Icptimo,  tradaturus  nu- 
meros rationales, incipit  3 minimo  quodeft  in  numero  ratio* 
nali,id  eft,abunitate,dicens:Vnitaseft,qua  unaquaecg  res  una 
dicitur,  QCc . Ita  hoc  loco  etiam  incipit  de  minimo  proponere, 
quod  eft  in  quantitate  feti  numero  irrationali.  Quod  autem 
quantitatum  appellationeuoluerit  numeros  irrationales  figni 
ucar  i^oftendi  in  lupcrioribus.atqj  oftendam  etiam  in  fcqucnti 

bus 


r 


\ 


Arithmeticae  Liber  ir.  1 44 

bus,non  obftantibus  Theonis  demon  Arationibus, qui  ea  qiue 
Euclides  propofuit  de  numeris  irrationalibus , tranftulit  ad 
quantitates  continuas.  . 

Sic  autem  proponit  Euclides: 

rpofttie  buabue  quantiratibue  inequalibus,  fi  a maiore 
auferatur  maius,  quam  ftt  btniibium  ipftue  maioris  ,eta 
relicto  iterum  fufarabaturmaiusquam  fttbimibiumeiufi 
bem  rclicti.ibqj  femper  ita  ftat.reltnquctur  tanbcm  quattras 
que  ftt  mtnor  quantitatepofita.] 


Hic  infero  fic.Ergo  data  quantitate  quacuncg,quantGcuncp 
fit  parua,dabilis  eft  alia  quae  fit  minor  ea,  ut  impoftibile  fit  dari 
aliquam,qua  minor  no  pofiit  dari , Quod  igitur  alij  dicunt  de 
continua  quantitate,uideliceteam  diuidi  in  femper  diuifibilia, 
boc  Euclides  proprie  de  numeris  irrationalibus  uult  intclligi, 
ut  plenius  uidebimus  ex  propoiitione  fecunda . Obferuemus 
& hoc,qudd  in  hac  propofitione  prima  dicit  de  partibus  dimi* 
dio  maioribus,potius  quam  de  ipfis  dimidijs.cum  tamen  ex  div 
midijs.fecundum  ea  qua:  proponit,  idem  iequatur , Certe  fatis 
manifefteoftendit  Euclides,ie  non  loqui  de  lineis,aut  de  fuper» 
ficicbus  hoc  loco,  fcd  proprie  de  numeris  irrationalibus . De 
numeris  enim  irrrationalibus  non  femper  poteft  recipi  dimf* 
dium.neqg  de  partibus  cius  flic.  cum  ratio  Theoricae  cis  abftra 
Ais  non  magis  admittat  minutias,  qua*m  numeris  rationalia 
bus  abftrartis.  De  lineis  autem,  & de  partibuseius,femper  po 
teft  recipi  dimidium, per  10  primi. 

Sic  igitur  Euclides  ftarim  i principio  uoluit  Iedorcm  efTe 
admonitum , ne  fe  loquentem  de  numeris  irrationaIibus,intel* 
ligeret  loqui  de  lineis  8C  fuperficiebus  8ic.  Optime  enim  uidir, 
ut  decens  fuerir,fi  ornaret  abftrartos  nonnullis  propofitioni- 
bus^quos  canto  libro  Audebat  nobilitare  contracfios. 


j 


Michaelis  Stifelit 
Dc  fecunda  propofitione, 

(D  primam  propofitionem  pulchre  fequitur  fecunda,, 
jed  quod  primam  optime  confirmet  harc  fequens,egre- 
[gja  manududione,  per  calculationem , quar  adualiter 
tendat  in  infinitum, per  continuam  diuifionem  feu  fubtradio- 
ncm  partis  i parte . Cum  autem  quantitas  continua  ultra  ato- 
mos non  recipiatadualemdiuifione,  fatis  patet  etiam  ex  hac 
fecunda  propofitione,Euclidem  uoluifie  Ioqui,in  his  propof?» 
tionibus  prioribus,proprie  de  numeris  irronahbus  abfiradis. 

Sic  autem  dicit: 

V ©i  fuerint  bue  quantitates  inequales  C ar qualis  enim 
aequalem  mox  tolleret ) et  fiat  fubtractio  continua  vnius  a 
rcliqua>et  relicti  unius  a relicto  alterius  »etm  tali  fubtractioe 
nunquam  occurrat  relictum  quob  numeret precebcne reli- 
ctum .incontmenfurabiles  erunt  ille  quantitates.] 

Ex  fexta  propofi tione  uidebimus,  ut  Euclides  hac  fecunda 
propofitioneprincipalifiimeuolueritindicare  infinitam  conti 
nuationemfubtradionum,quaIem  per  exemplum conuenit 
oftendere.  Vt  fint  quantitates  duae  pofitae,y^6,&  8. 

Subtraho  primo  de  relinquitur»/fc8 — 6,  Itacp: 

uides  */%8  eile  diuifam  in  */%8  — 

Secundo, fubtraho  de  relinquitur 

— y%s. 

Tertio, fubtraho  8 — 6 de  24  — 8 , & remanet 

Quarto.fubtraho  iterum  8 — de7%j4 — 3 2,relin 

quituri  9 6 — 

Quinto, fubtraho  */%8  — J%6  de  72,  & relinqui-- 

tur»/%ij-o  — %/%i  28. 

Sexto,fubtrahoy%8  —J\6  de^fcij-o — J%\ 28,  & relinquis 
tury%  21 6 — y%2oo. 

Septimo.ilibtraho  7% 8 — J%6  de  J%.x  1 6 — ^.200, & reline 

qpitury^^.—  y%>88- 

Odauo) 


Arithmetica»  Liber  ii.  149 

Odauo  .fubtraho 7%  194 — 288  dc^8 — reline 
Ruitur  3 9 2 — »/%3  84. 

NonOjfubtraho */%  294 — ,/fc  2 8 8 de  7*3  9 2 — 7*3  84,  & re* 
linquitur  7*135-2;  — 7*  1 3 5-0* 

Et  lic  deinceps  in  infinitum. 

Semper  en/m.exclufb  eo,£  quo  fada  efl  fubtradio,recipiun 
Cur  duo  numeri  reliqui,&  fubtrahitur  minor  i maiore, 

r In  prard/da  continuatione  uidimus  7*  8 — J\6  contineri 
fexies  in  7*  6,<deo'cg  7*  8 — 7*6  fexies  fuit  fubtradu  cotinue. 
Si  aute  tenta  flem  ilfud  feptimo  fubtrahere,fubtraxiflem  ipiiim 
de  7*294— 7*28S,&  proueniflct  7*3  84—7*392.  Quia  uero 
particula  polita  ad  lignum  fubtra flor um  maior  efl , particula 
reliqua,flgnum  efl  certum, non  potuifle  7*8  — 7*6  fubtrahide 
7*  294 — 7*  28  8. Pate  t hoc  etiam  diuilione  7*6  per  7*8  — 7*6, 
Facit  enim  quotiens  diuifionis  illius  7*  1 2 -4-  3 , qui  refolucus 
io  rationalem  numerum  integrum, facit  6,&c. 

De  propolitione  tertia. 

Ilde  iam  uttertia propolitio  fequatur  ad  fecundam, me- 
diante oppofita  fecundae,quae  lic  habet : Si  fuerint  du*. 

quantitates  inaequales,  6i  flat  fubtra  dio  cotinua  unias 

i reliqua,&  relidi  unius  i relido  altcrius,&  in  tali  fubtradione 
occurrat  relido  quod  numeret  praecedens  relidum,tunc  com 
menfurabiles  erant  illae  quantitates.  Ad  hanc  ita$  (equitur  ter 
tia  propolitio , quae  lic  habet  i 

rpropofitte  buabne  quatitatibos  inequalibue  comenfu 
rabififiue.rrtajrtmam  quantitate  eae  numerante  inuciurc*] 
Operare  iuxta  oppofiram  fecundae,  tunc  inuenies  quantita 
Cem  maximam,numerantem  propoliras.  Erit  autem  maxima 
quantitas  earum, relidum  illud, quod  ex  fubtradione  lui,nihil 
relinquit.  Exemplum, 

Propolirisduabus  quantitaribushis.7*i  5TJ‘2,&7*43  200, 
fubrraho7*  de7*43  200, tuc  remanet  7*69 1 2,Subtraho 

fecundo  7*69 1 2 dc  7*  1 ? ss  2, tunc  remanet  7*1728,  Subtraho 

• ' • O tertio, 


Michaelis  Stifelii 

tertio  7*  17*8  dcy%69i»,tunc  remanet  »/%i7*8  « Subtraho 
quarto  1718 de ,/%  17 18  .tunc  nihil  remanet.  Itaqp  %/fci 718 

eft  maxima  menfura  quantitatum  pofitarum. 

Propofitio  quarta. 

tTtibue  comcnfurabiltbuequantitatibtie  propoftti*. 


jmartmamquarmtatcmcae  communiter  nunieran* 
&*ktemimienice.] 

Continuemus  hanc  fequentibus . Cum  enim  necefle  fit,  ut 
inter  commenfurabiles  quantitates  .cadant  proportiones  ratio 
pales  (quae  funt  tanquam  numeri  ad  numerum , ut  loquunrur 
propofitiones  immediate  fequemes ) quaere  eas  per  diuifione, 
ut  noftiex  fuperioribus . Mox  autem  ubi  infpexeris  termino* 
proportionum  earum  rationales . uidebis  quid  fit  faciendum. 

Exemplum. 

‘ Propofitis  his  tribus  quantitatibus,/^;-^  17648* 
/&43  100,  inuenio  terminos  proportionum  earum  rationales 
cflfe  > 3 . 4 . 5*  • in  quibus  mox  uideo  unitatem  eiTe  maximam 
menfuramilngulos  numerantem . Eft  autem  unitas,pars  ter* 
tia  primi,&  pars  quarta  fecundi.SC  pars  quinta  terti].  Sic  tertia 
pars  minimae  ex  tribus  propofitis  quantitatibus,  erit  maxima 
quantitas  numerans  fingulas  trium:  & haec  etiam  erit  quarta 
pars  fecundae  quantitatis,&  pars  quinta  tertiae  quantitatis. 
S iue igitur /fc  1 j- 5- ridiuidat  per  3 ( feuper/%9)  fiue/fci7 648 
diuidatur  per  4 ( feu  per/%i6)fiue/fc43zoodiuidatur  per  s» 
(emper  proueniet  menfura  earum  maxima. 

'•  Eft  igitur  quarititas  maxima, numerans  duas,  tres,  aut  plu- 
re s quantitates,tanquam  unitas  quaedam  introdutfta,  qua  nu- 
meri irrationales  commenfurabiles  reducantur  ad  numeratio 
nem  praeite.  Vt  uel  hac  fola  ratione,decuerit  Euclidem  irrari 
onales  numeros  abftracfte  confideratos  non  negligere* 
Pertinet  autem  ad  numeratione  numerans,qui  faciat  quod 
entem, probatu  ratione  Theoricae.id  eft, qui  fit  rationalis  atqp 
Integer  numerus,  Ratio  autem  Thcoricac  (exempli  gratia)  no 

probat 


Arithmbticab  Libbr  i u I4^: 

probat  quot/entem  proucnientem  ex  diuifione  J^6  per  y%8: 
necp  probat  eum  qui  proucnic  ex 1 8 per  8 ♦ Sufficit  uero 
ad  commenfurationem  quotiens  rationalis,fiue  ille  fit  integer 
fiue  fradus . 

D r propofitione  quinta  ,&  eius  oppofita. 

Vperius  far  pe  foda  eft  mentio  huius  propofitionij 
quinrar.ut  quae  apcrtifllme  neget  numeros  irrationales 
elTe  numeros* 


Sic  autem  dicit: 

T Omnium  huarum  quantitatum  commenfurabifium» 
eft  proportio  tanquam  numeri  ah  numerum.] 

Vtproportioy%)8oadyfc8o,eft  proportio  tanqua  jad  a* 
Sunt  igitur  proportionum  quardam,numeri  ad  numerum ,ut  $ ’ 
ad  z : quaedam, tancp  numeri  ad  numerum,  ut  1 80  ad  80: 
quaedam  uero  numeri  ad  non  numerum, uel  non  numeri  ad  nu 
merumjut  1 zady%48,uel«^i  z ad  i . Et  quia  proportio  1 z ad 
y%48  iuxta  Eudidem,non  eft  proportio  numeri  ad  numerum, 
necg  eft  proportio  tanquam  numeri  ad  numerum.igitur  fecun 
dum  ipfam  «/^48  non  eft  numerus,  &c. 

Hoc  etiam  habet  oppoGca  quintae, quam  Theon  focit  Eucli 
dis  feptimam.  Ea  fic  dicit  .* 


V &mnium  huarunt  quantitatu  incommenfurabifium» 
non  eft  proportio  tanquam  numeri  ah  numerum.] 
VtproportWfcz4ad%/%  8, eft  tanquam  iz  ad^48  jueleft 
tanquam  1 z ad  z,id  eft, tanquam  numeri  adnon  numerum; 
uel  tanquam  non  numeri  ad  numerum,  ut  dixi  paulo  fuperius» 
Ergo  1 x non  eft  n umerus, fed  eft  numerus  irrationaIis;ficuc 
homo  pidus  non  eft  homo. fed  eft  homo  pidus. 


De  propofitione  fexta,&  eius  oppofita. 


Ropofftio  fexta  Euclidis  eft  conuerfa  quinfx,  ftcur  0p* 
pofira  fexrae  eft  conuerfa  oppofita*  ipfius  qufntx.Et  op 
politam  fextac, focit  Theon  odauam  Euclidis. 

O q Sic 


Michaelij  Stifelii  - 
Sic  autem  dicit  fexta ; 

0tfucrtrttduequantttatee,quarum  proportio  vmusafr 
««Iterant , fit  tanquam  numeri  ad  numerum*  eae  duae  co m* 
meufurabileeej]e  neceffe  eff.] 

V t.quia  proportio  1 80  ad«/%8o , eft  tanquam  numeri  ad 

numerum  ( id  eft,  quia  eft  rationalis  proportio  ) ideo  neceffe 
cff  at  termini  illi  untcommenfur.abdcs.Sic  etiam, quia  propor 
tio  y$i4  ad y%8  ,non  eff  proportio  tanquam  numeri  ad  numepc 
(id  eft,quia  eff  irrationalis  ) ideo  neceffe  cff , ut  termini  illi  fine 
incommcnfurabiles. 

Sicut  dicit  fequens  propofitfo  oppoffta  fextar: 

^0i  fuerint  due  quantitatee}quarumproportioxmioe 
ad  altcram.non  fit  tanquam  numeri  ad  numerum, eae  duae 
incomnienfurabtled  effe  neceffe  eff.  ] ' 

Hic  obferuabis,ut  hi  duar  propofftiones,  uidelicct  fexta  Qt 
eius  oppoffta,non  folum  conuertantur  ad  quintam  &C  eius  op* 
pofftam,fed  pertingant  ulterias  ufep  ad  fecudam ; ffilicet  cum 
fecunda  d/cat,nunquam  occurrat.in  fubtratfionum  continua* 
tione, relictum  quod  numerer  prarcedens  reli(ftu, tunc  tandem 
poflim  fcire  de  propofitis  quantitatibus  duabus,  anfint  incom 
menfurabiles.cogor  cogitare  me  nunquam  pofle  hoc  fcire, pro 
pter  infinicamiliamcontinuarione.Athicmihiiuccurritpro* 
pofftio  fexta  cum  fua  oppoffta, Si  docent  hocproprie,quod  fc 
eunda  uidebatur  docere.  Vr,quia  180  ad  y^So, habet  propor 

tfonem  quam  habet  3 ad  z,ideo  necelfecffeas  effe  commeniii 
rabiles.Quia  uero%/%  z4ad%/%  8,non  facit  proportionem  ratio 
nalem  (cu  y&  14  diuifa  per  8,facia  t 3 ) ideo  neceffe  eff  eas 

effe incommenfurabiles,&  continuationem  illam  fubtradio* 
im(de  qua  propqfitio  fecunda  loquitur )progredi  in  inffnitu. 
De  prqpowionequam  Campanus  facitieptimam. 

;Lla  propofiiio.quam  Campanus  fadt  iepr/ma, Theon 
ifacit  nonam. Intempeft/ua  amem  cff  appellatio  fuper* 

I Acierum,  quam  Campanus  habet,  dc  linearum,  quam 

Theon 


nu 


Arithmeticae  Liber  iu  147 

'Theon  habet . Sed  appellationes  dias  pofu/t  forfltan  Euclides 
ipfe,ut  negaret  hoc  Idem  obftinate } quod  in  propofitionibus 
praecedentibus  negauerat,uidelicet  numeros  Irrationales  nega 
uerat  efle  numeros,quos  nunc  uehemetius  negare  uidetur  elu: 
numeros,ita  ut  eos  potius  dici  uelit  fugficies,  aut  aliquid  aliud 
huiufmodi : forte  quod  uiderit  eos  praecifam  fai  quantitatem 
non  habere,necp  habere  menfuram  omnibus  irrationalibus  nu 
meris  communem  (qualiseft  in  rationalibusunitas)quae  talia 
funt, ut  numeris  maxime  conueniant.uideritq;  ipfos  commen 
furabiles  numeros  irrationales  habere,  hoc  quod  fuperfiefebus 
coueniet  maxime, uidelicet  latera  ad  inuicem proportionalia* 

Suemadmodum  propofltione  24  odlaui , rationales  numeros 
mdes,uocat  fuperflciales,  di.  propofltione  1 6 odaul , talium 
numeroru  radices  quadratas,  uocat  latera  (eu  lineas;  uel  forte 
uoluit  Euclides  hanc  ( cum  fibi  flmilibus  ) efle  elcmcntarcm, 
quales  habet  caput  fequens. 

Sic  autem  habet  propofitio* 

V Omnium  buarum  quantitatum>quarum  latera  ( id  efr, 
radices  quadratae)  longttubine  funt  comenfurabilia»  cfl  pro- 
portio ontuo  ab  alteram , tanquam  numeri  quabrati  ab  nu< 
merum  quabratum.] 

Vtquia/^24)  ady%*48,efttanquam 3 ad  z tergo  Jli 
ad  yi48,eft  tanquam  quadratus  numerus  ad  quadratum, uidc* 
licet  9 ad  4.Sic  enim  propofltio  haec  cotinuatur  ad  propofltio* 
nes  praecedentes.  Loquuntur  enim  propofitiones  praecedente* 
de  proportionibus  flmplieibus  numeroru  irrationalium . Haec 
autem  loquitar  de  proportionibus  eorum  copofitis,8i  de  pari* 
tibus  compoflt  ionis  earum,  quae  funt  radices  earum  ad  inuice 
commenfurabiles.fimulq?  totum  inuoluit  Algorithmum  pro* 
portionum  compendiofiflime.  Nam  fi  radices  quantitatum 
duarum  commenfurabites.bis  ponantur , pofitaeip  proportio- 
nes ad  fe  adda ntur , compofira  producitur  proportio,  quae  eft 
(tanquam  numerus  quadratus  ad  numerum  quadratum. 


MlCHAELIS  STlFELir 


Vc 


A%*43 

A%4* 


ad 


A%*43 

Atu* 


facit 


A*43' 
A 48« 


l[*“  Xli 


de 


Ani  ficit  Ai*4h 
A<t*  A^48. 

Et  quia  duplatio  eft  multiplicatio  per  t,  & dimidiatio  eftdiui 
fio  per  a.Inuoluitur  etiam  multiplicatio  hoc  loco  atcp  diuifio. 
yt  AiH3  r_;*  A*4> 


3E2  a4s 


'8Z4)  dimidiata/acit'^2"** 
v%48  * »/^48 

De  propofitione  oppofita  propofitioni  praecedenti* 

JjLCJM  On  fruftra  etiam  oppofita  praecedentis  propofitionis 
ponitur : fed  quemadmodu  praecedens  propofirio  com 
plicat  Algorithmum  proportionu  rationalium, haben- 
tium terminos  irrationales , ita  haec  complicat  Algorithmum 
proportionum  irrationalium. 

Sic  autem  habet: 

r<5mnium  buarum  quantitatum»  quarum  latera  longi* 
tubtne  funt  incommenfurabilia»  non  eft  proportio  vniue  ab' 
alteram, tanquam  numeri  quabrati  ab  numeru  quabratnm* 
V t quia  */i%i8  adStf  8 non  habet  proportionem,quam  ha 
bet  numerus  ad  numerum,ideo  A • 8 ad  A 8 , non  habet  pro* 
portionem, quam  habet  quadratusnumerus  ad  numerumquz 
aratum.  Vt  autem  Algorithmum  irrationaliumproportionu 
inuoluat  ifta  propofitio.uidere  poteris  ex  fimilitudine  eorum 
quae  dicfla  iunt  circa  propofitionem  praecedentem* 


Et 


AHi 


Scilicet^18 

AW 


ad 


Jtti8 

Al* 


facit 


Item 


Ai* 


Ttem 


* X 


A>& 

A 8 


facit  ¥^*'8 

ac<t  sm 

3 8duplata,  fadr^ia 


Item  ^ 8 dimidia  ta, facit  $ 


it  8 

(8 


De 


Arithmeticas  Liber  ii*  148 

De  propoGtionibus  conuerGs  duarum  praecedentium* 

D luperiores  duas  propofirioes  immediate  prarceden 
tes,fequuntur  duae  aliae  propofitiones , quarum  prior 
eft  conueria  prioris  ex  duabus  praecedentibus^  polle 
rior  cft  conuerfa  pofterioris  ex  praecedentibus  dtiabus. 

Sic  autem  habet  propofitio  prior: 

T 0i  fuerit  proportio  quantitati*  vmue  ab  alteram  »tan* 
quam  proportio  numeti  quabrati  ab  numeru  quabratum» 
latera  earum  erunt  in  longitubine  comnten|urabtlia* 
Vtqaia  proportio  «/^14 3 ad  %/fc 48 , eft  tanquam  proportio 
nUmeri  quadrati ad  numeru  quadra  tum, ideo  «/&&  24)  acV^S 
commenfurabilis  eft  longitudine.  Sicut  igitur  fexta  propofitio 
& eiusoppofita.doccnt  iudicare  de  duabus  propofttis  quanti- 
tatibus.utrum  fint  commenfurabiles  uel  incommenfurabiles, 
fic  hxc  quae  modo  pofita  eft,  docet  quantitates  commenfurabf 
ks  dare*  Vt  quia  14  ad  6 habet  proportione  eam , quam  habet 
quadratus  ad  quadrato,ideo  ^14  ad  */%£,eft  longitudine  com 
menfura  bilis:  &C  y'^14  ad  »/%fcd,eft  potetia  trh  comenfura  bilis. 
Sic  uero  habet  propofitio  oppoGta  huic  quae  iam  tra  data  eft». 

VVt t (1  non  fuerit  proportio  quantitati*  uniue  ab  altera^ 
tanquant  numeri  quabrati  ab  numerum  quabratum,  latera 
carum  in  lortgitubme  mcomnienf urabilia  erunt. 

V t quia  4 ad  J%6  non  habent  proportione  numeri  qua* 

drati  ad  numerum  quadra  tunydeo  ^14  ad  «/%£d.non  cft  Ion 
gitudine  commcnfurabilis.Habet  igitur  haec  propofittoofura 
egregium/cilicct  ex  ea  producuntur  numeri  binomiales&  re- 
fiduales.Si  enim  receperis  duos  numeros  rationales  , quorum 
neuter  Gt  quadratus,&  quorum  proportio  non  Gt  tanqua  qua* 
drati  numeri  ad  quadratum,tunc  radices  eorum  additae  per  G- 
gnum  add  torum, dabunt  quantitatem  binomialem  tertiae  ipe 
ciei,aut  fextae.Si  aut  minor  eoru  Gt  quadratus  (ut  1 8 <j)  tunc 
radiceseorumdabuntbinomialemquanritate  i uel  5-  fpeciei. 
Et  G maior  eorum  Gt  quadratus(ut  j 6 & 1 8 ) tuc  radices  eorum 
dabunt  binomialem  quantitatem  primae  uel  quartae  fpeaei. 


Michaeli*  Stifelii 

t)e  propoli  tionibus  illis,quae  ex  proximi  qua  tuor 
praecedentibus  deducuntur. 

X illis  quatuor  propofltionibus  proximo  loco  pofltfsr 
fequutur  aliae  quatuor,  quae  ex  proportlonu  exempli* 
pulchre  oftedunt . Eas  Theon  optime  trahit  ad  lineas* 
Prima. 

^btceecomenfurabiIe&,comefurabilfabab&quabrata. 

Applicatio  Theonis. 

Lineae  quae  in  longitudine  funt  commenfurabiles,  etiam  po 
tentia  fanr  commenfurabiles.  .» 

Vtqula  Ai  r 944  & Ai  2 4 ad  inuicem  funt  commenfurabb 
les,neceflc  edat  A 1 944  & A24  ad  inuicem  (int  commcnfura« 
biles.Patethocex  Campani  feptima. 

Item  fle  patet.  Proportio  commeniiirabilium  terminorum, 
cft  rationalis  (at  docet  6 huius  decimi)  Proportio  aatem  ratio 
ualis,e(I  proportio  integra : proportio  uero  irrationaIis,eft 
proportio  frafta.  Impoflibile  autem  eft,  ut  res  integra  flat  fra. 
«fh.ex  dupla  tione  fui.  Ergo  impoflfibik  eft.ut  termini  propor- 
tionisrationales.flant  incommenfurabiIes,fi  i pia  proportio  du 
pletur:  id  quod  flqdum  loco  radicum  ponatur  carui  quadrata# 

Secunda. 

(Duantitatee  commenfurabiles , non  neceffarto  ponunr 
rabicee  commenfurabiles. 

Applicatio. 

Lineae  qaae  potentia  funt  commenfurabiles,  non  neceflario 
funt  longitudine  commenfurabiles, 

Vt  A y4  &A  14  funt  comenfurabiles : radices  uero  ponunt 
incommenfurabiles  has/fcfcj-4  24  .Patet  hoc  etiam  ex 
proportionum  applicatione.  Nam  ficut  nameri  integri  ali* 
quando  dimidiatione  fui.ponunt  numeru  fratfum : fic  propor 
ciointcgra,aliqn  flt  proportio  frada,per  dimidiatione  fui.flic*. 

Tertia. 

2Ubfceo  commenfurabiles,  non  neceflario  ponunt  qua- 

n..  brata 


ARITHMBflCAE  LlBBR  *’li; 

fcrata  incommenfurabilia.  Applicatio. 

Lineae  quae  longitudine  funt  /nc5mcnfurabiIe»,non  necefla- 
rio  funt  potentia  incommeniiirabiles. 

V t 6i  Afcx-f,  funt  ad  inuicem  incommenfurabiles,  & 

tamen  ponunt  quadrata  haec  ad  inuicem  non  incommeniura- 
b'flia,*/fc  5-4  di  Ji  14. 

Patet  hoc  etiam  ex  proportionum  appl/cat/one.Sicut  enim 
fieri  poteft,ut  numerus  fradus  duplatione  fui, fiat  integer : iic 
fieri  poteft  ut  proportio  frada(id  eft,irrationaIif)  duplatione 
fui  fiat  integra  ira  rationalis. 

Quarta. 

Quantitates  irtcommenfurabiles  necrffario  [jabentraM- 
ccs  incommenfurabiles. 

Applicatio. 

Lineae  quae  potentia  funt  tacommenfurabfle#,uecefle  eft.ut 
longitudine  quocp  fintincommenfurabiles. 

V t quia  di  funt  incommenfurabiles . necefle  eft,  ut 

di  radices  flnt  incommenfurabiles,  uidelicer/fcp  di 

Patet  hoc  etiam  ex  proportionum  applicatione . Nam  ficut 
nullus  numerus  fradus  dimidiationeiiiifit  integer:  ita  nulla 
proportio  irrat/onalis,dimidiatione  fui  fit  rationalis. 

De  propofitionequam  Campanus  facit  odauam. 
lAnc  propoGtionem  quam  Theon  facit  duodecimam, 
Campanus  facit  odauam.Habet  autem  tres  concomi- 
I tantes  propoGtiones . Et  tradationi  eartim  reipodent 
talia  quaedam,quae  v 1 1 libro  tradauit  Euclides. 

. Nam  quod  dicit  prior: 

Pr0<fiierintbue  quantitates  vni  quantitati  commenfu- 
ta0i!e8,ipfasqnocpa6intjice  comenfurabifes  e(fe  iieceffc  eff. 

Simileefthuic:  * 

" Si  fuerint  duo  numeri  contra  unum  compofiti , fpfos  quocn 
Contra  fe  compofitos  effe  oportet. 

V t quia  utcrcjf  horum, 343  di  $6,  compoGtus  eft  contra  if,  r 

P necefle 


* r^KHAm*  Sm  SJtri  nA 
neccflfc  eft,  ut /pfiquocp  contra  fe  fint  compoflti.  * >.  * 
i f Sic  quia  utracp  quantitatum  harum  7 1 Si  /%98,huic  ttti 

tix  funt  commcnfurabiles  , necefle  eft»ut  etiam  inter  fe  flnt 

commenfurabilcs. 

Item  huic.  •? 

T 0i  fuerint  bue quantitatce,q naram  vna  elicui  tertiet 
comnienfurabilie.altcra  eibem  tertie  inc6menfurabilt>erttnt 
buc  quam  ita  te  e illeiucommenfura^ilea* 

• Similiscfthacc: 

Si  fuerint  duo  numeri,quorum  unus  contra  aliquem  alium 
fit  compofitus,& alter  contra  eundem  fit  incompofitus  erunt 
illi  duo  numeri  contra  (cincompofiti. 

V t quia  ex  his  duobus  numeris , 9 & 8 , alter  contra  4 eft 
compotitus,  reliquus  uero  eft  incompofitus  contra  eundem 
necefle  eft  ut  duo  numeri  pofiti  fint  contra  ie  incompoflti.  * 

_Sic  quia  pofterior  quantitas  ex  his  duabus  x & 4,erf 

comenfurabilis  huic  tertiae  V&  24, Si  eidem  prior  fit  incomenfif 
rabilis,necefle  eft  ut  potitae  duae  fint  ad  inuice  incomcfurabiks. 

Item  haec. 

J T 0i  fuerint  fcucq  uatmtctee  commenfurabilea,  alterat» 
earum  fuerit  incommenfura6i!ie  alicui  ali)  quantitati,  tunc 
reliqua  cibent  incommenfurabilie  erit. 

Similis  eft  haec; 

. Si  fuerint  duo  numeri  contra  fe  compoffti , & alter  eorum 
fi  t contra  aliquem  alium  incompofitus,necefTe  eft  ut  etiam  re- 
liquus contraillum  fit  incompofitus. 

Vt  quia  illi  duo  numeri  6 Si  8. funt  contra  ie  compotiri,  & al 
ter  eorum  fic  contra  5-  incompofitus,  necefle  eft  ut  etiam  relic 
quus  fit  contra  eundem  incompofitus. 

Sic  quia  hac  duae  quantitates  S*  7 x Si  ,/%  58  funt  commenfo* 
rabiles,Sf  altera  earum  eft  incommenfurabilis  ad  ^2 4, necefle 
cft,ut  etiam  reliqua  incommenfurabilis  fit  ad  eandem. 

‘De 


Arithheticae  Liber  n,  tfo 
j DepropoGtionequam  Campanus  facit  nonam, 

?Dbanc  propofinone  quam  Campanus  nonam  facit? 
1 fliTheon  1 6,iequunt  etiam  fimilia  ex  Euclidis  feptimo. 
Nam  qudd  haec  dicit: 

^0i  fuerint  bue  quantitate©  commenfurabiIe8}totum 
quoque  ep  ei©  conf*ctum,vtriq?  earum  comenfuraSilecrit. 

Simile  eft  huic: 

Si  fuerint  duo  numeri  compofiti  contra  fe,  totum  quoca  « 
tis  confertum  contra  utruncp  erit  compofitum. 

Vt  fi$8  & 1 1 ad  feaddantur.ficnt  i i^.Et  quia 98  & a i /imt 
contra  (e  compofici,erit  1 ip  contra  utrunqp  compofitus. 

Sic  quia  Vi  7 i , & /%  i 6 z.  funt  commenfurabiles , erit  etiam 
/%4j-o  ad  utruncp  commenfurabilis.ed  quod  (it  aggregata  ex 

Item  huic oppofitae  priori:  , 

T 0i  fuerint  bue  quantitate©  incommenfurabile©,erit  ag 
gregatum  earum  »otricg  mcommenfurabilc. 

Similis  eft» 

Si  fuerint  duo  numeri  contra  fe  incompofiti,  qui  ex  ambo- 
bus coacerUatur,ad  utrunq;  eorum  erit  fncompofttus. 

Vtiodi  11  faciunt  17, quia  ergo  1 o & 1 7 funt  contra  fe  imi 
Compofiti, necefle  eft  ut  17  iit  contra  utruncp  incompoiirus.  , 
. qui*  8 & 1 z funt  incomracniurabiIes,necefte  eft  ut 

» *-f- A 8 contra  utruncg  fit  incommcnfurabilis. 

Item  haec  quar  eft  conuerfa  nonae  apud  Campanum.  * 
V ’©<  fattint  bue  quatitate©,fuerit'c$  aggregatum  ep  et©; 
rtricp  partium  illarii  commenfurabile , erunt  etiam  pacte» 
inter  fecommcnfurabile©.  * 

j'  Similiseft  huic.  ; 

Sinumerusexduobuscoaceruatuscontra  utrunq?  iiteom# 
pofitus,ncccfte  eft, ut  duo  illi  numeri  cx  quibus  farta  eft  coai 
ccruatio.fintcqntrafe^ompofiti.  ,,  ^ 

P fi  Vt 


MlCHAEtlS  STlFEtrr*  * 

Vt quia  1 1 9 aggregatus  eft  ex  98  & 2. 1 , dt contra  utruncp 
eorum  eft  compoutus,neceflfc  efl:  uc  98  contra  zi  (it  c5pofitus. 

Sic  quia  eft  aggregata  ex  s/%71  & fy  1 6 z,  dC  eft  com* 

menfurabilis  ad  utrancg , ideo  necefle  eft  ut 7^7 1 ad »/%  1 6 1 (?t 
commenfurabilis . ' ■ * , • . 

I tem  harc  oppofi ta  immediate  praecedentis. 

^0t  fuerint  buequantitatee,fuertt'cg  aggregatum  ejrde 
vtricp  pattiuni  illarum  tncotumeiifurabtle,  erunt  etiam  par 
tce  ille  inter  fe  tncommenfurabiUd. 

Similis  eft  huic. 

Si  numerus  ex  duobus  coaceruatus, contra  utruncp  (it  inco- 
pofitus, necefle  eft  ut  duo  Illi  numeri , ex  quibus  farta  eft  coa« 
ceruatio,(int  contra  Ce  incompoflti* 

Vtquia  27  coaceruatus  eft  ex  1 o & 1 7 ,&  contra  utruncp  eft 
incompofitus, necefle  eft  ut  1 7 contra  1 o fit  etiam  incopofitus. 

Sic  quia  1 x -f-  eft  incommenftirabilis  his  fuis  parti- 
kus  y%8  ,ideo  partes  illae  etiam  ad  inulcera  funt  incora 

menfurabiles. 

De  propofitione  qua  apud  Camp  anum  eft  decima. 

IX  ea  propofirione  quam  Campanus  decimam  facit,6i 
■ Theon  undecimam , habemus  pulchrum  exercitium 

J mulriplicandi  ateg  diuidendi  per  numeros  irrationales 

quofcunqp: quemadmodum  ex  fuperiore  propofitione,  quam 
Campanus  nonam  facit,  cum  adiunrtis  (ibi,  habemus  exerd* 
Cium  addendi  Qc  (ubtrahendi  per  eofdem,ut  fic  duae  propofi tio- 
nes  illae,  cum  (ibi  adiunrtis,integrum  Algorithmum  omnium 
numerorum  irrationalium  referant. 

Sic  autem  dicit: 

r<3mniumquatuorquaimtatu  proportionalium,ft  fue- 
rit prima  commenfurabtlie  fecunbe,erit  et  tertia  commensi 
rabtlie  quarte.  • * * • 

fxeplum  huius  uidere  poteris  ex  his  4 terminis  regulae  Dctri» 
V%9$  Jit8t  • • /$ix, 
i Si 


Arithmetica*  Liber  'n,  ifi 

; T0i  ©ero  prima  tncomcrifurabilia  fuerit  fecunde,  tertia 
qaoque  iiicomnKnfurabtlie  erit  quarte*  Vt  hic : 

*/fcl*.  /*l8.  */fc*7* 

Videamus  nunc.exercitrj  gratia, ut  ea  quae  feptimo  libro  Eu 
elides  docuit  de  numeris  rationalibus,conueniant  cum  nume 
r is  irrationalibus>de  quibus  boc  loco  docuit. 

Si  fuerint  qua  tuor  numeri  ^portionales  (inquit  xo  ieptimi) 
quod  ex  dudu  primi  in  ultimum  producitur, aequa  eft  ei  quod 
producitur  ex  audu  fecundi  in  tercium.Et  fi  quod  ex  primo  in 
toltimum  producitur,  aequum  luerit  ei  quod  ex  fecundo  in  ter * 
tfinn,il(i  quatuor  numeri  iunt  proportionales. 

Si  fuerint  qua  tuor  numeri  ^portionales  (inquit  14  ieptimi) 
permutatim  quocp  proportionales  erunt. 

Si  fuerint  quatuor  numeri  proportioales  (iuxta  1 1 feptimi) 
nciet  diuiffo  fecundi  per  primum,  quantum  diuiffo  quarriper 
tertium. Et  (i  iecadus  dfuifus  per  primum,  fecerit  id  quod  quar 
tus  diuifus  per  tertiu.erut  qaatuor  numeri  illi  proportionales. 

Si  fuerint  quatuor  numeri,  quorum  fecundus  primum  to* 
t ies  contineat, quoties  quartus  tertium,  continebit  ( iuxta  9 QC 
10  feptimi) tertius  primum, quoties  quartus  fecundum. 

Si  fuerint  quatuor  numeri,  quorum  /ecundus  toties  conti* 
neat  primum, quoties  quartus  tertium,continebunt(iuxta  j-  & 
6 ieptimi)  fecundus  & quartus  pariter  accepti,  primum  & ter* 
Cium  pariter  acceptos,quoties  fecundus  continetprimum  dtc, 

Euclides  etiam  hoc  figno  teftari  uoIuir,fe  hic  loqui  de  irratio 
nalibus  numeris  proprie, fleut  in  feptimo  de  rationalibus,^» 
utrobiqr  coeperit  4 propofitionibus  fimilibus , Sic  enim  prima 
leptimi,RmiIima  eft  fecundae  dedmi : & fecunda  feptimi, Omi« 
lima  eft  tertiae  decimi;  di  tertia  feptimi,  Rmiliina  eft  quartae 
decimi, 

P irj  Dt 


»71  iiMkhaeilis  Stifelii  -A 
i,.  Depropofitionibos  quibus  Euclides  utitur tanfp 
elementis  quibufdam  ad  compofitionem  fua  ? 
rum  tredccim  fpecierum,  Cap.xun.  T 

Idit  Campanus  uir  e ruditus, propofitiones  quafc 
dam  decimi  Euclidis  cfle  dementares , fi  ad  tc\h 
quas  comparentur : ideo  eas, pulcherrimo  ordine 
obferuatOjCoIlocauit  inter  decimam  ordinis  foi, 
& quintamdccima,tanquam  interfiirium  quod* 
dam, quo  didinguerentur  propofitiones  irrationalium  numc# 
rorum  abftraftorum  ( ut  ego  uideo)  i propofitiombus  irratio# 
nalium  linearum, id  eft,  irrationaliu  numerorum  contra dojfc. 
Hac  uero  ratione  ego  eas  uoco  elementa  res  propofitiones,  <$ 
fecundum  eas  producantur  lineae  indifterenterutilesatcpin- 
Utiles  ad  propofitiones  rerum  prindpalium.quar  in  decimo  tra 
dlantur,  adeo  uidelicet  informes  funt,ut  ad  nullam  ufum  certd 
Uideantur  ede  regulatae.nifl  redrirtionibus  certis  corrigantur, 
ita  ut  eliminatis  inutilibus  lineis, folummodo  utiles  proferant. 
|3oc,{nquam,uidtt  Campanus,  etfi  non  uocarit  eas  elementa# 
tesvid  quod  ego  ex  ordine  eius  uideo. 

De  prima  propofitione  dementari, 
i Lementar  is  propofitio  prima, problema  eft,&  modum 
inuentionis  rcquirir,qui  quadrangulis  redangulis  afc^ 

i folu  itur,  quibus  figuris  folis  utitur  Euclides  in  fuo  dei 

Cimo,  nifi  qudd  eas  alicubi  dimidiatas  recipit  per  diagonales) 
id  eft,  triangulares  orthogonalirer.  Sic  autemdicit; 

«'>  Fpropoftta  quacunque  linea  rectu, bnas  ettnconimcnfa* 
rabilea  inuenire,  tnam  in  longtto&tne,  alteram  in longitn* 
frne  et  potentia . 

Propofi ta  linea  quaconq?,  conditae  ad meniuram  eius  qua* 
dra  tum,tunc  diameter  eius  neceiTario  erit  incommenfiirabtHt 
longitudine  tantum, ad  linea  propofitam.  Medium  uero  pro- 
portionale inter  codam  & diametro  quadrati, erit  eidem  linese 
propofitac  incommcniurabilis  longitudine  QC  potentia. 


ARlT«HffTrcXr:LlBBtt.  If» 


5 Vt  pofitalinea  A B ,erit  d incommeniurabilis  longitudine. 
Unca  a Efcu  bc.  Et  eidem  lineae  A B,  erit  incommeniurabilie 
longi  tudihe& potentia, linea  b d. 

Exempla,  a 'j5 

i ' Vtl?  A b fecerit  d,fec/et  B C & B D faciet  </%% 15-9 1. 

. Item  fi  a b fecerit  /fcfcd.fadet  B C »/%%i4,&  b d faciet  %/%%  1 u 

Item  (Iab  fecerit  4 -f- A 1 1, faciet  B C ^ j x 14^  b D 

fecietv/%%  j*  1 i-f~y^x88 . Et  ficdealijs, 

7 Sed  in  huiufmodi  exemplis  femper  manet  eadem  proportio 
linearum  inuentarum  ad  lineam  propofitam.cum  diameter  ad 
coft3  quadrati  eiufde  habeat  .pportione  duplae  dimidiatae  &e. 
Si  igitur  mutare  uclis  proportiones,  ut  decet,  oportet  recipere 
quadrangula  rcdangula  altera  parte  longiora,ut  pagina  uerfa 
Dides  fadum. 

Si  propoffta  linea  a B recipiatur  pro  primo  latere  quadrati 
guli  redanguli,&  pro  fecundo  latere,recipia  t B D faciens  pro* 
portionem  teiquialtera  ad  A b >erit  B c incomeniurabilis  longi 
tudinefantum,adA  b:&  b e erit  incommenTurabilis  longitu# 
dine  & potentia  ad  a b, 

Vtl?  ab  faciat  d^cietBD^di  BCfadec,/*ii7,&  BEfa* 
det^^n  u 


ftemfi  A B fecerit Al 3», faciet  bd/jji 6x  : & BCfadef 
^338:&BEfadety^.o4. 

Item  fl  a B fecerit  7%  3 z,  faciet  b d * : & B C faciet  ,/*  1 04* 

& B£fadetA*33*8. 

Itera  fi  A b fecerit  4-4-/%  1 a,  tunc  radet  B d -f-  xi  i & 
B C fadet  y a -+V*  3 p : & B B fadet  tibi  %/**8  3 x -f-  */i&4$ 8« 

Etficdealijs. 

rSed  fiint  ^portiones  a liquar, quas  nffi  caueria, decipiet  te# 
In  uniuerfo  autem  genere  proportionum  multiplicium,  item 
In  uniuerfo  genere  moltiplidum  fuperparticularium  propor* 
donum, nui  Ia  eft  quae  te  decipere  poftit.Et  in  uniuerfo  genete 
fuperparticularium  proportionum  ,una  folummodo  eft  pro- 
portio quam  cauere  debeas,uidelicet  fefquitertia.  Nam  fl  b O 
faciat  ad  a b proportionem  fefquitertfam,erit  b cad  a B cora 
menfurabflis  poteria  & longitudine,  &be  erit  ad  A B comen 
(iirabilispotentia  tantu.Vt  fi  faciat  ab,  6-f~y%i7,  faciet  B X> 
S -4- y?(48,& BC faciet  10  -f-y%7y,&  BBfaciet«/%6o,4-</*4y« 

Item  in  uniuerfo  genere  fuperpartienrium  nulla  erit  propor 
tio  alia  qua  pofits  decipi,  fi  folummodo  caueasfuperfeptiparti- 
entem  odfauas*  - t ..  . . 

••i*,  ; 5ed 


. MlCHAEllS  Sf  ifeiii  . " . 


Arithmeticae  Liber  ir. 

rScd  in  genere  multiplicium  fuperpartientiu  infinitae  funi 
proportiones  cauendae.  Sed  illae  tamen  adeo  mirando  ordine 
ueniunr,ut  facile  pofftntuitari.Nam  in  qualibet  fpecie  propor 
tionu  huius  gencris.duae  folumodo  funt  ^portiones  cauendae. 
Scilicet,in  fpecie  dupla  fuperpartiente , cauenda  eft  dupla  fu* 
perbipartiens  quintasjflC  dupla  fupundepartiens  duodecimas* 
In  fpecie  tripla  fuperpartientr,cauenda  eft  tripla  fupertri- 
partiens  feptimas : & tripla  fuperquindepartiens  (edecimas. 

In  fpecie  quadrupla  fuperpartiente , cauenda  eft  quadrupla 
fuperquarpartiens  nonas:  & quadrupla  fuperundeuiginpar* 
ticns  uigelimas.Et  fic  deinceps  in  infinitum. 

Cur  aut  propofitio  haec  quaerere  iubeat  lineas  utrocg  modo 
incommenfarabiles,potius  quim  commenfurabilcs  (id  eft, de 
ofueius)  dicam  inferius. 

De  fecunda  propofitione  elemcntari, 

fJI^EJEfpicft  haec  propofitio  ad  decima  fexti.ficut  praecedens 
P Kwelpfcft  ad  nonam  (exci.  Recipit  enim  dimidiatum  qua 
Ki«sdrangulum  recftangulum  per  diagonalem, id  effortho 
gonicum  triangula,  dioifum  in  triangulos  orthogonios  duos 
partiales,  & fecundum  diuifionem  talem  colligit  quatuor  ter* 
minos  regulae  De  tri,  ut  uidebis  in  explicatione  propofitionis 
huius.  Ea  fic  dicite  / 

romnium  quatuor  lincaru  proportionalium , ft  prima 
tanto  amplius  poffit  quim  fecunba. quantum  cf?  quabratu 
alicuius  linee  commciifurabilie  (ibi in  longitubine,neceffe 
cf!  tertiam  quoque  tanto  amplius  poffe  quim  poffit  quarta, 
quantum  cf!  quabratum  alicuius  lineae  commenfurabifie 
fibi  in  longitubinev 

Vt  fi  prima  (it  48  ,&  fecunda  fic  porerit  prima  48, & fe* 
eunda  3 6 : & cum  differentia  potentiarum  (it  1 i,erit  linea  ex- 
ccfTus  1 1 communicans  longiori  in  longitudine.Quacunqj 
igiturlincapofita  pro  tertia, fi  ad  ipfasponaturquartapro- 
portionalis,id  quod  fiet  per  regulam  De  tri,  porerit  etiam  ipfa 

• Q_  tertia 


Michaelis  Stifelii 

tertia  ultra  quartam, talem  quantitatem , ut  linea  quadraturae 
dus  comunicet  ipfi  tertiae  in  longitudine,  Ocut  uides  in  figura. 


. - » 

a 

— ~Z^T 

* 

"...  x 

i 

a B ponit  a c.ergo  B E ponit  B D. 

Et  A b ponit  B c,ergo  b e ponit  e d. 

V ides  certe  ex  ipia  figura  rationem  propo (itionis  huiusticili 
cet  ficut  (e  habet  b c ad  a B,fic  neceilario  habebit  (e  e d ad  b b* 

Pra*cipue  autem  obferuandum  eft  ,ut  prima  & fecunda  (id 
eft,A  b & AC)  flnt  lineae  longitudine  tantum  incommeniura* 
biles, fcu  potentia  tantum  commen(urabiIes,a!ioqui  inutiles  fe 
rct  propofitio  haec  lineas  pro  libro  decimo.  Sed  de  uiu  Iinearfi 
elementarium  harum  dicam  circa  finem  huius  capitis. 

Oppofita  praemiflae. 

T Omnium  quatuor  linearum  proportionalium,!»  prima 
poteutior  fuerit  fecunba>quabrato  alicuius  linee  incommcn 
jurabilis  ftbi  in  longitubine,  erit  quoque  tertia  potentioc 
quarta , quabrato  alicuius  linee  incommenfurabilis  jibi  in 
longitubinc. 


Exenu 


K4 

A 


D 

Quia  trianguli  orthogonij  a b d,&  d b c,fimt  fimiles  inter 
fe,ideo  neceiTe  eft  ut  habeantlatera  proportionalia,  ut 
A D ponit  DB, ergo  DC  ponit  cb. 

Item  a D ponit  a b,  ergo  d c ponit  D B. 

Hoc  eft.Vfcr*  ponit  4 lineam  fibi  longitudine  incomenfura- 
bilem.ergo  17  ponit  6 fibi  in  longitudine  comenfurabile. 

Recepta  eft  autem  figura  odauae  fext/,loco  figur*  propofi- 
tionis  decimae  fext/.caufa  rei  dilatandae. 

Dcmonftratiouerofimilitudinis  anguloru  geometrica  eft, 
fed  quia  paucis  expediri  poteft,  uolo  eam  rentare. 

Angulus  a communis  eft  triangulo  totali  a d C.&  partiali 
a B D : ergo  necefte  eftuit  angulus  C fit  aequalis  angulo  a D B. 
Ergo  etiam  necefle  eft,  ut  angulus  b d C,  aequalis  fit  angulo 

D A B ,&C. 

Sic  hac  figura  facile  demonftratur  proportionalitas  1/nearu 
geometrice  ex  fimilitudine  triangulorum, Eft  enim  angulus  b 
trianguli  totaIis,communis  triangulo  partiali  e d B.ltem  an* 
gulus  a trianguli  totalis, eft  communis  triangulo  partiali 
ABC,  Ergo  &'c. 


Arithmeticae  Liber  ii. 
Exemplum. 


Q ii 


De 


Michaelij  Stifelii 

De  tertia  propofitfone  dementari  ,&  eius  conuerfa. 

PReui  fumma  explicantur  fimul  qua  tuor  propofitionc* 
dementares  fequentes  „ fatis uerbofe  pofitae..  Scilicet» 
fuperficies  diuidensiineam  longiorem, uocetur  E (ut  in 
figura  uidebis  inferius ) Qt  quadratum  complens  longiorem 
lineam  uocetur  F.Linea  longior  uocetur  a b ,&  breuiot  uoce* 
tur  A d.Ec  linea  excciTus  uocetur  b d.  Partes  diuiise  longio- 
ris lineae  uocentur  a C 8C  c b.  His  praemiffis , iic  habet  fumma 
omnium  propofitionum  elementarium  quae xcftant. 

Summa  breuis. 

Si  fuperficies  E fuerit  quarta  pars  quadrati  breuioris  lineae, 
fit'<$  fuperficies  F quadrata,  unum  conftituens  quadrangulum 
cum  e,8C  c b fit  commenfurabilis  ipfi  AC.necefleeftutetfam 
D b fit  commenfurabilis  ipfi  a B : ut  habet  dementaris  tertia* 
Et  uiciflim(ut  habet  eius  conuerfa)  fi  d b fuerit  commenfura* 
bilis  ipfi  a B,necefle  eft  ut  etiam  c b fit  comenfurabilis  ipfi  a c0 
Et  econtrarioCut  habet  elementar is  quarta,  quae  eft  tertiae  op- 
pofita ) fi  c b fuerit  incommenfurabilis  ipfi  a c,  necefle  eft  ut 
etiam  d B fit  incommeniurabilisipfi  A B.Et  uidfTim(ut habet 
eius  conuerfa)  fi  D b fuerit  incommenfurabilis  ipfi  a b,  necefle 
eft  ut  etianl  c b fit  incommenfurabilis  ipfi  A C. 

Sic  autem  dicit  tertia  dementaris» 

V 0i  fuerint  bue  linee  inequalee,  quarum  longiorem  bw 
uibat  fuperficiee  ftbi  applicata  in  buae  partte  commenfura* 
bileejfitq;  fuperficiee  illa  cqualie  parti  quarte  quabrati  linee 
brcuiorie>cut  fuperficiei  befit  fuperficiee  quabrata.vt  no  com 
pleat  totam  lineam  longiorem.neceffe  eft  ipfant  lineam  lon* 
giorem  tanto  attipliue  pofleqnim  poffit  linea  breuior,quan 
tum  eft  quabratum  alicuiue  linee  commenfurabilie  cibem 
longiori  in  longitubine. 

Conuerfa  cflis# 

F 0i  fuerint  bue  linee  inequalce»quarii  longior  fit  potert* 
lior  breuiore  augmento.quabrati  linee  commenfurafiilie  (on 

giori 


1 


Arithmeticae  Liber  ii,  i ^ 

giori  in  longitudine,  adiungatur'qj  longiori  fuperftcies  equa 
It s parti  quarte  quadrati  0reuiorie  linee , cui  fuperfiaci  defit 
quadrata  fuperficie8,vt  non  compleat  totam  lineam  longio 
rem,necefic  efl  fuperftciemfibiadiunctam  diuidere  lineam 
Jongtorem, in  duae  portiones  incommenf  urabtlce. 

Exemplum. 


Longior  linea  eft  a B,feciens  fua  longitudine  y^ioS.Qpam 
diuidit  iaperficies  45, in  AC&cB.EteftcB  latus  quadrati 
faciens  fua  longitudine  /fc  1 3 .Linea  uero  longior  fuperficiei  45 
•f«  A Ciacit  7%  1 1 7.1pia  uero  iuperficies  l£,fua  area  facit  39. 

Lineaexepli  breuior(.i.  a d) facit fua longitudine^  1 j-tf* 
unde  area  dus  facit  jj6.  cuius  quarta  pars  aequat  ibgftdei  45* 
Linea  exceflus,id  eft,  d b facit j- 2:  Si  eft  5-2  commen* 
lora  bilis  ipl?  longiori.id  eft,  2 o 8 in  longitudine : fecit  enim 
longior  ad  ipfam  lineam  exceflus, proportionem  duplam . Sic 
c b commenfurabilis  in  longitudineeft  ad  A C,  facit  enim  a c 
ad  c b proportionem  triplam, 

Q.  irj  Quod 


; i /Michaelis  Stipelit 

Qudd  autem  d b fit  linea  exceflfus/atis  patet  ex  penultima 
primi : fcilicct,y  z eft  differentia  inter  zo8  & i s&* 

Circa  hanc  propofitionem  obferuandae  funt  proportiones 
numerorum  quadra  to^-  ad  numeros  quadratos,atqp  cauendae. 
Si  enim  C B ad  A C talem  aliquam  proportionem  habuerit, rc- 
fpondebunt  quidem  lineae  propofitioni  huic  tertiat  atque  eius 
conuerfae : fed  lineae  illae  inutiles  erunt  pro  decimo  Euclidis, 
cum  fint  omnes  merae  rationa!es.Et  ego  quidem  ex  hac  propo 
(itione  & figurisexcmploru  eius,ob(cruaui  proportiones  illas 
quas  circa  propofitionem  elementa  rem  primam  po(ui,&  qua- 
rum  mentionem  etiam  feci  hb.  i.cap.z. 

De  propolitione  ultima  elementa  ri,&  eius  conuerfa. 

I Ltima  propofitio  elementaris  ,eft  oppofita  tertiae  ele- 
j'  mentari , dC  conuerfa  eius  eft  oppofita  conucriae  ipfius 

I tertiae.  Requirunt  aut, haec  ultima  dC  couerfa  eius, linea 

rationalem  aut  medialem,  pro  linea  exempli  longiore : aliis 
enim  lineae  exemplorum  ipfarO,nihil  facerent  ad  ufum  decimi* 
Itacp  rationalis  linea  aut  medialis , (umpta  pro  linea  longiore 
exempli, diuidenda  erit  in  partes  duasincommenfurabiles,per 
fuperficiem  (g.Quod  ut  fiat  mox  dicam,  politis  prius  propo- 
(itionibus  ipfis* 

Elementaris  ultima. 

f P0i  fuerint  bue  linee  inequales, quarum  longiorem  biui 
batinbuas  partes  incommenfurafoles.fupcrffcies  equulis 
quarte  parti  quabrati  breuiorie  linee,  ita  cp  befit  ab  eius  cotn 
plctionefupecficiesquabrata,critlongior  potentior  breuiorc 
augmento  quabratilinee  incommensurabilis  ipft  longiori 
iulongitubiue. 

Conuerfa  ultimae  huius. 

V 0i  fuerint  bue  linee  inequalcs , quarum  longior  fit  po- 
tentior breuiorc  augmento  quabrati  linee  incommeufurabi 
lisipfi  longioriin  longicubine,abiungarur'q*ei  fuperficiea 
cqualis  parti  quarte  quabrati  breuioris  linee,  bcfuerifq;  fu» 

‘ rfi(' 


’ perficies 


Arithmeticae  Liber  ii* 

perficies  quafcrata.necefie  «fi  vtipfa  fapcrficiee  dbtaticta  ab 
eanbe  linea  longiore  biuibat  in  buao  portionee  incomcnfur. 

Exemplum* 


Linea  ab,  12.  Ac,rf-f-v* 

cb,6—  /fci». 

DB,y%48.  CE,y%24. 

' Exempla  harum  propofitionum  fic  formatur  feu  figurant  • 
Primo  omnium  pone  quadratum  cuius  cofta  fit  refiduum 

binomiale  aut  refiduum  bimcdialc,tunc  latus  longius  fuperfl- 
ciei  l£xrit  linea  binomialis,aut  bimedialis  ( in  fuperioru  pro** 
politionum  exemplis  erit  commoda  cofta  quadrati  fvationa 
Iis  aut  medialis , ad  quam  latus  fuperflciei  l£  longius  habeat 
proportionem  numeri  ad  numerum,dummodo  numeri  illi  n5 
fint  quadrati)  & cum  ex  utrac$  fuperficie  itz&S  una  fiat  fuper 
fldes.deicribeiupercamiemicirculum,  ut  commode  poliis 
gnare  lineam  breuiorcm  exempli, a tcj$  lineam  excelfus : utram 
libet  autem  primo  poteris  lignare. 

Si  lineam  exempli  breuiorem  primo  uolueris  lignare,  tunc 
recipe  lineam  quae  dupla  fit  ad  mediu  proportionale  inter  cofta 
quadrati^  & latus  longius  fuperficiei  }£,  erit  enim  linea  talis 
menfura  linea:  breuioris  tui  exempli.Patet.Nam  medium  tale 


Michaelis  Stifblii 

. . « 

proportionale  eft  larus  tetragonfcum  area  l£,  iuxta  ultimant 
fecundi.Et  cum  quadratum  linea  fignandz,fit  ad  aream  illam 
quadrupla,ut  propofitiones  dicunt,  neceiTe  eft  ut  linea  habeat 
proportionem  duplam, iuxta  ro  odau i,&c.  Signata  aut  linea 
exempli  breuiore  ( ut uidcs  (ignaram  A d)  patebit fpacium  fi- 
gnandz  linea  exceflus,abfcg  maiore  aliqua  opera  qua  fi  tum. 

Si  uero  lineam  exceftus  feu  augmenti,  uelis  primo  (ignare, 
tunc  abfcinde  coftam  quadrati  $ de  latere  longiore  (uperflciei 
lg,d(  remanebit  tibi  men(ura,hnea  exceftus  (eu  augmenti  fi# 
gnanda.Vnde  necefle  eft,ut  C B exiftcnte  commenfurabili  ipfl 
a c,comenfurabilisetiam  fit  D b ipfi  a B.Cum  enim  commen* 
furabile  (obtrahitur  i (ibi  commen(urabil(,necefte  eft  ut  relido 
remaneat  commenfurabile  toti,&  fingulis  partibus  totius  ipfl 
toti  commenfurabilibus.iuxta  odauam  decimi.Sic  etiam  D b 
exiftcnte  commenfurabili  ipfi  a b,  necefle  eft  ut  c B commen* 
furabilis  fit  ipfi  c a , ut  didum  eft  fuperiuscirca  dementarem 
tertiam . Sic  ex  eadem  ratione,  fi  C b fit  incomenfurabilis  ipfi 
A c (quod  ad  propofitiones  has  duas  pofteriores  perrineOne# 
cefie  eft  ut  D B fit  etiam  inedmeniurabilis  ad  a b.  Et  uicifltm, 
fi  d B fit  incommenfurabilis  ad  a b, necefle  eft  ut  c b (it  iaconr 
meniurabilisad  ac. 

Deufujpropofitionum  elementarium. 

] Agnum  ufum  habent  propofitioneselementares  ad  ea' 
iqua  in  decimo  Euclidis  tradant, quod  paucis  hoc  loco' 
i libuit  referre.. 

F Cum  enim  occurrant  propofitiones  no  pauca,  in  quibus 
requiruntur  linea  longitudine  incommenfurabiles  fibi,ut  funt 
ha  decimi  propofitiones , 17.  18.  24.  zy,z  6,  30. 3 /.  3z.fi* 
inulta  aliz.Irem  non  pauca  occurrant, in  quibus  requiruntur 
linea  (ibi  longitudine  & potentia  incommenfurabiles , ut  funt 
ha  decimi, 27. 28. 19.3  3. 34. 37,81!  alia  nonulla.nonmiru  eft  q> 
prima  clemetarisCut  reliqua  breuitatis  gratia  hoc  loco  tranfea) 
jpponitrequiredas  lineas  utroqi  modo  incomeniurabiles  &c. 

Item 


Arithmeticae  Liber  ii, 

ritem  (ut  de  fecunda elemerari etiam  dicam)  fatis  pulchro 
eft  uidere.ut  ex  binomrjs  primis  producant  binomia  fecunda 
& rurfum  ex  fecundis  flant  prima : ut  hic  uides. 

8 ponit  A 48,ergo  «/$48  ponit  6% 

Item  ^48.  6,8,  y*48. 

Eodem  modo  fluntex  binomijs  quartis,binomfa  quinta:  & 
rurfum  ex  quintis  flunt  quarta. 

Eft  etiam  fecunda  dementaris  mire  utilis  ad  inuenrionea 
linearum , quales  requirunt  propoflriones  »4 . * y . 26 , ut  fuo 
loco  uidebimus.  . ? 

FEx  tertia  dementari  fiunt  b/nom/a  & refldua  primi  ordk 
nis  peculiariter : reliqua  fuis  locis  exponam. 

FEx  quarta  elcmentari,producit  Campanus  lineas,  quales 
mihi  ab  initio  C dum  decimum  Euclidismeditarer  attentius) 
fuerant  difFicilimae,  antequam  eas  caepiflem  cognofcere.H* 
funtpropofltionum  17.  z8,  zp.lineat.Dereliquisdieaminlo 
cis  fuis  ut  inciderint. 

• . 

Dc  proportionibus  decimi  Euclidis.quas  de 
duplici  fpecie  rationalium  linearum 
propofuit.  Cap.  xv. 

v A.B  v s propofltionibus,  Euclides,  fpec/em  ra« 
tfonalium  linearum  duplicem,  illuftrare  uoluit, 
jntequam  ipecies  irrationalium  linearum  aggre^ 
deretur.  Atque  ita  ordiri  uoluit  principalem  libri 
fuidei  imi  tractationem,  ab  illis  propofltionibus 
duabus : quarum  prior  ordine  Campanieft  quintade*ima,or* 
dineuero  Theonis  eft  uigcflma : altera  aut  earum,  cum  ordine 
Campani  fit  fextadecimajordine  Theonis  eft  uigefima  prima. 

R De 


Michaelts  Stifelit  r 

Depropofltioncpriore.quareft  apud  Camp.ty,  "1 
. Cee  ut  Euclides  incipiat  i fuperficiebus  rationalibus, 
1 contentis  fublineis  rationalibus  prunae  fpeciei,memor 
| uidelicet  definitionu  fuarum,qutbus  fignificauit  quali- 
bet ratiocinatione  rerum  irrationalium.oportere  initiu  capere 
| re  aliqua  rationali.  Sic  autem  proponit: 

rCkueltbet  fuperf)ciee  rectaugula.quam  continent  bae 
linee, in  longttubtne  r<mon«lee,rationati8  eff . 

Vides  CCTte,ut  primam  fpeciem  rationalium  linearum, id  eft 
fonaliu  fimplicit,feu(ut  textus  loquit)rationalifi  longitudine; 
noluerit  boneftare  propria  propofitione,  alloqui  fic^pofuiflet; 

TQualibet  fuperficies  redangula .quam  continent  duae  li« 
Uese  rationales,comcnfurabiles  in  Iongitudine.rationalis  eft. 

Vt  aut  differat  duae  ,pportioes  haeCquajK  tn  prior  Campani, 
altera  Theonis  cfle  uidetur ) feques  figura  luculenter  declarat. 


% w 

e * 


> / 


Scilicet  quadrangula  abco  pertinet  ad  prior?  propofitione. 
Quadrangula  ucro  ac  f e,  gttnct  ad  pofteriorc  pr  «cedentis. 


Arithmeticae  Liber  ft, 

Non  aurem  difcemit  textus  propofitionis  altera  parte  len- 
iores fu  perficies,  4 fugfiriebus  quadratis,  ut  fignifteet  urrafq? 


in  fequentibus  propofit Ionibus  manifefie  probat, in  quibus  de 
utrifc^expreffisuerbisdiflerit.Qudd  fi  ratione  propofitionis 
huius  peculiarem  aliquis  i me  petat,  illud  reipondendum  efie  : 
cenfeo,  q>exutrac$  fpecie  quadrangulorum  reda ngu larium 
proucniunt  lineae  rationales  fecundae  fpeciei  (id  efi,rarionales 
potentia  tantu)  per  lineas  rationalesprimae  fpecfeiNam  qua- 
libet fuperficies  quadrata, cotenta  fub  lineis  longitudine  ratio  ' 
nalibus, diametrum  habet  lineae  rationalis  fecundae  fpeciei,  id 
cft?rationa!is  potentia  tantum:  & hoc  nunq£  fall/r.  At  fi  fuper* 
ficies  quadrata  rationalis,  contineatur  fub  lineis  rationalibus 
fecundae  fpeciei  ( id  eft,fub  lineis  potecia  tantum  rationalibus) 
diameter  modo  linea  primae  fpeciei  rarionalium,modb  fecudse 
fpeciei  etit.Nam  fi  cofia  quadrati  fecerit  /%48,facfet  diameter 
«ius  %/%9<5.Sed  fi  cofia  fecerit  %/fc  j-o, faciet  diameter  eius  i o. 

Superficies  uerorationa!is,contenta  fub  lineis  rationalibus 
primae  fpeciei  (.ijongitudine  rationalibus)  inarqualibus.facit 
diametrum  rationalem  fecundae  fpeciei,fi  caueantur  proportio 
nes Iaterum,quas  pofui  capite  praecedenti,  circa  propofitione 
dementarem  primam.Nam  fub  proportionibus  illic  pofitis/a  - 
cient  diametrum, feu  diagonalem  lineam, primae  fpeciei,&:c,  » 
De  propofitione  pofteriore,quae  eft  apud  Camp.  1 6, 
ifta  propofitione  quae  apud  Campanumcft  i 6,apud 
U0  EJ  Theonem  uero  1 1,  magis  placet  textus  Theonis  quin* 
lyLijsCarnpanfcficut  in  fuperiori magis  placuit  textus  Catr*'< 
pani  quim  Theonis . Hac  enim  ratione  uident  ambae  ipecies 
rationalium  linearum  pulchra  propofitae. 

Sic  autem  habet  textus,Theonis  fententia. 
r (Tum  afciuncta  fuerit  linee  rationali  .fupcrficiee  rationa 
Itercctangula.latue  eiue  fecunbuni erit  rationale,lateri'qp 
primo  commenfurabile. 


R q Campa 


MiCHABirs  Sttfelii 

Campanus  autem  ponit  (uam  (exramdec(m5,(ta  ut  fit  con- 
uerfa  fuar  quintacdccimac.qucadmodum  Theon  fuam  z i.hanc 
ponit  ut  fit  conuerfa  fuar  uigefimae. 

Sic  autem  habet  Campani  propofitio. 

rCum  adiundz  fuerit  lineat  rationali  in  longitudine  fuper 
ficies  rationalis  recftangula,  latus  eius  fecundum  erit  rationale 
in  Iongitudine.Iaterfqp  primo  in  longitudine  comenfurabile. 

Sub  hac  ego  diuerfitate  (data  ratione)  medifi  reneo,  & Eu* 
clidem  propofitiones  po(ui(Tearbitror,ficur  dixi.Ficrienim  po 
tuit,ut  Euclidis  propofitiones,  quat  ad  manus  Theonis  perue- 
ner  ut  poft  aliquot  (ecula,alicubi  fuerint  mutatar,quicquid  tan- 
dem fit  quod  ae  Campani  exemplaribus  opinamur.  Facit  QC. 
hoc  me  liberiorem  iniudicando,quod  propofitiones  Euclidis, 
non  funt  euangelium  Chrifti.  Res  fic  habet. 

Duae  lineat  rationales  commenfurabiles  in  longitudine,  fiue 
longitudine  fintrat<ona1es,fiue  irrationales,  nullam  continere 
poliunt  fuperficiem  aliam  praeter  rarionalem.  Hoc  generale 
eft  fiue  iuperftcies fint  quadratae, fiue  altera  parte  longiores» 
Etquidemde  altera  parte  longioribus,excmpIum  habes  fupe 
rioris  propofitionis. 

Hic  uero  ponam  exemplum  quadratorum,quod  (equitur. 
Eft  autem  quodlibec  ens  fuo  aequali  commenfurabile.Sic  cofta 
codae  in  quadrato  eodem, dCc. 

Quadrata  fuper  ficies,habes  a ream  numeri  quadra ti, coftam 
fiabet  longitudine  rationalem.  Qua:  uero  aream  habet  numeri 
hon  quadrati, coftam  habet  longitudine  irrationaIem,ut  uides 
«x  hoc  exemplo  fequenti» 

Sed 


Arithmetic  ab1  Liber  h. 

i 


At*  . 

r Sed , ut  ad  difputationem  meamreuertar.hocu/de  in 
textu  propofitionis  Campani. Cum  propofitio  eius  flt  de  lineis 
longitudine  rationalibus.fuperficiem  continentibus:  id  eft,fit 
de  lineis  primae  ipeciei  folumodo,  quid  opus  erat  adijeere  hoc. 
Later  i q$  primo  in  longitudine  commenibrabile.  Quali  uero 
pofllbile  fit.duas  lineas  longitndinerationaIes,efte  incommen 
furabiles. Vides  certe, ut propoflrio  iftanefciens  femetipfam 
frangat,&  Theonis  propofitioni  locum  faciat.  RetSe  uero  & 
commode  meminit  commenfurabilira  tis,  at  non  rede  determi 
Dat  lineas  oocabulo  longitudinis.Siquidem  quaelibet  linea  ra« 
tfonalis  Iongitadine,cominenfurabi]is  eft  cuilibet  lineae  rario- 

R iij  naU 


tf9 


Michaelis  Stifelii 


na!i  /n  longitudine:  ut  paulo  fuperius  indicaui.At  non  qusli* 
bet  linea  rationalis  potentia  tantum, comunicat  cuilibet  lineae 
rationali  potentia  tantum;ut  i a communicat  Ji+Z.  At  non 
comunicat  cum  J%i+.Et  (ne  dubiter)  comunica  re&  comenfil 
rabtles  efle  omnino  idem  importat.  Item  impoflfibUe  eftJineS 
longitudine  rationale  comunicare  lineae  r5na!i  potetia  tanto. 

Du«e  aut  lineae  rationales  incommeniurabiles,  non  poflunt 
cotinere  fuperficiem  rationalem.  Vnde  (i  duae  lineae  rationales 
cx  ufracg  fpecie  ra tiona Iium,contineant  fuperficiem  quadran- 
gulam redangulam  . Linea  quae  illam  fuperficiem  poteft.erit 
mediaJis,ut  habebit  proxima  propofitio,quam  ponam  ordine 
debito.  Haec  omnia  mira  bteuitate  complicat  propofitioTheo 
nis, quorum  confiderationc  adducor,ut  credam  cam  eflfc  EucU 
dis,&  non  eam  quam  Campanus  hic  ponit.  ; 


De  propofitionibus  Euclidis  ,quas  pofuitde 
medialibus  lineis,quae  funt  lineae  primae 
fpeciei  linearum  fuarum  irratio* 
nalium.  Caput  xvi,. 


rrationalivm  linearum  fpec/es prima» 
uocatur  Medialium.Queadmodum  autem  lineae 
irrationales  longitudine  tantum,uocantur  ratio- 
nales potentia  tantum.eo  q>  poflintlin  iuperficies 
rationales : fic  lineae  irrationales  primae  fpeciei 
linearum  irrationalium.dicuntur  mediales,  eo  quod  poffintid 
fuperficies  mediales. 

PofTe  aut  in  fuperficiem  aliquam,  dicitur  Iinea,cuius  aream 
Ipfa  reddit  multiplicata  in  fe : ut  linea  quae  fua  longitudine  fa» . 
cit  6,  dicitur  pofle  36  Ac. 

- Sunt  igitur  lineae  mediales,  lineae  irrationales  longirudine  . 
& potentia.potentesfuperficie  medialem.Vnde  necp  haec^d.. 
eft  medialis,neqj  haec  ^^6,fed  haec  J&6  Ac* 

De 


I 


Arithmeticae  Liber  ii.  t6o 


De  propoftt/one  prima  medialium  linearum, 

|Vnc  tandem  uidebis  ufum  proprium  elementariYpri- 
I roar.ex  propofitione  prima  de  medialibus  lineis  polita, 
i quar  eft  de  inuentione  medialium  linearum , ut  merito 
fit  in  ilio  ordine  prima.Quaecum  fitapud  Campanum  x i x, 
apud  Theonem  eft  x x 1 1. 

Sic  autem  habet: 

^ CDoelibet  fuperf[cice,quam  continent  bne  linee  ratio  na 
lea, potentia  tantum  commenfurabilee.efi  irrationalid.tHci* 
torc^fuperficiea  mcbiaIie.J£tufo  latue  tetragonicum^uoh 
In  illafuperficte  potefLefi  irronale  .bienureg  Unca  mebialie.J 
Quali  dicat;  Sternuentes  linea  medialem, (i  coniungas  duas 
lineas  rationales  potentia  tantum  commenfurabiles,  dire  de, 
<nam  ad  angulu  redum  coniundar/uperfic/em  medialem  con 
linent)  & per  9 fexti  difponas  mediu  proportionale  inter  iplas 
coniundas,tunc  erit  medium  illud  proportionale,  linea  media 
lis ; eft  enim  meduim  illudja  tus  tetragonicum , quod  in  illam 
iuperficiem  medialem  poteft.Eft  autem fuperficies mcdiaiia 
apud  Euclidem  talis  folummodo,  ad  qualem  cotrahitur  nume 
fus  medialis  quadrate,  id  eft,munerus  ligni  huius  wfy 
H e 


V ides  hic,ur  TupFciesA  BCD  fltmedialis  cotenra  fnb  a b fli  B c 
fhicia  ionaJibus,pot€iia  tra  corae  Curabilibus.  f,A  B facit  ^48, 


6C 


Mtchablis  Stifbui 

& potcft  48.  & B c facit  <S,&  potcft  3 6.  Eft  autem  medialislu* 
perficies.cum  faciat  17x8  . Dcindeufdes, ut  illae  duae  lineae 

a B & B C fine  coniundae  direde.conftituantfcp  F D C ,&  inter 
eas  eredum  mediu  proportionale  B"D,  faciens  iua  longitudine 
1728. Eft  aGt  hoc  fignum  7%%  peculiare  lineis  medialibus* 
De  propolitione  fecunda  media1ium}quae  apud 
Campanum  eft  XX, 

I Vncupauerat  (in  propolitione  prarcedenti)  partesin* 
1 (frumentales  medialium  linearu.uidclicet  lineas  ratio- 
Inales,  potentia  tantum  commenfurabiles : ideo  nunc 
< propolitione  hac ) oftendit  modum  redudionis  medialium 
adhuiufmodi  partes  inftrumentales,dicens: 

V (Tum  abiuncta  fuerit  linee  rationali  in  f ongftuMne.  fu» 
perffeiea  equalie  quabrato  linee  mebtali0,latuA  «iue  fccanbti 
potentialiter  tantum  rationale  erit , larmcp  primo  in  longi- 
tubine  incommenfurabile. 

Certe  non  curat  Euclides  hoc, ut  ifta  propofitio  fiteonuerfa 
prioris,  aliis  lineae  rarionalinon  addidilTetdeterminarionem 
hanc,  in  longitudine.  Et  confirmat  hoc  meam  ienrentiamde 
duabus  propolitionibuslinearum  rationa!ium,paulo  fuperios 
recita  tam.Ncqj  enim  illae  debuerunt  ede  ad  inuicem  conuerfae 
prycife.  Hoc  autem  carat  & agit  Euclides,ut  hanc  fpeciem  ir* 
rationalium  linearum  (id  eft.medialium)  expediar  propofitio 
nibus  ffmilibus.ijsjppofitionibusjquas  de  lingulis  alijs  fpecie* 
bus  erat  politurus . Sic  aute  uidebis  eum  tradare  lingulas  (pe- 
des irrationalium  linearum  reliquas,ut  ( cum  reliquar  fpecies 
omnes  praeter  hanc  primam  contineant  lineas  compotita  s,aut 
tanquam  compotitas ) poft  trada  tionem  partium  compofitio 
nisearum.incipiat  tradare  partes  earum  inftrumentales,  idfcg 
no  aliter  faciat  quim  hic,  uidelicet  ut  una  propolitione  doceat 
inuentionem  uniufcuiufq?  Ipeciei,  & alia  fignificet  redudione 
ad  eafde  parres  inftrumentales.mediante  linea  rationali  in  Ion 
girudtne.cui  applicata  fit  fugficies  quadrangula  rcdagula  & c* 


ARITH  METICAB  LlBER  II. 


Itff 


Eft  autem  propofitio  i (ia  facilis,  maxime  fi  exemplum  adhi- 
beas . Recipiamus  itacp  exemplum  fuperioris  propofitionis. 
Scilicet fuperficies  a BCD(quaeaequalis  eft  quadrato  edgh, 
eftcg  hoc  quadratum  lineae  medialis  hg)  applicata  eft  line* 
rationali  in  longitudine  b C.  Ergo  nccefle  eft,ut  latus  alterum 
fuperHciei  a B C DjUidelicet  a b fit  potentia  tantum  rationale, 
& lateri  b c incommenfurabife. 

Propofitio  tertia  medialium,quae  Campano  eft  x r. 
JTlnid  linea  comenfurabilte  linee  niebiali.nicbiafiB  e. 
Vtfidiimetcr  circuli  fit  linea  medialis,necefTe  eft  ut 

Setiam  femidiameter  eiufdem  circuli  fit  linea  medialis. 

Et  quamuis  hoc  generaliter  uerum  fit,  nihilominus  tamen  uo~ 
luit  Eudidesdequalibct  fpeciefua  ponere propofitionem  fpe 
dalem,dere  hac,  forte  utcommenfurabilium  8C  incommenfii 
rabilium  confiderationem  faceret  commendatiorem.  Sed  de 
his  fuis  locis  dicam. 

Data  itacp  linea  med(ali,quaedam  mediales  ei commentura 
biles  erunt  in  longitudine.  Vt  huic^6 , hacc^^tf.Et  quae- 
dam potentia  tantum>ur  huic  7**6, haec  24.  Et  quaedam  ei 

neutro  modo  comcnfurabiles  erunt, ut  huic  ,hae c 1 9» 

De  propofitione  quarta  medialium  linearum, 
quae  Theoni  eft  2 j-. 

■s^nReui  propofitione  hac,  mediale  non  excedit  mediale. 
PgMrationalf  parumper  diflimu!ata,donec  fuum  alium  Iocu 
_Jsainueniat)pro  ea  nunc  illam  uideamus,quam  Theon  fa* 
cit  uigefimam  quintam, 

T (Duelibet  fuperficies  quam  continent  buefince  media* 
lce,commenfurabiUe  in  longitudine, mediali»  eft» 

Exemplum. 


Michaelis  St.ifelii 

Sed  miram  hic  uide  naturam  linearum,  ex  collatione  media 
fium  & rationalium  potentia  tantum. 

Mediales  lineae  potentia  tantum  commenfurabiles , conti# 
nent  aliquando  fuperiicicm  rationalem, ut  habet  propofitio  Ce* 

Jjuens.  At  (i longitudine  fint  commenfurabilcs.nunquam  pof- 
unt  continere  fuperficiem  rationalem,'  ut  dicit  ,ppofirio  haec. 

Rationales  uero  lineae  potentia  tantum,  fi  potentia  tantum 
fint  commenfurabiles,non  poiTunt  continere  fuperficiem  ratio 
nalem.  At  fi  longitudine  fint  commenfurabiles , iemper  conti# 
nebunt  fuperficiem  rationalem. 

Iracp  mediales  lineae  duae,  quarum  numeri , diuifione  unios 
peralterum,faciunt  numerum  rationalem,  nunquam facienc 
numerum  rationalem, multiplicatione  unius  per altcrum,ui 
liabct  propofitio  ha c/c. 

Et  mediales  lineae  duar.quaru  numeri  multiplicatione  unius 
per  alterum , faciunt  numerum  rationalem,diuifione  unius  per 
alterum, nunquam  faciunt  numerum  ra  tiona  lem,ut  habet  pro 
pofiuo  iequens. 

At  dux  lineae  rationales  potentia  tantum,  quarum  numeri 
diuifione  unios  per  alterum, faciunt  numerum  rationalem  ,etia 
multiplicatione  unius  per  alteru.faciunt  numeru  rationalem. 

Et  dtiae  lineae  rationales  potentia  tantum , quarum  numeri, 
multiplicatione  unius  per  alterum, non  faciunt  numeru  ratio# 
nalem,  diuifione  unius  per  alterum  etiam  non  faciunt  nume- 
rum rationalem. 

De  propofitionc  quinta  medialium  linearum. 
iNcipitEuclideshacpropofitione  fequeti  rcfpiccread 
Icompofitionem  bimedialium  linearum, ex  lineis  medi- 

jalibus.  Et  eo  pertinent  problemata  duo  illa , ex  quibus 

Theon  facit  propofitionem  28  & 29,  quibus  loeu  alium  dabo. 
Sic  autem  dicit  harc  quinta. 

V CDucliSet fupcrficiee  qua  continent  fcue  linee  mchialea, 
potentia  tantu  c$menfurabilee,aut  ronalie  e(f  aut  mchialie. 
» ; • " Exem# 


i 


ARrTHMBTICAE  LlBBR.  II; 

mediales  Iincas,fi  coni  ungantur, a ut  rcftduales  bimedialiter,  fi 
ab  inuicem  (uberabatur.  Notum  eft  a ut, ut  ex  talium compofb 
Kone  aut  abfdGone,nihiI  fiat  aut  remaneat  nifi  medialis  linea. 


De  propofltionibus  Euclidis  quas  pofuitde 
fecunda  fpecie  irrationalium  linearum 
fuarum,id  eft,  de  binomialibus 
lineis.  Cap.  xvir, 

Afcuntur  pr/moomn/um  lineae potentia  tantum 
rationales,de  rationalibus  longitudine  ( id  eft, 
iecunda  fpecies  nafeitur  ex  prima  ) & fit  hoc  per 
primam  elementarem.  Scilicet  fi  fuerint  duae  Ii* 
neat  longitudine  rationales,  diredar  coniundar, 
& non  fuerit  inter  eas  proportio  numeri  quadrari  ad  numerfi 
quadratu, tunc  mediu proportionale  inter  eas,erit  linea  ratior 
,nalis  fecundae  fpecie/.i.potentia  tantu  rationalis  erit  linea  illa. 

Naicuntur  fecundo  lineae  mediales,  id  eft, lineae  primae  fpc- 
dei  irrationa1ium,dc  rarionalibus  lineis  binis, ex  utraqj  fpecie 
rationalium  fumpris,  uel  ex  iecunda  rationalium  fpecie , fi  ad 
inuicem  fuerint  incommenfurabiles . Fit  etiam  hoc, modo  iam 
dido.per  primam  uidelicet  elementarem : fcilicet  medium  pro 
portionaleintcr  lineas  tales/emper  erit  medialis  linea. 

Nafcuntur  tertio  lineae  binomiales(ideft,Iineae  fecundae  (pe 
dei  irrationaliumfinearum)  de  rationalibus  lineis,uidelicet  fi 
duae  lineae  rationales  recipiantur  ex  utracp  fpecie  rationalium, 
uel  duae  incommenfurabilcsex  fecunda  fpecie rat(onal(um,con 
iungatufq;  illae  lineae  direde(id  cft,(?c,ut  ex  duabus  redisuna 
reda  flat ) (emper  fler  ex  tali  coniundione  (eu  compofitfone. 
linea  una  binomialis.  Et  hoc  eft,  quod  dicit  ptopofitio  prima 
binomialium  haec  fequens,  quae  Campano  eft  ) o. 

f 0i  budinec  rntioitalce  potcnrialirertanturo  commu- 

S iij  nicantce 


r‘  ♦ ' MtCHAtLTS  STIPEXII  ~ 

nicantee  in  longum  btrectum'q?  contungantur»  tota  finea  ejr 
his  compoftta,ctitirrationalis,i)iccmr'cp25inomium. 

Vtfiexcofta  quadrati  rationalis,  & ex  diametro  eiuCdem 
quadra ti,flat  una  linea  reda,  erit  illa  neceflario  binomialis. 
Vtflt  a B,iz,erit  a C,  • 
z88  , Itacp  fi  ex  A B & 

A C fiat  una  linea  reda,  co 
ponetur  (»/fczS8  -f—  i a)  li- 
nea binomialis. 

Sic  fi  a b faciat  z*8, 
faciet  a c,  z4.Itacpex  a b 
di  AC, erit  binomialis Ii* 
nea  z4-f-y%zS8. 

Sic  fi  a B faciat  Z4,  fa  3 

ciet  Acy%48.Itacpex  ab 
di  a C erit  binomialis  linea  haec,y%48  -f-Vfca 4« 

Nafcuntur  deinde  ex  binomialtbus  lineis  reliquarum  ipecft 
rnm  irrationalium  lineat.  Quod  ut  fiat, iuis  locis  fingulisexpli 
cabunt  propofitiones  ad  hate  pofitat  ab  Euclide. 

Et  cum  contrariorum  eadem  fit  difciplina,pulchre  opponi- 
tur refolutio  compofitioni,  per  aliam  propofitionem  Euclidis 
(equentem,quae  apud  Campanum  eft  3 6 . Ea  fic  dicit; 

r^mpoflTibtlceff  btnomtumbtuibt  inbuas  aliae  (ineas, 
<fj  ejr  quibus  contunctu  cfl  et  nominatfi.fub  earum  termino» 
Obferaa  hic, ut  de  prima  fpecie  irrationalium  (id  eft, de  me- 
dialibus lineis) nulla propofitio huiufmodi  compofitionis 6i 
reiolutionis  pofita  fit,necp  poni  potuerunt  tales.  Sed  de  fingu* 
Iis  reliquis  fpecicbus,talesaliquas  pofuit  Euclides.Hac  igitur 
ratione  fepar  a ta  eft  fpecies  medialium  linearum, i fpeciebus 
reliquis,tancp  fimplex  i compofitis,&:  i compofitaru  fimihbus, 
ut  in  fupioribus  capitibus  de  hac  re  plura  me  dixifte  arbitror. 

Itacp  binomialis  linea  reioluitur  in  duas  lineas  illas  ex  quif 
bus  eft  compofita,quac  uidelicetfunt  rationales  potentia  tan« 


Arithmeticas  Liber 
Exemplum. 


II. 


l€  2 


At  r* 


y^juof 


Ai  14*  Atp^. 


Primo  At  96  & Jm?  4 fune  commenfurabiles  potent/a  tan 
tum.  Si  continent  iuperficiem  medialem  hanc  7%  7 z.  Secundo, 
Jtfi  5-4  &Viix4,  continent  fupcrficiem  hanc  6,&funt  com- 
menfurabiles  potentia  tantum.  Tertio,  5-4  & 3 1 104, 

continent  36,  Sic. 

Vnde  medium  proportionale,inter  duas  lineas  mediales  pa 
tentia  rantum  commenfura  biles, aut  eft  linea  medialis,ut  dum 
lineae  illae  continent  fuperficiemmedialem:aut  eft  rationalis 
potentia  tantum,  ut  dum  mediales  illae  continent  fuperficiem 
rationalem  numeri  non  quadrati : aut  eft  rationalis  in  longiti) 
dine.ut  dum  mediales  lineae  illae,  continent  fupcrficiem  ratio* 
nalem  numeri  quadrati» 

De  lineis  medialibus  duabusjongitudine  8i 
potentia  incommenfurabilibus. 

I fuerint  duae  lineae  mediales  incommeniurabiles  longi 
tudine  8i  potentia,  continebunt  illae  lineae  fuperficiem 
[irrationalem  ab  Euclide  non  receptam.Et  quemadmo 
dum  ille  fuperficies  tales  non  recipit,  fic  lineas  quae  in  illas  fu* 
perficiespoflunt,nonadmittit.Qudd  fi  receperis  lineam  po* 
tentiae illius  praedicftar.cum  altero  laterum  fupcrfiqeijCoftituefc 
aliam  fpeciem  fuperficierum  irrationaIium,atqj  aliam  fpecicm 
Irrationalium  linearum  ex  quadratione  huiufmodi  fuperficic^; 
& poterit  continuatio  talis  progredi  fine  fine. 

Sequitur  exemplum. 

»•  ■ S . i - 


1 


£0  I 


' Michaelis  Stifelii 


Cura  A B linea  fac/at  24,8^  b c faciat  1 z,f acit  fuper# 

flcles  a bcd*/^x88  :&lnfiiperflclemilIampoteftIinea  ec, 
quae  facit  288. 

Deinde  fuperfidcs  cotenta  fub  E c & e f Ceum  CGfit  xqua 
• lis  C d)  facit  »77i8,& in  fuperficiemillam  poteft  HG  li- 

nea,quae  facit  ./iftfcfcz  17728. 

Deinde  fuperfides  contenta  fub  H G & H 1 ( cum  G K linea 
fit  aequalis  lineae  GF)facity^%i8oj-9zj  1x32:81:  linea  qu* 
in fuperficiem  illam  poteft, facit 1805-923 1232. 

Et  fic  deinceps  fine  fine. 

Obferuandumeft  etiam  hoc  loco,qood  ex  medialibus  dua# 
bus.longitudine  &potcnt/a  incommenfurabilibus,  non  com# 
ponitur  bimedialis  linea  ab  Euclide  recepta:  nec  fubtradione 
unius  ab  altera  fit  refidualis  bimedial/ter.quam  Euclides  reci- 
piat intra  fpccies  fuas : ideo  etiam  noluit  C & fi  ipfe  Euclides 
uoluit.Theon  noluit;  ponere  propofitionem  aliquam  de  mei» 
dialibus  neutro  modo  commenfurabilibus.  Simili  ratione  no- 
luit Campanus  ponere  Theonis  2 j*,q  eft  de  medialibus  utroq? 
modocommenfurabilibus,ed  quod  ncc  lineae  rales#faciant  bi* 

mediales 


I 


Arithmeticas  Liber  ii. 

tum  commenfurabiles,  Vt  (exempli  gratia)  1 2 -f-S%  48  diuidi 
tur  in  1 x Qt  48 : 8C  impoftibile  eft  ut  binomium  illud  diuida 
tur  in  duas  alias  lineas  quxfint  rationales  potentia  tantum 
commenfurabiles.  Sunt  autem  partes  illae  pofitx  12  &y%48. 
cx  quibus  nominatum  eft  hoc  binomium  1 2 -f-J%  48  fub  earu 
partiu  termino  feu  defcriptione.qualem  habet  propofitio  pne* 
cedens, id  eft,prima  capitis  huius  propofitio. 

Poteft  quidem  1 2 -f-^48  diuidi  in  6 6C  48 . item  in 

* *■+“ A » 2 • 2 . item inrf-t-/*i2  & 1 2. Et  ficde 
alijs . Sed  ex  talibus  diuifiombus  non  fiunt  dux  iinex  rationa* 
Ics, potentia  tantum  commenfurabiles. 

, .Sequitur  tertia  huius  ca  pi  tis  propofitio, qux 

apud  Campanum  eft  17« 

riDuAftfttterts  inuenirerat4OftaIe0,potcntta  tantnm  com 
nietifurabile0,qurtru  longior  plue  pofjit  brcmore,qua&raM> 
linee  (ibi  in  (ongtttsbine  conimenfurabtlie. 

Prxmiftis  duabus ppofitionibus  quae  de  b/nomrjs  Ioquutts 
tur  generaliter,  fequuntur  nunc  dux  alix,  qux  de  binomtjslo* 
quuntur  fpecialiter.  Harum  prior  eft,quam  nunc  tradamus» 
«a  eft  apud  Campanum  17  Euclidis,  at  apud  Theonem  eft  3 o 
Euclidis.Proponit  uero  hxc  inuentionem  binomialium  linea 
tum,primi  ordinis  feu  primx  fpcciei : quales  rurfum  fubdiuis 
duntur  in  tres  fpecies  alias.id  eft,in  binomia  prima, in  fecunda 
&in  terna* 

Inuenrio  autem  illa  quam  proponit  propofitio  hxc,optime 
perficitur  fecundum  propofitionem  dementarem  tertiam  fic* 
Regula  inuentionis  huius* 

Recipe  duas  Tineasrationales  commenfurabiles , quarum 
proportio  non  fit  tanquam  numeri  quadrati  ad  numerum  qua 
dratum,&  inter  eas  conftitue  medium  proportionale,  6C  linea 
dupla  illius  medij,erit  portio  binomtj breuior . Linea  uero 
^opofita  ex  duabqs  receptis  lineis,erit  portio  binomij  longior. 

Exem- 


Michaelis  Stifelii  jiA 
Exemplum* 

Sint  receptae  8 # 6,  erit  medium  proportionale  intereas 

48  .Vnde  portio  binomi)minor,erity%i9z : # 14  erit  por* 
Cio  eius  maior.Itaq?  binomium  inuentu  fic  flabit,  14  -f-  19*« 

Huius  ordinis  binomia , uidelicet  prima , fecunda,#  tertia, 
funt  quadrata.  Et  de  illorum  inuentione  font  problemata  tria 
fcquentia  • 

FBinomium  primum  inuenire. 

Recipe  duas  lineas  longitudine  rationa1es,quarum  propor 
tio  non  fit  tanquam  numeri  quadrati  ad  numerum  quadratu, 
& operare  iuxea  regulam  proximam  fuperius  pofitam. 

Vt  fi  receperis  6 # 1 8,refpondebit  figura  propofltionis  ele< 
mentaris  tertiarCquae  fuperius  data  eft  folio  i j-y).Sci'Iicet  a D fa 
ciety^43  i,erit'cp  portio  binomtj  minor,#  a b faciet  »4.Vnde 
hoc  erit  binomium  primum  hoc  modo  inuecum,i4-t~«/$43i« 
fBinomiumiecunduminuenire.  , • 

PBinomium  tertium  inuenire. . 

Recipe  duas  lineas  potentia  tantu  rationales,quae  finteom- 
menfurabi!es,ita  tamen  ut  non  habeant  ad  inuicem  proporti- 
onem numeri  quadrati  ad  numerum  quadratum,  # operare 
iuxta  regulam  iuperius  pofita.Ec  fi  inter  receptas  duas  incide* 
rit  medium  proportiona!e,quod  fit  longitudine  rationale,tunc 
produces  binomium  fecundum . Si  autem  medium  proportio 
nalc  fuerit  potentia  tantum  rationale , tunc  produces  bino-1 
mium  tertium. 

Exemplum  primi. 

Recepta  figura  folrj  ijt>  recipe  pro  linea  AC  »/$14  3 ,#pro 
C B recipe 2. 7,tunc  DC faciet  j.Ergo  A Dfacict  18, & A B 
faciet  y%43 2. Vnde binomium  fecundum  fic  ftabit  in  numeris, 
yi43z_l_i8;fcilicet  ba  d faciet  nunc  binomium  fecundum. 

Exemplum  fecundi. 

Recepta  figura  hic  fupta  indicata,recfpe  pro  linea  a cVfcf  4» 


i 


Arithmeticas  Ljbbr/  ff, 

&pro  C B recipe tunc  D c factet «/%  1 8 . Ergo  A D fidet 
/%,7x:  & AB  fac/et  A ?<*.  Itacp  b a D fidet  modd  binomium 
tertium  hoc,,/%  7X, 

Sequitur  propofltio  quarta  capitis  huius, 
quae  efl  Campani  18. 

r^uaa  lineae  inuenire  rationa(ee,potentia  tantum  cent 
menfurabdee.quarum  longior  plue  peflit  breuiore,  qiwritS 
<ft  qaabratum  linee  ftbi  incommenfurabilia  in  longitubine. 

Proponit  haec  inuentionem  binomiorum  ordinis  fecund/,id 
eft;binomiorum  non  q'uadratorum,uideIicet  quartorum.quin* 
torum  ,&  fextorum.Et  fumitur  regula  inuentionis  huius  iuxta 
propofitionemelementaremquartam, 

. Regula. 

Recipe  lineam  rationalem,  quam  diuide  in  duas  lineas  irra* 
tionales  longitudine#  potentia  incommenfurabiles , # inter 
eas  conftitue  medium  proportionale,#  erit  linea  dupla  ad  me 
dium  iI1ud,breuior  portio  binomij  inueniend/.  Linea  uero  qua 
primo  fuerat  recepta,  eritportio  binomij  dufdem  longior/ 

Exemplum. 

Sit  recepta  linea,  fidens  24 , hanc  diuido  in  » x-W*  1 x,# 
» x — ,/%  1 z , media  proportionale  inter  partes  diuilionis  illius 
fadt 7%  1 3 x.Ergo portio  binomij breuior/aciet  Aj-x8:#lon 
gior  portio  eiufdem>  fidet  X4 . Itac$  inuentum  binomium  fle 
itabit,  x4-f-y^r  28. 

rBinomium  quartum  inuenire. 

Recepta  figura  propofitionis  dementaris  quart*  (iuperius 
oftenfa  folio  1 f<S)  recipe  pro  a b lineam  longitudine  rationa 
Iero : ut  fl  a B faciat  x4,diuido  e5  in  »x-f-V%48,#  iz—S&s, 
ideft.in  a c & c B : erit  igitur  medium  proportionale  inter  par 
tes  d/uiflonis  huius  hoc,  J*  j 2 8. Erit  igitur  a d (id  eftjbreuior 
portio  binomrj  inucnicndi ; x 1 1 x ; longior  autem  portio 

erit  a B,  faciens  24« 

T Bino- 


Campanus  autem  ponit  iuam  foeta  mdecimS, ita  ut  fit  con- 
ucrfa  fuar  quintaedecimae ,que admodum  Theon  fuam  z i.hanc 
ponit  ut  fit  conuerfa  fuar  uigefimae. 

Sic  autem  habet  Campani  propofirfo. 

T Cum  adiunefia  fuerit  lineat  rationali  in  longitudine  fuper 
ficies  rationalis  retfiangula,  latus  eius  feaindum  erit  rationale 
in  Iongitudine,lateri'q;  primo  in  longitudine  comenfurabile. 

Sub  hac  ego  diuerfitate  (data  ratione)  tnedifi  reneo»  & Eu* 
clidem  propofitiones  pofuiflearbitror.ficutdixi.Ficrienim  po 
fu/t,ut  Euclidis  propofitiones,  quae  ad  manus  Theonis  perue- 
nerut  poft  aliquot  fecula, alicubi  fuerint  mutatar,quicquid  tan- 
dem fit  quod  de  Campani  exemplaribus  opinamur . Facit  8t 
hoc  me  liberiorem  iniudicando,quod  propofitiones  Euclidis, 
non  fiint  euangelium  Chrifti.  Res  fic  habet. 

Duae  linear  rationales  commentura  biles  in  longitudine,  fiue 
longitudine  fint  ratfonales,fiue  irrationales,  nullam  continere 
poffunt  fuperffdem  aliam  praeter  rationalem.  Hoc  generale 
eftflue  fuperficies  fint  quadratae,  fiue  altera  parte  longiores» 
Etquidemde  altera  parte  longioribus, exemplum  habes  fupe 
rioris  propofitionis. 

Hic  uero  ponam  exemplum  quadratorum,quod  (equitur. 

E fi  autem  quodlibet  ens  fuo  aequali  commenfurabile.Sic  colla 
coftae  in  quadrato  eodem, dCc. 

Quadrata  fuperfides,habesaream  numeri  quadrati,coflam 
nabet  longicudinerationalem.Quar  uero  aream  habet  numeri 
non  quadrati.cofiam  habet  longitudine  (rrationalcm,ut  uides 
•x  hoc  exemplo  fequenti. 


Sed 


r Sed , ut  ad  difputationem  meam  reuertar.hoc  uide  in 
textu  propofitfonis  Campa ni.Cum  propoff tio  eius  i?t  de  lineis 
longitudine  rationahbus.fuperflciem  continentibus:  ideft,fit 
de  lineis  primae  fpeciei  folumodo,  quid  opus  erat  a decere  hoc. 
Laterijq^  primo  in  longitudine  commemorabile . Quaft  uero 
poflibile  Iit, duas  lineas  longitudine  rationales,efle  incommen 
fur abiics. Vides  certe .ut  propoflrio  ifta  nefciens  femetipfam 
(rangar>&  Theonis  propofitioni  locum  faciat . Rede  uero  & 
commode  meminit  commenfurabilira  tis,  at  non  rede  determi 
nat  lineas  oocabulo  longitudinis.Siquidem  qualibet  linea  ra • 
tionalis  longit udine,commenfurabilis  eft  cuilibet  line*  ratio- 

R irj  nali 


Arithmeticae*  Liber  rt. 


i 

4 

1 


Michaelis  Stifelii 

nali  in  longitudine:  ut  paulo  fuper  Jus  Jndicau/.  At  fionquarll* 
bct  linea  rationalis  potentia  tantum,c6municat  cuilibet  lineat 
rationali  potentia  tantum;ut  n communicat  /%48.  At  non 

comunicat  cum  ^14. Et  (ne  dubites)  comunlcarcfit  comenfu 
rabilesefTe  omnino  idem  importSt.  Item  impoflfibileeftJineS 
longitudine  rationale  comunicare  lineae  ronali  potetia  tantu. 
Dux  aut  lineae  rationales  incommenfurabiles,  non  poflunt 
cotinere  fuper flciem  rationalem.  Vnde  (i  duae  lineae  rationales 
cx  utracp  fpecie  rationa!ium,contincant  fuperficiem  quadran- 
gulam reAangulam . Linea  quae  illam  fuper ficiem  poteft , erit 
medialis  ut  habebit  proxima  propofitio,quam  ponam  ordine 
debito,  tiec  omnia  mira  breuitate  complicat  propofitioTheo 
nis, quorum  confiderationc  adducor, ut  credam  eam  e fle  EucU 
dis,&  non  eam  quam  Campanus  hic  ponit.  ; 

Dc  propoficionibusEuclidis,quas  pofuitdc 
medialibus  lineis,qux  funt  lineae  primae 
fpeciei  linearum  fuarum  irratio* 
nalium.  Caput  xvi, 

rraTionalivm  linearum  fpecfes prima» 
uocatur  Medialium.Queadmodam  autem  lineae 
irrationales  longitudine  tantum,uocantur  ratio- 
nales potentia  tantum, eo  q>  poflintlin  fuperficica 
rationales : fic  line*  irrationales  primae  fpeciei 
linearum  irrationalium.dicuntur  mediales,  eo  quod  poflintid 
fuperficies  mediales. 

Polle  aut  in  fuperficiem  aliquam,  dicitur  linea,cuius  aream 
Ipfa  reddit  multiplicata  in  fe : ut  linea  quae  fua  longitudine  fa* 
cit  6 i dicitur  polle  3 6,&c. 

. Sunt  igitur  lineae  mediales , linex  irrationales  longitudine , 
& potentia.potentesfuperflcie  medialcm.Vnde  necp  hxcv^d.; 
cft  medialis, necp  haec  Vw&fid  haec  ,&c. 

De 


Arithmeticae  Liber.ii.  §6o 


* 

' De  propofit/one  prima  medialium  linearum, 
i Vnc  tandem  uidebis  ufum  proprium  dementaris  pri- 
I mar.cx  propofitione  prima  de  medialibus  lineis  polita, 
' quar  cft  de  inuentione  medialium  linearum , ut  merito 
fit  in  ifto  ordine  prima. Quae  cum  fit  apud  Campanum  X i X, 
apud  Theonem  cHxxu. 


Sic  autem  habet: 

V CDuelibet  fuperficice.quam  continent  bne  linee  ratione 
lea, potentia  tantum  commenfurabiied,cft  inrationaljid.bict* 
turq^Juperficied  mcbiaIid.A£iufcp  latue  tetragonitum,quob 
in  lUdfuperfkte  potcff,eff  irronalc.bictturc#  linea  mebtalie.J 
Quali  dicat:  Sicinuenies  linea  medialem.fi  coniungas  duas 
lineas  rationales  potentia  tantum  commenfurabilcs,  dire  de, 
(nam  ad  angulu  redum  coniundar/uperffcfem  medialem  con 
tinent)  & per  p fexti  difponas  mediu  proportionale  inter  iplas 
coniunda$,tunc  erit  medium  illud  proportionale,  linea  media 
lis : eft  enim  medium  illud.latus  tetragonicum , quod  in  illam 
(uperficiem  medialem  potcft.Eft  autem fuperficies mcdiajis 
apud  Euclidem  talis  iolummodo,  ad  qualem  cdtrahttur  oumc 
tus  medialis  quadrate,  id  di,nu#icru*  (igni  huius 

H E 


V ides  fi(c,tit  iupficres  a b C d fitmedialis  cotenra  fob  a b 6i  B C 
lineis  ionaJibus,potetia  tth  comefwabilibus.  f,  a b facit ^48. 

& 


Mtchaelts  SriFEtit 

& potcft  48 . & b c facit  potcft  3 6.  Eft  autem  medialis  fii* 

per ficics, cum  faciat/^  1718  . Dcindeu/dcs.utfllar  duae  lineae 
a B & B C fint  coni undae  direde.conftituantcp  FDC,&  inter 
easeredum  mediu  proportionale  B T), faciens  fua  longitudine 
Vfcfc  1 7 zS.  Eft  aut  hoc  fignuiWfcfc  peculiare  lineis  medialibus* 
De  propofitione  fecunda  medialium,quae  apud 
Campanum  eft  XX, 

SiS3SVncuPauerat  Propofitione  praecedenti)  partes  in* 

e^^flftrumentales  medialium  linearu.uidclicet  lineas  ratio- 
nalcs , potentia  tantum  commenfurabiles : ideo  nunc 
< propofitione  hac ) oftendit  modum  redudionis  medialium 
adhuiufmodi  partes  fnftrumentales,dicens: 

V (fu  m abiuncta  fuerit  linee  rationali  in  (ongftubine.  fis* 
perficies  equalie  quabrato  linee  mebialie,latUA  cius  fecunbo 
potentialiter  tantum  rationale  erit , latet i'<$  primo  in  (ongt- 
tubine  incommenfurabile. 

Certe  non  curat  Euclides  hoc,ut  ifta  propofitio  fit  ronueria 
prioris,  aliis  lineae  rarionalinon  addidiiTetdeterminarionem 
hanc,in  longitudine . Et  confirmat  hoc  meam  ienrenttam  de 
duabus  propofitionibuslinearum  rationalium,paulo  fuperios 
recita  tam.Necg  enim  illae  debuerunt  efle  ad  inuicem  conuerfae 
prarciie.  Hoc  autem  carat  & agit  Euclides, ut  hanc  fpeciem  ir* 
rationalium  linearum  (id  eft.medialium)  expediat  propofitio 
nibus  fimiIibus,iis,ppofirionibus,quas  de  fingulis  alijs  fpecie* 
bus  erat  pofiturus . Sic  aute  uidebis  eum  tradare  fingulas  fpe- 
desirrationalium  linearum  reliquas,ut(cum  reliqiue  fpectes 
omnes  praeter  hanc  primam  contineant  lineas  compofitas,auc 
tanquam  compofitas ) poft  tradationem  partium  compofitio 
niscarum.incip/at  tradare  partes  earum  inftrumentalcs,  idq$ 
no  aliter  faciat  quim  hic,  uidelicet  ut  una  propofitionedoceac 
inuentionem  uniufcuiufcp  fpeciei,  & alia  fignificet  redudione 
ad  eafde  partes  inftrumentales.mediante  linea  rationali  in  Ion 
gitudinc,cui  applicata  (it  fugficics  quadrangula  rcdagula 

t Eft 


Arithmeticab  Liber  ii,  i^i 

Eft  autem  propofitio  ift a facilis,  maxime  fi  exemplum  adhi* 
beas . Recipiamus  itacp  exemplum  fuper/oris  propofition/s. 
Scilicetfuperficies  a b c d (quae  aequalis  eft  quadrato  edgh, 
eftcfc  hoc  quadratum  lineae  medialis  hg)  applicata  eft  linex 
rationali  in  longitudine  B C.  Ergo  necefle  eft, ut  latus  alterum 
fuperficiei  ABC  D,uidelicet  a b fit  potentia  tantum  rationale. 
& lateri  b C incommenfurabile. 

Propofitio  tertia  medialium,quae  Campano  eft  2 r. 

— ] tHnie  lineo  comenfurobilte  linee  mebtali.mcbiofifi  e. 
1 Vt  fi  diimeter  circuli  fit  linea  medialis,necefle  eft  ut 

J; etiam  femidiaroeter  eiufdem  circuli  fit  linea  medialis. 

Et  quamuis  hoc  generaliter  uerum  fit,  nihilominus  tamen  uo- 
luit  Euclides  de  qualibet  fpeciefua  ponere  propofitfonera  ipe 
cialcm,derc  hac,  forte  utcommenfurabilium  & incommeniii 
rabilium  confiderationem  faceret  commendatiorem . Sed  de 
his  fuis  locis  dicam. 

Data  itaqj  linea  mediali,quardammediales  ei  commeniura 
biles  erunt  in  longitudine.  Vt  huic 7*%$,  haec  ^96.  Et  qua- 
dam potentia  tantum,ut  huic  Al*> hac  A%  »4.  Et  quadam  ei 
neutro  modo  comcnfurabiles  erunt, ut  huic  *4%<S,hac  Al  1 9* 
De  propofitione  quarta  medialium  linearum, 
qua  Theoni  eft  2j*. 

E^riReui  propofitione  hac,  mediale  non  excedit  mediaTe, 
rationali  parumper  difiimulata,donec  fuum  alium  loeu 
Sfis3inueniat,pro  ea  nunc  illam  uideamus,quam  Theon  fac 
cit  uigefimam  quintam, 

T (Duelibct  fuperficiea  quom  continent  bue  linee  mcbio* 
iee,c«;)imenforobilee  inlongitubmejitiebiolie  eft. 

Exemplum, 


9» 


Sed 


Arithmeticae  Liber  i u 

mediales  lineas,!?  contundantur ,aut  refiduales  bimedialfter,  (I 
ab  inuicem  (uberabatur.  Notum  eft  aur,ur  ex  talium  compofi* 
Jtione  aut  abfciGone,nihiJ  Hat  aut  remaneat  nifi  medialis  linea. 

De  proportionibus  Euclidis  quas  pofuit  de 
fecunda  fpecie  irrationalium  linearum 
fuarum,id  eft,  de  binomialibus 
lineis,  Cap,  xvn, 

Afcuntur  primo  omnium  lineae  potentia  tantum 
rationales,  de  rationalibus  longitudine  ( id  eft, 
fecun.da  fpecies  nafeitur  ex  prima  ) & fit  hoc  per 
primam  elementarem.  Scilicet  li  fuerint  duae  li« 
neae  longitudine  rationales , diredae  confundar, 
& non  fuerit  inter  eas  proportio  numeri  quadrati  ad  numerQ 
quadratu, tunc  mediu  proportionale  inter  eas,erit  linea  ratio* 
,nalis  fecundae  fpeciei,i,potentfa  tantu  ra  tionalis  erit  linea  illa, 
Nafcuntur  fecundo  lineae  mediales,  id  eft.lfnear  primae  fpc- 
ciei  irrationalium,de  rationalibus  lineis  binis,ex  utrae#  fpecie 
rationalium  fumpris,  uel  ex  fecunda  rationalium  fpecie,  fi  ad 
inuicem  fuerint  incommcnfurabi les . Fit  etiam  boc,modo  iam 
dido,per  primam  uidelicet  elementarem : fcilfcet  medium  pro 
portionale  inter  lineas  tales, femper  erit  medialis  linea, 
Nafcuntur  tertio  lineae  binomiales(fd  eft, lineae  fecundae  fpe 
cfei  irrationalium  linearum)  de  rationalibus  lineis,uidelicet  fi 
duae  lineae  rationales  recipiantur  ex  utrae#  fpecie  rationalium, 
uel  duarincommenfurabilesex  fecunda  fpederatfonalfum,con 
iungatur'e#  illae  lineae  diredeC  id  eft,f?c,ut  ex  duabus  redis  una 
reda  flat ) femper  fler  ex  tali  coniundioneleucompofltfone, 
linea  una  binomialis.  Et  hoc  eft,  quod  dicit  ptopofitio  prima 
Jainomialfum  haec  fequens,  quae  Campano  eft  3 0. 

P 0ib«c  linee  rationalce  potentialircr  tantum  commu- 

S iij  nicrtinee 


* • MrCHAfctrs  -STiFExit 

ntcatftee  tn  longum  Mrectumfcp  contungantur.  tota  linea  qr 
t>ie  compoftta, erit  irrationalis,  biccturq?  2$momiuni. 

Vtfi  excofta  quadrati  rationaiis,&  ex  diametro  eiufdem 
quadrati, fiat  una  linea  retfta,  erit  illa  neceflario  binomialis. 
Vtfit  a b, iz, erit  a C,- 
288 . Itacp  fi  ex  A B & 

A C fiat  una  linea  reda,  co 
ponetur  (%/fci88  -+-  1 2)  li- 
nea binomialis. 

Sic  fi  a B faciat  288» 
faciet  a C,  24.1tacp  ex  a b 
QC  AC, erit  binomialisli* 
nea  24-^^288. 

Sic  fi  a b faciat  Jy  24,  fa 
det  AC/*48.Itacgex  ab 

& a C erit  binomialis  linea  hacc,y%48 -f-y%24, 

Nafcuntur  deinde  ex  binomialibus  lineis  reliquarum  ipecie 
rnm  irrationalium  lineat.  Quod  ut  fiat,fuis  locis  fingulisexpli 
cabunt  propofitiones  ad  haec  pofitat  ab  Euclide. 

Et  cum  contrariorum  eadem  fit  difcip!ina,pulchre  opponir 
tur  refolutio  coropofitioni,  per  aliam  propofitionem  Euclidis 
(equentem,quat  apud  Campanum  eft  3 6 . Ea  fic  dicit; 

rjjmpoffibile  «fi  binomium  biuibi  inbuae  aliae  lineas, 
tr  quibus  co  niuncta  cfl  et  nominatfi  »fub  earum  termino» 
Obieroa  hic, ut  de  prima  fpecie  irrationalium  (id  eft , de  me- 
dialibus lineis) nulla  propofitio huiufmodi  com politionis dC 
refolutionis  pofita  fit, nec^  poni  potuerunt  tales.  Sed  de  fingu* 
lis  reliquis  fpeciebus,talesaliquas  pofuit  Euclides.Hac  igitur 
ratione feparata eft  fpecies  medialium  linearum, £ fpeciebus 
reliquis.tancj?  fimplex  i compofitisA  i compofitaru  fimihbus, 
ut  in  fugioribus  capitibus  de  hac  re  plura  me  dixifte  arbitror. 

Itacp  binomialis  linea  refoluitur  in  duas  lineas  illas  ex  qui- 
bus eft  compofita,quac  uidclicetfunt  rationales  potentia  tan« 

tum 


Arithmeticas  Liber.  'ii# 
Exemplum. 


1^2 


^>»104. 


/^14«  J 18196* 


Primo  y%%  96  di  »/%%5’4  fune  commcnfurabiles  pofent/a  tau 
tum,&  continent  iuperficiem  medialem  hanc /%  7 2.  Secundo, 
A*  T4  & Afc*4  j continent  fuperficiem  hanc  6 , & fune  com- 
menfurabiles  potentia  tantum.  Tertio,  y%&  3-4  & 3 1 »04, 

continent  36, &c. 

Vnde  medium  proportionale, inter  duas  Tineas  medialcspo 
tentia  tantum  commenfurabiles.aut  eft  linea  medialis,ut  dum  ' 
lineae  illae  continent  fuperficiem  medialem : aut  eft  rationalis 
potentia  tantum,  ut  dum  mediales  illae  continent  fuperficiem 
rationalem  numeri  non  quadrati : aut  eft  rationalis  in  long/tu 
dine,ut  dum  mediales  lineae  illae,  continent  fuperficiem  ratio# 
nalem  numeri  quadrati» 

De  lineis  medialibus  duabus, longitudine  & 
potentia  incommenfurabilibus. 

j I fuerint  duae  lineae  mediales  incommenfurabiles  longi 
tudine  Qi  potentia,  continebunt  illae  lineae  fuperficiem 

. — [irrationalem  ab  Euclide  non  receptam.Et  quemadmo 

dum  ille  fuperficies  tales  non  recipit,  fic  lineas  qua:  in  illas  fu* 
perficies  poflunt,non  admittit.  Qudd  fi  receperislineampo* 
tentiae illius  praedicftae.cum  altero  laterum  fupcrfigei,coftirues 
aliam  fpeciem  fuperficierum  irrationalium, atqj  aliam  fpecicm 
irrationalium  linearum  ex  quadratione  huiufmodi  fuperficiem* 
di  poterit  continuatio  talis  progredi  fine  fine. 

Sequitur  exemplum, 

• s 4 . 


I 


<*•> 


Arithmeticas  Liber  ii. 

tum  commenfurabiles,  Vt  (exempli  gratia  ) i z 48  diuidi 

tur  in  1 z & 48 : & impoffibile  eft  ut  binomium  illud  diuida 

fur  in  duas  alias  lineas  quxfint  rationales  potentia  tanrum 
commenfurabiles.  Sunt  autem  partes  illxpofitx  iz  &Vfc48. 
ex  quibus  nominatum  eft  hoc  binomium  1 z -\-J%  48  fub  earfi 
partiu  termino  feu  defcriptione,quaIem  habet  propofitio  ptx* 
cedens, id  eft, prima  capitis  huius  propofitio. 

Poteft  quidem  1 z 48  diuidi  in  6 QC  6 -f-  48 . item  in 

1 z~j— A' z&y^iz.item & rf-f-,/* » z.  Et  fic  de 
alijs . Sed  ex  talibus  diuifionibus  non  fiunt  dux  linex  rationa* 
les, potentia  cantum  commenfurabiles. 

Sequitur  tertia  huius  capitispropofitio.quae 
apud  Campanum  eft  17« 

inuenirerationalefl^otentia  wntumcom 
ttienfurabilee.quaru  longior  plue  po(fie  breuiore,quabiatq 
linee  ftbt'  in  (ongitnbine  eommenfurabilie. 

Prxmifiis  duabus  £>pofitionibus  quar  de  binomrjs  Ioquutfe 
fur  generaliter,  fequuntur  nunc  dux  alix,  qux  de  binomrjslo* 
quuntur  fpecialiter.  Harum  prior  cft,quam  nunc  tradamus» 
ea  eft  apud  Campanum  17  Euclidis,  at  apud  Theonem  eft  3 o 
Euclidis.Proponitucro  hxc  inuentionem  binomialium  linea 
fum, primi  ordinis  ieu  primx  fpeciei : quales  rurfum  fubdiuis 
duntur  in  tres  fpecies  alias.id  eft,fn  binomia  prima, in  fecunda 
& in  tern  a. 

Inuentio  autem  illa  quam  proponit  propofitio  hxc  .optime 
perficitur  fecundum  propofitionem  elementa  rem  tertiam  fic» 
Regula  inuentionis  huius» 

; Recipe  duas  Tincas  rationales  commenfurabiles , quarum 
proportio  non  fit  tanquam  numeri  quadrati  ad  numerum  qua 
dratum,&  inter  eas  conftitue  medium  proportionale,  & linea 
dupla  illius  medij , erit  portio  binomtj  breuior . Linea  uero 
fopofita  ex  duabus  receptis  lineis, erit  portio  binomtj  longior. 

Exem* 


r Michaelij  Stipeui  j:A 

Exemplum. 

Slot  receptae  8 & ,erit  medium  proportionale  intereas 

y%48.Vnde  portio  binomi)minor,erity%  191 : & ^eritpor* 
tio  eius  maior. Ita qi  binomium  inuentu  fic  ftabir,  14  ■+■  >9  z« 

Huius  ordinis  binomia . uidelicet  prima . fecunda, & tertia, 
funt  quadrata.  Et  de  illorum  inuentione  font  problemata  uia 
fcquentia  « 

fBinomiumprimum  inuenire. 

Recipe  duas  lineas  longitudine  rationa1es,quarum  propor 
tiononfittanquam  numeri  quadrati  ad  numerum  quadratu, 
& operare  iuxta  regulam  proximam  fuperius  politam. 

Vt  fi  receperis  6 & 1 8,refpondebit  figura  propolitionis  ele* 
mentaris  tertiatCquar  fuperius  data  eft  folio  ij-jO.Scilicet  a D fa 
det  y*  4 3 z,erit'cg  portio  binomij  minor  ,&  a b faciet  14.  V nde 
hoc  erit  binomium  primum  hoc  modo  inuetum,»4-f~  */fc43 

FBinomiumfecunduminuenire.  . * 

FBinomium  tertium  inuenire.  - 

Recipe  duas  lineaspotentia  tantu  ra  tionales,quae  finteom- 
menfurabileSjita  tamen  ut  non  habeant  ad  inuicem  proporti- 
onem numeri  quadrati  ad  numerum  quadratum,  & operare 
iuxta  regulam  iuperius  pofita.Ec  fi  inter  receptas  duas  incide* 
rit  medium  proportionale,quod  fit  longitudine  rationale, tunc 
produces  binomium  fecundum . Si  autem  medium  proportio 
nalc  fuerit  potentia  tantum  rationale , tunc  produces  bino- 
mium  tertium. 

Exemplum  primi. 

Recepta  figura  foli)  lyr.recipe  pro  linea  A C ^143 ,8ipro 
C B recipe  A i7.tunc  DC  faciet  9.  Ergo  a Dfadct  i8,&  AB 
facter  3 z.Vnde  binomium  (econdum  ficftabitin  numeris, 
1 8 ; fcilicet  b a D fadet  nunc  binomium  lecundum. 

Exemplum  fecundi» 

Recepta  figura  hic  fupti  indicata,recipe  pro  linea  a C 


Arithmeticae  Libbr.  ii. 

&pro  C B recipe  6, tunc  D C faciet  ,/%i  8.  Ergo  A D fidet 

✓%7i:  & ab  faciet  A^.Itatp  B a D fidet  modd  binomium 
cercium  hoc,y%  9^-^</^jx» 

Sequitur  propofft  io  quarta  capitia  huius, 
quae  eft  Campani  18. 

tpuae  lineae  inuenive  rationalee.pcumia  tantum  ce nt 
ttienforabtl<e>quaruni  longior  plue  peflit  breuiore,  qua  rufi 
«I*  qaabratum  linee  /ibi  incommenfurabilie  in  longitubine. 

Proponit  hxc  inuentionem  binomiorum  ordinis  fecundi,id 
eft,*binomiorum  non  quadratorum, uiddicec  quartorum.quin* 
(orum ,Sc  icxtorum.Et  fumitur  regula inuencionia  huius  iuxra  • 
propoOtionem  dementarem  qua  ream. 

Regula. 

Recipe  lineam  rationalem,  quam  diuide  in  duas  lineaa  inu 
tionales  longitudine  &:  potentia  incommenfurabiles , Qc  inter 
eas  conftitue  medium  proportionale^  erit  linea  dupla  ad  me 
dium  iflud^reuior  portio  binomij  inueniendl.  Linea  uero  qua 
primo  fuerat  recepta,  erirportio  binomij  eiufdem  longior. 

Exemplum. 

Sit  recepta  linea,  faciens  24,  hanc  d/uidoin  »x-W%ia,& 
ix — 1 x .medio  proportionale  inter  partes  diuilionis  illius 
facit  1 3 2. Ergo  portio  binomij  breuior,faciet  A r 18 : & lon 
gior  portio  eiufdem,  faciet  24 , Itac$  inuentum  binomium  Gc 
flabit,  24-f-y%r  25. 

FBinomium  quartum  inuenire. 

Recepta  figura  propofitionis  dementaris quartar  (fiiperius 
oftenfa  folio  i;6)  recipe  pro  a B lineam  longitudine  rationa 
Iero : ut  1?  a B faciat  24)diuida  ei  in  1 48,&  1 2— 
idefl,in  a c&cb:  erit  igitur  medium  proportionale  inter  par 
tes  diuilionis  huius  hoc,  Ajz8 .Erit  igitur  a d (ideft,breuior 
portio  binomij  inueniendl ; 2 1 1 x ; longior  autem  portio, 

erit  a B,  faciens  24/  . y 

T Bino- 


MiCHUfiu  STirslrt  v 
r Binomium  quintum  inuenire# 

FBinomiam  fextum  inuenire.  - 

Recipe  pro  a b lineam  potentia  tantum  rationalem. V t u 
A B faciat  p6,diuide  eam  in  24-t 8 &C  14  v fc  8 »id 
eft.in  aC&  CB.Erit  igitur  medium  proportionale  inter  par# 
tes  diuifionis  huius  4, Igitur  linea  a d faciet  8 ,&  eft  portio  b< 
nomij  minor.  Faciet  igitur  b a d ( id  eft , /*  96  -f-  8 ) bino- 
inium  quintum. 

At  fl  medium  proportionale  fuerit  linea  potentia  tantum 
tationalis.incommenfiirabilis  lineat  a B,tunc  producetur  bino 
miurn  fex  tum.  Vt  fi  a b faciat  ,/%48,fitf|?  dtuifainA  c ( faciente 
CB (faciente J%\ a— tunemediumpro 
portionale  faciet «/%  7 ,&  linea  A D faciet 28  • Faciet  iiaqj 

B AD(ideftV%48-+-Al8>binoro,'umfoctum*r  , ^ 

_ f uero  medium  proportionale  e fiet  comroeniurabile  lineae 
A B,tunc  nullum  binomium  fieret  ex  B A D,fed  fieret  linea  rati 
onalis  potentia  tantum.  Vt  fi  A B faciat  96 , diuidatufqj  in 
, 9 at  y%x4— 1 8 .faciet  medium  proportionale 
6t0i  a D faciet  A^.Itaq?  b a D faciet  ^2  i6,lineam.uideli 
cet  potentia  tantum  rationalem* 

r Definitiones  binom/orum,  uocat  Theon  definitiones  fe* 
eundas,  propter  primas  illasquaei  principio  libri  decimi  po- 
nuntur.licet  fortafiis  iuae  fint,&  non  Euclidis. 

Prima. 

0t  fuerit  Siuomiuni , cuius  longior  portio  potentiorftt 
breutorc, augmento  quabrati,  linee  commenfurabilto  eibetft 
longiori  in  longitubine»fucrit^eabemlongior,connwnfu* 
.rabiliein  longitubine»  alicui  linee  rationali  iit  longttubnWi 
fpfumoocabiturbinomiumprimum.  _ . 

Hoc  eft, binomium  quadratum , cuius  portio  longior  tuent 
linea  rationalis  in  longitudine,uocabitur  binomium  primum# 
.*  Secunda.  - 

0i fuerit  binomium,cuiud  longior  portio  potentiorftt 
* Sreuiorc 


Arithmeticae  Liber  h. 

4>reuiore,augmento  quadrari  linee  commenfurcbilia  eibem 
longiori  in  longitubine,fuerit<$  brcuior  portio  conmicnfura 
Cilio  in  (ongitubine,alicui  linee  ronali  in  longitudine»  ipfum 
vocabitur  binomium  fecundum. 

Hoc  eft,binomium  quadratum,  cuius  portio  brcuior  luerit 
linea  rationalis  in  longirudine.uocabiiur  binomium  fecundu. 

Tertia*  , 

©i fuerit  binomium.cuiua  longior  portio  potentior  fit 
breuiore  augmento quadrati, linee  commenfurabtlie  eidem 
longiori  in  longitudine,fuerit<$  neutra  portionum  commert 
forabilia  in  longitudine  alicui  linee  rationali  in  longitudine, 
ipfum  oocaCitur  binomium  tertium» 

Hoc  eft, binomium  quadratum»  cuius  neutra  portio  fuerit 
longitudine  rationalis.uocabitur  binomium  tertium. 

lllaitacpbinomia  funt  quadrata,  in  quibus  linea  exceflua 
commenfurabilis  cft  in  longitud/ne,portioni  longiori.  Vndc 
fi  linea  excedas  fuerit  incommenfurabilis  in  longitudine  por- 
tioni longiori,non  erit  binomium  illud  quadra tum,ut  funt  bf- 
nomia  fequentium  trium  definitionum. 

Quarta  definitio, 

©i  fuerit  binomium,  cuiue  longior  portio  potentior  ftt 
breuiore, augmlto  quadrati  linee  incommenfurabilia  eidem 
longiori  in  longitudine , fueriVcp  eadem  longior  comnienfu* 
rabilieinlongitubinealicui  linee  rationali  in  longitudine, 
ipfum  vocabitur  binomium  quartum» 

Hoc  eft,  binomium  non  quadratum , cuius  portio  Jongior 
fuerit  rationalis  in  Iongitudine,uocabitur  binomiunVquartu. 

Quinta,  / 

©i  fuerit  binomium,cuiue  longior  portio  potentior  fit 
breuiore  augmento  quadrati  linee  incommcfurabilia  cibem 
longiori  in  longitudine,fuerit'qj  breuior  portio  comenfurabf 
liain  longitudine  alicui  linee  rationali  in  longitudine.ipfum 
vocabitur  Cinomium  quintum* 

- . - T q Hoc 


Michaeeis  SriPEirt 

Hoc  eft,binomium  non  quadratum , cuius  portio  breuior 
fiiertt  Unca  rationalis  in  longitudine , ipfum  uocabitur bino# 
mium  quintum « 

Sexta. 

©i  fuerit  binomium,  cuioe  longior  portio  potentforftt 
brcutore,  augmento  quabrattjinecincomcnfurabilie  cibem 
longiori  in  longitudine,fucrit'q?  neutra  pottiouuni  commen 
ffurabilie  in  longitubinc^licui  linee  rationali  in  longitudine, 
ipfam  vocabitur  Stnomium  fertam. 

Hoc  eft, binomium  non  quadratum , cuius  neutra  portioni) 
fuerit  longitudine  rationalis,uocabitur  binomium  fextum. 

flntra  circulu  unum  fpedcsbinomiorfi  omnes 


Red  pe 


i 


I 


Arii* !Cab  Liber  1^7 

Recipe  circulum  diametri  in  longitudine  rationalis, & pri« 
tnoconftitue  medium  proportionale  inter  quartam  partem 
diametri, & partem  cius  reliquam , (ion  uides  CDponi  inter 
AC&C  B.Secundo  conftiruc  medium  proportionale  inter  ter 
tiam  partem  diametri,&  partem  eius  reliquam,  ficut  uides  F E 
poni  inter  A F & F b, Tertio  claude  orthogonios,hoc  eft, trahe 
lineas  adbea redas. 

Binomium  primum  faciunt  a d c,  ' 

Binomium  fecundum  faciunt  D B c. 

Binomium  tertium  faciunt  D b e. 

Binomium  quartum  faciunt  a B e.  . > 

Binomium  quintum  faciunt  E b F. 

Binomium  lexturo  faciunt  a E F. 

Si  ergo  diameter  circuli  fecerit  1 r,  faciet  a D C,£-f-  /fci 7* 

Et  D B c faciet  J%i 08  -f-  9, 

: Et  DBEfacietAro8-f-»/%9tf. 

Et  a B E faciet  1 p6,  . •„ 

Et  B B F faciet^  96  -f-B* 

Et  a E F faciet  48  *.  : :1 

Propofitio  quinta  capitis  huius,  &ea  eft  48 
Euclidis  apud  Campanum. 

V 0i  fusrit  fuperftcico  binomio  primo,  lineafy  in  (ongitn 
bine  rationali  contcmadatua  quot)  in  eam  fupetficte  poteff . 
binomium  effle  nedfje  eff. 

Vt  fu  per  fides  a b c d eft  fuper  fides  contenta  (ub  duabus 
lineis  illis  a B & B C . Faciat  igitur  a b , is>-f-V%7i(iclIicet 
ah, faciat  i?,&hb faciat */$7z)fadatfy  BC,?,tunc  BBfa# 
cictAi6x-t)  : fcilicct  FK facit  3,6i  K G fecit*/*  162.  Eft  aiit 
E B (eu  f G,latus  quod  in  fupertfdem  a b C D poteft , hoc  eft» 
B B fedt  quadratum,  cuius  arca  acqualisfit  areae  fuperfltiei 
a BCD,  ficut  uides  quadratum  E B G F eile  aequale  fuper  fidei 
ABC  D»fadt  enim  utra®  earum  1 7 1 -f-*/*  j-8  3 x,  Quantumcm 

T iij  fadt 


1 


i 


v*i, 


iMichaelij  Stifelu  . 


y 


A 

facit  iuperfldes  tantum  facere  debent  fuperflde*  01  & t): 

& quantum  facit  £ tantum  facere  debent  2$  & <£♦  Debet  autc 
area  ipfius  21  facere  9&  area V 16  area  2$  /%  >4 * «»“ 

fundem  facere  debet  etiam  (E.  : 

Cum  autem  a b linea  fit  binomialis  prima , firqp  BC  linea 
longitudine  rationalis,necefTe  eft  foperficicm  t&  £eflTe  fuper- 
fidem  binomialcm  primam,  ut  deducitur  ex  ea  propofitione, 

quse  in  hoc  capite  erit  feptima  feu  ultima. 

' Scntetia  igitur  propofitionis  huius  eftjiarc.Superfides  qua 
drangula  recftangula,  contenta  fub  linea  longitudinerarfonal/, 
binomfali prima,eft  binomialis prima, & fi  fuperfleies  illa 
quadretur  ,necefle  eft  lineam  quadraturae  iIIius,eiTe  binomia* 
lem  lineam . Et  quia  talis  linea  modd  eft  binomium  primum, 
enodo  binomium  fecundum , modo  tertium , modo  quartum, 
modd  quintum ,modd  fextum , ideo  in  fine  propofitionis  non 
additur  uocabulo  [ Binomq  ] aliqua  determinatio.  Vnde  fi  a B 
faciat , 9 B c faciat  p^rit  linea  potes  in  fuperficicm 

i*  ( id  eft,Unca  bb  ) binomium  quintum . Si  autem  b c fa- 


Amthmbticab  Libhr.  II* 


1 63 


dat  8 (a  B fadente  1 9 -f-/%  71)  erit  linea  B B binomium  qua» 
tum.Siautem  BC  faciat  6,erit  linea  e b blnoraifi  fextum  dicf 
Sicexiiiperflcie97-f-^%M  r^fit  b(Q*  trerragonicum.exirf 
ftens  binomium  primum:  fadecenim  7-f-  A48. 

Item  ex  fugflcie  34-t-Vfc  1 »5-1,  fida  tus  tetragonico,exiftena 
b/nomiu  fecudum:  facit  era  radix  qdrata  arear  illius  J\  1 8 -4-4« 
2 Item  ex  98  -f-  y%  9600/acit  radix  quadtata  binomium  ter* 
tium  uidel/cet  J\  j-o  4-  8, dic. 

Eu  igitur  haecpropofitio  talis,ut  requirat. «xtradiones  radi 
cum  quadratarum  de  binomqs  primis.  i 

Sic  illa  quar  hanc  apud  Campanam  /equitur.uidelicet  4 9* 
fequirit  extra  Diones  radicum  ex  binomqsfecundis.Et  alia  fe- 
quens  ( id  eft, Campani  jo  ) requirit  extradiones  radicum  de 
binomqstertqs  .Deinde  Campani  fi»  requirit  extradiones 
radicum  de  binomqs  quartis,  Et  fi  Campani,  requirit  extra- 
tftiones  radicum  de  binomqs  quintis.  Et  y j Campani, requirit 
txtradiones  radicum  de  binomqs  Cactis,  Sed  illae  propofitio# 
nes  in  locis  alqs  tradtabuntur. 

De  radicum  extradionibus  ex  binomqs , habet  caput  Ukuf 
huius  decimum. 

Propofitio  lacta  capitis  huius ,quac  eft  apud 
Campanum  3*4» 

f 0t  Unce  in  longitudine  rationali,  adjungatur  rectangu 
Itjm.equalequadracofitnomij  .latus  eius  fecundum  eritbi* 
tvomtnm  primum. 

Vt.flcutuides  in  figura  iam  data.redangulu  ABC  D(quoa 
aequale  eft  quadrato  e f g b )adiungif  linear  B c in  longitudine 
rationali.  Eft  afit  e p g b quadratum  huius  lineae  e B,quae  eft  bi 
nomtum.Iracp  e F G b eft  quadratum  binomij.id  eft. Ia  tus  eiua 
tetragonicum  eft  binomium.  Erit  igitur  neceiTe  ut  alterum  Ia 
tus  redanguli  a b c d ( id  eft, latus  a b)  fit  binomium  primum. 

Et  cfl  haecppofitio  fitc5uerfa  prarcedentis,fuerit'cp  illa  praecc 
densae  extradione  radicis  ex  lugficiebus  binomialib.prirnis, 

quales 


V, * . Michaelit  Stjfelii  \ 

quales  radices  oportet  efle  binomiales  Uneas.idco  hac  prarfenti 
propofitione  fignificatar.ex  multiplicatioe.fcuex  duflu  lineae 
binomialis,  in  le  produci  quadratu  quod  Gt  aequale  fupcrflciei 
alicui  binomial/  primae.  Et  tale  quadratum, fi  redigatur  in  fui 
perficiem  redangulam  alrera  parte  longiorem, cuius  unum  la- 
tus fit  linea  longitudine  rationalis , nccdTc  erit  ( ut  docet  haec 
praeiens  propofitio)  alter  fl  latus  illius  fuperficiei  quadrangulae 
altera  parte  Iongioris,eflTe  lineam  binomialcm  primam, 
Binomium  autem  flue  fit  primum, flue  fecundum , flue  ter- 
tium, qua  rtum , quintum,  flue  fextum , femper  producit  bino* 
mium  primum, dum  in fe  fuerit  multiplicatum. 

Sequuntur  hanc  propofitionem  ( ordine  Euclidis  ) qufntf 
aliae propoflriones, quae  alibi  tranabuntur. Quarum  prima 
requirit  talem  multiplicationem  quadratam, quae  producat  U 
nomium  fecundum.  Secunda  requirit  multiplicationem  qua- 
dratam producentem  binomium  tertium.Tertia  requiritmul 
tiplicationem  quadratam, nuar  producat  binomium  quartum. 
Quarta  requirit  talem  quadratam  multip!icat(one,quae  fadat 
binomium  quintum.Quinta  propofitio  requirit  multiplicatio 
nem  quadratam, facientem  binomium  fextum-  Sed  hae  propo- 
fitio nes  in  altjs  locis  fuis  tradabuntur.ut  dixi. 

Sequitur  propofitio  feptima  feu  ultima  capitis  huius, 
quam  Campanus  facit  60  in  ordine. 

rOuefibet  linea  commenfurabilis  alicui  flinomionim»' 
fob  cabcm  fpectc  binomium  effe  probatur. 

Hoc  cft, linea  commenfuiabilislincaebinomial/  primae,  ne#" 
cellario  di  linea  binomialis  prima. Item  linea  commenfurabf* 
Iis  lineae  binomiali  fecundae, eft  binomialis  fecunda.  Sic  bino- 
miali  tertiae  comenfurabtIis,cft  binomialis  tertia.&  fic  de  altjs. 
Videlicet,commeofurabilis  quartae  ,quatta  eft,  Quintae  com* 
mcnfurabilis.quinta  cft.  Sexta, fexta  cft, 

Eft  praeterea  propofitio  haec  probatio  quaedam  fuperiorum 

duarum 


Arithmeticae  Liber  f r.  \6$ 

Aiarutn.Nam  fi  fupcrficics  fit, cuius  alterum  latus  fit  linea  lorv 
gttudinerationaIis,&alterumfitlinea  bino  mia  Iis  prima, ne*- 
cefle  eft  fuperficiem  illam  ede  binomialem  primam. Quod  em> 
propofitio  hacc docet  de  lineis  binomialibus , uerumeft  etiam 
de  fuperflciebus,&  de  numeris  binomialibus.Commenfurabi 
lis  autem  eft  numerus  binomialis  Iinea?,numero  ,binomiaIi  fu- 
per  ficiei.cuius  unu  latus  fuerit  linea  rationalis  in  longitudine. 
Ergo  fi  horum  alterum  fuerit  binomium  primum,  erit  & reli# 
quum  binomium  primum,&c. 


De  proportionibus  Euclidis, tranantibus 
bimcdialcs  primas , id  eft,  (pedem 
irrationalium  linearum  tertiam*. 
Caput  xvut 


B M i S s a eft  capite  dedmofexto  proportio' 
quaedam  medialium  linearum,*  qua  caput  hoc 
decimumortauumcouenit  incipere.  Quod  cum 
fit  de  bimedialibus  primis, fitqpbimedialispri* 
ma .nihil  aliud  quim  compofitio  duorum  media14 
Rum  per  additionem  unius  ad  alterum  fada,  non  tamen  quo*’ 
rumcunq$,fed  quae  fint  commenfurabilia  potentia  tantum,  dd 
quorum  multiplicatio  inter  fe, faciat  rationale  (impliciter,- 
merito  quaeritur  quid  fiat  ex  compofitione  duorum  medialium 
potetia  incomenfurabiliu,  aut  Iongitudinecomenfarabillam, 

Sic  autem  habet  propofitio  illa  capitis  huius  prima, 
r(Duelibetbtfferentia,qua  abmibatrticbiale  i mcbiali,. 
irrationali*  effe  profiattir. 

Requirit  harc  propofitio  collatione  medialium  inter  (e  qua- 
«timcuncp, quatenus  fufficientiameius  expofitam  habeamus,  * 
rt  Mediale  collatum  ad  medialc,fi  fuerint  ad  inuicem  lon* 
gftudine  commenfurabilia, tunc  differetia  qua  abundat  maius 

V imi-4 


MlCHAEilS  Stieelii 

liminore , er medialis.  Vt  (i  conferantur  haec  duo  medialia, 
AH4  • quae  cum  fint  commenfurabilia  longitudine, 
erit  differentia  eorum  neceflario  medialis.  Eft  autem  differen- 
tia eorum  AH 44  irronalis  uidelicct  longitudine  & potentia. 

» 2.  Item  mediale  collatum  ad  mediale, fi  fuerint  ad  inu/cecn 
potentia  tantum  commcnfurabiIia,tunc  differentia  qua  abuns 
dat  unum  ab  altero,  erit  irrationalislongitudine  & potentia: 
ce  it  enim  aut  refiduum  bimedialis  primi,  aut  refidu  um  bimedi 
alis  fecundi.  Exemplum  primi. 

Vt  fi  conferantur  haec  duo  medialia,  A% 7 a, Si  Afc  • 8,abun 
dabit  maius  fu pra  minus,  per  hoc  refiduum  btmedialeprimu, 
JVii z — Ah  8*  Exemplum  fecundi. 

Vt  fi  conferantur  hate  duo  medialia , /%%4j-o  & Afc  1 8 , erit 
differcnria  maioris  ultra  minus,in  ifto  refiduobimediali  fecun 
do*  Afc4  — A%  1 8 : & eft  illa  quocpdiffei  entia  irrationalis, 
utroqj  modo,uidelicet  longitudine  & potentia, 
r $ . Item  mediale  collatum  ad  mediale,  fi  fuerint  ad  inuicem 
utroqj  modo  incoromenfurabilia , tunc  differentia  qua  abun- 
dat unum  ab  altero,cft  irrationalis  utrocp  modo,  8C  intra  fpe- 
ejes  tredecim  irrationalium  lineatum  non  recipitur.  Vt  fi  harc 
duo  medialia  conferantur^^ n 6 &A&  1 e,  erit  differentia  eo 
tum  harc.AH  1 6 — AfciS. 

, 1.  lam  fi  componantur  duar  lineat  mediales  .quarum  diffe- 
rentia eft  medialis,  non  mutat  compofitioilla  fpcdem.Nam 
linea  inde  compofita  manet  medialis. 

».  Si  uero  componantur  dux  lineae  mcdiales,quarum  diffe 
rentia  non  recipiatur  intra  fpecies  tredecim  irrationalium  li, 
ncarum;  rctjcirur  etiam  compofitio  talium  linearum , ut  intra 
fpecies  tredecim  illas.non  recipiantur  Jinear  tales* 

„ j.  At  fi  componantur  duae  lineae  mediales,  quarum  diffe- 
rentia muter  fpeciem,&  intra  rredecim  fpecies  recipiatur : recr 
pitur  etiam  compofitio  talium  linearum  intra  fpecies  illas  1 5. 
Compofitar  em  lineae  illae  tales  funt,dequibus.capucboc  atque 
(Sequens  ageqf.  Pio- 


G 

. Sit  a g linea  binomialis,faciens*/%  i z-f-  3 .Faciat  aut  a p 3 ; 
& F G faciat  7%  1 z.tunc  medium  proportionale  inter  illas  por# 
tioncs  ercrtum,uidelicet  F b, faciet  loS.Ad huius itacjj  me 

dtj  quantitatem  recipio  A B,ita  ut  a b (it  aequalis  ipfi  F E.lracp 
a B linea, (eundum  eam  acceptione  per  circinum  acccpra,con» 
iinuetur,donec  ipfamabfdndatorthogonaliscrcda  GC.-atqj 
ita  faciet  a c biraedialem  primam,cuius  partes  compofitionis 

e,  . m V fi  fune 


Arithmeticae  Li  b er  ii,  »79 

Propofi  tio  fecunda  capitis  huius,  eft  Theoni  sT,  V- 

a Campano  autem  obmiiTa  eft, 

PTDuae  lineae  inuenire  mcbialee>potentia  tantum  com* 
menfurabilce.que  fupcrftctem  rationalem  contineant* 

Hoc  eft.inuenire  duas  partes  conftituentes  lineam  bimedia- 
lem  primam.  Vfjde  harc  propofitio  continet  particulas, quibus 
deferibun  tur  lineae  bimediales  primae* 

Facilis  eft  aut  inuenrio  huiufmodi  partium.  Recipitur  enim 
binomialis  linea  a d placitum,&  inter  portiones  eius  duas,con 
flituitur  medium  proportionale,  quod  erit  portio  una  bimedia 
lis  lineae  inueniendae ; altera  portio  inuenitur  iuxta  1 0 fexti. 
Figura  inuentionis  huius  eft  ifta. 


t:i  • MiChaelu  S-tifelit 

funt  ab&b  c.Cum  enim  a f faciat  a B,necefte  eft  ( per  dcci* 
«nam  fexti ) f g feu  b d facere  B c, 
v Lineae  illae  in  numeris  fic  ftabunt ad  regulam  De  tti, 

3.  v%%ios.  y%iz.  t 

. . Certe  uides  terminum  fecundum,  & quartum,  conftituere 
bimediale  primum.  Cumenim  qua  t cor  termini  illi  fint  conti* 
nue  proportionales , neceiTe  eft  ut  multiplicatione  fecundi  io 

?uartum, tantum  flat, quantu  flt  ex  multiplciatione  tertij  in  fe. 

acit  aute  y%  1 2 in  fe  1 2.  ergo  1 08  in  1 $>  2,  facit  etia  1 2. 

id  quod  arguit  portionesillasinuctasconftituerebimcdialcni 
primam.  Mediales  aut  lineae  quae  concinent  fuperfleiem  ratio- 
nalcm(ut  quarum  numeriinter  fe  multiplicati.fadunt  numero 
rationalem ) neceifario  funtcommenfurabiles  potentia  tantu, 
ut  ofecndi  fuprl  capite  16. 

Aliud  exemplum* 

6 « y$%777 6» 

V ides  certe  ut  quartus  terminus  multiplicatus  per  fecundff» 
faciat  3 6, id  efe,rationalcm  numerum, cum  tertius  in  fe  tantum 
faciat , di  quatuor  illi  termini  fint  continue  proportionales* 
Cum  igitur  terminus  fecundus&quartus,fint  medialiu  linea ^ 
numeri,  oportet  ut  ipfae  lineae compofltae  faciant  bimcdialem 
primam:  id  quod  fequens  propofitio  docet, quae  eft 

Tertia  propofltio  capitis  huius.quae  apud  Camp.eft  3 1, 

Ea  fle  dicit: 

rBibuettiebialee  potentia  tantum  commenfhrabifes, 
fuperfteiem'cg  rationalem  contineteo,birecte  coniun^antur» 
tota  linea  ep  bis  compofita.  erit  irrationalis,  biceturcp  bime# 
ciale  primum . 

Vides  ut  haec  propofitio  ufum  oftendat  /nuent/onis  illius» 
quam  praecedens  propofltiorequirit. 

Vt  fi  ex  a B ( faciente  Sjft  1 08,  inuenta'q*  per  A F & F G ) St 
nc  b c (faciente  1 9 2,inuera'q*  per  a f,&  a b,&  f G,feu  B D) 

pac  una  linea  illa  AC,eritipfa  a cbimedialisprima, ut  fetis  di* 

dura 


r 


Arithmeticae  Liber  ii.  171 
idumeft  iuperius  circa  praecedentem  propofitionem. 

Propofitio  quarta  capitis  huius, quar  apud  Campanum 
eftxxxvi  1 ,fic  dicit : 

F2$imebialt  primo  hitrifo  in  buae  lineae  mebialee  Cfecun 
bum  terminum  fnum)impoflibtle  efl  ibem  bimebialc  btuibi 
in  atiaebuae  lineae  mebialee  fub  earum  termino. 

Hoc  eft , bimcdialis  prima  huius  naturaeeft,  ut  uno  modo 
poflflc  diuidi  folummodo,  ita  ut  partes  diuilionis  contineant 
Superficiem  medialem. 


Vtfi  a C( faciens y^io8-f-V%%i9i)reibIuatur in  A B Si 
B c.continebunt  portiones  illae  fupcrficiem  rationalem  C fi ad 
angulum  redum  apponantur)  facientem  1 x.  Et  C praeter  hanc 
unam  diuifionem)impoflibileeft  ut  a c diuidatur  induas  alias 
partes  quae  appofitae  ad  angulum  r edura , contineant  fuper* 
fidem  rationalem. 

Propofitio  quinta  capitis  huius,quae  eft  apud 
Campanum  24,  (ic  dicit: 

FIDuae  lineae  inuenire  mebialee  potentia  tantum  coro* 
iwnfurabiUe,  fupcrffcicm'<¥  rationalem  continentee,  quarfi 

. V iij  longior 


\ MlCHAEUJ  STIFELT!  r 

longior  (ttpotentior  brcuiore  quadr,atolinceconimenfurrtt*t 
Ita  eidem  longiori  in  longitudine. 

Iam  diuidit  Euclides  fpeciem  bi  medialium  primarum  linea 
tum , in  duas  alias  fpecies , quarum  prior  defcribitur  per  hanc 
propofitionem  pracfcntem,&:  pofterior  defcribitur  per  propo* 
(Itionem  fequentem. 

Sunt  igitur  lineat  bimedialcs  prfmae,fub  priore  fpecie  tales, 
ut  portiones  eius  illa?,  quae  rationalem  continent  fuperficiem, 
habea nt  lineam  exceflus  quadratorum,  quae  (it  commenfura- 
bilis  in  longitudine  ipfi  portioni  longiori. 

Portiones  autem  tales  inueniuntur  iuxta  propofitionem  ele 
tnentarem  fecundam . Si  uidelicet  receperis  binomialem  linea 
aliquam  ordinis  primi , hoc  eft,  quae  fit  uel  binomialis  prima,, 
ueloinomialis  fecunda,uel  binomialis  tertia,  & opereris  iuxta 
modum  inueniendi  pofitum  circa  propofitione  cap.  huius  z. 

Vt  fi  recipias  binomium  hoc  fecundum,  i z-f— 3,  faciasfcp 
ex  A f 3 ,&  ex  F g i z,tunc  faciet  a c bimedialem  huius  prio- 
ris fubfpeciei , uidelicet  i $>  z -f-  7%%  1 08.  Potentia  autem 

maioris  portionis  eft  1 9 z ,8i  potentia  minoris  portionis  eft 

1 08. Excedit  aut  maior  potcntia,porentiam  minorem  in  hac 
differentia  t z.Linea  autem  exceffus  huius  eft%/fc%  n:8i  harc 
linea  exceflus  eft  c5men Curabilis  ipfi  portioni  longiori.  Patet, 
Nam  1 9 z diuifa  per  1 z, facit  quotientem  hunc  rationa* 

liem  4,  Ergo  eft  ei  commenfurabilis  in  longitudine  dic, 
Propofitio  fexta  capitis  huius,qu«e  apud 
Campanum  eft  zf. 

* FIDuas  lirreae  tnuenire  mediales  potentia  tantum  com- 
menfurabtle8>fupcrftctem/CB  rationalem  conrtneruee,  quarti 
longior  jit  potentior  breuiore  quadrato  linee  (ncommenfura 
bilie  eidem  longiori  in  longitudine. 

Hac  propofitione  deferibunf  portionesbimcdialis  primae, 
pofterioris  fubfpeciei.Huius  fubfpeciei  lineat.diuidutur  in  por 
dones  conunentesfuperficietn  rationalem : fed  linea  exceflus 

earum 

**  • % 


Arithmeticae  Liber  iU  17* 

carum  potentiaru  eft  potentia  rantG  commcfurabill? portioni 
longiori.  Portiones  aut  ifbr  inueniunt  etiS  iuxta  elementa  rc  2. 

Recipitur  autem  binomium  ordinis  fecundi,  fciiicet  aut  bi- 
nomium quartum.aut  binomium  quintum,aut  binomium  fex 
tum  recipirur.In  illis  enim  linea  exceflus  eft  longioriportioni 
incommcnfurabilis  in  longitudine . Ideo  oportet  ut  linea  ex« 
certus  medialium, quae  inucniuntur  per  portiones  binomialiu 
talium, fint  (iuxta  elementarem  fecundam)  tales,  quae  habeant 
lineam  exceftus , incommcnfurabilem  longitudine,  ipfi  por* 
tiombimedialis  longiori. 

Vt  fi  recipias  binomium  quartum  ifiud,  6-f-Vfc  6 , faciasfcp 
ex  A F J%6,&  ex  F G <5,  tunc  faciet  F E,  feu  a e 7%%  1 1 6 , & BC 
faciet  y%fc777 6 . iuxta  modum  illom  quem  pofui  circa  propofi- 
tionem  fecundam  capitis  huius.  Potentiarum  differentia  cft 

5*400.  Vnde  linea  exceflus  huius  facit  5*400 , Si  harceft 

potentia  tantum  commenfurabilis  portioni  longiori,id  cft» 
VW7776 : facit  enim  diuifio  unfus  per  alteram  ij  5ic, 
Propofitio  capitis  huius  feptima,quae  apud 
Campanum  eft  49. 

r0i  fuerit  fuperficiee  linea  in  longitubtne  rationalt,btV 
nomiocp  fecunbo  contenta  ,lattw  ciue  tetragonicum  eritbi* 
mebiale  primum. 

Hoceftjfi  fuerit  fuperfides  quadrangula  redangula  bino- 
tnialis  fecunda, erit  radix  cius  quadrata  jbimedial is  prima. 

- Vtfi  a B faciat y%z94-f-  izCfaciente  AHy%294,5i  Hfifa-* 
dente  1 2 ) faciarqp  B C 9,  tunc /£  $ fuperfides  erit  binomialis 
fecunda : faciet  enim  3 8 14  -f—  toS.Huiusradixquadraca, 
(id  eft,  medium  proportionale  inter  a B & B C , feu  B K , quod 
cft  B E ) hclet  Jw  17496 -f-Jvs  48 6 : fciiicet  F K lineola , fa» 
Ciet  Jtft  486,  &.  linea  K G faciet  Jw  17496.  Si  autem  multipli- 
cetur F K in  K G . producit  fuperfides  (E,  aut  (quod  idem  eft ) 
fuperfides  3.  Aequari  autem  debent  ambar  fuperfides  .uidcli- 
cct(£&  3,fuperfidei  f.Et  hac  ratione  probabis  operationem 


.MiCHAFUS  Stifelit 


tuam.  Cum  autem  fuperffdes  $ faciat  108,  necefle  eft  ut fuper 
fides  (f  faciat  5-4. 

Et  (7c  habemus  lam  alium  modum  producendi  lineas  bime 
diales  primas, uiddicet per extradionem radidsquadratacx. 
binomiofecundo.  . 

Pjropofitio  capitis  huius  odaua,qua  apud 
Campanum  eft  j-jv 

r"0i  linee  in  (ongitubinc  rationali  abniqatur  fupcrftcieo 
equalis  quabrato  bimebialie  primidatue  eius  reliquum  >bi- 
nomium  fecunbum  effit  oporreSir. 

Hac  propofitio  eft  conucrfa  prxcedent/s,  & dicit,  q> linea 
Bimedialis  prima,  poftit  fuperiicicm  quadratam  talem»  qua  fi 
redigatur  in  altera  parte  longiorem,  cuius  unum  latus  fit  linea* 
in  longitudine  rationalis.oporteat  latus  reliquum  efte  lineam 
binomialem  fecundam.  Oportet  enim  ut  talis  fuperfides  fit  bi 
normalis  fecunda . Cum  autem  alterum  ex  lateribus  eius  fuerit 
in  logi cudine  rationale, necefle  eft  ut  numerus  fup.erfidei  illius* 
— ■*  commenfui 


Arithmeticae  Liber  ir.  f7$ 

Commenfura  bilis  fit  numero  lateris  reliqui , eo  quod  numerus 
fuperficiei  diuifus  per  numerom  lateris  illius  reliqui.faciat  nu* 
merum  rationalem, illum  uidelicet  quem  habet  latus  ipfum  ra« 
tionale  in  longitudine.  Vnde  oportet  (per  propofit/onem  ulri- 
mam  praecedentiscapitis)  latus  illud  alterum  efle  lineam  bino- 
mialem  fecundam, cum  fuperficies  fit  binomialis  fecunda. 

Vt  fi  E b ( ficut  uides  in  figura  iam  primum  data)  fir  linea  fa 
ckns  fua  longitudine  1749*  + ^48  6 , cum  fit  bimedialis 

prima, poteft  fuperficiem  quadraram  binomialem  fecundam, 
facientem  numerum  hunc,  ^13 8 14-f— 108.  Itacp  fiquadratfl 
C, redigatur  in  fuperficiem  $,  ita  ut  b c faciat  nu- 

merum rationalem  C ut  eft  9 ) oportebit  a b efle  binomialem 
fecundam,  cum  Ig  £ fit  fuper  ffcies  binomialis  fecunda.  Vnde 
fi diuiferis  v/fci  3 8 14-f—  1 08  per  9,prouenietexdiutfioneiIla, 
A*94-f-  »*•  Summa  eft. 

Sicut  extra (ftio  radicis  de  binomio  fecundo  facit  bimediale 
primum, ut  uulc  propofitio  praecedens :ira  multiplicatio  bime* 
dialis  primi  quadrata,producit  binomium  fecundum,  quod  fi 
recipiat  latus  unum  longitudine  rationale,eric  reliquum  bino- 
miale  fecundum.Et  fi  unum  fuerit  binomiale  fecfidum.necefle 
erit  reliquum  efle  longitudine  rationale. 

Propofitio  capitis  huius  ultima,quae  eft  apud 
Campanum  61, 

^C&odibet  linea  commenfurabtlie  alterutri  bimebialm, 
fub  eadem  fpecie  Bimedialie  effe  conuincitnr. 

Vides  ut  propofitio  baeepartim  pertineat  ad  caput  feques. 
Sententia  enim  eft,quod  duabus  Iineisbimedialibus  propoff* 
tis,quae  longitudine  fint  commenfurabiles,  fi  altera  -earum  fit 
bimedialis  prima,  necefle  fit  etiam  reliquam  efle  bimedialera 
primam.  Et  fi  altera  earum  fit  bimedialis  fecunda,  necefle  fit  & 
reliquam  efle  bimedialem  fecundam.  Adde. 

Si  altera  earum  fit  fubpriore  fpecie  bimedialiumprimarS, 
erit  & reliqua  fub  priore  fpecie  bimcdialium  primarii . Si  ucto 

X altera 


Michaelis * Stipelii  1 

altera  earu  fit  fub  pofteriorc  fpecie  bimedialiu  p rimar  G,neccfle 
«ft  & reliqua  efife  fub  pofteriorc  fpccie  bimedialiu  primarum*  > 
Item  fi  altera  carum  fit  fab  priore  fpecie  bimedialium  fecun 
darum,crit  & reliqua  fub  priore  fpecie  bimedialium  fecunda  je« 
Si  uero  altera  earum  fit  fub  (pecie  pofteriore  bimedialium  fe* 
eundarum»  erit  & reliqua  fub  pofteriore  fpecie  bimedialium^ 
fecundarum.  Exempla  ad  ifta  fingula  facile  formabis  quot# 
quot  libuerit.  - 


De  propofitionibus  (radiantibus  bimediales 
- fccuncias;confti  tuentes  fpeciem  irratio» 
nalium  linearum  quartam» 

Caput  xix» 


v m er. i portionum  bimedialibus lineis adhf* 
i biti , optimum  nobis  iudicium  faciunt  de  fpecie* 
bus  fuis.Nam  fua  multiplicatione  inter  ^ratio- 
nalem numerum  facientes,  mox  abfcp  ulteriore 
difcuftione,  produnt  lineam  compofitam  ex  por 


tionibus  illis, quarum  numeri  ipfi  funt,efte  bimedialcm  prima,' 
ut  nihil  opus  (itdeicriptioni  Jinearum  fpeciei  illius  addere  par 
riculam  illam,  quod  portiones  debeant  efte  potentia  tantum 
commenfurabiles.cum  impoilibile  fit  portiones  lineae  bi media 
lis  continere  fuperficiem  rationalem  >&  eas  non  efte  commcn- 
furabiles  potentia  tanturo.Sed  de  lineis  bimedialibus  ( de  qui* 
bus  erit  caput  prarfens ) iudicare  debemus,  non  ex  fala  multi* 
plicacione  numeroru  (portionibus  attributorum ) inter  fe,  fed 
etiam  ex  diuifione  eorum  inter  fe.  Nam  fi  proponantur  duae* 
lineae  mediales.cum  aftignatione  fuorum  numeroru , quorum 
multiplicatiointerfefadat  numerum  medialem  quadrate,  id 
quod  eft  lineas  ipfas  continere  fuperficiem  mcdialem,non  fta» 
tim  ccrtus  fum  de  propofiti*  Uncis,  quod  fint  portiones  lineae* 

bimcdialis 


Arithmetica*  Liber  ii,  174 

- bimedialis  iecundae,eo  quod  mediales  linear, medialem  coni);  i* 
tuentes  lineam,etiam  contineant  fuperficiem  medialem.Opor 
tcbitergo  me  rem  ulterius  explorare  diuifione  aniusperreli* 
quum,&.'  fi  fic etiam  prouenerit  quotiens  medialis  quadrate» 

• tunc  tandem  certus  fum,mihi  fuiflc  propofitas  lineas quae  cop* 
ftituant  bime  dialem  fecundam : ut  l/ftx  1 6 & 84,multipli 

catione  fua  inter  ie  faciant  y$x88. 6i  diuifione  maioris  per  mi 
norem.faciunr  17. Certus  igitur  iam  ium  numeros  iftos  con 
ftituerc  bimedialeiecundum.  Vnde  in  propofitionibus  capi* 
tis  huius  non  ftiper^bundat  particula  haec, potentia  tantum 
commefurabilis,  fed  luperabundat  in  propofitionibus  capitis 
praecedentis . 

Propofitio  prima  capitis  huius, quae  apud  Theonem  eft  zp, 
i Campano  autem  neglecfta  eft. 

^Duae  lineae  imienire  mebialee  potentia  tantum  coni* 
menfurabilc8,que  fu  perficient  contineant  mebialcm» 

Hoc  eft , inuenire  portiones  lineae  bimedialis  fecundae. 

De  talibus  uero  lineis  erit  hoc  caput,  cum  conftituant  fpecicm 
irrationalium  linearum  quartam  apud  Euclidem.Satis  autem 
paulo  fuperiusdixi,ut  haec  particula  propofitionis  ( potentia 
tantum  commenfurabilis)  fuper  fluat  quidem  in  propofitioni 
• bu$  capitis  faperioris ; in  propofitionibus  uero  capitishuius  * 
non  fuperfluat.  . . >r 

Pro  inuentione  aute  linearum  huiuimodi, 
obieruanda  uenit  haec  medialium  conditio^ 
v fSi  fuerint  quatuor  lineae  mediales  ad  inuiccm  proportio* 

nales,  fiierintcg  duae  mediales  priores  tales , ut  conftituant  b i» 
medialem  primam:duae  uero  mediae  mcdiales,talcs  fint.ut  coft 
ftituant  bimedialem  ab  Euclide  non  recepta  intra  fuas  fpecies, 
tieceftc  eft  ut  duae  mediales  pofteriores , conftituant  biroedia- 
‘ lem  fecundam.  " * 1 

,,  JfWta  haec  recipio  dua3  portiones  bimedialis  primae, pro 

X ij  duobus 


Michablis  Stipe lif 

duobus  terminis  regulae  De  tri,  & pro  tertio  termino  recipio 
toedialem,quae  ad  fecondam  fit  incommenfurabilis  utrocg  mo 
do,id  eftjA:  potetia  & longitudine,atcp  ita  per  regulam  De  tri 
(id  eft,per  decimam  fexti)  quaero  tcrminO  quartum.  Et  erunt 
duo  termini  pofteriores  lineae  tales . quae  conftituant  bimedias 
lem  fecundam. 

Figura  inuentionis  huius. 


'•  i ’ j 


Vt  fi  pro  a B recipias  i o3,8(  pro  E f recipias  Ai  19  pro 

ab  recipias  /&zitf,tunc  pro  BCueniet</&)84« 

Scilicet, 

A Edat  B DCfeu  e f)  ergo  a Bdat  bc. 

Hoceft, 

Swipt.  116.  Sa  384. 

Itac^  linea  a c,id  eft */&%*.  1 6 -f -*/%$  j 84, erit  bimediale  fecundi!. 
Sunt  enim  portiones  cius  commenfurabiles  potentia  tantum, 
conftituunrtg  fuperfidem  medialem, fi  ad  angulum retSura 
coniungantur. 

Propofltio 


Arithmeticae  Liber  i i,  17J 

Propofltio  capitis  huius  (ecunda,quat  apud 
Campanum  eft \x. 

^©ihue  linee  mcbtaiee  potentia  tantum  commenfura* 
btlce.fuperffctemcp  mebialem  continStco,  directe  contungan 
twr»tota  linea  erit  trrationali8,bicetur<$  bimebiale  fecunbu. 

Repetit  ifta  propofltio  defcriptionem  bimedialium  fecun» 
darum,at<$  ufum  oftendit  inuentionis  illius  quam  prsrccdena 
pro  politio  requirit.Scilieet  praecedens  requirit  partes  materia- 
les linearum  bimedialium  fecundarum,ideo  (equitur  harc  rtdo 
ordine  .quar  doceat  inuentas  partesdlretfte  componere, atque 
ita  bimediales  primas  febrificare.Vt  (I  ex  ab&  b c fuperio» 
ris  figurat,  fiat  a c. 

Propofltio  capitis  huius  teitia(quse  apud 
Campanum  eft  38. 

rBimebiole  fccunbum.nifim  buae  lineae  tantum, fub 
termino  fuo  biuibi  non  potcfL 

Sicut  praecedens  propofltio  loquitur  de  compofltione  bime 
dialis  fecundat, ex  fuis  partibus  materialibus : ita  h*c  propofi» 
tio  loquitur  de  refolutione  lineat  bimedialis  in  (uas  partes  illae 
materiales.  Scilicetquatlibetlineabimedialis  duas  folumodo 
partes  habet  materiales, quar  fub  hoc  termino  flnt,quem  habet 
propofltio  praecedens : uidelicet  quar  flnt  commenfurabiles  po 
tentia  tantum,cont/neant'cg  fuperficiem  medialem  quales  par 
tes  (iint  hae , Sffii  384.  conftiruenrei  hanc  lineam  bime 
dialem  v/^%3 84 1 6 . Itacp  non  poteft  diuidi  illa  linea  bi* 
medialis  fecunda,  nffi  tantam  in  duas  lineas  illas  y#fczi6,& 
84.Pneter  has, inquam, partes,non  habet  bimedialis  data 
alias,quar  flnt  incommenfurabilespotentia  tantum,  conftitu* 
entes  medialem  (uperfldem. 

Propofltio  capitishuius  quarta, quar  apud  Campa 
num  eft  negle<fta:quamuis enim  eam  ponat, tamen 
non  dignatur  eam  numero  ordinis.  Apud  Theo* 
nem  tamen  eft  trlgeflma  fecunda. 

X ii  j 


Michabli*  5tivbx.ii 

FHDtxte  Ittieae  inuentre  nubutlce.petcntia  tantum  c om* 
menfurabilee.fuperfiaemq*  mcbialem  conrincntea.quartmt 
longior  breaiore.tanto  ampliue  poffit,  quantii  eft  qua&rctn 
alicuine  linee, ipjt  longiori  in  longitubine  comenfurabilis. 

Hoc  eft,inuenire  lineam  bimedialem  fecundam, qua:  conii* 
neatur  fub  priore  fpecie  bimedialium  fecundarum.  Quemad* 
modum  enim  bimedialesprimae,fubdiuiduntur  in  duas  alias 
fpecies.uidelicct  in  fpeciem  bimedialium  primarum  priorem, 

& in  fpeciem  bimedialium  primarum  pofteriorem : fieb/me* 
dialesfecundae,fubdiuidumur  inbimediales  fecundas  pirioris 
fpeciei,  & in  bimediales  fecundas  pofterioris  fpedei.  • 

Inucntionis  huius  modus  eft  ille,  quem  pofui circa  propo- 
fitionem  capitis  huius  primam.  Attamen  oportet  ut  duae  prio 
res  mediales  faciant  bimedialem  primam  prioris  fpeciei , tunc 
enim  (fi  tertiam  receperismedialero,quae  fecundae  mediali  fit 
Incommenfurabilis  longitudine  & potentia ) quarta  inuenta  . 
per  regulam  De  tri.feu  per  dedmam  fexri.componet  cum  ipfa 
tertia  .lineam  bimedialem  fecundam/peciei  prioris.id  eft, linea 
talem, uc  refpondeat  propofitioni  huic  quam  nunc  trado. 

Recipe  igitur  exemplum  fuperius  pofitum.circa  propofit/o 
nem  capitis  huius  primam. Scilicet  pro  a e recipe^  i 08  ,& 
pro  E F recipe  » 9 *•  Conftituunt  autem  illae  duae  potitae  li* 

neae.lineam  bimedialem  primam, fpeciei  prioris.Vnde  fi  rece- 
peris pro  tertia  linea  (id  eft, pro  A b)  Ai 1 1 6,  quae  ad  priores 
duas.utrocp  modo  eft  incommenfurabilis  C fi  enimadunam, 
etiam  ad  alteram  &c.)  oportet  ut  tertia  illa  recepta,  quartacg 
illa  inuenienda  (hoc  eft,  a b & b C ) conftituant  bimedialem  fe* 
eundam  fpeciei  prioris.Nam  iuxta dementarem  fecundam, 
oportet  ut  quarta  illa,id  eft  b c feu  Aii  84.  potentior  fit  quim 
a B feuv/%%i  1 <S,quantum  eft  quadratum  lineae  commcnfurabf 
Iis  ipfi%/fc%j  84.  in  Iongitudine,cum  duae  priores  fint  tales,fcili« 
cet  A%i  9 x potentior  eft  qpim  fit  Ai*  o 8 .quadrato  lineae  com 
menfurabilis  ipQAi > 9 * in  longitudine  &c,  • , v . 

Propo 


* K 


Arithmeticae  Liber-  ii.  17^ 

Propofitio  capitis  huius  quinta.quae  apud  u.  •. 

Campanum  cft  a£«  1 . . > 

riDuaellineae  tnuentrc  potentia  tantnm  commenfurabi 
les.fupcificiemc^mebialem  conttncmce,quaru  longior  bre* 
niore  tanto  ampl  iue  poffit,  qua  tum  e(I  quabraturttalicuuifr 
linee  incommcnfurbilie  ipfi  longiori  in  longitubine. 

Et  hoc  cft  inuenire  lineam  fubfpeciei  pofterioris  bimedia* 
lium  fecundarum.  Modus  inueniendi  fatis  eft  expolitus  circa 
propoGrionem  praecedentem . Oportet  autem  ut  duae  lineae 
medialesCper  quas  duae  illae  inueniuntur)  fint  tales,  quae  confti 
tuant  bimedialem  primam  pofterioris  Ipeciei : fle  enim  fiet,ut 
duae  mediales  i nucniendar,  component  bimedialem  fecundam 
pofterioris  fublpeciei. 

Vt  fi  pr®  A E recipias  Afc  5-4  pro  E F feu  pro  b d rtcl* 
pia s7fc%  1944  tdC  pro  a b recipias  /*%io8  : oportebit  utpro 
BCuenfat  recipienda  888.  Cum  igitur  priores  duae,ia  eft 

Jtfi  • 944 » contineant  fuperficiem  rationalem,  uideli 

cet  1 S.necefte  eft  duas  pofteriores(fcilicet  1 08  & 3 888) 

continere  fuperficiem  medialem, eo  quod  tertia, id  eft  108» 

duabus  prioribus  incommeniurabilis  fit  utrocp  modo. Item  ne 
cefleeft.per  dementarem  fecundam, ut  duae  pofterioresfint  po 
tentia  tantum  commenlurabiles,S<!  maior  tanto  amplius  pollit 
quam  minor,quantum  facit  quadratum  lineaeincommenfura- 
bilis  ipfi  maiori  in  longitudine,  hoc  inquam  neCefteeft,eo<^ 
duae  priores  mediales  fint  tales.  - • • 

Propoli tio  capitis  huius  lexta, quae  apud . 

Campanum  eft  fo.  '* 

r3i  fuerit  fuperftcteo  biitomio  tertio,ac  linea  rationali 
in  longitubinc  contenta,  linea  ineam  poteneeritbimebiale 
fccunfcum . ■ 

Hac  propofitione  fignificatur  modus  alius  i uiperiore  illo, 
propofitionis  primae  capitis  huius,  quo  inueniantur  lineae  hi» 
mediaksfecundae..  . . r ..... 

Si 


-MiChaelis  Stifeiii 

Si  enim  fuerit  iuper  ficies  binomialis  tertia , nece  fle  eft  radie? 
eius  quadratam  (ea  eft  linea  potens  in  binomialem  tertiani) 
efie  lineam  bimedialem  fecundam.Necefle  etiam  eft,ut  fu  per* 
fides  contenta  fub  Unca  longitudine  rationali  una.altcra'qi  bi- 
nomiali  tcrtia,fit  binomialis  tertia ; ut  in  fuperioribua  oftendi. 


Vtfl  A B fadat X7 -f- A 14 , &!  B C faciat  8,  faciet  fuper* 
fides  abcd  y*  1 7 »8 -4-^%  inaqua  oportet  eflefuper  fidem 
binomialem  tertiam  ,ed  quod  numero  eius  commenfurabilis 
fit  numerus  lateris  dus  irrationalis.  Vnde  medium  proportio 
nalcinter  AB  & B c,id  eft  b e,  erit  linea  bimedialis  fecunda, 
eo  q>  poffit  fiiperficiem  aequalem  fuperficiei  abcd. 

Propofitio  capitis  huius  ulrima,quae  apud 
Campanum  eft  ?6. 

r (Eum  abiuncta  fuerit  linee  in  longirubine  rationali  (aper 
fteiee  rcctanqula.equalie  quabrato  bimebialio  fecunbi  datae 
eius  (cenabam  fiinomium  tertiam  effe  neceffe  eft. 

Haec  eft  conuerfa  praeccdentis.Vnde  ficut  praecedens  docet 

radicem 


N 


Arithmeticae  Liber  tu  1 77 

radicem  quadraram  extrahendam  de  binomio  tertio  ,‘efle  Ii* 
neam  bimedialem  fecundam:  ita  haec fignat  multiplicatione 
bimedialis  fecundi  in  fe, produci  binomium  tertium» 


Scilicet  linea  BEpoteftfuperflciem  e f g b ,-compofiram  ex 
3 3 &!)<£.  Cum  igitur  b e facit y**7<te-f-y*%»<>i,kcit 
fupcr ficiei  quadratae  pars,  25  21  ,%/*  j 84-f-  1 9 r , Qc  pars  eius 

jDCfacit7fc768-f-  ^384.  Et  licet  utra  qp  earum  fitbinomia- 
lis  fcxta, tamen  ad  fe  additae,ita  ut  fub  linea  rationali  in  longi* 
tudine contineantur, tanquam  fub  latere  uno, facient  amb* 
partes  fic  compofitar.binomialem  fuperffciem  tcrtiam.Nam  Ia 
tus  alteru  erit  linea  binomialis  tertia,  ut  necefle  fit  fuperficiem 
illam  etiam  ede  binomialem  cerciam» 


De 


Y 


Michabus  Stjfrlii 

De  proportionibus  Euclidis  tra  flantibus  lineas  * 
maiores, quae  con  (lituunt  fpeciem  irratio* 
nalium  linearum  fuarum  quintam. 

Caput  x x» 

vperior.es  fpecies  linearum  compofitaru» 
tales  fonr.ut  partes  compofirionis  earum  ,leu  ma 
teriales,  finr  fimplices.  Sequentium  uero  fpecies 
linearum  compotitarum  omnes, habent  paites 
materiales  com  politas:  (cilicet  quarlibct  linea  con 
tenta  fub  fpecie  aliqua  fequentium,duas  habet  partes  compo- 
fltionis.quarum  una  eft  linea  quadrati  habentis  additum,me- 
diante  ligno  additorum  altera  eft  linea  quadrati  habentis 

(ubtraflum, mediante  ligno  fubtrartorum.  ut  uidebis  in  exem 
piis  propofitionum  fpederum  illarum. 

Harum  autem ipecierum  prima , continet  liib  fe  lineas  quae 
uocantur  maiores,&  tales  lineae  poliunt  fuperficiem  binomia* 
km  quartam,ut  uidebirous. 

Propolitio  capitis  hufas  prima,  quae  apud 
Campanum  eft  27. 

Ittteaa  muemre  potentia  irteommenfurabtled,fu* 
perficiente#  mcbialmi  continernee,  quarti  quadrata  pariter 
accepta  fine  rationale. 

Hoceft,inuenire  partes  duas  materiales,  componentes  1 i» 
neam  maiorem. 

Modu  inuentionis  huius  deducit  Campanus  ex  dementari 
quarta, hoc  modo ; Ipie  recipit  duas  lineas  demetaris  quartae, 
Cut  figura  folio  fy  6 oftendit) longiorem  6C  breuiorem, compo- 
nentes binomia  lem  ordinis  iecundi^d  cft,aut  binomiale  quar 
cani, aut  quintam,  aut  fextam. 


Vc 


Arithmeticae  Liber  ii.  17 S 

Vt fi  a B Iongtor fadat  ti,&  A Dbreuior  faciat  9 6 . Sit 
autem  a b diuifa  In  a c & C B ( Bidente  a C 6- »,&  c B 
Bidente  6 — */*ix)fic  enim  medium  proportionale  c e inter 
a C & C b faciet  J\i 4,  cuius  dupla  fit  linea  dementaris  breuior 
^96  A am  fi  fecerisduo  quadrangula  altera  parte  longiora, 
quoru  maius  contineatur  uib  a c at$  medio  «pportionali  c e. 
alterum  uero  quadrangulum  contineatur  fub  eodem  medio 
proportionali  atqp  fub  C B,tunc  ambae  lineae  diagonales  duor 3 
quadrangulorum  illorum,componut  lineam  maiorem,funt'qj 
illae  lineae, quae  rcfpondeant  propofitioni  huic  noftrae  primae» 
Vnde  haec  erit  figura  exempli  ^politionis  huius,quae  (equitur. 


Cum  /gif  a d fadat  fadet  c E a c i », 

& c b faciet  6 — A 1 i«Quare  a e feciet^. 7»  -f-A  '7»3.  Et 
E B faciet  7 2 — y*  1 7 28  .Ita^  a e & e b funt  Ifneae  inuenrac 

faxta  propoficionem  praefentem  * Sunt  enim  potentia  incoirt- 
mcnfurabiles,  quemadmodum  omnes  lineaequae  fub  diuerffr 

Y i>  (peciebus 


• - M ICHABLIf  StiFELI! 

fpecfebus  I/nearum  irra  tionalium  tredec/m  illarum  (nuen/un- 
tur.Et  cotinent  fupcrflcicm  medialem  huius  numeri*/^?*. 
Et  quadrata  pariter  accepta , componunt  fupcrficiem  numeri 
huius  >44.Quodeft  quadratum  GH  i K, cuius  radix  quadrata 
eft  A B,fcu  H i.Ex  quo  (equitur  quadratum  lineae  e b , aequari 
quadrangulo  L K i M . Et  quadratum  lineae  a E,aequari  qua* 
drangulo  GLMH.  Sequitur  ulterius , lineam  a e efle  medium 
proportionale  inter  gh&hm,  Item  lineam  e b ede  medium 
proportionale  inter  K i & i M. 

Item  fi  circuIo(diametrum  habenti  rationalem)  inicribatur 
pentagonus  arquiangulus,  tunc  latus  unum  pentagoni  illius 
cum  linea  (ubtenfa  uni  angulorum  rcipondebuntpropofitioni 
noltrar  praefenti. 


Propoiicio 


Arithmeticas  Liber  ii,  17^ 

Propofitio  capitis  huius  fecunda, qua:  apud 
. . Campanum  eft  33. 

T (Tum  coniunctc  fuerint  bue  linee  poten  ttaltrer  incomem 
furabilee,fupeificiemq*  bimebialcm  continentes, quarum 
ambo  quabrata  pariter  accepta  fint  rationale,  tota  tinea  erit 
irraticnalid>bicctur'q;  linea  maior* 

Hoc  eft  quod  fuperius  dixi, partes, quales  hic  deferibuntur, 
componere  lineam  maiorem.  Vt  fi  ex  Ia  tere  pentagoni,  a d & 
ex  AC  linea  angulo  pentagoni  iubtenfa,fiat  una  linea, erit  ipfa 
linea  maior . Sic  a e & e 0 figurae  nunc  politae , componunt 
lineam  maiorem. 

Vc  1?  A C faciat  3,  &CB  faciat  3,  tunc  faciet  ce  6, 

&ae  faciety%.9o-f-y%i6io,8CEB  faciet  90 — y%i6io. 

Et  (i ex  ae  &e  b fiat  una  linea,  tuncipfafaciety*.i8o-f-y% 
25-910 . Modum  additionishuius  uide  fuperius  capite  libri  hu 
ius  duodecimo, 

‘Quaelibet  igitur  linea  maior  componiturcxlinea  una  ma- 
iore,& ex  altera  quae  uocatur  minor.De  lineis  autem  minori* 
bus  infra  fuo  loco  dicam. 

Propofitio  capitis  huius  tertia,quae  apud 
Campanum  eft  39. 

T iinca  maior. ni(i  in  boas  lineae  tantum*  ex  quibus  con 
ffat,fu$  earum  termino  biuibi  non  potefh 

Quemadmodum  propofitio  praecedes  fuit  de  compofitfone 
lineae  maioris,  ex  partibus  compofitionis  fuae  materialibus: 
ita  haec  propofitio  eft  derefolutione  lineae  maioris,  in  partes 
compofitionis  fuae.  Quaelibet  igitur  linea  maior,  reioluirur  in 
unam  aliam  linea  maiore, & in  alteram  q uocetur  linea  minor, 

Vtfi  ac&cb  (ficut  uides  in  figura  proxime  data)  faciant 
y%24  -f-  y%  1 x,&  y%24 — y%  1 2,tunc  c e faciet  1 x , & a e ht 

cietVfc.4 8 -f-V*  1 1 s e b faciet  y%.  48  — 1 1 j-  x.  Si  autem 

tx  a e dC  e b fiat  una  linea,tunc  ipfa  faciet  96- 4-  J^6oZ. 

Y iij  Non 


Michablis  Stffixit  ' 

Nonaotem  diuidi  potcft  fcu  rcfoluii/fc  */&4<?o8  fn 
duas  alias  partes  fuas,  quae  fint  potentia  incommenfurabilcs, 
contineant'^  fuperficiem  mcdialem.atque  carum  quadrata  ad 
fe  addita  faciant  fuperficiem rationalem, nifl  tantum  induas 
illas, — 15-»,« quibus conflat. 

Prseter  has  inquam  partes  duas.impoffibilc  erit  alias  duas  in- 
uenire  lineas  aut  partes,quibus  conueniat  praedi  Aus  terminus 
feu  pdicfta  defcriptio,in  quas  refolui  poflit  -f-Vfc  4 608, 

aut  ex  quibus  ipfa  conflet. 

Derefolutione  autem  huiufmodi  linearum } confule  capita 
libri  huius  decimum  & duodecimum. 

Propofitio  capitis  huius  auarta,quae  apud 
Campanum  elt  5-1. 

TQi  linea  rationali  in  longitobine  6momto'c&  quarto  fu- 
petf  cieo  contineatur,  linea  que  in  eam  poreff  fupcrflciem,c|* 

Hic  fignifleatur  alia  ratiainueniendi  lineas  maiores.Poiita 
enim  fuperficie  binomiali  quarta , erit  radix  eius  quadrata  li« 
nea  maior.Vnde  fi  fuperfleies  binomialis  quarta , contineatur 
fub  duobus  later ibus.quoru  unum  fit  linea  in  longitudine  ratio 
nalis,&  alterum  (it  binomium  quartum, tunc  medium  propor 
tionale  inter  duo  latera  illa,  erit  linea  maior. 

Propofitio  capitis  huius  quinta,quae  apud 
Campanum  efl  77. 

r©i  linee  in  longitubine  rationali  abiungatur  rectangur 
(um>equum  quabrato  linee  maiorie.erit  alterum  latus  eius 

binomiumqnarrum.  , _ „ 

Hxc  eft  conuerfa  praecedentis.  Docet  igitur  ex  ducflu  lineae 
maioris, fieri  fuperficiem  quadratam,  cuius  numerus  fit  bino* 
mialis  quartus  ,ideo'cp  reduci  poflit  in  altera  parte  longiorem, 
cuius  unum  latus  comenfurabile  fit  cum  fuperficie  ipfa : quod 
cum  ita  fit,  nccefle  erit  alterum  latus  cfle  in  longitudine  ratio- 
nale ♦ Hacc  omnia  facile  uides  ex  figura  fequenti. 

Ex 


Arithmeticae  Liber  ii# 

. /fc.ix — i x 


i8e 


> 

n—4e- 

*il3t  ■ 

V 

j 

* I 

••  * # -> 

Ex  hac  ftgura  etiam  pulchre  apparent.ea  quardirtafutuin 
propolitionibus  duabus  primis  huius  capitis : uidelicet  parti# 
culac.quibus  defcribuntur  Iinear  componeres  lineam  maiorem 
macerialicer,pulchre  hic  depinguntur. 


Propofitio  capitis  huius  ultima,quaeeftapud 
Campanum  6 1, 

rCDuclibet  linea  commenfurabilt*  (mearmcicrt.ef!  tt 
tpfauma  maior*  1 

Vt  G diameter  circuli  alicuius  flt  linea  maior,  necefle  eft  (a* 
tu»  hexagoni  circulo  flUinicribendi^flelincammaiorem  &c. 

Signi* 


Michaeli*  Stipelit 


tis  huius  defcr/pfit.Sedcomillatpartespraedicflacaicpdefcri- 
ptaeAcantur  partes  materiales, poliunt  partes  illarCde  quibus 
uidetur  hatcpratfenspropofitio  docere ) uocari  partes  ipfl  tod 
cotpmenfurabiles.Deinde  etiam  funt  aliae  partes  eius, quae  uo* 
cari  pofltnt  partes  inftrumentales : ied  illar  partes  non  intrant 
compofitionem  linearum , quarum  partes  uocantur,  Sed  haec 
pertinent  ad  propofitiones  duas  iuperiores. 

De  propofitionibus  Euclidis  tranantibus  lineas 
potentes  mediale  & rationale : Si  hae  lineae 
conftituunt  fpeciem  irrationalium 
linearum  fextam,  Cap.xxu 


ira  poteft  foperficiem  hanc,  1 i-f— 6 . id  eft,  poteft  rationale 
hoc  i z,&  mediale  hoc  %/%6.Hxcuero  linea,  n-f-*>pcr* 
tinet  ad  ca  put  hoc  prxfens,uoca  tur'qj  potens  rationale  & me- 
diale,eo  qudd  poffit  hanc  iuperficiem  i a-f-  x,  id  eft,  poteft 
rationale  hoc  2,&  mediale  hoc  2.  * 

Potcra  t autem  hoc  diferimen  fcruari.ut  lineat  prioris  fpeciei 
uocarentur Potentes  rationale&  mediale: huius  uero  ipeciei 
lineat  uocarentur  Potentes  mediale  & rationale.Sed  placere  no 
bis  debet  ueterum  autor/tas.qua  fa<ftum  eft, ut  lineat  fpeciei  prl 
oris  uocatar  fint  lineat  maiores,&  iam  liberum  fit  lineas  hujus 
alterius  fpeciei uocare  indifferenter  Potentes  mediale  dC  ratio- 
nale,aut  potentes  iationalc  & mediale*. , 


N A hate  fpec/es,quam  hoc  capite  tranabimus», 
dicitur  fpecies  linearum  potentium  rationale  & 
mediale  : cum  tamen  dux  fint  tales,  uidelicct  ipc- 
cies  linearu  maiorumA  hate  fpecies  qua  nunc  tra 
c^abo.Scilicethatccftlinea  maior,%/fc.  iz 


Prima: 


Arithmeticas  Lisbr  'tu  181 

Prima propoff tfo  capitis  huius,  eft  apud  Campanum  '' 

haec  ira  proponit: 

riDuae  limas  inmnirt  potentia  imomMatfmabdesJa* 
perficiente#  rationalem  cotinentee, quarum  ambo  quadratu 
pariter  accepta  ftnt  mebiale.  1 a 

Hoc  eft.inuenire  partes  mater/ales  componentes  lineas  fpe 
dei  huius  fextar^inearum  irrationaIium,quas  Uocamus  fpec/a 
liter  Potentes  rationale  & mediale.flcut  paulo  fuperius  dhci. 

Recipe  quadrangulum  redangulum  cotenturo  fub  duabus 
lineis  longitudine  rationalibus , proportionem*#  duplam  ad 
Inuicem habentibus (ut uidcs quadrangulum  ABC D conten- 
tum fub  a b Qc  b c ) lineam  autem  longiorem  produc  ad  meo# 


furam 


MlCHA^Ltf/.  ‘S.TirBLIt 

furam  lineae  diagonalis  quadranguli  illius  ( ut  B Efic  arqualif 
B d)  Deinde  erige  duo  media  proportionalia^  linea  b E.unum 
i medio  pando  lineat  a b .quae  fit  medium  proportionale  iriter 
J5G&GE.& altetu  medium  proportionale  erigatur  i medio 
pundo  lineat  c E.quac  mediet  proportionaliter  inter  B 1 8i  i K 
Sit  linea  AB,u:& erit  b C ,6. 

Lineat  autem  quas  requirit  propoGtio,funt  BH&  G f.  Facit 
autem  BH,«/%.y%64So-f~  )6:&  G F facit  — 3 .6, 

Hxc  inuentio  nunquam  te  fallet, rationem  poftea  dicam. 
e > Numeri  reliquarum  linearum. 

BG  facit  GEfacltA'8o— ^ 

B 1 fecity%4j*-f“  3«  l Afacitp  — , 

V Propofitio  capitis  huius  («unda,  quat  apud 

Campanum  cft  34. 

V (Tum  commicte  fuerint  buc  linee  potentia  incomenfura 
bilce,  fupcrficicnVqjjationalcm  contiuentee  «.quatum  ambo 
quabrrttapariterttcceptttfintnifbiale.tota  linea  compcfita 
erit  irrat^bnali8ib|ceritrfc^otcne  rationale  et  mediale. 

Vt  (]ex  Bp  & (i  F,fuperiorls  figurae  proximae, feceris  unam 
linea, erit  ip(a  potens  ronale  hoc  >44,  & mediale  hoc  ^25-9x0, 
cumcompofitio  illa  faciat  lineam  hanc,  144. 

Et  quia  linea  illa  di  femper  mediUm  proportionale.inter  a B D 
6C  a B,hoc  cft,ipfa  ed  linea  quadraturae  fuperficiei  binomialis 
quihtaTjCotcntae  fub  linea  a b rationali  in  longitudine, & linea 
binomiali  quinta  compolita  ex  D B & B a , ideo  per  quartam 
capitis  huius  propofitionem  oportet  ut  fit  potens  rationale 
& mediale.  i 

Campam  autem  demonflrat/o  ( falua  reuerentia  tanti  uiri ) 
non  efi  .olida , id  quod  exemplis  fatis  patet  quat  dabo.  Campa 
nus  enim , dum  docet  inuenire  lineam  potentem  rationale  & 
mediale,  recipit  lineas  iuxta  dementarem  quartam , tribuite# 
linent  a c partes,  quales  requirit  fua  »f,  quat  cft  fcxtacap.18. 
libri  huius, &c. 


Arithmeticae  Liber  ti*  t8f 

faoccfl.in  potentem  rationale^  mcd/ale,arqj  in  componerem 
mediale  cum  rationali.Et  hae  duae  partes  itint  iub  termino  que 
habent  fuperjfpres  duae  prppo  fixiones, id  eft,funt  potetia  incom 
meniurabi!esf&  fuperfidem  rationalem  cotincnr,&  quadrati 
esuum  pariter  accepta  (unt  mediale. 

Jtem  y$8  64-j—  »4,eft  certe  potes  rationale  & mediale* 

Hacc  diuiditur  in  * 1 H-V%7  *,&VW**  i6—Ai  1 .Hoc 

tx  in  potentem  duo  medialia,&  in  componentem  mediale  cum 
medialuNihilomious  tamen  panes  har  funt  (lib  termino,  qua 
lem  deferibunt  propofitiones  duae  iuperipres capitis  huius. 

Qiia  in  re  confiderandum  eft,ut  fpecies  haec  potentium  ra* 
(ionaie  & mediale,  fubdiuida  tur  in  duas  fpecies,  quarum  prior 
contineat  lineas  relolubiles  induas  partes  (e componentes* 
quarum  longior  maneat  iub  (pede  hac  potentium  xatianaledl 
mediale : uteft  .^480-j-  j£.  Pofterior  uero contineat  Ii# 
neas  relolubiles  in  duas  partes  ie  componeres,quarum  maior 
non  maneat  iub  (pede  hac,fed  tranfea  t in  (pedem  linearum  po 
(entium duo  medialia  «de  quibus  erit  caput  fequencut  eft. 

VW*8d4-j-M* 

Regulae* 

* V triufq*  uero  fpeciei  numeri  facile  reperiuntur. 

Primae  fpeciei  numeri  fic  inueniunr . Recipe  duos  numeros 
quadratos,quiadditiadfefaciant  numerum  non  quadratum, 
lilurn  igitur  numerum  non  quadrarum  rccipc  pro  prima  parti 
cula  exempIi,prarpoflto  illi  figno  radicali  zcnfico,  Pro  fecunda 
particula  redpe  radicem  quadratS  alterius  ex  duobus  reliquis 

rdratis:ut  3 6 & ^.faciunt  4 y & c.  Itacp  -f-3 . & J*. 

T — 3 .componunt  potentem  rationale  6C  mediale  prioris 
lpcdei,uidelicery*V%  180-4-1». 

Secundae  fpeddnumeri  licinueniuntur.Recipeduosnume 
ros,quorum  alter  fit  quadratus,  6C  reliquus  fit  non  quadratus^ 
qui  additi  ad  (e,faciant  numerum  non  quadratum.illum  igitur 
.^xsggtcgatione  proucnicntem  > recipe  pro  prima  particula 

Z tq  excmpU 


*»•.!  MlCHAEilS  STHrELtt  'l  \ 

exempli, prxpoGto  illi  figno  radicali  senGco.Pro  fecunda  pani 
ticula  recipe  numerum  non  quadratum  illum, qui  prius  ad  qua 
dratum  addebatur,cfc$  idem  fignum  prapone&c.Vt  z34a<f 
»44 .faciunt  j 78 . Itacp  -/%•  A 3 78  -f-V fc 1 34»  & * ] 78 

» 34, componunt  potente  rationale  & mediale  pofterioris  fpe* 

ciei.uidelicet»/%.»/fc  1 i-f- z4* 

Propofitto  capitis  huius  quarta,quxapud  * 

Campanum  eft  yz. 

T0i  fuerit  fuperftciee  linee  rationali  atque  binomio  qutnr 
to  contenta , linea  que  in  eam  poteftconuincitur  «fle  poten* 

^ Eifmp^hufafoftenfum  eft  faperius  circa  propofition? 
capi  huius  z.ex  figura  propofitionis  primae  capitishuius.  > 
Scilicet  linea  figura  illius  a BDeftbinomium  quintum,» 
Ciens  iz-f-  A»  80.  Si  igitur  ex  a b&  BOflat  una  linea  reda, 
eilctt  coniungatur  ad  angulum  redum  linea  alia  aqualis  lineae* 
AB  tunc  fiet  fuperflciesbinomialis  quinta,  faciens  7%  zj-pio 
144 .Huius  igit  radix  quadrata  facit 
hoc  eft,potentem\ationale  & mediale , ut  eft  linea  compotita 
ex  B H & G P, illius  figura  pradida. 

Itacto  hac  propoffrione  docet  Euclides  optimum  atc&  certilli 
DUm  modum  inueniendi  lineas  potentes  ronale&  mediale, 
PropoGtio  capitis  huius  quinta,qua  apud  1 

Campanum  eft  y 8, 

' r0i  Unee  in  longitubine  ronoli  abiongator  quabrangnlff ! 
altera  parte  loqius,  qtf  fit  equale  quahrato  linee  potetis  rona: 
le  et  mebiale,alteru  latus  eius  binomin  qaintu  effle  necefie  efh’ 
Hac  eft  conuerfapracedentis,  docens  quadratum  linea  po- 
tentis rationale  & mediale.pofle  redigi  in  fuperficiem  binom* 
alem  quintatquod  fit, dum  ad  ipfam  linea  quadrati  illiusCid  eft 
ad  lineam  potetem  rationale  & mediale)inueniunf  dualinea* 
(tanqua  ad  medium  proportionale)  extrema , quarum  una  fi$ 
longitudine  rationalis#  altera  fit  binomialis  quinta  . . . ^ > 


Arithmeticae  Libe*,  ii. 


rSa 


VtfiAC  fodat  C b faciat  J&9 — /^J,func 

C E faciet  A b ( idcftjbreuior  linea  demetaris  quartae) 

fac(et 3 z.Vnde  a e fadet z -f-  4 : Qi  e 0 faciet /%, 
/fc ji — 4. Et funt  quidem  ae&eb  lineae jrefpondentes pro- 
poli rionf  noftrae  ateg  fupcriori,quar  requirit  inuentionem  hu- 
iufmodi  linearum:  fiunt'qj  hoc  modo  multa, imo  innumeta  ex* 
empIa.Sed  i fla  inuentio  non  eft  conflans  5i  perpetua,  ut  iam 
oftendam  iequenti  exemplo. 

Recipiarurenimpro  a c /fcfcs^^yfc^CrefpondentautS; 
particulae  4 & ^14  .ppofitioni  Campani  ij-.ideft.fextae 
capitis  1 8,  aeque  ut  hae  duae,  r,quae  funt  particulae 

exempli  proximi  fuperioris  &C . 5 & pro  C b recipienda  uepit 
Afcj-4 — y%%i4,atcpitapro  A D C id  eft,  breuiore  linea  exem* 
pii  elementaris  quartae)  proueniet  cum  pro  c'i  C id  eft, ' 
medio  proportionali  inter  a c6C  c b >proueniat Itaqp 
a s faciet  i»;&b  J^x  i 6 — t x fodet. 

Z rj  Sed 


**■»  Mkhauii  Spiritu 

8ed  ufde,  Duae  illae  lineae  a c & e B.funt  inuentae  iuxta  tradi 
tfonem  Campani,peromnia,&  tamen  non  componunt  poten 
tem  rationale  dC  mediale.fed  componunt  potentem  duo  medi 
alia(idefUAieS  fequctis  !peciei,ulddicet  A- A864 

Sequitur  figura  defcriptarum  linearum. 


«c 


f' 


«*• 

et* 
- w, 
•* 

1 4 


Af*— * 

..  1^. rt 

- 

" £ • *«_  • i 

.. 

Vi 

■■  k-  ..  j 

u»  ^ jy  *Ci 

, i 

Sed  flgora  haec,atcp  Gmiles , fatis  declarantur  iiiperius  cap,  i xt 
Propofitio  capitis  huius  tertia,quae  apud 
Campanum  c(l4o. 

Tlinta  potene  rationale  *t  mcbiale.nifi  in  lineae  buao 
tantum  fub  termino  earum  tioit  biuibitur» 

Vt  . A^So-f-irf.eft  potens  rationale  )6,& mediale 

< A*49o,Ea  diuiditur  in  6*04-3  A.  A 1 6*0—316. 

hoc 


Arithmeticae  £,ibbr/0«  164 

s Vt  fi  ad  lineam  compofiram  ex  b h-&  f g(  figurae  primaf 
propofirionis  capitis  huius)  inuenianturdux  illx,  prima  A b, 
iccuda  a b.d;ucI  illa  prima  b c,&  illa  fecuda  abd  duplicata  dic, 

Propofitio  capitis  huius  ultima, quae  eft  apud 
Campanum  63. 

^Gittliquafitted  comeiifurabilta  fuerit  linee  potett  rottale 
jrt  rmbtafc.ipfa  comprobatur  efle  potene  ronale  et  mediale.  ; 

V t data  linea  potente  rationale  & medialc,erit  etiam  potes 
rationa  !c  di  mediale,  eius  pars  dimidia , pars  tertia , quarta,' 
quinta  &c.  Item  eius  dupla , tripla , quadrupla.quintupla  &c* 

Jtem  partis  eius  tertiae, dupla, tripla  dic,  . '.  4 ' 

• • 

Docet  igitur  hxc  propofitio  ex  una  linea  fpeciei  huius  dor#, 
mare  infinitas  lineas  eiufdem  fpeciei,uidelicet  per  multiplica# 
donem  ucl  per  diuiiionem» 

- ‘ ^ 

i * ‘ . 1 • ■ v • • • ,i 

De  propoficionibus  tranantibus  lineas  irratio#  J 
nales  feptimsr  fpeciei^quae  funt  potentes 
duo  medialia,Cap.xxru 

N i T hxc  fpecies  linearum  potentium  duo  me# 
dialia ,ipecics  linearum  compofitarum.  Diuida# 
EH  turqj  fpecics  hxc  in  duasfubfpccies,quemadmo* 

Icti  ^um  (^a  fuPcr,or»  de  qua  dixi  in  capite  pcedenti, 

r Primo  enim  iimt  quxdam  linex  potetes  duo 
medialia,qux  reioluuntur  in  partes  compofitionis  fux.itaut 
longior  earum  maneat  fubbac  fpecie,  ut  linea  numeri  huius  . 

Aj  »,refoIuit  in  14-f-V^  6 i 14— y%6; 

manet  autem  longior  (id  eft,  f4-{-V%rf  ) fub  hac  ipecie» 
id  eft,  etiam  eft  potens  duo  medialia, 

V Secundo  funt  quxdam  linex  potetes  duo  medialia , quae 
refo  luuntur  in  partes  compofitionis  lux, quarum  longior  non 
sV  ' ‘ . maneat 


MiCHAEITS  ST!?  ELI  I 

maneat  fubfpccic  hac.fed  tranfcat  ad  fpedem  prarcedenri*  ca* 
piris:  ut  J*J\6 8 -f-  </&*t efoluitur  in  «/* . </%  1 7 -f-  i , & in 
,7 — 3 .Tranfit  aut  longior  faaru  partium  ( ,i.J% . A 1 7-+*  3) 
in  fpecion  potentium  rationale  & mediale,ut  fari*  uide*. 

Propofirio  capitis  huius  prima,quae  eftapud  Camp.ap. 
rDuae  lineae  inuenire  potentia  incommenfnrabilee.fu* 
perfutenfcp  mebialem  continente* , quarum  quabrata  pari* 
ut  accepta  ftnt  mebfale,  (ncommenfurabile  buplo  fuptrffcief 

vntue  linee  in  alteram*  ^ 

Hoc  eft,inuenire  lineas  duas,  componentes  lineam  potente 
duo  medialia,queadmodQ  proxima  iequens  ^pofirio  docebit. 

De  modo  autem  inueniendi  lineas,quales  bate  propofirio 
defcribit.flmilia  dicenda  ueniunc  i\s  quat  di  da  fimt  circa  duas 
propofifiones  capitis  pracedentispriores.Necpenim  hoc  loco 
conflans  eft  Campani  fiC  aliorum  ratio  inueniendi  lineas  tale» 
per  propofitionem  capitis  1?  auintam,  quar  cft  apud  Campas 
num  x 6 : quod  iterum  uolo  oftendere  exemplis. 

& X/ 


t* 


o 


3 


Arithmr-ticab  Liber  ir. 

" Vt 5r,A  * 1 8 8 (ccrfe 8 refpondenc 
pTopofitton^m prardirta) erit  cb^,8~ sm  & c e hcin 

</%%»,&  a Dbreulor  (iuxta elemctare m qnarram)fac/ery^, 2 
Itac^  a e faciet y%.y%7 a -f-y%48,&  e b faciet  A.A7»— v/%48.* 
Hac  lineae,  rede  quidem  iuxta  Campani  traditionem  compo* 

nuntpotentcmduonlcdial/a,hanC^Vii88-f-49tf  F 

Sed  pro  a C recipias  & yg$6>quae  etiam  refpondenc 

praedicflaepropcfitioni  26  Campani.faciet  C b ,/Wa Jixa 

& c e faciet  Ax4  (&  a faciet^  a e J%J\x 

& e b faciet  ^ parj^no  rcfpondetpro 

pofitioni  prafentf . N°n  enim  componunt  potentem  duo  tne 
dialia,fed  componunt  potentem  rationale  & mediale  ‘u/deli* 
cct  hanc  componunt,/* . ^864-^24.  Itacp  n0n  eft  conflans 
inuentio,quae  docetur  per  elementarem  quartam,  dum  recini - 
untur  pr°  a c lineae  propofitionis,quar  apud  Campanfl  eft  x6t 
' arI,l,s  modus  inuentionis  huius  ponendus, 

ejui  nuncp  fallat, ut  ex  iuperiori  figura  folio  181  patet* 
Recipe  pro  bc  lineam  aliquam  medialem.  Vt  fi  b c fidae 
vi%48,taciet  B a y^768»edqudd  a B fit  dupla  adBC;  Qc  faciet 

BDy^iiob.Itacp  BH fodet  yw**4°+y*48>a:  G f,A. 

^x4°  ^ &48’  Et  illae  duae  lineae  funt, quales  requirit  propofi 
tio  noflra  prarfens.Rationemautem,cur  figura  illa  non  poifa 
falUre  fi  BC  fit  linea  mediaIis,facflecolIigerepoterisex  iis  qu* 
didta  lunt  capite  fuperiori.circa  propofitionem4 capitis  illius, 
Numeri  reliquarum  linearum.  . 
BGfaciW*%48.  GEfacit,/**»ioo— y**4s.  * 

Hae  duae  lineae  inter  fe  multiplicatae . faciunt  quadra  tum  ipfius 
G F.id  eltjbrciiioris  inter  eas,quaspropofitio  noflra  requirit. 
Vides  antem  a hic  mox, ut  produefla  linea  ponat  longiorem 
quae  poffit  duo  medialia  nece  flario . Longior  autem  illa  etiam 
medium  proportionale  inter  gb  d&  b C.Linea  uero  com 
pofita  ex  duabas  imicntis,id  eft.ex  bh&'  g F.eft  medium  pro 
pomonalc inter  a b d & a B,utfuperius«ia  figmficatum  eft. 
i i.  • aa  Vc 


• • MlCHABLIf  STIFBLtl 

fpec/ebus  linearum  irrationalium  tredec/m  /Harum  inuenfun* 
tur.  Et  cotinent  fuper flclem  medialem  huius  numeri ^345- <5, 
Et  quadrata  par/ter  accepta , componunt  fupcrficiem  numeri 
huius  i44.Quodeft  quadratum  GH 1 K, cuius  radix  quadrata 
eft  A 6,(eu  H i.Ex  quo  fcquitur  quadratum  lineae  e b,  aequari 
quadrangulo  L K 1 M . Et  quadratum  lineae  a E,arquariqua« 
drangulo  glmh.  Sequitur  ulterius , lineam  a e efle  medium 
proportionale  inter  G H & H M.  Item  lineam  e b efle  medium 
proportionale  inter  K 1 & 1 m. 

Item  ficircuIo(diametrum  habenti  rationalem)  inicribatur 
pcntagonus  arquiangulus,  tunc  latus  unum  pentagoni  illius 
cum  linea  iubtenfa  uni  angulorum  reipondebuntpropofitioni 
noftrar  praefen  t/. 


Vt  fl  a b diameter  faciat  24 , faciet  latus  a d %/fc . 3 60 — 
25910 ; 8i  linea  a C faciet  «/$.  360-4-^15910.  Sunt  igitur  Ii« 
neae  ca&a  D,qualcs  requiritpropofitio  capitis  huius  prima* 

Propofit/o 


Arithmbticab  Liber  ii,  17^ 

Propofitio  capitis  huius  fecunda, quae  apud 
Campanum  eft  33. 

V (Tum  coniuncte  fuerint  bue  linee  potentialiter  incomen* 
forabilee,fupertictem^  bimcbialcnt  coiitinrntc0,quarum 
ambo  quabrata  pariter  accepta  fin  t rationale,  tota  linea  erit 
trraticnalid>bicetui  'qj  linea  maior* 

Hoc  eft  quod  fupcrius  dixi, par  tes,quales  hic  defcribuntur, 
componere  lineam  maiorem.  Vt  fi  ex  latere  pentagoni,  a d& 
ex  A C linea  angulo  pentagoni  iubtenia,fiat  una  linea, erit  ipfa 
linea  maior . Sic  a e & e b figurae  nunc  pofitae , componunt 
lineam  maiorem. 

Vtfi  A c faciat  7*4  j- -f- 3,  &CB  faciat  3 .tunc  faciet  ce  6, 
&ae  facict*/%.9o-f~y%i^zo,flCE b faciet j\.  90 — /$1620. 
Etfiex  a e dC  e b fiat  una  linea,  tunc  ipfa  faciet  .180  — f-  % 

25-920.  Modum  additionishuius  uidcfuperius  capite  libri  hu 
ius  duodecimo. 

Quaelibet  igitur  linea  maior  componitur  ex  linea  una  ma- 
iore^ ex  altera  quae  uocarur  minor.De  lineis  autem  minori* 
bus  infri  fuo  loco  dicam. 

Propofitio  capitis  huius  tertia, quae  apud 
Campanum  eft  3 9. 

T iinea  maior.nifT  in  buao  lineae  tantum,  er  qnibue  con 
fiat,(uG  carum  terntiuo  biuibi  non  potefh 

Quemadmodum  propofitio  praecedes  fuit  de  compofitione 
lineae  maioris,  ex  partibus  compofitionis  fuae  materialibus; 
ita  haec  propofitio  eft  de  reiolutione  lineae  maioris,  in  partes 
compofitionis  fuae.  Quaelibet  igitur  linea  maior,  reioluirur  in 
unam  aliam  linea  maiore, & in  alteram  q uocetur  linea  minor. 

Vtfi  a C& C B (ficutuidesin  figura  proxime  data)  faciant 
A**  -f-  A • 2,&  A 24— y*  1 2, tunc  c e faciet  A 1 2 , & A e fa* 
ciet%/fc.48-t-y*i  1 5- 2,&  e b faciet 48  — A>  «f»*  Siautem 
tx  a e dC  e b fiat  una  linea,tunc  ipfa  faciet,/*.  96- f-  ^4608. 

Y iij  Non 


MiCHABLIS  STrFBXII  ’ 

Non totem  diuidi  poteft  feu  rcfolui,/*  ,96-f— /fc4rfo8in 
duas  alias  partes  Tuas,  quae  fint  potentia  incommenfurabiles, 
contineant^  fuper  fleiem  mcdialcm,atque  carum  quadrata  ad 
fe  addita  faciant  fuperficiem  rationalem , nifl  tantum  in  duas 
illas,  ^.48-+- Ai  ijz,&yM8— i/ii  ij-z,  ex  quibus  conftat. 
Prxter  has  inquam  partes  duas.impoffibile  erit  alias  duas  in- 
uenire  lineas  aut  partes,quibus  conueniat  praedidus  terminus 
feu  pdida  defcriptio,in  quas  refolui  poffit  J\ . p6  -j-^460  8, 
aut  ex  quibus  ipfa  conflet. 

De  refolutione  autem  huiufmodi  linearum , confulc  capita 
librihuius  decimum  & duodecimum* 

Propofitio  capitis  huius  quarta,quae  apud 
Campanum  eft  5-1* 

rei  linea  rationali  in  longitubine  6inomio'c&  quarto  fu- 
perfkiee  contineatur»  linea  que  in  eam  poteff  fuperflctem,<fl 
Unea  maior. 

Hic  fignifleatur  alia  ratiainueniendi  lineas  maiorcs.Pofita 
enim  fuper  ficie  bino  mia  li  quarta,  erit  radix  eius  quadrata  Ii# 
nea  maior. Vnde  fi  fuper fleies  binomialis  quarta  .contineatur 
fub  duobus  lateribus.quoru  unum  fit  linea  in  longitudine  ratio 
nalis,&  alterum  fit  binomium  quartum, tunc  medium  propor 
tionalc  inter  duo  latera  illa,  erit  linea  maior. 

Propofitio  capitis  huius  quinta, qua;  apud 
Campanum  eft  s7» 

rei  linee  in  longitubine  rationali  abiungatur  rectangur 
lum.equum  quabrato  linee  maioris,  erit  alterum  latus  eius 
binomium  quartum» 

Hsec  eft  conuerfa  prarcedentis.  Docet  igitur  ex  dudu  lineae 
maioris,fieri  fuperficiem  quadratam,  cuius  numerus  fit  bino* 
tnialisquartus,ideo'cg  reduci  poffit  in  altera  parte  longiorem, 
cuius  unum  latus  comenfurabile  fit  cum  fuperficie  ipfa : quod 
cum  ita  fit,  ncceffe  erit  alterum  latus  effe  in  longitudine  ratio- 
nale , Haec  omnia  facile  uides  ex  figura  fequenci. 


Arithmbticab  Liber  ii. 

. i * -f— 


i8t 


)z—vf<r 

<4)39  • 

V 

i 

^ / 

ix-^vfr 

' f . 

■*  -t  • • 1 ^ » . 

••  i.  V t 

Ex  hac  figura  etiam  pulchre  apparent  .eaquardi&aiuntin 
propofitionibus  duabus  primis  huius  capitis : uidelicetpatti* 
cular.quibus  deferibuntur  lineae  componeres  lineam  maiorem 
materialiter, pulchre  hic  depinguntur. 


Propofldo  capitis  huius  ultima, quae  cft  apud 
Campanum  6*. 

f (Dnelibet  linea  commenfurabiUs  Cineae  maiori ,eff  et 
ipfa  lima  maior» 

Vt  0 diameter  circuli  alicuius  flt  linea  maior,  nccefle  eft  (a* 
tus  hexagoni  circulo  aiiinfaibencMlc  Uncam  maiorem  &c» 

Signi» 


M ICHAELU  STI?ELir 


tis  huius  defcripfit.  Sed  com  illae  partes  praedidae  atqj  deferf- 
ptst.dicantur  partes  materiales,  poflunt  partes  illaeCde  quibus 
uidetur  haecpraefenspropofitio  docere ) uocari  partes  ipfi  toti 
cotptnenfurabiles.Deinde  etiam  funt  aliae  partes  eius.quae  uo* 
cari  poflint  partes  inftrumentales : fed  illae  partes  non  intrant 
compofitionem  linearum , quarum  partes  uocantur.  Sed  haec 
pertinent  ad  propofitiones  duas  fuperiores. 

De  propo (itionibus  Euclidis  tranantibus  lineas 
r potentes  mediale  & rationale : & hae  lineas 
conftituunt  (peciem  irrationalium 
linearum  fextam»  Cap.xxu 


jea  poteft  faperficiem  hanc,  i x-f— %/%  6 . id  eft,  poteft  rationale 
hoc  1 mediale  hoc  »/fc6.Harc  uero  linea,  » x-f-  *>pcr* 

tinet  ad  caput  hoc  pr*fcns,uocaturqj  potens  rationale  & me- 
diale,eo  qudd  poffit  hanc  fupcrficiem  i x -j-  x , id  eft,  poteft 

rationale  hoc  mediale  hoc  \ x. 

Poterat  autem  hoc  diferimen  fcruari.ut  lineae  prioris  fpeciei 
uocarentur Potentes  rauonale&  mediale: huius  uero  fpeciei 
line*  uocarentur  Potentes  mediale  rationale.Sed  placere  no 
bis  debet  ueterum  autoritas.qua  fadum  eft,ut  lineae  fpeciei  pri 
oris  uocatnr  fint  lineae maiores,&;  iam  liberum  Ot  lineas  huius 
alterius  fpccieiuocareindifferenter  Potentes  mediale  & ratio- 
nale,aut  potentes  rationale  & mediale,. , 


I na  haec  fpecies,quam  hoc  capite  tradabimus,. 
J dicitur  fpecies  linearum  potentium  rationale  di 
j mediale  :.cum  tamen  duae  fint  tales,  uldelicet  fpc- 
cies  linearu  maiorum, & haec  fpedes  qua  nunc  tra 
1)  dabo. Scilicet  haec  eft  linea  maior, %/fc.  i x -f -J%6: 


Prima. 


Arithmeticae  Lisbh  if;  f$t 

Prima propoBdo capitia  hulus.eft  apud  Campanum  28, 
ft*c  ira  proponit: 

(tueas  inucnire  potentia  mcommenfurabited>fu« 
perftciemq?  rationalem  cotinenteo, quarum  ambo  quabrata 
pariter  accepta  fint  mebiafe ♦ H 

Hoceihinuenire  partes  mater/ales  componentes  lineas  fpe 
cici  huius  fex  tar.,  linearum  irrationaIium}quas  uocamus  fpcc/a 
Hter  Potentes  rationale  & mcdiale^cut  paulo  fuperius  dixi. 

Rec/pc  quadrangulum  redangulum  cotentum  fub  duabus 
lineis  longitudine  rationalibus , proportionem'^  duplam  ad 
Inuicem habentibus Cut uides quadrangulum  abco comem 
tum  fub  a b & B c ) lineam  autem  longiorem  produc  ad  meo* 


M 

X 


. I % 


ARIT^MBTICAB  tlBBR  TL  18? 

faoc  eft.in  potentem  rationale  & mediale, a rqp  in  componerem 
mediale  cum  rationali.Et  hac  duae  partes  (unt  iub  termino  que 
habent  fuper/pres  duae  prppofitiones.id  eft,funt  potetia  incom 
mcnfurabiles,&  fuperficiem  rationalem  cotinenr,&  quadrata 
•arum  pariter  accepta  iunt  mediale» 

Item,/*.  ^864-}—  »4,eft  certe  potes  rationale  & mediale* 
Haec  diuiditur  in  1 1 — /%72,Hoc 
« in  potentem  duomedialia,&  in  componentem  mediale  cum 
roedialuNiliilomiaus.tamenpartesjiarfunt  iub  termino,  qua 
lem  deferibunt  propofltiones  duae  luper/p res  capitis  huius. 

Qua  in  re  confiderandum  eft,ut  fpecies  haec  potentium  ra# 
tionalc  mediale,  fubdiuida  tur  in  duas  fpecies,  quarum  prior 
contineat  lineas  reiolubiles  induas  partes  ie componentes» 
quarum  longior  maneat  fub  ipecie  hac  potentium /atianalrSC 
mediale : ut  eft  */&.*/ $648 o-f- j 6.  Pofterior ucro contineat li • 
neas  reiolubiles  in  duas  partes  ie  componetes,quarum  maior 
non  maneat  iub  ipecie  hac,fed  tranfeat  in  ipeciem  linearum  po 
tentiumduo  medialia.de  quibus  erit  caput  fequens ; ut  eft, 
V*,/*  8 64 -+-24.  * 


Regulae. 

8 V triuiq^  uero  fpeciei  numeri  facile  reperiuntur. 

Primae  ipeciei  numeri  fic  inucniunf , Recipe  duos  numerat 
quadraros,quiadditiadfefaciant  numerum  non  quadratum. 
Illum  igitur  numerum  non  quadra  tum  recipe  pro  prima  parti 
cula  exempli.prar polito  illi  iigno  radicali  zeniico.Pro  fecunda 
particula  recipe  radicem  quadratS  alterius  ex  duobus  reliquis 

rdratis:ut  *<£  &5>,faciunt4  j-  &c.  Itacp  y% . , & «/*♦ 

j- — 3 .componunt  potentem  rationale  & mediale  prioris 
ipeciei,uideliccry%V%  1 80  -f-  ix. 

Secundae  fpecieinumeri  licinueniuntur.Recipeduosnume 
ros,quorum  alter  fit  quadratus,  6C  reliquus  iit  non  quadratus^ 
qui  additi  ad  fe,faciant  numerum  non  quadraturo.lllum  igitur 
•C* aggregatione  proucnientem  > recipe  pro  prima  particula 

2 irj  cxempU 


• t 

i * 


MlCHABilS  STITBLn 


exempli, praepofito  illi  figrro  radicali  zen  fico.  Pro  fecunda  pani 
ticula  recipe  numerum  non  quadratum  illum,qui  prius  ad  qua 
dratum  addebatur, dfy  idem  fignum  praepone  QCc.Vt 
744  .faciunt  j 78  .Itacp  A 3 78  -f-V*  1 3 4»  & A-  A 3 78  — A 

x 34, componunt  potente  rationale  & mediale  pofterioris  fpc* 

dei, uidelicet  A • A 1 S » 1 i—  24* 

Propofltlo  capitis  huius  quarta,quae apud 
Campanum  eft  5*1. 

f"0i  fuerit  fuperfkiee  linee  rationali  atque  binomfo  quiit 
to  contenta . linea  que  in  eam  potefteonuinettur  efle  potena 
mebialeetrationale,  • 

Exemplum  huius  oftenfum  eft  laperius  circa  propofl tionc 
(api. huius  z.ex  figura  propofitionis  primx  capitis  huius.  > 

Scilicetlinea  figurae  illius  A b d eft  binomium  quintam,  fir 
dens  ix-f-»/%i8o.  Si  igitur  ex  a b & BDflat  una  linea  reda, 
eify  coniungatur  ad  angulum  redum  linea  alia  aequalis  lineae? 
AB,  tunc  fiet  fuperfleies  binomialis  quinta,  faciens,/#  25-910 
«4-  /44  . Huius  igit  radix  quadrata  facit  A • A* T9  *<>  -f-  »44*' 
hoc  eft.potentemYationale  & mediale , ut  eft  linea  compofit» 
«x  B H & G F, illius  figurae  pradidae. 

Itacphac  propofrtione  docet  Euclides  optimum  atep  certifti 
mum  modum  inueniendi  lineas  potentes  ronale  & mediare, 
Propofitio  capitis  huius  quinta, quae  apud  1 

Campanum  eft  5-8,  <. 

re>i  linee  in  longitubineronalt  abiuitgator  quabrangnlu s 
altera  parte  logiuo,  qS  ftt  equale  quabrato  linee  potetio  rona: 
l e et  mebtale,alteru  latus  eius  binomiii  quinta  efle  necefte  eft*' 

Haec  eft  conueria  praecedentis,  docens  quadratum  linea:  po- 
tentis rationale  & mediale.pofle  redigi  inftiperficiem  bfnomf 
afem  quintajquod  fit.dum  ad  ipfam  linea  quadrati  illiusCid  eft 
ad  lineam  potetem  rationale  & mediale)inueniunt  duae  lineae? 
(tanqua  ad  medium  proportionale)  extrema: , quarum  una  fi$ 
longitudine  rationalis,^  altera  fit  binomialis  quinta,  ...  > 

Vt 


Arithmeticae  Liber,  ii*  r 8x 


VtfiAC  faciat  M * -t  </&*>&  C b fariar  me 

C E factet  A D ( td  eft,breuior  linea  elemetaris  quartae) 

faciet*/^3  2.Vnde  a e fadetA.yfcjx-f- 4:&e  b faciet 
— 4*Etfunt  quidem ae&eb  lineae Jrefpondentes pro- 
poiitioni  noftrar  atep  fupcriori,quae  r eqUirit  inuentionem  hu- 
iufmodi  linearum:  fiuntop  hoc  modo  multa, imo  innumera  ex 0 
empIa.Sed  ifta  inuentio  non  e(l  conflans  & perpetua,  ut  iam 
oftendam  iequenti  exemplo. 

Recipiatur  enim  pro  a c y^i-4-f-y^x4(refpqndentaut5; 
particulaey%%j-4  8iy^x4^»pofltioni  Campani  xy.ideft.fextae 
capitis  1 8,  arque  ut  hae  duae,y%fc8,&VfcV  x,quaefunt  particulae 
exempli  proximi  fuperioris&c. ) fli  pro  C B recipienda  uepit 
y%%j-4 — y%%i4,atcpitapro  A D C id  eft,  breuiore  linea  exem« 
pU  elementaris  quartae)  proueniet  cum  pro  c e ( id  eft, 1 

medio  proportionali  inter  a C & c b ) proueniat  6 . Itacg 

AHfaciety%.y%x.itf-4- i x;afBB,y%,y%xid — M faciet, 

Z rj  Sed 


Arithhjticab  Liber  Y3.  1*4 

6 Vc  fi  ad  lineam  compofitam  ex  b h-&  fg(  figurae  prima 
propoflrionis  capitis  huius)  inuenianturduaeillae,  prima  A b, 
lecudax  B.Djuel  illa  prima  B c,&.'illa  fecuda  abd  duplicata &c, 

Propofitio  capitis  huius  ultima, quae  eft  apud 
Campanum  63. 

f&t  aliqua  tinea  comcnfurabilie  fuerit  litiec  poteri  ronaU 
jrt  met>ialcaipfa  comprobatur  effe  potene  ronale  et  ntebialc* ; 

V t data  linea  potente  rationale  & medialc,erit  etiam  potes 
rationa Ic  &C mediale»  cius  pars  dimidia, pars  tertia , quarta, 
quinta  frc.  Item  eius  dupla , tripla , quadrupla,quintupla  &c* 

|tem  partis  eius  tertiae, dupla, tripla  &c,  f 

• • * 

Docet  igitur  haec  propofitio  cx  una  linea  fpec/ei  huius  ior* 
mare  infinitas  lineas  eiuidem  fpeciei,uiddicet  per  multiplica# 
donem  uel  per  diuifionem. 

1':  r ;cO  ' 

De  propofitionibus  tranantibus  lineas  irratio#  a 
nahs  feptimap  fpeciei,quac  funtpotentes 
duo  medialia.Cap.xxri, 

init  haec  fpecies  linearum  potentium  duo  me# 
dialia,fpecics  linearum  compofitarum.  Diuida# 
tur'qj  fpecicshaccin  duasfubfpccies,quemadmo« 
dum  illa  fuperior,  de  qua  dixi  in  capite  pcedenti* 
T Primo  enim  iiint  quaedam  lineae  potetes  duo 
medialia}quae  reioluuntur  in  partes  compofitionis  iuae»  ita  ut 
longior  earum  maneat  fubbac  fpecie,  ut  linea  numeri  huius  . 

f- Al  *,refoluit  in  /fcVfc  i4-f-Vfc6  &C  — J%6: 

manet  autem  longior  (id  eft,,/* . »4 ) fub  hac  fpecie, 

id  eft,  etiam  eft  potens  duo  medialia, 

T Secundo  funt  quaedam  lineae  potetes  duo  medialia , qu* 
refoluuntur  ia  parte*  compofitioni*  fuar, quarum  longior  non 

. maneat 


• 1:  MlCHAEtrS  STfffiLII 

mantat  fubfpecie  hac,led  tranieaf  ad  fpeciem  praecedentis  cj# 
pitfs:  ut  i-  </*ffitefoIuitur  in ,/% . </*  1 7 3 , & in »/%, 

\ ,7_  j.Tranfli  aut  longior  haru  partium  ( *i.«/W%  <7-h  5> 
in  fpeciem  potentium  rationale  & mediale, ut  fatis  uides. 

Propofitio  capitis  huius  prima, quae  eft  apud  Camp.29. 
FTDuae  lineae  inuenire  potentia  fncommenfurabilee,fu* 
ptrfttiemcp  mehialem  continente* , quarum  qoabrata  paris 
ter  accepta  ftnt  mebiale,  incommenfurabilc  buplo  fupcrflcief 

vniue  linee  in  alteram*  . ..  * 

Hoc  eft,inuenire  lineas  duas,  componentes  lineam  potente 
duo  medialia,queadmodfl  proxima  lcquens  ^politio  docebit. 

De  modo  autem  inueniendi  lineas,quales  harc  propofitio 
defcribit.fimilia  dicenda  ueniunt  rjs  quae  didla  funt  circa  duaa 
propofifiones  capitis  pracedenris  priores.Necp  enim  hoc  loco 
conftans  eft  Campani  fiC  aliorum  ratio  inueniendi  lineas  tales 
per  propofitionem  capitis  1 9 quintam,  quar  eft  apud  Campa# 
nmn  26 : quod  iterum  uolo  oftendere  exemplis* 


ArithmrtiCjab  Liber  ir. 

‘ Vt £C,A  cs ^ 1 8 ti™ 8 (CCrte ^l8& 8 reipondent 
propofit/oni  illi  prardirta)  erit  cb/*%,8  — ^ & £ e faciet 

a Dbreu/or  (tota  eleraerarem  qnartam)facietA*2  2 
Itac^  a e &der  Ay%7»-f-^8,&  1 B facietyw*7*- JE? 
Ha:  linea:,  recfie  quidem  ioxta  Campani  traditionem  compo* 
nunt  potentem  duo  medialia, hanc  y*V*288-Ww 
Sed  fl  pro  a C recipias  4*5-4  & 4*6,quae  etia m refpondenc 
pradictae  propofitioni  z<J  Campani.faciet  C b ,/W4_ 

& c e faciet  A*4  (di  A T>J\96)  faciefq*  a e 4.4  x 
6C  E B faciet  4-4 2 ^—^2. Sed  ha  partes  no  refpondet  pro 
polition1  pra  lenti . Non  enim  componunt  potentem  duome 
dialia,fed  componunt  potentem  rationale  & mediale ; uideli* 
cet  hanc  componunt  4 . As^-f-a*  Itacp  non  eft  conflans 
<nuentio,quar  docetur  per  dementarem  quartam,  dum  recipf- 
untur  pro  a c linea  propofitionis,quae  apud  Campanti  eft  i6i 
' Lit  igitur  alms  modus  inuentionis  huius  ponendus, 
qui  nuncf;  fallat  .ut  ex  iiiperiori  figura  lolio  181  patet. 
Recipe  pro  B c lineam  aliquam  medialem.  Vt  fi  b c faciat 
A%4*Maciet  b a 4%7^8  .ed  quod  a B fit  dupla  ad  B c i & faciet 
B D Jte  ,106.  Itacp  b h faciet  4 • 4*4©-f-A48 , & G F , A. 
Ai4o  — A48.  Et  illa  duae  lineat  funt, quales  requirit  propoff 
tio  noftra  prarfens.Rationemautem,cur  figura  illa  non  pofllc 
fallere.li  bc  fit  linea  medialis.facilecoll/gerepoterisex  risqu* 
diaa  funt  capite  fuper/ori, circa  propofitionem 4 capitis  illius, 
Numeri  reliquarum  linearum.  • 

BG  facit  A&48»  GEfac/r  4*1200 —4*43.  • 

Ha  dua  linea  inter  fe  multiplicatae,  faciunt  quadratum  ipfiu* 
G F.id  eft,brcu/or<s  inter  eas,quaspropofitio  noftra  requirit. 
Vides  antem  & hic  mox, ut  producta  linea  ponat  longiorem 
quae  poflit  duo  medialia  neceftarfo . Longior  autem  illa  etiam 
eft  medium  proportionale  inter  g b d & b C.Linea  uero  com 
polita  ex  duabus  inuemis,id  eft, ex  B h & g F.eft  medium  pro 
poruonalc  inter  abd&a  B,utfuperiusetia  fignificatum  eft. 

V • aa  Vt 


MlCHABltS  STITBLIt 

Vt  hac  ratione  facile  uideas  oportere  neceffarlo,I/nc5  fic  com 
pofita  fub  talibus  numerispofle  duo  medialia.  Et  hoccft  quod 
dixi, te  hac  figura  non  polle  decipi. 

Vide  ulterius. 

B i facit*/**  75"W%%  3 • & » A facit */%*i43  —JW7T* 

Hac  duae  inter  fe  multiplicatae,faciiint  quadratum  lineae  H i« 
Cuius  quadratum  additum  ad  qoadratum  lineae  b i* facit  qua- 
dratum lineae  B H. 

Propofitio  capitis  huius  fecunda,  quae  apud  ' * 
Campanum  eft  3 jv 

V (Tum  cottiutictc  fuerint  bue  linee  potentialiter  incomen* 
forabiles,  fuperfictemcpmebialem  continentes,  quarum  aitt 
bo  quabrara  pariter  accepta  ftnt  mcbiale  incommenfurabtle 
buplo  fup crftciei  contentae  fub  lineis  illis » tota  linea  copoftta 
er  illis  ent  irraticnalte.bicetuifcg  Potens  buo  mcbialia» 

T alium  autem  linearum  quaedam  conftituut  potentem  duo 
medialia  fub  Qxcie  priore : & illaru  lineae  numeri  flciuenlunf. 

Recipe  duos  numeros  non  quadratos,  qui  addiriadie,faj 
cfant  numerum  rion quadratum, itaq?  radicem  aggregati  illius 
adde  ad  radicem  alterius  receptorum, & radix  illius  aggregati 
erit  linea  longior,  qua  data  facile  dabis  brcuiorem.V 1 6 & S, 
faciunt  1 4.1tacp %/* .V*  14  -f-  */%  8 , & »/% V*  14 — »/*  8 , compo- 
nunt potentem  duo  medialiafub  fpecie  prima, uidelicet  */*. 
»/*  y ^ — f— */*  14*  _ 

F Deinde  quaedam  lineae  tales , quales  defaibit  propofitio 
haec  praeiens , componunt  potentem  duo  medialia  fub  fpecie 
poficriorc.E  t illarum  linearum  numeri  fic  inueniuntur. 

Recipe  numerum  quadratum,  & numerum  no  quadratum, 
qui  additi  ad  ie,faciant  numerum  non  quadratum . Et  radicem 
aggregati  illius  adde  ad  radicem  illius  recepti  qui  eft  quadra* 
tus, & fic  radix  quadrata  illius  aggregati,  erit  linea  logior,  qua 
pofita,facile  dabis  (iram  breuiorem.  Vt  9 SC  8, faciunt  i7*ltacji 
17-t-  3 /W*i7 — 3, componunt  potentem  duo  me* 

dialia 


1 


Arithmeticae  Liber  ii,  tSf 
dialia  fub  fpecie  fccunda.uidelicet  hanc,*/*.  J%68  -4-^3  u 

Figura  autem  defcriptionis  talium  linearum  * 
componentium  potentem  duo  media 

lia  fub  priore  fpecie,eft  haec,  * 

/*V**4— SiH-  J&JiHi-Ai  4. 


•t* 

M 

I 

t 


et* 

£ 

$ 

* 


A»4 

« . # • 

J%\% 

■* 

. /*!• 

. . A 

, - • • **--*•• 

r'  .•  ’ /.*  * 

» 

V ides  certe  %/fcV fc*4-f-V%  1 4,  14 — 1 4,efle  po  ten 

tia  incomenfurabiles.Deinde  uides,ut  contineant  fuperficiem 
,/fc  10. Tertio  uides.ut  quadrata  pariter  acccpra.ideft,/^ »4  -f-  * 
Ji  i4,&  /ii4 — /*  i4»racian  tS&6.  Et  fit  incommen*- 

furabile  ipfi  1 o : item  duplo  eius,uidelicct  /$40. 

Sequitur  figura  linearum  componentium  lineam  , 
pofterioris  fpeciei  potentium  duo  medialia. 

•• 

aa  i| 


MlCHAlLlS  STIFEHI 


3-  A- 3. 


^3*— 1 

\ 

« # 'y  \ 

* 

h »3 

. ' .•  < 

\ \ *.  ■ * 
\ . ‘ - . 

4 

' ..  '/  ' 

Hac  propofit/one  uidemus  fatis  clare , ut  Euclides  potHft* 
mum  refpexerlt  In  numeros,  quantumcunqp  illud  diffimulent 
illi.qui  Commentarios  fcrlpferunt  fuper  propofitioneseius. 
Cur  enim  In  propofitlonibus  fimilibus,  fuperlorum  duarum 
fpec!erum,uide!lcef  linearum  maiorum,  & linearum  potentia 
rationale  & mediale , non  dixit  fimllla , cum  Hiat  utlcp  flmllla 
# 'requirant  ? Refpondeo.  In  llneis.mafores  lineas  componenti- 
bus,non  metuendum  eft  hoc  quodhacpropofitlone  Euclides 
monet  efte  caucndum.neq?  In  lineis  componentibus  lineas  po 
tentes  rationale  8C  mcdlale.Nam  in  Illis  altera  pars  eft  ratlona 
Iis  numerus, altera  eft  medialis  quadrate . Quis  hic  monitione 
indiget? At  ubi  utcrcp  numerorum  eft  medialis  quadrate,  acci* 


Arithmeticae  Liber  it,  j$7 

ditbp  ut  tales  aliquado  fint  commenfurabiles,  aliquando  uero 
fint  incommcnfurabiles,  r ede  monet  Euclides  commenfurabi 
les  elTccauendos,ne  uiddicet  pro  linea  potente  duo  medialia 
ponatur  linea  medialis, 

Propofitio  capitis  huius  teitia,quae  apud 
Campanam  e(i  4 (• 

F^inea  potens  buo  mebiah  a , neq  uit  biuibi  in  buas  alias 
lineae  fuG  termino  earum  er  quibus  coiuncta  efl,fcb  in  buas 
tantummobo  fuae  er  quibue  componitur  eft  biuififlilis. 

Vt  A.  d*  $-6- f-y*  14,  Colum  modo  diuiditur  in  14-f— 

d$8,& >4 — %/fc3,fub  termino  illo  qui  dcicribitur  per  pro 
politiones  fuperiores  capitis  huias, 

Sic^Vi68-»-y%3  z jo Ium  diuiditur  in  has le componeres 
dfc.yfci7-f-j»8i^fc.dfcf7 — 3 .Hac  folae  funt  partes  compofl- 
cionis  fuar , quales  deferibuntur  per  propoli tiones  fuperiores 
capitis  huius, 

Propolitio  cApitis  huius  quarta, quae  apud 
Campanum  elt  3*3» 

F’  0i  fuerit  fuperftciee  linea  rationali  binomio'cg  ferto 
contenta,  linea  quae  ineam  potefl  efl  irrationalia  »bicitnr'<p 
potens  buo  mcbialia. 

Circa  hanc  propolitionem  facile  intelliges  omnia  illa  quae 
dida  funt  circa  quartam  propolitionem  fuperioriscapitis,hoc 
loco  in  limilibus  poflfe  repeti  &c.  Itaq?  li  numerus  lineae  bino* 
mial/s  iextae  fuerit  multiplicatus  per  numeru  rationalem  que* 
cuncg, radix  quadrata  produdi  illius  erit  numerus  lineae  poten 
tis  duo  medialia.  Sic  etiam  medium  proportionale,  inter  duo 
latera  continentia  iuperffciem  binomialem  iratam,  (i  alteram 
eorum  fuerit  in  longitudine  rationaIe,erit  /pium  medium  pro- 
portionale linea  potens  duo  medialia. 

Propolitio  capitis  huius  qufnta,quae  apud 
Campanum  eft^, 

r Quoties  abiuncta  fuerit  linee  in  (ongitubinc  rationali 

aa  iij  fupers 


' • MrCHAELIS  STIFEtir  w 

fuperf?dcorcctangula,cquali0  quabrato  linee  potentiebas 
mcbialta,erit  ciufbcfupctficici  latue  fectfm.binomifi  fejmmtv 

Hoc  eft, numerus  lineae  potetis  duo  medialia,mult/plicatui 
primo  in  fe,  deinde  producum  diuifum  pernumera  aliquem 
rationalem, nihil  aliud  producit  cjj  numerum  binomialis  foeti. 
Reliqua  circa  hanc  propofitionem  dicenda , pete  ex  fuperiorff 
capitum  propofitionibus  fimilibus, 

Propofitio  capitis  huius  ultima, quae  apud 
Campanum  eft  64, 

FCDoelibet  linea  comenfurabtlid  potenti  buo  mebialia, 
ipfa  quoque  eft  potetie  buo  mcbialia. 

Hoc  eft  ,pofito  numero  lineae  potentis  duo  medialia,»  nume 
rus  ille  multiplicet  aliquo  numero  rationali  integro  uel  frado. 
iemper  producitur  numerus  potentis  duo  medialia.Idem  fit  fl 
pofitus  numerus  ille  diuidatur  per  numerum  aliquem  rationa 
lem  integrum  uel  fradum. Reliqua  pete  ex  ultimis  propofitio» 
nibus  fuperiorum  capitum, 

Dc  propofitionibus  tradantibus  refidua 
binomialia,quac  eft  fpccies  odaua 
irrationalium  linearum. 

Caput  xxi  1 u 

jySWBI  INITIS  fpeciebus  compofitarum  linearum, (e 
SII  quuntur  iam  fpcciesTanquamcornpofitarum* 

Sjlf]  feu  Decompofi tarum  linearum:  quarum  fpecies 

lg|xH^  prima, eft  odaua  fpecies  irrationalium  linearu. 

Dicuntur  autem  Decompofitar,  eo  quod  ex  cora 
pofitis  oriantur , unica  mutatione  fada  figni  additorum  in  fi- 
gnum  fubtradorum.ut  ex  propofitionibus  fequentibus  quili- 
bet ficile  uidere  poterit, Licet  autem  hac  mutatione  figni  in  fi- 
gjnum  alterum/nute  tur  fimu)  fpecies  in  fpeciem  altera  m.tame 
, Graili* 


mr  •w' 


Arithmstica»  Liber  n.  1 8$ 


fimil/tudo  quocdS  prioris  fpedci  remanet  in  fpecic  noua.adeo 
«it  totum  negotium  fequentium  ipederum  hac  unica  propofi» 
tione  compleri  uideatur. 

* V (Dualiacunc#  efficiunt  aut  poffont  lineae  compofitar» 
talia  efficiunt  et  poffunt  hecompo|ttx  earum. 

• Sed  tamen  fingulac  fpecies  decompofitarum  linearum  nihl*» 
lominus  per  propofitiones  fuas.fuo  ordine  tradandx  funt.ne 
tot  propofitiones  ab  Eudidepofitas  cotemnere  uidear.Harum 
igitur  fpecierum  prima  continet  refidua  binomialia,  de  qua 
(pecie  ponuntur  propofitiones  fimilestjs,  quae  de  binomijs  po* 
Ctac  funtjUt  uidebimus. 

Propofitio  prima  capitis  huius ,q  apud  Campa.eR  68,  . 

. r0i  linea  be  line  a aSfcmbatur,  fu  emite#  amberationa* 
(es  .potentia  tantum  coimnfurabiUe , reliqua  linea  erit  ttra- 
tionalw.biceturqj  refibuum* 

. Repetit  haec  propofitio  binomiorum  defcriptionem.ut  figni 
Hcet  refidua  ortum  habere  ex  binomijs . Rede  igitur  uocantur 
Refidua  binomialia,  Vt  fi  ponatur  quadratu  coite  rationalis. 


i 


* 


. V 

N 


1 


i : -Michaelis  Stifelit 

fonc  cofta  recepta  cum  diametro  faciet  binomidrti : at  (7  cofta 
fuerit  abfcifa  de  diametro  .tunc  remanens linea  erit  refiduum 
binomiale.  Vt  fi  cofta  A B fecerit  i z,faciet  diameter  a d y%i88t 
abfcifa  autem  a b de  a d, relinquit  c D refiduum  faciens^iSS 
— iz.Sicenimpofirohocbinomio/%288-f-  iz.fi  iz  fubtra* 
batur  de  particula  reliqua  maiore, relinquitur  »/fci38 — i z. 

Propofitio  fecunda  capitis  huius,quaeapud 
Campanum  eft  74. 

FHuUa  linea  tiffi  tantum  vna  poteff  coniungi  rcfibuo,vt 
ftnt  ambe  fub  termino  carum, que  erant  ante  feparationem. 

Vt  poflta  hac  linea  C d (ficut  uidcs  in  figura  iam  data;  quae 
facit  y^z  88  — ' ix/adafcpeft  pery%288  6i  1 z,quarum  particu 
larum  terminus  defcribitur  i propofitioe  prarccdenti.uidcliccK 
q>  fit  confideratio  duarum  linearum  rationalium.potentia  taU 
tum  commeniurabilium.Vna  tantummodo  poteft  linea  con- 
fungi eidem  C D.uidelicet  A c.ut  fint  ambar, illae  uidelicet,quae 
crantante  feparationem, id  eft,AB& AD.feu  iz&y%288# 
lllar,inqua,  iiint  fub  termino  defcripto.Et  fub  eodem  termino 
flint  a c & a D.Videsenim  ut  ante  feparationem  fuerit  A D, 
feuy&288,tanquam  linea  i qua  debuit  fieri  feparatio  aliqua, 
& a B ( feu  1 z ) tanquam  id  quod  debuit  feparari  de  a d,  feu 
de  y%z88,&  ambar  erant  fub  termino  defcripto  a propofitionc 
fuperiore.Poft  feparationem  autem  fartam.remafit  linea  C D, 
feu y%  2 8 S — iz.Etimpoffibile  eftutipfi  CDpofiitconiungi 
diredfe  alia  linea  .prarter  ac  ieu  1 a, ita  ut  illud  quod  fit  ex  addi# 
tione  (ut  eft  a D.fcu  y%  2S  8)  cum  eo  quod  additur  feu  coniungi 
tur(uf  eft  A C feu  1 2)  Iit  fubeodcm  termino  defcripto  i propo 
firione  fuperiore.Poteft  criimy^2S  8 — • 1 2,diuidi/ny$72  —6 
& y%  7 2 — 6.  Sed  illar  dux  partes  n5  funt  rationales.necg  funt 
potentia  tantum  commenfurabiles  SCc. 

Sequuntur  definitiones  Refiduorunv 

Cum  refidua  binomialia  fequantur  naturam  6 C fimilitudine 
binomiorum,  ideo  fubdiuidttur  etiam  fpectcs  rcfiduoi u,in  fex 
i : : > fpccics 


Arithmeticae  Liber  ii. 

fpedcs,quarii  definitiones  traditas  nobis , flueab  Euclide  fiue 
(ut  puto)  i Theone, uolo  ponere  a tep  exponere. 


pofittebtjabaeltiiefojflltcrdMtbnalttri  longttubine  (uc 
c i,fi  freiat  4 ) altera  refibuo  (ut  BC,fl  fodat  6— % 3 x)  abie- 
aa'cp  fit  ipfi  refibuo  alia  linea  (ut  a d fi  foc/at  3 1)  feconMi 
eius  terminum  ( id  eft , quae  addita  refiduo  illi  poflto.compo- 
nat  lineam,quar,aim  adieda,fit  fub  termino  deCcripto,  i pro- 
politione  capitis  buius  prima,ut  mox  fequetur  ) fi  fuerit  totu 
compofittim uidelicet cxb  c&ad, faciens  DC.ideii <J)do- 
tentius  linea  abiecra(fcilicet  dc  poteft  a d poteft  3 2, ut 

d c lir  potentior  quim  a d,  quantum  poteft  linea  numeri  hu- 
ius 1)  in  qtubrato  linee  commenfurabifie  ipfi  toti  tn  longim 
bme  (ut  linea  numeri huius  x,commenfurabiHs  eft  tot/compo 
fitar.uideltcct  ipf?  d c facienti  6 in  longitudine, cum  utrae»  ea- 
rum Iit  rationalis  in  longitudine,  quales  oportet  efle  longitu- 
dine comme  forabiles)  et  fi  fueritibem  totum  (id  eft  D c icu  6) 
commenfurabile  iulongitiibine.pofitc  linee  in  loiiairubine 
rationali  (ut  citpofitac  i,fociens4)quobpefituerat(.i.  bc) 
cicetur  refiouum  primum. 

Hoc  cft,pofito  binomio  primo,!?  pro  figno  hoc  •+*  pofueris 
lignum  hoc—  ,quodpofitum  fuerat  dicetur  refiduu  primum. 

bb  Vel 


19* 


Aliquando  fatus  tetragonicum  tale  eft  t e fiduutn  quartum* 
ut  fi  ° l fac/at  i o — A l r faciat  6 faciet  l s.  6 — Aii 

refiduum  quartum* 

Aliquando  fatus  tale  tetragon/cam  eft  refiduum  qufntum: 
ut  fi  ° l faciat  6 — 3 z , & l r faciat  8,tunc  L s fcciet  A * * 
— 4 reuduum  quintum. 

Aliquando  fatus  tale  tctragonfcum  eft  refiduum  fextum: 

' ut  fi  ° l faciat  6 — A*7 L R faciat  8,tunc  ls  faciet  hoc rcf! 
auum  fextum  6 — A » a* 

Propofitio  capitis  hu/us  quinta,  quar  apud 
Campanum  ^z, 

re,  at,  (tacmi  rartomtkm  «ppli«ror  fupfrficK*  rauaff» 
• ‘)U‘i?>r«torf)it!ui,aIt(tumlittu«n(C(ffario  eflrcfTPimprmiii. 

bb  «j  Haec 


Arithmeticae 


Liber 

J*1 


! MlCHAELlS  SriFELII  . 

1 v • 

Hxc  eft  conuerfa  fu  per  i oris. 

Vt  fi  fuperfides  ^.faciat  r6—J%i88o ,&  tantum  etiam  fa# 
da  t fuper  fides  i ,fad a t a ut  L R 4 , tunc  o L faciet  14—^180. 
Eft  autem  fupcrficies^ (faciens  areafuay* — /fc  z8So)qua* 
dratum  refidui  L s,facicntis  6 — %/*ao,ideo  neceifeeft  o Lcfle 
refiduum  primum. 

Item  fi  ls  fecerit  fua  longitudine  A4  8 — 6,&  L R faciat  6t 
tunc  o L faciet  14 — 19  t.idfcpneccftario  erit  refiduum  pri- 
mum.  Vnde  neceflfe  eft.ut «/%  4 8 — 6 in  femultiplicata.idcm  fa 
dat  quod  i4-rAi9I*n^  multiplicata. 

Sequitur  ex  his.quodlibet  refiduum  (cuiufcuncp  fit  fpeciei  > 
fi  in  fe  multiplicetur, facere  refiduu  primum.  Vt  74—  J\  jo 

In  (e  fadt84 — »/$6480,  quodeft  refiduum primu  necclfario. 
Quodfi  diuidatur  per  numerum  aliquem  rationalem , neceflc 
eft  producum  etiam  facere  refiduum  primum,  ut  patet  ex  pro 
politione  fequenti.  Et  fic  de  aliis. 

Propofitio  capitis  huius  ultima, quae  apud 
Campanum  eft  98, 

rCDuelibct linea  refibuo  commenfurabilie.ipfa  quoque 
in  termino  et  orbitie  eft  ibem  rrffouum. 

Vt  quia  84 — Jtf+So  eft  refiduum , cui  conuenit  particula 
defcriptionishacc,  qua  in  definitione  dicitur,quod  totum  com 
pofitum  fit  potentius  linea  adieda  in  quadrato  lineae  commen 
furabilis  ipfi  toti  in  Iongirudine.conuenieteriam  huic  14—%/% 
, so.eo  quod  fit  ei  commenfurabilis . Neceflario  igitur  ambo 
Illa  refidua  erut  fub  eodem  ordine,  atep  etiam  fub  eadem  fpccic 

refiduorum.  Et  Gc  de  alqs, 

. ' De 


Arithmeticae  Liber  tu  ip0 

bat  feparatio  fueiit  rationalis  in  longitudine,  dicetur  refi*  • 
duum  quartum.  » 

Quinta  definitio. 

/ Pofitt» buabuelineie,  altera  rationali , alrera  reftbuo  ( ut 
C i faciens  4 ,&  b c faciens  /fc  1 1 — i)  abiectacp  fit  ipfi  reftbuo. 
alia  linea  fecuiibuni  terminum  eius  (ut  a d faciens  x)  fi  fue< 
rit  totum  compofuum  poreiittuo  linea  abiecta  ( id  cft,  d c % 
fit  a D)  in  quadrato  liuee  incommenfurabiha  ipft  toti  tn  lon« 
gitubiue,  et  linea  a&iuncta  (ideft,  a d ) commenfurabilia  f?t 
in  longitubine  ipfi  pofice  rationali  (id  eft.c  o vocabitur  reft* 
buum  quintum. 

Sexta  definitio. 

pofitio  buabua  lineie, altera  rationali  infongitubine,alte 
ra  reftbuoC  ut  c i faciens  4 ,&  b c faciens  1 z— A^)abi«ctac^ 

fit  ipfi  refibuo  alia  linea  fccunbunt  terminum  ciu*  (ut  a d fa« 
ciens  %/&6)  fi  fuerit  torum  compofitum  (ideft,  d Opotentiua 
quam  fit  linea  abiecta  (ideft,  ad)  in  quabrato  linee  incom* 
tiienfurabilid  ipfi  toti  in  longitubine.fuerttqj  vtracp  ( id  eft, 

A d & d c)  incommenfurabilie  in  longitubine  ipfi  pofite  ra- 
tiouali(ideft,c  1)  appellatur  refibuumfejrtum. 

Propofitiocapitis  huius  rertia,quafexfant 
in  unam  conflatae. 

P^nuenire  refibuum  primum,  fecunbum.tertium.quar- 
tum, quintum, aut  fejrtum. 

Polito  binomio  primo,  fi  pro  figno additorum  potueris  ff- 
cnum  fubtracftorum.tunc  per  binomiumprimum  inucniftire* 
fiduumprimum.Vt  per  hoc  binomium  primum 6-i-S%iz  in- 

uenies  hocrefiduum  primum  6 — »/^32. 

Sic  per  hoc  binomium  fecundum  1 8-f-  4,inuenies  hoc  re 
fiduu  m fecundum  1 8 — 4, 

Sic  per  hoc  binomium  tertium  -f-  /^48,  inuenies  hoc 
reliduum  tertium  J^o — ^48. 

Sic  per  hoc  binomium  quartum  tf-f-%/fcj-.inuenies  hoc  refti 
duum  quartum  6 — bb  q 


Arithmeticas  Liber  ii* 


J5>1 

Depropofitionibus  tranantibus  rcfidua  bime- 
dialia  prima  ,hacc  conftituuntfpeciem 
irrationalium  linearum  nonam,  1 ' 

Caput  xxiiii* 


Mnia  illa  quae  de  lineis  bime  dialibus  difla  funt 
cap.  i8.Iibrihuius,atcgcap.  19.  hoc  capite  atque 
iequenti  repeti  poiTent, quemadmodum  omnia 
quae  cap.  t7.ditfa  funt,  potuiflent  repeti  capite 
praecedenti  &c.  Remittendus  eft  fgit  ledor  illuc, 
ne  eadem  faepius  repetere  cogar  , 8t'  utbreuis  tranfeurfusper 
propofitiones  linearum  decompofitarum  fuflficiaf.Hoc  tamen 
non  eftobmittendum,  lineas. uidelicet  refiduales  bimediales 
primas,fubdiuidi  in  daas  ipecies,  uidelicet  in  fpeciem  primaru 
priorem,^  in  fpeciem  primarum  pofteriorem.  Sed  quia  inuen 
tio  huiufmodi  refidualium  fit  per  bimediales  primas,ita  ut  per 
bimedialesprimas  prioris  fpcciei , fiant  refiduales  bimediales 
prima:  prioris  fpecieiA  per  bimediales  primas  pofterioris  fpe 
cici,  fiant  refidualesbimediales  primae  pofterioris  fpcciei,  uide 
licet  per  mutationem  fign i additorum  in  fignum  fubtradorn. 
ideo  fufticit  fi  de  utracp  fubfpecie  ponatur  exemplum  unum 
atque  alterum. 

Exemplum  prioris  fubfpedei  primarum 
refidualium  bimcdialium* 

Jvk  648 — Afc  s 1 *■  >fit  ex  y%i6  48  -f-  r 1 *. 

Itemy^zj-pz — ^1048, fit  per  7^1048* 


Exemplum  pofteriorisfubfpeciei  primarum 
refidualium  bimedialium. 


Afci88 — Afc7*,fftpcry*%z88-f-/?&7*< 

I tem  ^43  x — y^S.fit  ex  v/^43 1 -f-^48  Ac* 

Propo- 


1 • Michaelis  Stipelif 

.Propofitio  prima  capitis  huius, qu*  apud 
Campanum  cft  6?t 

F0i  fuerit  linea  be  linea  abfci|a,fuertnt'qj  ambe  meMalee 
potentia  tamam  comtnfurabtl<0,fupcrftricm'c£  rationalem 
contincteo .relicta  linea  erit  irrationalia»  biceturc^  rcfibaun* 

Ittebiale  primum.  „ ,,  j 

In  numerisfacile  eft  inuenirc  talia  media!ta,quibus  conue* 

niat  deferiptio  illa, quam  propoiitio  harc  refert. Scilicet  polito 
numero  aliquo  zenfizcnfico,  diuide  ipfum  per  numerum  ali# 
quem  numerantem  eundem  zenfizenficum.  Recepto  igitur  di 
uifore  illo,  pnrpone  ill/frgnumzenfizenficum , tunc  habebis 
mediale  unum.  Alterum  dabit  tibiquotiens  diuifionisillius, 
recepto  figno  zenfizeniico.Vt  dato  zenfizenfico  hoc » i a 9 6* 
diuide  eum  per  72 , tunc  quot  iens  erit  1 8:  iracp  Ai?*>  6i  Ai  18 
erunt  medialia , qualia  requirit  & dcfcnbit  propofitio  harc. 
Jam  fi  alterum  ab  altero  fuerit  abfeifum,  remanebit  Ai7  » — 
JWl  * 8, quod  eil  refiduu  bimediale  primum. Quod  enim  Ai7  * 
r8  fint  potentia  tantum  commenfurabiles,  poteris  diui* 
fione  unius  per  alterum  explorare.  Deinde  quod  rationalem 
fupcrfldem  contineant,  poteris  cognofcere  ex  multiplicatione 
eorum  inter  fe.Scilicet,diuifio  unius  per  alccrO,facit  A*:*nultf 
plica  tio  uero  facit  6, 

Propofitio  Capitis  huius  fecunda,quar  apud 
Campanum  eft  7 J-. 

THulla  linea, nift  tina  tanta,  refibuo  mcbiali  primo, cotw 
fungi  poteff,  vt  fint  ambe  fub  termino  earum, que  erant  ante 

^ *Vr pofito hoc refiduo bimediali primo, Ai7 » — Ai » 8 nihil 
ei  coniungi  poteft  fub  hac  coditione.ut  hoc  quod  addi  tur  ,cum 
illo  quod  ex  additione  illa  fit,  habeat  illam  dcfcriptioncm,qua 
habebant  duo  illa  ex  quibus  fatflum  eft  reflduum  bimediale  pri 
mum,perieparationeunius  ab  altero,  Vt  fi  addatur  Ai' 8 ad 

Ai7*— Ai  1 8, tunc  fit  Ai  7 a*  Habent  igitur  Ai ' 8 &Ai7 1 

de  feri* 


Arithmeticas  Liber  i i. 


defcriptionem  termini  i propofitione  hac  defcr/p  tf,&  eandem 
defcriptionem  habebant  ante  feparatlonem  unius  abaftero, 
Propofitio  capitis  huius  tertia,  qua:  apud 
Campanum  eft  87. 

F 0!  fuperftcieo  aliqua, rationali  linea  in  lonqitubine  reft 
buofcg  fecunbo  contineatur,  linea  in  eanbem  fuperficieni  po* 
tene  erit  refibuum  mebiale  primum. 

Sententia  eft : Superficiei  refidualisbinomialitcr.quadrata 
radix.necefifario  eft  refiduum  bimcdiale  primum. 

Docet  igitur  propofitio  hacc  refidua  bimedialia  pr/ma  inue 
nire  alio  modo, ab  eo  quem  docuit  propofitionecapitishuiuj 
prima.  Scilicet»/*  162 — 1 *,eft  refiduum  binomiale  fecudum. 
Quaere  radicem  eius  quadratam,  quam  fi  inuencris , inuenifti 
refiduum  bimediale  primum:  fcilicet  radix  quadrata  cx 1 6z 
— ia,facit»/**7i — »/**i8. 

Propofitio  capitishuius  quarta, quae  apud 
. Campanum  eft  93. 

F (Tum  abiucta  fuerit  fuperfictce  cqoalie  quabrato  reftbul 
ntebialift  primi  ab  lineam  rationalem  .alterum  latu»  eiue 
erit  refibuum  fecunbum» 

Hoc  eft, fi  refiduum  bimediale  primum  fuerit  in  ie  multipli* 
catum.producitur  fuperflcies  refidui  binomialis  fecundi : quae 
talis  eft,  ut  fi  contineatur  fubduabus  lineis,  quarum  altera  fit 
longitudine  rationalis , necefte  eft  reliquam  enc  refidualem  bi« 
nomialiter  fecundam . ut»/**7*  — »/**  1 8 multiplicatum  in  ie, 
facit  ii.  Hoc  autem  refiduum  binomiale  fecundum, 

fi  diuidatur  per  numerum  aliquem  rattonalero.neccfle  eft  quo* 
tientem  fieri, qui  fit  etiam  refiduum  binomiale  fecundum. 
Propofitio  capitis  huius  ultima.quae  apud 
Campanum  eft  99, 

F CDuclibet  linea  otrilibetrefibuomcbial»  commenfura- 
bilie,c(ifub  ipfiuo  termino  etorbinercfibunm  mebiale- 

V t quia  161 — %/**  1 28  ,eft  refiduum  bimedialis  primi, 

cc  prioris 


Arithmeticae  Liber  fi«  zox 

Etficex  lineis  (impliciter  rationalibus  producit  lineas  po* 
tentia  tantum  rationales,  quae  longitudine  funt  irrationales» 
Scilicet  fi  latera  continentia  fuperficiem  illam , non  habuerint 
proportionem, quam  habet  numerus  quadratus  ad  numerum 
quadratu, necefTe  eft  uc  linea  potens  fuperficiem  talcm,fit  irra 
lionalis  longitudine . Si  autem  latera  fuperficiem  rationalem 
continentia, habuerint  proportionem  numeri  quadrati  ad  nu« 
merum  quadra  tum, erit  linea  potens  fuperficiem  talem,ratio« 
nalis  in  longitudine. 

Propofirio  capitis  huius  fecunda. 

V 0i  fuerit  fuperficies  fub  lineis  rationalibus.fpccie  biffe 
ventibus  contenta, linea  potens  in  fuperficiem  illam  erit  irra 
tiona(is,bicetur'qp  mebialis- 

Vt  fi  latus  unum  faciat  latus  alterum  faciat  i z, faciet 
fuper fides  illa  43  z,  &i  latus  quadratum  illius  ( id  eft , linea 

potens  in  fuper ficiem  illam  )feu medium  proportionale  inter 
latera  illa,  faciet 4* z.  Differunt  autem  6 fpecie, 

cum  altera  (it  longitudine  rationalis,  altera  uero  fit  potentia 
tantum  rationalis. 

Propofitio  capitis  huius  tertia,  quae  apud 
Campanum  eft  6?» 

r (Tum  comuiicre  fuerint  fcue  fuperficics , quarom  alter* 
ftt  rationalis,a(cera  mcbialis.linea  potens  in  totam  fuperfi» 
cictu  illam.aliqua  erit  quatuor  irrationalium  Uncarum,  aut 
birioniialis,aut  bimebialte  prima.amlincamatorjaut  potes 
rationale  et  mebtalr» 

Scilicet  fl  duae  fuperficies  illae  ji  &C  2$  (quae  iam  fequuntur) 
fecerint  binomialem  fuperficiem  primam , erit  linea  potens  in 
eam,binomialis.Vt  fi  21  faciat  i+.SC  25faciar,/%43  z,  faciet  U- 
nea  potens  21 3,ideft,radix  eius  quadrata,binomium  fextum 
boc%/%iS-f-y^. 

Si  autem  duae  fuperficies  illae  compofuerint  fuperficiem  bU 
nomfalem  fecundam >tunc  linea  potens  in  eam,erit  bimcdialis 
■-  ce  ij  prima 


Michaelis  Stifelii 


prima.Vt  fi  ?1  kcUtJm  i,&  25  faciat  18  .facfet  linea  poten* 
J|  25  bimediale  hoc  primum  y**z 43-f-%/**i7. 

Et  fi  iuperficies  illa;  duae  compofuerint  fuperficiem  binomia 
lem  quarta, tunc  linea  potens  in  fugficiem  illa,crit  linea  maior* 
Vt  fi  71  faciat  z<f,&  25  faciat  */%  3 84, faciet  linea  potens  in  71 3 
lineam  hanc  maiorem,/'*.  24-f-  /*3  84. 

. Si  uero  fuperficics  tllae  dux  fecerint  fuperficiem  binomiale 
quinta, tunc  linea  potens  in  eam,erit  potens  mediale  & ronalc. 
Vtfi.4  faciat  */*3  84,&  25  faciat  1 6,faciet  linea  potens  in  71 25 
lineam  hanc  potentem  mediale  & rationale, y*V*j  84 -f- 16. 

Necefie autem  cft,ut  fuperficies  quadrangula rcdangula, 
<onftituta  ex  fuperficie  rationali  & mediali , componat  bino* 
mialemfuperflcicm,autprimam,autfecundam,autquartam, 
aut  quintam  , 

Propofitio  capitis  huius  quarta,quxapud 
Campanum  e(t66. 

V (fum  commicte  fuerint  huc  fuperfictee  mebicle s incottt 
-tuenfurabiledjinea  potens  in  tota  fuperficiem,erit  alterutra 
buaruni  linearum  irrattonahum»aut  fimiebialia  fecunba» 
aut  potene  buo  mehialia. 

Ratio  efl : quia  talis  fuperficies,auteft  binomialis  tertia, aut 
. binomialis  fexta . Si eft  binomialis  tertia , neceflc  eft  ut  radix 

cius 


Arithmeticae  Liber  «i  r«  20; 

cius  quadrata,faciat  bfmediale  /ecudum.Si  ucro  eft  binomialis 
fexta,necefte  eft  ut  radix  eius  quadrata  iit  potes  duo  medialia* 
Exemplum  prioris. 


Si  A fecerit  7*4 3 z,  & b fecerit  7*  3 84 , faciet  linea  potens  in 
a B hanc  lineam  bimedialem  fecundam/**  19  z-f- 7**48. 

Exemplum  pofterioris. 

Vt  17  a faciat  7*  1 9 z ,&  b faciat  7*  1 zs  .faciet  linea  potens  in 
A B 7*.7*  1 9 z -f-  7*  1 1 8 .quae  eft  potens  duo  medialia* 


Propofltio  capitis  huius  quinta}quar  apud 
Campanum  eft  103, 

r0ibefuperficierationali  fupcrfictcs  mcbiali*  ahfcirt* 
batur  .linea  potens  in  relictam  fuperficiem  erit  alterutra  bua 
rum  irrationaliunt,aut  r efibuum.aut  linea  minor. 

Quia  talis  fuperfldes  aut  eft  reftdualis  binomialis  prima, 
aut  refldualis  binomialis  quarta.  Si  eft  refidualis  binomialis 
prima, tunc  nccefleeft  radicem  eius  quadra  tam  eflerelidua  lena 
binomialcm.  Si  uero  eft  refldualis  binomialis  quarta  ,neceftc 
eft  radicem  ciusquadratam  cfle  lineam  minorem. 

Vt  (if  (3  faciat  Z4A  l£  faciat  7*43  z ,&  fubtrahatur  j£  de 
$ (3, remanebit  0 fidens  24  — 7*43  i,  cuius  radix  quadrata, 

ee  iij  id 


/ 


,t  -JflrCHAE^IS  SriFELTI  \ 


• 

i 

t 

% «. 

i 

— 

(id  cft, linea  potens  in  < 5 ) facit  A«8 — A<S,id  eft,  reliduu» 
binomiale . • ^ , a*  r , 

Si  autem  f ( 5 faciat  x+ , & £ faciat  A 384 , tunc  (5  faciet 
Z4 — 3 84  .cuius  radix  quadrata  fecit  A • 24 — «/i  3 84, quae 
eft  linea  minor. 

Propofitio  capitis  huius  fex ta, qua:  apud 
Campanum  eft  104. 

r©i  de  fupcrftcie  me^ia(t  detrahatur  fupcrftcice  rationa 
Tie,  linea  in  relictam  fuperficiem  potens , erit  alterutra  duarfi 
irrationalium  linearum.aut  refiduum  mediale  primum.aot 
componens  mediale  cum  rationali* 

Quia  talis  fuperficies.autcft  refidualis  binomialis  fecunda, 
aatrefidoalis  binomialis  quinta . Si  eft  refidualis  binomialis  fe 
eunda  .tunc  necefle  cft  .lineam  in  ipfam  potentem, efle  refiduu 
bimediale  primum  i Si  uero  fueritfuperliciesrcfidualisbino- 
mialis  quinta, tunc  linea  potens  in  eam,  erit  componens mer 
diale  cum  rationali. 

Vtf  <3  faciat  A43 (Ucut  hfcfupra'uides)&  faciat  18* 

fubtrahaturfcg  (£  de S >tuc  remanet  Ci5  faciens  A43  * — » 

cuius  radix  quadrata,id  eft  linea  potens  in  ®,  fecit 

A%  l43 A**% 

Si  autem  $ <6  fecerit  A3  84,fecerit'qj  13 1 6,8i  fubtrahat  13 
de^f®,  tunc  remanet  A 3 84 — i$,quac  eft  area  ipfius  <5. 

cuius 


'9  */*“+«!♦*/» 


Arithmeticab  Liber,  II,  196 

Et  quadrata  carum  fimul  recepta, faciunt  rationale  hoc  1 2«  . 

Si  itaqj  fubtrahas  m v (id  e.  Ia  tus  quadrati  m/nimi.i.ipfiiTs  a) 
de  v L(id  eft,de  latere  quadrati  e b f g)  id  c — y*  1 z dc 
^-f-y%iz,tunc  remanet  s l, id  eft, 7*. 12 — </196, quae 
eft  linea  minor. 

Modum  iubtracftionis  huius  habes  capite  1 1 libri  huius; 
Et  ut  rem  hanc  clarius  uideas,recipetiguramexempli  illic  po- 
fitaro,de  fubtradione  tali. 

V*  6.  %/*.  12-f—  6. 


/t-- 


#1 


It 


«** 

♦ 

M 

I 

«N 


** 

I 


ofc* 

♦ 

N 

1 

S? 


N 

♦ 


y*.*4— h 

In  illo  exemplo  fubtrahitur  E r de  F h,&  remanet  g h: facit 
auteniEF y*.u— p H facit/* eft  f h 

aequalis 


Michaexis  SriFELrr 

arqualislinear  i i.V  fdes  ergo, ut  ef&Fh  contineant  mediate 

1*3  8, Et  ut  quadrata  earum  pariter  accepta, faciant  z4.Nam 
quadratum  B F facit  » z — J\6$L quadratum  F H (id  cft,ABco> 
facit  i z-f-v/^quat  addita  ad  fe faciunt  z^&c,. 

Propofi  tio  ca  pitfs  huius  iecunda,quac  apud 
Campanum  eft  77. 

fTJulfa  linea  lineae  minori  coiungi  pote(?,vt  fub  termino 
fuo  ftant,mfi  tantum  que  ante  aflfeifionem  coniuncje&atur. 

In  tractatione  fuperioris  exempli, uidifti  ut  Sfr6  — i z fit 
fubtrada  de^.6-j-Ai  z^utremanierit^.  i z — /*5>tf.SoIa 
igitur  linea  haec,v/fc . 6 — i z,poteft  addi  lineae  huic  y%iz  — 
»/%96»utprouen/at  linea  maior,qualis  erat  ante  ieparationem. 
Atcp  ita  illud  quod  additur,  cum  illo  quod  fit  ex  additione  illa, 
funt  fub  termino  qui  deferibitur  i propofitione  praecedenti. 

Hac  aut  induuria  addes  J%.6 — i z,ad , i z — 96. 

Primo  refolue  1 z — </%  96  ( fleut  docet  caput  1 z ) tunc 
uidebisy%.^-fV%  1 z.  — z.Quantum  autem  facit 

J^.u — A96,tm  facit  etia  hoc  1 z. — tx. 

Fada  itacprefolutionc  ifta,  facile  iam  poteris  addere : fcilicet 
t z, tollit. — — */fc  1 z,ut  noftiex  fuperiorib. 
Manet  igitur  ex  additione  ifta,  J%,6  -f-  /fci  z. 

Et  fle  refoluitur  quaelibet  linea  minor,  in  lineam  maiorem 
& minorem:  ficut  quaelibet  linea  maior,  refoluitur  in  lineam 
maiorem  & minorem, mediante  tamen  flgno  additorum,ficut 
minor  refoluitur  mediante  — • 

Propofltio  capitis  huius  tertia, quae  apud 
• Campanum  eft  89. 

rei  fuerit  fuperficiee  linea  rationali  in  longitubine,refi- 
&uo'q?  qnarto  cotenta.linea  fuper  ca  poten8,erit  linea  minor. 

Vtfi  l r faciat  iz,&  o. L faciat  1 o -j— A 40(0, P faciente 
y%4°>&  PLfacicnte  10,  fle  enim  fiet  ut  o L faciat  10—^40) 
tunefubtrada  Q.Fde  p x,  remanet  o Lreflduum  quartum. 

Difpofito 


Arithmeticas  Liber 


*9  7 


1 1* 


Difpofito  itacp  medio  proportionali  teter  ol&l  R,continen 
tes  iuperffciem  i,produeitur  L S, medium  u/del/cet  proportio* 
nale  inter  ol&l  R,quod  eft  linea  potens  iupcrficiem  i , cum 
quadratum  eius  $ fit  aequale  fuperfldei  i.Fadt  autem  fupertf* 
cies  i»i2o — »/*r7*o>cumfugfidesH  ki  faciat  1 10-^^760, 
Quare  l s fac  it  A*  1 20  — Af76o:  ficut  L m fadt  A , 1 20  -f— 
A ?76o,E(i  autem  L s, (eu  L N,Iinca  minor. 


Propofitio  capitis  huius  quarta,quaeapud 
Campanum  eftpj\ 

T (Tum  abiuncta  fuerit  linee  rationali,  fuperfkie*  equalis 
quabrato linee minorie,latueeiue  fccunbum erit  re|tbuum 
quartum* 


dd  Vt 


- Michaelis  StiBeeii  *- 

Vc  lineae  l R (figurat  iam  datat)  fadenti  i x,adiunda  eft  Ctb 
perficies  i,  qaacft  atqual  is  quadrato  ^.cufus  linea  feucofta 
eft  L s,  linea  uidelicet  minor , faciens  y%.izo — Vfc  n<So.  ideo 
neceflecft  lineolam  o L efle  refiduum  binomiale  quartum. 
Sic  enim  area  fuperfidei  J,uel  i,  faciens  ixo — ^5-760, diuifa 
per  1 z , facit  10  — 40.  Eft  itacp  ,ppofitio  hatc  conuerfa  prio 

ris : ficut  enim  illa  fuperior  docet reperire lineam  L sex  o I* 
ita  h*c  rurfum  docet  inuenire  lineam  o L ex  linea  L s, 

' Propofitio  capitis  huius  ultima,quae  apud 
Campanum  eft  100. 

T0i  linea  aliqualineeminori  fit  commenfmabilte.tpfa 
quoque  erit  irnea  minor. 

Vt  cu  linea  haec,  ^.240 — /%z 3040,(11  linea  minor.necelie 
eft  hanc  partem  cius  tertiamy^.So — yfcxjdo.eftelineamml 
norcm.Item  hanc  partem  eius  quartam,yfc.d  0 — i44o,&c. 

De  lineis  componentibus  mediale  cum  rationali. 
Caput  xxvii. 

_ . _ , , . . • . - ~ • * 

videro  aliquo pofiro,qui reprarfentetl/neanr 
potentem  mediale  6C  rationaIc.fi  fignum  addito- 
rum mutetur  in  fignum  fubrradorum  ,mox  rau< 
tatam  uidebis  fpecicm , & ex  potente  mediale  8 1 
rationale, fadum  copotiens  mediale  cum  ronal/. 
Vt  flerir  numerus  ifte,  . ^48  -+-4 . reprarfentat  lineam  po* 
tentem  mediale  & tfatfonale : fic  — 4,repr2efentaf 

lineam  coqi  ponentem  mediale  cum  rationali. 

Refpicfr  aute  appellatio  ifta  linearum  huius  fpedei,poten* 
tias  earum  potius  qulm  lineasipfas.cumdequadratislinea- 
rum  uera  fit  potius  quim  de  lineis  ipfis ; fcilicet  lineae  huius 
VW%48 — 4,quadratum  eft  ^48  — 4.  Hoc,inquam,compo* 
nit  cum  hoc  rationali 4,iftud mediale  y% 48.  Nam  fi  addideris 

i7  ':h  * ‘ ei  4. 

* 


Arithmetica*  Liber  r j.  ipg 

ei 4,ufdcbis  ficti  48 . Et  (imili  ratione  potuiflent  lineae  mino 
res  appellari  Componentes  rationale  cum  mediafi,ut  notu  eft. 

Diuidirur  autem  fpedes  hacc  in  duas  fubfpecies. 

Talium  enim  linearum  quardam  iunr,quarum  quaelibet  re-# 
foluatur  in  potentem  mediale  &C  rationale, & in  componentem 
mediale  cum  rationali.Et  tales  (unt,primae  componentes  me# 
diale  cum  rationali.  Vt, ,/*.»/%  6480 — 3tf,refoluitur  in 

36. — — 3 6t 

Quaedam  uero  tales  funt,  ut  earum  quaelibet  refoluaturin 
potentem  duo  medialia,&  in  componentem  mediale  com  me 
diali.Et  illae  iimt,(ecundae  componentes  mediale  cum  mediali,  , 
V t haec,  s 64  — 24 , refoluitur  in 

f-/fc7*. — 6 — %/fc7x. 

Propofitio  capitishuius  prima, quae  apud 
Campanum  eft  71* 

F"0i  linea  be  linea  bematur.fuerintfcgambepotentialiter 
fncommcnfurabtUo/upcrficicm'^  rationalem  continentes, 
quabratafcg  earum  pariteraccepta  (int  mebiale,  linea  relicta 
«rit  ir  rat  ion  alie, bicetur^  Componens  mebtale  cum  ronali. 

V t pofita  linea  B c,  ( ficut  in  fequenti  figura  patet ) faciens 
ab  ea  fuerit  dempta  a b,  faciens 
relinquitur  linea  D c,quae  eft  irrationalis.didturbp  Compones 
mediale  cum  rationali.  Facit  enim  d c,  /$.«/$208 — 3. 

Vides  autem  deferiptionem  linearum  a B & b c egregie 
depidam  in  ipfa  figura  quadrata : fcilicet  potentiam  A B ui# 
des  efl'e  2 — potentia  B c eft  J%s  x-f-  6,  Hae  certe  po» 

tentia  iunr  incommenfurabiles. 

Deinde  uides  in  figura,  ut  a b & B C (cum  B c (it  arqualis 
ipfi  a e)  contineant  hanc  (uperficiem  rationalem  4. 

Demum  (cum.  -f-  6 QC, — 6 fe  mutuo  tollant)  uides  qua- 
drata earum  haec,  v/fcjx  -f-  2— .6, additione  fui  facere 

K>8„ 


8+3®«V*V 


MlCHAELlS  STIPELII 

. # * 1 

A pm -7« 

A 


A/ir*- 6* 


B 

i 


AAf  * — rf» 


D 


y%«rtio8 — 8. 


C 

Propofitio  capitis  huius  fecundabat  apud 
Campanum  eft?8« 

• T linea  componene  mediale  cum  rationa(i,coniun<ji  non 
potef!,nift  x>ni  tantum, vt  fub  earum  termino  fiant, que  erant 
an  re  fcparationcm* 

Vt  haec  linea  D c (in  hac  eti5flgura)fa ciens  — 8, 

quae  eft  componens  mediale  cum  rationali,folummodo  poteft 
addi  huic  lineae  a B.uel  B c/aciente  j- 1 — 6 . ita  ut  hoc 

quod  additur,cum  eo  quod  ex  additione  fu,(?nt  fub  termino  de 
feripto i propofitione  fuperiore, fubquo  termino  erant  duae 
lineae  illartqua|e  una  fubtrahebatur,uiddicet  a B,&  aItera,i,B  c, 
«a  erat  i qua  fiebat  fubtrafiio* 


Arithmeticae  Liber  ii.  jpp 

Summa  eft.  Pofito  hoc  numero  %/*.2o8  — 8,hunc  dabis  fo- 
lummodo  J\.  %/fc  yi — 6.  ita  ut  aggregatum  (quod  fit  ex  addi 
tione  amborum)  cum  VWfcpx — 6 cotineat  fuperficiem  ratio* 
nalem , & ex  additione  quadratorumeorumfiat  numerus  me* 
dialis  quadrate. 

Sic  autem  funt  addendi. 

Primo  oportet  ut  refoluas  208 — 8,ea  reiolut/one 
<Juam  docet  caput  libri  huiusduodccimum , tuncuidebis  eam 
fic  refolutam,/*  — J%J%y  2 — 6 . lam  fi  addideris 

* — 6,  tunc  fiet  ifte  numerus  J\y  a-f-6,  qui  cum  eo 

qui  addebatur,(d  eft  cum  y 1 — 6, eft  fub  termino  deferis  . 

jpto  i propofitione  prima  capitis  huius, 

Propofitio  capitis  huius  tertia, quae  apud 
Campanum  eft  90. 

^0i  fuerit  fuperftciea  linea  rationali  in  fongitubine,reft- 
buo'q^  quinto  contenta  Jatue  eiue  tetragonicumerit  (Tompo 
nens  mcbiale  cum  rationali. 

Vt  fit  fuperficies  1 (ficut  uideturin  figura  fol,  ip  7)contenta 
fub  linea  L R faciente  1 2, 6C  o L faciente /*ioo — lo.erit  L s 
<medium proportionale  inter  latera praeditfa)  cum  fit  latus 
tetragonicum  quadrati^,  aequalis  (uperficiei  1 , componens 
mediale  cum  rationali : facit  autem  L 28800 — 1 20. 

Oftendit  igitur  propofitio  haec  modum  inueniendi  Compo 
nentes  mediale  cum  mediali,alium,i  modo  illo  qui  oftenfus  eft 
propofitione  capitis  huiusprima. 

Propofitio  capitishuius  quarta, quae  apud 
Campanum  el  I96. 

^3*  lineant  rationalemabiungatur  fuperficies  equa* 
lio  quabrato  linee  confliturutis  mebiale  cum  rationali  Jatus 
cius  fecunbum  erit  reflbuum  quintum» 

Vt  fi  ad  lineam  L R ( flgurariuperius  indicatae)  adiungatur 
fuperficies  i,tanquam  ad  latus  fuum  unum  (eft  aut fperficies  1 
Aequalis  fuperficiei  JA  linea  feu  cofta  ipfius  j eft  linea  confti 

dd  iij  * tuens 


I 


f ' Michaelis  SrrFEtrr  - ' 

cuens  feu  componens  mediale  cum  rationali)  fi  fuerit  L R rttio 
nalis.necefle  eft  ut  o l fit  refiduum  binomiale  quintum. 

E ft  Igitur  propofitiohaecconuerfa  prarcedentls, docens  In* 
uenlre  quantitatem  o Lex  L S .quemadmodum  praecedens  do» 
cebat  inuenirequantitatem  LS  ex  quantitate  o L.Vnde  fi  L 9 
faciat  y*V%i88oo — i 20, faciet  fuperfides  Lv/%28800 — 1 20, 
cum  fit  aequalis  quadrato  S ♦ Si  ergo  L R fecerit  t\,  faciet  O L 

S%too 1 o,quod  eft  refiduum  binomiale  quintum . Patet  ex 

diuifioney%x8Soo — 120  per  12, 

Propofitio  capitis  huius  ultima  .quae  apud 
Campanum  eft  1 0 1. 

FCDuelibet  linea  comnienfurabilie  linee  componenti  me* 
biale  cum  rationali.efl  componene  ntebiale  cum  rationali. 

Vt  culinea  aliqua  logitudine  fua  fecerit»/fc.»/%288oo — 1 20 
(qui  numerus  conftituit  compone  tem  mediale  cum  rationali) 
necefie  eft  ut  quaelibet  pars  eius  numerans  eam,  fit  linea  com» 
ponens  mediale  cum  rationali.Item  quamlibet  lineam, quae  ab 
ea  numeratur, aut  i parte  eius  aliquota,  oportet  efle  linea  com- 
ponentem mediale  cum  rationali. 

Non  autem  quaelibet  linea  fub  namero  figurato  ad  fimilittl 
dinemillius,eritcomponensmediale  & rationale.  Ncq?  enim 
numerus  ille  M f» — 3 2, conftituit  componente  mediale 

cum  rationali.Sed  conftituit  refiduum  bimedialis  primi  pofte 
fioris  fubfpecid.uidelicet  s 1 x — Jll  1 28. 


De  lineis  componentibus  mediale  cum  mediali, 
Capuc  xxviii. 

andem  nouifitma fpecies linearum  irrationa 
lium  uenit  tradada  per  propofitiones  fuas . Haec 
appellatur  ipecies  componentium  mediale  cum 
mediali  opponitur  fpcciei  potentium  duo  mer 
dialia,qucadmodum  fuperior  fpeciesopponitur 
fpeciei  poteuum  mediale  8C  rationale.Et  quemadmodum  fpei 

des 


•Arithmeticas  Libsr  i r.  200 

c/es  illa  fuper/or  fubdiuidic  in  duas  alias  fpedcs:  it  a haec  quoc» 
fubdiuiditur  in  duas  alias  fpecies. 

_ - Quaedam  enim  lineae  componentes  mediale  cura  mediali 
funt, quarum  qualibet  refoluatur  in  potentem  duo  medialia, 
& componentem  mediale  cum  mediali . Et  tales  funt,  prima 
coponentes  mediale  cum  mediali:  utefthac.A.Aj-d— ^3  2, 
quae  refoluitur  in  A«A  '4-h*Ad.  — «A>A '4  - Ad. 

Quaedam  uerodicuntur.fecundaecomponentes  mediale  cu 
mediali  .quarum  quaelibet  refoluitur  in  potentem  mediale  & 
rationale,#  componerem  mediale  cum  rationali : ut  eft  huius 
numeri  linea,A>  A^8  — A 8, qua  refoluitur  in 

c jj  # . y** — .A17 — 

oed  de  his  Forte  latius  dicam  inferius  capite  trigefimo. 

Propofltio  capitis  huius  prima , qua  eft 
' i ' apud  Campanum  73. 

* r &i  linea  ili nea{&ctrabatnr,fucrinr'qj  pot entia  incoroen 
furabiles  fuperpciemcg  medialem  continentes,  quadratae# 
carum  pariter  accepta  fuerint  mediale , incommenfurabile 
cupio  fuperficiei  alterius  linee  in  altera,  relicta  linea  erit  irra 
ttonalfejbiceturfcfl  Componens  mebiale  cum  mediali. 
x Vt  polita  linea  B c (qua  in  fequenti  figura  oftcndiOfaciens 
A-Anf  A 14  .dematurabea  a b faciensA-Ai4— A»4* 
tunc  relinquitur  linea  d c Sciens  A.  As>*— A4<>,qua  eft  irra 
tionalis  componens  mediale  cum  mcdiali.Vide  autem  ut  de- 
feriptio  linearum  illarum  C id  eft,  illius  qua  demitur  & illius  i 
qua  demitur  ) depida  fit  in  figura  hac, qua  mox  fequitur. 
Scilicer,potcntia  a b eft  Al4 — A *4»&  potentia  ipfius  b c 
A'*4-+- A*  4 • harum  maior  diuifa  per  minorem  facit  quo 
tientem  irrationa!em,id  quod  fignum  eft  certum  eas  eflein-. 
comenfurabiles.Secundo,  a b & b c cStinent  fuperficiem  A»o- 
eft  enim  BCaqualisA  B,utuidesinfigura.Itaqj  Aioeftfuperff 

i*5  medialis,Tertio,A»4  - A.i4»«  A*4-f-Ai4(qualun| 
qdrata  Jinea^AB  di  Bc;parir’accepta/adut|IiocmediaIe  A?d/ 


**■  V — W 


MlCHABLlS  STIfELII 


cft  A 9 6 propoficio  capitfs  huius  fecunda, quae  apud 

Campanam  eft  79*  . 

rifttce  compotienti  mefciale  cum  mebiali,  nequit  mntjt 
Unea,nifi  una  tantum,vt  fub  earum  termino  fiant  que  erant 

^SSStSTe (huius  itidem fupcrtoib figurae ) b*™ 
jv  /,  Q(5-A4o,  quae  eft  linea  componens  mediale  cu  mediali, 
nequitiungi  aliqua  alia  linea^  talis  q fodat  </*  V*  *4  - ^ j* 


Arithmeticae  Liber  tu  201 

ut  eft  a b feii  b D.Talfa  autem  Iinea.fi  /ungatur  eidem  d c eff/ 
c/tur  longitudo  faciens  A . i4JSunt  autem  ili*  e*, 

dem.quac  erant  antequam  fieret  feparatiofeu  demptio  unius 
ab  altera , di  impoffibile  eft  ut  aliqua  alia  linea  ei  iungatur  tali 
ratione  praedida. 

Sic  autem  additur  A.A’4— A HtzdA>A9<$  — /*4°. 
Pofterior  illa  A * A 9& — A^o,  refoluitur  in 
A»  A *4-t- Ah» — .A»Ai4 — Ah* 

Qua  Gcrefoluta,additur.  — A »4 

ad . —A . A 24 — A »4. 

lunc  remanet  A- A H-f-A  f4  additionis  huius  aggregatum; 

Propofltio  capitis  huius  tertia, quae  apud 
^ Campanum  eft  j?  r. 

r0ifuperf?ciee  linea  rationali  refibuo^  fejrto  continta* 
tur, latus  retragonicum  qnob  fuper  eam  potefl, coprobatnr 
efic  confiituene  totum  mebiale  cum  mebiali. 

_ V t fuperffcies  i (qua  in  figura  fupri  pofita  folio  197  u /des) 
cotenta  fub  linea  rationali  l r faciente  1 z,  di  linea  o Lrefiduo 
fcxto.faciente  Aio  — y%6,cum  faciat  A »44® — /$864,  latus 
te tragonicum  L S, quod  illam  iuperffciem  poteft  (cum  Ibper» 
fic/es  $ fit  arqualis  iuperficiei  1 ) eft  linea  conftituens  feu  com 
ponens  mediale  cum  mediali. 

Eft  igitur  harc  probatio, modus  alius  /noeniend/  lineas  com 
ponentes  mediale  cum  mediali,ab  illo  qui  propofitione  capitis 
huiusprima  ofteniuseft. 

Propofitio  capitis  huius  quarta,  quxapud 
Campanum  eft  97. 

TSi  ab  lineam  rationalem  abiungatur  fuperftcieo  equa» 
Its  quabrato  linee  componentis  mebialecum  mebialiJatuo 
eius  alterum  erit  refibuum  fertum. 

V t fuper fic/cs  1 C quae  iam  paulo  fuper/us  indicata  eft)  fteit 
A *4  40 — As  64.de  tantum  etiam  facit  fuperficies  f .utufdeas 
alteram  alteri efleaequalem,uideas'c$  LScfle  linea  quadrati^, 

ce  eflecg 


Michaflis  Stifelii 

efTefcp  propterea  lineam  componentem  mediale  cum  mediaH’ 
faciens,/%V%  1440 — J%86+.  Cumc#  l R latus  unum  fuperfi* 
ciei i,faciati  x,fdeft,fit  longitudine  rationalis, necefteeft  latus 
eius  alterum  eflTe  refiduum  binomiale  fextum.  Et  eft  hxc  pro» 
politio  conuerfa  prioris. 

Propofitio  capitis  huius  ultima,  quae  eft 
apud  Campanum  ioz, 

r Ouehbet  linea  commenfurabiliolmce  conftituentt  me* 
biale  cum  mebiali,efl  linea  confiitueno  mebiale  cu  mcbiali. 

Vt  cum  linea  aliqua  longitudine  fua  fecerit  1440 — 
y^S^.ncccile  eft  quamlibet  lineam  uel numerantem eam,uei 
numeratam  abea,eile  lineam  componentem  mediale  cum  me 
diali : ut  funt  hae  duae,  90  —7%  5-4. 

De  Epilogo  decimi  libri  Euclidis* 

Caput  x 1 x. 

LTimo  tandem  loco  propofitionum  decimi 
Euclidis,ueniunt  tradandar  propofitiones  Epia 
logi  iplius.Sufceperat  autem  ille  ex  infinita  con* 
fullone  irrationalium  linea rum,tredecim  ipecies 
tradandas  compedio  pulcher  rimo, quibus  duas 
(pecies  linearum  rationalium  praemiferat,  tanefj  initium  ratio 
cinationis  fuar.  Ad  has  etiam  uliiseft  fuperficiebus , di  ijs  quide 
ufus  eft  qu4m  parciflime.  Producit  autem  ex  fuperficiebus  ra- 
tionalibus folitarie  pofiris,duas  (pecies  linearum  rationalium, 
utuidebimus. 

Propofitio  capitis  huius  prima* 

T"0i  fuerit  fuperficics  fub  Itneia  longitubine  rationalibus 
contenta,linea  potens  in  fuperftciem  illam  aliqua  erit  buaru 
linearam  rationolium,aut  rationalis  Iongitubine,«ijt  ratio- 
nalis potentia  tantum* 

EtGc 


Arithmeticae  Liber  ir,  §p^ 

aliquem, qui  fpfum  numerer.&utricp  horum.uidelicet  diuifori 
atcp  quotienti,  praepone  fignu  radicale  zenfizenficum.  Vt  rece 
pto  hoc  numero  zenfico  feu  quadrato  144 , diuido  eum  per  a, 
tunc  prouenit  1 S.Itacp  1 8 Qi  .pertinent  ad  caput  hoc  : 
ut  quorum  feparatio  unius  ab  altero  faciat  18 — y*%3,uide 

licet  refiduum  bimediale  fecundum»  Sic  fi  diuidas  144  per  6, 
efficies  modo  praedicto  */$%i4 — y%%6,&c« 

Cundi  uero  numeri  mediales  zenfizenfice  duo,quora  mul- 
tiplicatio  unius  per  alterum  conii/ ruit  numerum  rationalem 
pertinent  ad  caput  praecedens  . Horum  inuentio  pofita  eft  in 
capite  illo  praecedente. 

Deinde  eundi  numeri  mediales  zenfizenfice  duo,  quorum 
diuifio  unius  per  alterum  conftituit  numerum  rationalem.per 
tinent  ad  caput  16 . ut  quorum &compofitio&feparatio,ni« 
hil  aliud  conftituit  quam  mediale.  Horum  inuentio  fatis  indi# 
cata  eftpropofitione  quinta  capitis  1 6. 

Demum  eundi  numeri  mediales  zenfizenfice  duo, quorum 
multiplicatio  unius  per  alterum  coftituit  numerum  medialem 
zenfizenfice.Horum & compofitio  & feparatio  improbatur. 
Et  tales  mediales  etiam  diuifionc  unius  per  alterum  conftitu- 
unt  numerum  medialem  zenfizenfice : ufum  tamen  habent, 
quem  capite  19  libri  huius  indicaui.  Et  (ut  etiam  de  inuentionc 
eorum  dicam )omnes  rationales  numeri  duo,quorum  propor- 
tio non  eft  tanquam  numeri  quadrati  ad  numerum  quadrati?, 
fi  uterq*  eorum  recipiat  fignum  radicale  zenfizenficum  .confti 
tuunt  mediales  duos  tales. 

Propofitio  capitishuius  prima,  quae  apud 
Campanum  eft  70. 

r 0i  linea  &e  linea  fecetur.fuerintcp  ambe  mefciales , po* 

tenttatantumcomnienfurabiled,contmeiitc6'c$niebia(e,rcIt 

cta  linea  erit  irrationait9,bicetur'qj  refibml  mebialc  fecubum* 

V t pofitis  his  duobus  medialibus , ^96,  & 5-4,  deferi# 

ptis  per  propofitionem  hanc;  Si  ^ J4  ftcetur  de 

cc  i),  net 


i 


Michablis  Stifblii 

tnttJ^6 — y^f4,quod  eft  refiduum  bimediale  fecundum» 
Sed  hoc  etiam  nide,  potcntiuscft  quim  fit  in  qua 
drato  linea:  repraefentadae  ifto  numero  talis  linea  com* 

menfurabilis  eft  longiori  mediali  in  longitudine : fcilicct  J\%6 
8CJtfi96  commenfurabiles  funt  utroqj  modo  commenfurabiU 
tat  is.  Ideo  »/$#96 —■/*&*■  4,eft  fub  fpecie  priore  refiduorum  b U 
medialium  fecundorum» 

Aliud  exemplum,quod  fit  fub  pofteriore  fpecie  refiduorum 
bimedialium  fecundorum , in  quo  portio  longior  fit  potentior 
quim  altera  illa  qua:  (ubtrahebatur  ,in  quadrato  linea:  incora- 
menfurabilis  ipfi  longiori  (i  qua  fiebat  iubtradtio)  in  longitu* 
gine : fcilicet  Jn  1 08  di  /fcH8,funt  numeri  mediales  reprarien 
cantes  lineas,quales  deferibit  propofitio  h arc.com  i 08  diui 

fus  per  »/^4S  faciat  s/%  i?,8£  alter  multiplicatus  per  alterum  fa 
ciat  s/frz.  Ideo  fi  alter  ab  altero  detrahatur,  remanebit  refiduu 
bimediale  fecundum  ,uidelicet  i o 8 — ^48, 

Propofitio  capitis  huius  fecunda, qua: apud 
Campanum  eft  76. 

naulia  linea  rcfibuomebiali  fecunbo  comuneji  poteftvt 
fub  termino  earum  fiant, nift  tantum  ea, quar  ab  ea  ante  fc* 
parata  erat. 

Vt  pofito  hoc refiduo b/mediali  fecundo 108 — 48» 
folumodo  hoc  mediale ^48  ei  coiungi  poteft,ut  flat  10S: 

atq$  ita  poft  illam coniundioncm, hoc quodeoniungebatur, 
dC liocquod  ex  coniuncfiione  fiebat,  fiant  fub  termino  earum, 
qua:  ante  feparationem  extabant . Ante  ieparationem  autem 
ponebantur  08,  tanquam  illud  i quo  fienda  eftetfubtta- 
(ftio : 6i  «/^48,tanquam  illud  quod  eflet  fubrrahendum. 

Propofitio  capitisliuiustertia,  quae  apud 
Campanum  cft8S. 

r Si  linea  rationali  in  longitubine  refibuo*#  tertio  conti* 
«eatur, erit  linea  fuper  tam  poteue  refibuu  mcbiale  fcciibum» 

Hoc 

% 


i 


Arithmeticae  Liber  %j,  19$ 

Hoc  eft,  lineae  rcfiduales  bimediales  fecunda;  etia  alio  modo 
fnueniuntur, praeter  fepara  tfonem  medialis  i mediali.  Scilicet, 
pofita  fupcrficierefidualibinomiali  terria,quarro  radicem  qua 
aratam  deeo,&  karcerit  neceflario  refidufi  bimediale  fecundo, 
Vt  radix  quadrata  de  A 1 9 z — A 1 8 o,facit/*fc7j- — Ai* 7* 
Sic  0 fuperficies  contineatur  fub  linea  rationali  faciente  z,& 
refiduo  binomiali  tertio  faciente  «/$48 — A 4J»  quaero  medio 
proportionale  inter  latera  illa,  &erit  illud  linea  potens  fuper 
illam  faperficiem  contentam : fcilicet  x in  /^48 — A$$  multi* 
plicata.faciut  A ' 9 * — A 1 80. Cuius  radix  quadrata, cfUinea 
illa  potens  infuperficiem  iftam,ut  u id  imus, 

Propofitio  capitis  huius  ultima,quar  apud  Camp.cft  514. 

V 0i  fujpcrpciee  equalie  qua&jrdto  reftfcui  mcfcialie  fecfifcf 
applicata  fuerit  at  lineam  in  longitutine  rationalem, altetii 
latue  eiue  erit  reffruum  tertium» 

Si, inquit, fuperficies  aequali*  quadra toreftdui  bimedialis  fe- 
cundi, applicata  fuerit  ad  lineam  in  longitudine  jrationalem; 
Hoc  eft,potemia  linea;  refidualis  bimedialis  fecunda;,  tali*  eft 
fuperficies,quac  diuifa  per  numerum  rationalem, faciat  nume- 
rum refidualembinomialem  tertiam.Vt  A%x7fn  fe, 

facit  A 19 x — A' 80  • haec  diuifa  per  ijacitA+S  — Ji+s* 
Item  Ai  108 — Ai48  in  Ce, facit  A3  00 — %/fc»88,haecdiuifa 
per  *, facit  A7Si — %/&7*je(iduum  binomiale  tertium. 

De  lineis  minoribus.  Caput  xxvr, 

■ 

x numeris  repraefentantibus  lineasmaiores,fa<« 
cile  fiunt  numeri  repratfentantes  lineas  minores» 
Scilicethocfitjfidcleto  figno  additorum  reperto, 
ponas  loco  eius  fignum  fub tr artorum  ♦ Vt  ex 
A * * -i- A 1 * » reprar fentante  lineam  maiorem, 
fit  A*  6 — A 1 x,rcpraefentans  lineam  minorem, 

cc  tij  Lineae 


Arithmeticae  Liber  ii.  104 

«ufus  radix  qdrata  feu  latus  tctragonku  facit  v/*Vfcj  34 1 6, 

quod  eft  linea  componens  mediale  cum  rationali» 

Propolitio  capitis  huius  feptima,qux  apud 
Campanum  eftioj-, 

rSifaperficiee  mebialie  be  fuperfTcie  mebiali  fcetraba- 
tur.fuerintqp  fuperficiee  incommenfurabilee.linea  poteria  in 
relicta  fuperficiem.altcrutra  erit  Suarum  irrotialium  Itnea^, 
«ut  refiDuii  mebialefetSm,aut  coponene  mebiale  cu  mebiali. 

Ratio  eft:  quia  talis  fuperflci?s,aut  eft  relidualis  binomialis 
tertia  ,aut  relidualis  binomialis  fexta. 

Si  luperficies  illa  fuerit  relidualis  binomialis  tertia,  tuc  linea 
potens  in  ® .erit  reliduum  bimediale  fecundum.  Vt  1?  $ 0 fe 
cerit  13  fecerit  84.,  fubtrahaturc^  13  def  (15,  re# 

manet  0 radiccm.£aciensV&%  192 — VfcH8,qux  eft reliduum 
bimediale  fecundum . 

Si  uero  fuperficies  illa  fuerit  relidualis  binomialis  fexta.tunc 
linea  potens  in  0 erit  compones  mediale  cum  mediali.  Vt  IT 
J (5  fecerit  A 1 9 i3  fecerit  /*  1 x8,fubtrahafq}  Vi  de$  0 , 

tunc  remanet  0 radice  fua  faciens  192—,/%  \ z8,qux  eft 

componens  mediale  cum  mediali. 

Propolitio  ca  pitis  huius  ocftaua.qux  apud 
Campanum  eft  67. 

^(Ttim  poftta fuerit  linea  binortiialia,ceterei$  irrationale» 
fequentes  eam, non  erit  earum  aliqua  fub  termino  altenu». 

Vt,  Linea  binomialis,? 21. 

Bimedialisprima,y%%  8 
Bimedialis  fecunda,  1 8 8. 

Linea  maior,  6 -f-V*  1 2. 

Potens  mediale  & rationale,  * ♦ 

Potens  duo  medialia,  1 i-f-Jtf. 

Relidualis  binomialis,  ? — 1 1, 

Relidualis  bimedialis  prima,  8 — J&i* 

Relidualis  bimedialis  fecunda,  1 8 — 8, 

Linea  * 


V - Michaelis  Stifelii 

Unca  m inor, %/%.  6 — ix. 

Componens  mediale  cum  rarional/y  /%8— *• 

Componens  mediale  cum  med/afiVfc  8 — J%6. 

Nulla  harum  linearum  poteft  eflfe  fub  ipeciealtcriusillarum. 
Sententia  eigo  propofitionis  huius  eft : Species  irrationalium 
linearum  eflfe  impermixtas. 

Propofitio  capitis  huius  ultima, quae  & apud 
Campanum  eft  ultima* 

FiTu m poffibilc  fit  feriem  linearum  irrationalia  in  infini 
tum  prohuci,non  eft  poffibile  diam  earum  conuenire  in  ter* 
mino  et  orhine  cum  ea  que  prccefTerit. 

Sententia  eft,efle  prarter  prardidas  fpecies,  alias  fpecies  m# 
numerabiles  linearum  irrationarium.quar  non  poflint  permi* 
fceri  aut  confundi : fed  ita  contra  fe  efle  diftindas,  ut  quatlibcf 
fuas  proprias  lineas  fub  fe  contineat.De  qua  re  didum  eft  ca- 
pite libri  huius  fextodecimo. 

De  propofitionibus  quibufdam  in  decima 
Euclidis  defideratis*  Cap*  xxx* 


e epflogum  Euclidis  adijciendas  cenieo  propo- 
^AMyl  (itiones  quatuor  defideratas  in  decimo,  ut  quaru 
obmiflione  (Int  ncgledac  odo  fubfpecies  Iinearu 

^ irrationaliumiuidelicetduaefubfpeciepotetium 

i mediale  et  rationale,item  du*  fub  fpecie  potentia 

duo  medialia , deinde  duae  fub  fpecie  componentium  mediale 
cum  rationa!i,item  duae  fub  fpecie  componetium  mediale  cum 
mediali.lllas  igitur  propofitiones  oportet  me  hoc  loco  ponere, 
ot  notiores  fiant  paulifper  fpecies  illa:  4 ab  Euclide  obmilTae. 


Propofitio  capitis  huius  prima. 
riDuao  lineae  iuuenire  potentia  incommenfurabilee.fn* 
perfictemtE  rationalem  continente#,  quarum  quabrata  par» 

ter 


Arithmeticae  Liber  i r.  2<s^ 

ter  accepta  fuit  mcbialc,quarumque  longior  poffit  meti* 
ale  et  rationale. 

Hac  propofitione  fignificatur  fpecies  prima  fubdiuifionis 
illius,qua  potetes  mediale  & ronale  fubdiuidutur  in  fpes  duas. 

Eft  autem  (pedes  illa  talium  linearum  irrationalium,  quae 
cum  lint  potentes  rationale  & med(aIe,refoIuuntur  in  potente 
rationale  & mediale, atqj  in  componente  medialecum  ronal/. 

Sunt  igitur  partes  illae  compofitionis  quales  deferibit  pro* 
politio  haec  huiufmod(,ut  confhtuant  fpeciem  primam  linearu 
potentium  rationale  & mediale. 

Modus  autem  inuetionis  earum  politus  eft  fuperius  capite 
uigelimoprimo  libri  huius,cuius  figur5  inuentionis  propriam 
illic  pofui,uiddicet  hanc. 


r 


Michaelis  SrifBLI* 

•Haec  figura  te  nunquam  fallet.  Vt  fit  b c 8 , erit  B A i€t8i 
B D feu  B E ) xo : cnVqp  B G 8,& G E J\  3 xo- — 8.  Itaqj  G f 

iaciety% . v/%xo48o— ^4  ® H faciet  A . Axo48o-f-64*  E* 

illae  fiint  duae  lineae  quales  requirit  propofitio  haec  prima  capu 
cis  huius.Conftituunt  enim  lineam  fpeciei  illius  primae  potem 
tiam  mediale  & rationale,uidelicet  lineam  conftituwit  compo 
fitam  ex  b H 86f  G.fadentem  8 19 xo  4-  xj ‘6.  Et  uc  de  H- 

milibus  fpcricf  huius  exemplis. 

Propofitio  capitis  huius  fecunda* 

FIDuae  lineas  inuenire,  potentia  inconimcnforab*les,fu* 
perftciem'qj  rationalem  contincntee,qoarfi  quabrata  P?r 
accepta  |int  mebiale  >qnaruni'cp  longior  pofitt  boo  mebiatia. 

Hacpropofitionc  fignificantur  partes  compofitionis.linea 
rum  fecundae  fpeciei  potentium  mediale  & rationale. 

Modus  autem  inuentionis  fubfpcciei  illius,  qui  nunquam 
fallatjtali  figura  repraefentatur. 


B ^ " — * 

Redpe  quadratum  collae  rationalis  in  longitudine,  confli* 
ute'cp  redangulum  altera  parte  longius,quod  contineatur  fub 
duabus  Hneis:  quarum  una  fit  colla  recepti  quadrati , & altera 
fit  diameter  eiufdem  quadrati.Deindecoftituealiud  ouadran 
gulum  altera  parte  longius,  quod  contineatur  fub  colla  qua- 
drati recepti, & fub  diagonali  prioris  quadranguli  redanguli. 
Et  fi  ex  duobus  quadrangulis  illis  retfangulis,  fiat  unum  qua# 
dran gulum  redfangulum,  tunc  linea  potens  in  totam  iuperfl- 
ciem  compofitam  ,crit  portio  maior  inuenronis  illius  quam 
req  uirit  propofitio  haec  fecunda  capitis  huius.  ^ 


t 

f 


-.r- 


Arithmeticas  Liber  ii.  a 

Vella BCcofla  quadrati  a BBC) factat S.facietBC  diameter  • 
eius  y*. 28  cuUquatur  bp.EH  ergo  quadrangulum  abfD' 
quadrangulum  altera  parte  long  us  primum,  ex  inueniendit 

tentum Eub  AB&  b g feu  a h .conftituit quadra nguia rertsn 
gulum  fecundo  loco  inueniendu, quod  ell  a h g b Compofa 
igiturquadrangula  illa  duo  lm.&l  M.vconftituut  qu?dra“ 
gulum  L M N O.Vndc  linea  potes  in  fuperffciero  L m n o hoc 
eft.medlumjjportionale inter  a b&a  l.facft/i.AiarSfi-I- 
/48 192: facit  enim  AH  /4191,81  H ifecit/jYrS  feli cJZ  - 
A D aequalis  H t ).  Et  quia  DHeft  differentia  inter  ah&  ™ 
quemadmodum  luperficies  n ell  differentia  inter  l h n a-  » 
fupetffcies.ideo  D H (ad,/* .92-/4,28:  &medlump^ 
tionale  Inter  1 D & D H,eft  linea  potens  in  luperficiem  « Vnde 
cum  fuperffcies N faciat/*.  2288 -/43 facit  linea  po"£ 
in  eam*/%.y%i2z88 — J%St9u  V 

L^igitAViliz88-i-A8i9z,&AVii2288-ASi02 
funt  tales,quales  requirit  propofitio  haecfecunda.  ConftiwaJ 
enim  potentem  rationale  & mediale.cum  tame  maior  port“o. 
num  Iit  componens  duo  medialia . Hanc  autem  lineam  com! 
ponunt  duar  portiones  inucntac,y^V%  49  lyi-u  1 23 
De  duabus  alrjs  fubfpcc/ebus  pertinentibus 
ad  duas  ^pofftfones  capitis  huius  fuperiores. 

^SSU^m3im^Urm^Utem  fpedes  Plentium  rationale  8 
mediale  duas  habet  fubfpecies,«ra  fpedes  componentium  me 
d«ale  cum  rationali  duas  habet  fubfpecies  nafcctes  ex  d”buS 
• fuperionbus  fubfpeciebus,per  fubtradionem  portionis  mino! 
ris  i portione  maiore.ut  notum  eft.  no* 

Vc  fi  fub trahatur  »©480  — d4 , de  hac  portione 

* 048 0 -h  64 , tunc  relinquitur  ,920—^6  qaa. 

eit  prima  componens  mediale  cum  rationali.  Sicfifubtrahat 
4.  A»  «88— 4 8 »5>  Z,de  i Zi83-t-  A 8 1 9 Mune  relin 

- ^ ‘j  quitu* 


Michaelis  Stifeli t 

qtifcurv/%.y%49 1 j- z — 1 1 8. quae  eft  linea  fecunda  componens 
mediale  cum  rationali. 

Facile  iameftuidere,ut  fecundum  ifta  praedida  formandae 
fint  propofitfones  quatuor,  dc  conftiiutione  qua  tuor  fpecierd 
praedidarum,quas  breuitatis  gratia  hicobmili. 

Propofitio  capitis  huius  tertia. 

FIDuae  linea©  tnuentre,  potentia  incommcnfurabilee.fu* 
pe  ffrieroepmebialemconttncntee^uarum  quabrata  pari# 
ter  accepta /tnt  mcbiale.iucommenj  urabile  buplo  fupcrficict 
vniue  in  altcrant,ct  quarum  longior  poffit  buo  mcbialia. 

Hac  (ppofitione  defcribuntur  lineae  feu  portiones,conltitu* 
entes  additione  fui  * lineas  primas  potentes  duo  medialia* 
Sicut  enim  lineae  potentes  mediale  6C  rationale  fubdiuidutur 
in  primas  & fecundas,  ut  didum  eft  luperius,  fic  etiam  potetu 
tesduo  medialia  fubdiuiduntur  in  primas  fecundas. 

Sunt  igitur  primae  potentes  duo  medialia,quac  refoluuntur 
induas  lincasquarum  longior  fit  potens  duo  medialia,  &brc 
uior  fit  componens  mediale  cum  mediali. 

Huius  uero  ipeciei  portionesfic  inucniuntur.  Recipe  qua# 
dratum  coftae  quae  fit  linea  Medialis,  &!  conftitue  quadrangulfl 
lredangulum  altera  parte  longius.quodfub  duabus  lineis  con 
tineatur,  quarum  una  fit  cofta  quadrati  illius  recepti , & altera 


T 


Arithmeticas  Liber  it.  207 

* 

fit  diameter  eiusdem  quadrati,  & tali  quadrangulo  iunge  qua- 
dratum receptum, ut  ex  utjoqj  fiat  unum  quadrangulum, Ucut 
hic  uides  exemplum  eorum. 

Obferua  a c e d (i.  0 fa)efle  quadrangulum  contentum 
fub  cofta  quadrati  3>  arcp  fub  diametro  eius,  fcilicet  di,  diame 
ter  eft  aequalis  lineae  D e.  Et  (3  eft  aequale  quadrato  J&Ct 

Sit  igitur  a D in  longitudine  iua  Juti,  tunc  D 1 ieu  a C faci 
et  fua  longitudine  A&  14,  di  c b faciet  etiam  Atcp  ita  fu 

perficies  © fr, faciet  1 z,  Si  fuperficies  faciet  <5.  Etfic 
linea  potens  in  totam  fuperficiem  illam  coropofitam.i.  medio 
proportionale  inter  a d&  a b, erit  linea  logior  inter  duas  illas 
quas  requiritppofitio  haec, Sii  breuior  erit  mediu  proportionale 
inter  icS^  c £. 

Medium  autem  ^portionale  inter  ad  ab  facit  /fc./fcir 

— f—  • 

Et  medium  proportionale  inter  1 c & C e, facit  1 z — 

A6. 

Et  illae  duae  lineae  cohftituunt  fui  additione  direrta  /%.  49 

-f—  24, quae  eft  linea  potens  duo  medialia  priorisfpcciei,  ut 

patet  ex  partibus  componentibus  ipfam, 

Propofitio  capitis  huius  quarta. 

flDuae  lineae  inuentrc.pocenttA  incontmcnfurabtlee/n- 
perfirienfcg  nicbtalent  conrincntee.quaruquabrata  pariter 
accepta  fint  mebiale.incomenfurabilebuplo  fuperficiet  con* 
tete  (ub  ambab$>,ct  quaru  locitor  poflit  rationale  et  mcbiale. 

Haec  eft  ultima  ,ppofitio  capitis  huius,  quae  docet  inuenire 
partes  duas  conftitucntes  linea  fecunda  potente  duo  medialia. 

Eft  aurem  linea  fecunda  potes  duo  medialia,taIis,Vt  reioU 
uatur  in  duas  lineas  alias,  quarum  longior  fit  potens  rationale 
& mediale,  8i  breuior  fit  componens  mediale  cum  rationali. 

Sic  uero  inucniuntur  partes  illae.  Recipe  quadratu  coftae  ra 
tionalis  in  longitudine,&  conft/tue  quadrangulum  reiftangu 
jum  altera  parte  longius,quod  fub  duabus  lineis  contineatur, 

, ff  iq  quarum 


MlCHAELlS  STIFELM' 

quarum  una  fit  cofta  quadrati  recepti,&  altera  fit  dupla  a 6 di* 
ametrum  quadrati  eiufdem,  & tali  quadragulo  iunge  quadra# 
tum  receptum,ut  ex  utro fiat  unum  quadrangulum,  ficut  hic 
uides  in  exemplo* 


Sit  Igitur  A f ut  tf,tunc  a b fodet  288,61  BC»  fodet  6, 8t 

GB  fodet  %/&z88  — ^quemadmodum  ac  fodt  */$  288 
Medium  ergo  ^pportionale  Inter  at  di  a c fodet  10368 

-f-  3 Et  medium .pportionale  inter  gb&be fodet /3 
* 0 3 — 3 6.  Et  illa  duo  media  proportionalia  lunt  exemplfi 

propofitionis  ultimae  capitis  huius.Componuntcnim  lineam 
potentem  duo  medialia  fecundae  ipedd.uidelicet  hanc,  4 1 
47*-h'/%}6*88. 

De  duabus  fubfpedebus  linearum  compo- 
nentium mediale  cum  mediali* 

FSi ponantur  duae  lineae refpondenres  propofitioni  capitis 
huius  tertiae,fubtrafiatur'cg  breuior  de  logiore, remanebit  linea 
componens  mediale  cum  mediali  fpeciei  prioris*  Etfl  ponatur 
duae  lineae  refpodentes  ^pofitioni  capitis  huius  quartae,  fubtra 
• haturcp  breuior  de  longiore,  remanebit  linea  componens  me- 
diale cum  mediali  porter ior/s  fpedd.  Exemplum  prioris*. 
Vt  ,/*V%  1 z — 1 z-f-  y&d, 

relinquit  8 — J\  24, 

Exemplum  pofterioris,  Vt 

— 3 6.  de  103  68 -f-  36. 

relinquit/*Vfc4»47* — 62888*, 


De  re# 


Akithmbtkae  Libbb.  ii;  208 

De  refolutione  Ignearum  irrationalium  in  lineat 
rationales.  Caput  xxxi, 

Ineac  irrationales  multar,  funt  reiofutae  in  lineas  n 
tionales  i Ptolemaeo  in  AImagefto,ubi  fcicntia 
nuum.feu  chordaru  & arcuum  trartat.ut  libro  pri 
mo  capitenonofecit.Non  quidem  pr?ed(e  (quod 
ipie  ibidem  fatetur  )necp  adeo  propinque,ut  pro# 
pinquiusadprarcifionemnemo  poftit  accedere,  cum  utrunqp 
iit  impofsibile/ed  ut  pro  fuo  inftiruto  opere  fufbcerc  uidit,uc 
videbimus* 

Propofir/o  capitis  huius,ex  lib.  1 .cap.9.  Alma, 

.•  Ptolemari  fumpta  • 

riData  drculi  biametro, latera  becagom,beragoni,penta 
0oni,tetragoni,octagoni,  arq$  trigoni,  tfopleurotum,  cibent 
(irculo  inferiptomm  j-eperire. 

THanc  propolitionem  Ioannis  de  monte  regio,  pro  nego# 
flo  praKent/  comodifsimam,uideamus  per  exemplu,quod  ipfit 


quocp 


1 


Michaelis  Stifelii 

quocp  juxta  Ptolemaum  tradat.  In  qua  tradatione  noftrunr 
erit,  obferuare,qua  ratione  il!/,  ex  irrationalibus  numeris  Unc- 
arum, fecerint  numeros  rationales. 

Primo  polito  femldrculo  fuper  diametro  A B,facfente  par- 
tesClnter  fe  aequales)  i zo  .erigitur  orthogonalls , i medio  pun* 
do  diametri,uldelicet  c D,quae  Hnea,cum  fit  femidiameter  cir- 
culi,aequabitur  lateri  fiexagoni.circulo  infer ibendi. Et  cum  a C 
& C D intercipiant  quadrarem  circuli,  ncceffeeft  a d efle  latus 
tetragoni  circulo  infcribendi,atcg  a H,item  H D ede  latus  oda 
goni  inferibendi  eidem  circulo* 

Secundo  orthogonalis  trada  i medio  pundo  femidiametrf 
CB.i.E  F,  cum  abfeindat  parte  quarta  diametri,  ncceflarfo  cft 
dimidia  pars  lateris  trigoni  (ubicp  fubintellige,  ipfo  pleuri,feu 
aequilateri)quare  linea  A Ferit  latus  trigoni  circulo  inicribedi* 
Tertio  recipitur  menfura  inter  punda  E D,quae  lignatur  dc 
pundo  E uerfus  a. Et  Ut  E G,  aequalis  trahendae  E D.  Itaqj  Ii* 
nea  g D, aequabitur  lateri  petagonicircoloinfcribendi.Et  GC 
aequabitur  lateri  decagoni  circulo  inferibendi,  ut  docet  «ppoG* 
tio  decima  .tertijdecimi  Euclidis* 

, Cum  igitur  femidiameter  faciat  «So.i.Iatus  hexagoni aequtla 

teri  drculo  infcribendi/acit  latus  trigoni  aequilateri,*/*  10800» 
Et  latus  tetragoni,  7x00, 

. Latus uero pentagoni, 9000 — itfzooooo* 
Etlatusodagoni,y%7zoo  — y^zj-^zoooo* 

Et  latus  decagoni,  ^45-00 — jo. 

.Harum  linearum  numeros  Ungulos  refoluit  Ptolemaeus  in 
fiio  imageftojin  rationales.  Qui  & G regula  refolutionis  no 
ponat^amen  ex  re  ipfa  facile  erat  illam  reperire. 

Regula  refolutionisnumerorum  irrationalium, 
in  numeros  rationaIes,qu5  Ptolemaeum 
ufum  ftiiflc  uidemus* 

T fEjrtraberabicce  quas  flgna  rabicafm  fignat  effe  extra* 
tjeJ>rte,cr  refibuu  multiplica  per  € o,  p:obiKtum'<fc  biuibe  per 

dapium 


Arithmeticae  Liber  m#  209 

duplum  rabici'0  tuuentar,  ita  tamen  t>t  pofl  i)iai(ionem  fub* 
trahae  quotientem  irefibuo  remanente. 

Rationem  regulae  huius  facile  oftendere  pofTum  in  nume* 
ris  rationalibus.  Vc  (It extrahenda  radix  quadrata  de  144. 

Volo  recipere  pro  radice 


..  . "3? — : — ; — — 

Si 

Z* 

z ? 

-9  : 

numeri  illius  9, quae  in  fe 
multiplicata  facit  8 i.Sub» 
traho  igitur  8 1 de  1 44,  tuc 
remanet  6].Diuido  igitur 
6)  per  duplum  radicisin* 
uentse.id  eft  per  1 8 , facit  3 
addenda  radici  (ut  uidesVn 
pidura  figurae  rationem 
horum  omnium)  reflat  igl 
tur  ut  3 in  fe  multiplicata 
etiam  fubtrahas  i refiduo, . 
ut  ad  figura  tranfea t eam'q$ 
fuppleat. 

V ideamus  nunc  exempla  Ptolemaei. 

Exemplum  primum  de  latere  trigoni. 

^ Linea  figurae  fuperioris  a D,id  eft  latus  trigoni aequilaterl 
circulo  infcribendi,facit  praecifc  1 oSoo.Hunc  numerum  i** 
rationalem  fic  refoluo  in  rationalem . Primo  extraho  radicem 
quadratam  de  1 08  oo,facit  10  3,  & remanent  191,  quae  ifcuiti- 
plico  per  6ot & fiunt  1 i4<>o,quae  diuido  per  zo 6 (cum  illenuttie 
rus  fit  duplus  ad  ( 1 0 ?}radicem  inuentam, fiunt  yy  minuffclij* 
tcgra  enim  illa  refidaa  quae  fuerant  multiplicata  per  6<f~ 

ea  multiplicatione  refoluta  in  minuta.  Manentautem  

fione  praedi<fla,in  refiduo  1 3 0 minuta,  i quibus  fubtrahidebet 
quadratum  quotientis>id  eft  yy  minu.Fadunt  autem  yy  min. 
in  fe  multiplicata,  30  2y  fecunda,  quae  fubtrahe  i 130  minuris, 
id  eft  i 7800  fecundis,tunc  remanent  477y  fecunda.Ea  diuide 
per  zo 6 diuiforem  priorem,  tunc  inuenies  z 3 fecunda  8C c. 

gg  Itaqp 


Michablis  Stifelii 


, linteg.min,  r.l 

Itaft  hunc  numerum  1 103.  5-5*.  23.I  inucnies  i Ptolemaror. 
pomum  pro  chorda  arcus  120  graduum,  in  cap.nono  Iib.  i,& 
in  tabula  arcuum  & chordarum. Eft  autem  arcua graduu  uo)4 
tertia  pars  circumferentiaecirculi. 

Exemplum  fecundum  de  latere  tetragoni, 

Latus  tetragoni  .id  eft  linea  a d,  facit  prarcife  %/fc7 100. cuius 
radix  facit  84,$!  remanent  i44.MuItiplicata  144 per  60, faci* 
unt  8 640, quae  diuifa  per  duplum  radicis,id  cft  per  1 68, facit  7 1 
minuta.  Qua:  in  fe  multiplicata,  faciunt  260 1 fecunda  : quae 
fubtra<ftai7*minutis,relinquunt  /7 19  fecunda . Quae  diuifa 
per  168, faciunt  10  fecunda  &c. 

integ.  min,  fecun. 


Itacp  hunc  numerum 


uidebis  i Ptolemaeo 


84.  71.  10, 

politum  pro  chorda  arcus  graduum  90,  qui  arcus  eft  quarta* 
pars  circuli. 

Excmplam  tertium  dc  I2  tere  pcnt3gon/# 
fLatus  pentagoni,  id  eft  linea  G d iuperioris  figurae, facit 
praecife  ooo — J\\6xooooo,  Hic  quaero  primum  de 

16200000  radicem  quadratam , eamtg  radicem  fubtrahode 
9<ooo,  & ( propter  lignum  radicate  quod  utriqj  parti  cft  eom- 
mune)quaero  etiam  radicem  quadratam  de  relido ; feilicet  ra 
dix  quadrata  de  16200000,  facit  40  24,3-7. 20.  Ea  uero  radix 
lubtrada  de  9000,  relinquit  hunc  numerum  4975-.  4.40, 
Radix  quadrata  de 4977  facit  70 , &C  remanent  75-  integra, 
quae  refoluta  in  minuta,  faciunt  45-00 , quibus  addo  4 minuta 
releruata.Atqt  ita  45-04  minuta  diuido  per  140  (id  cft,  per  du- 
plum radicis)  proueniunt'qj  3 2 minuta,  & remanent  24 ; quae 
refoluo  in  fecunda, fiunt  1440  fecunda. Qiiibus  addo  40  fecun 
da,fuperius  refcruata,fiunt'q*  1480  fecunda.  A quibus  fubtraho 
io24fecunda,quaeproueniunt  ex  multiplicatione  3 2 minuto 
rum  in  fe  (id  eft,quotientis  ex  diuifione  prouenientis)  tunc  re*, 
manent  45-^quae  diuido  per  1 40, tunc  proueniunt  3 fecunda, 

Atqtf 


Arithmeticab  Liber,  iu  aio 

Arq?  ita  u/dcs, certa  calcula t/on/*  ratione , refolu tu  numerum 
S%.9  000 — ,/% » tfzoooo  0,  in  numerum  quem  Ptolemaeus  po* 
nir,uidclicet 

Integra  minuta  fecunda 
70.  31.  3. 

Et  hunc  numerum  inuenies  in  tabula, tanquam  chordam  iub* 
tenfam  gradibus  circumferentiae  71.  Sic  enim  gradus  circum- 
ferentiae 3 6o,diuifi  per  y,faciunt  7 2 gradus. 

Exemplum  quartum  de  latere  odogon/, 

FLatus  odogoni.id  eft  lineae  a h feu  h d fupioris  ffgurce, 
facit  praecifeliunc  numerum,  %/fc.  7200 — A 25920000, 
Quaero  igitur  radicem  quadratam  de  z 59  zoooo,  quae  fadt  ins 
tegra  509 1 .minuta  1 o Xecun.7.  Haec  radix  fobtrada  de  7100, 
relinquit  ziQ8integ.49min.5-3  fec. Radix  autem  quadrata  de 
a 1 08  facit  45- remanent  8 3 integra,  quae refoluutur  in 4980 
«ninuta.quibus  addo  49  minu.referuata . Et  ile  ueniunt  5029 
minuta  diuidenda  per  900'd  eft, per  duplum  radicis)&  uenionc 
SS  minuta. Remanentcp  79  minuta.  Haecrefoluta  in  fecunda, 
faciunt  4740. Quibus  addo  5-3  iecuda  referuata.  Atcp  ita  fiunt 
4793  fecunda,a  quibus  fubtraho  3025-  fecunda, quae  ,pueniuat 
ex  multiplicatione  quotientis  ( id  eft  5-5-  minutorum)  in  ie. 
Remanent  autem  1768  fecunda, quae  diuido  iteru  per  90,  facit 
1 9 fecunda  &c.  Atqj  ita  inuentus  eft  numerus  ifte, 
integra  minuta  fecunda 
5T*  15 >• 

Et  iftum  ponit  Ptolemaeus  pro  chorda  fobtenfa  a reni  43-  gra* 
duum  circumferendae.  Sunt  enim  45-  gradus  odaua  pars  dr« 
cumferentiae. 

Exemplum  Ptolemaei  qufntum,de  latere  deca« 
goni  circulo  inferibendi. 

FLatus  decagoni circulo  infcribendiC  id  eft,  linea  figurae 
datae  g c)  facit  prarciie%/fc45*oo  — 30.  Quaero  igitur  primo  ra« 
dicem  quadratam  de  450  0 , qua  inoenta,  fubtraho  ab  ea  3 0,  & 

gg  i j reliquum 


Michaelis  Stifelii 

reliquum  erit  numerus  ratfonalis,quem  Ptolemaeus  ponit  pro 
latere  decagonl  Irrationali.  Scilicet  radix  quadrati  maximi, 
contenti  fub  45-00, facit  ^.Remanent  autem  1 i.quaerefoluta 
in  minuta,  faciunt  660,  Diulfa  uero  per  duplum  radicis  inuen 
tae  (id  eft,per  1 34)  fiunt  4 min.SC  remanent  1 14, quae  refoluun 
tur  in  fecunda  7440,  a quibus  fubtrahuntur  1 6 fecunda  proue 
nientia  ex  multiplicatione^,  min. in  fe.  Remanent  ergo  74x4 
diuidenda  per  1 34,proueniunt'<$  j ■ j-  fecunda,  Atcp  ita  facit  ra- 
dix ex4yoo.  67,4,  ST*  Subtrahe  tandem  30  integra  de  radice 
illa.tunc  manet  numerus  Ptolemaei  pofituspro  chorda  fub* 
tenfa  3 6 gradibus  circumferentiae  circuli : qui  facit 
integra  minuta  fecunda 
37.  4*  ST* 

Etficdealijs.  Vt  fi refoluendus  fit ifte numerus irrariona 
tis  ,/$45-00  -f—  3 0 .facile  fcies  ipfum  refolui  in  hunc  numerum 
rationalem,  integra  minuta  fecunda 
97*  4*  ST* 

Tot  Igitur  exempla  pro  uarlctate  numerorum  irratfonalift 
refoluendorum  fufncientJedlori  ftudiofo. 

De  numeris  irrationalibus  contradis  ad  corpora». 

Caput  X X x 1 r.  quod  elt  ultimum  libri  huius 
iecundi,continensomnia  illa  quae 
& 1 3 Euclidis  & <4  docent. 

X capite  praecedenti  bene  animaduertet  prudens 
ledor.ut  lineae  & numeri  irrationales,  accommo 
dari  debeant  ad  res  aftronomicas.Vtdam  Ptole 
mxus  in  fequetibus  docet,  ex  data  alicuius  arcus 
chorda,  chordam  reliqui  arcus  ipfius  femicircul/, 
Inuenire,  id  quod  facile  fit  ex  confideratione  penultima  primi 
Euclidis,8CaIiarum  quarundam  paucaru,  ponifqppro  exem* 
pio  latus  decagoni  aequilateri  circulo  infcribed/,lineam'q^  fub* 

tenfami 


Arithmeticas  Liber  tr#  em 

tcnfam  uni  angulorum  pentagoni  eidem  circulo  infcribendi, 
qualium  linearum  ufus  in  libro  tertio  decimo,  item  in  quarto 
decimo  (fi  tamen  ille  eft  Euclidis)  admodum  frequens  eft:  non 
obfcure  (Jgniffcareuoluit,  quantam  occafionem  rerum  aftro* 
nomfcarum  5.  fe  inuentarum , praebuerint  fibi  propofitione» 
Eudidis.de  lineis  corporibus  irronalium  numeroit  «criptae» 
Propofitio  capitis  huiusex  1 3 Euclidis  fumpta. 
rzattra  quincg  corporum  regularium  inucnire,  per  bia* 
metrum  Ipbcrar  circumfcriprtbilie  fingulis  illis  corporibus. 

Sunt  aut  quinq;  corpora  regularia  illa  :Tetrahedrum,id  eft 
coipus  quatuor  bafium,  Hexahedrum  ,id  cft.corpus  fex  bafiu, 
Odahedrunyd  eft.corpus  odo  bafium,  Dodecahedru  id  eft, 
corpus  duodecim  bafium , 8C  Icofahedru,  id cft.corpus  uiginti 
bafium.corpora  uidelicetarqualibus  fuperfidebus  teda.  Et  ab 
hac  aequalitate  fuperffcicR'  fcu  bafiu  uocant  corpora  regularia. 

Kgurationes  uero  horum  corporum  ftudiofus  Ledorui* 
derc  poteft  in  Geometria  Alberti  Dureri  Nonbcrgenfispido 
rum  qui  noftra  aetate  floruerunt  arnffciofiflimi,ibi  pulchre  fuit 
proprtjs  delineationibus  oflenduntur : Qadco  hic  omittuntur. 

Habet  autem  tctrahcdrumquatuorfuperficiesfeubafes  trl 
angulares  aequalium  laterum.Cuius  figuram  pulchre  tibi  mon 
itrabit  chartula  figura:  huiufmodi,exdft&compIicarafecuii- 
dum  lineolas fuas. 


Odohedrum  habet  odo  fuperficies  triangulares  zequaHff 
laterum.Cuius  figuram  tibi  cognita  faciet  charra  fimili  modo 
figurata  a complicata.uti  apud  Durerium  pater» 

Icofahedrum  habet  fuperffdes  triangulares  aequalium  lato* 
rum  uiginti:  cuius  figurae  delineatio  pa  tet  apud  eundem  auto» 
rem  atqj  fi  talem  chartam  figurauerisrexcifam'qu  complicaue» 
ris,ffguram  icofahedri  tibi  monftrabit. 

Hexahedrum  habet  fex  fupfides  quadratas.aimfitcubu». 
Cuius  figuram  tibi  dabit  talis  charta, fi  item  complicetur. 

Sequitur  tandem  dodccahedrum,habens  fuperficies  pen ta« 

88  ilj  gonalcAi 


Michabli*  Stifbiii 

gonales  duodecim  atquilateras  : cuius  figurae  copiam  faciet 
tibi  idem  autor  iam  fupradidus. 

Quod  autem  plures  fpecies  aliae  corporum  regu 
larium  non  One  dabiles.fic  dccnonftratur. 

Primo.  Certum  eft , quod  ad  conftitutionem  anguli  folidi, 
pauciorestribus  angulis  fuperficialibus  ,non  pofTmt  concur- 
rere : fictu  ad  conflitutionem  fuperficici  redilineae , pauciores 
tribus  redis  lineis, non  concurrunr. 

Secundo.Ccrtum  eft  di  hoc,quod  anguli  fuperficiales,  (oli* 
dum  angulum  conflituentes,  fi  pariter  accipiantur,  feu  addan 
tur, minores  Cint  qua  tuor  angulis  redis  ncceflario. 

Tertio.  Certum  etiam  cfHiiperficies  aequiangulas  inter  (e 
aequales  (olummodo  confliruere  corpus  regulare, 

PraemifTis  iam  ijs,uide  quae  fequantur. 

De  trigonisaequiangulis. 

V Cum  unus  angulus  trianguli  arquianguli  faciat  duas  fer* 
tias  unius  redi, faciunt  tres  anguli  tales.duos  redos.  Poliunt 
igitur  tres  anguli  tales  conilituereangulam  (olidum, conditu* 
unt'qi  talem,  quales  requirit  tetrahedrum , id  eft,  corpus  qua- 
tuor  bafium. 

Item  quatuor  anguli  fuperficiales  tales,  faciunt  duos  angu* 
los  redos  cum  duabas  tertrjs  unius  redi,  Poflfunt  igitur  talium 
quatuor, conftiruere  angulo  folidum,cum  non  attingant  quan 
tiratem  quatuor  angulorum  redorum , conftituuntcg  talem, 
quales  requirit  odohedrum,id  eft , corpus  odo  bafium. 

Item  tales  anguli  quinc^iuperflciales,conftiruunt  angulfi 
folidum,cum  ualeant  tribtjs  redis  di  una  tertia  redi,  ut  ne  illi 
quidem  attingant  quantita  tem  quatuor  redorum.Et  tales  (eu 
tantos  angulos  requirit  Icofahc drum , id  eft , corpus  uiginti 
bafium. 

Sex  autem  anguli  iuperfic(ales,quales  (eu  quantos  fac(t  tri 
angulus  arquiaogulus.taciut  prarcilc  quatuor  angulos  redos, 
ideo  irapoflibile  eft,  tot  pofle  angulorum  talium  concurrere 

ad 


Arithmeticae  Liber  -ii;  m 


ad  confhtutionem  anguli  folidi : multo  minus  poflunt  plure» 
talium, confli  tuere  angulu  folidum.  Relinquitur  igitur  demon 
ftratum.quod  fub  iuperficiebus  triangularibus  non  pofiit.regj 
corpus  regulare,  aliud,  i fpeciebus  tribus  prardidis : fcilicet 
corpus  regulare  redum  fuperficirbus  triangularibus , aut  erit 
corpus  quatuor, aut  odo.aut  uiginti  bafium. 

De  quadrangulo  atquiangulo  Qi  arquili  tero* 

V Cum  angulus  unus  quadrati  fit  redus,fac/unt  tres  anguB 
eius,tres  redos,atqj  ita  quantitatem  quatuor  redorum  angu- 
lorum non  attingur,ideo'cfc  tres  anguli  fuperficiales  huiufmodi 
conftituunt  angulum  iolidum  redum.qualcs  ieu  quatos  requfe 
rit  hexahedrum.i.corpus  lex  bafium,(eu  cubus* 

Quatuor  aut  anguli  redi,aut  pIureQbn  poflunt  coftituere 
angulum  Iblidum.ideo  impoflibileeft.ut  iuperficiebus  quadra 
tis  pluribus  quatuor  ,paucioribus'uc,  tegi  pofcit  corpus  ali* 
quod  regulare* 


De  pentagono  arquiangufo. 

r Cum  uero  angulus  unus  pentagoni  arquiangufifcciatre* 
dum, cum  parte  cius  quinta  .faciut  tres  anguli  tales,  tres  redo» 
cum  tribus  quintis  unius  redf.Et  cum  illi  quatitatem  quatuor 
angulorum  non  attingant,  mirum  non  eft  q>  tres  anguli  tales 
conftituat  angulum  folidum.  Conftituunt  aut  talem  folidum, 
quales  aut  quantos  requirit  dodccahedru.i.corpus  i z bafium. 

Quatuor  uero  anguli  pentagoni/aciut  quatuor  redos  cum 
quatuor  quintis  unius  redi.  ideo  impoflibile  eft  ut  quatuor  an 
guli  fales,aut  plures.poflint  conftituere  angulu  folidum.Itam 
impoflibile  eft,ut  ex  pentagonis  pluribus  duodecim  paucio 
ribus'ue,poflit  tegi  corpus  aliquod  regulare  prxeife.  * 

De  hexagonis  a reliquis  polygontjs  arquiangulis. 

V Angulus  hexagoni  arqanguli  unus,facir  redu  cum  parte 
tertia  unius  redi : iraq?  tres  anguli  tales  faciut  qua  tuor  redos . 
prafdfc.Itaqj  ex  h exagoni  arquianguli  angulis.impoflibile  eft 
«oftitui  angulu  foIidu;muItominus  poteft  coftitui  angulus  fo/i 
v . ..  . due* 


Primo. Polito  (emicirculo  diametri  a b fidentis  i to,eriga* 
tur  femidiameter  ec,&  erit  a C latus  odahedri  infcribendi 
fpharrar  axis  a b. Patet  hoc  ex  ^pofitione  i y terti] decimi,  quae 
dicit  proportionem  axis  fphaerae  circumfcribentisodahedrura 
habere  proportionem  potentialiter  duplamCid eft, duplae dimi 
diacam)  ad  latus  unuroipfius  odahedri;  fcilicet  quadratum 

axis 


Michaelis  Stifblii 

dus  ex  angulis  aliquot  polygoniae  alicuius  fequetium,c5  tafiS 
polygoniarum  anguli  tres,  lemper  excedant  quantitatem  qua 
tuor  redorum . Itacp  impoftibile  eft  corpus  aliquod  regulare 
tegi  hexagonis  aut  heptagonis  &c. 

Patet  ex  his  fufficientia  fpccierum  regularium  corporum 
plene  demonftrat*.  Quibus  uifis  ad  propofttionem  capitis  hu 
ius  reuertatnur.quae  requirit  laterum  inuentionem  cornorum 


Arithmeticab  Liber  ii.  ijj 

axis  facit  »44oo,&  quadratum  lineae  ac  facit  7*00.  Diuifum 
autem  unum  per  alterum , facit  quotientem  reprarfentantem 
duplam  proportionem, ut  fatis  notum  eft.Sccudo  parer  etiam 
ad  fenium , fi  infpicias  corpus  ipfum  oAahedri : uidcbis  enim 
mox  ut  latus  tale  coincidat  cum  latere  quadrati  infcribendi 
circulo  illi,cuius  diameter  eft  axis  fphatrae  illius. 

Secundo, erige orthogonalcm  G D,  ira  ut  G b fit  pars  tertia 
ipfius  diametri  a b :&  trahe  ita  ad&d  b,  Sierit  A D latus 
tetrahedri ,&db  erit  latus  hexahedri  feu  cubi fphaerar  inferi- 
bendi.Primum  paret  expropofitiorlt  1 3 terttjdecimi  Euclidis, 
quae  dicit  axim  fpharrae  circumicribentis  tetrahedrum  ( id  eft, 
diametrum  ab)  habere  proportionem  fefquialterx  dimidia# 
cam,feu(ut  textus  loquitur)  fefquialteram  potent/aliter. 
Cum  autem  G d fit  medium  proportionale  inter  a g faciente 
8o,&g  B faciente  40, faciet  gd,/* 3 loo.Itacp  per  penultimam 
primi,faciet  a d Jty  600  :Si  (per  eandem)  faciet  d b»/&48oo# 
Videiam  an  14400  habeat  proportionem  fefquialteram  ad 
9600.  Secudum  patet  ex  1 4 tertijdecimi.quae  docet  axim  fpliae 
rac  circumicribetis  cubum,ad  latus  cubi  (eu  hexahedri,habere 
proportionem  potentialiter  triplam.Vt  1 4400  ad  4800,  facit 
triplam  proportionem. 

Tertio,  ereda  orthogonali  B I adacqualitatcm  diametri  a B, 
trahe  b i , 6C  fic  trahitor  f h orthogonalis  3 pun&o  ubi  E 1 in* 
terfecat  circumferentiam, & erit  F B latus icoiahedri  faciens 
^,7200 — «/&10368000  .Ethoc  eft  quod  dicit propofitio  1 6 
tertijdccimf,qudd  latus  tale  necefiario  fit  linea  minor,  fi  uideli 
cet  axis  fphkrae  circumfcribetis  icofahedrum  fic  linea  ronalis. 
Sic  autem  inuenitur  numerus  lateris  huius. 

Cum  e b faciat  60, Qd  b i. i 20,  faciet  e 1 ^ 1 8000.  Facit aute 
E F 60, cu  fit  femidiamef  circuli,  Vnde  regula  de  tri  hic  utor  fic: 
E 1 dat  1B,  quantum  dat  E F,  facit  F H.  Hoc  eft, 
1 8000, 1 20/60.  facit  y*288o,&:  tantum  facit  f h .Cuius  dU 
midium  eft  e h,  ficut  dimidiam  ipfius  1 b eft  e b . Et  quia  e b 

hh  facit 


* ' . Michaelis  Stiteui 

fecft  facit  7zo, ideo  H B facit  60 — J^yxo. Cuius 

quadratum, additum  quadrato  ipfius  F H, facit  quadratum 
ipfius  F B. 

Quarto. Si  D B diuidatur  fecundum  proportionem  haben- 
tem media  & duo  extrema,  tunc  maior  portio  diuifionis  illius 
erit  latus  dodecahedri  infcripti  fphcrrat,  cuius  axis  (it  aequalis 
diametro  a B.Cum  autem  D B(id  e(t,la  tus  hexahedri  feu  cubi) 
faciat 4800  C axi  fpharrar  faciente  1 20)  faciet  maior  portio 
diuifionis  illius  A 6000 — «/$izoo,ideft  o B.Ethoceftquod 
dicit  17  tertijdecimi,latusdodecahedrf  e(Te  lineam  rcftdualem-» 
uidelicet  axi  fpharrae.cui  infcnbitur.exiflente  linea  rationali. 

Item  ex  latere  icofahedri.  i. ex  linea  f b,  fuperioris  figurae,  fi 
latus  t<  igoni  fiat  , & circumfcribatur  circulus  eidem  trigono# 
at  eft  K l huius  figurae  (equentis , latus  uidelicet  icofahedri  in» 
fciibendi  fp  baeraeaxis  A B (fuperioris  figurae)  facientis  1 20« 


X 

• p 

Et  K H latus  pen  tagoni^erit  b tus  dodecahedri, Et  m n (Id  eft, 
j.  1 “ • linea. 


/ 


Arithmeticae  Liber  ii.  214 

linea  fubtcndens  angulum  pentagoni)  erit  latus  bexahedri  (ea 
cubi. Et  M PCideft, diameter  quadrati  lincar  m N)  erit  latus  tc- 
Crahedri.Et  o Q.(id  eft, cathetus  trianguli  lateris  M P)  erit  la- 
tus ocftohedri.Corpora  illa  omnia  uni  dC  eidem  fphaerae  inferi* 
buntur, cuius  axis  eft  A B fuperioris  figurae,  facit'cp  1 20.  Haec 
funt  fere  omnia  quae  docent  tertius  dedmus  Euclidis,&  quar« 
cusdecimus. 

Numeri  figurae  proximae  fuperioris. 

Latus icofahcdri  KL,y%.72oo — ^10368000,  .• 

Diameter  K R, facit y^,p6oo — y%i84320oo, 

Latus  dodecahedri  K M,y%  6000  — »oo.  . > c .» 

Latus hexahedri  MN,facit»/% 4800.  — >.j 

Latus  tetrahedri  facity^6oo,&eft  MP. 

Latus otfiahedri  o Q. facit  ^7200, 

T Similiafere  docet  propofitio  nona  quartidecimL 
IDiuifa,  inquit , qualibet  linea  fecunbum  proportionem  ha* 
bentent  mcbium  et  boo  errrema  (ut  eft  a b fequentis  figurae» 
faciens  «/%.  2400  — f — %/% > 1 j-2ooo,diuifa  in  a C facientem 
V%.x4oo-v/*i  1 y2ooo,&CB  faciente  y%.48oo — ^18432000) 
erit  proportio  linee  potentis  fupra  totam,  eius'cp  portionem 
maiorem  ( ut  eft  linea  D a faciens  7*48  00,  quam  uides  polle 
quadratum  aequale  quadratis  linearum  D C,  leu  a B totius,  QC 
a c portionis  maioris)ab  l ineam  potentem  fupra  totam  eiuf- 
bemcp  portionem  minorem  (ut  eft  linea  d b Fadens7*.  }ioo 
— y%  10  3£8ooo,quamuidespofte  quadrata  linearum  DC  (eu 
a b totiusA  c b portionis  minoris)  tanquam  proportio  late* 
riecubiablatos  icofabebri.  Hoc  eft, fi  da  fiierit  latus  hexa* 
hedri  ieu  cubi, erit  proculdubio  D B latus  icofahedri  inferibedi 
eidem  fphaerar,cui  inferibitur  cubus  lateris  d a . Si  autem  D B 
facit  — y%  1 o 3 68ooo,tunc  fadet  axis  fphaerae  circum- 

«fcribentis  corpora  illa  1 a o,  ut  iam  oftenditur. 

w>  «i  y* 


1 


< . ► 


Michablis  Stitelii 


Vt  autem  haec  figur  a prae* 
beat  exemplum  fere  finga 
lis  propofitionibus  tertii- 
decimi  Euclidis  ataj  quar- 
ti dedmi , prudens  Ledor 
bene  intelliget.Ec  ut  res 
ed  magis  innotelcat»  uolo 
ego  eidem  figurae  infcnbe* 
re  omnia  latera  propofitio 
nis,  & capitis  pratfentis  QC 
praecedentis*. 


Eft  autem  a b diuifa  fearndum  proportionem  habentem  me- 
dium & duo  extrema  in  pundo  c,  item  H g in  pundo  b. 

Primo*. 


Arithmeticab  Liber  ii.  11$ 

> rPrimo*  Si-fuerit  circulus,  cuius  diameter  fit  AC,  erit /pia 
a e latus  hexagoni  circulo  illi  inferibendi. 

Et  o b Ciuxta  quinta  terttjdedmi)  erit  larus  trigoni  circulo 
illi  infcribendi.Teftatur  idem  quinta  quartidccimi. 

Et  a F erit  latus  tetragoni  eidem  circulo  inferibendi  ( cum 
a C fit  femidiameter,item  C B ) ut  a C F in  circulo  tali  faciant 
quadrantem  circuli. 

Et  b f erit  latus  pentagoni  eidem  circulo  infcribendf,iuxtt 
decimam  tertqdccimi. 

Et  c b erit  lacus  decagoni  eide  circulo  inferibendirut  habet 
ptopoOtio  9 tertqdecimi,&  teftatur  idem  io  tertijdedmi. 

Et  o A fcu  a Gfunt  enim  aequales  duae  illae)ericlinea  fubten' 
dens  angulum  pentagoni, eidem  circulo  inferipti. 

rSecundo.Sifueritfphaera.cuiinfcribitur  linea  B F,tan£p 
latus  dodecahedri, inferibetur  eidem  fphaerae  linea  B D tanqufc 
latus  icofahedri.  Et  D a feu  a g inferibetur  eidem  tanquam 
latus  hexahedri/eu  cubi.  Et  D G C quae  eft  diameter  quadrati 
D a)  inferibetur  eidem  fphaerae  tanquam  latus  tetrabedri.  , 
Et  i G ) quae  eft  cathetus  orchogontj  trianguli  D i g ) inferibe* 
tur  eidem  fphaerae,tanquam  latus  cxftabedrf. 

De  fuperficiebus  corporum  regularium. 

DE  fuperficiebus  corporum  regularium  funt  propofitio* 
nesquartidccimi,fcxta,feptima,fii  odaua  dic.quas  pau- 
cis abfoluam,abfoluta  ia  m tratffatione  linearum  feu  laterum 
eorum  corporum.Cognitis  enim  lateribus.facile  erit  quantita 
tes  bafium  feu  fuperftderum  inuenire.  Nam  latus  cubi  (feu  he 
xahedri  inferibendi  fphaerae)  in  ie  multiplicatum  quadrate  .fa- 
cit aream  unius  fupeificiei.quarum  fex  funt  in uno  cubo.  Sunt 
haec  notiflima. 

rin  dodccahedro  funt  duodecim  bafes  pentagonales  aequi* 
angulae  inter  fe  aequales ,ut  fatis  ditfhim  eft  fuperius.  Si  aurem 
linea  durfta  i centro  pentagoni  ad  medium  unius  larerum,fue* 
sit  multiplicatu  in  dimidiu  ambitus  pentagoni  eiufdenyd  cft, 

hh<  iij  i» 


eu 


MiCHaELIS  STlFBLlt 

in  latera  i£ , tunc  producitur  area  pentagoni  Unius. Vt  fi  fatua 
dodecahcdri faciat  */%<Sooo — »/£  noo, faciet  linea  ducfta  i cen« 
tro  pentagoni  ufque  ad  medium  Iaterls./$.  6oo-«—  71000« 

Nam  illa  linea  componiturex  additione dimidq  lateris  hexa* 
goni  ad  dimidium  lateris  decagOni  ( ut  habet  ,ppofitio  prima 
quartidecimi)ut»/%.iioo — y%  1 1 5- zo  00  (.quod  eft  dimidium 
lateris  dccagoni ) ad  J%.6oo  — 7 1 000  ( quod  eft  dimidium 
lateris  hexagoni, ieu  quarta  pars  diametri ) facit  numerum  li* 
nestptsedidumjUidelicety^.doo-f-y^yiooo.  ' 'j 

Sic  autem  fit  additio  compendiofe. 

Dimidium  lateris  decagoni  refoiuitur  iuxta  regulam  capite 
duodecimo  datam:  fcilicet  J%%  1 zoo — 15-1000,  relol* 

uituriny%.  600-f— »/%7iooo, — Vfc.  600  — »/^71000,  Atque 
ita  addo  J\,6oo  *~~»/%7xooo>&  fit  » 600-4—  »/$7x000 , Haec 
igitur  linea  multiplicara  in  3 7700 — ^$75*00.1. in  dimidium 

ambitus  bafis  unius,feu  in  latera  duo  eam  dimidio,facit  aream 
unius  pentagoni  (eu  bafis:uideiicet  quadratum  de  numero  hoc 
— »/%75'ooJ  facit  %/%.  45-000  — »/$1  1 15-000000 . Hoc 
4am  multiplica  per  linea  m inuc  ta m.i.per  J%.  6 o o -f-  »/$7 zoo», 
facit /fc.iSoooooo — »/$  64800000000000. Et  haec  eft  area 
unius  bafis,  quae  fi  multiplicetur  per  11  (cum  iz  bafespenta* 
gonales  tegant  unum  dodecahedrum)  prouenit  numerus  cun 
tfarum  fuperficierum  fimul,qui  facit  hoc  produ&um* 
»/^.1591000000 — »/$  1341^91800000000000. 

Et  hoc  eft  quod  dicit  (exta  quartidecimi : 0i,tnquit,pcntago 
nue  figurae  buobecim  bafturn  fuerit  inferiptud  circulo,  et  i 
«mro  bueta  fuerit  linea  abmebium  laterie  pentagoni,quob 
fub  vno  latere  pcntagoni.atque  linea  illa  i centro  bucra.con* 
tinerur.fi  multiplicetur  per  $o,ejrurgct  area  fuperfiaalte 
pmuerfa  capone  illius  buobecim  bafium. 

Paret  hoc.Nam  idem  prouenic,fiue  2 i ( ideft,(emiambitut 
pentagoni ) multiplicetur  per  iz,  fiue  y multiplicentur  per  6; 
Utrobiq?  erum  producitur  1 

iu  (*>  * fc 


Arithmeticas  Liber  m,  h$ 


. V In  reliquis  corporibus , lingulae  bafcs  lunt  triangulares 
arquilaterar . Iracp  daro  latere  corporis  huiufmodi , multiplici 
illud  in  fc,&  i producto  fubtrahc  hoc  quod  iit  ex  dimidio  late* 
ris  in  fe(hoceft,i  quadrato  laterisunius  fubtrahc  partem  quar 
tam  quadrati  produ&i ) tunc  relinquitur  quadratum  catheti. 
Regula  autem  eft,quod  Dittirtto  latcrtd  trianguli  cquilateri 
multiplicaro  in  catbctum.probucitur  area  trianguli  iUtue. 
Et  hoc  eft  quod  propofitiones  qua  rttdecimi,undecima  Qi.  duo» 
decima  docent.  Prior  harum  dicit : In  omni  triangulo  «equila 
tero, fi  ab  uno  angulorum  eius  perpendicularis  trahatur  ad  ba 
fim}laruseiuiUemtrianguli  ad  ipfam  perpendicularem  potens 
tialiter  fefquitertiam  habebit  proportione.  Pofterior  fic  dicit ; 
Quilibet  trigonus  atquilateruscutuslatuscft  rationale.fuper* 
flcies  eft  medialis. 

Sed  dfdorum  prius  exemplum  uidesmus. 

Latus  icofahedrinfacfatnrmhimc,yfc.  7100 — »/$10368000, 
faciet  lateris  dimidium  ./$ , 1 800 — </$643*00.  Harum  linearS 

?uadrata  i fe  inuicem  fubrra<fta,relinquutquadratum  catheti. 

acit  igitur  cathetus  5-400 — y$648ooo.Vnde,/$.i8oo — . 

</$648000  in,/$.  5-400 — ^$648000, facit</$.  10 3 68000  — 
335-913x0000000.  Er  hacc  eft  area  uniusbafium  icofahedrf 
facientis  latete  uno  in  longitudine  </$ . 7100 — 1 o 3 6S  0 0 o. 
Cum  autem  uigintf  bafes  tantar  tegant  icofahedrum  iftum, 
multiplicandam  fcies  aream  politam  per  20, ut  totius  corpo* 
ris  area  producarur.Facietauteuniuetia  area  fuperficialiseiu* 
</$•4 147*00000  — ,/$  y 37477  * »00000000090. 

- Idem  proueniet 0 iuxta  propofitione  7 quartidccimi  opereris. 
V titur  autem  propoliiio  illa}tegula  generali,  ut  fatis  conftat; 
fcilicet  lineam  ,pdudam  i centro  ad  medium  lateris  durtam. 
docet  multiplicare  in  femiambitum  trigoni.Ea  enim  mulriplf 
catione  producitur  area  unius  balium.lam  idem  eft,  (lue  multi 
plices  1 k per  xo,liue  3 per  1 o,liue  1 per  30. 

Repratfen# 


Michaelis  Stieelii 

Repracfentemus  tamen  propofltiones  illas  quartidecitni, 
textam  £C  feptimam,fuis  proprijs  figuris. 


I 


Arithmeticas  Libbr  IT.  117 

Satis  uides  ex  figuris  filis,  ut  linea  a b du&a  in  dimidium  Ia 
teris(  id  eft, in  B c) producat Iuperficiem  E F, quae  fit  aequalis  fu 
perficiei  fi  g.  Et  ut  e g fit  in  pentagono  pars  quinta  fuperficici 
illius  pentagonicae.  In  trigono uero  fit  e g pars  tertia  trian- 
guli illius  praecife.Itaqj  fi  e g pentagoni, quinario  fuerit  multi*  • 
plicata, producitur  area  pentagoni  praecife.Et  fi  e g fuperficies 
trigoni  multiplicet  per  ternariu, producit  area  trigoni  pcile. 

Sic  fi  multiplicetur  linea  a B in  totum  latus, fdeftinDC^unc 
producitor  iuperficies  h g e F.Ea  autem  quae  eft  in  pentagono, 
fi  multiplicetur  per  quinarium,  producitur  fuperficies  dupla  ad 
pcntagonicam  illam  iuperficiem , Sic  ea  quae  eft  in  trigono 
multiplicatapertemarium.producit  duplam  iuperficiem  ad 
ipfum  triangulum.  Inde  fit  ut  triginta  earum  fuperficierum» 
quae  iunt  in  pentagono,  fadat duodecim  bafes  pentagonicas; 
&C  triginta  earum  quae  funt  in  trigono,faciant  uiginti  bales  tria 
angulares.  V t uides  ex  regula  De  tri  hoc  modo; 

f dant  2 , ergo  ; o dant  1 2« 

? dant  2 , ergo  $ o dant  20, 

Et  hoc  eft  quod  dicit  propofitio  fexta  quartidecimi: 

0i  pentagonue  bobccabcbri  infcriptue  circulo  fuerit,  etl 
centro  bucta  fuerit  linea  ab  mebtum  laterie  pentagonuquob 
fiibvno  latere  pentagoni  atque  liiieailla  i centro  buctaab 
mebtuni  laterie, eotinetur,  ft  multiplicetur  per  trigenariunt 
nuitieru,erurget  area  fupfictalie  oniuerfa  illine  bobccabcbri. 

Etfeptima  propofitio  fic  dicit: 

0i  trigonne  corporie  icofabebri  fuerit  circulo  inferiptue, 
et  a centro  bucta  fuerit  linea  ab  mebifi  laterie  illiuetrigoni, 
quabrangnlum  quob  continetur  fnb  uno  latere  trtgont.atqj 
linea  illa  a centro  bucta  ab  mebinrn  laterie,  ft  multiplicetur 
P«r  $ Ojcrurget  area  fuperfictalie  tota,illiue  corp.icojabebri. 

Propofuerat  autem  propofitio  quinta  (ut  dixi ) fic; 

■ pentagonue  figurae  buobecim  baftumCid  eft  dodecahedri) 
triangulneqp  figurae  uiginti  baftum  ( id  eft,icofahedri ) quoe 

ii  MVtm 


Michaelis  Stifelii 

tabem  fpbera  sircumfccibit,  t?no  cobemcg  circulo  circumfer  i 
buntur.  Et  ex  illis  omnibus  furopta  eft  occafio  proponendi 
de  propofitionibus  bafium  & fupcrficierum. 

Vnde  fle  dicitur  propoutione  8 quartidecimi. 

* proportio  cunctarum  fuperftcieru  corporie  bobecabebrt 
pariter  acceptarii>ab  cunctae  fuperficiee  corporie  icofabcbri 
pariter  a*ceptae(fi  ab  xmafpbera  ambo  corpora  circumfert 
banturJcfi  tanquam  proportio  lateris  cubi  ( quem  eabent 
fpbera  circumfcri0tt>ab  latus  trianguli  ipftue  icofabcbri. 

Sic pofltis quadrangulis  illis  duobus, H gef fuperiorum 
figurarum, ano  in  pentagono,  & altero  in  trigono,  erit  quocp 
eadem  proportio  illius  quadranguli  quod  eft  in  pentagono, 
ad  illudquadrangulum quod  eft  in  triangulo,  quae  eft  omniS 
bafium  dodecahedri,ad  omnes  bales  icotahedri,  cum  urrunqj 
. ano  6C  eodem  numero  ( id  eft,trigenario)  multiplicatu.reddat 
omnes  bafes  fui  corporis.proporcionc  non  mutata.EtCut  dide 
odaua  quartidecimi ) etiam  eandem  proportione  habet  latus 
cubi, ad  latus  icofahedri  (G  eadem  fphacra  corpora  illa  circum* 
feribat)  de  qua  proportione  etiam  loquitur  9 quartidecimi. 
Itacp  fi  i quadrangulo  H G £ F,quod  eft  in  trigono,exurgat  co* 
Ium  na  ad  menfuram  lateris  cubi  ( leu  ad  altitudinem  lineat  1 K 
Agnatae  in  pentagono)atty  altera  columna  exurgat  i quadran 
gulo  H G e f quod  eft  in  pentagono,ad  altitudinem  lateris  icoi 
iahedri  (feu  lineat  o C in  trigono  ) tunc  in  utracp  columna  runq 
erit  una  & eadem  foliditas.SaIicer,quadrangufum  quod  eft  in 
trigono  habet  area  hanc,,/W  184000 — 149299  zooooooo*- 
Quae  area  multiplicata  per  4800,  facit 

^.14883200000 — «/fcHJpSy  3 5-6800000000000. 

Et  eft  foliditas  columnat  exurgentis  i quadrangulo  quod  eft  in 
trigono.  Sic  quadrangulum’ qcP  eft  in  pentagono  h g e F, facit 
J%.z$$oooo — Vi  1 df  $$80000000. 

Quod  multiplicatum  per  latus  icofabedri,  feu  d c, latus  ipflus 
friangulijfacicntis  /&7*9.9 — vfy  1 0 j 68  0 0 o,  facit  foliditatem 
1...  / priori*. 


J 


Arithmeticas  Liber,  {j. 


ii  8 


prioris  columnae  uidelicxf,  ' 

^£.2488  3200000 — S%)4}?8r}j68ooooooooooo, 

Sic  ( ut  dicit  1 4 quartidecimi ) 0*  tetrabebrum  et  octabe* 
brum  otia  eabemqj  fpbcra  ctrcumfcribat,erit  ona  ejr  bafibue 
tettabebri,abonam  epbafibueoctabebri  fefouitertta.  Patet* 
Nam  latus  odahedri  talis,  femgeft  cathetus  bafistetrahedri* 
omni  aiit  triangulo  equilatero  ( ut  dicit  1 1 quartidecimi) 
fiaGonoanguloru  ciue  perpenbicularie  trahatur  ab  8afim* 
latue  etuf  bem  trianguli  ab  ipfam  perpcnb<cularem,potcnti* 
«liter  fcfquiterri  am  habebit  proportionem.  Sicut  autem  qua 
dratum  unius, ad  quadra  tum  alterius, proportionem  fcfquiter 
Ciani  habet : fic  nccefle  eft,ut  triangulus  arquilaterus  unios 
triangulum  arquilaterum  alterius,  eandem  proportionem  ha- 
beat,id  eft.fciqu/rertiam. 

Item  &mnee  Safee  octabebri  ( ut  dicit  eadem  i4quartide- 
cimi)  pariter  accepte,  ab  omuee  bafee  tetrabebri  pariter  accc 
prae, erunt  fefquialterar.  Patet.  Cum  enim  intetrahedro  fint 
4 ba  fes,&  in  odahedro  fint  8 bales,  fatis  uides  ut  ex  additione 
proportionis  f ad  proportionem  $ proueniat  proportio  haec 
quae  eft  proportio  omnium  bafium  tetrahedri  ad  omnes  bafee 
odahedri.  Ergo  proportio  omnium  bafium  odahedri  ad  om- 
nes b a fes  tetrahedri  ,eft  haec». 

Et  (ut  dicit  ij  quartidecimi)  0iarie  fpfcerae  circumfert* 
bentie  corpora  illa  fuerit  rationalis  (flue  longitudine, fiue  po- 
tentia) cunctar  fuperficiee  utriuflibctcorporum  (&  retrahe* 
dri  uidelicet  & odahedri)  pariter  acceptar,componunt  fuper* 
ficiemmebialem. 

Rationem  huius  reddit  propofitio  1 x quartidecimi, dicens : 
Quilibet  trigonus  equifaterue  cuius  latus  efi  rationaleCfiue 
longitudine  fiue  porentia,  ut  oportet,ubi  axis  fpharrar  circa  feri 
bentis  corpora  illa  fuerit  ronalis  &c)  fuperficiee  eff  mcbialie» 

Item  Omnes  bafee  berabebrt  ( feu  cubi ) pariter  acceptae, 
f quales  funt  quabrato  biametri.q  fit  ex  quabrato  «pie  fp$crc 

ii  ij  circum* 


’•*  Michaeli*  Stifei.ii 

circumfcrtbcntts  cubum  tlhmtCeft  ultima  quart/dedmi).  . 

Vt  fi  axis  fphaerae  faciat  i z o fua  longitudine , erit  area  qua* 
drati  eius  1 44oo,erirt$  diameter  quadrati  illius  A18800. Cu- 
ius quadratum  facit  aream  hanc  28800.  Cui  aequantur  omnes 
bales  cubi  pariter  acceptae : (cilicet  cubi  latus  faciet  4800* 
Vnde  cum  area  unius  balis  faciat  4800,  facient  cius  fex  ba« 
fes  28800. 

De  ioliditatecorporum  regularium. 

QVot  in  corpore  regulari  luerint  bales, tot  in  eo  erunt  py« 
ramides  inter  leaequalesatcp  fimiles,ipfum'q$  corpus  to- 
tum complentes, quarum  quaelibet  £ bali  una  furgat>&  in  cen- 
tro terminetur.  Vnde  quaelibet  pyramidum  talium , pars  eft 
totiuscorporis  illius.denominata  1 numero  bafium.Vt  in  te- 
trahedro,eft  pars  quarta, in  hexahedro  eft  pars  corporis  lexta» 
inodahedroeft  pars  ipfius  odaua , in  dodecahedroeft  pars 
Ipfius  duodecima,  & in  icofahedroeft  (una  pyramis  eius)pars 
ipfius  icofahedri  uigefima. Regula  igitur  communis  eft, ut  in- 
quiras foliditatemunius  pyramidum  huiufmodi,  in  quolibet 
corpore  regulari,ca'cp  foliditate  inucnta , multijpliceseandem 
per  numerum  bafium  corporis  illius.  Ea  autem  loliditas  i nue* 
nitur  generaliter  per  triangulum  orthogonium  in  pyramide 
tua  obleruandum.In  quolibet  autem  triangulo  tali,  erit  hypo« 
tenufa  eius,pars  dimidia  ipfiasaxis,infpharra  circumfcribere 
corpus  illud.  Et  bafis  eiufdem  trianguli,femper  erit  femidiame 
ter  circuli  circufcribentis  bafim  corporis  illius  unam.His  habi 
cis  facile  (id  eft,per  penul cimam  primi)  inuenitur  cathetus  tri- 
anguli orthogonq  illius . Eft  autem  cathetus  talis,  pyramidis 
altitudo.  Altitudo  uero  multiplicata  in  aream  bafis,  producit 
columna  pyramidis.quam(iuxta  Euclidis  8 duodecimi)  opor* 
tetclTc  triplam, ad  luam  pyramidem. Columna  igitur  diuifa. 
per  3 , producitur  loliditas  pyramidis  eius. 

Videamus  ergo  nunc  negoctj  huius  exempla. 
rSitaxis  fphatr*  circumfcribcntis  tetrahedrum , hexahe* 

drunk 


Arithmeticae  Libbr  ii*  219 

drum,odahedrum,dodecahedrura,  & icofahedrum,  longitu* 
dinelua  faciens  120,  Itacg 

In  hexahedro  erit  latus  unum  longitudine »/^48 0 o‘.Et  area 
bafis  eius  48oo.Et  altitudo  unius  pyramidis  (quarum  fex  com 
plent  totum  hexahedrum,iuxta  numerum  bafium  eius)  facfcr 
1 2oo,cum  fit  dimidium  lateris  cubi  ( ut  docet  ultima  quarti 
decimi ) Semidiameter  autem  circuli  circumferibentis  bafim 
hexahedri  unam , facit  */%  2400 . Multiplicata  ucro  altitudine 
unius  pyramidu,in  area  unius  bafiu,  ,pducit  27648  000000, 
quae  eft  foliditas  columnae  pyramidis  unius.  Eft  ergo  ioliditas 
trium  pyramidum, cum  columna  quaelibet  fit  tripla  ad  (iiam 
pyramidem.  Ita®  haec  duplata  (cum  fex  fint  in  hexahedro  py* 
ramides  tales) facit  totius  hexahedri, feu  cubi,  foliditatem 
Ai  105-92000000. Idem  prouenitex  multiplicationelateris 
.cubi  cubice.ut  notum  eft:  feilicet^cedenroillo  fecit  y%48oo. 

In  tetrahedro erit  latus  unum,fub  hoc  numero,  «/$9600 , 8C 
bafis  una  faciet  hunc  numerum  ,/%  1 7280000.  Semidiameter 
uero  circalicircumfcribentis  bafim,  feciet  «/fc  5 2 oo.Vnde  alti- 
tudo unius  pyramidisin  tetrahedro  (quarum  quatuor  concur» 
runt  circa  Centrum  corporis)  fecit  20.  Itacp  area  bafis, id  eft, 
A1728000  o.multiplica  ta  per  2 o,feu  per  ,/%  40  o,  fecit  colum* 
nam  unius  pyramidis,ideft  r 20  00000, Cuius  tertia  para 

facit  «/1*768000000.  Et  tantum  fecit  una  pyramis.  Quatuor 
ergo  pyramides  (id  eft, ioliditas  totius  tetrahedri)  faciunt  nu* 
pnerum  hunc«/%  1 2 288oooooo.Eft  praeterea  tetrahcdrum  para 
tertia  hexahedri. Vndepofita  foliditatecubi  ,fi  illam  diuidaa 
per  3 .tunc  prouenit  tetrahedri  foliditas^beadem  fphara  cir* 
cumfcripti.  Eft  etiam  totum  retrahedrum  una  pyramis,  cuius 
columna  aequa  fit  cubo.  Igitur  multiplicata  bafi  ima  in  altitu- 
dinem ipfius  tctrahcdri(id  eft, in  duas  tertias  axis  ipbaerae  illius 
quae  corpora  illa  circumfcribit)  producitur  foliditas  cubi  &c. 

Inodahedro  faciet  latus  unum  /%7200  ( ficut  enim  latus 
tetxahedri,eft  diatnetcr,bafis  unius,in  hexahedro  ,fic  latus  oda 
. c ii  «n  • bedri 


r 


.'MichAbui  Stifilii  ' 

hedci eft  cathetus, bafisunfus  in  tetrahedro)  & ba fis  una  facit 
^fc97ioooo. Et  cum  fcmidiameter  circuli  c/rcumfcribent/s  ba 
(im  unarti , faciat  fua  longitudine  A 1400  ( quantum  enim  eft 
latus  unum  tetrahedri,tantu  facit  diameter  circuli  circumfert* 
bentis  bafim  unam  o<ftahedri,fdlicet  unus  & idem  circulus  dr 
cumfcr ibit  bafim  unam  hexahedri,  & bafim  ortahedri ) faciet 
columna  unius  pyramidis  108000»  Qua:  eft  foliditas  trium 
pyramidum.  Vnde  3 dantio3ooo.Ergo8danta88ooo.TotO 
igitur tetrahedrum  fua foliditate facit  zS8ooo»> 

Probatur  hoc  per  propofltionem  1 6 quart  idecim/,quar  dicit: 
<3ctdbcbrum  biutftbile  eft  m buas  pyramibee  arqueoftae, 
quarum  altitubo  equalie  eft  ari  fpbere:  bafte  anrem  vtriufq» 
eft  quabratum  fuSbuplum  ab  quabratum  ajrie  fpberar. 

Pa  tet  hoc  ex  infpcdione  corporis  illius:  fcilicet  bafis  illa  eft 
quadrata,cuiusdiametercxaxisfpharrar,cum  latus  unum  qua 
drati  illius  faciat  S%7ioo.  Facit  igitur  bafis  area  7^00 : & alti* 
tudo  unius  pyramidis  facit  5o,Vnde6o  in  72  00, facit  432000, 
columnam  uidelicet  altcriuspyramidum.Itaqj  tertia  pars  eius 
(id eft  »44000) eft  iolidirasunius  pyramidis.  Ergo  ambar py- 
ramides faciunt  188000. Et  hatceft  foliditas  totiusodahedri» 
6i  eft  rationalis,ut  uides. 

» In  icofahedro  iunt  uiginti  pyramides  cocurrentes  c/rca  ceti 
trum.  Eft  autem  latus  unum  corporis  huius  fub  hoc  numero, 
7200  — ,/%i  036800.  Et  bafisunafaciW%.i  1664.000 — 
^75- f 8 271 00000  oo.Etfemidiameter  circuli  circumfcribcntis. 
bafim  hanc,  facir  2400  — 115-2000.  Fadr  ergo  altitudo 

uniuspyraroidis  1 2oo-f-»/%  11 72000,  Harc  multiplicata 

in  arcam  bafis,fadt  hanc  columnam: 

»/%.466f^ooooo  -f-  ^43737^4^72000000000. 

Huius  pars  tertia  facit  foliditatem  pyramidis  unius.uiddicet, 
pyramis  una  fac.  7 1 8400000-1-^737477 12000000000« 

Et  harum  pyramidum  uiginti,  fedunt  foliditatem  totiusicofa 
hedri.ea  facit  hunc  numerum, 

^.2073^00^000— /^$799^3  jpzopooowpooooa* 


Arithmeticas  Liber  rr.  220 

In  dodecahcdro funt  duodecim  pyramides  aequales, c/rca 
contrum  concurrentes . Latus  aute  unum  corporis  huius,facit 
hunc  numerum  ,J%6o 00 — izoo  ♦ Et  bafis  eius  una , facie 
1 Soooooo  — ^64800000000000.  Scmidiameter  aut  cir- 
culi circumfer  ibcntis  bafim  unam  dodecahedri,  cofncidit  cuiw 
femidiametro  circuli  circumfcnbentis  bafim  unam  icolahedrf». 
Ex  quo  fequitur  lineam  altitudinis,  unius  pyramidis  in  dode* 
cahedro  (ex  his  quae  drca  centrum  concurrunt)  aequalem  efie 
lineae  altitudinis  unius  pyramidisin  icofahcdro,  cum  hypote- 
nufa  orthogonij  (de  quali  fupertos  didum  eft ) utrobicg  C imo 
ubiqg ) fit  idem,  uidelicct  dimidia  pars  axis  iphaerae  circum» 
(bibentis  corpora  illa . Itacg  altitudo  uniuspyramidis  facir 
1 zoo  — | 1 lyzooo.Haccaltttudo  multiplicata  in  aream 
bafis,  facit  1 1960000000  -f-  ,/$93  3 1 zooooooooooooooo. 
Et  eft  numerus  ifte,foIiditas  columnae,unius  pyramidis,copIi# 
cans  quatitatem  triu  pyramida  ( ut  habet  8 duodecimi)  Itacp  fi 
ifte  numerus  quadruplet(cum  tres  pyramides  fint  pars  quarta 
totius  corp.dodecah.)tunc  ^pducit  foliditas  totius  dodecahedrt 
ha:C,y%.zo736ooooooo-f-‘  y%z388787zoooooocoooooooo. 

De  proportionibus  corporum  ad  inuicem. 

Es  T autem  proportio  cotporie  ( inquit  roquartidecimi) 
bobecfl^ebrt  ab  corpus  icofabcbri,ft  ea  ambo  una  fpbera 
indubat , ficut  proportio  omnium  bafium  bobccabebri.ab 
omnee  bafce  tcofabcbrt.  Quia  ficut  1 2 bafes  in  dodecahcdro 
ionferGtur  ad  zo bafes  in  icofahcdro,  ita  duodecim  pyramides 
aequales  id dodecahedro, conferuntur  ad  zo  pyramides  arqua* 
!fe$  in  icofahcdro.  Et  quia  pyramides  funt  utrobiqj  altitudine 
aequales  [u^dida  eft  paulo  fuperius]  fequitur  unum  efie  nume- 
rum opor  tcrc.qui  multiplicet  bafes  omnes  dodecahedri,ut  pro 
ueniant  omnes  pyramides  dodccahedri  ad  centrum  concurren  * 
tes  (id  eft,ut  proueniat  totum  corpus  dodecahedri)  & qui  mu! 
tiplicet  bafes  omnes  icofahcdri  ut  proueniat  totum  corpus  ico 
fahedri,  id  eft, omnes  pyramides  corporis  illius  circa  centrum, 
concurrentes . Notum  eft  aute  ut  pofita  aliqua  proportione^ 


• MIchaims  Stitilii 

fpia  proportio  non  matetur,  fl  utercp  eorum  uno  & eodem  nu- 
mero multiplicetur, aut diuidatur.  Et eandem  proportionem* 
etiam  habet  latus  hexahedri  ad  latus  icofahedrhut  dicit  8 quar 
tidecimi.Vnde  fi  latos  hexahedri  multiplicet  icofahedrum,ne 
cefTe  eft  prouenirc  hoc,  quod  proucnit  ex  multiplicatione  do* 
decahedri  per  latus  icofalicdr/* 

VJttm  proporrio  octabcbii  ab  tetrabcbrum,efl  ftcut  pro* 
portio  quabrati  ape  fphere  circumfcribcntie  corporailla,ab 
quabrangulum  contentum  fub  latere  vnotetrabebri»  atque 
fub  fctmbtametro  circuli, flaftm  tetrabebri  circumfcribentie. 


Docet  hoc  idem  penult.quartidecimi  fub  uerbis  obfcuriorib?. 

PJtem  proportio  berabebri  ab  octabebrum,  circumfcri- 
benteilla  fphacra  una.  eft  ftcut  proportio  omnium  bafmmbe 
jrabcbri.ab  omne*  fiafee  octabebri* 

Ratio  ert.Quia  idem  drculus  circumfcribitbafim  unam  he 
xahedri,&  hafim  unam  odahedri,  ut  necefle  Gt  fex  pyramides 
hexahedri , quae  concurrunt  circa  centrum  hexahedri.  & odo 
pyramides  odahedri,  concurrentes  circa  centrum  odahedri, 
habere  altitudines  aequatas  inter  fe:  idco'q?  necertc  cft,propor 
tionem  baGum,in  utrocp  corpore  refpondere  proportioni  py* 
ramidum.VtGcut  una  baflsin  hexahedro,fe  habet  ad  unam 
bafim  in  odahedro,  ita  fe  habet  una  pyramis  in  hexahedro,ad 
unam  pyramidem  in  odahedro.Et  Gcut  fe  habent  fex  bafes  in 
hexahedro.ad  odo  bafes  in  odahedro : Gc  fe  habent  fex  pyra* 
cnides  in  hexahcdro.ad  odo  pyramides  in  odahedro. 

Vt  autem  hexahedrum  Gt  triplum  ad  tetrahedrum,didum 
cft  fuperius  fatis  Sic. 

Epilogus  capitis  huius  ultimi.  * 

jTuero  finiam  tandem  caput  hoc,  nihifcg  eorum  prae- 
termittam,quae  docent  decimqstertius  & decimusquar 
I tus  EuclidiSjConferam  figuram  priorum  propofitionQ 


certtjdecimi,cum  figuris  propofitionum  pofteriorum. 


Htt 


AftlTHMBTfCAH  LlBBB.  *U 

Hacccflautem  figura  propoGtionum  priorum, tertijdecimh 


Liaeat  diuifae  fecundum  proportionem  habentem 
medium  & quo  extrema* 

\ a B c in  pundo  C* 

G fe  Hin  pundo  b ,id  eft,  a e h in  pundo  E* 

1 HACinpundoA. 

hac  Kinpundo  c« 

• Item  trahenda  linea  a FKin  pondo  f,81c» 

Hatcuero  figura  (equens , complicat  exempla  propofttfo- 
num  pofteriorum  terti) decimi, di  omnium  propoutionuD 
quartidccimi* 

. • .. r hlt  j * 


W' 


rrr.  /MichabliI  STifBm  T 

tVfl  ' ' ^,-y  - , . 


“ Primo  fumpta  eft  femid/amcrer  minor/s  cfreuli.ad  mento» 
feamlineae  e f prioris  figurae : fcilicet  e Ffeu  eh>&  l m feu 
M N fupponivyur  efle  inter  fe  arquales.Erit  igitur  D G feu  D H 
Ia  priore  figura  aequalis,  n m o in  pofteriore  figura*  Coueniec 

igitut 


AriTOmbticab  LllBR.  ! J*  111 

igitur  utrfqj  hoc.quod  docet  propo(7t/o  prima  tertrjdecimf : Ici 
licet  l N m diuifa  eft  in  pundo  N.tecundum  proportionem  ha 
Bentem  medium  di  duo  extrema,ficut  G F b in  pundo  F.Vnde 
fi  ad  m N addatar  M o direde,uel  ad  F e addat  e o ut  fiat  D H* 
poterit  N M o quinquies  hoc  quod  poteft  M o.ficut  o G uel  D H 
quinquies  hoc  poteft  quod  o e iemel  poteft.  0i, inquit  prima 
ter rijdecimi , Diuifa  fuerit  linea  fecundum  proportionem  has 
Bentem  medium  et  duo  ertrema , ft  maiori  portioni  linea  in 
longum  addatur  cqualie  dimidio  ipftue  linee  proportionali 
ter  biuifar,qu*dratunt  linear  compostae  er  ije  duabus, quin« 
tuplum  etit.adquadratam  dimdi)  ipftue  lineae  biuifae* 

E t cum  fecGda  tcrtrjdecimi  fit  cohueiia  illius,  conuenit  etia  illa 
utriqj.uidelicet  H D fiC  N m O.Tale  aliqd  etiam  habet  3 eiufdci 
Secunda  autem  quartidedmi  docet  iudicaredelineis  taliter  di 
uifis : Quicquid,  inquit.acciBit  vni  lineae  BiuifaefcomBotti 
proportionem  habentem  meBiuni  et  Buo  ertrema , cuilibet 
lineae  (tc  Biuifae  probatur  accibcre-Scilicet  certus  Ium  H o di* 
uifum  e fle  in  pundo  P,  fecundum  proportionem  habentem 
mediam  & duo  extrema : item  m n in  pundo  s,item  mn  lui 
pundo  N.itcmw  q^x  in  pundo Q_. Et  (iede  alijs. 

Ad  hoc  ucro  iudicium  conferunt  nonnihil  propofit/ones 
quartidccimi,prima,tertia,undccima:  item  tertijdccimi.tcrtia, 
quarta, nona  &c.Eas  ordine  aliquo  congruo  u idea  mus. 

Prima  quartidedmi  fic  dicit: 

Onelibec  linea  perpendicularis  Bucta  a centro  circuli  ab 
«tteBium  latens  pentagoni  ( ut  eft  m o ) cqualis  eft  dimidio 
lateris  Becagontfumpto  cum  BimiBiolacerie  beragont. 

Deinde  ponitur  diftributio  partium  hoc  modo: 

4£t  eaBem  perpendicularis  eft  equalis  perpendiculari  buct£ 
I centro  ad  dimidium  lateris  trianguli  ( ut  eft  m p ) fumptac 
cum  dimidio  lateris  Becagoni.  ut  eft  p o.  * 

Cum  igitur  linea  conftituta  eft  dupla  m p,&  p o fit  pratdidct 
modo  diiriia, fecundum  nona  terftjdccimi,  necefte  eft  ut  etiam 

'r-  kk  ij 


Mkthabuj  Stivblii 

M O fic  fit  diuifa.  Sic  autem  dicit  9 terttjdedmi: 

©i  latus  h^agoni  Cut  cft  m N)latue'cp  : becagoni(uteft 
n Dquos  vnus  circulos  citcumfcribit,fibnnuicem  in  longfi 
coiiiurigantur.tota  linea  ex  cie  copofita,biuifaerit  fecundum 
proportionem  habentem  mebium  ct  buo  cjrtrema>crtV<$  por 
tio  cius  maior  latus  beragoni. 

Vndccima  autem  quart/decimi  fic  dide : 

0i  buobus  propinquis  angulis  pccagoni  equilateri  intra 
circulum  befcriptt>i  r emt tm e fuorumla teru  buc  reae  lutee 
fubtenbantur  ( ut  fi  trahatur  in  circulo  minori  N a fecantem 
x Qjvtracg  altcramf<cabit,fccunbomproportionemba« 
bentem  nubium  et  buo extxtma,  maiori  ipftus portio  equa 
lis  erit  lateri  ipftus  pentagoni* 

Ex  hac  ulterius  facile  iudicare  poiTum  de  Iioea  N QX,eam 
Uldelicetetia  fic  efie  diuifam  in  pundo  Q^cum  dicat  quarta  13« 
0i  fccunbum  proportionem  habentem  mebium  et  buo  ertre 
ma  fuerit  linea  biuifa,  efcp  in  longum  birccte  maior  fectioab 
batur,erit  tota  linea  inbe  compofitabiuifa  fecunbum  propor 
tionem  habentem  mebium  et  buo  ejrtrema. 

• Et  tertia  quartidecimi  fic  dicit:  - 
IDiuifo  latere  beragoni.  fecunbum  proportionem  habenti 
mebium  et  buo  erttema,maior  portio  crttlatns  becagoni  ctr 
cumfcripti  i circulo, ipfum  beragonum  cirarnifcrifiente. 

Igitur  ubi  cognouero  M s efie  aqualem  lateri  decagoni  t K, 
(cognoico  aGt  hoc  per  regulam  De  tri,  uidelicet  M o dat  M N, 
ergo  m p dat  m s.)  mox  cognoico  m n efie  diuifam  in  pundo  S,. 
modo  illo  iam  far  pe  dido. 

, V Sed  ut  regrediar  ad  ftatutam  tradat/onem,  confideradai 

afferam  y di  8 tertijdecimi.Cumenim  ambae  idem  doceant  fub 
duplici  refpedu,quorum  unus  refpiciat  figuram  priorem,aIter 
refpiciat  figuram  poft  eriorem,pulchre  monenr,ut  dua  figura: 
illa  diligenter  conferantur. 

• Quinta  tertijdcciixu  fic  dicit 

» ,j  -a*  > 

• **  *.  •'•i. 


Arithmeticae  Libbr  ii.  21; 

0i  fectmbum  proportionem  habente  mcbium  <t  bao  <;* 
trertia  aliqua  linea  fuerit  biuifa,  quabratfi  quob  er  tota  linea 
ftt,  ft  pariter  aedpiantur  ambo  quabrata  ilia»  triplum  faciiit 
ab  quabratum  maioris  portionis» 

Et  odjiua  eiuldem  certijdedmi  17c  dide : 

(Duabrotum  trianguli  equilatert,quobi  latere  fuo  beferi* 
bitur, triplum  cfT  abquabratum  bimtbiatbiamctricirculi  cie 
cumferipti  triangulo  illi. 

Ex  quinra  facile  uides,  ut  B g trahenda  In  figura  priore, (It 
potentialiter  tripla  ad  E F leuad  Fi.Scflicet  quadratum  b f feo 
E G cum  quadrato  F G fumptu, aequatur  quadrato  b g,  per  pen 
ultimam  primi,Cum  igitur  (per  8 tertrjdecimi ) B f fuerit  (emi 
diameter  alicuiu3circuii,nece0eeftut  b g trahendae,  fit  latus 
trigoni  arquilaterf.eidem  circulo  inferibedi.  Itacp  B G in  priore 
figura,eft  hoc  quod  b Gin  pofteriore  figura.  Et  quod  in  priore 
figura  eft  E F feu  F 1 ,hoc  in  pofteriore  figura  eft  l m feu  m n , Et 
F G in  priore.eft  l n in  pofteriore.Et  a h in  priore,eft  ambitus 
totus  trianguli  L m.  N pofte  r ioris  figurae . Et  ea  C in  prior  e, eft 
ambitus  totus  quadranguli  L Y M N,Sic. 

Et  cum  dicat  iotmiidecimi;QuoblibetIatua  pentagoni 
equilateri>potentiDs  eff  latere  bejragom  eqpilateri.quantum 
potefi  latus  becagoni  equilateri,ft  fine  cibe  circnlo  inferipti. 
Sequitur  lineam  G 1 trahendam, in  figura  priore, efte  hoc  quod 
in  pofteriore  eft  y N (eu  n q..  Sequit  et<5  ( per  4 quartidecimi) 
a F trahenda  in  priore  figura,hoc  e(fe  §d  in  pofteriore  eft  x<*. 

Sic  aurem  dicit  quarta  illa  quartidecimi: 

(Dnabraturo  lateris  pentagoni  (ut  eft  in  priore  trahenda 
G i,&  in  pofteriore  a F ) quabratumefc  lineat  quar  illius  pen» 
tagoni  angulo  fufitenbitur  ( ureftin  pofteriore  figura  x q , Qi 
in  priore  a f feu  e k trahenda  ) ab  quabratum  femibiametri, 
Cut  eft  m L in  poftcriore,&  e f in  priore)  qufntuplam  propor- 
tionem faciunt. 

Item  hoc  quod  eft  ia  pofteriore  figura  r Q_N,in  priore  figura 

Idc  it\  eli 


yg*  ,i  : MlCHAlLII  «TlFILIl 

cft  trahenda  a K.Quae  0 trahatur,  critipfa  diuiia  /n  pun<3o  F 
fecundum  proportionem  habentem  medium  & duo  extrema. 
3l';  Item  linea  B k feu  C lin  priore  figura  trahcnda.cft  hoc  quod 
Ojt  cft  in  pofteriore  figura  trahenda,  6Cc. 

Ex  figura  autem  pofteriore  pulchre  patet. ( fecundum  dicta 
fipperiora)  ut  latus  icofahedri,id  eft  b g,&  latus  dodecahedri,id 
cft  (i  una  fphaera  eaprcumfcribat,bafcs  habeant  quae  ab 
uno  circulo  circumicribantur. 

*y  Item  patet  ex  eadem  figura,  ut  latus  hexahedrK  id  eft  x qJ 
di  latus  oclahedri  (id  eft  z T)  fi  eadem  fphaera  ea  circufcribat» 
bafes  habeant, quae  abuno  circulo  circumfcribantur. 

V Item  patet  ex  eadem  figura , ut  bafis  tetrahedri  inferibendi 
eidem  fphaerae.  Angulari  circulo  c/rcumfcnbatur ; ftilicet  tra* 
henda  q.r  cft  latus  tetrahedri  illius.&c. 

* Quadratum  autem  cuius  bafis  eft  Z T,  circumfer ibitur  i dt 
culo,  cuius  diameter  fit  aequalis  axi, fphaerae, corpora  illa  circii* 
(cribenti ; fdlicet  v T trahenda, fedeti  zo,  fi  x m femidiametet 
minor  is  dre  uli  fac  ia  t 140  o — 1 1 y z 0 0 0 ♦ 

F Habes  f tacp  Letftor  iam  hoc  libro  fecundo, omnia  quae  Eu 
didesdocuitdenumeris  irrSnalibus  abftradis  & contradis* 
Et  quae  Campanos ,atcp  ante  eum  Theon, poft  illos  uero  Zam 
bertus  .demonftrarc  ftuduerunt  geometrice, ego, pro  inftituto 
meo  opere.non  obfcurius  oftendi  arithmetice ; id  quod  grates 
mei  ledotes-fatebuntur  proculdubio,  Maleuolos  uero, qui  cau 
(as calumniandi  ftudebunt  quaerere, res  ipfa  prodita, animo 
cbnfiifos  caftigabixSed  quicquid  flat,Deo  omnium  bonoruni 
largitori  fit  gloria,  Arnen* 


XIBRI  ARITHMETICAE  SECVND1 

de  numerisimuionalibus  finis* 


** 


...  * 


T • F >•  d.  I • • • 

APPENDIX  LIBRi  SECVNul,  ; 

DB  Q.VADRATVRA  CIRCVLI. 

•T 

Ad  Adolphum  4 Glauburgk  Francofordieniem, 
iuuenem  magnae  fpei.  S. 

ispvtationem  meam banc Geometricam, 
(id  eft,  ad  Arithmeticam  non  pertinentem ) de 
Quadratura  circuli,fuperaddidi,iuflu  uir/.cui  de# 
berem  & corpus  & anima,  fi  fieri  poiTet,ut  homo 
merito  hoministanta  deberer.Eamdifpuratione 
cibi  mi  Adolphe  nuncupare  uolui,  qudd  uideamte  nonfolum 
Phy  ficis, fed&  Mathematicis  rebus  auidiflimeftudere,feque* 
ftrads  befttjs  illis  malis,quar  & pietati  & artibus  funt  infcftsr 
auaricia,ambitione,inuidia  QCc»  Cum  enim  mihi  pulchrum 
efle  uideatur, pulchras  mathematom  fpeculationes,  talibus  ani 
mis  prodere,  pulchrius  efle  certo  fcio.tam  pulchras  mcntes,om 
nibus  artiam  ftudiofis,in  exemplum  proponere* 

V Difputaturi  de  Quadratura  circuli,  obieruenteflcdiftiit# 
dionem, inter  drculum  phy  ficum  ftcirculff  mathematicum, 
i Obferuent  etiam  eam  quaeftionem,  I Philofophis  ucttrid 
bus  motam, efle  de  circulo  mathematico, non  de  phyfico. 

3 Circulus  phy  ficus  eft  imago  quarda  circuli  ma  thema  tici* 

• 4 Triangulus  eft  polygoniarum  omnium  prima* 
f Omnium  polygoniarum  ultima  eft  circulus. 

6 Rede  igitur  deicribitur  circulus  mathematicus  eflVpoIw 

gonia  infinitorum  laterum.  ' . r 1 » 

7 Mathematici itacp  circuli  circumferentia , nullum  recipic 

tuimerurn,necp  rationalem  necp  irrationalem.  * ~ ■ v 

8 Ante  circulum  mathematicum  funt  omnes  polygoni*  nu 
vnerabilium  laterum , qu?madmodam  ante  numerum  infiniiflf 
funt  omnes  numeri  dabiles. 

9 Reflat  igitur  circulum  circino  fadum^noneiTematbc# 

uwticum* 


Michablx*  Stifblii 

I o Tunc  autem  circulum  dabis  mathematicam , poftquam 
dederis  numerum  infinitum  : idcp  uolunt  illi,qui  angulum  con 
tingentia  affirmant  ede  minorem  infinitisangulis  redilineis. 

I I Infinitusnumerus  ficut  ad  res  non  contrahitur,  fl  etiam 
guttas  maris  imagineristtoti  coelo  maioris;  fle  circulus  roathe 
maticus,non  contrahitur  ad  materiam,etiatn  fl  omnium  auri* 
fabrorum, totius  orbis  tcrrarura,opcra&induftria  eflet  parata 
polita  & complanata. 

1 1 Necp  rationalem  proportione,necp  irrationaIem}habet 
circumferentia  circuli  mathematici.ad  fuam  diametrum, 
l $ Vt  certiflimum  fir,quadratura  circuli  mathemade^exee 
dere  rationem  calculationis  humanat. 

1 4 Si  aute  quaeftio  eft  de  quadratura  circuli  phyfici , fruffil 
tanta  triumphi  proclama  tione  ia  (farnus  eam  quadraturi  efle 
aliquando  inuentam,  quafihac  inuendonc  ingens  aliquod  & 
infolitum  aditum  fuerit  miraculum* 
l f Licet  Euclides  Qi  Ptolemaeus  uti  cogerent  arculis  inulti 
ferie,  tamen  ubicp  prudentiflime  atep  dodiflime  declinaueront 
quxftioncm  proportionis  pertinentis  ad  quadraturam  circuli^ 
id  effiproportionis  circSferentiar  circuli  ad  luam  diametrum. 

1 6 Vt  ( exempli  gratiaJdum  Euclides  propofl  tione  o da  ua 
fui  duodecimi,  pronunciaret  de  proportione  columnarum  ad 

• pyramides  fuas , caute  QC  erudite  cxduflt  columnas  pyramis 
descg  rotundas.  1 

17  Tanti  uiri  exemplum  iecutus  eft  Ptolemaeus , dum  par'- 
tes  diametri  drailidiuideret  in  partes  izointer  fe  aquales,  & 
circumferentiam  in  partes  ; 6o  inter  fe  quidem  aequalcs^ed  par 
tibus  diametri  inaequales. 

1 8 Hfberet  quidem  circultss  rationem  quadrationis  iuae , (2 
poffibilis  eflet  cognitio  proportionis  circumfercntiaead  fuam 
diametrum. 

1 9 Ex  multiplicatione  enim  femid/ametri  in  fem/circumfe* 
rentiam^roducercf  area  quadraguli,aqualis  circulo  ilii  dato* 


Appendix  Libri  ii.  22? 

:20  Relinqueretur  autem  nihil amplius  faciendum,quam 
medium  proportionale  inueniendu  eflet.inter  duo  latera  qua- 
dranguli illius  inaequalia.  Hoc  enim  medium  eflet  cofla  qua- 
drati circulo  aequalis. 

2 1 Vnde  conflat  quadraturam  circuli  nihil  aliud  efTe.quim 
conflitutioncm  quadrati, aequalis  circulo  dato. 

2 2 Sed  aequalitas  jlla  non  cft  referenda  ad  circumferentias, 
referenda  ueroefl  ad  areas  figurarum. 

2 5 I nuentio  autem  aequalita  tis  iflius,praefapponit  numeru 
aliquem , repraefentantem  longitudine  cfrcumferentiaecircuIJ 
praecife,fiue  rationalem  fiue  irrationaIem,qui  neutro  modo 
e fi  debilis. 

24  Vnde  fequitur  primo,  impofTibile  efle.ut  aflignetur  pro 
portio  circumferentiae  circuli  ad  diametrum  fuam,aut  femicir 
cumferentiaead  femidiametrum, 

29  Sccudo  fequitur,impoflibiIe  efle,  ut  inueniatur  medium 
proportionale  inter  femidiametrum  circuli  & femicircumfe- 
rentiam  eius. 

2 6 Sequitur  tertio , impofTibile  eflfe , ut  quadretur  drculuii 
mathematicus. 

27  Ineruditi  feredi  funt,fi  ifla  impugnauerint,cum  talia  fint 
quae  pietati  nihilconferantautadimant. 

2 8 Tamen  eruditi  fentient,haec  eadem  Euclidem  & Pto- 
lemaeum fenfifle. 

TDe  quadratura  circuli  phyfic/, 

1 . Poflibile  efl,&  fatflu  facile,  ut  fumpta  proportione  aliqua 
propinqua,  inter  fcmidiametru&  circum  fere  tiam  circuli  phy 
fici,quadret  circulus  ille,ita  at  qdratio  illa  facisfaciat  fenfibus. 

2 Poflibile  (inquam)efl,  ut  dentur  duae  laminae  aereae,aeque 
fpifltf,fufari#exeademmixtura,quarum  altera  (ir  circularis, 
reliqui  uero  habeat  figuram  quadrati;&  ut  in  utracp  fit  pondus 
unum  dt  idem,ambac'q$  percuflat,unifonum  reddant. 

9 Proportio  illa  rationalis  circumferentiae  ad  diametrum, 

II  cuius 


Michaelis  Stifelit 


cuius  autorem  ferunt  eflc  Archimedem  (id  eft, tripla  fcfquife* 
ptima)  miram  rei  propinquitatem  habet.adcd  uidelicet,ut  qua 
dratura  circuli, fecundum  eamfacfta.fenfus  tudicium  faflat. 

4 Vt  faciente  diametro  circuli  partes  28, faciet  cofta  quadra 
ti, circulo  illi  aeqoalis,v/%6  16.  Hoc  eft, 

integra  minuta  fecunda 


24. 


49. 


c Proportio  uero  illa  irrationalis,inucta  i Nicolao  de  Cufa, 
de  qua  Ioannesde  monte  regio  difputat,  admodum.uicina  eft 
proportioni  rationali  Archimedis. 

6 Faciente  enim  diametro  circuli  28 , faciet  cofta  quadrati, 
sequalis  circulo  illi  ( fectfm  proportione  iftam  irrationalem) 
*/|.  2^^5-4-f-A^48 27.  Hoc  eft, 

integra  minuta  (ecunda- 


24.  47.  3).  • 

7 Si  (inquiunt)  ex  femfdiametro  circuli  dati,  atquechorda 
quadrantis  eius.direde  coniuntftis.fiat  diameter  alterius  circu 
li,erit  triangulus  aequflaterus  eidem  maiori  circulo  infcriptus» 
ifoperimcter  circulo  dato. 

FQuod  argumenta  phyRca  nihil  faciantpro 
quadratura  circuli  mathematici. 

1 Nihil  faciunt,qui  quaeftionem  a Philofophis  motam,  de 
Quadratura  circuli.fllo  aut  circino  tentat  exoluerc. 

2 Frulhi  laborat, quotquot  fe  calculationibus  fatigant,  pro 

inuentione  quadraturae  circuli,quocuncp  tandem  modo  aut 
medio  hoc  flat.  • ' 

2 Chordae  arcuum  fumptorum  de  circulis,  dari  pomintwb 
numeris  rationalibus  aut  irrationalibus  prarcife. 

4 Quae  uero  dantur  fub  numeris  irrationalibus  praedfe,no 
poliunt  dari  fub  numeris  rationalibus  praecife. 

^ Proportiones  uero  chordaru  ad  arcus  fuos,neqj  fub  ratio* 
nalibus,nec|j  fub  irrationalibus  numeris  dari  poliunt, 
tf  Cum  numeri  irrationales , fecundum  Euclidem»  non  fine 
* numeri 


Appendix  Libri  i i.  116 

numeri, manifeftum  eft, proportiones  irrationales.efte  propor 
tiones  tanquam  numeri  ad  nonnumerum  fub  numero. 
y Manifeftum  eft  etiam  proportionem  circumferentiae  cir- 
culi ad  diametrum, atqp  arcuum  adehordas  fuas,efte,uel  tan<$ 
numeri,  ad  non  numerum  fub  non  numero,  uel  tanquam  noa 
numeri  fub  numero, ad  non  numerum  iub  non  numero, 

8 Argumentum  hoc  phy  ficum  eft,  fi  fic  colligas.  Da  bile  eft 
quadratum  circulo  dato  ma!us,&  dablleeft  quadratum  circulo 
eidem  dato  minus,  ergo  dabile  eft  quadratum  Illi  eidem  cir- 
culo arquale  . Non  iequitur. 

9 Sicut  non  fequitur,  Dabills  eft  numerus  rationalis  mino* 

boc  numero  lrrrat/onall^.9000 — V%i6zooooo,ateftUIcie- 
quens,  Integra  minuta  fecunda 

7».  3*.  3» 

Et  dabills  eft  numerus  ratlonaliscldem  numero  Irrationali 
maior.ut  eft  Ifte  rationalis, 

integra  minuta  fecunda 

70.  33»  3« 

'Ergo  dabills  eft  numerus  rationaIis,e!dem  numero  irratio# 
. nali  aequalis, 

f o Phy  fica  argumeta  in  rebus  mathematicis  plammcp  fallfit, 

1 1 Si  phvfica  argumenta  in  rebus  mathematicis  fallunt,  mul 
to  magis  fallunt  argumenta  &phyfica&  mathematica, In  re- 
bus diuinis. 

1 2 Corpus  efle  perfede  iphaericum,  uldetur  quidem  mihi  im 
plicare  contradidionem.  Sed  icriprurafacrahaber}Noncrit 
impofii bile  apud  Deum  omne  uerbum, 

f ; Orbes  coelorum  font  opera  manuum  Dei : ideo  negare 
Aon  audeo, eos  habere  rationes  circuli  mathematici  ab(blutc« 
Sed  de  his  omnibus  fuo  loco  in  Geometria 
mea  dicam  latius» 


CLARISSIMO  VIRO  D.  IACOBO 
Milichio.Medicina:  docftor/3fuo  patrono. 

Ratiam  & pacem  in  Chrifto.  Vides  uirclarifli' 
mc,ur  confilijs  tuis  in  rebus  Arithmeticis  ubicp 
aufcuIccm.Diu  ucro  iam  eft, quando  mihi  erudi 
j.tioncm  Campani  eximiamcommendafti.  Hac 

egd  commendatione  accendis, coepi  intelligerc, 

ex  ipfo,decimum  Euclidis,numeroru  beneflcio.Et  cum  poftea 
meditarer  librum  de  numeris  irrationahbus.fecutus  confilium 
tuum, addidi  cum  illi  libri  meo.Dcindc  tuo  quoqj  cofilio  ufus, 
Algebram  (quam  perfaafifti  bonis  rationibus,  i Gebro  Aftro 
nomo,autorceius,ita  e He  nuncupatam)  multis  exemplisillu* 
(Iratam  fcripfi:  quanquam  pauciiTtma  fint  mea, maxima  uero 
pars  eorum  fit  Chriftophori  Rudolphi  ( quem  te  amare  mecu 
noui,ctiam  iam  in  Chrifto  quiefcente,ob  egregiam  fidelem'cp 
Algebrae  publicationem  ) caeterorum  quaedam  funt  Adami 
Rifen.qui  dt  ipfe  mihi  uidetur  fua  candide  tradcre,ut  hominem 
hunc  facie  mihi  ignotum  C aeque  ut  Chriftophorus  facie  mihi' 
ignotus  manfit ) admodum  amem,  & libellum  cius  reuerenter 
penes  me  habeam . Quemadmodum  igitur  Campanus  mihi 
ad  manus  dedit  librum  Arithmeticae  meae  fecundum,ira  Chri* 
(lophorum  mihi  tradidifte  hunc  librum  tertium  reputo : nam 
exemplis  eius  uti  uolui  hic,ficut  illic  ,ppofitionibus  Campani. . 

Vtruncp  uero  feci  confilijs  tuis  acquiefcens, Quare  tihi 
gratum, librum  hunc,futurO  efte,mefcg  eo  nomine 
tibi  recommendandum  fore, fortiter  confido.  ' r 

' Vale.Ex  pago  HoIt$dorff.  Anno  domini  . 

fecunda  dic  lanuartj. . 


, u*. 


Michael  Stifelius. . 


X: 


r,  n" 


c 


MICHAE  LIS 

; STIFELII  ARITHMETICA  ' 

liber  tertivs,  de  nvmeris 

Codicis,  & de  regula  eorum» 

id  cji,de  perfida  corte  calculandi. 

* % * 

• i\ 

De  regula  Algebra?,&  de  partibus  eius, . 
earumq?  declaratione. 

Caput  i.. 

lgebrae  regula  talis eft,ut  integrae  arti calcu  ’ 
Iandi,merito  conferri  pofsit:  imo  eidem  arti  colla 
^ngeeam  praecellere,hacmea  tractatione  pro 
babo. Complicat  autem  regula  haec, omnium  re- 
gularum  aliarum  exempla , uireshj  lingularum 
loperat  un/uer fas, nifi  Detri regula  fit  excipienda.cuius  opera 
haec  in  multis  indiget.Quamuis  autem  regula  Ealfi  miram  ha* 
beat  laticudinem.comparata  tamen  ad  Algebrae  regulam,uix 
eam  collationem  meretur, quam  centrum  in  circulo  fignatom 
adcircumfcrentiam  habet.  Certum  eft  autem  regulam  Falfi, 
formatam  efle  iuxta  formam  regulae  Algebrae,  quemadmodu 
regula  Algebrae, formata  eft  iuxta  forma  regula:  Dctri.De  re- 
gula Alligationis  (quam  etiam  Algebra  complicati  perfecte 
complet)  hoc  uideo.quod  prarter  Algebram  fit  formata.Carte 
rum  regulae  SocietatO,  Diuifionum,Mercfmonioru,Commil 
tationum.licet  i regula  Detri  fluant : tamen  regula  Algebrce 
eas  perfici  atc$  compleri, offendam  exemplis  plurimis,quae  fhi 
ferius  iuis  locis  adducam.  Regulas  uero  has,  Aequalitatis.Se* 
parationis,Tranfuerfionis,  Commixtionis,  Pofitionis.Legis 
AugmentijDecrementi,  Pluris,  Refidui, Collectionis,  i alias 

11  ii)»  huiuf#' 


* Michablis  Stifelii 

huiufmodi  ridicula  ferentes  nomina , re&e  mihi  uideor  appel- 
lare C&fi  ioco  hoc  fiat ) uexationes  populi.  Ex  Algebra  enim 
talium  regularum. quolibet  die  decem  aut  uiginti  formare  feu 
fingere  facile  poflem,  (i  harum  rerum  inexperttsingentjsillu* 
dere  uellcm.Complicat  etiam  regula  harc  Algebrar,  inuentio* 
nes  linearum  & fuper  ficierum  infinitas : id  quod  adeo  notum 
eft.ut  rede  afinus  dici  mereatur,  qui  pronunciare  audet  Alge* 
bram  nihil  docere  aliud  c$  ea  quae  doceat  regula  Alligationis, 
fiue  ex  ignoratia  fiue  ex  malitia  proHciicatur  talis  affirmatio» 

Hacceft  aurem  famofa  illa  regula  Algebraf.ad 
fuam  Omplicitatem  atqj  Iatirudinem  redada. 

Inucnturus  numerum  inueniendum  abfeonditum, 
ponat  loco  illius  j Cofs.  (nos  autem  ponimus  i ) & in* 
uenta  aequatione  aliqua,rcducat  eam, fi  reducenda  fit. 
Deinde  per  numeru  figni  codici  maioris,diuidat  reli- 
quum aequationis,eidem  diuifori  aequatum, fed  deno 
minato  tarnen.Et  fic  femper  proueniet  numerus  ille  ab 
(conditus  qui  inquircbatur,uelin  quotiente,  uel  in  ali 
qua  eius  radice.  Radix  autem  fi  qua  fuerit  extrahen- 
da,pulchre  hoc  atque  fufficienter  fignabitdiuifor  fuo 
coflico  figno. 

H«ec,inquam,eft  famoflfTtma  illa  regula.reduda  ad  fimpH- 
dtatem  fuam  germana,(iibqua  immenfam  copiam  ufiis  com- 
plica t, ut  exempla  eius  abunde  teflatur. Omnia  igitur  quae  hoc 
libro  uel  dicenda  uel  docenda  uenerint,adcam,tanquamad 
fcopum  unicum, referenda  erunt» 

• r Habet  autem  regula  ipfa  quatuor  partes ; duas uidclicet 
eflentiaI9$ft  duas  accidentales. 

Partes  eflentiales  funt : Inuentio  arquationis,&  D/uiflo. 

In  quolibet  enim  exemplo  tegulae  illius, requiruntur  haec  duo* 
• At 


Arithmeticae  Liber  ru.  * 2*8 

At  reliqua  duo  (id  eft, accidentia)  in  plurimi*  exemplis  non 
concurrunt:  ideo  partes  regulae  accidentales  dicenda  funt. 
Sunt  «tacp  Aequat  ionurcdud/o,  & Radicum  extraflio,  partes, 
accidentales  regulae  Algebrar.Exempla  autem  illa  omnium  fa 
cilima  funt, in  quibus  partes  eius  eflentiales  folummodo  con- 
currunr,abfque  accidentalium  partium  concuriu . Ideo  ab  illi» 
tanquam  4 facilioribus  incipiam,ut  Ledor  paulatim  5C  fuccefi 
fiue  ab  ipfis  fuauitcr  deducatur  ad  ea,  quae  iudicantur  efle  difFi» 
ciliora. 

Sed  ante  omnia  exponamus  regulam  ipiam  per  exemplum 
aliquod  facile  & 'commodum,  ut  regula  intelleda.catcra  qua 
dicenda  iunt(uti  funt  exfeipfis  iucunda  &philolbphica)iucun 
diora  reddantur  ex  (cientia  ufus  eorum. 

Exemplum  exponens  regulam  Algebra; 

& eft  47  Chriftophori. 

<£|t  ntfmcrus/cmue  partte/tmta  ct  quarta/ fufc  tracte  a toto 

relinquant  iy. 

Quod  Chriftophorus  numeros  exempli  huius  contrahit  ad 
ulnas  panni, nihil  nos  impedit.Nccp  enim  Algebra  regula  ca~ 
rat  denominationes  uulgares,  fcd  folummodo  coflicas  deno  r 
minationescurat ; ut  funt  ha  denominationes, 

fc.  rt.  %fr.  /?.  & c. 

Quae  & numeros  colficos  conft  fluunt.  Eft  enim  numerus  coi# 
ficus  nihil  aliud.quim  numefus  figno  cofTico  denominatus* 
Sed  de  hac  reioferius  fuo  loco  dicendum  erit. 

Docet  autem  regula, primo  ponendam  efle  i coflTam,ieu(ut 
nos  facimus)  1 radiceift.i.unamiummamunitatum.quauidft» 
licet  intelligatur  efle  aqualis  illi  numcro,qui  mihi  proponitur 
ut  ipfum  quaram  & inueniam.  , 

Pono  igitur  1 1*.  tanquam  partem  unam  aquationis,^ 
procedo  operans  iuxta  textum  pronunciationis , quam  habet 
exemplum, in  hunc  uiddicet  modum». 

« 1 Cum*. 


»1  ICHAELIS  STIPELII  • 

um  pronunciatio  dicat  de  parte  tertia  nnmcri  inuenicndf, 
recipio  partem  tertiam  de  lo^quaeft^ieCficut  tertia  pars  de 


flo.  eft  ff^)  dicatqpde  parte  quarta, recipio  |^e,cum  fit  quar 


-Tfj pars  de  n*.  Sic  autem  ratiocinor.  Ecce  inaequatur  toti  nu- 
mero  inucniendo.ergo  aequatur  uni  parti  tertiae  numeri  in* 

e^ucniendi ; dt  aequatur  parti  quartae  numeri  Inuenicndi. 


*&£J 

tf 


^^«i^^j&lCum  ucro  tertia  & quarta  partes  numeri  inuenicdi/ubtradae 


gerint  ab  iplo  numero  inueniendo, relinquuntur  i y unitates» 


‘~t^*^1iuc  illa  fint  contratf  a ad  ulnas  panni  fiue  ad  quamcuncp  rem 

aliam  ) id  quod  pronunciatio  habet.  Sequitur  ergo,  quod  fi  |n 


y Z',  1114111  j IU  v|UUU  pi  UUUIlUallU  uauLii  Uvvjuiiut  li  gwj  vjuuu  u j *<, 

fubtraxero ab  in(tanquamdtoto)quddreli(fiumrema 
*ncns  faciat  i y tanquamfuum  aquale.Remancs  uero  relidium 
' Tin,.&  huic  aqualia  funr  (iuxta  exempli  pronuciationem) 

S • Atcp  ita  inuenta  eft  aquatio,  iuxta  prononciatione  quam 
^ ^ __  M»diabet  exemplum.  Vnde  fequitur  In  regula:  Et  inuenta  aqua# 
tione  aliqua.]  Habes  autem  iam,  ut  cx  textu  exempli, inueni* 
y~+%l2L  f^^r***^**4  enda  fint  aquationes:  atep  fatlsintelligfs.aquationem nihil 
i f* aliud  cfle,quam  inuentionem  proportionis  aqualitatis , Inter 
\H*L  t st-ti — — _ duos  terminos  diuerfimode  denominatos . Nam  fi  termini  illi 


<a^wd^*44’***^fint  aqualiter  denominati  (ut  32«,  & j^,)  identitas  efl,ad  regu» 
i -f^SU-  jam  Gebri  nihil  utilis.Concurrunt  autc  ad  inuentiones  aqua* 


k Tyf  yiM***}  '£*^u’tionumuarias>uaria  ualde.ideft, Arithmetica, Geomefrica, 
* w v***  Ji4^^1?Mufica,Aftronomica,theoremata  artis  gfpe<ftiua,phyfica  &c 

^ iv  • 

isSfiT 


£t>  «♦»*  4w****~*Sic  modo  etiam  dicendu  eft(pro  pleniore  expofitione  regula) 

* eu&^2>  aquatio  exepli  huius  pofiti  alia  pofiit  inueniri.Scilicet  com* 

tf  A ~iunis  lententia  eft, totum  aquari  fuis  partibus  omnibus  fimul 
umptis.  Ttacp  necefle  eft,ut  y.aquentur  cumne, 

if^ffcilicet-ri^i-  »y  aquantur  m tanqifam  partes  luo  toti, 
dvA  v*-ff**^  Sequitur  autem  in  regula  illa  Gebri:  Inuenta m anuationem 
e^Z«reducat,fi  reducenda  fit.]  Tunc  uero  reducenda  elt aquatio, 

lh* 


u e&X'  jp  t^/^uando  in  terminis  partium  eius  una  denominatio  plusquim 

/e^<^y«"-<cmelinuenitur.Vthic, ij- aquata  1 oe, denominatio 
•X*  JTa  ^ponitur  bis»ideo  cft  aquatio  reducenda. 


^ JVk#-  «■*. 


Regula 


c t 

r* 

et 


<CtM^  T-t  * 

m . ^ <“*  , * .r<  


Arithmeticas  Liber  hi;  229 

Regula  reductionis  huius  fumttur  penes  ientent/am  Illam 
•communem : Si  ab  aequalibus  aequalia  auferas,quae  remanent 
sequalla  erunt  .Et  fi  ad  aequalia  addantur  aequalia.quaefuper- 
cxcrefcunt  aequalia  erunt. 

Atcp  hic  animaduertat  Le&or,  quanti  fit  aefi/manda  regula 
ifta  Gebri.in  qua  etiam  communes  hominum  fententiae,uide« 
licet  tam  contemptae  & irrifae,tam  pulcherrimos  Si  admirando 
ufus  habcnt,ut  uerbis  nemo  iatis  explicare  pofiir.  Et  fimul  hoc 
animo  expendat}quantu  orna  tus  Si  gratiae  cofcrat  Geometriae 
(de  ufu  interim  taceo)  haec  Gebri  regula  prorfiis  philoiophica#. 

Sed  ad  exemplum  jne  regredi  oportet. 

- Si,  inquam,  aequatio  fit  inter  1 ie8i  1 tunc  fi  ab 

utracg  parte  fubtrahantur  71  iz, tunc  manebit  aequatio  inter  1? 

.Et  harcefr  aequatio  reduda,quamctiamexpronupci- 
atione  exempli  prius  inuen tam  cflenofti. 

Sequitur  in  regula : Deinde  per  numerum  figni  cofiici  m«t 
ioris.diuidatreliquumarquationis.]  Non  (Impliciter  dicit  re- 
gula.diuida  t per  numerum  codicum  reliquum  aeqaationis:(ed 
dicit, per  numerum  figni coiftd.Diuifor  enim  tal(s,dum  diui* 
dit  abijeit  fignum  (uum.  Aliis  enim  nihil  produceret  quim  uni 
tatem  Ceum  oporteat  eum  efle  aequatum  ad  reliquam  partem 
aequationis,  ut  inferius  pl enius  dicam)  quando  aequale  femel 
(olumodo  inueniatur,  atq?  praedfe,  in  luo  coaequali.Tali  uero 
diuifione,quam  praecipit  regula.quaeritur  propor  tio,non  aequa 
litatisquae  iam  inuenta  eft.fed  inaequalitatis,quam  habet  uni 
tas>nuIlofignocofiicodenominata,ad  unitatem  denomina- 
tam  figno  cofiico  illo, quam  fert  iple  diui  for.  Vt  cum diuido  1 y 
perTi, tunc  producitur  3 6,qui ad  unitatem  eam  proportionem 
ba  be  t ,qua  m ha  bet  1 2«,  ad  unitate  Igitun  1«,  idem  erit  quod  3 6, 
luxta  communem  fenrentiamhanc;  Qn$  uni  Si  eidem  funt 
' aequalia , etiam  inter  fefunt  aequalia.  Hinc  dicit  regula : Et  fic 
femper  prouenit  numerus  ille  abfcondirus.qui  quaerebatur.] 
Addit  tamen  regula  jierba  haec.  Vel  In  quotiente  diuifionis, 

mm  uc 

• v k ' i 

■ *■  t «.  ... 


Michablis  Stitblu 

(ut  In  «templo  noftro  quo  regulam  expono)  ue!  in  radice  efut 
aliqua.]  Vt  fi  in  exeplo  aliquo  pofita  faiflet  ne,  & ex  proceflu 
pronundationis  fuifiet  inuentus  numerus  figni  huius  % (ut  iit» 
piiTune  fit)  aequatus  alicui  numero  nullum  fignum  coilicun» 
habenti(ut  fi  z%eflent  aequati  numero  huic  x88)tuncdiuifione 
feda(ut  x88per  i diuifa  fadunt  144)  qon  produceretur  ualo* 
uniusradicis,fedpotiusuniuazenfi,feu  unias  quadrati, quod 
fit  ex  radice  inuenienda,  idcocg  quarreda  efiet  de  quotiente  illo 
radix  quadrata (ut/%.de  144 facit  1 2)  QC  illa  edet  numerus  inue 
niendus,(eu  per  1 ^ repraefenca  tas.Et  fic  de  altjr.  i 

Et  hoc  cft  quod*  in  fine  regula  dicitur : Radix  autem  fi  qua 
fiieric  extrahenda,  pulchre  hoc  atqf  fufficienter  fignabit  diuifer 
fuo  figno  cofiico.  ] Scilicet, fi  1 rt  inueniatur  arquatus  1728, 
tunc  ne  faciet  1 2 . Item  fi  1 ^aequetur  25- <5, tunc  1 o e faciet  4» 
Item  fi  1 fi  inueniatur  aequari  \ t, faciet  1 2*.  2 « Et  ficdeahjsio 
infinitum» 

Habes  igitur  per  haec  expolitam  totam  Gebri  regulam , ita 
ut  nihil  defit,niu  forte  unius  adhuc  didionis  deficiat  intelligen 
da, huius  uidelicer,Maioris « Sic  enim  habet  regula : Deinde 
per  numerum  maioris  figni  colfici,diuidat  0ic4  ] Satis  autem 
exuerbis  ipfis  uides,  ut  aliquando  incidat  aequatio  reduda, in 
qua  remaneant  plura  figna  codicaqulm  unpm , quae  inter  fe 
fint  diuerfa , di  tunc  maioris  figni  cofiid  numerus  diuidit  reli- 
quum fibi  aequatum.  Vt  fi  z -f-  2 22^  aequent  1 60 , fune  tranf* 
ponuntur  2 22^,  ut  2%  maneat  aequati  160 — zzie,  Atcg  ita  2% 
(depofito  figno  fuo  cofiico)  diuidit  reliquum « hoc  eft,x  diuidit 
160 — zx  remanent  80  — 1.1  !«,,&<* 

Probantur  autem  erempla  regufar,poft  reiolutionem  radfa 
eis,iuxta  «pnunciafionis  proceflum.  Vt,  numerus  inueniendus 


Da 


Arithmeticas  Liber  ti>« 


2JO 

Dc  partium  regulae  Gcbri  oftenfione, 
cx  figura  quadrangulari; 

Caput  iu 

IN  vo  repetenda  ueniunt  fingula  membra  re# 
gulae  Gcbri,  eodem  ordine  ut  in  capite  fuperiori 
fuerunt  expofita . Nam  cum  ea  exponerem  cum 
collatione  exempli.ineptum  mihiefle  uidebatur, 
(i  omnia  tanquam  in  una  olla.fimul  coquerentur, 
& fic  particulae  exempli,  regulam  ipfam  declarantis , Iongiut 
ab  inuicem  fepofitar,quafi  a m/lTar, diutius  eflent  quaerendae, 
FIta<$  ab  aequationum  inuentione  mihi  dentio  incipiendi! 
-erit.In  qua  re  animaduertendum  eft , ut  Algebra  fit  calculatio 
per  lincas,&  fuperficies.atcp  corpora,  progredientium  fubpro 
portionalitate  Geometrica  cotinua.  Pulchre  autem  ex  hac  iit# 
quenti  figura  aequationes  offenduntur  &declarantur* 


0 | 0 

0 

0 

0 

0 

0 1 0 | 0 1 0 | 0 J 0 

0 | 0 

oj.o  | 0 1 0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

|o|o|o|o|o|o 

0 1 0 1 0 1 0 1 o|o- 

1 0 1 d | 0 1 0 1 0 1 0 

0 | o| 0 | o| 0 0 

1 0 1 0 ( 0 1 0 | 0 1 0 

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 

|o|o|o|o|o|o|o|o|o|o|o|o 

£(l  igitur  i oe linea  quaedam  partium,fubcerto  quodam  nu 
«nero,feu  feries  quaedam  rerum  quarumcuncp,  fub  numero  ali# 
quo  determinando  uel  determinato,  quemadmodum  hic uides 
in  iuperficie  hac  quadrangula, lineas  fex  longitudinis,quavum 
quaelibet  habat  citras  duodecim  :&  lineas  latitudinis  12,  qua* 
tum  quaelibet  habet  cifras  fex.  Vides  autem  primo.ut  i z iz  lati 
tudinis  aequentur  7 x.Tota  enim  figura  habet  7z  dfras.  Et  1 z 
latitudinis  l{near}(cu  radices,totam  figuram  filaro  quadrangu- 

nun  tj  larem 


„ • Michablis  Stifelii 

Iaretncotnpleftt.Sk  6 2«.  longitudinis  aquantur  7**  Quia  fex 
linea  feu  radices  tales,  complent  totam  iuperfleiem  quadran-  / _ 
^i^^igularem  ‘Nam,  Et  hinc  uides  ut  proportio  aqualitatis,  talis  fit 
^^^£T^  ^>roporti0,qua  terminus  eius  refertur  ad  fe,  tanquam  ad  aliud, 
hoc lub aquationibus  codicis.  At uero fub  identitate cofiica 
^4>^v^Uv4  ut  dudico  6 iz  Iongitudinisaquari  6 2e  Iongitudinis,aut  dico 

H**" 71  aquari7*)refertur  idem  ad  feipfum  tanquam  adieipfutn. 
i+firnf-  t^^^Etquanquam  illa  identitates,  dum  incidunt  C ut  iape  fit)  loco 

CeuM~  ^hjl,  ot  ^«^‘cequatfonis, inutiles  fint  &i  Heriles  omnino, tamen  (ut  Algebra 


^ £**w~^regula  hac  nihil  tam  uile  ede  finit  in  rerum  natura,  cui  non  fo 
ct 

' >i  -'x/0r  °alde  uaria  aquationes  reducenda.  Exempli  gratia,  1 2 ^ 

* *r«?>  . . . j. » 


tegula  nac  ninn  ram  uue  etie  unit  in  rerum  natura,  cui  non  10 
^««iim  aliquem ofdcijadignet)  ea  pofita,mira  facilitate  forman- 


ponatur  aquari  1 xxe.Quicquid  jam  trandulerisabuna  parte  - 
vad  alterannmediante  figno  fubtradorum.nafdtur  aquatio  re# 

^ £7*v  ducenda, modo  hoc  quod  tranfponitur  no  reqciat  fignum  fub< 
«X^^-^^^^tradlorum.lnfpedaigitur figura  quada»gulari,transferantur 
£f  «*—•*■  vg^c-^-j^jd  partem  alteram , ita  ut  pars  illa  translata  ferat  fignum 
fi  a ' fubtradorum  ,V ides  autem  ex  figura, ut  6 radices  latitudinis 

7-  i}  VJ^^3F^^^ac,ant  *6  * * 2$,  aquantur  1 z 2«, — 3 6.  Sic  8 2«,  aquantur 

,f.  O— i !•>»■  «quantur  1>. , EtBcdealife 

1*  flT^^Item  quicquid  rurfum  retro  tranltuleris,  quod  uel  lignum  fubs 
***'''*  t^i~^^^rra<Horumferar,uelfignumadditorS>femper  manet  aquatio  • 
r*  T8r~Z7  fubuariationibusiftis  terminorum. Vtpofira  hac  aquatione, 

6**^**?  v^*^iidelicet  6 2c  aquata  1 x 14 — 3 <?,  trans  fero  de  diminuto  <S,tunc  • 

6 • ae-fr 6 aquabuntur  ixKi  — 3 o . Sic  6 2$  -x-  3 0 aquabuntur 

— 6.1tem6oe — ix aequantur  1023, — 3 6.  Item  62«. — 10 
v**ot*r**A'  ^ aquantur  10  24 — 34.Sk  quicquid  transfertur, ita  transferatur 

r*v ut  muter  fignum.aut  additoruip  in  fignum  fubtra<3orum,aut 
£ fignum  iubtradorum  in  fignum  additorum,  tunc  manet  illaia 

k c— Vj  y^^l^arqiialitas.fubterminismutatis.  Manet  etiam  illafa  aquatio, 
a,**  utricp  termino  eadem  addantur, aut  ab  eifdem  eadem  lubtra* 

"^^5  « liantur.  De  qua  re  latis  dixi  capite  fuperiore : quanqua  & hac 

re  ‘i/  • Ji/CL-  C-  qua  iamdixidc  tranfpofitione , idem  protfus  fundamentum 


habeant 


t X • 


tJ 


Arithmeticas  Liber  iii.  2;r 

habeant,  id  quod  diligens  Ledor  facile  uidebit.Scilicet  pofita 
hac aequatione/ *> aequatae  i i i<>  — 3 <5,  fi  de diminuto transfe 
ras$,ficftabitaequario,6  6 aequata  — 30]  Hoc  em 

fadum  eft.uidelicet  ad  hanc  parretmoe—  3 6 addidi  Aquando 
ea  fubttaxtde  diminutofuo.Paterexcommuni  fenfu.  Scilicet 
habere  malo  1 x — 30  groflis,quahni  x 3 6 grof.  Ifacp  ad 

alteram  partem  arquat(onis  etiam  addenda  funt  6,ut  terminus 
fle  ftet,  6 <J,&c.  Notum  dC  hoc  eft,ut  il  lar  far  maneat  aequa 

tiones,  (?  ambo  termini  uno  eodemcp  numero  uel  multiplicent 
tarueldiuidantur.cum  hoc  (tefte  Euclide)  uerum  fit  in  propor 
tionibus  inarqualitatis  &c. 

JDidum  eft  aute  fu  peri  ore  capite,  Aequationem  e fle  partem 
eUentialem  regulae  Algebrae : id  quod  pulcherrime  dicitur  arqj 
obferuandum  uenfr,  urplenius  Intelligas,quale  8i  quantum 
cornucopiae  habeas  in  ipfaregulaA1gebrar.Scflicer,quemad- 
JDodum  in  quolibet  cxempldregular  illius,  ponitur  1 i^aut  fal 
tem  fubintelligitur  poni  (ut  quardam  exempla  funt ) fic  io  quo 
libet  exemplo  illius  regulae, etiam  requiritur  proportio  aquali  • 
tatis  ( id  exaequatio  ) mediante  qua  refoluatur  1 m in  numeri! 
aliquem  determinatum . Queadmodum  uero  fub  unita  te  ifta 
coflice  denominata  (Id  eft, fub  1 i* ) comprehenditur  tota  uni* 
uerfitas  numerorum  indeterminate , cum  nullus  fit  numerus 
qjtii  quaefitusex  ifto  facco  copiar, non  prodeat : ita  fub  arqualita 
tis  proportione  (id  eft.fubcoiTica  aequatione)comprehenditur 
tota  uniuerfitas  proportionum,  cum  nulla  fit  proportio  quae 
. uocata  ieu  quaefira  per  Algebrae  regulam  hanc,non  prodeat  ex 
arqualirate,  &c. 

T Cum  uero  Redudio  aequationum  etiam  numereturinfer 
Spartes  regulae  Algebrae,  Iiceraccidentalis  fit  pars  ( utcap.  r. 
fatis  dixi)  eam  redudionem  etiam  cogor  rradare.  Accidit  aut 
aequationi redudio,  ficut  diuiiioni  aeddit  radicum  extradio: 
diuifioni  uero  ferurt,&  arquatio.fid  aequationis  redudio.  Aequa 
lio  ita 9 praemittitur  diuifioni,ut  uideticet  fit.qd'  poflir  diurdi. 

tnm  ii j Con<- 


f 


r Michaelu  Stifelii 

Contingit  autem  faepe  (id  eft.in  omnibus  aequationibus  rcdu* 
cendis  contingit)  ut  aequatio  ftet  fub  terminis.fub  quibus  diuf* 
ConcmCqualc  requirit  Cofla.feu  regula  AlGebri)no  recipiat. 

• Hac  igitur  cauia  reducitur  talis  aequatio  in  alia,  cuius  termini 

debitam  recipiant  diuifionexn. Modus  autem  redudion/s  hu/ 
ius  pofitus  atcp  oftenfus  eft  capite  fuperiore,  coinciditfcp  cum 
modo  tranfpontionis  feu  translationis parcicularum.Scilicet, 
quicquidinunaparteaequationis  fuerit  additum , tranfpofitu 
in  partem  aequationis  alteram,fit  (ubtradum:  & quicquid  fue 
rit  fubtra  dum  in  una  parte  aequationis,  tranfpoGtum  in  alteril 

r, flm  V*»partcm,efficitur  additum.  Ninil  (inquam )eft  hoc  aliud.quanj 

r^quod  ex  communi  fententfa  iuperiusdixi,aequalia  manere,  fl 
^-«V^^ucl addantur  aequalia  ad  aequalia, uel  ab  aequalibus  aequalia 
,/nKfrahanfitr  .Haec  omnia  pulcherrime  cernuntur  in  figura  fu 
«^P^riori  quadrangulari. 

<L^‘  a -l'  Repetamus  ad  haec  fuper/ora  exempla. 

^ 4 , Scilicet,^  ^ aequatae  1 i 'K — 3d.fi  ab  utracp  parte  fubmoueat 

6 3*  * tunc  6 3« — 3 6 aequaprur  nihilo : ut  necefle  fit  6 3«,  aequari 
3 Patet  ex  tranfpofitione  diminuti.  Sed  haec  pulchre  etiam 
i,abct  figura  quadrangularis  fuperior. 

Item d 3$-f-d aequantur  »»3«— 30. 

y,  ^ . Primo  fubtrahuntur  ab  utraqp  parte  d^c,tunc  manent  6 

?***?  ly  ^ • aequata  6 14  -r-  3 o.Trasfero  igir  3 6. tuc inuenio  3 6 aequata  6 3$. 

— loaequentur  »02$ — 34, tunc  primo  transfertur  di* 
.jv  minutum  prioris  partis  ,&  lic  ^ aequabuntur  103«  — 24. 

fubtraho  utrobicp  6 3«, , tunc  inuenio  4 3«.  aequatas  24.. 

~ /T0P  Illisomnibusrefpondet  regula  haec:  Eadem  figna  iubtra- 

^W^UT/t<3«x^i|jun^diuerfa  ucro  figna  addunt. 

« j*  r Aequatio  inuenta  inter  minutias  qualcfcuncp,  reducitur 

k 51*  « >n,^cf,v-  ad  aequationem  integrorum  per  multiplicationem  in  croce. 

^nt  1 ‘‘aequataixi* — dd,fic  itabit  exemplum  ad  redii 

ftion*m; 


j3*-j-_ll 

r 


l*3fc  — dd 

r 


Xtaqp 


Arithmeticae'  Liber  rir.  tfi 

Itacp  3 a^-f- 1 2 aquabuntur  rfo  — 330. 

Irem  ,x  aequentur10^  ' 8 multiplica in cruce,runc uide 
bis  e fle  2 1 24  -f-  84  aequata  yo  3^—90.  Haec  exempla  etiam 
funt  formata  ex  figura  illa  quadrangulari* 

Rgtfo  reduftionis  huius  fumitur  ex  /pio  Algor/thmo  miriu 
riarum.  Quando  enim  minutiae  multiplicantur  in  crucevtunc 
acquirunt  aequales  denoroinatores,utf  atet  ex  algorithmo  mi 
nutiarum . Quando  autemminutiae  habent  aequales  denomi* 
natorcs.tunc  ea  eft  proportio  inter  numeratores,qute  eft  indi 
ipfas  minutias.  Si  igitur  proportio  aequalitatis  lit  inter  minu* 
lias  ( ut  cft  inter  illas  quae  aequationem  faciunt)  (i  illar  reducant 
ad  deno  minatores  aequales,  neceffe  eft  ut  inter  numeratores 
etiam  fit  proportio  aequalitatis.  Itacp  denominatores  abijciuh 
tur  tanquam  inutiles  fcafuperflu i ad  hanc  rem . Ideocg  fufficit 
ad  prardicftaro  redudionem  multiplicatio  in  cruce» 

TDe  aequationibus  aute  hulufmodi,,/^^  aequata  nfuo 
loco  dicam.i.capite  quinto  de  coflids  numeris  irrationalibus# 
Quamuis  hoc  exemplum  ( fumptum  de  figura  fuperiori  qua- 
drangulatam nunc  facile  intelligi  poflit,redudum.Satis  c* 
nim  conftar,ut  quadrata  inter fe neceflarfo  fint  aequal/a.quord 
latera  funt  aequalia.  Itac$  fi ^242*  fit  aequalis  1 x jiecefleeft  uf 
»4  2*  fint  aequales  144. 

Tltern  in  figura  quadrangulari etiam  facile  u/dere  poteris, 
ut  2%  fint  aequales  12  2^.  Sed  locus  huiuimodiarquatiombuf 
declarandis  aliu3  inferius  deputabitur.Quanquam  & hoc  e*- 1 
em  pium  cum  fimilibuseti3  iam  poisit  intelligi , Scilicet  utram 
pars  aequationis  diuila  binario  ( id  eft,  uno  & eodem  numero 
ut  paulo  (uperius  dieftum  cft)  relinquit  1 % aquatum  61 0 
Satis  autem  conftat  quod  quadratum  ( id  eft,  1%)  habens  (e* 
latera  ieu  6 radices}habebit  in  uno  latere  (eu  in  1 , partes  fet» 
punda  6,lt*c$  redufta  aequatio  fic  ftabir. 

adaequat*  i x»  fcu  1 2*  aequata  6* 

Or 


> mi 


L... 


Michabus  sti  fe  lii 

* v 1 

De  diuifione  quam  regula  Algebrae  praecipit* 

SAtisdirtum  eft  paulo  fuperius , uc  omnia  quae  praemittit 
regula  Algebrae  diuifioni , ea  praemittat  propter  diuifione, 
ot  facile  intelligere  poflls  Diuifionem  efle  principalifTimam 
partemtegular  Algebrae.  Nec  mirum.  Ea  enim  reiolu/t  i o«,iti 
quolibet  exemplo  eius.immediate  quidem, quoties  diuifoils  fi* 
gnum  fuerit  ?«:  media  t juero, cum  diuifor  aliud  habuerit  fignu 
tfoflicum.uidelicct  %.  uel  rt.uelfcfc.  &c 

Brcuibus  iam  o flendi  potefi,  quod  regula  Algebrae ,in  uni* 
uerfa  incomparabili^  copia  fua,fit  regulae  Detriminifiraofi) 
cfofifiima}ut  & hac  ratione, regula  Detriexcellaqquicquid  uel 
inuentum  eft,uel  inueniri  poteft  in  tota  Arithmetiea.Remittic 
autem  Algebrae  regula  ( fi  acute  res  infpiciatur ) omnia  ilia  ad 
regulam  Detri, cuius  opera  rurfum  in  multis  exemplis  indiger, 
quafi  famula  dominae  fuae  auxi  lio, ut  uidebimus  in  exemplis.  ' 
Sic  autem  facit  Afgebra.  Aequationes  inuemas,uel  ex  pro# 
nunciatione  exempli  immediate,  uel  mediante  aliqua  propofi 
Ciane  Euclidis,  aut  aliquo  alio  theoremate  artis  alicuius.redu* 
(flasq?  (id  eft,  ad  regulam  De  tri  paratas  & coaptatas)  ubi  res 
pofiulat.remittit  ad  ipfam  regulam  De  rri,quatenus  illa  more 
fuo,  ad  aequationem  inuentam  fuperaddat  alteram,  quam  rei 
perfccftio  requirit.Necp  enim  regula  DeTri  minus  operofa  eft 
in  combinandis  aequationibus,qua'm  in  combinandis  propor* 
tionibus ; utrunqj  enim  uidere  licet  in  quolibet  exemplo  eius. 
Vt(exempli  gratia)  3 poma  emuntur  pro  a & : ergo(iuxta  re* 
gulam  De  tri)  6 poma  emuntur  pro  4$, . Seruant  quidem  nu* 
meri  rerum , (uas  coaequatas  proportiones.  Vt  ficut  3 ad  z ha- 
bet iciquialteram  proportionem , fic  eandem  proportionem 
habet  6 ad  4.  Sed  nihilominus  res  numerorum, interim  feruant 
fuas  aequationes  combinata s.Vt.ficut  3 poma  aequata  fiint  ab 
emptore  a tc^  uend  itor  e,  duobus  dena  riohs:  fic  6 poma  aequata 
funt  4 denariolis , ab  eifdem.  Sic  fimiliter  dum  ex  figura  qua* 
drangula,colligoinhuncmodu;  62*faauc  7 z,ergo/^e  fac.  is* 

(eruant 


Arithmeticae  Liber  iit*  23$ 

< /eruant  numeri  fuas  proportiones  inaequalitatis,  & res  nume* 
;rorum  feruantfuas  proportiones  aequalitatis* 

Sed  (ut  ad  rem  inftituta  regrediar)  oftendendum  mihi  erit, 
qua  rationeregula  Algcbrar  diuidat,  per  numerum  coflicum, 
deponentem  fignum  fuum  coflicum  quod  gerit.  Sed  natura  nu 
merorum  hoc  habet.quod  duo  numeri  aequiualentes,ina?quali 
"ter  denominati(ut  apud  nos  /unc  a gac  & 24  inaequales  fine 

numero  unitatum^coaiTumpta^  unitate  denominata  £ deno- 
minatione horum  numerorum  maiore,  conflituant  terminos 
tres  regulae  DeTri.qua  operatione  ualor  unitatis  fic  denomi- 
natae producar.  Vt  hic  uides,z  gro.dant  z4$s.quantu  datrgs*? 
Item  ex  figura  quadrangulari  fic:  1 1 1*  dant  7 z, quanta  dat  r^ 
Etficintelligirur  1 2«  multiplicari  in  terminum  fecundum , ut 
fic  etiam  fecundus  terminus  recipiat  fignum  illius  unitatis* 
Sed  illud  mox  interimit  diuifor,  qui  eft  terminus  primus  in  di- 
fpofirione  De  tri.  Quando  enim  diuidendus  Si  diuifor  habue# 
rint  eandem  denominatione,tunc  altera  alteram  tollit(ut  fatis 
•docui  libro  primo  de  diuifione  numerorum  uulgariter  denomi 
■natorum  ) Si  hac  ratione  amittit  diuifor  (dum  diuidit ) fuam 
denominationem.Ex  quibus  omnibus  patet  diuifionem  illam, 
quam  praecipit  regula  Algebrae.cfle  compendiofam  operatio* 
nem  regulae  De  tri,&c.Vnde  cum  ex  figura  quadrangulari  fu 
•perius  pofita,uidcam  7 a aequari  6 24*  item  7 * etia  aequari  11  %* 
diuido  7 z per  6, Si  inuenio  1 z,id  eft, numerum  partium  longfo 
fis  radicis  fe  ala  ter  is.  Item  diuido  7 a per  1 a,&  inuenio  6,id  eft 
numerum  breuioris  radicis,aeque  ac  fi  per  regulam  De  tri  fuif« 
fem  operatus.  9 

FDemum  pars  regulae  Algcbrae accidentalis  eft,Radicum 
cxtracftio , de  qua  nunc  ultimo  loco  mihi  dicendum  eft  aliquid 
€x figura  quadrangulari pofita . Facile auteuides, ut  a^aequea 
«ur  7 a.  Et  notum  eft,  z % cfle  duo  quadrata.Itacg  duo  quadtatt 
aequantur  7 a.  Haec diaiflo  non  producit  refolutam  radicem, 
ied  refolutum  zenfum.  Sic  enim  regula  De  tri  habet: 


Michaeus  Stifeii i 

a%dant7»*ergo  i % dat  36,  Quaerenda  cft  igitur radix qua1- 
drata  de  36,  ea  facit  6.  Sic  i $ aequatur  7 z/acitc^  1 %.  144.  Et 
ideo  124  facit  12.  Item  4*  * aequantur  7i,fecit  i%.»6.Et  »2*  fa» 
c/t4.Itcm  8 fc  aequatur  7 2, facit  1 fc.  9.  ideo  1 2«  facit  3.  Sic  18% 
aequant  7 2.  Vnde  1 % facit  4. Et  1 2«  facit  x,8ic.  Et  hoccft  quod 
dicit  regula  Algebrae : Numerum  abfeonditum  rcuclari,ucl  in 
quotiente  diuifionfs,uel  in  aliqua  radice  eius.]  Additcp  regula. 
Radix  uero  (i  qua  fuerit  extrahenda,  hoc  pulchre  & fufticieter  ' 
(Tgnabit  diuifor  fuo  coflftco  ligno.]  Scilicet, ubi  diuifor  habue* 
rit  hoc  fignu  c^.tunc  extrahenda  erit  radix  cubica  de  quonente 
dhii(ionis.uthic,3  coaequati  10 29, facit  1 rt  343,8^  1 2* facit r* 
Item  ubi  diuifor  fuerit  denominatus  hoc  figno  , extrahenda 

erit  de  ^tiente  diuifionis  radix  zenfizenfica:  ut  hic, 5-  %%  aequan 
cur  80.  igitur  1%%  facit  1 6fiC  1 2e  facit  i, Sic  ubi  diuifor  denomf 
nabitur  ifto  ligno  fi,  erit  extrahenda  de  quotiente  diuifionis  ra 
dix furdefolida  : ut  bic,8/? aequantur  8(92,  itaqj  1 f>  facit  1024, 

6 1 2*  facit  4.Et  fic  de  alns  in  infinitum* 

Item  ubicuncp  polita  ruerit  denominatio  figni  liuius,  * , ad 
diuiforem(at  hic,  1 % aequatus  72 — 62^)  extrahenda  erit  ra- 
dix quadrata  de  quotiente  diuifionis,quaIis  qualis  fit  quotiens 
ille;  iciliccr  quando  2 & aequantur  »44—  122«,  tunc  1 $ aequat 

7 2 — 6 2^Efi  ergo  radix  quadrata  quaerenda  de  quotiente  hoc 
7 2 ~ 6 24.  Sic  etiam  dum  1 % aequatur  6 2«  -f-  7 2,  quaerenda  cft 
radix  quadrata  ex  quotiente  hoc, 6 2*-f-7  x.  Item  fi  1 & aequetur 
1 2 24 — 36 1 quaerenda  erit  123  de  quotiente  hoc  122^ — 3 6, 
Item  fi  r%  aequetur  182«, — 7 2,  quaerenda  eft  radix  quadrata 
de  quotiente  hoc,»  8 2«—  72,Sed  de  inuentione  radicum  huiuf* 
modi  docebit  caput  quartum. 

SAtis  indicaui.ut  calculatio  fecundum  regulam  Afgebrae  fit 
calculatio  quaedam  per  lineas  & fuperftdes.Oftenfaq*  fune 
exquftdrangubri  figura  uariae  inuentiones  aequationum  &c. 
Reflat  nunc  ut  fignifieem,  quomodo  exempla  & aenigmata 
formari  pofltat  fecundu  aequationes  inuentas  aut  inueniendas, 

Alexandct 


Arithmeticae  Ltber  n i*  234 

V Alexander  magnus.cum  aliquando  familiarius  Califthe- 
nem  philolbphum  compellafiet,de  xtate  fua.fuorum^  amico 
rumpia  diflcruit.  Ego, inquit, Epheftionem  meum  duobus  an- 
nisantecedo.  At  Clytus  amborum  annos  fua  artate  compre- 
hendit,& prartcrea  annos  quatuor.Cui  Califthenes:  Cum  pa- 
ter meus  uixerit  annos  96,  iucunda  mihi  fuit  ifta  relatio  6 rex* 
Nam  annos  trium  ueftrum  artas  eius  praccife  habuit* 

1 Quxritur  qua  xtate  Alexadri  habita  fuerit  iftud  colloquium* 
Primo  pono  unam  lineam  annoru  pro  xtate  Epheftionis, 
id  eft,  1 24 . Et  fic  pro  xtate  Alexandri  ponenda  erit  xqualis  U 
nea  annorum, & duo  anni.i. » 2*-+-  2«  Et  fic  pro  xtate  Clyti  po 
nendx  funt  dux  linex  prioribus  xquales,  & 6 anni.i* 

Et  his  fimulcoputatis,uideI/cet  40<2,-f-3,xquatifunt5)<S  anni* 
Facit  1 24.  i.  una  linea,  22  annos.  Itacpxtas  Alexandri  habuit 
. 24  annos,  Clyti  5-0« 

Vel, pro  xtate  Alexandri  pono  unam  linea  annorum,  id  eft 
1 se* Et  fic  ponenda  aenit  pro  xtate  Epheftionis  una  linea  .mi- 
nus annis  duobus.i.  1 24 — 2.  Atcpita  Clyto  ueniunt  ponendae 
dux  linex  annoraxlus  duobus  annis,id eft,  2 Te— f—  2*Et  fic 434 
arquant  annis  yrf.Facit  1 34. 24 xtatem  uidelicet  Alexadri  Q(c,  . 

Ex  ifto  exemplo  diligens  ledor  poterit  difcere,ut  res  accom 
tnodandx  fint  lineis,formadacp  fint  reru  exempla  ex  numeris* 
Sequitur  exemplum  aliud  quod  accommodatur  fuperficicbm. 
rNicanor,ea  pugna  qua  interijt, occurrit  Iudx  Machabaco 
agmine  quadrato, colledo ex  Syrorum  auxiliartjs  militibus, 
atq?  rjs  quos  iecum  adduxerat.  Cxia  funt  autem  ex  eo  agmine 
3 yooo,rcfiqui  fuga  elapfi  funt.-quorum  numerus  (ultra  nume$e 
aoxiliariorum^rxdidorum)  fuit  1 j 6.  Quxritur  nunc , quot  , 
militibus  occurrerit  Nicanor  MachabxoC  ' 

Pono  ftipcrficicm  unam  quadratam  militum,id  eft, » fc.Sunt 
autem  in  ea  fuperficie  computati,milites  exfi : item  numerus 
auxiliariorum  militum,id  eft  1 34:  item  numerus  alius  fuga  (er 
uatorum , id  eft,  1 j£*  Aequatur  itatp  1 fc  tribus  prxdidis  fum- 

nn  tj  m is. 


• ' . . . v. 


KTichaelis  Stipblii 

mls.uidelitet  3 s ijd-f-  i^c.Cum  igitur  diuifor  habeat  dgnunr 
hoc  imo  cam  3 y 1 ^.proponatur  tanqua  fuperffdes 
quadrata  .quaerenda  eft  radix  quadrata  de  illa  fuperftcic,  feu  de 
numero  ifto  codico.  Patet  autem  ex  ipfo  numero  infpccfro,ut 
Syrorum  milites,  folummodo  una  linea  fuerint  agminis  illku 
quadrati .Itacp  multiplicai/one  numeri  Syrorum  in  fc, produci 
tur  totum  agmen  exercitus  illius. 

Vc  autem  radices  ex  codicis  numeris  huiufmodi  extraham- 
tur, dicam  capite  quarto.Nunc  urro  caput  tertium  uideamus, 
de  Algorithmo  numerorum  coflicorum. 

De  Algorithmo  numerorum  Coflicorum. 
Caput  ii  u. 

S T autem  regula  Algebrae talis , ut  peculiaret 
numeros  requirar, qui  proprium  Afgorithmutn 
habear.Et  ea  ratione  numeri  tales  Coflid  dicuo 
tur.  Numeri  uero  Codici,  funt  numeri  denomi- 
nati proportionaliter  i terminis  progreilionum 
im.  Diipofita  enim  progTefTione  Geometrica  ab 
unitate  incipiente,  fub  quaeuncghoc  proportione  contingar,, 
uocat  terminus  immediate  unitatem  fequens  radix(ut  copiofe 
dixi  libro  primo  cap.4. ) & ab  hoc  termino, qui  uidelicet  unitas 
tem  fequitur,&  radix  progredionis  eft, denominantur  omnet 
numeri  Codid  ligna  ti  hoc  ligno  . Sic  omnes  numeri  codici 
fignati  ifto  ligno  ^.denominatur  i termino  progredionis  Geo 
metricae  tertio, uidelicet  ab  eo  qui  radicem  progredionis  imme 
diate  fequitur.  Vnde  tales  numeri  Codici  uocantorzenli  (eu 
quadrati,  Vt  146  % lignifleat  1 3 6 quadratos  terminos  alicuius 
progredionis  geometricae : feu  136  terminos  ta!es,quales  inuc 
niuntur  in  tertio  loco  alicuius  progrcdionisGeometricae. 
Sequitur  deinde  1 eft,numcrus  cubicus»  Cubicum  nume- 

rum 


Arithmeticas  Liber  uil-  2?f 

mm  femper  (equitor  i fc&.i.numcrus  rcnfircnficus,  qtri  uideUr 
cet  numerum  quadratum  habeat  pro  fua  radice  quadrata,  - 
Numerum  zenflsenficum  femper  fequitur  i /?,ideft,  numerus 
furdefolidus.  Numerum  talem  femper  fcqu/tur  numerus  zen- 
ficub/cus,  qui  in  cofTica  progreflione  fic  figuratur, 

Etiic  deinceps  in  infinitum* 

Hacccft  igiturprogreflto  coffica, ferens 
denominationes  numeroru  coflicorum. 
t,  i «e.  ifc.ic*.  i%%.  i/?.i%c*.ib/?.  in^icct.i^ic 
idfi.  Et  fle  deinceps  in  infinitum. 

Nulla  autem eft  progreflio  Geometrica, quam  ifta  Coflica 
progreflio  c5prehendat,cum  nullus  fit  numerus  qui  non  poflit 
repraefentarf  per  iie.Et  nullus  flt  numerus  quadratus,  qui  non' 
reprarfentetnr  fub  ifto  terminoeius  i Atq?  nullus  fle  numerus* 
cubicus,q  no  coprehefus  flt  boc  termino  eius  r rt.Et  fle  de  alrjs.  * 
Sicut  autem  denominationes  uulgares,non  folum  unitates 
recipiunt,fed  nullum  excludunt:  fledenomitfationes  illae  cofli 
car,quoslibet  numeros  patiunf,uc  4^.  »0%.  foct.Etflcdealtjs« 
Dicuntur  autem  Coflici  numeri,  proportionaliter  eflfedeno 
minati,propter  terminos  progreflionis  Coflficar,at  fatis  uides. 

Sequitur  etiam  ex  progreflionis  Cofli cac  expolitione , quod 
Coflici  numeri nullum  certum  numerum  repraefentent,  neqj 
certam  aliquam  proportione  ponant.  At  iub  regula  Algebrae 
coartantur ,atcp  ita  coguntur, ut  QC  certos  numeros  producant» 
& certas  proportiones  (eruent.  Quanquam  numeri  eorum  illi 
certi,incogniti  fint, donec  inuenta  aequatione  aliqua  refoluanf» 

. Recipiunt  uero  Coflici  numeri  denominationes  uulgares, 
ultra  denominationes  coiTicas.Vt  1 0 ieff  funt  decem  radices, 
feu  lineae  decem  florer\orum.Sfc  1 2 % gi*  funt  duodecim  fuper- 
fleies  quadratae  ex  florenis  fadar,ad  longitudinem  & latitudi- 
nem certae  alicuius  radicis  &c. 

rNumerorum  aut  coflTicorum  quidam  dicuntur  fimplkesj  . 
ut  zoae*  Et  quida  dicunt  compofiti,utfunt 

nn-  itj.j  item 


Michaelis  STIFELIi' 

Item  i % -f-8  &c.Et  quidam  dicuntur  diminutfut  m — 8 &c« 
Deinde  aliam  diuifioncm  habent.  Nam  quidam  funt  ratio- 
nales,aut  ranquam  rationales:  quidam  uero  funt  irrationales, 
aut  tanquam  irrationales,  ut  in  exemplis  regulae  Algebrae  Iu* 
culenter  uidebimus. 

De  inuentione  denominationum  coflicarum. 
rNotum  eft  ex  ijs  quae  libro  primo  dixi,cfrca  progreflfionS 
Geometricarum  expolitio  nes  ,ut  progreflio  numerorum  natu 
raliter  progredientium, exponat  terminos  progreflionum 
Geometricarum.  Quemadmodum  igitur  feries  numerorum 
naturalis,exponit  lingulas  progreflioes  geometricas,ita  etiam 
colTtcam  progrellionem  expontt.Eam  uero  expolitione  fuffi- 
dt  fubindicare  fcquenti  difpofitione. 


o.  i.  a,  3.  ‘4,  j>  6,  7. 

i * ifi.  iia.  ibj?. 

Et  I7c  deinceps  in  infioitura. 

Quemadmodum  autem  hic  uides,  quemlibet  terminu  pro* 
gremonis  coflicae , fuum  habere  exponentem  in  iuo  ordine  (ut 
i habet  i*  r $ habet  i QCc.)  Oc  quilibet  numerus  coiftcus,ler* 
uat  exponentem  fuae  denominationis  implicite,  qui  ei  feruiat 
& utilis  lit,  potiiTimu  in  multiplicatione  & diuifione,ut  paulo 
Inferius  dicam. 

Generantur  autem  ligna  CoiTica  Ungula, ex  luis  exponenti 
bus  numeris.hoc  modo. 

Exponentem  ligni  relolue  in  partes  fuasahquotas  incom* 
pofitas,(i  Ut  compotitus,  ita  ut  ipium  numerum  partes  illae  refe 
ran  t.mul  tiplica  tione  fua  inter  fc.Quibus  partibus  fle  flantibus 
applica  cuilibet  iuum  lignum,  tunc  habebis  lignum  integruin 
integri  illius  numeri* 

. Exemplum* 

Volo  inuenire  lignum  huius  numen  t4*RefoIuo  eum  in  pat 
fes  fuas  aliquotas  incompolltas , ipfum  multiplicatione  com- 
ponentes.uidelicet  in  z,  >.  z.  3,  Et  quia  harum  partium  ligna 

lunt 


Arithmeticae  Liber  sii* 

funt  hacc  %.  %.  ct.  ideo  fignu  codicum  uigefimarquartae  qua  a 
titatiscolficxCanitas  enim.i.primus  terminus  progreflionir 
colTicar.non  reputatur  inter  quantitates ) eit  hoc  .Et  reda 

ritur  quodlibet  lignum  codicum  rurfus  in  fuum  exponentem 
numerum,  Sic  autem  reducitur: 

Cuilibet  ligno  fuum  exponentem  fuprapone,quofado,muI 
tiplica  exponentes  illos  inter  fe,  & ncccflc  erit  ut  ea  multipli# 
catio nc  redeat  numerus  exponens  illius  ligni  compotiti,  ut 

Mc  i o o generat  hoc  lignum  hoc  lignum  apfi  rurlum 
ad  hunc  numerum  100  reducitur. 

Sicut  igitur  infiniti  funt  numeri,  ita  infinita  funt  ligna  colit 
ca.lcu  cofTicx denominationes.  Et  ficut  idem  numerus  non 
poted  generare  alterius  numeri  lignum,  fic  eadem  denomina# 
tio  cofuca  non  poteft  clTe  nili  unius  folius  numeri  exponentis 
expolita.  Et  ficut  ncceflc  cft,ut  quilibet  exponens  copofltus, 
pariat  lignum  codicum  compotitum,  fic  necetieeftut  expones 
incompofitus.pariattignumcodicumincompotirum.  . 

Progredio  numerorum  incompoutorum. 

*.  3. 9*7.1  i.»3.l7»»9»»J.a?.3»«37.4>.43*47.J,3«J’9^»* 
^7.7i.73.79.^3. 89.97.  roi.  1-03.1 07,&c. 

Progredio  lignorum  incompolitorum. 
cz.p.bp.  c/?.  d]?.  e^.  {Vc. 

Progredio  lignorum  compotitorum, 

ce*.  %/?.  iiez.  ibfi.  Sic. 

De  multiplicatione^  diuitione.&radicum 

* extradione. 

r . Quando  numerus  codicus  fuerit  multiplicatus  aut  d/« 
uifus  per  numerum  abdradum,  tunc  nihil  didertea  multipli* 
cario,aut  diuifio,a  multiplicatione  aut  diuifione  numeri  uulga 
riter  denominatf,per  numeru  abftra dum. Vt  licut  4 multi- 
plicati.per  3, faciunt  1 z : tic  4 oe multiplicat*  per  3 , faciunt 
lz^,  Et  4*  multiplicati  per  3 , faciunt  n 1 , &c. 


Item 


MlCHABLiS  STIFELII 

Item  ficut  i zftdiuifi  per  j,faciunt4f? : ita  *z  2edlui&  per  3, 
faciunt 42e.tt  1 z fcdiuifi per  ^faciunt  4%.  * 

2.  Quando  numerus  cofficus  fuerit  multiplicatus  aut  dtr 
uifus  per  numerum  codicum,  tunc  numeri  fignorum,fuam  qui 
dem  regulam  (equuntur  iuxta  Algorithmum  communem,  fed 
Ggna  fuam  propriam  multiplicatione  & diuifionem  habent» 
Regula  multiplicationis  crdiuijionis  lignorum  Cofficorum. 
AEjrponentca  fignorom.tn  multiplicatione  a&fcc,in fciuifTo 
ne  fubtra^e,  tunc  fit  ejrponcno  figni  fictibi. 

Exempla  multiplicationis. 

3 z % multiplicari  in  zj  c«.,faciunt  8 00/?. 

Item  4 in  fe  faciunt  1 6 3.  Item  5-  % in  le  faciunt  a 5- 
Exempla  diuifionis. 

800/? diuifa  per  zj  c*  .faciunt  3 z fc. 

Radix  quadrata  ex  1 6 % , facit  4 2«* 

Radix  quadrata  ex  zy^facityfc.  Et  ficdcalqs. 
Sic  4 ^ in  fe  cubice  multiplicata  faciant  -64 xl , cum  exponent 
figni  huius  14  triplatus.faciat  3 .cuius  fignum  fit  ct.  Ita  rurfum 
radix  cubica  ex  £4  ct, facit  4Ze,cum exponens  figni  huius  ct  ter 
tte  parte  fui  faciat  i,cuius  fignum  fit2€,,&c.  • 

Sic  igitur  probat  multiplicatio  diuifionemCut  ubicp)&diui 
fio  mulnplicationem.Item  multiplicationemquadratam.pro# 
bat  radicis  extradio  quadrata : di  uiciffim  radicis  extra  dio, 
probat  multiplicationem  quadratam  dic, 

Alia  probatio  iuperiorum» 

Sit  ualor  ne.  z ( poteris  enim  ualorem  recipere  ad  placitfi, 
cum  extra  operationes  regulae  Algebrar,  numeri  coflici  ponat 
uagas^portiones) tunc  3z%faciunt  iz8.& zj-ct faciunt  200, 
faciunt  uero  800  fi.  2 5-600.  Vide  iam  an  multiplicatio  duorum 
horum  numero^-,  1 z8 ,8i  2 oo.etia  faciant  z5--600.Ec  ficdealtjs» 
Demonftratio  prardidorum. 

. Qualiacunq?  facit  Arithmetica  progreffio  additione, & fub* 
tradionc,  talia  facit  progreffio  Geometrica  multiplicatione. 

Qi 


Arithmbticab  Libbr  m<  217 

& diu  i fio  ne.  ut  plene  oftendi  lib.  1 . capite  degeomet.progref. 

Vide  ergo, 

o»  i»  *•  3*  4*  f*  6»  7*  St 

I.  2.  4.  8*  l6«  32.  64.  128*  25*6« 

Sicut  ex  addltloneCln  fuperlore  ordine)  3 ad  5*  fiunt  8,fic(in  In- 
feriore ordine)  ex  multiplicatione  8 In  3 2 fiunt  25- rf.Eft  autem 
3 exponens  Ipfius  octonanj , & j-  eft  exponens  numeri  3 1 • Qi  8 
eft  exponens  numeri  25-6,  Itemficutin  ordine  iuperiori,cx 
fubtractione  3 de  7 «remanent  4, ita  in  inferiori  ordine  ex  diui- 
fione  128  per  8,  fiunt  16. 

Similia  hic  uides, 

I*  a*  3*  4*  f‘  7*  S. 

»*  1%.  ic*.  i/J.  ifcrt..  »b/?.  1%%*. 

Sicut  ex  additione  3 ad  j fiunt  8 ,0cex  multiplicatione  1 rt  in 
i fcfc&.Et  ficot  ex  fubtractione  3 de  7 remanent4*fic  ex  di# 
uiiionc  1 b/?  per  irt,  remanet  1 

TDe  reductione  cofficorum  numerorum , in  minimos,  fub 
eadem  ,pportione, facile  iudicabis.Scilicet  24^  & 3 6 j?  fic  flant 
in  minimis,2.&  3%,Cum  numeris  enim  tignorum  agimus  hic, 
iuxta  Algorithmum  communem . Signa  uero  reducimus  pe* 
Subtractionem  minoris  tigni,ab  utrocp  numero  coflico.  Hinc 
fit  ut  alter  eoru(.i  .qui  minus  fignu  habet)femp  fiat  abfolutusu 
Sic  fimilif  de  tribus  aut  pluribus  numeris  codicis  iudicabis. 
Vtti  jfcrt  aequati  fint  14%%- 8%,  tuc  ita  dabit  aequatio  reducta: 
3 aequati  14% — 8.  Probo. Radix  maior  facit  2 (minor  enim 
radix  facit  </*y ) igitur  3 &rtfaciunt  1 9 2. Et  tantum  etiam  faci- 
unt i4fcfc — 8*,Efl  igitur  aequatio  praecife  potita. 

Item  (.ut  probem  reductionem  ) 3 %%  faciunt  48 : & tantum 
etiam  faciunt  14% — 8» 

TQuando  igitur  fit  diuifio  numeri  CofTtci  per  numerum 
codicum  maius  tignum  habentem,tunc  ponitur  diuiior  fub  di 
uidendo,  ut  fiat  minuti?  reducenda  in  minimos  terminos.  Vt, 
fint  diuidendi  8 per  2^r?, facit  diuifio  1 Sic  autem  dat  mi 
• 00  nutia 


‘ MiCHaELIS  STlPEtri 
notfa  hac  rcduda  Et  fic  in  tali  cafu  femper  eft  numerator 

minutiae  numerus  abfolutus. 

De  minutrjs  non  eft  opus  hoc  loco  plura  dicrre,lcd  lutticiet 
ca  qua  ponam  circa  finem  capitis  huius* 

De  Algorithmo  numerorum  CoiTtcorum 
compofitorum  & diminutorum* 

HAdenus  in  ifto  capite  dixi  de  numeris  codicisfimpficf* 
bus,  id  eft, qui  necfl  fignum  additorum  habent  necp  ligno 
iubtra  dotum  : reftat  igitur  nunc  ut  dicam  de  codicis  numerif 

compofitis,&dediminutis* 

Quando  autem  cofticu3  nuir  erus  additur  ad  numerum  aire 
riusfigni,tunc fit cofiicus numerus compofitus. Vt 6 x* ad  1 x» 
faciunt  6 x^-j-  i i.Itcm  6x^,ad  8 ^»fac,8fc-f — 6 x&.Et  fic  de  alijs* 
Sic  quando  numerus  colficus  fubtrahitur  i numero  alterius 
0gni,aut  alius  riumerus  fubtrahitur  ab  eo,tunc  fit  cofticus  no- 
erus diminutus.Vt  6 aede 8 ^.relinquunt  8 fc—  * ^Item  ix 
de  6 oe, relinquunt  6 2«.—  i x,Et  fic  de  alrjs. 

Quando  uero  duo  numeri  codici  idem  fignum  habentes, ue 
nerint  addendi,  aut  alter  ab  altero  uenerit  fubtrahendus,  tunc 
nihil  aliud  fit  nifi  numerus  codicus  fimplex.Vt  8 * ad  4%,fiunt 
U *.Sic  j ■ a*  de  7ie,flunt  x ic.Et  fic  de  alijs. 

Ratio  autem  additionis  mediante  Ggno  additorum,  & fub< 

tradionis  mediante  figno  fubtra<ftorum,eft, quod  numericoU 

fld  lignorum  diuerforum , aut  uagam  habent  proportionem 
ad  inuicemCut  in  exemplis  algorithmorum.ubi  ad  probatione 
' exemplorum  fere  quilibet  numerus  recipi  poteft  pro  i x«, ) aut 
fi  non  fit  uaga.tamcn  incognita  manet  donec  propria  & certa 
radix  eruatur : tunc  enim  ( id  eft,  refoluta  i xc  ) omnes  numeri 
codici  exempli  propoflti  refoluuntur  in  numeros  abfolutos* 

TPro  algorithmo  autem  numerorum  codicorum  Compo- 
fltorum  atq*  Diminutoru,repetendac  funt  regulat  Algorithm* 
Agnorum  additorum  & fubtradoium,  quas  pofui  libro  x. 


Aritjuibticae  Libe*  iiu  2 }8 
Regulae  additionis  & fubtrartionfe. 

1 » J&ab em  ftgna  ibem  figmini  ponunt,  nifi  in  fubtracti 
one.vbi  numeri  prepofhre  ponuntur. 

2 . IDtucrfa  ftgna  commutant  (pedem . l£t  A ponit  M. 
0eb  S ponit  S. 

Regula  multiplicationis  & diuifionis. 
i&tbcm  ficum,  ponunt  ftgmrni  «litorum : biuerfa  vero 
ftgna  ponunt  ftgnum  fubtractorum. 

Regula  aequationum  reducendarum* 
igabem  ftgna  ftgnant  flenbam  fubtractionem«^inerf4 
vero  ftgna  ftgnant  penbam  abbitionem* 

Expolitiones  regularum  harum  fuff/ciemes  dedi  in  libro  fu 

Eeriore,de  irrationalibus  numeris.  Nihil  igitur  omnino  reftat 
ic  dicendum  ulterius  de  regulishis,fed  fnmciut  exempla  haec; 
uaeiam  ponam  pro  complemento  Algorithmi  numerorum 
'eorum* 

Exempla  Additionis. 

d*- f-8i« 

7^-f-»o  1% — ioi« 


»3i«-f-l8  8%— -ii« 

Ad  probandum  primum  exemplum  per  numeros  ablblutos, 
poteris  recipere  quemlibet  numerum  pro  radice.Et  ad  proban 
dum  exemplum  fecundum  per  numeros  abiolutos,poteris  re< 
cipere  quemlibet  numerum  integrum  quaternario  maiorem* 
pro  1 1«.  Nam  fl  una  radix  recipiatur  pro  y,  tunc  erit  aequatio 
4nter$*-»-8i«&8* — 1*>, 

Alia  exempla  additionis. 
di«—  ix  6% — 8i« 

»i« — 4 — 3 %• 


8i« — 1 6 3%-f-*oi« 

Pro  1 1«  (caufa  probandi)  poterisreciperequemlibet  nume 
fum  binario  maiorem, in  exemplo  priore.Et  in  pofteriore  ex* 

...  „ . oo.  i)  empto 


Michaelii  Stifblh 
etfiplo,  poteris  recipere  pro  1 i*  quemlibet  numerum  quina* 
rio  minorem* 

Exempla  Subtractionis. 
tfs«,-f-8  — 8 

4 — 4 

45*"t"4  4^—4 

Exempla  exceptionis. 

rfrt.—  83^ 

ict — ioi«  *ce. — idi 


4Ct-f-x^  4^  — 

Alia  exempla  fubtrad/onis. 

6d — 8^  j3*-f-io 

ZC^-f-  ICflg  — z 


4ct — i8ie  — 3^ 

Alia  exempla  fub tractionis. 

3%-f-io^  82e-f-o 

1 z2& 3%  — *4 


- *4  4*£ 

Vhftnum  exemplum  3pp2f  ec  efle  cootr^  rcguhiw 
ponit  0*  Sed  flgnum  fubtradorum  quod  ponitur  in  relido 
Gibtradionis,  prooenit  ex  prioribu*  particulis,  & non  ex  po* 
Aerioribus. 

Exemplum  Multiplicationis. 

da* — 8 

' • ? 1 v —3 

3°fc-f-*4 — 

Aliud  multiplicationis  exemplum, 
f— 824— d. 

** 4 


—*4%— 3 ***•+■  *4 


I »*H- 1 dtf — 3 4*  — 3 *«*+■  »4 


Veli 


Aiuthmeticab  Libbk.  ni*‘  2;? 
Vel  Gc  pone  lumtnam* 

3 <**—  3 * K, 

Exemplum  Diuifionis* 

— jj.02^ 

3ro%— «'ffae-f-jr*  8* 

r^— j 

Aliud  exemplum  diuiftonis* 

— <f>fc  quotiens 

**%—*?* -t-t*  (6*-t-8i£— tf, 

**-f-oie — * 

^%-f-oie— 4 

?fc-+-o3$ — 4 

Exemplum  extradlonum  radicum  quadratarum*. 

/*<■  Zffy'. — v^^-f-^4  (^— 8* 

Aliud  exemplumextra&ibnis  radicum* 

— Mi» 

■SoJe-f-.roo-  (^^-+-4^— 10* 

Probatur  multiplicatione  radldiin  fe,  ut 
4-4^ — io* 

*fr-t-43fe  — »o 
3<id(ti4rt- 

—f—  *4c£-j- 1 6 % — 401« 

— 60% — 40  ^,-A-iee  

36fcfc“f“48rt-f— 100 — 104%  — 802«. 

Sed  de  dluiflonlbos  Iftis,  & de  radicum  extradfonibus  nfli- 
busdnfrl  dicam  In  capite  1 z . Sunt  enim  exepla  illa  arte  facSa. 
Regulariter  uero  non  poteft  diuiflo  fleri  per  diulforem^iaben 
Kemilgnum  additorum  aut  fubtraftorum, 

00  irjv  Qyandov 


Michablis  Stifelii 

Quando  ucro  tibi  occurrerit  diuifor,  qui  fit  numerus  coiit# 
cus  compotitus  aut  diminutus,  tunc  fubicribc  eum  tuo  diui* 
dcndo.ut  fiat  minutia.  Ea  igitur  minutia  utere, donec  tibi  fuc- 
currat  aequatio  aliqua  expedies  & complens  diuifionem  illam 
tuam.  Sed  exempla  pulchre  te  docebunt  de  huiufmodi  nego- 
cijs.ut  hic  nihil  opus  ut  ulteriusdocere. 

De  Minutiis  numerorum  Coflicorum. 

ALgorithmus  numerorum  CofTicorum , iudicetur  iuxta 
regulam  generalem  de  Algorithmis  Minutiarum , quae 
docet  quofcuncp  Algorithmos  minutiarum,  componi  cx  regu 
Ilis  integrorum  iuoruro.atq?  ex  regulis  Algorithmi  communis 
minutiarum, quas  fuperius  libro  primo  cap,  i .docui  memoriae 
commendandas  iab  duabus  figuris  his; 


Reflat  igitur  nibfi  aliud,quim  ut  te  paucis  exemplis  haram 
tegularum  admoneam. 

Exemplum  additionis* 

r^Wt^*  *r  r 

Exemplum  fubtradionis.  i 

de relinquunt 
Exemplum  multiplicationis. 

per  **  facit 
Exemplum  diuifionis. 

Exemplum  redud/onis  ad  terminos  fignorunw 
*•' :i'  facit 

llfX  MVIl  |, 

Exemplum  reduttfonb  ad  terminos  numerorum, 

Dc 


Arithmeticae  Liber  tiu 


249 


De  extra&ione  radicum  tx  numeris  Codicis,. 
Caput  11 1 1, 


H£|  CTO  regulas  coflicas  Chriftophori,  reducit  hoc 
caput  quartum  ad  meam  unicam  regulam  Alge 
$ B brae.Cui  aut  difplicet  ifta  mea  redudfo,  ille  fit  bo 
nus  focius,  &C  expungat  etiam  Algorithmumnu 
«I  merorum  coflicoru,  Qi  loco  illius  fingat  & ponat 
tot  regulas, quot  res  ipfa  requirit.  Sed  nemo  erit,  qui  tale  fiu» 
dium  probaturus  fit. 

Satis  aut  cx  cap.  3 . u/des , ut  radix  quadrata  ex  64  & fit  $14, 
Et  radix  cubica  ex  8 rt.  faciat  1^. 

Et  radix  zenfizenfica  ex  8 1 faciat  9 1«, 

Et  radix  furdefolida  ex  3 ifi  faciat  z 

Et  radix  zenficubica  ex  64^, faciat  2 j<w  Et  fic  de  afijj. 

Sequitur  ergo  modus  extrahendi  radices  quadratas,ex  nu* 
meris  cofltcis.aequatis  alicui  alicuius  exponens, cum  exponen 
tibus  alterius  partis  illius  aequa  tionis.faciat  tres  terminos  pro* 
greflionis  arithmeticae,  utuldes  in  fequentibus  aquationibus. 

inaequatus  1 yiydii.  exponentes  funt,  6,^.4. 
Item  1 fi  aequatum  3 j-  iy6ct.  exponentes  funt  j.  4,  jv 

Item  1 H aequatus  1 re  -f-  3 y ij-tffc.Etficdealijs. 

Reducuntur  enim  omnium  huiufmodiaequationum  figna, 
Cut  ex  capite  tertio  didicifti)  ad  figna  horum  exponentium  nu 
merorum,  2,1.0. 

Satis  autem  confiat  ex  multis  locis  iuperiorum  duorum  li- 
brorum,ut  o fit  primus  terminus  numerorum  naturaliter  pro* 
gredicnttum.queadmodum  unitasefi  primus  terminus  nume* 
rorum  geometrice  progredientium.Iraq?  unaquaeqj  aquario* 
num  pofitarum , reducitur  in  aequationem  exempli  quod  dedi 
in  fine  capitis  fecundi  de  Ioda  Machabaeo  & Nicanore.uideli* 
cet  hanc:  1 1 aequatus  1 2*4-3  j 1 exponentes  funt  2,1,0. 

Nec. 


Michablis  Stifblii 

Nec  impeditur  extradio  flenda  iuxta  modum  quem  iatn 
dabo, etiam  fi  ordo  tignorum  cum  exponentibus  fuis  mutetur: 
ut  hic,  i % aequatus  715 — 4 o^.Hicordo  fic  reponit  exponetes* 
2.0.1  *&c.Sed  de  his  plura  inferius  circa  finem  capitis* 

V Sequitur  modus  ifte extrahendi. 

Primo*  Jl  numero  rabicum  incipe,  cum'q*  bimibiatum, 
loco  ciue  pone  bimtbium  illiu*, quob in  loco fuofiet,bonec 
confumata  fit  tota  operatio* 

Secudo.  lTiultipltca,bimibinm  illub  pofirum,  quabrate. 

Tertio.  Abbe  vel  Subtrahe  iujrta  (igni  £bbttoru,«ut  figni 
fubtracroruni,engcnttani. 

Quarto.^nuenienba  eff  rabijr  quabrattt,e]r  fumma  abbiti 
ome  tuae,vel  er  fuStractionie  tuar  relicto- 
Quinto. ^bbc  aut0ubtrahe  turta  figni  auterempli  tui 
erigetmani. 

Modum  extrahendi  hunc  tibi,  mi  bone  Ledor,formaui , ita 
ut  memoriar  tenaciter  harrere  poffit  adminiculo  didionis  hu* 
ius  A m a s 1 a s.  Significat  autem  A primum  membrumCab  A 
incipiens)doccs  pofitionem  dimidtj  nrnneri  radicum.  Mlifera 
fecundum  membrum  repraefentat,quod  imperat  multiplicatio 
nem*  a&s  tertium  membrum  repraefentant,  quod  uel  additio 
nem  uel  fubtradionem, iuxta  rei  exigentiam  (ut  exempla  clare 
dabunt)  requirit.  1 Iitera,inuctionem  radicis  quadratae  requiri 
fignificat.  a dCs  notant  ultimu  regulat  illius  membrum,quod 
iterum  additionis  aut  fubtradionis  alicuius  mentionem  facit* 
Videamus  nunc  exempla,  quae  modum  illum  expo 
nanr.ut  poftea  modi  iftius  membra  fingula,  demon 
ft  ratione  optima, fiant  perfpicua. 

V Primum  igitur  exemplum  fumatur  ex  ifto  Algebrar  ex* 

. emplo,quod  immediate  praemitium  fuit  capiti  huic ; uidelicet 
1 fc  fuit  aequatus  huic  numero  coflico,  t ie-f-  3 j- 1 y 6, 

Itaqp  primo  pono  k pro  numero  radicum.  Numerus  autem 
radicum  nullus  alius  eft  praeter  1 a*.  Modus  autem  dicit,  quod 

dimia 


Arithmeticae  Liber  i ii;  241 

-dimidium  ( non  radicum)  fcd  numeri  radicum*  fit  ponendum* 
Itacg  non  pono  k ^fcd  pono  k abie&o  figno . Et  hoc  poficum 
dimidio  duabus  uicibus  ueniet  ntendum.ldeo  dicit  modus  ifte, 
ipfum  nonefife  de  loco  fuo  mouendum,  donec  finita  fit  opera- 
tio./.donec  inuenta  fit  radix  quae  inquiritur* 

Secundo  multiplico  zinie,  facit  £ • 

T ertio  addo  illi  producfto  multiplicationis  numerum , qui 


Qaarto  inuenio  de  «dicem  quae  facit 
Quinto  addo  radicem  illam  ad  k , id  eft,ad  dimidio  numen! 
radicam,pofitumiprinc/pio.  Addo  uero  propter  fignum  addi 
torum. Fiunt  aute  ex  additione  illa  1 8 8,de  hoc  numero  coflico 
Probo  fic:  iie  facit » 88  «illum  numerum  addo 
ad3y» y6,fiunt  35- 3 44 -Cuius  radix  quadrata  facit  i38. 

rSed  ut  facile  poflTs  ,pducere  aequationes  huiufinod/,raeio« 
nales  radices  habentes.uolo  repetere  figuram  praecedentisca* 
pitis  quadrangularem,  diuifam  iuxta  propofitionem  primam 
iecundiyipfius  Euclidis,hoc  modo* 


0 1 o|  0 I 0 1 0 1 0 

0 1 0 j 0 | 0 | 0 0 

0 J 0 1 0 o|  0 | 0 

0 0 1 0 1 0 

0 | 0 

0 J 0 

0 1 0 

0 | 0 

0 | 0 

0 J 0 

0 1 0 

o o o 


o|  o |o 


o o 


o|o  | o 

i n 


ili 


o | o 


o|o  I* 


o| o | o 


o | o 


o | o 


ili 


Scilicet  i fc-f-6  ^aequantur  71. 

Item  1 fc-f—8  — 1 x,aequantur  7». 

Item  1 %-f-j  1 8,aequantur  71»  Etficde  alrjs. 

Harum  aequationem  mediam  pto  exemplo accipiamus:fci* 

pp  licet 


r . MichaeIis  STiPExrr 

ticet  i %-f- 8 ia—  1 » aequatur  72.  Primo  fit  redueftio,  fcilicet  atf 
priorem  partem  aquationis,addo  1 1, fiunt  1 fc-f-  8 2«,.  & fimili 
ter  addo  1 1 ad  pofteriore  partem, fiunt  84.Secundo  fiat  tranf* 
pofitio:  fcilicet  i priore  parte  fubtraho  8 2«,  6i  (Tmiliter  i pofte 
tiore  & fici  i aequatus  manet  84 — 8 2e . Sic  autem  debet  fieri 
tranfpofitio.ut  diuifor  folus  fter.firtp  aquatus  reliquis  particu 
lis  aquationis.  Et  hoc  eft  quod  dicit  regula  Algebra : :Diuibe 
per  numerum >coffici  figni  mniorie,  reliquum  equationt8,ci- 
bembiuifortCfcb  benominato)  equatum  rc.  Cum  autem  1 y 
fit  aqualis  84 — 8 34 .ideo  requirenda  eft  radix  de  hoc  connexo 

8 2*.Pono  —4  loco  — 8 2«,:  qua  multiplico  in  fe,fcci« 

unt  1 6,&  hac  addo  ad  84,fiunt  ioo.Addoautem(&nonfub< 
trabo)quia  dimidium  numeri  radicum, intelligitur  poni  cum 
fuo  figno  fubtra<ftorum,flc  —4.  Eadem  aut  figna  huiufmod/, 
ponunt  in  multiplicatione.fignum  additorum:  fcilicet  —4  in  . 

facit  -f-  id.Dcinde  radix  quadrata  ex  10  o,funt  lo.abilli» 
fubtraho 4,  id  eft,  dimidium  numeri  radicum.  Subtraho  uero, 
propter  fignum  fubtradorum,quod  ponitur  i parte  numeri  ra 
dicum.Intelligitur  em  dimidium  numeri  eius  poni  hoc  modo 

4 ut  fuperius  iam  dixi.  Et  ex  illa  fubtradione  remanent  6r 

id  eft, radix  aquationis  inuenta, 

ritem  \y  aquatus  7*— ^.Quaeritur quanta  fit  i2$dc 


7X— 6**» 


Demonftratio. 


o|  o|  °l  °1  °l  °l 


o[  o|  o|  o[  o|  o| | 


o | o | o|  o|  o|  o | 


o | oj  oj  o|  o|  o|  o I o 


o|  o| o | o o|  o|  o I O 


0 

0 1 0 

o|  o|  o|  0 | o|  0 

a 

0 

0 

o|  0 | 0 

0 

0 

0 

0 0 

o|  0 

o|  0 

0 o|  0 

0 

0 

0 

0 

0 0 

0 o|  0 

B 


Arithmeticas  Liber  ii  i,  242 

Quando  pono  dimidium  numeri  radicum,  tunc  pono  lineo 
fam  a b .Eam  multiplico  quadrate, facit  9 fuperfidem  eius  qua 
dra tam, quam  nolui  (ignare  cifris.Ei  iuperftciei  ( id  eft  ?)addo 
7 x . facit  gnomonem  eius  totum  fignacu  cifris:  a tcp  ita  fit  qua- 
dratum integrum.  Ideo  extraho  radicem  eius  quadratam.hicit 
p.i.Iincam  a b.  Ab  ea  linea  fubtraho  a b Iineolam.i.dimidium 
numeri  radicum.Tunc  remanet  linea  b b ieu  C x>,quar  eft  radix 
quadrati  huius  72  — 6 faciens  fua  longitudine  6.Vnde  36 
aequatur  huic  numero cofiico  72 — 6tz  .Figuram  autem  de# 
monftra  tionfs  huius,  nofti  efle  exemplum  quartae  propofitio- 
nis  fecundi  libri  Euclidis. 

Sequuntur  aliae  formationes  aequationum 
ex  fecunda  fecundi  Euclidis. 


0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

1 1 1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

1 1 1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

Illi 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

IMI 

0 

0 

0 

0 

0 

« 

f 1 1 1 

0 

0 

0 

0 

0 

O 

1 1 1 

0 

0 

0 

0 

0 

O 

1 

1 1 1 

0 

0 

0 

0 

0 

O 

1 

1 1 

0 

0 

0 

0 

0 

O 

1 

1 1 

0 

0 

0 

0 

0 

O 

1 

1 1 1 

0 

0 

0 

0 

0 

O 

IMI 

0 

0 

0 

0 

0 

O 

1 

- 

> i 1 1 

1%  aequatus  <?2e-t-7». 

1% — 7x  aequatus  6^  1 


’ 24  aequata  dic-f-7** 

Reducta  ultima  trium  harum  aequationum,inuenfes  8*€-f-4t 
aequari  1 * ; ergo  8 J^-f-48  eft  quadratum. 

PP  ii  1«» 


Michaelis  Stipelii 

ttacp  radicem  cius  quadratam  quaeramus.  Primo  pono  4, id 
eft.numerum  radicum  dimidiatu, quem  in  fc  muItiplico,fiunt 
1 6 . Huic  addo  48,  propter  lignum  additorum  politum  i parte 
illius  numeri-  Fiuntafit  ex  additione  illa  64,Cuius  radix  qua* 
drata  facit  8.  Et  hanc  addo  (propter  idem  lignum  additorum) 
ad  4,i.ad  dimidium  numeri  radicum.Et  iic  uenit  radix  quae  lita.-. 

Item  1 % aequatus  6 2. 

Primo  (ut  demonftrem  Geometrice  ) pono  radicem  quadrati 
fignati  literis,  i , in  figura  fequenti : hoc  eft,  dimidium  numeri 
radicum,  uidelicet  3.  Eam  radicem  in  lemultiplico,  & fit  qua- 
dratum lignatum  literis  i.  Et  huicaddo  7* » id  eft»  gnomonem^, 
addo  leo  circumpono,quem  uides  lignatum  cifris.  Atc$  Iic  ha* 
bes  quadratam  figuram.  

c 


B 


I I I I I I I I 1*1*1 

I i»  Is  I I I I 1 H ♦ 1 * 

I M I I I 1 I M>1> 


o | o | o o o|  o i | 1 1 1 | 


o j o|  ol  o | o 1 i | I I I I | 


0 o|  0 1 0 1 o|  o|  i | i | < 

0 1 0 | 0 | 0 0 | 0 

0 

0 

0 

0 | 0 | 0 0 |.  0 1 0 

0 1 0 1 0 | | 

0 0 0 | 0 | 0 

0 

o| o|o  1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 1 o)o|  1 1 

0 1 0 0 0 00 

o|o|o|  | 1 

0 | 0 1 0 1 0 | 0 | 0 

O | 0 1 0 j i j 

Itacg  extraho  radicem  eius  quadra  tam.id  eft,  a B,faciens  longi 
tudine  fua  5» .Demum  addo  radici  illi inuentae , dimidium  nu* 
meri  radicum,uidclicet  3«hoceft»addo  (propter  lignum  addi* 
torum) illi  radici  lineolam  a c»ut  coftituatur  quadra  tum.cutus 
cadix  fit  1 2, Quod  quadratum  repraefentabatur  per  numerum; 

bUQCr 


Arithmeticae  Liber  rn,  24$ 

fiunc  coflicum,  6 -f-  71.  Item  per  1 & . Figura  autem  ipfa  eft 
exemplum  propofirionis  fextae  fecundi. 

De  aequationibus,duas  radices  habentibus. 

FSunt  autem  aequationes  quaedam,  quibus  natura  rerum 
huiufmodijdedithabere  duplicem  radicem,  uidelicct  maiorem 
& minorem:  id  quod  plene  docebo  a tep  demonftrabo. 

Et  ut  citius  rem  hanc  capias,rec/piamus  exemplum  arquati 
onis,cui  conueniat  figura  immediate  fuperior : fcilicet, 

1 fc fit  aequatus  /8  ^ — 71, 

Primo  pono  dimidium  numeri  radicum, uidel/cet  9 (cum  in 
ttquationeftenr  1 80«,)  hoc  eft, pono  lineam  a B,facientem  Ion 
girudine  fua  9.  Secundo , multiplico  eam  in  fe,  fecit  8 1 , id  eft, 
quadratum  fignatum  dfris  & literis  I.  Tertio,  fubtraho  ab  illo 
quadrato,numerum  atquationis  pofitum  i parte  ligni  diminu# 
iorum  id  quod  lignum  fubtradorum  fignat,uidelicet  fieri  de- 
bere fubrra  dionem : fcilicet,  71  fubtraho  ab  8 1 . hoc  eft, i qua# 
drato  lineae  A B, fubtraho' gnomonem  quem uides  fignatum 
cifris,Et  fic  remanet  quadratum  quod  literis  i fignatum  uides. 
Quarto  Igitur  extraho  radicem  quadratam  ex  illo  quadrato  ' 
relido,fecitradixilIa  3:  eft  em  radix  quadrata  lignari  literis  i, ' 
Quinto  (cum  iam  7 *,id  eft,  numerus  politus  £ parte  ligni  fub- 
tradorum, per  fubtradionemfuo  officio  fundus  fit,  atep  cum 
figno  luo  diminutorum  omnino  reiedum;  nec$  enim  numerus 
talis  duplici  ufu  gaudet , ueluti  dimidium  numeri  radicum, 
id  quod  me  oportuit  uerbofius  dicere  hic  pro  expolitione  mem 
bri  quinti  feu  ultimi.modi  illius  quem  luperiuspofuide  extra- 
dionibus  huiufmodi , & iuxt a quem  modum  ifta  omnia  fiunt 
quae  hoc  capite  docentur ) nullum  fignum  amodo  fupereft,id 
cft.nccp  fignum  fubtradorum , nec$  lignum  additorum,quod 
exprefle  eilec  pofitum.  Ideo  res  pulcherrime  refpondet  aequa- 
tioni, fiue  radix  illa  quadrati  lignati  literis  i,uidelicet  3 (quan- 
tum ctiamfacit  lineola  a d fua  longitudine)  fubtrahatur  de  ra 
dicc qpadra ti  lignati  ciftis  Qi  literis  i ( id  c,de  linea  a D)fiuead 

pp  tif  cam» 


Michaelis  Stifelii 

cam  addatur. Si  fubtrahitur,tuc relinquitur  radix  D B.Si  uero 
additur*  tunc  fit  radix  C B . Scilicet  u i % arquetur  1 8 — 7z,* 
tunc  radix  .6  rcfpondei  aequationi  tanquam  minor  radix,  & iz 
eidem  aequationi  refpondct  tanquam  maior  radix.Nam  fi  pro 
radice  recipias  6,  tunc  i fc  facit  3 6.  Vide  iam  anrcfpondeatal 
tera  pa  rs  aequa  tionis,uidelicet  an  1 8 le, — 71  etiam  faciant  3 6, 
Faciunt  autem  18^(1^  faciente  6 ) 1 08,  i quo  fubtrada  72, 
relinquunt  36. 

Item  (7  recipias  pro  radice , lineam  c b ( id  eft , 1 z ) tunc 
1 facit  144 . Vide  iam  an  refpondeat  altera  pars  aequatio* 
nis : hoc  cft,uide  an  is^e — 7 i etiam  faciat  144.  Faciente  aut 
1 ie.  t z.  faciunt  1 8%.  z 16. i quibus  fubtrahe  7 a, tunc  remanet 
1 44.  Et  res  fic  inuenitur  probata » 

Sic  quoties  1 % aequat  numero  radicum, pofiro  cum  numero 
abfoluto, mediante  figno  fubtradorum , tunc  femper  (uno  (o- 
lummodo  cafu  excepto)  habebit  ipfa  aequatio  duplicem  radi- 
cem. Altjs  uero  cafibus.impoflibilc  eft  unam  aequationem  con 
Cinere  plures  aequationesquim  unam. 

Exemplum  exceptionis, 

Vtfit  1 % aequatus  iitq — 36.  Pono  primo  dimidiumnu* 
meri  radicum , id  eft,  6 . Secundo  multiplico  6 in  ie , fiunt  3 6,  i 
quibus  fubtraho  3 6 pofita  i parte  (igni  diminutorum,  rema* 
net  o.NihiI  igitur  erit,quod  uel  fubtrahatur  i dimidio  numero 
radicum,aut  ad  eum  addarur. 

* 1 • V \ ■ * ' * 

Itacp  quoties  inciderit  aequatio  inter  1 % & radicet  politas, 
cum  numero  abfoluto,mediante  figno  fubtradorum,  fueritqj 
abfolutus  ille  numerus  aequalisquadrato  dimidij  numeri  radi* 
cum, tunc  ex]caufa  iam  oftenfa , habebit  aequatio  talis  pro  ra- 
dice fua,diaiidium  illud  numeri  radicum  (impliciter. 


Aritkmeti<5ah  Liber  iii.  244 

TEt  ut  plenius  captas  membra,  modi  extratftionum,  cju* 
loquuntur  de  additione  & fubrradione  (ut  funt  membra  ter* 
rium  &t  quintum, modi  illius)  ita  accipe  rem  hanc. 

Quoties  1 % aequatur  tali  numero  coflico,  8 3»  feu 

(quod  idem  eft ) 3 8 f — 8 , hoc  eft,  quoties  in  altera  parte 

aequationis  mediat  fignum  additorum  inter  radices  & nume* 
rum  abfolutum>tonc  femperfit  additio  in  utrotfc  membro  id 
efr,in  tertib  & in  quinto, & nunquam  fit  fubtradio,&  impoflt- 
bile  eft  ut  talis  aequatio  duas  radices  habeat. 

Et  quoties  fignum  fubtratforum , mediat  /n  altera  parte  x» 
quationis,aequatae  ifc,  fteterintcp  radices  i parte  fignifubtra- 
aorum.ut  hic  3 3— 8 ^tunciuxta  tertium  membrum  fit  addi 
tio,&:  non  fit  fubtratftio,  ed  quod  duo  fubrratfh  inrer  iemolti* 
plicata,faciant  additum,  feu  ponant  fignum  additorum . Sed 
iuxta  membrum  quintum  feu  ultimum,  fitfubtratftio,  propter 
fignum  illud  fubtradoru  pofitum.  Et  impoflibile  eft, ut  aqua- 
tio habeat  plores  radices  quim  unam.  n 

Et  quoties  fignum  fubtradorum  mediat  /n  ea  parte  aqua- 
tionis, qua  aquatur  1 * , ita  ut  numerus  abfolutus  ftet  i parte- 
figni  diminutorum,  ut  fic  8 — 3« , tunc  in  tertio  membro 

modi  praditfi,  fit  fubtradio.&non  fit  additio , uidelicet  pro- 
pter ipfum  fignum  fubtratforum  fit  fubtradio,cumhicnon 
multiplicetur  fubtradum  in  fe,per  membrum  fecundum , ficut 
in  priore  difpofitione  aquationis  flebat. 

T ranfir  autem  numerus  ille  abfolutus  cum  figno  fuo,  cd  q> 

fimplex  officiam  habeat  .Numerus  uero  dimidius  radicum 
duplex  officium  habeat.  * 

Ideo  in  ultimo  membro,  ncc&nota  fubtracftionis  necp  addi- 
tionis  remanet.  Idco'qp(  lege  aquationis)  liberum  erittib/.ut 
ueliubtrahas  uel  addas ; utrocg  enim  modo inuenies  radicem 
aequationifatisfacientem. 

In  cafu  exceptioni s pradida,  nihil  additur, & nihil  fubtra* 
«tur,iuxta  membrum  modi  ultimum, Ideo  &c. 

Adrjcienda- 


MlCHABlU  STIFELII 

V Adfjc/cnda  nunc  eft  demonftratio,  qua  uideas  & int*lli- 
as,aequationeshuiufmodi(  ubi  fignum  fubtradoru  mediar, 
ante  numero  abfoluto£  parte  illius  (igni)  habere  duas  radices 
(plures  autem  duabus,  nulla  aequatio  habebit ) naturaliter  • 

Et  in  hunc  uium  repetamus  figuram  capitis  huius  fecundam» 
uidelicethanc; 

B 


C 


F 


Quae  ut  hic  ftateft  exemplnm  propofi  tion/s  tertiae.fecundi  U* 
bri  EucIidiSjCum  arque  pofliteile  exemplum  quartae  fecundi. 

Vide  igitur.  Cum  dico  i aequari  — 1 8. Certe  exipfa 

v-  figura  uides,ut  ifta  haec  aeq tio  conucniat  quadrangulo  a b c d, 
atqj  quadrangulo  C d e F.  Quadratumenim  minus,  quod  oi- 
delicet literis  i eft (ignatum , uides aequari  iz  xi— 18 . Scilicet 
totum  quadrangulum  a b C D continet  i z aequales  radices  ha 
bet  ipiiim  quadratum  minus,fignatum  literis  i.  Vnde  fi  ab  iftis 
radicibus  fubtrahatur  numerus  1 8, id  eft, haec  pars  eius  quae  ci- 
tris fignata  eft,tunc  remanet  i fc.id  eft, quadratum  ipfum  flgna 
tum  literis  i. 

Conuenit  etiam  per  omnia  quadraognlo  cdef:  quadratu 
enim  maius  quod  pundis  eft  (ignatum,  uides  aequari  fimiliter 
1 — 1 8, Scilicet,  totu  quadrangulum  c o B F continet  i % 

quales 


o 

o 

o 

o 

o 

o 

ili  i 

O O 0 O 0 J o 

i iji 

0 | 0 | O 0 | 0 0 

1 f 1 i 

♦ 1 ♦ ♦ 1 ♦ ♦ 1 * 

0 O | 0 

. 1 ♦ 1 ♦ 1 ♦ ♦ 1 ♦ 

0 | 0 o 

♦ 1 ♦ 1 ♦ 1 ♦ ! ♦ J ♦ 

O 0 0 

♦ ♦ 

. 1 * J » 1 . 

o o |o 

- 1.  M. 

o| o | o 

.1-1-1. 1-  - 

o o|o 

Arithmeticae  Libe*  m.  24^ 

quales  radices  haber  ipiiim  quadratum  maius,pundis  fignatfir. 
Vndc  fi  ab  iftis  i z fubtraxeris  numerum  1 8,ideft,hanc  par 
tem  quadranguli  quae  dfrls  lignata  eft.tunc  remanet  1 fc.idefl, 
quadratum  ipfum  punrtis  fignatum* 

Certe  uldcs  unam  8C  eandem  aequationem  hanc  1 fcxqua* 
tus  1 z — 1 8,  habere  duas  radices.cum  utricp  quadrangulo 
conueniar.Ec  eft  3 radix  eius  minor:  &6eft  radix  ciusmaior. 
Vt fatis  uides  b Cefle  latus  minoris  zenfi,&  d b efle  latus 
maioris  zenfi. 

Quando  autem  dico,  1*  aequatum  17 — 6-^,  Certe  uides  uc 
illa  ;tquatio  folummodo  minori  quadrangulo  conueniaLuide 
llCetABCD.  * 

Sic  quando  dico,  1 % aequatum  efle  7%  — 3 3*,uides  maiori  Co 
lummodo  quadrangulo  conuenire. 

At  qn  dico,  1 * aequari  6 1*,-«-  3 6,  aut  1 aequari  3 i*  7%4 
uides  ut  aequationes  iftae  conueniant  folummodo  quadrato, 
continente  quadrangulum  utruncg.uidelicet  abfe. 

Regula  quaedam  generalis  comprehendens 
extradiones  radicum  zenfizenficarum,zenfi* 

cubicarum.zeni?zenzenficarum,zenfurdeibH 
darum,zenzcnlicubicajt,zenbiurdeiblidarui? 


'lce  lint  denominatae, ita  ut  exponentes  denominationS 

leruent  leges  progreflionis  Arithmeticae.cum  exponente  par« 
cis  non  denominatae  (qualem  conflat  efle  o ) tunc  potefl:  fleri 
extraaio  radicis  quadratae,iuxta  modum  hoc  capite  pofitum: 
prouentt  enim  femper  numerus  abiolatus,  flue  ille  flt  rationa- 
lis.liue  irrationalis.  Poteris  igitur  poftea  ex  numero  inuento. 
extrahere  aliam  radicem  ( fi  fignum  coflicum  maius , flt  com« 
politum)  iuxta  reliquam  partem  figni  compofit/.fubnoutam. 
Sequuntur  exempla  regulae  huius,radices 
rationales  producentes* 

«w 


I 


% , 

* 'MlCHABLI  S STJJBLIf 

inaequati  145-0  — 8%.  * > 

1 %%  aequatus  1 8 %-f— ^4-®- 
1 %%  aequatus  43  3 % — 41616* 

1 ^ aequatus  y 1 zo — 16  c«. 

1 ict  aequatus  zoort-f-  34 $-6. 

1 aequatu*  800  — ij^yr»  1 

inaequatus  z^^j-tTO' — -zo%^.  . • 

inaequatus  zooofc%-f—  »85-076881* 

1 M&aequatus  z°oo°  $$ — 784611 19*-  J 

1 aequa  tum  74»4 — zoo  /?. 

1 %/? aequatum  80/? -f- 39609, 
inaequatum  zoooji — 9994z4« 

Declaratio  exemplorum, 
Primlexemph'fignafunthxc,%fc.%.  o.  Horum  lignorum- 
‘exponentes (unt hi, 4* z.  o.  Seruant  autem termini 
conditiones  omnes  progrelfionis  Arithmeticae, quemadmodu 
I ft i termini  progreflionis  Geometricae , 1 • z.  4 . feruant  condi# 
tiones  ptogrefltonis  Geometricae.&c. 

Sic  Irgna  cofltca  exempli  quarti  font  hac,  , c o.  eorum 

autem  lignorum  exponentcs.funt  6.  3.0,  , 

Sic  ligna  feptimi  exempli  funt,  fcfcfc.  fcfc.  o.  Horum'q$  ligno- 
sum exponentes  lunt,  8.4,0.  _ * 

Sic  exempli  decimi  ligna  funt  Horum  uero  ligno- 

rum ex ponentes.funt  io.j-.o. 

V Modo  di  regulis  huius  capitis  fubtjduntur  etiam  aequa- 
tiones huiufmodi  lignorum  (ut  uldebis  capite  fexto)  uidelicet 
fecundarum  radicum. 

. a fc.  a.  o.  horum  lignorum  exponentes  funt  z.  1,0. 

Item  a fc*.  Afc.  o.  di  horum  fignoru  exponentes  funt  4.1.0» QCe* 
• Sic  B%rt . Bce..  o.  horum  lignorum  exponentes  funt  6. 3.0.. ; 
Similiter  t***  c*.  0,  hotum  lignorum  exponemesfunt  4.  a.o; 

Etficdealijs, 


* 1 
z 

. » 5 

4 
' S 
- 6 

* 7 
8 

9 

10 

1 1 
iz 


1 


Arithmeticae  Liber  i7fi.  246 

Sed  repetemus  priora  exempla.  ' » 

FPrlmum  exemplum  fufr.x  aequati  145-0 — 8 fc.  D/ufdo 

Igitur  1 4 j-o — 8 % per  2, tunc  1 inuenltur  arquatas  7 2 j- — 4%* 
Extraho  igitur  radice  zehficam.feu  quadratam  ex  725- — 4%, 
facit  2 y.  Deinde  quaero  radicem  quadratam  ex  25-,  facit  y.  Et 
haec  eft  radix  aequationis* 

Sic  radix  aequationis  exempli  quart/,eft4.  Nam  1 % eius  In- 
uentus  iuxta  modum  in  hoc  capite  datum,  eft  64.  Quaerenda 
icitur  eft  radix  cubica  ex  64  ( iuxta  ligni  huius  rt  lubnotatio* 
nem;  facit  4.  Et  fic  de  alijs. 

De  numeris  codicis  irrationalibus,#  eorum 
, Algorithmo:  # de  numeris  abfurdia. 

Caput  v* 

\ • '*  7 * *>.*  j 

aepissime  utimur  numeris  irrationalibus 
fub  regula  Algebrar.adeo  ut  i plarrifq;  dodisui* 
ris.numeri  irrationales  abfoluti.uocctur  Coftici. 
Sed  nos  Cofticos  numeros  folummodo  eosuo- 
camus,qui  denominatione  aliqua  coftica  funt  fi* 
gnati.ut  latis  fuperius  Indicaui.  Eos  autem  Cofticos  irratio* 
nates  uocamus,  qui  faciem  irrationalium  numerorum  ferunt 
fub  coftica  aliqua  denomina tione, etiam  fi  refoluta  i^inueral- 
antur  fuifle  rationales  ♦ Necg  enim  de  ijs  iudicare  poftumus, 
antequimr  2«  refoluatur,an  flnt  rationales  uel  irrationales; 
cum  fjb  eodem  ligno  radicali,  atque  lub  eodem  ligno  coftico, 
modo  ftnt  rationales  modo  irrationales.VtCexempli  gratia) 
Ii  in  aliquo  exemplo  inueniatur  ifte  numerus  /&io?«Juifte  lub 
arquationc  aliqua, cuius  iic inuenta/ecerit  y .certum  eft  ipfutn 
numerum  fuilfe  rationalem, arquatumqp  cum  1 o.cum  nihilo* 
minus  in-aliquo  alio  exemplo.infinitis  modis.arquari  poftic  nu 
meris  irrationalibus,aup  ita  uere  clleirrationalcs.Sic  fieri  po* 

qq  ij  tcft 


Michablis  Stifelii 
tefi'(lmo  facpe  flt)  ut  numerus  cofl7cus,abf<$  ligno  aliquo  radi 
cali  politus,  flt  irrationalis : ut  fi  ifte  numerus  2 o inueniatur 
fuifle  fub  aquatione  aliqua,cuius  1 * fecerit  1 8,certu  cft  ipfum 
numerum  fuiffe  irrationalem,*quat6'cfc  zoo  &c.Haec  ideo 
dico,ut  intefligas  me  numeros  coflicos  irrationales  uocarc eos, 
qui  fub  Algorithmo  cadunt,qucm  hoc  capite  tradabo,  id  eft, 
qui  i parte  liniftra  habent  fignum  radicale,fignificans  radicem 
extrahendam, quam  numerus  ipfe  non  habet : fcilicet  %/fc 1 a ^ 
atc$  7%  3 6 2«.  uocabimus  irrationales,  & A)  6 fcuocabimus  ra* 
tionalem  &c.  Credo  ifta  fufficere  pro  repraefentatione  huiui 
Algorithmi.Nec  enQciatio  numeroru  huiufmodi  difficilis  elt. 
Scilicer  </%ao  2* fic  cnundatur,Radix  quadrata  de  uigintiradi 
cibus.Item  — /fcxos*  fic  enunctatur.  Radix  quadrata 

de  uiginti % , plus  radice  quadrata  de  uiginti  radicibus . Item 
ficenundatur.  Radix  quadrata  de  uiginti  radicibus, 
diuifis  per  radicem  quadratam  de  icptenario.Et  fic  de  alijs. 


rEt  quia  numerf,quorum  Algorithmfi  hoc  capite  ponam, 
duplicia  figna  ferunt,unum  uidelicet  i parte  finiftra,  quod  ra- 
dicale  fignum  uocamus  & alterum  I parte  dextra.quod  coffi* 
cum  uoca mus, fatis  confiat  Algorithmum  eorum  componi  ex 
triplici  Algoritbmo:  uidelicet  ex  Algorithmo  communi, & ex 
& Algorithmo  numeroru  irrationalium , atqp  ex  Algorithmo 
numerorum  cofficorum.  Praeter  Algorithmum  minutiarum, 
Algorithmum  lignorum  additorum  6£  iubtracfiorum.Harc  aut 
non  dico  ut  te  abfierream  i re  hac,fed  magis  ut  breui  fentent/a 
uniuerfam  rem  hanc  fubindicem  tibi.mi  ledor.Non  enim  di& 
ficilis  aut  perplexa  eft  calculatio  praelentis  Algorithmi:  fed  ta 
lis  eft, ut  fola  obleruatione  lignorum  facile  captatur  & retinca 
tur.Neqj  enim  ego  talia  legendo  didici,  (ed  fola  obferua  t io nc 
rerum  intellexi,&  lignorum  beneficio  (quae  in  hunc  ufum  mihi 
adauxi)  memoriae  commenda ui, ita  ut  in  omnibus  calculatio- 
nibus mds,ftgnamildubi<jiGMrcgular» . ^ 


Arithmeticae  Liber  m4*  247 

De  additione  6i  fubt  ra  ftione, 

T Additio  numcroru  Coflicorum  irrationalia,  fit  mediante 
figno  additorum.Er  fubtra&io  fit  mediante  figno  fubtradoru. 
Vf  y*  ?di<>ady^iz%, facit  y*fz*-f-  y* 
ltem)6deSM6*,,facitSz)<;x>—36.  Etffcdeafijs. 
Veruntamen  fi  figna  coflica  fint  arqual/a numeri  irratio# 
nales,  fiue  fignis  illis  addi  poflinr,abfc&  fignis  additorum,tunc 
figna  eos  nihil  impediunt , quemadmodum  denominationes 
uulgares  eos  non  remorantur  abAlgorithmoru  fuorum  praxi. 
Vtqufaex  y%  8 ad  /fciS,  fit  yo.  Ideo  etiam  exy%  83«,  ad 
8 fi  t y o 2£.Et  ex  A 3 fcad»/%i8&,fit*/fcyo 
Sic  etiam  ex  y*  8 2*  de  1 8 remanet  %/%  2 . Et  ex  8 % 

de7%i  8 fcfubtrarta^emanct/**  *,cd  quod  ex  y*  8 fubtrarta 
dey$i8, remaneat»/*  z. 

Sed  probemus  tamen  exempla  data  arithmetice. 

Pono  q>  1 2$, faciat  2, tunc  8 23,  facient  1 6. cuius  radix  quadrata 
4'igi^r y*  8 2® facit 4.  SicAi8^tacittf  .Nam  iSiefad 
unt  3 6, cuius  */fc  facit  (Utac*  y*  1 8 *>  -j-V*8  2*  feu  y*y  0 ^faci- 
unt 10, Vide  iam  an  /%yo2* etiam  Sciant  10.  Scilicetyo^fa* 
dunt  ioo,  cuius  y*  facit  10.  SicfimiIiterinuenies/%18^—’ 
8 0«  (eu  v/^za«  facere  z,quemadmodum  z de  4 fubtrada  re* 
linquunt  z.  Altero  exemplo  (quod datum  fijit)  fit  ex  8 *, 
addita  ad  y*  18  *,  hoc  aggregatum  y*yo*.  Faciat  igitur  1 a*.*, 
tunc  1 * faciet 4,  ateg  ita  8 % facient  3 z, cuius  radix  quadrata  fa 
citv/fc  j 2,  Sicy*»8*iunty*7z . Addenunc  3zady^7z, 
tuncinuenies  y*  zoo . Et  tantum  etiam  facere  debet  y*  yo  *• 
Scilicet  yo  3 faciunt  xoo.cuius/fcfacit/fczoo. 

Satis  igfturufdes  resiftas  effe  certas. Et  pulchre  eis  refpon* 
dent  reliquar  regular  huiufmodi  operationum. 

De  multiplicatione  & diuifione. 

V Quis  numeri  cofiici  irra  tionales/equuntur  Algor  ithmff 
numerorum  irra rion alium, ideo  non  ferunt  multiplicationem 
■uc  diuifioncm,niG  idem  fignum  radicak  habeat  uterc^.id  eft. 

qq  iq  nulli# 


' .'MlCttA^LlS  SflPBtU*  * 

multiplicans  & multiplicandus,aat  diuiibr  QC  diu/dendus* 
(De  (ignis  autem  codicis  hic  nihil  dico  ed  quod  illa  multipli- 
cationem nunquam  impedfanr,&  diuiuonem  etiam  non  i enj- 
per  impediat,ut  fatis  nora  fant  harc : fcilicet  6 1?,  diuifir  per  3 %, 
faciunt  p^cum  6 % diuifi  per  3 1«  faciant  2 2® &c.)  Reda t igi* 
tur  ut  de  redudione  Agnorum  radicalium  dent  d dicam.  Suffi- 
cit  tamen  fi  hoc  fiat  per  exemplum  aliquod.  Ea  enim  regula, 
quam  dedi  de  huiufmodi  Agnorum  redudione,  fuperius  libro 
(ccundo,in  Algorithmo  numerorum  irrationalium  medialia* 
nihil  hic  uariat. 

Sed  exemplum  u idea  mus. 

Volo  multiplicare  8 2«,  per  At  1 6 % . Primo  igitur  cos  re* 
duco  ad  idem  Agnum  radica  le. 

Sic  autem  dant  ad  regulam  redudionis* 


Fiunt  autem  per  regulam  hi  duo  numeri  codici,  /fcr?  j-f  2 rt, 
&Act2j-d%&.Iam  igitur  dant  fubelfdem  Agnis  radicalibus, 
atcjj  fub  priori  ualore  feu  proportione,  id  qd’  probando  ed  Ac» 
Faciet  1 2t.2.tunc8  2«,faciunt  i<5.Cuiusv/%.facit4  ltacpy%8  2c 
funt  4.  Item  At  1 6 % funt  etiam  4.  Nam  1 6 fc  ( 1 2*  faciente  2)  fa 
ciunt  6 4 : cuius  At  facit  4.  Vide  iam  an  colfici  numeri  inuenti 
refpondeanr,  id  ed,  an  uterq?  eorum  faciat  4. 

Faciente  aut  12«.  2.  faciet  1 ct.  8.  Itacg  j 1 2 re, facient  4096, 
Ollius  Act,id  ed  radix  zenAcubica , facit  4.  Item  1 fcfc  facit  1 6, 
Faciunt  Igitur  2 $6  £& etiam  40 ptf.ut  eius  Act  faciat  4. 

Iam  igitur  multiplico  «/fcctj- 1 ice  inerti? 6 Ac  fiunt 

310716^.  Proba. 

1 b/?  facit  i.  28  .unde  13 1072  b/i  faciunt  1^7772 16.  Iam  uide 
an  huiqs  numeri  faciat  1 6. Nam  cum  utercp  multiplicatio, 

nis  terminas  faciat  4 ,&  4 in  4 faciant  1 6 ^equitur  quod  numo- 

v .-i  rus 


Arithmeticas  Liber :lm,  248 

rusprardidus  faciat  id.  Scilicet  de  »<5777x16,  fecit  4096. 
&%/ct  de  4096, facit  16. 

Exemplum  diuifionis. 

Volo  diuidere  Art  131071!^  per  %/%  c«  j- 1 z c* , facit  diuitfo 
Scilicet  1 3 1071  per  j*i  1 diuifa/adunt  zj-6. 

Sic  figna  radicalia  in  multiplicatione  & diuifione  funt  inde- 
clinabilia, fed  figna  coiTica  declinantur:  ideo  Quotiens  facit 
J ictis. 6 ty. 

De  redudione  irrationalium  cofficorum 
numerorum  ad  terminos. 

• ’ * • : i ' > • . »"•  ' V 

T Quandiu  autem  figna  radicalia  terminorum  proportta* 
nis  aut  aequationis  alicuius,  non  fuerint  reduda , non  poterit 
fieri  redudio  fignorum  cofficorum,  qualem  redudionem  do- 
cui capite  (uperiori* 

Vt  politis  his  numeris  duobus  cofficis  irrationalibus,,/^** 

1 ^intelligatur  facere  x,ipfi  inter  fesequaticrunr. 

At  fi  reducasfigna  eorum  coflica,  fignis  radicalibus  non  prius 
redudis.nequaquam  manebit  arquatio.  Neqp  enim  aquabitur 
8 cum  ,/1*  i6  5s.fi  1 5*  faciat  z,  ut  fuppofitum  fuit.  Redudit 
enim  fignis  radicalibus.flerentAcfiyj  z Si  6%.  Et  fatis 
uidesut^rtj-  iz  ioi4,non  finr  numeri arquales.  At  re* 

dud/s  prius  fignis  radicalibus,  antequim  reduc3tur  figna  cof- 
fica.fic  flabunt,  ,/%*  y i * ct  & Jtfi  zr6  ** . Deinde  redudis  li- 
gnis cofiicis.fic  flabunt  J\tfty  1 * iy6  5*.  Satis  autem  ui* 
des, ut  1 faciente  z ,fatiat>/irt.  numerum  arqualem 
alteri  fine  figno  coffico  polito  8ic. 

• ‘ s 

• * * . ».  • V*  • , 

De  Minutijs  huius  Algorithmi. 

- * - T • < . 

. . FNihfl  quidem  cfl  in  tota  Aritbmer/ca  hac,  quod  fa-pius 
«fietitum  fuerit  hac  regula , uidclicct  quod  Minuiixqualef. 

- 1 ✓ 1 cunqj. 


MlCHAB.Hl  STIfltll 


cuncp.fequantur  Algorithmum  fuorum  integrorum,fuxta  re* 
gulas  Algorithmi  communis.  Itacg  nihil  opus  cft  hoc  loco.uc 
ud  regulae  uel  exempla  ponantur,  quod  toties  dederim  exem# 
pia  de  buiufmodi  operationibus* 

De  (ignis  additorum  QC  iubtradorum,Si  de 
numeris  Abfurdis. 

FNec  opuseft  plura  d/cere.ut  Algorithmus  praefens  utatur 
lignis  additorum  &C  fubtradorum.Ea  enim  dicerentur  quae  dl 
da  funt  prius.  Sciendum  tamen,  quod  duplici  neceffirate  uti# 
tnur  (Ignis  illis . Primo  enim  utimur  Illis  innumeris  talibus, 
quorum  proportio  praecife  dari  non  poteft : ut  in  numeris  irra 
tional ibus. Secundo  urimur  eis  in  numeris  talibus, quorum 
^portio  ignota  eft,&  (1  praecifa  fit;  ut  in  numeris  coflicis.dutn 
numeros  quaerimus  nobis  abfeonditos.  Sed  praeter  neceflfitat? 
hanc  duplicem,utimur  eis  commoditatis  gratia, ut  aliquid  per 
ea  monftremus  aut  doceamus,  queadmodum  me  hoc  loco  uti 
uidebis.non  neccflitatis  fed  commoditatis  cau(a. 

Prima  autem  regula  de  fignis  illis  tradita,quatuor  habet  ua 
riationes  exempIoru,quae  fequentibusexemplis  repraefentant. 


8-f-4 

8—4 

r o— f — y 

io— r 

f 0 — f 

8-f~4 

8—4 

18-1-9 

*8  9 

2-t-l 

2 1 

Sequitor  exceptio  regulae , quae  pertinet  ad  fubtradii 

Et  habet  etiam  quatuor  uariationes,  quae  (equentibus 

piis  repraefentantur. 

• 

* 

•-M1 

1 o-f-t 

10—2 

8 — 2 

IO-f-2 

»+-3 

8 — 3 

10 — J- 

3 — * 

2 1 

2-f-  1 

3 — 2 

Secunda  regula.quantum  attinet  ad  additionem,etiam  qua» 
tuor  uariationes  habet, quae  fcqucntibut  excmplii  reptae# 
lentantur. 


•-H1 


Arithmeticas  Liber  iii«  249 


8-f-r 

8 — r 

8-4  I 

«-I-4 

. 10 — 4 

io-f-4 

10-f-r  1 

lo—f 

f 8-f — i 

18  — 1 

»8— f— 

1 18 — l 

Quantum  uero  fecunda  regula  pertinet  ad  fubtradionem» 

huiufmodi  quatuor  uariationes  habet. 

•s-f-y 

»8+4 

»8  — T 

1 8—4 

8—4 

8—5- 

8-1-4 

8-t-r 

to~h9 

,0~f~9 

10  — 9 

10  —9 

Regula  multiplicationis  di  diuiffonis,  quantum  attinet  ad 

multiplicationem.quatuor  uariationes  habet  huiufmodi. 

o-f- 6 

0 6 

0 - | — 6 

0 — 6 

o-f-4 

0 — 4 

0 4 

o-f-4 

04-  24 

o-f-  14 

0 — 14 

0 — »4 

Quantum  uero  attinet  ad  t 

luitionem,  quatuor  (imilesuarJ 

ationes  habet  huiufmodi: 

0-I-14 

0-+24 

0— »4 

0—24 

0 ~ y ■ 6 

0 6 

o-f-  6 

0 6 

o-f-4 

0 4 

0 — 4 

o-f-4 

V Vides  certe,ut  haec  omnia  uaniflimis  nugis  uideatur  efl*e 
fimilima  ,&  tamen  Cofficae  operationes,  fecundum  ea  fadar» 
plane  mirificas  inuentiones  habent . Sed  ut  nihil  obmittam  eo 
Tumquae  ad  integritatem  Arithmeticacpertinenr,meam'<$  fa- 
cultatem non  ruperant,  dicendum  mihi  uidetur  hoc  loco  de 
Numeris  fidis  intra  nihil. 

Quemadmodum  autem  uariae  finguntur  radices  numerope, 
fub  numeris  n5  habentibus  eas  radices,fitfcg  haec  fid/o  fumma 
utilitate  pro  rebus  mathematicis : ita  finguntur  etiam  non  fru 
ftri.numeri  infra  o, id  eft, infra  nihil.  V t uolo  exemplum  fubtra 
dionis  politum  iiiperius  repetere  hoc; 

8 — 2. 


•o— T 
. 3 — * 


rr 


Primo 


i . MiCHAB  tis  SYlFBtn 

Prirrto  fubtraho  iode8,&:  non  inoenio  numerum  aliquem 
(iipra  o id  cft, fupra  nihil,quem  ponere  poffim  iufta  fubtradto 
nisIege.Nam  fi  ille  i quo  debet  fieri  fobtrartio,  effet  maior  eo 
qui  fubtrahitur  ( ut  fi  loco  numeri  8 poneretur  numerus  n) 
tum  tandem  haberem  numerum  ponendum  uerum , Sic  fi  illo 
numerus  i quo  fleri  debet  fubtratfio,eflet  aequalis  ei  qui  fubtra 
hitur  (ut  fi  loco  8 ponerentur  i o ) tunc  relinqueretur  o.i.nihil, 
(quod  mediat  inter  numeros  ueros  & numeros  abfurdos)  Iam 
uerocum  numerus  fubtrahendus  maior  fit  co  5 quo  fit  fubtra- 
tftio  reftat  ut  numerus  infra  o,id  eft, infra  nihil,ponatur,uideli- 
cet  o — a,Sic  fimili  ratione  poftea  fubtrahoo— j-  deo — 3 
inuenio  o -+-  3 .i. numerum  fupra  nihil,  feu  numerum  uerum* 
Sic  Cofla  folet.pro  immenfa  copia  fua.ijs  uti  quae  funt,&  ijs 
qu*  finguntur  efle.  Nam  ficut  fupra  unitatem  ponuntur  nu- 
meri integri,  & infra  unitatem  finguntur  minutiae  unitatis , & 
ficut  fupra  unum  ponuntur  integra,  & infra  unum  ponuntur* 
minuta  feufratf  a : fle  fupra  o ponitur  unitas  cum  numeris  « 
infra  o fingitur  unitas  cum  numeris.  Id  quod  pulchre  repraefea 
tariutdetur  in  progreffione  numerorum  naturali, dum  (eruit 
progrejfioni.  r . . 


1-3 1-^ 

— 1 1 0 1 l | *|  3 1 4l  S j 6\ 

U | i 

V 

a 

1 i 

4l  8|i«|3»K4| 

Poffet  hic  fere  nouus  liber  integer  feribi  de  mirabilibus  nu- 
merorum ,fed  oportet  ut  mchic  fubduca,&  claufis  oculis  abeS. 
Repetam  uero  unum  ex  (uperioribus,  ne  fruftra  dicar  fuifle  in 
campo  ifto.  Sed  fentenda  inuerfa  repetam  quod  mihi  repeten* 
dumuidetur. 

u V Qualiacuncg  facit  progreffio  GeometTica  multiplicado 
& diuidendo, talia  facit  progreffio  Arithmetica  addendo  & fub 
trahendo.  Exemplum. 

Sicut  £ multiplicata  in  64, facit  8, Sic  — 3 additum  ad  6ri a« 
c u -i  ^ citj*. 


Arithmeticae  Liber 'iit.  ifo 

cit  3.  Eft:  autem  — 3 exponens  ipfius  ficut  6 eft  exponens 
numeri  64  ,QC  3 eft  exponens  numeri  8» 

Item  i?cut  4 diuidens  64,  facit  5-11:  fic — 3 fubtradum  de  6 
facit  9. Eft  autem  9 exponens  numeri  huius  5- 1 2. 

Item  ficut  64  diuidens  -g  facit-f—.  fic  6 fubtrada  de  — 3 re- 
linquit — s>.Eft  autem  — 9 exponens  fradionis  huiusy|x« 

•Et  fic  patet  pulcherrimum  iudicium  de  minutijs  unitatis  ab 
ftradx,&  de  ijs  qux  Eudides,Boetius,8t  altj  fenferut  de  indiul 
fibilirateunitatis.Dequa  re  etiam  primo  libro  difputaui,uide* 
licet  minutias  unitatis  habendas  elle  pro  numeris  fidis. 

V Sed  qua  ratione  fit.ut  — 24diuifum  per — 6 faciat-f— 4? 
Refpondeo.Ea  rationcquaex  uno  minuto  diuifo  per  unum 
icxrumCquod  incredibiliter  minus  eft  millefima  parte  unius  mi 
nuti ) fiunt  horae  777600000,  facientes  fere  887 16  annos. 
Item  ( ut  familiarius  fimile  ponam)  ea  ratione  qua  k diuifa  per 
? facit  2.  Nouerunt  etiam  indodi  £ fc  contineri  fub  k fi  bis.  , 
Sic  unum  fextu  continet  fub  uno  minuto  toties , 777600000* 
(cum  unum  minutum  tot  faciat  fexta)&  fic  contrahitur  ad 
quotientem  iftura  aduerbialem, denominatio  ifta  remporis}ui 
delicet  horarum,  ut  deinde  tot  horae  faciant  annos  8871 6. 
Sic  dum  diuido  — 24  per  — 6 , tunc  dico  — 6 contineri  fub 
— 24  quater.Et  ifte  quotiens  fic  notandus  uenit  -j-  4.  Quado 
Anim  fubtraho — 6 de  — 24, tunc  remanet  — 1 8.Et  fic  femel 
fubtraxi  — 6 de  — 24. Subtraho  igitur  — 6 de — 1 8, fit  rema* 
net  — » 2 : dC  fic  2, id  eft,bis  fubtraxi  — 6 de  — 24.Tertio  fub* 
traho — 6 de  — 1 i,6C  remanet  — 6.  atep  ita  ternarium  feci  fub 
trahendo.Quarta  igitur  fubtradione  fada,  4 produxi,  rema* 
nente  o.  Vides  aut  ut  in  abfurdis  numeris  omnia  flant  abfurde 
<?ue  inuerfe:  fcilicet,in  ueris  numeris  ita  flt,ut  fubtradione  m(- 
nuantur,  in  abfurdis  uero  numeris  ita  uidifti  fieri, ut  fubtradi* 
one  augeantur.  Quod  cum  ita  fit,  necefte  erit  ut  additione  mfr 
nuantur.ut—  6 ad— 4, facit — 1 0.  &c. 

Habes /tafji  ex  his  fontem  rationum  de  omnibus  quaeftioni 

v »1*  I ' 

rr  i)  tus 


/ 

MICHAELIS  STIPELII 

bus  ad  Algorithmum  Agnorum  additorum  & fubtradorum 
per  tinentibus.  V t cum  audis  diuerfa  Agna  in  additione  iubtra 
dionem  requirere,  fatis  intelligis  regulam  efle  intelligendam, 
de  fubtradione.qualem  requirunt  numeri  ueri.Talis  aute  fub* 
tradio,eft  additio,in  numeris  abfurdis.  Scilicet  — 8 ad  -f-  4» 

facit  — 4 . Et  -f-  8 ad 4 , facit  -+-4*Sic — 3 de  -f-4  fecit 

-f-»z;&-t-8de— 4,  fecit  — 1 z . Licet  enim  Ant  additiones 
fecundum  Algorithmum  uerorum  numerorum,tamen  illae  ad* 
ditiones  funt  fibtradiones  fecundum  Algorithmum  abfurdo 
rum  numerorum  &c.  Sic  ex  rjs  quae  dida  fiint  dediuiflone,  pul 
chrefequuntur  omnia  quae  uel  dediuifloncuelde  multiplicati 
one  docent  regulae.Si  enim — 24  diuifum  per — 6 facit —f—  4 1 
CTgo-f-  4 & — 6 inter  ie  multiplicata,  faciunt—  24.  Generale 
enim  eft,  ut  multiplicatio  probet  diuiAonem , & diuiAo  probet 
multiplicationem : additio  fubtradionem,  dC  fubtradio  addi* 
tionem. 

f,  • • 

Dc  perfedione  regulae  Algcbrae,  & de  fecundis 
radicibus»  Caput  vi.‘ 

N 1 c a hac  regula  artis  Algebrae, gratia  dei,  prae- 
ffvi T - . ftitifle  me  abunde  omnia  illa  arbitror, quae  Chris 
Rgw  jfflgjjl  ftophorus  per  odo  regulas  praeftitit,&  altj  per  24 
regulas.  Vt  enim  illa  mea  unica  regula, Amplicifli 
ma  eft,  ita  fimul  eamcapaciATimam  efle  conflat, 
cum  non  folutn  compledatur  regulas  omnes  quae  hadenus 
fuerunt  inuentae,fed  omnes  etiam  quae  in  hanc  rem  inueniri 
poflunt:  id  quod  exemplis  Chriftophori.Hieronymi  Cardani, 
& Adami  Ris, fatis  teftatum  faciam. Nec^  enim  Aeri  poteft,ut 
incidat  exemplum  a!iquod,quod  numerum  abiconditum  Ani- 
tum inquira  t,quod  fub  regula  mea  hac  no  cadat.  An  uero  prius 
«aliquando  At  fub  tali  Amplicitate  inuenta.mihi  non  conflat, nin 
« quodeoniedura  appellationis  adducor  ad  huiusquaeftioni* 

affirma.- 


Arithmeticae  Liber  iii,  291 

affirmatiuam. Saepius  enim  fingulari  confueuimus  uoce.quim 
plurali  regulam  Algebrae  uocare.Mihi uero uox  haecdifplice* 
bat : maluiftem  enim  rem  hanc  artem  dici,  quim  regulam,ut 
quam  multis  uartjsfcg  reguliscoftareuidebam.  Sed  nunc  nihil 
moror,utcuncp  appeller. Ego  mea  haec  aequis iudicibus  libens 
refigno  iudicanda. 

Quando  autem  de  perfedioneregulae  huius  unicae  diiputo, 
nemo  me  adeo  fbranoIentumefiecenfeat,ut  nonuideamaut 
cogitem  ea  quae  ad  hanc  regulam  conferuntur,feu  ad  quae  (e 
haec  regula  extendit.  Sed  cogitent  illi  etiam  hoc,  qu6d  regulae 
illi  non  fit  imputandum , (i  ego  iim  tardus  aut  ignarus  rernm 
earum  ad  quas  fe  regula  extendit.  Certum  eft  autem.eum  qui 
plura  artium  theoremata  nouitCqualia  Euclides  proponit)  la- 
tius pofle  uti  regula  Algebrae,  quim  is  poilit  qui  talium  theo* 
rematum  nihil  nouir, licet  regulam  illam  friat.  Quod  fl  fcienti 
regulam  Algebrae, occurrat  nodus,  que  foluere  nequeat,  quod 
ea  ignoret  quorum  fcientiam  regula  Algebrae  requirit , inepte 
facit  ii  ignorantia  illam  i fe  transfert,&  regulam  ipfam  culpat* 

Vt  ( exempli  gratia)  fi  quis  Si  me  petat  proferri  numerum, 
cuius  quadratum  multiplicatum  per  quartam  partem  petiti  nu 
meri,faciat43  z (eft  exemplum  Chriftophoriprimum,  profoa 
regula  tertia .pofitum)  fic  operor  iuxta  regula  meam.Pono  1 t*., 
cuius  quadratum  eft  1 % . Hoc  igitur  multiplico  per  { , facit* 

produdum  $ ct  aequatam  43  r.Diuifione  uero  fada,  produci* 
tur  quotiens  cuius  cubicam  radicem  quaerendam  eflfe  docet  re 
gula, propter  fignum  diuiioris  iftud  ct  .Quam  fi  extrahere  ne* 
quiuero,culpa  ignorantiae  mea  erit,non  regulae. 

Sicfimiliter.fi  iubear  proferre  numerum,  i quo  fubtrada  y 
relinquant  relidum,cuius  radix  quadrata  multiplicata  per  nu- 
merum illum  abfconditum/aciat  1 9 z.Pono  1 ze.Subtradis 
aute  r, remanet  1 1«, — y.  cuius  radix  quadrata  eft  iie  — y* 

Siae  multiplicata  per  1 ze,  fecit  irt, — yfc.  aequatam  191. 

eduda  uero  di  trafpofita  ifta  aequatione,  inuenft  1 t*  aequari 

n iij  jfc 


MlCHAELIJ  SriFELII 

»•  i * * # 

5-%-f-  ipi.Itacp  iuxta  regulam  quaerenda  eft  radix  cubica  ex 
ifto  conexo  j-fc-f- 19*-,  propter  flgnum  diuiforfs  iftud  r£,  At  fi 
extrahere  nequeam  radicem.qualem  mihi  indicat  regula , re* 
gula  nihilominus  manet  in  (ua  perfedione.  Facit  autem  radix 
extrahenda  s.Sedde  his  infra  fuo  loco  latius  dicam* 

De  fecundis  radicibus. 


QVando  in  pronundatione  alicuius  exempli, poft  politio 
nem  1 ^occurrit  adhuc  alius  numerus  abfeonditas/ub 
indeterminata  proportione  ad  numerum  latetcm  fub  1 ptfus 
polita, tunc  ponitur  numerus  ille  abfcdditus  fiib  1 A.Eteft  ia 
idem  quod  1 Ai«,.Hoceft,i  A nihil  aliud  eft  quim  infecunda, 
diftinda  ab  1 hl  prima  feu  prius  pofita.Cum  igitur  1 i*  prima 
alium  ualorem  habea  t,ab  1 1«,  fecunda  .requiritur  hoc  ut  in  ope 
ratione  exempli  radices  illae  nonconfundantur,nec  una  pro  ah 
cera  recipiatur. Ifta  uero  ufx  caueri  po flent,  nifi  fignisdiuerGs 
diftinguerentur  radices  fecundae  i radicibus  primis.  Volo  aute 
nomine  fecundarum  radicum  comprehenfas  e fle  tertias.quar- 
?as,quintas,£Cc.TaIes,inquam,docendigrarfa  omnes  dicatur 
fecundae  radices,refpedu  primarum:  ut  fcias  eandem  omnino 
ra  tionem  efle  in  omnibus,  flue  multiplicandae  uenerint.flue  di 
uidendae,flue  addendae  fint  flue  fubtrahendar,Sic. 

* Secundae  igitur  radices  fle  repraefentantur,  1 a (fd  eft,  1 Aie) 
'i  B (fd  eft,  1 Bie) » c (id  eft,  1 Cie)  1 D.  Sic. 

‘ Non  igitur  mirum  eft , quod  1 A in  fe  multiplicata , faciat 
i Afc.Sfc.  Curandum  autem  eft,ut  fn  exemplis  fecundarum  ra- 
dicum,fecundae  refoluantur  in  primas, per  inuentam  aliquam 
arquatfonem.Raro  autem  contingit  ut  primae  radices  ueniant 
reloluendae  in  fecundas. 

Reliqua  uero  quae  docenda  funt  de  radicibus  fecudis,dicam 
per  occationes  ponendorum  exemplorum, 

Chrifto- 


Arithmeticae  Liber  rn.  if* 

V Chriftophorus  d(  Hieronymus  Cardanus,  tradant  rad  i» 
ces  fecundas  fub  uocabulo  Quat icatis,  Ideo  eas  fic  fignant  i q. 
Latius  uero  eas  trartauit  Cardanus.Chriftophorus  enim  ni* 
h/1  habet  de  commiftionibus  radicum  fecudarum  cum  primis. 
Eas  aurem  Cardanus  pulchris  exemplis  norificauir,ita  ut  Ipfar 
facile  didicerim.  Eas  antem  commiffiones  fecundarum  radi* 
cum  cum  primis  fequentia  exempla  fatis  docent. 

Volo  multiplicare  z 2«,  in  z a, fiunt  ea  multiplicatione  4^4« 
hoceft  (quod  ad  repraefentationem  & pronunciationem  huius- 
Algorithmi  pertinet)  4 ^ multiplicatae  in  1 A • 

Volo  multiplicare  3 a in  9 b,  fiunt  »7  a b .hoceft,  17  a multi 
plicatae  in  1 B. 

V olo  multiplicare  3 B infe  cubice,  facit  z7  Bc*. 

Volo  multiplicare  3%in4B,fiunt  izfcB. 

• Volo  muf  tiplicare  z & in  4 a%, fiunt  a&  hoc  eft,8  rt  muf 

tiplicati  in  1 a%. 

Volo  multiplicare  i A quadrate,  fit  1 
' Volo  multiplicare  6 in  3 c,  fiunt  18  c.  *•* 

Volo  multiplicare  1 A in  1 A%,fit  1 Act. 

Volo  multiplicare  z a%  in  j a ct, fiunt  10  A*. 

Volo  multiplicare  irt  in  1 2«  a%,  facit,  quantum  r^Ainie 
quadra  te.  hoc  eft,  1 %%a%. 

Volo  multiplicare  1 Act  in  1 $a  , facit, quantum  1 3*Afcin  fe« 
hoceft,i%A^, 

Diuifiones. 

Volo  diuidere  8c«  a*  per  4A%,fadt  z c*. 

V ides  ut  diuifiorecipiat  redudionem  (ignorunt 

Volo  diuidere  8rtA&  per  4^, facit  za*. 

Volo  extrahere  radicem  quadratam  de  zj-  a%,  fadt  7 a. 

Volo  extrahere  radicem  zenfizenfica  de  1 6 fecit  zDJ, 

Volo  extrahere  radicem  cubicam  de  3 A*,  fedt  ^3  a*.  ' 
Ecficdealrjs. 


Probancitt 


' Michaelij  Stipe li i ? 

Probantur  autem  operationes  huiufmodi  per  progrefsio* 
num  Geometricarum  iuppofitionem.  Vt(  exempli  gratia)uo!o 
probare  q>  ex  multiplicatione  z et  in  4 Afc  proueniant  8 c*.  A% 
(hoc  cft , 8 ce  multiplicati  in  1 a %)  Suppono  progreflionem 
Geometricam  duplae  proportionalitatis , pertinere  ad  primas 
' radices : & progredionem  triplae  proportionalitatispertinere 
ad  fecundas  radices . Itaqj  z et  faciunt  1 6,  & 4 a % faciunt  3 6. 
Multiplico  igitur  16  in  3 6,fiunt  y7<5.Iam  uideo  an  8 rc  multi* 
plicati  in  i a 1 etiam  faciant  si6.  Faciunt  autem  8 cubi  64,  Qt 
1 a%  facit  9.&C, 

De  additione  & fubtra&ione  nullam  habemus  difficultate. 
Scilicet  z ad  z a, faciunt  z 2e-f-  z a . Sic  z a de  z 2$ , faciunt 
aie — 2 a,  SCc* 

rVt  uero  totam  fecundarum  radicum  tradationem  intel* 
ligas, fubijdenda  iime  praedidis  exemplis  AIgorithmi,exem- 
pia  quaedam  ufu  facilia,doneccapite  1 z alia  ponantur. 
Exemplum  Chriftophori  20. 

I . Sunt  duo  numeri,  qui  additi  ad  fe,  faciunt  1 y , Diuifus 
uero  maior  per  minorem.facit  15». 

Numeri  illi  iunt  1 2«,  & 1 a . 

Et  fle  ion  per  (dum  duo  numeri  proponunt  quacrendi,obmifli 
proportionis  eorum  connotatione)  poteris  pro  fecundo  nu* 
mero  ponere  ia.  Quando  uero  duo  numeri  quaerendi  propo- 
nuntur , & connotatur  proportio,  ut  facile,  abfcpadiutorio  fe* 
eundae  radicis,  poflffs  utruncp  repraefentare,  tunc  perfuade  tibi 
peccatu  efle , fi  per  plura  flant  quae  poftiint  fleri  per  pauciora* 
V nde  fi  mihi  proponantur  duo  numeri  quaerendi  fub  propor- 
tione dupla, qui  multiplicati  inter  fe  faciant  1 8»ego  mox  pono 
hos  duos  numeros  coflicos  1 z oe.ftatimcg  inuenio  z % aequa 

tos  1 8,&c.  At  fi  hos  duos  potuero  1 ic.  1 a.  tunc  oportebit  me 
primo  fecundam  radicem,  id  eft  1 A.refoluere  in  radices  pri* 
masjanrecp  poflim  procedere.  Scilicet , cum  proportio  dupla 
debeat  efle  inter  duos  numeros  illos»tunc  fuppono  1 a efle  du- 
plum 


Arithmetica!  Liber  m, 

piam  ad  i^.Vndc  ii  124  dupletur,  tunc  erit  aequatio  inter  22* 
& i a .Diuido  igitur,&  inucnio  i a facere  x k*  E t fic  pono  tan- 
dem hos  duos  numeros,  i a®.  x ii . &c« 

Sequitur  profecutio  exempli  prioris* 

Pofitis  duobus  numeris  exempli  dati,  i lA.audioinpro 
Cunciatione,additos  facere  ij.Itacp  12^-f-  ia  aequantur  tr* 
Etpertranfpofitionem  ia, aequatur  iy — ne.  Facit  igitur  ia, 
a r — 1 2e.  Vnde  numeros  inuetos  denuo  pono,(7ci  1 j- — 12*. 

Audio  igitur  ulterius  ex  pronunciatione  exempli, quod  maior 
diaiius  per  minorem,  faciat  ip.  Hic  (2  dubius,  uter  eorum  fk 
maior,fcito  hoc  Rtum  e fle  in  arbitrio  tuo.  hoc  eft,  1 2«  potes  re* 
dpere  uel  pro  maiore  uel  pro  minore.  Si  enim  1 oe  pro  maiore 
feceperis.tunc , r— aequabitur  1 9,  & faciet  ne.  14  i . & fic 
minor  numerus  erit  |>  Si  uero  1 oe  receperis  pro  minore  numc 
ro,tunc 1 rf2£ 7e  aequabitur  ip>dC  fic  faciet  1 ie.  j. 

Fltfem  exemplum  aliter. 

Sunt  duo  numeri, quorum  maior  diuifiis  per  minorem, facit 
19,  Additi  uero  ad  fe.faciunt  1 y, 

Numeri  funt,  1 24.  & 1 1. 

Diuifa  autem  1 ^ per  1 a, facit aequatam  i^.Itac^  19  a fune 
aequata  1 2$ . Facit  igitur  t a.  Vnde  fic  repetuntur  numeri 

primo  politi,  1 ^.f^.VItcrius  autem  in  pronfleiatione  audio, 
qudd  numeri  inuenti  faciant  iy  fi  addantur.  Itaqp  »^-f—  -fi^S 
hoc  eft, 75^  aequantur  1 y»  Et  per  redudionem,  28 y aequantur 
ao  ^fecit  1 K.  1 4 i*  Ergo  facit  4* 

rVel  fic  operare* 

Numeri  funt,  1 2*.  ia* 

Audio  autem  maiorem  diuifum  per  minorem  facere  1 9. Vnde 
Inaequatur  19.  Et  per  redu&ionem  ad  integra,  1 a aequatur 
19  a*  ♦ Igitur  ia  fecit  19  2c.  Itacp  fic  ftant  numeri  in  propor* 
Cione  inuenta,  1 . 1 p 2« , Et  illos  duos  numeros  audio  fecere 

iy,fi addantur »Itacg 20 a* aequamur  iy,fecit  ne.|* 

««  Vd 


Michablij  Stifblii 

• 

rVcUniibet) refolue  min  ia*  ut 
Sunt  duo  numeri , qui  ad  fe  additi  faciant  i j.Diuifus  utro 
maior  per  minorem  facit  ip* 

Numeri funt,  ne  6C  ia. 

Hi  additf,faciunt  i^-f-  i A,acquatum  i j-.Ergo  per  tranfpofl- 
tionem  i ^aequat  ij- — i A.Igitur  i a^facit  ly — ia.  Sic  ago 
repetuntor  numeri,  i a.  i y — ia. 

Sequitur  in  ,pnunciatione  exempli, quod  maior  diuiiiis  per 
minorem  faciat  i?.Itaq?  — aequatur  i p.  Et  per  redudio* 
nem  ad  integra,  ia  «equa  tur  zSj- — ipA . Et  per  redudionetn 
ad  flmplicia,  zo  a aequantur  z8  y. Facit  i a,  i 4 £ , Et  fic de  alrjs. 

Y Aliud  exemplum. 

2.  Septem  uiri  debent  mihi  pecuniam  hoc  modo.  Primus, 
& fecundus, tertius, quartu5,quintus,  & fextus.debent  14Z  fly 
(Hic  obferua,quod  debitum  (eptimidebitoris  folummodoex- 
clufiim  eft  ab  hac  fuirima  florenorum. Pqpo  igitur  pro  fumata 
feptimi  1 2«.  florenorum,  & fle  erit  fumma  totius  debiti,  i4z-f- 
1 ^ flo.)  Secudus, tertius, quartus.quintus.fextus^feptimus, 
debent  1 16  flo.  ( Hic  excluditur  debitum  primi . Pono  igitur 
pre  fumma  primi,  1 a florenorum : & fle  iterum  uenit  fumma 
omnium,faciens  1 z6 -fr  1 a flo.)  Tertius,quartus,quintus/ex- 
tus,feptimus,&primus,debent  1 36  flo.  (Excluditur  hic  debi- 
tum fecundi : pono  igitur  pro  debito  eius  1 B flor.&  fic  iterant 
producitur  fumma  omnium, faciens  1 36-f—  1 b f£.)  Quartus» 
quin  tus,fextus,feptimus,primus,  & fecundus,  debent  iz8  flo» 
(Hic  uides  excludi  debitum  reruj,  Itaqj  1 c florenorum  debec 
tertiuSj&eritfummaomnium  i z8  — | — i C flo.)Quintus,fextua, 
feptimus,primus,fecundus,&tertius,debent  130  flo.(Hicex* 
eluditur  debitum  quarti,quod  facit  1 D florenorum.  Eft  igitur 
fumma  totius  debiti,  1 3 0 — f—  1 D f^.)  Sex  tus, fept  imus,  primus; 
fecundus, tertius, & quartus, debent  1 zo  (Hic  excluditur  de* 
bitum  quinti,  facit  itaepuniuerfum  debitu  iftud,izo-f- 1 B 
6eptimusjprimus,fecundus,tertius,quarcusja:quintus}dcbcnt 
w 1 -X 


Arithmeticae  Liber  iji;  2^4 

148  flo.(Hic  excluditur  debitum  fext/,faciens  1 p florenorum 
ut  totum  debitu  faciat  1484-  1 f flo.)  Quaftio  ergo  eft.qilan 
tum  qutUbet  horum  debitorum  peculiariter  debeat C' 

Habes  aute  aequationes  fcptem  in  hoc  exemplo.  Satis  enim 
conftat  ut  quodlibet  totum,ubi  integro, iit  aequale. 

1424-12« 

1 f- 1 a Quia  fepties  ponitur 
1 3 6 -f- 1 B fumma  omnium, ideo 

1 1 8 -f- 1 c fex  aequationes  erunt. 

130-f — | D 
120-J-l  E 
148  -f-“l  F 

I.  Quia  1424- 1 3«  aequatur  12*4-  ia,  ergo  per  redu- 
ctionem 1 a aequatur  1 6 — f-  i 2«.  Etcii  fumma  fforcnoruni 
quam  debet  primus.  ■ 

a.  Sic  cum  14 x-f-i  aequetur  f 3 B.facieti  B* 

<4- 1 ^.Et  e ft  fumma  fecundi. 

, *.  Item  i4*-f-i3fc  aequaturi  28  4- 1 C.  Fadt  igitur » C, 
■4-f-i^. 

4.  Et  142 -f-  aequatur  1 jo  4- 1 d . Fadt  igitur  1 D# 

l*-f-  12«. 

f.  Sic  1 4»  4-  aequatur  1 20  -f- 1 b , Fadt  igitur 1 i. 

*2-f-  12«. 

Et  1 42  4- 1 2«  aequatur  148  -f- 1 p.  Fadt  igitur  1 P# 
#2«  — 6, 

Summae  iiogulorum; 

Debitum  primi,  itf-f- 1 3« 

Debitum  fecundi.  6 4-  1 ac 

Debitum  tertii,  144- 1 2« 

Debitum  quarti,  124-12« 

Debitum  quinti,  22  -f-  i^j 

Debitum  fextf,  12«  — 6 

Debitum  feptimi,  1^ 

st  q Additio 


• V. 


—y 


MlCflABLIS  STIFBL1I 

Additio  harum  fumraarS  omnium  facit^-f-^.Et  quit 
eft  fumma omnium , ideo d aequantur  1 4*-f-  • ]c. cum  etiam 
fit  fumma  omnium,  ut  uidimusfupcrius,  Reducta  aequatione 

hac, inuenies  nefacere  i f - 

Summ*  igitur  Angulorum  fic  ftabunt  relolutae# 
Debitum  primi.  29  R 

Debitum  fecundi#  19  fv 

Debitum  tertij.  27  R 

• Debitum  quarti,  2S  no* 

Debitum  quinti#.  ysR 

. Debitum  fexti*  7n 

Debitum  ieptimi»  »3  R ...  - ..  - 

Satis  uides.uidebisfcp  plenius  ex  capitis  duodecimi  excphs, 
qqjtn  commoda  Gnt  figna  mea  pro  fecundis  radicibus  poli»# 

T Aliud  exemplum  egregium# 
i Sunt  duo  numeri,qui  fubtradi  i fuis  quadratis , relitu 
quunt  78.  Additi  uero  ad  produdum  proueniens  ex  multipli* 

itione  namerorum  ipforum  inter  fe,fcciunt  3 9. 

Ouaftfo  eft, quanti  flnt  numer  illi/ 


* — 


1 


11 


t;;. 


1 1 1 1 1 1 1 1 1° 

1 0 

0 

1 1 1 1 1 1 1 1 1» 

1 0 

0 

0 1 0 1 0 o|o|o|ojo|o| 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

r 

0 

0 

0 
0 
0 

1 

0 

0 

9 

0 

1 

0 

o- 

O 

O 

O 

O 

O 

O 

O 

I 

[:> 

o|o  0 o|o  0 1 0 1 O 1 0 | 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

0 0 | 0 o)  o|o  | 0 | o|o| 

1 

c_ 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

i 

t* 

o o 


1° 


exhdcfigurd 

[umptumcft* 


Arithmeticas  Liber  iii»  2?$ 
Pidura  cxcmpU  pracfenri*. 


Pro  primo  numero  pono  iicC&eftA  C linea)  & pro  numero 
fecundo  pono  i a ( & eft  I/nea  c b ) 8C  pro  fumma  amborum»  . 
pono  i B ( &eft  linea  ab)  fiquidem  fumma  amborum  debeo» 
iuxta  pronunciationem  exempli,  addere  ad  iummam  prouenf 
entem  ex  multiplicatioe  unius  in  alterum,eandemt$  iummam 
fubtrahere  debeo  i fumma  quadratorum  ex  utrocg  numero  fa- 
dorum.  Facit  igitur  quadratum  numeri  A c ( feu  i*&)  i % . Et 
quoniam  famma  amborum  quadratorum, facit  78 , poftquam 
lumma  amborum  numerorum  (id  eft,  1 B)  fuerit  ab  eis  fubtra* 
da,ideo  flgno  maius  quadratum  fle  78 -f- 1 B—  i&cum  ambo 
quadrata  fimul  fumpta, faciant  78 -f- 1 B.Et  fupplementun* 
unum»i, medium  ^portionaleioter  ilia  duoquadrata,fic  flgno,. 

» iip 


MlCHAELIS  STIFELIi 

39  — 1 b,co  qu6d  fupplementum  illud  proueniens  ex  multipli 
catione  unius  in  aherum.faciat  39  — 1 b « Nam  fi  1 B ( inquit 
pronuntiatio ) addatur  ad  fupplementum  illud,  tunc  tandem 
fiunt  3 5>.Sic  fi  1 b fubt rabatur  i lumina  quadratorum,tunc  tan 
dem  relinquuntur  78* 

Clare  autem  ex  pidura  exempli  uides>  quod  duo  quadrata 
(id  eft,78  -f—  1 b)  dC duo  fupplemcta  (id  eft,  78  — a b)  aequen 
tur  quadrato  lineae  A B.quae  linea  facit  1 B . Itaqj  1 b%  aequator 
iy6 — 1 B. Quaero  itacp  radicem  quadrata  ex  i?6 — 1 B, irncta 
modum  extrahendi,datum  capite  3 .Eodem  enim  modo  extra 
hesde  1 — 1 b radicem,quo  extraheres  de  i?6 — 

Pronundatio  autem  exempli  unum  folummodo  ponit  fup* 
plemcntum,  ideo  alterum  addendum  eft, ut  figura  quadrati  \i* 
neae  A b compleatur .Inuenies  autem  per  cxtradionem  talem» 
1 b faciat  ii.  Et  haec  eft  fumma  amborum  numerorum* 
Deinde  quaeftio  eft  .quantum  faciat  utere#  per  fe.Nofti  aute 
iam.q»  1 B faciat  1 a.  Itaqj  39 — 1 B facit  >7.  & 78  -f- 1 B — 1% 
facit  90 — 1 fc.Eteft  x7  medium  proportionale  inter  1 1&90 
— 1 % (ut  latis  cognofcis  ex  inlpctft ione  figurae). Multiplicato 
igitur  i %in9o  — ifc,  fit  hoc  productum  9 c — 1^, aequatum 
quadrato  numeri  Z7«  i.  7 19.  Vnde  aequabitur  90  $ — 7x9» 

Quaere  igitur  radicem  zenfizenficam  ex  90  & — 7x9 « Scilicet 
{adix  zenfica  feu quadrata» primo  quaereda  eft  ex  90& — 719» 
eo  modo  per  omnia, ficut  docui  cap.  3 «uidelicet  no  aliter  quira 
fi  pro  90% — 719  ponerentur  90  5«, — 7x9  aequatae  1^.  Facit 
igitur  radix  zenfica  maior  8 1 .cuius  radix  quadrata  eft  9.61  ille 
eft  numerus  maior.Sic  radix  zenfica  minor  facit  9,cuius  radix 
quadrata  eft  3 .&  eft  numerus  inueniendus  minor. Nofti  enim 
ex  tjs  quae  dixi  capite  tertio.ut  huiufmodi  numeri  coffici  habe- 
ant duplicem  radicem : & hic  uidcs.ut  natura  rei,hic,&  In  fimi 
UbusexempliSjCogat  hanc  duplicitatem# 

Dc 


*i. 


Arithmbticab  Libbr  i h; 

Dc  exemplis  regula:  Algcbrae  pertinentibus 
ad  caput  primum.  Caput  y 1 1, 

v N c,  parte  praeceptorum  Algebrac  huius  finita, 
fequitur  pars  altera.de  exeplis  regula  Algebrx, 
quorum  maximam  partem  recepi  ex  iucundiflt* 
ma  copia  illa  exemplorum.quam  Chriftophorus 
. nobls  exhibuit.  Habet  etiam  Hieron.Cardanus 

ingenioljifimas  quafdam  exemploru  opera  tiones.quas  opor- 
tebit me  addere  «emplis  Chriftophori : quibus  fuperaddam 
no.™" Ia  Adami  Teu  Gigantis.  Confido  autem  quod  liceat 

inihi  hoc, quemadmodum  licere  mihi  puto  ufum  illum  propo# 
fitionum  Euclidis.ex  Campano  & Theone,  que  uides  in  hLro 
Arithmetica  huius  fecundo  &c.  Cui  autem  hoc  difplicer  repu 
tet  quam  diligenter  & candide  hanc  artem  colam.qui  reueren* 
ter  Ungulos  quorum  feriptis  utor,  appellem,  & nihil  eoru  mihi 
arrogem.  Deinde  fi  Chriftiani  fumus>non  dubitamus  omnia 
i * s h a de  o etiam  fpinas  has.quibus  fe  ambitiofi&inuidi 
torquent  a tqp  alios  pungunt. 

Capitis  autem  prafentis  exempla, talia  erunt, qua  partes  re 
gula  Algcbra  eflentialcs  (de  ouibus  dixi  capite  primo)  habe, 
antfolummodo,&  qualia  Lector  intelligere  poflit  cx  primo 
capite  intellecto, etiam  fi  nondum  intelligat  fequentia  capita. 

Primum  capitis  huius  exemplum, 

• t _ • Et  eft  Chriftophori  x, 

^Vmmam  pecunia  quam  in  manu  mea  fero.exift/mat  qui, 
Odam  aftantiu  nalere  20  flor.Cuius  errorem  ego  fic  corrigo, 
bi  inquam  pecunia  huius  mea  haberem  adhuc  partes, tertiam 
& quartam, tunc  haberem  20  florenos. 

„ . Quaftio  eft  quantum  habeam, 

•*  fl°r’ 1 T Cid eft,  (fd  eft  i Je)  curo  toto  ' 

M.cUni  ih)  efficiunt  flnmi  irI  s^tqi «f^furoa  illa  cum  20 

Diu!# 


Michaelij  Stifelii 


Diuidendi  funt  igitur  ( iuxta  regulam)  zo  ft?  per  i rl.tune  tru 
uenies  i z f|  fi?.&  eft  ualor  unius  radicis  politae.Tantum  igitur 
pecuniae  habeo  in  manu  mea.  hoc  eft,  i z fi?.  1 3 gro.  3 7J  &• 
Obferuabis  aut,ut  in  uno  exemplo  multae  concurrant  aequa 
dones.  Vt  in  hoc  exemplo, aequatur  primo  1 2$  numero  inixn» 
to : uidelicet  1 z 7^. Secundo  } aequatur  4-^.Tertio  Jae  aequa 
(ur  3 1^. Quarto  tandem  i-~  ti  aequantur  zo.  Satis  itacpuides 
ut  poft  politam  unam  radice, flat  proceftus  per  obicuras  aequa 
tiones,donec  peruenias  ad  aequationem  claram,  ubi  ambo  ter- 
mini aequationis  exprefte  lint  politi : qualis  eft  in  bocexemplo 
aequatio  duorum  terminorum  horum  1 7!  24,  1 zf|. 

Secundum  exempIum.Et  eft  Chriftophori  Z7. 

SAbeo  4 groftbs  diueriorum  uaIorum,ualentes  (imul  6 fi?. 
Quoru  primus  feu  maximus,ualet  duplo  plus  fecundo, 
udus  ualore  triplus  eft  ad  tertium.  Et  terdus  quadruplus 
eft  ad  quartum. 

Qyaeritur  quanto  quifqj  ualeat. 

/ uie  aequanturtffi?» 

42« 


12« 

Hoc  eft,  41  ^aequantur  6t  facit  1 *e.+f  fi?.&cft  ualor  quarti 
Itacp  4 2*  faciunt  fi?.  Valor  terttj. 

Et  iz  2«  faciunt  »*-ffi?.VaIor  fecundi. 

Et  z42<.  faciunt  3^7  fi?.  Valor  primi. 

Valente  igitur  1 floreno  z 1 gr,  & 1 gro.oalente  1 z &(quem 
ualorem  unius  floreni  uolo  retinere  per  totum  librum,lic  enim 
no  oportebit  me  eandem  rem  iarpius  repetere)  ualcbit  primus 
feu  maximus,  3 fi?f  1 o gro. 

Secundus  ualebit  1 fi?.  1 y gro.  1 o*j 
Tertius  ualebit  1 z gz*.  3 
Quartus  j gro,  |f&, 

$2tU 


Arithmeticae  Liber  m.  2?? 

• Satis  autem  uldcs.ut  polita  i ^ fadus  fit  afcenfus  i m/nfmo 
tifcp  ad  maxlmum.i.ab  i 5*  ufcg  ad  24  2^  Poteris  tamen  etiam 
(pofita  1 oe)  defcendere  hoc  modo* 

ne  . v 

4^  sequantur  d* 

42« 

r?2®  j 

Hoc  eft  aequantur  6,  Facit  1 * 3 5-f  ualorem  primi 
groffi.&c. 

Exemplum  tertium  capitis  huius. 

_ EteftChriftophorlzS. 

fTpRes  foen  conferunt  totam  pecuniam  luam , atcg  Ita  collf- 
X gunt  i ff  .Fuerat  aurem  fumma  primi  fubduplaad  fum« 
mamcollatam  i fecundo . Et  fumma  fecundi  fuerat  fubtrlpla 
ad  fummam  tertq.  1 

Quaeritur  quantum  qulfqt  contulerit» 

xie  sequantur 

Hoc  eft,  9 24  aequantur  4 f^Itacp » 2*  facit  ft.  hoc  eft,  1 grof* 

9 $v.&  eft  fumma  primi.  Ergo  fumma  quam  contulit  fecundus, 
fuit  3 gro.d  &.Et  fumma  terrrj  fuit,  1 o gro.  6 

Exemplum  quartum  capitis  huius, 

' &eft  Chrfftophorl  29, 

Eflprogreflio  geo  metrica  .triplae  proportlonalitatis.trlum 
terminorum, cuius  fumma  aggregationis  facit  10, 
Quaeritur  quanti  fint  termini  illi. 

1 2«.  32«.  9 2*.  Sunt  Igitur  1 3 ^aequatae  10, facit  1^.7?  I 
Et  haec  eft  progreffio  quaefi ta,  -ff.  if.  ff. 

Quintum  exemplum  capitis  huius*  ' 

Y A EteftChriftophorf  30.  i. 

Jy o numeri  funt  fub  proportione  quadrupla, quorum  m! 

tt  nor 


Michablis  S?I  VELI f 

nor  fubtradus  I maiore, tantum  relinquit,  quantum  maior  fa 
dt  diuifus  per  minorem. 

Quaeritur  quanti  fintduo  numeri  illi, 

* Facit  i^0i4i«,.Itacp  diuifus  ma<or?ideft,40epCT  i olfacit 4* 
Sic  enim  oftendi  libro  primo,denominationero  diuidendi  tolli 
per  denominationem diuiforis,  fi  altera  alteri  (it  aequalis. El 
confiat  fatis,  r ^ quater  inueniri  in  4 2*, dic . Subtrada  igitur 
i,%i  4 ^relinquit  3 **  aequatas  4,fadt  1^,  «Igitur  43«  fad* 
untyf. 

Exemplum  fextum  capitis  huius, 
EteftChriftophoti  107. 

M Oriens  quidam  teftamemum  relinquit,  3000  uxori,. 

filio,  & duabus  filiabus , Portio  filrj  debet  e(fe  dupla  ad 
portionem  matris;  di  portio  matris  debet  ede  dupl&ad  pordo- 
nem  unius  flUar. 

Quaeritur  de  portione  uniufcuiufcp, 

-filiae  i*s  37r 

) filiae  |deft.  37* 

I matris  a 2$  7T9> 

.filij  4^  »foo 

Aequantur  ergo  83«,  cum  3000  flore.facit  1 2^,  375*  . 
Septimum  exemplum  capitis  huius. 

Et  eft  Chriitophori  1 r 6t 

*|t  T Ercator  quidam,  qualibet  parte  fummae  alicuius  tertia, 
iVJL lucratur  partem  uigefimameiufdem  fummar  capitalis* 
Deinde  lucratur  qualibet  parte  tertia  fummae  prioris  capitali^ 
partem  nonam  lucri  prioris.Et  fic  omnibus  fimul  computatis, 
uidelicet  fumma  capitali  cum  lucro  toto,inuenit  864 
• Quarritur  quanta  fuerit  fumma  capitalis,&c« 

Summa  capitalis  eft  1 2*. 

Lucrum  primum  facit  3 i*.  diuiias  per  io.!,  2^*. 

Lucrum  fecundum  facit  tres  nonas  de-^2^ 

* ■«  1 — * 


tfiln 


Arithmeticae'  LibeViii*  2^8 

Haec  autem  omnia,  id  eft,  1 le&r*  ae  dC  ^ ac,  addita,  faciunt 
1 j aeqoata  8 64  f£,Facf  1 j ic.  7 * o fumm  am  ca  pita  Icm , 

Et  lucrum  primum,id  eft  5-5^  facit  108  ft.Et  lucrum  fecodura 
facit  73  2£,id  cft  3 6 ft.  Summa  omnium  facit  8 64« 

Odauum  exemplum  capitis  huius» 

8C  eft  Chriftophori  1 5-7. 

TV  /T  Ercator  quidam  fummam  florenorum  imponit,&  qua 
IVI  libet  parte  tertia  fummae  illius  lucratur  partem  uigeft* 
nam  illius  fummae  capitalis . Deinde  lingulis  partibus tertijs 
fummae  capiialis,lucratur  partem  9 aggregrati  ex  fumma  ca* 
pitali  di  lucro  priori*Et  f?c  lingulis  computatis,  inucnit  mcrca 

cor  ille  1 38  ff. 

Quaeritur  quanta  fueritfumma  capitalis  8fc* 

Facit  i ^ f^1  fumma  capitalis. 

Lucrum  primum  facit  ^ Lucrum  fecundum  £|  Vu 

Aggregatum  horum  omnium  facit  77  aequatum  13  8 flore. 

Facit  1 3e*5>o.  fummam  capitalem* 

Et  fle  eft  lucrum  primum  1 3 5 fo 
Et  lucrum  fecundum  3 4 % &c* 

Exemplum  capitis  huius  nonum* 

Et  eft  Chriftophori  15-8« 

TV  T Ercator  quidam  fummam  florenorum  impqnit,qui  fln- 
LV 1 gulis  quartis  partibus  fummae  illius,  lucrator  trigeflm i 
partem  fummae  illius  capitalis.De/nde  lingulis  par/ibus  quin 
tis  fummae  illius  capitalis,(ucratur  uigefi/n  *m  feptimam  parte 
fummae  illius  capitalis » Et  illis  lingulis  computatis,i.fumxns 
capitalfSi  lucro  utrocp,inuenit  113  6fc. 

Quaeritur  quanta  fuerit  fumma  capitalis  8U, 

Summa  capitalis  1 
Lucrum  primum  771«., 

Lucrum  fecundum  75 

Haec  omnia  fimul,una  fumma , faciunt  jjjtz  aequata  1136  fc 
facit  i 161  o. 

tt  ij  Excm 


MtCHAlLIf  STIFB  LIY 

• Exemplum  capitis  huius  decimum*  . „ , T 

s Et  elt  exemplum  regulae  Deuri. 

TRriapomauenduntur » i denariolis,  Quaeritur  quot  po- 
ma  uenda  ntur  pro  j-  7 * 9. 

Hoc  exemplum  ideo  pono, ut  fignificem  regulam  AFgcbrar, 
fimplidteromnesrationescalculandiambireatqpcoropledi. 
Quanquam  enim  ipfa  indigeat  aliquoties  regula  De  trl.nibJ- 
lominus  tamen  etiam  ipfam  De  tri  regulam  comprehendere 
Didetur*  Ponitur  aurem  pro  numero  inueniendo  1 ae. 

Et  fic  flant  numeri. 

-r.  po.  9.  po.  9. 

3.  a*.  1 ae.  5-72. 

Notum  eflautem.utduo  termini  regulae  De  tri  extremi.ia 
rer  (e  multiplicati,  aequentur  duobus  terminis  medijs  inter  fe 
mul  tiplica  t is.  Vnde  nae  aequantur  17  »6, facit  1 1*,  ij-6  poma. 


■ T Volo  iam  etiam  uariationesexempli  huius  ponere,utui- 
deas  quanta  licentia  fit  in  regula  Algebrae* 


po. 

9 • 

po. 

9 

' « J . * , , ’ i* 

• 

1*1. 

J7*. 

• 3. 

n. 

* V* 

'9 

po. 

9 

po. 

1 1. 

5-7** 

1*- 

•11^:1 

9 

po. 

9 

po. 

T7*# 

1 1. 

i* 

Satis  aatem  notum  eft  * ut  uariatio  ifta  politionum,  uarjet 
etiam  pronundacionem. 

Offenditur  etiam  exemplis  huifmodi,  ut  aequationes  exem* 
piorum  regulae  Algebrae  aliquando  fint  arte  aliqua  quarrendar. 

Exemplum  undecimum  capitis  huius* 

Et  efl  Adami  Gigantis , Eft  autem  cximplum  rcguU  De  tri  inuerfe . 

E St  mafla  quaedam  argenti , pondus  habens  marcarum  7, 
dC  continet  quaelibet  marca  mailae  illius  5-  (emiuncias  puri 
argenti.Commitcetur  autem  maiTae  ilii  liquatae, alia  mafla  cu- 
pri* 


Arithmeticae  Liber  hi.  2?^ 

pri  puri.ponderis  x i ma  rearum.  Quaeritur  quantu  argenti 
puri  habitura  fit  mafla  illa  noua  fub  qualibet  marca. 

Sic  fiat  exemplum. 

argen.mix.  arg.pu.  arg.mix,  .argen.pu. 

’ 7*  r*  »8«  - 1 

In  regula  autem  De  tri  inueria,  aequantur  duo  termini  prfo 
res,inter  (e  mulriplicati , duobus  terminis  pofierioribus,tnrer 
fe  multiplicatis.  Vnde 28  ^aequantur  jy,facit  i 2«.  i^femuncl 
arum  puri  a rgenti.fub  qualibet  marca,  nouar  illius  mafia  me* 
morata . Reliqua  aero  pars  uniufcuiufcp  marca,  erit  cuprum 
purum : fiz  faciente  una  marca  mixti  argenti  fedecim  femuru 
cias.conrinebit  (per  hac  qua  iam  dida  iunt)  onaquarqj  marca 
14  ~ iemiuncias  cupri  puri, 

T Ne  autem  illufor  aliquis  tibi  perfuadear,ex  loco  hoc,mca 
non  pofle  intelligf,abfcp  ledione  libellorum  ab  alrjs  feriptorff, 
de  huiufmodi  regulis,  uolo  tibi  mi  Ledor  latius  declarare  ex* 
emplumhoc.rationemc^  regula  de  tri  inuerfae  fuffic/enter  ex* 
ponere,  id  quod  etiam  in  feque ntibus  exemplis  faciam  : id  eft. 
non  iolum  numeros , ied  etiam  res  numerorum  exponam , ubi 
hoc  necefie  efie  inuenero.ut  non  fit  necefle  auxilium  petere  ex 
libris  alrjs  pro  intelligentia  exemplomm  qua  ponam.Quanip 
uellem,ut  omnes  qui  meam  hancAIgebramlegunr,hbros  illos 
haberem  quos  ego  dto,ea'qj  qua  cito  conferrent  dic. 

Declarabo  autem  exemplum  pofitum,  & rem 
(piam  per  fimile  hoc, 

QV nt  (eptem  focrj,quorum  quilibet  habet  y Veniunt  aSr 
^jad  illos  alrj  (ocrj  i »,  qui  pecunia  omnino  carent,  inter  quoj 
iftos  pofieriores  (bcios,diuidut  7 (brij  priores  fuam  pecuniam 
aequaliter,  ira  ut  tota  pecunia  illa  diuila  fit  inter  uigintiodo 
(ocios  illos  aequaliter. 

Quaeritur  iam, quantum  quilibet  illorum  28  (ociorum  habear. 

Facile  apt  intelligis,  ut  quilibet  eorum  minus  habcat,quim 
unufquifqj  7 fociorum  prius  habuerit,  eo  quod  quilibet  eorum 

« iij,  de 


, MlCJTAELlJr  StiFBLII; 

defua  pecunia  aliquanti  dederit  illis  z 1 focijsfuguenientibus. 
Et  hoc  etiam  uides,utquantoterminusregulaeDetritertius 
augetur,tanto  oporteat  quartum  terminum  minui.Et  hoc  ell 
fignum  peculiare,  quo  pronunciatio  exemplo^.-  regulae  De  tri 
difcerninir  i pronunda tione  regulae  De  tri  inueriae,  V t hic: 
Ex  focrjs  fcptem  habuit  quilibet  y : ergo  ex  iocijs  z 8 habebit 
quilibet  i £ Vides  certe  ut  28  ponat  minorem  numerum.Si 
maiorem  proportionem  quim  ponat  numerus  ille  7.  At  leam 
dum  regulam  DeTri.ponente  hoc  numero  7,  hunc  numerum 
j- .poneret  i fle  numerus  z8, hunc  numero  zo ; icilicet  maiorem 
numerum  poneret  quim  ponat  ille  numerus  7»  eo  q>  eandem 
poneret  proportionem, qo$m  ponit  7. 

riam  itacp  facile  intelligis(ut  ad  exemplum  Adami  redea) 
quod  marra:  prioris  maflie,quae  argentu  continebant.commu- 
nicent  argentum  fuum,mards  alterius  maflae,  nihil  prarter  pu 
rum  cuprum  continentibus . Atqj  ea  ratione  fieri  uides.ut  nu« 
merus  maior  marcaru.conilituat  minorem  numera  iemiuncia 
rum  argenti, quim  minor  numerus  marcarum  conilituar. 

Et  ficdealijs  exemplis  etiam  iudicabis  facile.  Vt  (7  quarflio 
incidat  de  aliquo  opere  perficiendo  per  plures  perfonas,  quod 
per  pauciores, longius  tempus  requirat ; fdes  ex  his  tale  exem 
piam  pertinere  ad  regulam  De  tri  inucrlara. 

Duodecimum  exemplum  capitis  huius. 

Et  cft  exemplum  regulae  Sex. 

TRes  comenfales  mei,  dant  mihi  hebdomodatim  undecim 
gro(Tos.Quae(lioe(l,quantamihidebeaQt  18  commenla 
les  pro  menfa  ad  40  dies. 

Numeri  exempli  fic  liant, 
perfo.  dies  grof.  perlb.  dies  grof. 
3* 7* » »j. f 8 , 40.  ne 

Reducuntur  aotem  illi  numeri  lex  ad  numeros  quatuor  re- 
gulae De  tri, per  multiplicationem  perfonarum  in  tempus.  Sd- 

licet 


Arithmeticae  Liber  mi.  260 

licet  ex  3 in  7 fiunt  2»,  8!  ex  18  /n  40,  fiunt  720-.  ut  nunc  ftc  iie« 
niant  termini  regulat  De  tri  locandi. 

perfonae  grofli  perfonae  gro, 

ii. i 1»  710» ii® ■ 

Aequantur  aurem  21  ic.79  2 o.tadt  1^  377?  gro. 

De  hulufmodl  exemplis  facile  eft  iudicium.  Notam  enim 
eft,ut  eadem  pecunia  holpltl  proucn/a  t , flue  unus,  duobus  die# 
bus  utatur  menfa  ipfius,iluc  duo  utatur  ea  uno  die.  Quod  dico 
ut  intelligas  rationem  reductionis  illiusprardidae, 

T Simili  ratione  multiplicatur  pondus  in-lpadum*iuxta  fe 
quentem  pronunciationem. 

PRo  3 centenanjs,uehend/s  per  milliaria>7,debetur  uectori 
1 1 gro.  Quaero  iam  fic  Cut  & uariationem  numerorum  fi- 
mul  cum  uariatlone  rerum  fignificem)  quot  uehendl  funt  ccn* 
tenarij,pro  3777  gro.per  40  milliaria? 

Sic  ftant  numeri  iirordfne  luo. 
cent.  millia,  gro.  cent.  roil.  gro, 

",  Sciliceteandem mercedem habet uector, l?ue uehat \ cent. 
per  unum  milliare,fiue  unum  cent.uehatper  2 milfiaria. 

Tale  etiam  eft  exemplum  Chriftophori  145*, 
quod  firpronunclauit. 

TRes  fartores  per  fidunt  7 tunicas1 14  diebus.  Quot  diebus 
perficiunt  2 fartores,  8 tunicas? 

Sic  ftant  numeri  exempli, 
far.  dies  tuni.  fart.  dies  tuni. 


3«  «4»  7.  2.  |i*  8« 

Sic  autem  ftant  ad  regulam  De  tri. 

4*.  7.  8. 

Itacp aequantur  141*8! 3 36, facit  ii*, 24 dies* 

Et  uc  de  GmiUbus  exemplis» 


Tertium 


Michablis  Stipelii 

Tcrtiumdecimum  exemplum,  • 

I JVo  denarioli  Bohetnid.fadunt  3 denariolos  Saxonico* 
feu  Mifnenfes;8<  24  denarioli  Saxonici  faciunt  3 groflos  Mar 
chionicos : & t8  Marchionid  faciunt  16  folidos  Wirtcnbcr- 
genfes : & 6 fol/ckXOirtenbcrgcnfes  faciunt  4 i gro. Saxon, 

Quatritur.quot  Saxonids  grallis  ualcnt  40 
denarioli  Bohemid  i 


Satia  uidcs,  ut  exemplum  multiplicationibus  reducatur  ad 
regulam  De  tri/ub  numeris  illis  dans: 

s 1 84^.  XfplO.  12«, 

Facit  1 2«  'grof.  s groG  Et  tantum  etiam  fadunt  40  denarioli 
Bohemid. 

Qjiartumdedmum  exemplum. 

TResfocrj  uolunt  diuidcre  45-5-  . Et  quando  primus  red- 
pit  x^,tunc  debet fecundus  recipere  3 ft.Et quando  fecuflL 
dus.r ccipi 1 4 f^.tunc  deber  tertius  recipere  s * 

Quaeritur, quot  flore  nos  recipit  quilibet  de 
fumma  illa  diuidenda  < 

1 Quali  mulriplicationehocexemplum  reducaturad  regulam 
De  triUatis  dare  figmficarur  iequcnti  figura. 

x Aequantur 


Arithmeticae  Liber  i'ik 

& • * -pr8J« 

Aequantur  autem  35-2«  3 w \ 

& facit  12^.  13,  ,15e 


15-2«  • 

Sic  ftat  ad  regulam  De  trf*  • 

82«,  ...  1 

3^5«  1x2«  45-5-  fadt 

195* 

Sic  probabis.  Primo  uide,an  numeri  inuenti  additione  ad 
fe,faciant4j-j-.Deindeuidean  ic^diuifus  per  z,iadatquan* 
tum  1 j-6,diuifus  per  3 .Item  an  1 5- 6 diuifus  per  4, faciat  quantd 
i^5-,diui(uspcr  5-» 

Figura  diuifionis  huiuimodi  Inter  quatuor  fodos* 


?o3e 

HRHHHBHpHi  105-2« 

Figura  diuifionis  inter  quinqg. 

384^ 


5-76  2« 


Et  fic  deinceps* 


iri  Qu/ntumdecimum  exemplum  capitis  huius» 

J.  Res  mercatores  focietate  ineunt»  Primus  cum  40  fi  manet 


Mrcn ab tis  STtriLtr 

duobus  menfibus.SecGdus  cum  i o fi  manet  quintp  menfibus* 
Tertius  cum  quadam  iiimrna  florenorum  manet  3 menfibus* 
Lucrantur  autem  3 176  florenos.Et  in  diuifione  recipit  primua 
»040  ^.Secundus  recipit  1 3 00  Et  tertius  93  6 ft. 

Qtjseritur  quanta  fuerit  fumma  florenorum  impolita  i tertio» 

Sic  flant  numeri. 

40v*  *•  1040» 

*o.  J".  3*7**  * 3°°» 

**  *•  ^ 9}$  _ 

Rcdudi  per  multiplicationem-ad  regulam  Dc  tri,uc  itant* 
80.  1040. 

xjz.  100.  3*7*«  *3°°* 

• ' 31«  93*» 

Aequantur  autem  98 18  34  & *3J’87*»F*cit  1^,14. 

T Variationes  exempli  huius  fle  notantur. 

40,  123  1040* 

• iie  jr*  3 *7**  1300* 

24.  3*  **a 

Alia  focictatum  exempla  uidebis  capite  duodcdmo.Iua  iatn 
pro  primo  capite  poflta  iiifliciant. 

Sextumdecimum  exemplum  capitis  huius. 
EteftChriftophori  5-0. 

Mi  aliquot  ulnas  panni, quae  iterum  uendidi.  Emi  autem 
, j-  ulnas  pro  7 fi.  Et  uendidi  7 ulnas  pro  1 1 fi*  Lucratusfcp 
1 hac  mercatura  looft. 

Quaeritur  quot  ulnas  Emptae  flnt  atq*  uenditae. 

Facit  1 2«,  ulnarum. 

Vtituraute  regula  Algebrar,regula  De  tr^flrpiflime,quem« 
admodum  uritur  alijs  ^politionibus  Euclidis,atq;  alijs  artium 
fpeculationibus. 

Sic  autem  inuenitur  aequatio  huius  exempli, 
ulnae  fi  ulnae 

?. 7» na  facit  7^f?»  . 

t . ulnas 


J 


Arithmeticae  Liber  ii  i;  i6z 

ulnae  ulnae 

7» ijj ne»  facit 

Satis  autem  intellfgis  ede  florenorum  fummam , expoli 

tam  pro  ulnis  cmptis,feu  fummam  capiralem.Et  ede  flo#  , 

tenorum  fummam  receptam  pro  ulnis  uenditis.  Iraq*  0 fubtra 
hatur  fumma  expolita, feu  capitalis  fumtna,de  fumma  recepto 
rum,tunc  manet  lucrum  purum . Scz  | ^de  relinquunt 
f^quod  cft  lucrum  purum.Et  hoc  aequatur  100  f^.  Cum  pro 
nunciatio  dicat  lucrum  mercaturae  prardicffce  fbifle  100  ff. 

Diuidendi  limt  igitur  iuxta  regulam  Algebrae  100  per —f, 
facit  i ie.j-S3y  ulnarum  emptarum  atq?  uenditarum . Pro  illis 
emptis  ulnis  expofui  flo.  id  e,  8 16  ff^.Et  pro  uenditis  illis* 

recepi  4^. 

Sic  inuercitor  exemplum  hoc* 

FEmi  aliquot  ulnas  panni.Emi  autem  7 ulnas  pro  r 1 . flo* 
Et  totum  pannum  illum  iterum  uendidi.Coadus  aute  fui  dare 
j ulnas  pro  7 flore.  Etfic  mercatura  ifla  intulit  mihi  damnum 
1 00  florenorum.  Quaeritor  ut  prius  8ic. 

Dcdmumfeptimum  exemplum  capitishuius. 

Et  e&  A danti  Gigantis, licet  fub  alijs  numeris  fit  pofittm» 

SI  100  librae  caerae  emantur  pro  17  flo. Quaeritur ,quot  librae 
dabuntur  pro  1 ff  .quatenus  1 0 2 factant  lucrum  18  flore 
norumc*  Facit  1 librarum. 

Sic  autem  flat  exemplum  ad  regulam  De  tri. 

ft  V>  B 

17.  IOO.  IOZ.  600« 

® a b 

* »lC  l01-f-»8.  I IQlZ  

Aequantur  autem  duo  produ  (fla  regulae  De  tri  flbijnuicem* 
Scilicet  1 zo  ^aequantur  600 Facit 

Sic  inuertitur  exemplum  hoc* 

FEmi  1 00  libras  caerae  pro  17  f( » & damnum  intulit  mihi 

uu  ij  merca 


. • Michablis;  Stipblit 

mercatura hxc  18  florenorum per  »01  florenos  expofitoi. 
Sic  ftant  numeri  ad  regulam  De  tri. 

R r R 16 

17  loo,  102,  facit  6 oo. 


R 

1 

16 

12* 

r 

102 — 

16 

18.  facit  842« 

Aequantur  itacg  842*01111600,  facit  i 2*.  7?  librarum  da- 
tarum pro  i R. 

Vendidi  itacp  6oo  ulnas  pro  84  flo . quas  emera  pro  102  R,. 
cum  coatflus  Eierim  uendcre  7 4 ul.pro  1 flo. 

V Sequuntur  uariationes  exempli  ipfius  Adami.quarum. 
pronunciationcm  diligens  ledor  facile  dabit. 

Prima  uariatio, 

R • * .R  * 

1 o*  -100,  102,.  facit —Aa2 

R 

16 

..  R 

,16 

Ii 

r 

ioi“f~ . 1 8,.  facit  6oo,. 

Secunda  uariatio. 

R 

16 

R. 

16 

17« 

»2« 

10  2, 

facit  6 i* 

R 

B 

R 

16 

. r • 1 

y 

1 02—f—  1 3 

, facit,  6*o. 

Tertia  uariatio. 

R 

16 

. R 

17* 

100 

12« 

facit 

TC 

16  . 

“R 

* 

j- 

1 2*4- 18,  facit-  90, 

Quarta  uariatio. 

• r 

16 

R 

16 

»7.  ^ 

IOO, 

102, 

facit  600 : , 

16 

R 

16 

|2ft. 

y 

l02-f-|8. 

facit  $00  2® 

Quiorai 


V 


Arithmeticas  Liber  hi. 
Quinta  uariatio. 

a « ft  s 

1 7 * ioo . 101.  facit  600. 

R 


$ 

y. 


R fl>  ~ 

. i>e  facit  yio-f-yae» 

S/miles  uar/ationes  etiam  habet  exemplum  inuerfum . Sed 
(bffidunt  fignatx  uariationrs  diligenti  Lcdiorf. 

Decimum  odauum  exemplum  capitis  huius. 

Et  eft  Adami  Gigantis. 

QVidam  mercator  emit  lanam  & cxram  pro  1 14 floren is. 
Emit  autem  1 00  libras  Ianarpro  feptem  floren/s.  Et  1 00 
libras  caerae  pro  14  R.  Et  pondus  lana:  emptx  duplum  eft  ad 
pondus  caerae.  Quxritur.quantum  emit  de  duplici  re  tali? 
Sic  ftat  exemplum  ad  regulam  De  tri. 

* 8 R $ 

l0°»  »4.  ■ » iz  facit 


1B 

100. 


R 

7. 


is 


a 

fadt  ii?» 


Aequantur  ergo  ^cum  124.  Et  facit  ia*  44*7  U>,  carx 
emptae.Itacp  libras  lanx  emit  88  j-f .. 

Dccimumnonum  exemplum  capitishuius,- 
Et  eft  Adami  Gigantis. 

A Rgcntarius  quidam  cambiens,^ 68  f?  recipit, pro  quibut 
jrv  exponit  groftos  quadruplicis  ualoris.  Quorum  quidam 
7 faciunt  1 fi.  Et  quorundam  1 8 faciunt  1 Quorundam  1 1 
faciunt  ift.Et  quorundam  28  faciunt  1 ft.Exponic  autexqua* 
lera  numerum  groflorum  de  qualibet  fpeciecorum. 

Quxftio.  Quot  groftos  exponit  de  qualibet  fpeciegroflorft 
illorum;'  Facit  1 iz  groflorum  de  ipccic  qualiber.  • 

Siciiat  exemplum  ad  regulam  De  rri.  * 

**  " uu  irj, 


1 


Michaelij  stifblii 
J^ro. g gro.  g 


7 

18 

il 

18 


12« 


7* 

71 2« 

77  2« 
7?2« 


Itacp  77^  aequantur  j-<5s  .Facit  1 2«,  2 o 1 6 groftbs  de  quali# 
betfpecie.  Probationes  huiufmodi  exemplorum  faciles  funt, 
ideo  casbreuitatis  caufa  intermitto» 

Vigelimum  exemplum  capitis  huius. 

Et  eft.Chriftophori  1 1 5-. 

DVos  tabellarios  intercipit  ipacium  miUiariorum  140, qui 
una  & eadem  hora  incipiunt  proficiici  alter  uerius  alte# 
rum.  Vnus  eorum  quolibet  die  perambulat  8 milliaria.  Alter 
uero  perambulat  quolibet  die  6 milliaria. 

Quaeftio  eft, quando  conueniant.  Facit  in  f 2«  dierum. 

Sic  ftat  exemplum  ad  regulam  De  tri. 
dies  mil.  dies  mil. 

1 8 12«  82« 


12« 


62« 


ltacg  »4  2«,  aequantur  140.  Facit  1 2«,  10  dies. 

Dc  exemplis  regulae  Algebrae  pertinentibus 
ad  fecundum  caput  praeceptorum. 

Caput  viii. 

alia  iam  exempla  ponenda  fimt,qux  ultra  par 
tes  cftentiales  regulae  Afgebrae, admittat  partem 
accidentalem  priorem, quae  eft  redudio  aequatio 
num,habentium  flgna  additorum  &t  fabtradoru, 
I ad  aequationes  flue  lignis  talibus  repofitas» 

Et  quia  aliquando  laboriofce  additiones^  (ubtradiones 

incidunt 


1 


Arithmeticae  Liber  ii  i.  264 

Inddunt.fub  exemplis,  talia  ligna  recipientibus.uoloillis  pra- 
«nittere  theoremata  quadam, quorum  beneficio  & labor  huiuf 
modi  operationum  atque  tadium  facfleuincantur. 

Theorema  primum. 

V Pofita  rei  partes,ad  ipfam  rem  pofitj  copendiofc  addere* 
Vt  fit  res  polita,  » s*0-.—!-?  •>«. 

Sint  rei  huic  addenda  tres  quarta  ipfius  rei . Hte  non  opus 
cft  ut  primo  extraham  tres  quartas  de  repofita,ut  fis  extra&is, 
ipfas  rei  toti  addam, fed  copendiofeita  operor.  Addo  \ Cideft 
denominationem  partium  totius ) ad  unitatem , facit  L quas 
xnultiplicoin 3 |,0-~ ' facit 1 * t*®—1 

Secundum  theorema. 

FPartem  rei polita,  ad  partem  alteram  eiufdem  rei  conr- 
pendiofe  addere* 

Sit  res  polita, 8,€f  ,x  • 

V olo  partem  tertiam  rei  huius  addere  ad  partem  quartam 
eiufdem  rei.  Addo  j & 3; , fiunt  — : quas  multiplico  in  '*• 

facit  3 ,&eft  futnma  aggregationis  quafita* 

Theorema  tertium. 

r Polita  rei  partem  uel  partes  ab  fpfa  re  compendiofc 
fubtrahere. 


i®» 


Sit  res  pofita, 

V olo  ab  hac  re  pofita/ubtraherc  j &c  j/ubtraho  eas  ab  uni* 
nen*  ; c!uas  multiplico  in  rem  politam,  & fiunt 
ra  o^.  7o»Si  hac eft  fumma  quam  quarebam. 

Theorema  quartum. 

r Polita  rei  partem  unam  i parte  alia  eiufdem  rei  compea 
diofe  fubtrahere . 

Sit  res  polita,  '^rb  »4 

Volo  de  parte  tertia  rei  huius,fubtrahere  partem  eius  quar« 
m.Subtraho  £ dc  j, remanet  ^Multiplico  igitur  rem  pofitS 


tam 


per  facit 3 ^ \Qi  hoc  eft  relisum  quod  quarebam. 

Theorem* 


MlCHABLrS  Stifelii 
Theorema  quintum. 

TPoflcac  rei  partem  uel  partes  inuenire. 

S it  res  pofita . 1 1 

Volo  partes  eius, tertiam  QC  quarta  compend/ofe  /nuen/re. 
Recipio^  quas  addo,  fiunt  ■£.  Eas  partes  multiplico  it» 
rem  politam,  fiunt  ,l2€fy '+. Eteft  pars  tertia  &C  pars  quarta 
de  1 ^ e.  • Item  uolo  \ de  eadem  re  pofita  inuenire.Mul 

tiplicoeam  per£,  fiunt  Etficdealijs. 

Theorema  (ex  tum. 

ripiam  rem  dc  qua  partes  funt  extracflar,reftituere,  • 
Vtfint  partes  tatia&  quarta  rei  alicuius  11 

Volo  inuenire  numerum  illum,  dequo  fumptae  funt  partes 
pofitae.  Addo  f faciunt  t|  : & per  illam  minutiam  diuido 
partes pofitas,  fiunt 144  Huius  integri,  partes  tertia  S>C 
quarta,  funt  ,a-7-l2e» 

Primum  excmplu  capitis  huius,&  cft  Adami  Gigantis* 

Sint  qua  tuor  matta:  argenti  mixti.  Primae  pondus  habeat  1 1 
marcas, quarum  quaelibet  contineat  9 femiuncias  puri  are 
genti. Secundae  mattae  pondus  fit  1 j-  marcarum.cufus  quaelibet 
marca  contineat  7 femiuncias  puri  argenti.Tertiae  matta:  pon 
dus  habeat  14  marcas, quarum  quaelibet  contineat  » o femiun- 
cias  puri  argenti.  Quartae  mattae  pondus  fit  1 36  marcarum, 
quarum  quaelibet  contineat  14  femiuncias  puri  argenti.Sit  aut 
conflanda  ex  his  quatuor  mattis , una  matta , cuius  quaelibet 
marca  contineat  1 j femiuncias  puri  argenti,  Quaettio* 

^ Quantum  argenripuriadroifeendumeftroattisittis? 
Facit  1 2*  marcarum  puri  argenti  i 

Explicatio  exempli  illius* 

Miret  mixti  argenti»  Scmiuncix  puri  argenti . Semiunda  puri  cupri. 


1 1 

99 

77 

*T 

loy 

>sy 

»4 

240 

144 

1*6 

1004 

»7» 

18  6 


6x8  Quae 


»348 


Arithmeticae  Liber  itr. 

Quaelibet  marca  fuppo&itur  pondus  habere  » 6 femiuncia- 
•r um.  Vnde  quando  marca  una  dicitur  continere  9 femiundas 
puri  argenti,  tunc  intellige  refiduam  partem  efle  cuprum. 
Quando  igitur  fuerit  mafla  propofita, quae  habe  v 1 1 marcapj 
pondus  ,&  quaelibet  marca  cotineat  9 femiundas  puri  argenti, 
tunc  totum  argentum  maflae  illius  faciet  99  femiundas  puri 
argenti.  Ergo  cuprum  maflae  eiufdcm,  faciet  77  femiundas, 
Vbi  enim  fub  una  marca  continentur  nouem  femiunciac  puri 
argenti,  neccfle  cft  fub  eadem  marca  contineri  7 femiunciaa 
puri  cupri  ,&c. 

Sic  autem  ponitur  exemplam  ad  regulam  De  tri. 


VUrcftmx  arg.  Marpuarg. 
18 6-f-  »3« 


Scmiuiui * cupn. 
6 18. 


\MarcamixU* 

_l___£ 


Facit  1 marca  mixta  .maflae  nouae, , 8 £4.-,  ^femiundas  cupri. 
Et  aequat  haec  minutia  uni  femiunciae  cupri. Nam  fi  una  marca 
debet  cotinere  1 j ■ femiundas  pari  argenti, certe  necrfleeft  can 
dem  marcam  (per  fuppofitionem  praedictam)  continere  1 fem, 
cupri.  VndeC per  reductionem  ad  aequationem  integrorum  ter 
minorum)aequabunrur  628  cum  186-f-  1 ?z. Et  (per  reductio 
nem  aequationis  ad  fimplicium  terminorum  aequationem,  i, 
quae  necp  figna  lubeat  additorum  necp  fobtractorum)  aequa» 
bitur  1 ^cum442.Itacpi  ae  facit  442:  fcz  1 i«,m arcarum  facit 
442  marca s,&  r ^ fcmiunciarum  facit  442  femiundas. 

Vnde  442  marcae  puri  argenti,  addi  debet  maflis  praedictis, 
tunc  noua  mafla  .conflata  ex  maflis  praedictis  Iiquatis,conti- 
nebit  fub  qualibet  marca  15-  femiundas  puri  argpnti. 

rSic  (fi  quaeflio  fit,  quantum  cupri  addi  debeat  maflis  illis 
liquandis,utfubqualtbetmarca  contineatur  r fcmiuncia  puri 
argenti)  ftabitexepluroad  regulam  de  tripro  cupro  addendo. 
Mare*  mix.arg.  Mare*  puri  cupri.  I Scmiunci*  argenti.  | Marca  mixta. 


2)48 


Pacit  igitur  1 mai  ca  mixta, maflae  nouae,  ,e£4^V  Et  haec  mi- 

xx  nutia 


WlCMABLIS  STIFELIT 

notia  aquatur  uni  femiunda  puri  argenti . Fadt  n*  ♦ i t 6t* 
Tot  igitur  marca  cupri  commifcenda  erunt  maflis  pradidi» 
liquandis, 

rSi  autem  quaftio  fit, quantum  contineat  i marca  argenti» 
fi  conflentur  mafla  pradida,&  nihil  eis  addatur  aut  fubtraha. 

tur,fic  flabit  exemplum. 

marca  femiunc,  mar.  femiunciae 
1S6  »348  1 facit 


, ,0 


Probatur  fic  per  cuprum, 
marca  femiun,  mar.  femiun. 
186  6x8  1 fecit 


,11 

3 91 


fEt  fi  quaftio  fit,  de  quinta  mafla, commifcenda  pradidis 
maflis, qua fub qualibet  marca  contineat  3 femiuncias  puri 
argenti  :&  qua  commixta  ieu  cumpradidis  maflis  liquata, 
producatur  noila  mafla, continens  fub  qualibet  marca  * femi* 
uncias  puri  acenti,  Qpaftio  inquam  ut, quantum  pondus  ha 
beat  talis  mafla.  Sic  flabit  exemplum. 

Murex  mix.  Murex  mix. 

1 86~4"  t 


Semiuncix  arg.  Semiun  arg.  1 M urca  noud. 
......  ^348-f— 3 ^ I » 

. Facit  igitur  1 marca  nouae  mafla  femiun.argen» 

sequatas  j-  femiunc.arg,  Facit  1 i*.  709*  Et  tot  Jharcas  habuit 
mafla  quinta. 

Probo  fic : 


marca 

icmiuncia 

marca 

- femiun. 

895^ 

4475-. 

1 

5 ■ 

JL  II  rtUUltl  IA  AUMIUVIIV  / w »TT  /J  ^ 

tione  X348  ad  triplum  numeri  huius  709,  &c. 

FEt  fi  quaftio  fit  de  fuperioribus  qua  tuor  maffis.quantum 
cupri  igne  confumcdum  fit, ut  fub  qualibet  marca  nouae  rnaifce 
conflanda  ex  illisquatuor,  inueniantur  quindecim  femiun- 
ci*  puri  argenti, fic  flat  exemplum» 

maicat 


r 


Arithmeticas  Liber  iii# 


Marcomi.org.  Marco  puri  cupri.  Scmiuncio  argenti.  I Mor.no.  maffe. 

186 — ile  »348  | 1 v 

Facit  ita cp una marca  de  mada noua , femiun.argenti 

puri.  Aequaturi#  minutia  hxc  cum  15-  femiunc, puri  argenti. 
Facit  igitur  1 i^jy.Tot  itacg  marcae  dc  cupro ^praeditfarS 

qoatuor  maflarum  confumptae,  relinquerent  mafiam  nouam, 
quae  fub  qualibet  marca  c5tinerct  1 y femiuncias  puri  argenti. 

Probatur. 

. Mareae 

1H8 
T? 


I Semiunc. 

I Mareae 

I Semiunc. 

»j£8 

\ r 

. * 

1 

Poterat  etia  proxima  quaeftio  fuperfor  /nueniri  per  fequen- 
tem  pofitionem, 

Morcomi.org.  Marco  cupri.  I Scmiuncio  cupri.  I M oranouomojfo. 
<86 — 1 lg. | 618 — 1 6iq"  I 1 


Hfcuides  femiun.cupri  aequari  uni  femiuciae  cupri, 

eo  quod  una  marca  debeat  continere  fyiemiundas  argenti. 
Facit  I2s,utpriu3,297f.  Quando  autem  fub tra hi tur  1 ^mar# 
carum  cupri,  de  186  marcis,tunc  fubtrahendae  ueniunt  16 1® 
femiunciarum  cupri,  de  numero  femiunciarumcupri  ( cum  t 
marca  contineat  1 6 fem /uncia s,ut  fuppofitum  cft)  ficenim  ma 
net  aequatio  inter  cuprum  contentum  fub  1 8 6 marcis  mixtis}& 
femiuncias  cupri  exprefle  pofitas  dCc. 

Sic  pofitto  harc 

Marco  mix.tr gt.  Marco  puri  cupri.  | Scmiuncio  arg.puri,  1 Marco  mixto. 

1 8^  —f — 1 ae,  | 1348  { 1 

fic  poterat  difponi: 

Marco  mixti  arg.  Marco  puri  cupri.'  I Scmiuncio  cup.puri.  I Marca  mixta. 
186  — f—  1 I 6z8-f-  161$,  I 1 

in  utracp  enim  diipofitione  idem  facit  1 ag. 

Sic  etiam  politio  haec 

Marco  mixti  arg.  Marco  arg.pmri.  j Scmiuncio  cupri.  I Marca  mixta. 

1 86— }—  j i 628  J 1 


»4.**. 


xx  ij  fic 


Marea  mixta. 

I 


MICHAELIS  STIPELir 
fle  poterat  difponi: 

HUrue  mixti  arg.  Marea  puri  argenti.  I Scmiuruia  puri  arg. 

186  — ^ l^e I t)48-j-»63e 

Secundum  exemplum  capitis  huius,  & eft  Chrifto- 
phori  74.  fub  uariatis  tamen  rebus  politum. 

DVas  habeo  meniuras  uini.quarum  una  ualet  1 a & ,«  al- 
tera 1 y Volo  mifcere  menfuram  unam  ualentem  1 j $. 
Ouseftio.Quantu  uini  recipiedum  eft  de  qualibet  menfura? 
Facit  de  priore  1 "K  menfurat  pattium.Et  de  altera  1 — n*  par 
tium  menfurar». 

Et  fic  ftat  exempli  dilpofitio. 

menfura  - menf*  a ^ 

, iz  1 ie  facit  1 xig 

— J 17  1 — 1 ag,  facit  1 y — »y?e- 


Et  duo  illa  produda.id  eft,  1 x & ly— ly  ^.aequantur 

Facit  1 * \ . De  illo  igitur  quod  ullius  eft,  recipio  j unius  meO- 


Curse ; de  reliquo  recipio  J . 

Probo  fic. 


tnenf. 

t 


& 

IX 


menC 


r 


& 

facit  8 


e 


facit  y 


Tertium  exemplum  capitis  huius. 

Et  eft  Chtiftophori  75-*  fub  re  tamen  uariata.. 

MEnfura  uini  ualet  1 o &.Huic  uolo  tantum  aquar  commi 
fcere,  ut  una  menfura  commixtionis  illius  ualeat  7&. 
Quacftio.Quantum  aquar  commifcendum  eft  i 
men.uini.  men.aquar.  I 9s  I men.c5mix.  & |a 
, ^ \ 10  | r 1 t>c.  iynx. 


_1±_ 


Aequantur  igitur , ^ & 7 1 5.  Itac^  tres  feptimae 

unius  menfurar , comrpixtar  cum  una  menfura  uini  illius,  faci- 
unt commixtionem  Cuiusuna  menfura  ualeat  7 ^ 


Arithmeticae  Liber  iit*  167 

Probatio  iumitur  penes  difpofitionem  exempli  (ic: 
menf.  & menfura  & 

(1 io 1 facit  7 


Quartum  exemplum  capitis  huius. 

Et  eft  Chriftophori  77.  fub  re  tamen  uar/ata. 

SVnt  in  quodam  uafculo  20  menfursr uinf,  quarum  qifceli* 
betualet  1 1 &.Et  uafculo  illi  infundituraqua.donecuafcu 
lum  uino  illo  atcp  aqua  repleatur  .Et  tunc  Ualet  1 menfura  uini 
illius  fic  commixti  cum  aqua,  1 o 

Quatftfo.  Quanta  eft  capacitas  uafts  illius? 

Facit  20  -f—  1 2^  menfurae. 

Sic  ftat  exemplum. 

menfurae  uini.  | rreniurat  aquar.  & I menf.  commixti* 
20“}— 12«,  »4°  1 t 

' Satis  uidesut7?-£r2e&  lofintarquata.  Facit  igitur  1 24,4, 
Itauafculum  illud  capax  erat  24  menfurarum. 


Quintum  exemplum  capitis  huius* 

Et  eft  Chriftophori  86* 

Y“X  Vm  Archimedes  iuflu  Hieronis  inquireret.quantum  ar- 
Jgenti  dolo  artificis  loco  auri  fuiflet  immixtum  coronae 
fu<e  idolo  uot», recepit  uas  in  huiufmodi  ufum  aptum.  Eo  aut 
uaie  aqua  repleto,immifla'qj  corona, collegit  aquam  effluente. 
Deinde  uafedenuo  aqua  repleto,  immifit  maflam  auri  Duri, 
fumptam  ad  pondus  coronari  iterum  collegit  aquam  etfluen 
tem.Tertio  uas  repleuit  aqua,  immiflat^  mada  argenti, fum* 
ptam  ad  pondus  coronae , iterum  collegit  aquam  effluentem* 
jEtficex  proportionibus  partium  aquae  ter  colle<ftae,inuenit 
quantum  argenti  latuerit  iiib  auro  illius  coronar* 

Quarftio.  Quantum  argenti  fuit  per  Archimedem  inuentS 
fub  corona  latentis  1 Facit  1 2«,  marcarum  argenti. 

Supponamus  ergo  coronam  totam  pondus  10  marcarum 
babuifle.Tunc  aurum  coronae  habuit  lomarcas  auri,  minus 

xx  iq  un* 


Michaelis  Stifelii 


una  radice  argenti , uidelicet  i o — i ae , Supponimus  deinde 
aquam  ex  immiflSone  coronae  effluxam , canthari  partem  e fle 
odtauam,&  ex  immiflione  auri , effluxifle  partem  trigeflmarn 
unius  canthari ; ex  immiflione  uero  argeti, effluxifle  tres  quar 
tas  unius  canthari. 

His  (uppofitis  fic  flabit  exemplum  ad  regulam  De  tri« 
canth. 


marcae 

«o 


io 


i 


i «» 


marcae 

i*e 

I 10 I ic, 


canth, 

i2e 

. +o  „ - 

i o- 1 
} uo 


Ambo  autem  terminiquarti,  aequantur  cum  canth.  tancp 
partes  integri  flmul  fumptae.aequatae  (uo  integro, ut  fatis  uides 
ex  operatione,  per  ea  quae  fupponuntur.Vnde  cum  1 faciat 
i^y.  fatis  uides  pondus  argenti  latetis  fub  auro,fuifle  i£y  mar. 
aurum  aute  (iuxta  ga  quae  fupponimus)habuifle  8 mare, 

Sextum  exemplum  capitis  huius. 
EteftChriftophori  ly  i. 

DVo  mercatores  commutant  res  fuas  uenales. Primus  cro 
cum  habet, cuius  i libra ualet  4i^.in  commutatione 
autem  ponit  quamlibet  libram  pro  y . Secundus  habet  mar- 
garitas,quas  ponit  in  commutatione  illa  pro  7*  . Repetit 
autera  primus  i fecundo  quartam  partem  ualoriscroci  pofiti 
in  commutationem. 

Quaeflio  eft,  quanti  aeflimatae  fint  margaritae  citra  commu 
lationem.  Facit  pro  i ^ flo. 

Sic  autem  flat  exemplum, 

4l — I y—  ij  | na  1 ik  • 

. Subtra&a  quae  uides  poni  ad  terminos  priores,(deo  ponun- 
tur,quod  primus, iufla  lege  commutationum, repetit  i fccudo 
quartam  partem  ualoris  rerum  fuarum  in  comutationem  poli 
tarum.Eft  autem  1 £ pars  quarta  de  y .Ideo  intelligi  debet  pars 
illa  tanquam  exempta  i commutatione.  Atcp  ita  loco  y poni 
tur  ad  regulam  y — i* , ideft,  3 \ , Sed  quod  aequalis  portio 


Arithmeticae  LiEer  mu  2 68 

etiam  fubtrahitur!  termino  primo, Aloeo 45  ponit  4 g — i£. 
id  eft,z~.Ideo  fit, quod  inter  terminos  duos  priores,atcg  ter* 
minos  duos  pofteriores.non  folum  efife  debet  aequatio  propor* 
tionis  numerorum  pofteriorum,  ad  proportionem  numerorO 
priorum, fed  fupponftur  etiam  aequatio  rei,n  umeri  fecundi.ad 
rem  numeri  primi,  tancp  aequatio  rei  pertinentis  ad  numerum 
quartum, poni  intelligitur  ad  rem  pertinentem  ad  numerum 
tertium,ut  fimul  habeas  aequarionem  proportionum,  A aequa 
tionem  aequalitatum,  in  qualibet  emptione  A commutatione 
fada  fecundum  regulam  De  tri.  Et  ifia  fpeculatio  dedit  mihi 
occafionem  ponendi  exempla  de  Commutarionibus  mercato 
rum,  aliis  enim  contempfilfem  huiufmodi  exempla.  Sed  nihil 
eft  in  uniuerfa  Arithmetica.quod  fpeculationem  iftam.arte 
dignam, tam  aperte  pandat,  A uidere  etiam  cogat,  utiexem* 
pia  huiufmodi  mercatorum.  Scilicet,hoc  fit  in  commutationi 
bus,ut  minor  fumma  extra  eam,aequetur  fummae  maiori  intra 
tpfam  commutationem  confideratae.  Hoc  autem  quod  repeti- 
tur,! commutantibus,ideo  repetitur,  quod  ad  commutatione 
non  ptineat,ideo'cg  iubtrahitur  ab  utrocg  tcrmino,iuxta  illud: 
Si  ab  aequatis  aequalia  demas, quae  remanent  aequata  manebur. 

Sed  ( ut  ad  exemplum  redeam ) produdum  extremorum 
inter  fe  multiplicatorum , aequatur  produdo  intermediorum, 
Vndcfirut  1 m faciat  j-  ?.Etfic  patet  quod  margaritae  aeftima* 
taefint  extra  commutationem  pro  Vide  autem  quae  fit 

firoportio  inter  terminum  fecundu  A quartum,  ut  fcias  quot 
ibras  croci  primus  pofuerit  in  commutationem.  Cum  enim 
proportio  fit  dupla,  pulchre  inuenies  cum  duas  libras  commu 
taffe  pro  margaritisA  quartam  partem  ualoris  duarum  libra- 
rum repetiaifle.Scilicet  duae  librae  laciunt  1 0 flo.  nili  quod  re* 
petitur  quarta  pars.Fadt  autem  quarta  pars  de  1 o flore. 2 * ff. 
quam  partem  fi  fubtrahas.remanebit  haec  fumma  75  f^.Et  tan 
tam  uides  etiam  illam  iummaraefle,  qua  aeftimantur  marga* 
titx  in  commutatione,  Ac, 


Michaelis  Stifelii 

Si  autem  primus  aeftimafletduaslibras  fuas  extra  commu* 
tationem pro  8 intra comutationem  pro  io  ft.  Secundus 

uero  margaritas  fuas  extra  commutationem  aritima flet  pro 
ao  intra  commutationem  pro  24^.  Tunc  fecundus  repe 

tiuiflet  aliquid  i primo, ut  facile uides  hoc  cxiplis  terminis, 
8,10.20. 14.  Maior  enim  cft  proportio  inter  duos  priores  cp 
inter  pofteriores. 

Si  autem  fcireuelis, quantum  repetat  fecundus,  hoc  cafu,i 
primo,flc  pone  ad  regulam: 

8 i 10  ) 20 — 1 24 — na 

Multiplica  extremos,deinde  medios  terminos  inter  fe,tunc  in- 
uenies  192 — 8 ^aequata  200 — 1 o l^.Et facit  iic,4‘Toter 
go  florenos  repeteret  fecundus  i primo,  id  eft.fextam  partem 
de  24.Patetfic.Primusrecepifletafecundomargaritas  aeftima 
taspro  24, pro  quibus  ipiededifTetduasiibrascrocijUalentes 
folummodo  10  f^.Itacj  iure  redderet  fecundo  4 

Si  autem  fecundus  duplicaret  margaritas , tunc  primus  du- 
plicaret etiam  crocfi fuum.Poneret  enim  4 libras  croci  ualen- 
tes  40  , & margaritae  facerent  48.  Cum  ergo  primus  recipe* 
retremualentem  48  ft.pro  fuare  ualente  folummodo  40 
ideo  reftitueret  primus  fecundo  S ^,ideft,fcxtam  parte  de  48* 
Etflcdehuiufmodi  alijs. 

Exemplum  ieptimum  capitis  huius. 

Et  eft  Adami  Gigantis. 

INterrogatus  quidam, quota  Ot  hora  dieif  Ita  refpondft:Di- 
midia  pars  horarum  i media  nodeufqjad  hanc  horam.col- 
leda  ad  tres  quartas  horarum  futurarum  ufcy  ad  mediam  no- 
dem,fadunt  numerum  horarum  quem  quaeris. 

Quaefbo.Quantus  fuit  ifte numerus  horarum? 

Facit  1 2^  horarum  praeteritarum  i media  node,ufcg  ad  ho- 
ram in  qua  fad a eft  ifta  quaeftio.  Vnde  cum  i media  node  ad 
inediam  nodem  fluant  horae  24,  fatis  uides  fummam  horaru, 


Arithmeticae  Liber  i i i;  zfy 

qua  fiirurar  erat  ufqj  ad  mediam  nodem, cfle  24 — 1 2^  Huius 
lummar  tres  quartae , faciunt 71  =-*  \ Huic  adde  5 Je  (e u 1 2«, 
cum  fit  dimidia  pars  horarum  i media  node  ufque  ad  horam 
quacftionishuius.fiunt71*  ,,e.Et  huic  aequatur  1 23. Facit 
iticp  1 2e>  1 4 7. Fuit  ergo  hora  inter  fecundam  Si  tertiam  poft 
meridiem. 

Exemplum  odauum  capitis  huius* 

Eteft  Chriftophori4. 

ESc  numerus, eoius  duae  tertiae, aequantur  parti  eiufdcmfltt 
meri  dimidiae.rernario  adaudar. 

Quarftio.  Quantus  eft  numerus  ifte. 

Facit  1 2«. Cuius  duae  tertiae  faciunt  :&  dimidia  pars  mi 

jneri  inucniendi , adauda  ternario,  facit  tf*  Huic  igiuif 

aequantur  facit 

Exemplum  nonum  capitis  huius, 

Eteft  Chriftophori  9, 

SVnt  duo  numeri,qui  ad  fe  additi  fidunt  zo.  Quot  u maior 
diuifus  per  3 , quotientem  facit  qui  fumptus  ad  odauaa 
partem  minoris,facit  cum  ea  5*, 

Quaeftio  eft, quanti  ftnt  duo  HU  numeri* 

Primus  fadt  1 23, 

Secundus  facit  zo — 1 2$,. 

Sit  igitur  1 iz  numerus  maior  ( nam  1 2 4 poteft  etiam  pr® 
minore  recipi  Sic.)  qui  diuiius  per  3 .facit  Eft  aut  odaua 
pars  de  zo  — 1 *>,haec  l0-=  ,a«-.  Addo  illi  1^,  facit  tfof*rafc* 
Huic  aequantur  y.  Facit  1 2^.1  z.  & eft  numerus  maior.  Facit 
itaq*  minor  numerus  zo  — 1 2^.id  eft  8* 

Exemplum  decimum  capitis  huius. 

Et  eft  Chriftophori  7. 

VT  V meri  cuiufdam  pars  tertiat(uperaddita  eidem  numero, 
IN  facit  aggregatum,  quod  excedat  40  tanto,  quanto  ipfe 
numerus  inueniendus  exceditur  i 44. 

& Quaeritur  quantus  Iit  numerus  ifle. 

yy  Fac* 


U' 


r.  MlCHAELlS  STIFELII. 

; Fadt  1 24  .Huic  fuperaddita  pais  cius  tertia,  facit  i \ 

Vnde  i } 2$, — 40, aequatur  cum  44 — 1 Facit  1 3«.  36. 

Exemplum  undecima  capitis  huius,&  eft  Chrifto.8. 

1 St  nuroerus,a  quo  fubtradae  duae  quintae  ipfius,  rclinquot 
tantum  infra  100, quanto  numerus  ipfe  fuperat  1 00« 

' Quxftio  eft, quantus  fit  numerus  ille. 

Facit  1 I quo  fubtradaednae  quintae  ipfius,relinquunt^ie* 

Vnde  100  7 ,l€  aequantur  cum  12* — loo.Facit  i^.uy. 

Exemplum  duode€imum,&  eft  Chriftophori  2 3* 

E St  progreflio  arithmetica,  noue  habens  terminos  iub  dii* 
ferentia  unitatis  progrediens,  cuius  fuma  aggregationis 
facit  48 . Quaeft  io  eft, quae  fit  ifta  progrcfiio. 

Facit  1 *>,.  1 -f- 1 . 1 ae-f-  2»&c*  Et  fic  ultimus  terminuserit 

1 i£_i_  8. Huic  additus  terminus  primus, fit  1 -f-8,  Huius  di« 

tnidium  eft  1 'ae  +-  4.quod  multiplicatum  per  numerum  termi 
norum.i.per  <>.&cit 9 1*.-+-  3 *.Et huic  aequantur 48, Facit  t*u 

» terminum  uidelicet  primum. 

Vnde  haec  eft  progrefli  o quaefit? . 

l}.  2.j.  3 4?«  S T»  6T*7b  8 T*  ?T* 

Ifta  omnia  fimul  faciunt  48.  • 

Exemplum  tertiumdecimum  capitis  huius, 

& eft  Chriftophori  2y. 

p St  progreflio  arithmetica  nouem  terminorum,  cuius  termi 
nus  primus  fecit  4 . Summa  uero  aggregationis  terminorum 
fecit  48*  Quaeritur  quae  fit  ifta  progreflio. 

^ Facit  4. 4-H-  ne.  4-f- 2 ^,.&!c.Ec  fic  ultimus  terminuserit 
4 . g ^ . Cui  additus  primus,fecit  8-f-8^.  Cuius  dimidium 
4-4—  4 Je.  quod  multiplicatu  per  numerum  terminonim.i*. 
per  q, facit  3 6-4-3  6 Facit  • » term  <na  uidcl<cct 

. * Vnde  haec  eft  progreflio  quaefita. 

4.4j.4j.  t 

Ifta  omnia  fimul  addita  faciunt  48. 

Exemplum 


Arithmeticae  Liber  ut 

Exemplum  dedmomquartum  huius  capitia* 
Et  eft  Chriftc 


*70 


tophori  z6. 

E St  progreftio  arithmetica, culus  terminus  primus  ftdt  j-, 
& ultimus  facit  /o.  Et  fumma  aggregationis  facit  60» 
Quaflio  e fi, quot  terminos  habeat  progreftio  ifta.  , 

.Facit  i 2«,  terminorum.  Vnde  extremorum  aggregatum  ia* 
cit  i $ .cuius  dimidium  eft  ^.Quod  multiplicatum  per  numeje 
terminorum . i . per  1 2« . facit  aequatas  60 . Facit  12*  * 8* 

Et  tot  terminos  habet  progreftio  talis. 

lam  quae flio  eft  de  terminis  inrermedrjs.  Sed  illi  flnt  hi, 

t -f-  » s-f- J-2C*  T -f-  6 Et  hi 

aequantur  4 s (id  eft,6o  — i s— y).  Fadt  i ae.  £* 

Vnde  fic  ftat  progreftio. 

io. 

Exemplum  dccimumquintum  capitis  huius; 

EStprogreftio  geometrica  quadrupla  feptem  terminorS, 
qui  ad  fe  additi  faciant  8 

Quaeritur  qua:  (it  ifta  progreftio. 

Facit  1 2«.  42*.  162«.  &c.  Vltimus  terminus  facit 4096%, 
qui  multiplicatus  per  4,  facit  1 6*842«.fubtracfto  termino  pri- 
mo,remanent  1638*2«,.  Quae  diuifae  per  3 , relinquunt  54  6 1 2« 
aequatas  8 feu  r4f£,fadt  1 2«.^. 

Vnde  fic  ftat  progreftio  quae  fi ta» 

Exemplum  decimumfex  tum  capitis  huius* 

E St  progreftio  geometrica  tripla,cuius  fumma  aggregatio 
nis  facit  8 o .terminus  autem  ultimus  facit  5-4. 

Quaeritur  quanta  fit  ifta  progreftio. 

Terminus  ultimus  triplatus  fecit  i6z,  i quo  primus  termi~ 

. ntrsfubtradus,relinqt  162 — »2«. Cuius  dimidio  eft 
& hoc  aequatur  cum  80. Facit  12«,.  a. 

Sic  igitur  ftat  ifta  progreftio* 
a*  6,  18«  14« 

r c * yy  t\  Sic 


t 


S MlCHAELlS  SriPELir 

Sic  ( fi  dicas  efie  progrcflionem  quadruplant,  cuius  fumtna 
ajrgregationisfaciat  2?r,&  terminusprimusfit  3)recipio  pro 
uhimo  termino  i ^ , cuius quadruplatio  facit  4 *>, 5 quibus  fub 
traho  3 . facit  4 i*—  3 ,quae  diuido  per  3 . Et  fic  4tV  } aequatur 
cum  15-  y .Facit  1 i*.  1 9 2«  Et  haec  erit  progteflio,  3.1 1.48*  1?** 

Exemptam  decimumfeptimum  capitis  huius* 

E tefl  A domi  Gigantis  jo,  de  regula  Falfi  datum . 

Cluis  quidam  feruo  fuo  pigro  Ita  mercede  triginta  dierum 
conftituit,  ut  laboranti  fingulis  diebus  dare  uelit  7 od- 
antem  ucro  multare  uelit  5-  Ratione  aure  foda  poft  tempu» 
fllud,feruus  ne<$  recipit  alfquid.necp  domino  aliquid  pendit*. 
Qu«cftio  eft.quot  diebus  laborauerit  &c. 

* Eadt  1 2«.  dierum  laboris,&  30 — u*  dierum  orij* 

Sic  ftat  exemplum  ad  regulam  De  tri* 
dies  l & I dies  I & 

1 I 7 1 I 7*  ... 

i-  | s 1 3° — 1 »ro — 5~2<U 

Aequantur  itacp  7 2« & ijo— j-ac.Fadt  i2c»ia%.dieslaboris*- 

Vnde  dies  ocq  ruerunt  17  i.  t # 

Exemplum  decimumodauum  capitis  huius*  < 

Et  eft  Adami  Gigantis. 

MErcator  quidam uendidit io  libras  pro 4 quarum 
aliquot  fuerunt  de  croco, & reliquae  de  zinzibere.  Vena 
diditaut  1 libram  croci  pro  3 & 1 libra  zinziberis  pro  ift* 

Quxftio  efl,quot  fuerint  librae  dc  croco  uenditae  &c* 
Facit  1 *e librarum  croci.  Et  2 o — 1 oe  ‘librarum  zinziberis*- 
Vnde  fic  ftat  exemplum  ad  regulam  De  tri. 


B 1 R 

B 

R 

l 1 3 

i2e 

31® 

* 1 _* 

j 20 — |2fc 

XO-  I l&.Co „ 

- 1 o - • i 

A 

Aequantur  igitur  3 2*  1 ^ftcurn  43-  ft.Fadt  1 a*  14*. 

Igitur  uendidit  14  libras  croci  Qi  tflibras  zinziberis. 

• ^ ’ Exemplum-1 


ttf 


Arithmeticae  Liber  iii« 

Exemplum  decimum  nonum  capitis  huius* 

Et  eft  Adami  Gigantis. 

A Rgentarius  quidam  habet  y 6 o gro.ua lentes  1 6 o ft.Quf 
JHL  dam  autem  illorum  ualent  finguli  \ f?,&  reliquorum  lin- 
guli  ualent  £ 

Quacftio  eft  .quot  groffi  fint  quorum  finguli  faciam  j fc&c« 
Facit  i ae,  gro.quorum  finguli  ualent 
Et  ytfo — i equorum  finguli  ualent^. 


Sic  ftat  exemplum  ad  regulam  De  tr/. 


gro. 

' % 

gro. 

1 

1 

T 

1 

r* 

1 

i. 

4 

?6o — rsa, 

| ftfo-iSfc 

Duo  termini  quarto  loco  pofi  ti.faciunt  1 6o  ft.  Facit  igitur 
t i4o.Vnde  240  gro.funt  quorum  unufquiftpualeti  flor* 
. & 3 20  funt  quorum  unufquifcp  oalet  * ft- 


Exemplum  uigefimum  capitis  huius» 

Et  eft  Adami  Gigantis. 

QVidam lanio  boues  emit. Qui  interrogatus. quantum 
unum  emerit  fRefpondit:  Quanto  10  boues  emi  pluria 
40  florcniSjtanto  emifiem  1 8 boues  plur/8  96^, 

'Quarftio  eft,  quantum  faciat  1 bos. 
rifto  exemplo  fubindicare  uolui,qua  occafione  mihi  uidea 
tur  Algebra  primo  efle  inuenta. Vides  autem  ut  numeri  uul- 
gariter  denominati,  &(ub  diuerfis  fignis  aequati  ad  inuicem 
cam  uim  habeant,  quam  habentnumeri  codici : nifi  quod  de* 
nominationes  tales  multiplicatione  non  habent . Requirendi 
igitur  erant  numeri  denominati,quorum  denominationes  re- 
ciperent multiplicationem  Ac» 

Patet  autem  ex  pronunciatione.qudd  10  boues — 40  flore. . 
atquentur  i8bo.— j>6ft.Quia  10  boues— 40  , eft  exceflus 
jwecrj  1 oboum.ulrra  40  Sic  1 8 bo.  — 96  f£,  eft  exceflus  feu 
diftereatia  i S boum  ultra  9 6 fc Et  uttuoqt  exceflam  pronund 

YY:  0}  atio 


MlCHABLlS  STIFELtI 

at  io  aequat  mutud . Reduda  igitur  aequatione  hac,  inuenitur 
i bos  facere  7 ft. 

Si  autem  dixifletfanio  ille,  10  boues  tanto  (e  emi’ (Te  pluris 
40  ff,  quanto  1 8 boues  cmerf  potuiflet  minoris  p6  ff , tone  (ta 
ftaret  aequatio : 1 o boues  — 4 aequati  p6  — 1 8 bo.  face* 

refep  » bos,  4^.1 8 gro. 

Sic  (fi  dicas,  4 gro.  — 3 oui s emi  4 1 oua)  aequatio  erit  inter 
duos  numeros  poHtos,  quemadmodum  fuperius  indicaai  fub 
quibuslibet  quaruor  terminis  regulae  De  tri,  efle  duas  propor 
tiones  ad  inuicem  aequatas, quae  ita  fint  proportiones  inaequa# 
Iitatisfubnumeris,utfimul  (int  aequalitates  duae  fub  aeftima- 
tionererom  confideratae  &c . Pulchre  igitur  inuenies  1 groflo 
emi  1 1 oua. 

Sic  fi  dicas,  4 gro. — 3 $, facere 4 1 inucnies  1 groflTum  fa- 
cere 1 1 dena. 

Sic  fi  d/cas.i  o 3 libris  facere  30  inuenies  1 libram  fa 
cexe6f(t  14  gro.  Si  aut  quaefiiofir,quotlibrasiaciat  1 f^.tunc 
numerus  flor.critdiuifbr,&  inuenies  1 f?  facere  j|Iib- 
V Similisarquatiocft  in  i fio  exemplo  Adami. 

DVm  7 ulnae  uenderentur  pro  4 £ fremerem  17  ulnas  pro 
1 0 1 3 gro.  T^uaeftio  eft.quorgroffi  coputcnt  pro  1 

Sic  itant  quatuor  termini  regulae  De  tri.' 


ulnae 

fi 

ulnae  I 

gro. 

- 7 

1 4* 

'7 

IO.  13. 

Vjuai  IUIII  tviiiiiiiuui  pu  iiumviu  piiuu  UIIHIIU» 

ideftjper  7.  Et  fecundum  terminum  multiplica  per  numerum 
terrrj  termini.tunc  inuenies  aequationem  inter  numeros  uulga 
riter  denominatos , uidelicet  inter  ^ , 6C  70  4-  p 1 groi* 

inueniesq;  1 facere  14  gro. 

FSic  aequatio  inter  numeros  uulgariter  denominatos 
inuenitur  ex  ifto  exemplo. 

QVidam  recipit  i mercatore  quodam  crocum  pro  10  flo* 
Deinde  iterum  recepit  ab  eodem  mercatore  14  Ifb.crocr. 
: Poflca 


Arithmeticae  Liber-  ih,  271 

Poftea  reddidit  mercatori  30!$  croci,  &!  mercator  iupputato 
ualore  croci,reftituit  ei  /4^. 

V idos  certe,ut  1 0 -f-  24  fl>  fuerit  debitum  totum, & fim/lt 
ter  30^ — K^.Ideoiqp  loft-f- 24 ffi aequantur 3 ofl> — 14^, 
facitfcg  1 $4^. 

Fltem  in  ifto  exemplo  Adami  fimili  fere  modo  incidit 
aequatio  praeter  numeros  coflicos. 

QV idam  ciuis  inuenit  pauperes  ante  ianuam  domus  ftrar, 
quibus  feptenos  erogat  denariolos  ,referuat'qj  in  manu 
fua  3 o $.Qui  fi  cuilibet  dare  uoluiflet  9 $,tuc  ei  defeciiTct  3 0 
Vides  hic,ut  ieptem  fammaedenariolorum,iuxta  numerum 
pauperum  fumptoru,plus  3 0 denariolis.fuerit  totus  numerus 
denarioloru,quos  ciuis  ille  in  manu  habebat.Et  fimiliter  9 fum 
maetales,minus  3odenariolis.Itacp7  ium.-f-  30  $ aequantur 
9 fum. — 3o.Redu<fla  itacg  aequatione, inuenies  ifummam 
facere  3 o, id  eft, numerum  pauperum. 

V Incredibile  aflt  eft,  quanta  celeritate,  facilitate,atqj  com« 
modi  ta  te  omnia  calculent  per  regulam  AIgebrat,cjt  quae  calcu 
lari  folent  per  regulam  Falff,  per  mutuata  hanc  denominatio* 
nemuulgarem  praedicam,  id  quod  uno  aut  altero  exemplo 
monftrarc  me  oportet. 

Primum,8Jeft  Cbriftophori  147. 

PR070  plauftris  uini  penditor  uedtgal,i  plauft. — 32^, 
Et  pro  200  plauftris  penditur  1 plauft. 

Hic  quarftio  eft,  quanti  1 plauftrumfitaeftimatum* 
Mutuata  igitur  prafd/da  denominatione  uulgari , fic  pono 
exemplum  ad  regulam  De  tri,pro  inuentione  aequationis. 


plau. 

70 


zoo 


r * 

1 Ium.  — 31 


plau* 
1 


it 

1 fum.  — J * 
To  ‘ 


ifum.-t-zol  r | lt»mL±r 


Et  cum  in  quarto  loco  utruncp  produdu  uideas  cfle  uedigai 
unius  plauftr/, fatis  conftat  altero  alteri  aequari,  a tep  ita  bene* 
ficto  mutuatae  denominationis  uulgaris,inuenifife  aequatione. 

Reduci  tus 


MiCH  AELI  S STl«lIf 

Reducitur  aut  aequatio  ffta  minutiaru,  in  arquatione  exiftent? 
Inter  zoofum,  — 64ooflorenorum,6(!7o  ium.-f—  »400  flore 
norum.  Et  harc  aequatio  ruriiim  reducitur  ad  hanc  aequatione 
fimplicium  terminoru.  1 3 fum.aequatac78o.Facititaq?  1 futn. 
florenorum  60  fc.  Vidifti  autem  in  politione  1 fum.florenoru. 
politam  fuifle  loco  unius  plauftri.  Et  ianfuides  ualorem  unius 

plauftri  fuiffe  60  flo. 

Aliud,Si  eft  Chrifto.  1 46. 

SEruo  cuidam  debetdominus  fuus,  pro  feruitio  1 1 menliii, 
10  I tunicam.  Pro  feruitio  ucro  7 menfiudebetei  tuni 
.camillam,  & i 

Hic  quxftio  eft, quanti  tunica  illa  aeftimata  Ut. 

Sic  inuenioaequatione.pcr  mutuata  denolationem  pratdidS* 
*"  1 A menf.  1 a 


menfes 

it 


I'  R 

1 1 Jum, 


IO 


j 1 fum.-f- x 


* 

J fuai.-+-  I O 
1 1 


■ (um  "4-  ^ 

*>- 


Vides  Si  bic,ex  tertio  loco, producta  quarti  loci  inter  feefle 
arquata.beneficio  mutuatae  denominatiois  uulgaris.ltacp  prae* 
dido  modo  inuenies  1 fum. florenorum, pro  tunica  illa  politi 
fecere  pj  flo. 

rSufficiant  ifta  pro  indicio  Algcbrae  Germanicae,  ad  obfe- 
qulum  illis  praeftitum.qui  putant  Algebram  non  pofle  confe- 
qui  abfqj  cognitione  Lingua;  htinae, putante^  eam  efle  diffici* 
liocem  quini  fit  regula  Falli  Sic. 

Deinde  ex  huiufmodi  operationibus  optime  oftendi  poteft, 
qua  ratione  tot  calculadi  regulae  ad  nos  deuolutae  flnt.  Scilicet 
fuerunt  illuforcs  ingeniorum.qui  deledati  opinione  hominum 
exiftimatium , ipfos  efle  lingulari  induftria  inueniendi  regulas 
praeditos,&  hioccultata  earum  fonte,  tales  riuulos  adnos de* 
duxerunt.Mircemquofdam(rjs  ftmilesjUri&indignarilenfi, 
quod  Chriftophor us prodiderit  Algebram  tanta  fide*  , 

Re 


Arithmeticae  Liber  Ii u 

De  exemplis  pertinentibus  ad  caput  tertium» 
Caput  i x» 

m n i a exempla  fecundae,  ter  t/ae,#  quartae, regu 
larum  Chriftophori,&  infinitarum  talium, perti* 
nent  ad  caput  hoc  peculiariter, ut  no  minor  copia 
eorum  haberi  polTit,  quim  ea  fit  quam  Chriftos 
phorus,p  prima  fua  regula  eximia  fide  exhibuit* 
Obruor  aut  in  tanta  copia,aded,ut  cum  pauca  refcribere  cogar 
(quod  inftanter  exemplar  i me  cxigatur,ut  illud  reddam  ocyus 
Typographo  deferendum  ) etiam  tempus  eligendi  exadius 
optima, me  deficiat. Parcat  igitur  Ledor  mihi,(l  uideat  me  no 
ubicp  protulifle  optima  exempla , aut  prolata,  optimo  ordias 
colloca  fle# 


SVnt  duo  numeri  fub  proportione  dupla , qui  additi  ad  (e, 
tantum  faciunr,quantu  multiplicatio  eorum  inter  fe  facit* 

Facit » oc  & z 24.  Hi  additi  ad  ie,faciunt  3 iz*  Multipli- 
cati autem  inter  fe,fadunt  z &.  Sunt  igitur  3 ae  aequatae » & 
Facit  1%.  tk^. 

Ita<$,iuxta  regulam  Algebrae,  quaerenda  eft  radix  zenfica 
<eu  quadrata,  ex  1 4 Quod  qua  ratione  fiat,oftendendu  eft. 

Nam  eo  confilio  uolui  primo  exempla  ponere,qualia  Chrifto- 
phorus  ponit  pro  fua  regula  prima.  Quanqua  autem  modus 
ifte, politus  fit  fuperius  capite  tertio  , tamen  repeto  eum  hic,ut 
oftendam  etiam  hoc  Ioco,quim  fine  ulla  exceptione  generalis 
fit  mea  regula  Algebrae. 

V Modus  aute  huiufmodi  extradionis,alius  non  eft,qu5m 
redudio  fignorum . Scz  radix  quadrata  ex  1 k aequata  1 
facit  1 £, Deleto  enim  figno  couico  minore, de  numero  deno- 

zz  minato 


\ 


/ 


Michaelij  Stjfelii 

minato  ab  /pfo.fubtrahendum  edam  eft  illud  idem  de  maiore  . 
figno. Atc$ ita flt,ut flcut  i % aequatur  i^Wta  i ^aequetur  i£. 
Sed  uidea  mus  tamen  i k ede  radicem  quadrata  ex  i k ^.cflecp 
i £23,  rcnfum  ieu  quadratum  minutiae  huius  i 4 . Scilicet  hoc 
exemplum  praefupponit  hanc  progreiftonem  geometricam; 

Iam  uide  an  i k ^ sequetur  z -.  fcilicet, 

»4 


i 


ii 


facit  x 


Et  fle  dealqs  flmilibus. 

Vtflzrt.  aequati  flnt  8 ueniet  radix  cubica  quaerenda  ex  4 %, 
faciet  illa  4.  Item  fl  1 ct  aequetur  4 icerit  arqua  do  inter  1 % & 4» 
faciet  igitur  radix  cubica  ex  4 2«,  idem  quod  radix  quadrata  ex 
4,ideft  z.&c. 

Secundum  exemplum  capitis  huius. 
p^St  quadrata  fuperfleies  partes  habens  fuae  diuiflonis  784* 
^ Quaeritur  quantum  faciat  latus  eius  unum. 

Facit  f ie.Cu/us  quadratum  eft  1 % , Aequatur  ergo  1 ichm 
784  .facit  1 zc.  z8. 

Talia  exepla  minutiora  i principio  pofica,optime  informat* 
Vides  certe,ut  nihil  flt  ta  exile  in  Arithmeticis,quod  Algebrae 
regula  non  complectatur, niluTcg  tam  altum  quod  non  appre- 
hendat. Quia  uero  capite  feptimo  ( id  eft,  in  capite  cxemplcjt 
•primo  ) ponebantur  exempla  partium  eiTendalium  regulae 
Algebrae.  Deinde  fcquenti  capite  ponebantur  exempla  quae 
ultra  partes  cflfentiales  admittunt  partem  regulae  accidetalettr, 
priorem. Reflat  ut  hoc  capite  exempla  ponanf,quar  admittant 
partem  accidentalem  pofleriorem  ipflus  regulae  Algebrae : id 
cft, extractiones  radicum,  QC  prius  quidem  tales,  quales  primo 
libro  docui.  Sic. 

Tertium  exemplum  capitis  huius, 

E St  iiiper  fleies  quadragula  rectangula  altera  parte  longior, 
cuius  longitudo  tripla  flt  ad  latitudine  cius,Area  uero  eius 

laciat 


Arithmeticas  liber  i ii;  274 

faciat  partes  diuillonis  aequales  7 6B,  Quaeftio  eft  de  quanti 
Ute  utriufcp  laterum» 

Facit  latus  unum  1 ac.  Et  alterum  latus  3 ac» 

Latera  igitur  inter  fc  multiplicata/aciunt  3 fc  aequatos  768* 
Facit  ( %,ij-6.Vnde  1 ac  facit  1 (S.Itaq;  breuius  latus  figurae  il- 
lius faciet  1 6,dt  longius  facietis»  Vnde  alterum  mulupUcatS 
per  alterum  jaciet  768 . 

Exemplum  quartum  capitis  huius* 

E St  numerus  aliquis  diifidens  3 6. Et  ille  diuifor  multiplica 
tus  per  5-4 , tantum  facit  quantum  quotiens  praedidae  di- 
UiOonis  multiplicatus  per  14. 

Quae  ilio  eft  quantus  (?t  ille  diuifor. 

Facit  1 '■‘C.  Quotiens  ergo  diuillonis  praedidae  facit  .Et 
diuifor  iile  multiplica  rus  per  5-4, facit  5-4  ^..Multiplicatus  uero 
quoties  diuillonis  praedidae  per  24,  facit  Aequatur  igitur 

■7^  cum  5-4  2c.  Et  per  redudionem  ad  integra»  5-4  % aequantur 
804.  Facit  1 16.  Vnde  1 2cfadt4.Itacp4  eft  ille  diuiforqui 

jdiuidit  3<$,&.'c.  - 

Exemplum  capitis  huius  quintum. 

ESttriangulus  orthogonius,cuius  cathetus, ad  bafim.  facit 
proportionem  duplam  fuperbipartientem  quintas, hypo* 
tenufaucro  eius  facit  7 2.  . 

Quaeftio  eft  de  quatitate  utriufcp  lateris.i.balis  atqj  catheti* 
Balis  facit  5-  ac.  Et  cathetus  facit  1 2 ac. 

Nant  1 2 qc  habent  proportionem  duplam  fuperbipartientem 
quintas  ad  7 ac. 

Aequatio  aut  recipitur  iuxta  penultimam  primi  Euclidis.' 
Scilicet.  1 2 ac  in  fe,faciunt  144%.  Sic  7 ac  in  fe  multip!icatar,fa 
ciunt  27  %.  Itacp  144  & 27  ^.faciunt  1 69  % aequatos  quadrato 
de72.Igituryfcitf9%.ideft,i  3 adaequabuntur  7 2.  Facit  1 ac, 4. 
Vnde  balis  orthogonij  propofiti  faciet  zo,&  cathetus  eius  fa* 
Ciet  4 8,  Quod  poteris  faciliter  probare»  . 

zz  tj  Vides 


i 


t>  ru 

Michabli s Stipblii 

FVk les  aute,ut  data  opera  talia  ponam  exempla.quaeop» 
cationes  fingulas  capitis  terti)  Cid  eft , Algorithmi  numerorum 
cofficorum)conti neant, Rerum  autem  uulgarium  exempla  ne 
mohoc  loco  i me  exigat : puro  enim  me  illis  fattsfecifle,  pro 
inftituta  mea  numerorum  tradatione.Nofti  etiam  ex  fuperiot 
sibus.ut  quorum  quadrata  funt  aequata,  eorum  quo cp  radice* 
inter  (e  fint  aequales.  Sed  bocpaucis  etiam  hoc  loco  deledat, 
me  oftendere,ut  uidelicetres  Geometricae  refpondeant  opera 
tionibus  Algorithmi  numeroru  co(Ticorum.Scilicet,nouimu* 
ex  Algorithmo,  y i*  in  fe  multiplicatas,facere  2y  fc.Fadat  iam 
radix  aliqua  4 (ut  in  exemplo  praelenti)  hoc  eft, ponatur  linea 
diuifa  in  4 partes  aequales, quintupletur  in  longum,tunc  ha» 
bes  radices  quincp  ad  fe  additas  geometrice»  quae  faciunt  linei 
xo  partium  prioris  diuifionis.  Haec  igitur  linea  dutfa  in  (e,  fa- 
cit 4 cur. Sic  y ?e  multiplica  tae  in  fe,  faciunt  Depida  i taq? 

figura  quadrata,  cuius  cofta  habeat  20  partes  diuifionis  fuar 
scquales,experire,  an  in  eo  inueniatur  uigintiquincp  quadrata* 
quorum  onumquodqj  collam  habeat, continentem  partes  qua» 
Hior  diuifionis  praedidae,&c« 

Exemplum  iextum  capitis  huius. 

Et  eft  Chrifto.s.pro  fua  regula  fecunda  pofitum. 

E St  progrefito  Geometrica  trium  terminorum  ,fub  dupfar 
proportione  progredientium,quorum  quadrata  ad  ie  ad» 
dita  faciunt  189*. 

Facit  12«.  25£,4i$. 

Progrefllo  quadratorum,  1 fc.4%.  1 6 Faciunt  autem  ad- 
diti, 21 1 aequatos  189. Facit  1 fc.^.Vnde  1 2«,  facit  3, Sunt  igi- 
tur termini  progrcfTionis  illius,  3.6.12. 

Exemplum  ieptimum  capitis  huius* 

Et  eft  Chrift.3 .pro  fua  regula  tertia  pofitum. 

*f~r  Sc  progrefiio  geometrica  trium  terminorum,  fub  propor 
Tytione  fefquialtcra  progredientium , cuius  progreftionis 
caminus  maximus, multiplicatione  partis  fax  dunidiae,inpat 
^ ten» 


f 


Arithmeticab  Liber  tif.  27^ 
itm  unam  tcrtiammedntcrmini1producattHtmeru>quiinuI* 

tiplicatus  per  quariam  panem  termini  minimitfaciat  72*. 
Facir4i«,62e,92e. 

Itaqjf*  multiplicatae  per  2 ^faciunt  : qui  multiplicat/per 

1 3«, faciunt 9 ce  aequatos 72 . Facit  igitur  1 ce,  s.Vndc radix 
eius  cubica  facit  z.Sunt  igitur  numeri  inueti  pro  progreffione 
illapropofita,  8.  12.  18. 

Exemplum  odauum  capitis  huius. 

Et  eft  Chrifto.  1 o-.pro  Ii»  tertia  regula  pofitum. 

T7  St  columna  quadam,orthogonaliter  lirrgens  i baff  qua* 
JL>drangula  rc^angula^uius  ba fis  latera  funt  fub  propor* 
tione  fefquitertia : altitudo  uero  columna  proportionem!»* 
ber?ad  latus  maius  bafis, duplam  fuperbipartientem  tertias  Qi 
facit  ipfa  ioliditas  93312, 

Quaftio  eft  de  dimenfionibus  lingulis  quanta  fint,- 
Facit  latus  minus  ipfius  bafis,  3 ^ 

Et  latus  bafis  maius  facit  4 
Et  altitudo  columnae  lo-fie, 

Hatdimenfiones  inter  fc  multiplicatar/aciunt  1 28  ce,aquato# 
^33 12.  Facit  1 ct,729.  Et  1 24  facit  9, 

Vnde  latus  bafis  minus  facit  27.  Et  latus  maius  facit  3 & 
Altitudo  uero  columna  facit  96. 

Exemplum  nonum  capitis  huius. 

^ Vnt  duae  columnae, (urgentes  orthogonaliter  i bafibus  qua 
l jdratis.  Et  cum  bafium  proDortio  ad  innirpm  fir 


jjiujjoriio  earum  aitituuinum,  ad  inuiceniL' 
lefquitertia.  Et  ea  etiam  eft  proportio  breaioris  columna  ad 
aitiorem.  Soliditas  autem  ambarum  columnarum  fimul  fum-- 
pta, facit  671»  Nunc  quaftio  eft,quanta  fint  lingula 
dimenuones  in  utraqt. 

Sic  ftat  exemplum  hoc  figuratum* . 

48  ce. 

**  jdee. 

Sunt 


MlCHABLU  STIPE!,!! 

Sunt  autem  numeri  cuborom  fimul  furopti,  uidelicet  84  c* 
aequati  672*Facit  1 rt,  s.Vndc  1 23 , facit  2. 

Coda  igitur  bafis,columnae  minoris,facit  6, 

Et  cofta  bafis,maioris  columnar.facit  8* 

Et  bafis  ipfa  minoris  columnae, facit  3 6 • 

Et  bafis  maioris  columnae,facit  64. 

Et  altitudo  minoris  columnati  facit  8« 

Et  altitudo  maioris  columnae,fadt  6* 

Et  foliditas  minoris  columnae,  facit  288. 
r Et  foliditas  maioris  columnae,  facit  3 84, 

Vide  iam  an  ea  quae  in  pronunciatione  dicuntur,  illi  calcula* 
tioni  refpondeant. 

Quando  autem  dicitur.proportionem  bafium  ede  fuperte» 
ptipartientem  nonas,&  proportionem  altitudinu  eile  fefqui- 
certiam,fequitur  mox  eam  ede  proportione  altitudinis  unius 
ad  altitudinem  alterius  columnae,quae  eft  codae  unius  bafis,ad 
codam  bafis  alterius , Ed  enim  proportio  iuperfeptipartiens 
nonas, duplicata  proportio, proportionis  ieiquitertiae.  Et  cum 
nihilominus  eadem  proportio  fit  inter  foliditates  columnarii, 
id  ed,propbrtio  fefquitertia,  fequitur  minorem  columnam  ne* 
cellario  elte  altiorem  maiore,&c. 

Exemplum  decimum  capitis  huius* 

Et  ed  Chrido.  1 8.pro  fua  tertia  regula  pofitum* 

NVmeri  cuiuidam  pars  tertia  di  quarta  multiplicantur 
inter  fe,&  produdum  diuiditor  per  27 : & fic  proucniunt 
duae  tertiae  radicis  quadratae  numeri  illius  inueniendi* 

Quaedio  ed, quantus  fit  numerus  ille* 

Facit  1 • Multiplico  igitur  p 6i  p inter  fe,  faciunt -g. 

produdum  illud  diuifum  per  27,  facit  aequatum  duabus 
tertijs  ex  A 1 2«,, quae  ^pueniunt  ex  multiplicatioe  | in  A « ae* 
Scilicet  A 5 ^ aequatur  cum  f J* . Et  per  redudionem  corii  ad 
quadrata, 1 2*  aequant  Et  per  redudionem  ad  integra, 

9 aequantur  4 1 9904. 2^,  Et  per  redudionem  lignorum,  9 

aequan 


J ' 'l 

Arithmeticae  Liber  i i i.  176 

aequantur  4 19904.  Fadt  1 ,466^6.  Et  1 facit  36. 

lam  tu  uide.an  calculatio  ifta  refpondeat  pronunciationi. 
Scilicet,  1 x & 9 inter  ie multiplicata,  faciunt  108.  Quae  diui(a 
per  27 .faciunt  4. Sum  autem  4, duae  tertiae  de  6,id  eft, de  radice 
quadrata  ex  3 6, 

Exemptam  undecimum  capitis  huius. 

Et  eft  Cbrifb  pbo  ri,uariata  tamen  fft  pronunciatio  parumper • 

Eft  autem  »9.  pofitum  pro  fua  tertia  regula. 

E St  numerus, cuius  pars  tertia  multiplicata  in  fe,&  prodifc 
dum  multiplicatum  per  partem  quarta  numeri  eiuidem, 
producit  numerum  .cuius  radix  quadrata  fit  numerus  ille  de 
quo  loquor  • 

Quaeftio  eft, quis  fit  numerds  ifte. 

Facit  1 ae.  Multiplico  igitur  per  id  eft,  quadratum 
tertiae  partis  numeri  illius,muItiplico  per  quarta  partem  efufi» 
dem  numeri , producitur^  ea  multiplicatione  quadratum  nu- 
meri inucniendi.Itaq?  aequatur  1 fc.Et  per  redudionem  ad 
* integra,  1 ce  aequatur  3 6%,  Facit  igitur  1 , 3 6 % . cuius  radix 

cubica  facit  3 6.  i 

Patet  per  redudionem  fignorum.ut  fuperius  docui  drea 
: exemplum  primum  capitis  huius.  Recidit  enim  exemplum 
Chrifto,  19.  pro  fua  regula  tertia  pofitum,  modica  mutatione 
mea  hac,fub  regula  eius  prima,  id  quod  ipfa  mutatione  mea 
indicare  uolui.  Meae  uero  regulae  unicae  nihil  poteft  excidere, 
fed  omnia  fub  una  regula  cadunt. 

Exemplum  duodecimum  capitis  huius. 

Et  eft  Chriftophori  primu.pro  fua 

fecunda  regula  pofitum.  9 

E St  numerus,  cuius  dimidia  pars  multiplicata  per  tertiam 
partem  eiuidem  numeri,producit  5*4. 

Facit  1 ^Vndc  $ aequatur  5-4.  Facit  1 3 »4.  Et  1 a*  fadt 

1 8.  & eft  numerus  inuentu*  quem  quaerebam. 

Vide* 


Michablis  SrrFBtir 

rv  ides  certe  uel  hoc  exemplo, quim  infiniti*  modis.tu  /ple 
facilioperapoftis  formare  exempla  :&  deinde  ex  quolibet 
exemplo  formare  regulam,  quales  illufores  illi  inueneruntide 
quibusfuperfusdixi. 

Scilicet,  ex  ifto  exemplo  regulam  formo  hanc: 
Recipc(inquam)  denominatores  partium  quae  nominatur. 
dC  eos  ititer  fe  multiplica , produdumfcp  multip  lica  in  numero 
datum, tunc  radix  quadrata  illius  produdi , dabit  tibi  numezS 
quaefitum.  Exemplum. 

Propono  tibi  numerum  inueniendum,cuius  partes  tertia  8d 
quarta  producant  fua  multiplicationeinter  fe,  7 6 8. Recipio  3 
& 4,  qui  multiplicati  inter  fe  faciunt  1 z.  Multiplicoergo  i 2 in 
7rf8,ttunt  92  j rf.Guius  radix  quadrata  facit  9 6,  numerus  uide 
licet  quem  quaerebam.  Et  (ic  de  alrjs. 

Rationem  autem  regulae  fatis  uides  ex  operatione  exempli 
prius  data.  Nam  nullam  numeralem  mukiplicationemuidet 
Ibi.niO quod  2 in  3 funt multiplicata:  deinde  produdura(.i«6) 
Alit  multiplicatum  in  numerum  exprefle  poficum.i.in  5’4«&  Gc 
fiebat  quadratum  numeri  inueniendi. 

Sic  etiam  fimili  ratione  formare  poteris  regulam  de  tribus 
partibusnumeri  aliquotis.Vt  (exempli  gratia)0t  inueniendus 
numerus, cuius  partes,dimidia,tertia,&  quarta,  inter  ie  multi* 
plicatae, producant  72.  Recipe  uerba  regulae  proximo  loco  po 
firae,&  pro  radice  quadrata  quaerenda,  iube  quaerere  radicem 
cubicam.  Sic  de  partibusquatuoraliquotis.numcrialicuius 
inueniendi  conftituenttbus  multiplicationefua  inter  fe, nume- 
rum aliquem  darum,pone  in  regula  extradionem  radicis  zenff 
zenficae.  Er  de  quinq?  partibus  pofiturus  regulam, doce  ex* 
trahendam  efle  radicem  lurdefolidam.Et  fic  de  alijs. 

Habes  huiufmodi regularum  formandarum  aliquot  exeat 
pia  in  libro  Arithmeticae  huius  primo,capite  feptimo. 

De 


I 


Arithmetica!  Liber  m*  377 

* - « ■ * . , * 

De  exemplis  regulae  AJgebrae  pertinentibus 

ad  quartum  caput.  Caput  x* 

BODO  hoc,quoomnia  Chriftophor/ exempla, 
fecundae, tertiae,&  quarraeregularurrqatc#  infini* 
tarum  fimilium,  pertinent  ad  caput  praecedens, 
eo  (inquam)  modo  pertinent  ad  caput  hoc  ded- 
mum,omnia  Chrifto.exempJa, quintae, fextae,fe* 
pt/mar>&  odauae  regularum,  ut  (atisdifcere  poruifti  ex  ijs  quae 
^locui  capite  quarto  libri  huius  tcrtij,  atcg  ex  exemplis  fcquen 
tibus  plenius  forte  difces. 

Primum  exemplum  capitis  huius* 

Et  eft  Chrift.primu,pro  fua  regula  quinta  pofitum. 
Vaero  numerum  mediantem  inter  numerum  fenario  ma 


iorem,3i  alium  numerum  binario  minorem,  ita  ut  extre 
mi  illi  numeri  inter  fe  multiplicati  faciant  84, 

Numerus  ille  quem  quaero, fadt  1 2«. Faciunt  igitur  extremi 
eius,per  pronunciationem  deferipri,  1 6,  & 1 * . Hi 

inter  femultiplicati/aciunt  hoc  produdum  1 42$, — u.fii 

■huic  produdo  aequantur  84,  ut  habet  pronunciatio.  Reduda 
• igitur  aequatione  ad  fimplicia,  quantum  fieri  poteft  .aequatio 
ueniet  inter  1 — 42$,.  Facit  igitur  1 h?6 — 4i^.Vnde 
ulterius  inquiredutn  eft,quanrum  faciat  1 2«. hoc  eft,radix  zen 
fica  feu  quadrata  extrahenda  ex  96 — 4ie,ficut  docui  cap*4« 
libri  huius.Facit  autem  */%,  96 — 4 ( hoc  eft,radix  quadrata 
ex  hoocoflico  numero 96 — 4 2^)  8 . Vnde  extremi  illi  numeri, 
inter  quos  mediat  8,iuxta  pronunciatfonem  exempli,  (iint  1 4 
& 6.  Hi  enim  inter  fe  multiplicati/aciunt  84. 

Poterant  extremi  etiam  fub  hac  ^pnunciatione  inueniri* 

rNumerus  quidam, multiplicatus  in  numerum  odonario 


^maiorem,  facit  84* 


AA  Numerus 


MlCHAEllS  STIFE1II 

Numerus  file  fadt  i ille  alios  in  quem  multiplicarfde* 

bet, facit  1 8. Facit  aurem  multiplicatio  illa  i % -f — 8 a«.*  fiC 
Illud  produdum  arquatur  84.Tranfpofitis  autem  particnli» 
tranfponcdis  ut  oportet.inuenies  i fc  arquari  huic  numero  coi* 
fico  84 — 8 ie.Ita<$  cum  i fc  arquetur  84 — 8 ^.arquabitur  1 a« 
huic  A. 84 — 8 ie.ltacg  extrahenda  eft  radix  ex  84 — 8 ?e»fcz 
^,84 — 8 affecit  6, 

Item  extremi  illi  inueniri  poterant 
per  hanc  pronundationem. 

rNumeros  quidam  multiplicatus  in  numero  ie  minorem 
odonario.fadt  84. 

Numerus  ille  facit  1 2«,,  & alter  facit  1 — 8.  Facit  autem 

multiplicatio  coru  inter  ie  1 fc — 8 2«,&  illud  produdum  arqua* 
tur  84,Tranfpofitione  uerofada.uidebis  1%  arquari  S^-f-84, 
Et  faciet  1^,14, 

Exemplum  fecundum  capitis  huius. 

Et  eff  Chriftopbori  primum  pro  fua  regula  ieptima  , 
pofltum,numeris  tamen  mutatis* 

Q Varro  numerum  mediantem  inter  numeru  binario  ma- 
ior em  fenario  minore , ita  ut  extremi  illi  numeri  intdr 
ie  multiplicati  faciant  48* 

Numerus  ille  quem  quaero  facit  i ^.Faciunt  igitur  extremi 
cius  iQi  r 1«. — 6,  qui  inter  ie  muJtiplicati,faciunt  1 fc — 
42« — i»:arquatur  autem  iftud.huic  48  .Tranipofitis  autem 
particulis.arquabitur  1 fc.42e-f-60.Fadt  1 24. 1 o.Stmt  igitur 
extremi cius  11  &4, facientes  fua  multiplicatione  48. 

Poterant  tamen  extremi  fle  inueniri. 

FNumcrus  quidam  multiplicatus  in  numemm  odonarfo 
fc  maiorem,  producit  48. 

Numerus  ille  fadt  1 ^.Facft  ergo  alter  1 2c-f  8 ,0ic.ut  fuprt* 
Exemplum  tertium  capitis  huius. 

QEt  r fl  Cbriftopbori  primm,pro  regula  fua  fexta  pofitm. 

Vatronum«Q,quoduo  numeri  flot  minores,unus  odo« 

natio 


» 


Arithmeticae  Liber  iir,  i?8 

nario,&  alter  fenario,  ita  ut  illi  numeri  duo  minores  inter  fc 
mulripHcati, faciant  numerum  quaternario  maiorem  eo,quem 
quaero.  Quantus  nunc  eft  numerus  quem  quatro? 

Facit  numerus  quem  quaero  1 2«,. Sunt  igitur  numeri  inter  fe 
multiplicandi  i ^ — s,6i  i 2«, — 6.  Faciunt uero  multiplicatis 
ont,i  %-f-48 — 14 2«, .Et aequatur iftudprodudum huienu* 
mero  coflico  1 2*4-4.  Redudioneuero  fada , aequabitur  1 
huic  numero  coiTico,  1 y 2« — 44.  Cuius  radix  quadrata  maior, 
facit  1 1 .&  illa  eft:  radix  exempli.  Vnde  numeri  ali]  duo  excpli, 
illo  minores,(unt  y & 3, quoru  multiplicatio  facit  ly. i.  1 1— f— 4, 
Nofti  autem  ex  rjs  quae  dida  iunt  cap.4.ut  huifmodi  numeri 
coflici  habeant  duas  radices , maiorem  uidelicet  & minorem. 
Eft  autem  radix  minor  de  1 y 2« — 44  .quaternarius,  fed  illa  ra- 
dix refpondet  exemplo  polito  folummodo  per  numeros  abfur 
dos : fcilicet  politis  4 pro  radice  exemp!i,erunt  duo  reliqui  nu* 
meri  exempli  — 4 , & — t,  quorum  minor,  i.  — 4.  eft  minor 
quaternario  per  8.  Qi  maior  eo rum.id  eft.  — z,eft  minor  qua- 
ternario per  6.  Multiplicati  uero  numeri  illi  abfurdi  inter  ie, 
faciunt  8 : qui  numerusCiuxta  pronunciationem  exempli)qua 
ternario  maior  eft  radice  illa  excpli  minore.  Vides  itaq?,ut  per 
numeros  abfurdos  pulcherrimae  exemplord  probationes  flant. 
Ut  non  fruftr!  lignantur. 

Exemplum  quartum  huius  capitis. 

Et  eft  Chrift.  1 .pro  fua  regula  odaua  politum. 

Q Varro  numerum  cuius  quadratum  mediet  inter  numerll 
quinario  maiorem , & numeru  alium  binario  minorem, 
ita  ut  extremi  illi  numeri  inter  (e  multiplicati  producat  zy3  8« 
Quantus  eft  numerus  ifte^ 

Facit  f 2^ Vnde  extremi  numeri  illi.inrerq^os  mediat  qua 
dratum  numeri  quem  quarro,faciut  i%-f-  «rA — y,qutmul 
tiplicati  inter  fe, radunt  hoc  prodigum  1%%  -f-  ? % — <0. Et  ae- 
quatur hoc  produdum  huic  numere  1 y 3 i J?  -dudione  autem 
uda, inuenies  1 $ aequatu  huienumero  colftco  zy4g- — 3 
<p*  AA  ij  Ex 


r MlCHABLIS  STIFBLU 

Extoigit  extrahenda  eft  radix  zenfizenfica:  fcHicet  1 1*  aequa' 
cury%%.i  T48  — i %.  ea  radix  facit  7«  Sic  igitur  ftat  quadratum 
medians  inter  fua  extrema,  47. 4 9'  J4*  Vide  iam,an  54  tnulrf 

plicata  per  47, faciant  z j-  j 8. 

Exemplum  capitis  huius  quintum* 

QVxro  numerum , i cuius  zenfizenfo,  fubtracfli  quatuor 
zcnfi.relinquant  zzojv 

imerusquem  quarro  facit  1 le.Eius  autem zenfizenfu* 
eft  1%%.  Abeo  fubtracfli  4 ^.relinquunt  1 ^—4%  .Cui  relido 
aquantur  z zoy.Reduda  igit  aquatione, feu  tranfpofita.acqua 
bitur  1 %%  huic  numero  coflico  4 % 4-  zzo  j- . Facit  igitur  1 
eundem  numera  cofficum.Et  radix  quadrata  ex  eo  (id  eft,  1 i) 

fed«49.Vnde  i.?e  faciet  7» 

Exemplum  capitis  huius  fexturo. 

SVntduo  numeri,qui  inter  fe  multiplicati»faciunt  78J  qua- 
drata uero  eorum  addita  feorfum.faciunt  iojv 
• Quanti  funtduo  numeri  illi? 

, Obferua  hic, quod  exemplum  iftud  receperim  iuxta  «guri 
exempli  propofitionisquarta,fecundi  libri  Eudidis.quatenus 
folutionem  facile  inuenire  poflis,&  exempla  tu  formare  polita 
huiufmodi,quotquot  libuerit»  atep  ut  plenius  uideas  naturam 
huiufmodi  aquationum* 

Satis  aute  nofti,ut  huiufmodi  figurae  flnt  quadratae.contine 
ant'cg  intra  fe  duo  alia  quadrata  inaequalia  fibrjpfis,  Qi  duo  qua- 
drangula inter  (e  aequalia, quorum  utruncp  contineatur  fubco 
ftis  ambabus  quadratorum  partialium,ut  necefle  fir.quadran- 
gulum  tale  altera  parte  longius  cfle,efle'c#  medium  proportio 
nale  inter  duo  quadrata  illa  partialia  inter  fe  inaequalia  (nam 
fi  fuerint  aequalia^uc  nccefte  eft  duas  reliquas  portiones  fuper 
fidei  illius  etiam  cife  quadratas,  prioribusqp  aquales)  ut  fatis 
•jam  ex  pronunciatione  r.empli  pofTts  accommodare  rebus ib 
lis  «numeros  hos  78.  20  j\Nam  fi  pro  numerominore  pofucris 
vfizejtuncfcicsproquadrataeiusponendum  cfle  1 fc.Etficpro- 

fecundo» 


Arithmeticab  Liber  i i r.  279 

fecundo  quadrato,  (eu  pro  quadrato  fecundi  numeri  exempH, 
pones  ioy  — 1 i.  At  inter  quadrata  Hia  erit  78  mediu  propor- 
tionale,tanquam  quadrangulum  unum,  altera  parte  longius, 
quod  contineatur  fub  radicibus  amborum  quadratorum. Itatj 
iam  fatis  conftat,ut  zoy — 1 * multiplicatione  per  » fcconfti- 
tuat  numeru  arqualem  huic  numero, 6084.  cuius  radix  eft  78« 
Vnde  zoyi—i  %% aequantur  <J084.Ec  per  redudionem  feti 

tranfpofirionem,acquabitur  1 huic  numero  coflico  ioy  % 

6084.  Vides  aut  ut  exemplum  habeat  duas  radices.  Primo  ui- 
des  hocexdifpofitioneipfa  numerorum,  uidelicet  q>  abfolutus 
numerus  ftec  i parte  figni  fubtradorum.  Secudo  uides  hoc  ex 
re  ipfa  numerorum , id  eft,  ex  fuperficie,  cui  accommodantur 
numeri  illi.  Potes  enim  intelligere  1 & efle  attributum  minori 
quadrato partiali,&  zoy — 1 & attributa maioriquadratopar 
ciali:uel  intelligere  1 \ efle  attributa  maiori  quadra  to,&  aoj 
— 1 fcefle  attributa  minori.  Sic  enim  fcies  uel  maiorem  radice 
recipiendam  efle,  uel  minorem.  Minor  radix  facit  6. Vnde  & 
minor  zenfus  facit  3 6.  Et  maior  radix  facit » 3 .Vnde  & maior 
zenfus facit  1 69. Sic 6 mulciplicatain  i3,faaant 78: 8^36 ad- 
dita ad  1 69, faciunt  20  j-. 

_ Alia  eiuidem  exempli  operatio. 

T"\Vo  quadrata  partialia  faciunt  203-.  Et  duo  quadrangula 
integrantia  Ceum  quadratis  partialibus)  quadratu  totale 
faciunt  ambo  1 j-6,ideft,bis  7S.Itacg  quadratu  totale  facit  361* 
cuiusradix  quadrata  facit  19. 

.v  Et  fic exemplum  uertitur  in  hanc  pronunciationem. 

TSunt  duo  numeri,qui  additione  fui  ad  fe  faciunt  19 ; mul* 
tiplicationeaut  fua  inter  fe  faciunt  78. 

. Vel  in  hanc  pronunciationem. 

V Sunt  duo  numerfqui  additione  fui  ad  fe  faciunt  1 9 ; addi- 
tione uero  fuorum  quadraroru  faciunt  zoj. 

* De  priore  prius. 

Eacit  numerus  unus  1 alius  facit  19  — ne.  Et  Gc  mox 

AA'  iijj  fcio' 


Michablis  Stipblh 

fdo,ex  fpfa  re,  q>  exemplum  habiturum  fit  duplicem  radicem, 
eo  qudd  iiib  1 2«,  poflta,poiTit  intclligi  duplex  numerus,uideli# 
cetuel  maior  numerus  exepli,uel  minor*  Atcg  ita  etiam  mox 
fcio, qualem  (aciem  habitura  fit  aequatio  exempli  reduda : fcz 
1 % aequabitur  tali  numero  coflico,  qui  partem  abfoluta  ponat 
I parte  figni  fubtradorum.Sed  uideamus  operationem,  Mul* 
tiplicatio  unius  in  alterum,  facit  192«  — 1 fc.  & huic produdo 
aequantur  78,  Vnde  fic  flat  aequatio  reduda, feu  debite  tranf- 
pofita,  inaequatus  192* — 78.  Facit  radix  maior  13  ,&  radix 
minor  facit  6, 

De  pofterfore  pronuntiatione. 

Vno  numero  factete  1 2«. .faciet  alter  19 — 12*.  Faciet  igitur 
'quadratu  unius  numeri  1 \ , & quadratu  alterius  numeri  facit 
jrfi.f_,fc_-382*.Et  illa  duo  quadrata  faciunt  10  r,  ut  habet 
pronundatio.  Itacn  3^  1— f—  x % — 38  2«.,  aequantur  zoj.Etper 
redadionem  aequabunt  z huic  numero  coflico  382«, — tf6, 
Fada  igitur  diuifione  per  z,uidebisi  % aequari  cum  192«, — 78* 
Facit  radix  maior  1 radix  minor  6, 

Pulchre  i da  omnia  offenduntur  figuris  Geometricis  • Sed 
poterit  diligens  Ledor  iftasoftenfiones  feu  demonflrationes» 
facile  formare  ex  ijs  quae  pofui  in  parte  praeceptorum  huius 
Algebrar. 

Sequitur  alia  eiufdem  exempli  pronundatio* 

TJi  Stfuperficies  quaedam  quadrangula  altera  parte  longior^ 
tj, cuius  ambo  lacera  longitudine  lua  faciant  I9,are8  aurea 
fuperfidei  illius  facit  78« 

Facit  latus  unum  1 24*  • 

Et  alterum  latus  facit  19 — ne*  * 

Notum  eft  autem,  ut  area  diuifa  per  latus  unum  .producat 
latus  alterum.Hinc  fit,ut  ^^^aequenf  1 ^.Item  ^ aequen 
tur  19—  1 2«.  Qpamcuncp  aut  harum  aequationum  recipias, 
inuenies  1 % aequari  buic  numero  coflico  192«,— 7 8.  Faci  et  ta* 
dix  maior  (ut  prius;  1 3, & minor  radix  faciet  6%  * 

Alia 


Arithmeticae  Liber  i ii.  280 

Alfa  riufdcm  exempli  pronundatio  & operatio* 

D Iuide  28  3 in  tres  terminos  continue  proportionales,quo 
rum  mcdiusfadat  78« 

Primus  terminus  t 
Secundus  terminus  7 8« 

Tertius  18  3 — 10«, — 78. 

Notum  eft  aut,ut  ex  multiplicatione  extremorum  inter  (e, 
prouenia  t produdum  aequale  ei  quod  prouenit  ex  multiplica# 
tione  medij  in  fc.Vnde  205-  2«  — 1 ^aequantur  6084,  Et  redu# 
da  aequatione  flue  debita  particularS  tranfpofitione,  aequabit 
» % huic  numero  coflico,ao  j-o«__rfo84.Facit  radix  maior  1 69, 
& radix  minor  fadt  36.  Et  funtduo  quadrati  numeri,  inter 
quos  78  mediat  proportionaliter. 

Sed  hoc  etiamuide.  Numerus ifte coflicus, 205-2« — 6084, 
quem  uidifti  uni  zenio  aequatum,  duas  radices  quadratas  ha- 
bet.uidelicet  1 69  maiore,&  36  minorem.  Videamus,inquam, 
utrum  hoc  uere  flt  in  numero  hoc,an  ita  e fle  Angatur : quemad 
modum  in  Arithmeticis  aliqua  Angi, non  uno  (olo  loco  in  fupe 
rioribus  oftendi.  Recipiamus  ergo  primum  radicem  eius  ma- 
iorem.i.  1 <Sc).rcfoIuamus'q3  ipfum  numeru  codicum  in  numerfl 
abfolutum. Scilicet  1 olfaciente  1 69, facient  205-  2«  hunc  nurtie 
rom abfolutum,  3 464 j-.Subtraho  nunc  6084  de  34645-,  rema- 
nent 285-61  .Vide  igitur  utrum  huius  relidi  radix  quadrata  fa 
dat  i6?,Sicfl  1 olfaciat  3 6, facient  205- 2«  hunc  numera  ab  Com 
lutum  7380 : fubtraho  aut  ab  eo  priorem  hunc  numeru  6084, 
(ed  q>  coflicus  numerus  fic  deterit, 2 05-  0«, — 6084)  remanettg 
1 296.01  ius  radix  quadrata  eft  3 6.  Et  in  tota  numerorum  unf- 
oerfltare  non  inuenies  alium  numerum.cui  ita  refpondcat  cof* 
ficus  numerus  ifte,  205-0« — 6084.  &c* 

PExiftis  poterit  diligens  Ledor,  non  folum  altorum  (at 
Chrifto.&c.)  exempla  leda  intellfgere.  QC  quarftiones  eorum 
foluere,fed  etiam  flbi  propria  quotqt  libuerit  formare.Nihilo- 
sninus  tamen  plura  pofuiflcm,nift  ad  ftatutu  tempus.quod  in- 
flabat dum  ifta  fcribercm,reddendum  mihi  fuiflet  exemplar» 


MlCHABLIf  STIFBLT! 


De  exemplis  regulae  Algebrae  pertinentibus 
ad  caput  quintum  libri  huius  terti). 
Caput  x i. 


o LV  i hucufcp  ullum  ponere  exemplum,  qudd 
haberet  numeros  irrationales  CofTicos,aut  irra* 
tionales  abfolutos.  Nunc  ueio  locum  naduscon 
gruum , id  cft.refpicientem  caput  praeceptorum 
quintum, quod  totum  eft  de  huiufmodi  numeris, 
replebo  totum  caput  prasfens  talibus  exemplis,quae  ufum  ha- 
beant irrationaliam  numeroru  coiTicorum  , Qc  irrationalium 
abiolutorum.  Pertinere  uero  mihi  uidentur  huiufmodi  exem* 
pia  peculiariter  ad  Geometriam, ideo  omnia  huius  capitis  ex* 
empla  erunt  geometrica.  V olo  autem  inc/pere  ab  exemplo 
ultimo  fuperior is  capitis, 

Primumexemplum  capitis  huius, 

SVntduo  numer/,quf  additione  fuorum  quadratoru  faciunt 
ioj : ipf?  uero  inter  fe multiplicati  faciunt  78, 

Ex  capite  aut  quinto  fatis  uidere  potes,  quos  numeros  ap* 
pellem  Codicos  irrationales.  Scilicet  coflrcorum  numerorum 
<rrationaliu,quidam  refoluun  t in  abfolutos  rationales,  ut  funt 
0\i  quibus  utar  in  prxfentiexempIo.Et  quidam  refoluuntur  in 
abfolutos  numeros  irrationales,  ut  fune  illi  quibus  utar  in  ex* 
cmplo  fecundo. 

SicCo  (ficorum  numerorum  ratfonalium,qufdam  refol * 
uunturin  abfolutos  numero3  rationales : ut  fune  illi  quibus 
lifus  fum  in  exemplis  fupcriopt  capitum  libri  huius.  Et  quidam 
refoluuntur  in  abfolutos  numeros  irrationales ; ut  funt  illi, qui 
bus  ucar  in  exemplo  tertio. 

Sequitur  pidura  excmpl/,  ^ 

■*' * ' Satis 


Arithmeticas  liber:  iii;  *8f 


J • 

-A 

B 

C 

‘a. 

« ■ < 

* 

f . 

- ■ • * fe.': 

»* 

- 

. • 

4 *- 

. ' * *.  • ; 

• 

n 

- Satis  clare  uides  ex  hac  figura, ut  exemplum  contraxerim* 
Volo  autem  inuenire  quanta  fit  linea  AB,fid  quanta  fit  C o« 
Cum  autem  quadratu  lineae  A b Agnatum  fit  hoc  numero  cof- 
fico  i oportebit  me  1 2*  ponere  pro  linea  A B«  Et  pro  linea 
C D ponenda  uenit  /fc.  zoy — 1 i.  Ambae  igitur  lineae  una  fum 
«na  faciunt  hunc  numeru  compofitu,  1 -f-  J&ioy — 1 fc , Ifte 
numerus  in  (e  quadrate  multiplica tus,fa  c/ct  a ream  totius  qua- 
drati illius»quod  duo  partialia  quadrata  continet « Et  cum  ex 
ipfa  figura  uideas  area  eius  facere  3 6 1 Scies  ifti  numero  aequan 
dum  cife  produdum  roultiphcationisquadratae  praedidinu* 
meri  compofiti  io  fe. 

Sic  aut  flat  numerus  ille  ad  multiplicationem  quadratam* 

1 2fc-|-»/fc.xoy !%♦ 

I 2^— ioy— - l 

Primo  multiplico  1 2*  infe , facit  1 % . Secundo  multiplico 
xoy—  r*.infe  facit  xo y — 1 fc.  Tollitur  aute  % per  -f-  r 

BB  qui 


/iMiCHABtu  S.TirEtrr.  A 

qui  factus  eft  ex  multiplicatione»  Nofti  enim  ut  diuerfa  Ggnz 
in  additione  fubtrahant.  Remanet  igitur  ex  multiplicatione 
hadenus  fada.numerus  ifte  zoy . Et  quia  tota  fumma  multi- 
plicationis aequatur  numero  huic  3 6 1 ,ideo  aufero  utrinq?  zoj-* 
tunc  ex  parte  fummae  illius  quae  producitur  multiplicando, ni# 
hil  remaner, nifi  quod  fiet  ex  multiplicatioe  in  cruce.  Ex  altera 
autem  parte  remanent  1 5- <5,  & illa  aequata  erunt  huic  tod  quod 
fit  ex  multiplicatione  in  cruce. 

Sic  autem  multiplico  in  cruce* 
r ^feuv/fcifcCut  noftiimultiplicoin  Jy.  10  y — iy,&i  fit  7%. 
aoy% — 1 ^.Secundo  iterumuenit  1 >e,id  efty^i  y,  multipli# 
canda  in  Jy,  z 0 j- — 1 iter  um  fit  %/fc.  z 0 j-  % — 1 

Addo  igitur  dito  produda  illa.ficut  nofti  ex  lege  multiplica 
tionis,feu  (quod  idem  eft)  unum  ex  eis  duplo.  Multiplico  igic 
— »%%»pery?f4.Etficffty%.8zo  4%%,  Et  haec  eft 

reliqua  fumma  multiplicationis  propofitae. 

Et  haec  fumma  aequatur  numero  illi  quem  fiiperius  o flendi, 
uidelicer  lyrf.Vides  aut  ut  aequatio  reducenda  fit  ad  quadrata: 
fcilicet  8 zo  y — 4 ^aequantur  143  3 6. Et  per  tjanfpofitionem 
debitam  particularum,  4 yy  aequantur  8 zo  % — Z43  3 6.  Diuide 
ergo, tunc  inuenies  1 yy  aequari  ioy  y — 6 084 . Facit  1 % . 3 6, 
Ideo  1 ze, facit  6,Et  tanta  eft  linea  a B.Et  fic  linea  c o facit  13  • 

Quamuisautem  zo 6084  duas  radices  habear,taroen 
cotradus  ad  figuram  exempli,  maiorem  ra dicem, fub  tali  fua 
(ignatione,amittit,  Potuiifem  autem  maius  quadratum  par 
tiale  fignare  hoc  numero  cofTico  i y:5i  minus  quadratum  li- 
gnare potuifTem  hoc  numero  zoy  — r % . Et  tunc  certe  maior 
radix  recipienda  eflet,&  nequaquam  minor.  Sic  res  ipfa  indi*; 
cat,quac  radix  fit  recipienda. 

Alia  eiufdem  exempli  operatio. 

T TEI  fic  poteris  opcrari,cum  uideas  fuperficiem  quadrang* 

, V Ia»  altera  parte  longiorem, fignatam  numero  78,  conti 

l j ca  ’ * O»*1 


Arithmeticae  Ltb  er.  iii,  281 

heri  fub  lineis  quae  fint  aequales  illis  ab  &c  D, Multiplica  1 
id  eft 1 %.  <n  A . 105-  — 1 % , tunc  produdum  illud  aequabi* 
cur  78. Scilicet,/*.  1 ^aequatur 78.  Et  redutf  a aequa 

cione ad quadrata,aequabuntur  ioj  * — 1 **cum  60 84 Ac, 

T Vel  cum  a b faciat  1 area  totius  quadrati  conti* 
nentis  quadrata  partialia , faciat  361,  cuius  radix  eft  19, 
Faciet  CDyip — 1 Te»  cuiusquadratu  facit  361  -f-  1* — 38  Te, 
quod  aequatur  io  y — i % . Sic.  Sed  operatio  haecnon  per- 
tinet ad  caput  hoc. 


T Vel  multiplicatio  A B , id  eft.  1 Te, in  C D.id  eft,in  t p — 

1 le.faciens  1 9 Te—  i %,aequabit  78AC*  Pertinet  etiam  ifta. 
Operatio  ad  caput  fuperius,cum  non  habeat  numeros  coflicos 
irrationales,  ' 


Exemplum  fecundum  capitis  huius. 

. v 

EStfuperficies  quadrangula  re&angula,  altera  parte  lon* 
, gior, cuius  diameter  iua  longitudine  facit  vtyao,  Si  area 
.eius  facit 

Quaeftto  eft,quan tum  fit  utruncp latus. 


v Quando  pro  a b linea  minore  pono  1 J^tunc  pro  B C pono 
*/*.  zo  — 1 *.  eo  q>  quadratu  diagonalis  A C,  coniti  tutum  fit  ad 
aequalitatem  quadrati  A b & quadrati  B c , ut  habet  penultima 
. v BB  q primi 


Michaelis  Stifelii 

primi  Euclidis.  Cum  igitur  quadrato  diagonalis  lineat  faciat 
xo, & quadratum  a b faciat  i %,fequitur  quadratum  B C facere 
xo — | fc.&fic  radix  eius,ideA  .linea  b c,  facie  c^.zo — ifc.ut 
dixi. Multiplico  igitur  A b in  BC.ur  proueniat  area;  icilicetiz* 
(euy*ifcin»/fc.zo — 1 1,  facit %/%.zofc — ifcfc.Itaqj  produco  illi 
sequatur  Jty6.  Et  per  redudionem  ad  quadrata,  aequantur  96 
huic  numero  coflico  zo%  — 1 fcfc.Et  per  debitam  particularum 
aequationem  .aequatur  1 %%  huic  numero  coflico  zo  fc — 96,  ■ 
Facit  1 %,  8.  Et  1 ze  facit  3 . Ergo  a b facit  %/%  8 ,&  b c facit 
^1  x.Sic  enim  a c facit  2 o,&  area  quadranguli  J196, ut  fa- 

tis patete 

Tertium  exemplum  capitis  huius. 

E St  fuperficies  quadrangula  redangula  altera  parte  Ion- 
gior.cuius  diagonalis  facit  %/%  1 8 0 fua  longitudine,  & eA- 
maius  latus  adminus  triplum. 


Quantum  facit  area  illius  trianguli? 


Satis  notflm  efl.uel  ex  fuperiori  exemplo  10%  aequari  qua- 
drato lineae  diagonalis.  Itacp  1 % facit  1 8 : 6C  1 ie  facit  » 8* 

Facit  igitur  b c fua  longitudine  1 6z.  Vnde  fequitur  aream, 
facere  5-4.. 

Exemplum  quartum  capitis  huius. 

EteA  ChriAo.46.pro  regula  fua  prima  pofttum* 

T,1  St  triangulus  orthogonius,  cuius  bafls  facit  fua  longitu* 
JC,dine  1 8— f— 9 . & duo  reliqua  latera  fimul  furopta , facius. 
longitudine  1 6 1 -+-?* . 

E.  . QuacAio» 


Arithmeticae  Liber  nr#  2 82 


dratum  lineae  a E,&quadraifi  lineat  B C,  quadrato  lineae  a c.ut 
notmtmu  elr.et  farp/Uime  i me  reperitu.Itaca  1 & -t- 


ies)rdlnquitur  y%4 '47a.Eteft  fubtradi°  illa  nihil  aliud  quam 
reductio.  Itaqjtotum  reliquum  aequatur  mhiIo,id  eft, 

41471 — i8ie — ^648%  aequantur  o. 

Itaqp  8 ^-f-^648  fc.aequatur  2 i6.-f-/s4i472.Diuideergo’ 
per  numerum  maioris  figni  coflici,reIiquum  aequationis,  tunc 
habebis  quantum  faciatcathetus. 

_ Obferuabis  autem  hic,  quod  in  ifta  panicula  /^648  % . hoc ' 
lignum  fc.quod  pofitS  uidcs  i partedextra.reputatur  pro  figno 
ifto  ^.propter  tignum  hoc  */%,  quod  flat  i parte  finiftra.  Nam 
«(exempli  gratia)  6 fint  multiplicanda  per  1 ie,tunc  fiunt  62«, 
Si^ut  6 fit  multiplicandum  per  1 **,tunc  fit  6 * : & non  fit 


\ C 

«ii  8- f-j*  Aequantur  aur,quar 


BB  iij, 


$*,t  .1  :Mi*H**1i*  '$Ttf  WVlTl  ■ 

4 is^utChriftophorus  uoluit.  Quando  enim  /fc  6 multipli* 
catur  per  1 3*,  tunc  recipitur  Vfc  i fc  pro  1 in.  Ifta  moneo  pro* 
pter  numeros, quos  Lecflor  meus  in  Chriftophofo  fortailis  ni- 
debit,circa  operationem  huius  exempli  eius  4 6 . ut  fciat  meos 
numeros  corredius  eflfe  politos.  Itaqj  648  %-f—  1 8 in  haberi 
debet  pro  uno  numero  radicum : non  propter  lignum  addito* 
rum,id  quod  Chriftophorus  uidetur  exiftimafle,  fed  q>  utraqp 
pars  lit  numerus  radicum.  Diuiditur  autem  1 1 6-f-  4 147», 

per  648  -f- 1 8. facit  diuilio  3 z-f-4,Et  tantum  facit  linea 

a B.Itacg  latus  a c facit  %/fc  yo-f - y. 

Volo  aurem  Le&orem  hic  iuuare  indiuilionehaclaboriola* 
Primo  multiplico  diuilorem  648  -f-  1 8 per  648  — 1 8, 
facit  3 14  diuiforem  nouum. Deinde  multiplicoetiam  diuiden 
dum  xi6-f-y%4i47*,per»/fc648 — 18.  facit  nouum  diuiden* 
dumhuncy^3  3y9Z3i-f-  1196.  Diuide  igitur  priorem  par* 
tem  per  1 04976  (eft  enim  1 04976  quadratu  diuiforis  noui) 
& partem  pofteriorem,uidelicet  1 296, diuide  per  3*4, 

i Exemplum  quintum  capitis  huius, 

p s r quadrata  fuperficies,faciens  area  lua  numerumhunc, 

67y-(-i/%4oyooo. 

1 . . Quaeftio  eft, quantum  faciat  radix  eius  quadrata* 

Hoc  exemplum  pono.ut  difcas.qua  ratione  inuenerim  mo- 
dum extrahendi  radices  quadratas  de  huiufmodi  numeris* 
Nemo  autem  mihi  fucccnfeat.quafi  me  redarguat  culpa,quam 
paulo  fuperius  reprehenderim.  Aliud  ftquidem  eft  neceftita* 
tis,  aut  commoditatis  gratia  aliquid  ftruere , aliudcp  aliquid 
ambitionis  caufa  oftentare:  cuius  fontem, data  opcra*occulces » 

Sic  autem  fiat  exemplum  figuratum, 
ut  fequitur, 

“ “ VUa 


ARl^HMBTICAB:-LlBEa  TJU  284 

A 


B 


l?t 


ce 

o 

•te 

u 

© 


S%IOIlfO 


*7S — » 3* 


Vides  ut  pofterior  particula  folamodo  diuifa  fit  in  duo  aqua 
!/a:fcz  ^405-000  diuiditur  in  %/*  10  h6q,&S%ioi  z4o,Deindc 
fatis  uides,  ut  ex  675-  debeant  fieri  duo  quadrata , inter  qu* 
\fyioi  zj-o  mediet  proport/onaliter . hoc  cft,  numerus  ifte  675- 
diuididebetinduas  partes,  qua  inter  (e  multiplicata  faciant 
10 1 zj-o.Pono  igitur  pro  minore  parte  1 zc,tunc  maior  pars  & 
ciet  675-  — 1 2*.ltacp  (>7r  ^ — 1 % (quodeft  produdum  ex  1 a* 
in^7y — inaquabit  fo  / zj-o.  Facit  i^Cquaeft  radix  aqua 
tionisminor)  zzj-.  Itaq?  maiusquadratum faciet4j-o , Faciet 
Igif  radix  quadrata  fuperficiei  ,ppofita,id  e a c,  1 j-  -f-  4/0, 

Proba  multiplicatione  radicis  huius  inuentain  fe,qua  facit 

d7y-f-^40j-ooo. 

Exemplum  fextum  capitis  huius. 

E St  circu!us,cuius  diameter  facit  1 zo,&  orthogonal/squa 
dam  linea  ereda  i diametro  ad  circumferentiam , facit 
»/%♦  ipzy — y^4oj,ooo. 

Quaftio  cft,de  quantitate  patium  diametri  fic  diuifa.  . 

...  Sfc 


j 1 


Sit  igitur  orthogonalis  illa  a c,  tunc  pro  B c pono  i 3«,  8C 
pro  c d ponendus  erit  numerus  coiTtcus  ifte  1 20  — i ^.Cum 
aut  a C fit  medium  proportionale  inter  b c &CD,erit  aequatio 
inter  uoie — xpxy — y%4oyooo,Faciti  — wfyfyo* 

Et  tantum  facit  B C.Ergo  C d facit  jy  -4-  J^yo» 

Deinde  fi  trahantur  a d & a B,fdes  per  penultimam  primi 
Eudidis,quantum  illae  chordae  arcuum  circuli  feciant.Sdlicet 
minor  a b faciet  hoc  numeruirronalem,/*.  54-00-/^6430000. 
Et  chorda  AD,/%.pooo -4-/^6480000. 

Exemplum  ieptimum  capitis  huius. 

E St  circulus,cuius  diameter  diuiditur  fecundum  proportio 
nem  habentem  medium  QC  duo  extrema,eam'cpdiametrS 
alia  linea  diuiditorthogonaliter, in pudodiuifionispraedidae, 
& arcus  unus  ex  minoribus,interceptus  i lineis  illis,liabet  chor 
dam, facientem  longitudine  fiia  hunc  numerum  irrationalem. 
15-0 — /*  45-00,  Quaeftio 


MlCHABLlS  STIPELII 


Arithmeticae  Liber  i ii,  28? 

. *•’  'Quaeftio  eft, quanta  fit  diametercirculi  illius# tcliquae 
lineae  figurae  illius  quantae  fint« 


Pono  pro  B B.f  letSiquiaABcftdiufia  (ecundumpropot 
tionem  habentemedium  & duo  extrema,  necefle  «ftCB  cbor 
<Jam  eflc  aequalem  portioni  maiori,  praedirae  diuifionis , Itaq? 
A E etiam  facit  longitudinefua  15-0  — V*  4 j-oo4Et  cum  c 1 fit 
medium  proportionale  inter  a e & e B.fequitur  quod  C e fadac 
tadiccm  quadrata  produci, quod  fit  cx  B B in  a e.  Scilicet  CH 


t . * V 

' r .*•  MichabIis  stifelti 

fecit  . i yo  2e — 4roo  % . Item  ex  penultima  primi  Eoeli- 
dis,fadt%/fc.27ooo — 405-000000 — i %(Qjjadratumcm 
lineate  b fadt  hanc  aream,  27000 — y%4oyoooooo  ,&c.) 
Ergo  duo  producta  illa  iiint  aequata,  cam  cadant  fuper  unan» 
& eandem  lineam  illam  c b,  quadra  tum'qp  unius  eft  aequatum 
quadrato  alterius.Scilicer,  150  ^ — ^4500%  aequatur  i7®o» 
— y%4o y 00 0000 — »%.  Vnde  tranfpofitis  partibus  aequatio- 
nis debito  modo,  aequabitur  1 his  partibus: 

- 27000  — v^4oyoooooo  — lyo  ^€,-f-</%4J’06.%* 

Facit  1 2<a.A4oroo— - iyo  .Et  tantum  facit  portio  diametri 
£ B.  Cum  igit  portio  eius  maior  .i.  A B,  faciat  1 yo — »/fc4yoo* 
(equitur  C per  additionem)  quod  diameter  tota  A B faciat  (iia 
/ longitudine  */%  1 8 000,  Et  ( per  multiplicationem  portionis  ia 
portionem)  (equitur  c e facere  hunc  numerum,  \ 
y%l^2000000C — 36000. 

Poftca  per  penultimam  primi  Euclidis,  fedt  A C,  ^ 

^%.'/%4oj-oooooo  — 9000. 

Vide  iam  an  quadrata  linearum  CB  & c a, faciant  quadratum 
lineae  a B.Et  fic  habes  quantitatesomnium  linearum , figurae 
huius  exempli.  Eft  enim  linea  e d aequalis  lineae  c E,  ut  dupla* 
tione  ipfius  c e facile  ponas  quantitatem  lineae  c D. 

Et  quia  (uperius  in  ifto  exemplo, uidift i 1 % aequari  huic  nu- 
mero toti,27ooo  — y%4ojooo®oo — 1 yo  *«,-}— 
cile  ex  fupradi&is  fdre  poteris.ut  radix  quadrata  ex  eo  debeat 
extrahi.  Et  ne  te  particularum  huiufmodi  multitudo  & magni 
tudo  abfterreat.uolo  tibi  hic  radicem  eius  extrahere. 

Sic  autem  ftat  ille  numerus  quadratus  ad 
,r  --  . • extTaAionismoduropofitus. 

27000 — y?j4oj-oooooo  | — 7y-f-«/%f  fty,  „ 

• TEt(ut  rem  breuiffimis  dicajficut  operareris,!?  radix  extrifr 
henda  occurreret  tibi  ex  ifto  numero  coflico,  27000  — 1 yoi®, 

• fle  operare  etiam  hic.Nam  ficut  primo  poneres  loco — 1 yo  ^ 
hoc  dimidium  eius  7ytreiedo  uidelicet  figtw  coflico,ut  exetq* 


1 


Arithmeticae  Liber  nr. 


186 


pium  fic  flaret  27000-7 j-.S/c loco  huius  — 1 yost-f-  »/£4yoo£ 
pone  hoc — 77  -f-  </£  1 1 2y : eft  enim  dimidium  numeri  radldL 
Et  fuperius  circa  exemplum  quarta  capitis  huius,(atis  o (lendi 
'Ut  huiufmodi  numeri, ,/£45-00  £,fint  numeri  radicum,&  nequa 
quamfint  numeri  zenfbrum.  Sci  licet  (ut  repetam)  /£4700  £, 
■eft  radix  quadrata  ex  4yoo  zenfis  &c* 

Secundo,  ficut(pofito  hoc  exemplo,  27000 — 7y,  ut  dixi)’ 
multiplicaresdimidlumnumeriradicum  3 In  fe,produc?iumfcg 
adderes  priori  parti  ( ut  in  iuperioribus  fufficientiflime  docui) 
■icilicet — 7y  in  fe,  facit  y£xy,  quod  ad  27000  additum,fadit 
3 2 ^ 2 y : fic  etiam  multiplico — 7 7 -f-»/£  1 1 2 y in  ie,fecitfcg  67  ? o 
— A 173  »2yoo,quodaddoad  27000 — »/£4oyoooooo,6ifit 
33770 ,/£$328 12700. 

Tertio  fequitur,ut  extraham  radicem  quadratam  exaggre 

fato  facflo  C huiufmodi  extractionem  docui  Iib.  2.  fuo  loco)* 
acit  autem  radix  quadrata  ,/£28127  —77.  Et  ab  hac  radice 
fubtraho(  propter  fignum  fubtra&orum , quod  ponebatur  I 
parte  dimidij  numeri  radicum)  77-{-V£i  1 xy,id  eft.dimidium 
numeri  radicum.tunc  remanet  ,/£40700 — iyo.  Et  tantum  fa 
dt  1 ^polita  pro  linea  figurae  dati  exempli  e b, 

Afia  operatio  exempli. 

/^Via  maior  portio  diuifae  diametri  facit  tyo — ^£4700, 
V^-Zpono  (ut  prius)  1 1<>  pro  minore  portione, tunc  tota  linea 
a B faciet  1 yo — ,/£  4yo  -}—  1 ^,Et  fic  quadrato  maioris  extre 
mi,uidelicet  2700 o— »/%  40 y 00 0 0 o o,aequatur  quod  fic  ex  mul 
tiplicationc  1 ^,,in  totam  lineam. Fit  autem, 

1705* — ^£47oo£-j— 1 £. 

Et  fic  iterum  aequatur  1 £ , toti  huic  colTtco  numero, 

27000 — »/£405-000000 — iyo2fc-f—  »/£47oo£« 

cc  tj  Alia 


i 


MlCHAEllS  STIFELII 
AHa  operatio. 

PRo  tota  linea  a b pone  i ^ , tunc  pro  portione  minore».' 

ideft,  proEB.pones ne — • ro-f-y^roo.Atcp  ita  mul- 
tiplicatio ioein  — ij-o-f— y%4j-oo(  quae  eft  multiplicatio 
extremorum)  producit  aequale  medio  proportionali  in  fe  mul- 
tiplicato, oiddicct  27000  — »/£405-  oooooo.Etfic  iteruaequar 
bitur  ifchuic  connexo» 

»7000 — ^405-000000 — i5-o^-f-y%4j-oo?(* 

Exemplum  capitis  huius  otftauum, 

E St  pentagonusaeqaiIaterus,cuius  linea  fubtenfa  uni  ango* 
lorum  effecit  1 oo». 

Quantum  e illatus  pentagonif 


3alb»:i 
i Vi'.  •'*: 


i»  VL“  i'  • ' " 
ti.-ulj.;  : ( 
teb 

ti;.n  «rs  l 


Notum  eft  ex  primo  Almage.Pt0rem.cap.5r.  ut  a d dutffcr 
in  BC>faciat  quantum  facit  a BinCD  .cumeoquod  fitex  A'C 
in  B d.  Simile cftin  quolibet  quadrilatero  inferipto  circulo. 
Pbno  igitur  pro  latere  pentagoni  uno,  1 3*,tunc  a c in  b d facit 


Arithotbticab  Liber  ‘i ‘i i.  287 

p%,5i CDin  a B fac/t  looaa.Et  a Di  nC  B facit  10000,  funt 
em  ab  Si  ad  Si  B C inter  fe  aequales.  Ita c£  i%-t-iooi*aequan 
tur  10000.  Fac/t  i2««^i»5-oo — 5-0  .Et  tantum  facit  latus 
unum  pentagoni. 

Proba  per  conuerftonem* 

rSi  larus  pentagoni  arquilateri  fa ciar«/%i  25-00-5-0.  Quan- 
tum  fader  linea  fiibtendens  angulum  pentagoni  illius  unum? 

Facit  a b,  n«*Et  fic  a d in  b c faciet  1 % : & huic  aequabitur 
quod  fit  ex  c D in  a B.i.%/%i  25-00% — 5-0  le.cum  quadrato  unius 
laterum,  id  eft,A  c in  b D,quod  facit  15-000 — ,/%  115-000000. 
Quaerenda  cfl  igitur  ragixquadrata  ex 

%/%•  15-00% — 5-0  15-000 — s%i  15-000000. 

V olo  etiam  hoc  loco  Ledori  meo  (eruire,  Si  hanc  radicem 
quadratam  extrahere.  Sica  utero  ftat  exemplum. 

A 3 >*r — «iroco— A»*j’oooooo. 
Multiplico  igitur  %/%  j 1 25- — 15-  in  fe(ut  fatis  docui)facit  mu! 
tiplicatio  haec  hunc  fequente  numeru.3  75-0  — %/%  78 1 15-00. Ec 
huic  addo  15-000-«/%!  15*000000,  fiunt  1875-0-%/%  195- 3 1 15-00« 
Ex  hoc  aggregato  extraho  radice  quadrata.facit  1 1 j--V%3 1 1 5-. 
Et  huic  iam  addo  dimidium  numerum  radicum , uidelicet 
«/%  3 1 25’ — 2 y.  fiunt  1 oo.Et  rantu  facit  a B,id  eft,lincafubten* 
dens  angulum  in  pentagono  propofiro. 

Aliaeiufdem  exempli  odaui  operatio. 

OStendi  capite  ultimo  fecundi  libri,  ut  linea  compofita  ex 
latere  pentagoni  S C linea  fubtendente  angulum  penta« 
goniaequilateri,fitdiuifafecundum  proportionem  habentem 
medium  Si  duocxtrcma.in  pundo  copofitionis  earum-.  Hinc 
fit.uc  100  (it  medium  proportionale  inter  i 2$,  (quam  pono  pro 
latere  pentagoni ) Si  1 00  -f-  1 25,  ( quem  numerum  pono  pro 
linea  compofita  ex  latere  pentagoni,Si  linea  fubtendente  angu 
Ium  pentagoni  > fitq?  per  multiplicationem  1 ie  in  1 00-f- 12*. 
ut  i'oo  1% aequent  1 0 00 o(. i.quadra to  medi) .pportiona  lis) 

Siperredudionem  i%aequet  10000—  1001«,.  Etfic  i^fadr 
ifcnj.oo: — 5-0».  CC  iq;  Veli 


I 


Habes  libro  fecundo  .capite  ultimo.de  propofitione  Euclt* 
d/s.afTercntis  latus  pentagoni  efie  lineam,  quae  dicitur  minor: 
ubi  linea  fubtendens  angulum  pentagoni  illius  fuerit  linea  di* 
<fta  maior . Quod  cam  ita  fit,necefic  eft  ut  linea  A D faciat  fua 
longitudine — /$71*0101  a Bfecerit/$./$nrf-f~ 
/$7*.Et  fic  faciet  linea  b D,/$$8£4*Et  quaeftio manet, quanta 
faciat  bc&cd&ac. 


Michaelis  Stifelii 

Vel  pone  1 1®  pro  tota  linea  compofita  ex  latere  pentagon  I 
BC  linea  fubtendenteunum  angulorum  pentagoni*tun<pro  Ia 
cere  pentagoni  pones  ne — -ioo,atque  itaifc  aequabitur 
100  2c-f-  loooo,racit,i  i«,./$i  zyoo-}— j-o,8ic* 

Exemplum  capitis  huius  nonum* 

St  triangulus  orthogonius,  cuius  duo  latera  angulum  re- 
, dum  facientia  fumpta  funt  depentagono,facfhim'c$eie 


«acir^*.»f£*io-|-vs7* 

Utere  maximo  eiufdem  orthogonij  ad  angulum  eius  rectum» 
Quxftio  eft  de  quantitate  aliarum  lineatum 
: huiufmodi  figurae» 


Pono 


Arithmeticae  Liber  iii;  i$8 

Pono  igkur  pro  Imea  b c,  i , tunc  ponetur  pro  C d, 
vfyfc  864 — i ae.  Multiplico  igitur  i a*  iWfcfc  864 — 1 ac , facit 
— » %.q «at  eft  quantitas  quadrati  a C medrj propor 
tionalis  inter  B c & c D. Quadratum  autem  tincae  A b (id  eft, 
A 2 1 <5— f— 7z)  minus  quadrato  lineae  B C (quod  facit  1 
cit  quadratum  lineae  a c,pcr  penultimam  primi  Euclidis.Erga 
aequatio  erit  inter  — 1 fc,  & hunc  numerum 

codicum  8 $4%fc—  ifc.ToIlit  autem  1 % alterum  ifc.Etfic 
manet  aequatio  inter  864  huc  numep?  1 6 -f-  JtfxX 

quem,iuxta  regulam,diaido  per  numerum  radicum(necp  enim 
y/%%  8 64  ll  aliud  eft  quim  numerus  radicum , ut  fcire  potes  ex 
ijs  quae  dixi  circa  exemplum  quartum  capitis  huius  ) 6C  dum 
diuido  A z 1 6 per  A%  8 6 4 , tunc  prius  reduco^  z 1 6 ( ut  noft» 
ex  Algorithmo ) ut  etiam  ftet  fub  hoc  ligno, Scilicet 
5 » 84  diuido  per  A%  8 64, tunc  refoluitur  12«, 
quae  facit  Alsi  -f- A*  Ergo  linea  CD, facit  Afcr4 — 6. 
Multiplicataautem  b c in  c d,  producitur  quadra  tum  lineae 
AC,Vnde  Hnea  a c faciet»/^  24.  • 

Exemplum  capitis  huius  decimum* 

Signato  pentagono(ut  in  exeplo  capitis  huius  otiauo  figna 
tus  eft ) quaeritur  quantum  faciat  lineola  e d. 

Vides  autem  in  figura  fupra  potita  folio  aSd^utCDCcui 
aequaliscft ae) fignata[Ot  1 : & a b (cui  aequalis  eft  A D) 

fignata  fit  numero  hoc  100.  Eft  autem  A d diuifa  in  puntfto  b, 
fecundum  proportionem  habentem  medium  & dup  extrema* 
Igitur  a e ( faciens  1 ic ) eft  medium  proportionale  inter  A D, 
(facientem  100)  & e d, facientem  100 — 1 x.  Aequabitur  ergo 
huic  numero  cofTico,  1 0000 — » 00  ze.  Facit  1 ?o,ut  fuperius, 
idefty%i  zjoo  — yo.quamuidiftituperiusfacereCD  fcu  ae* 
Eam  igitur  fubtrahe  de  a b fcu  de  a d,  tunc  remanet 

lyo — A*  »Too.  . - 

Et  harc  eft  quantitas  lineat  e d , feu  e c, 

trcntvbrvf 


Sequitur 


4 

Vti  • I^ICHABLII  STIFELIt 

Sequitur  pulchra  induftria  inueniendi 
quantitates  linearum* 

VOLO  autem  tibl.mi  Ledor,ut  nihil  ( fdens)  abfcoftdauL 
exempla  inftrumentalia  oftendere , quibus  uti  poffis  pr® 
Inuentione  linearum  quantum  placuerit,  ateg  ad  exemplar  eo*^ 
rum formare  infinita  alia* 


Videamus 


J 


Arithmeticae  Liber  iiij  289 

Videamus  primo  de  formatione  exemplorum  Jbuiufmodi, 
antequam  ufum  eorum  0 flendam. 

Sic  autem  facio* 

Primo  recipio  diametrum  circuli  pro  fundamento  huius 
flrucflurar‘,& diuidoeam  in  quatuorpartes  inter  fe  aequales, 
cuilibet  parti afligno  (uel  afligna  ta  fubintelligo)  1 Je.utuides 
a b f?gnatam,item  b c.Et  fle  tota  diameter  facit  mihi  4 ac,  Sic 
CG facit  zo^cum fit femidiameter circuli. Sic  fadleex  b cQi 
G c fignabis  lineam  BG.Nam  cum  quadratum  GC  faciat  4%, 
••  & quadratum  BC  faciat  i%,  fatis  nodi  ut  quadratum  BG  illis 
aequetur,faciat'cp  j-  * , ut  linea  ipfa  B G retfle  fle  flgnetur  s *« 
Sic  b F recipit  %/fc  3 fc.cum  c f traheda  fit  femidiameter  circuli, 
cuius  quadra  tum,minus  quadrato  b c, faciat  3 $ : atque  ita, ea 
fobtrad ione  fadla,  aequetur  relicflum  tale,  quadrato  lineae  B F« 
Sic  ex  9 capite  primi  Almagefli  facile  colligitur,  ut  linea  b C 
fubtrada  i linea  bg,  relinquat  latus  decagonieidem  circulo 
inferibendi , quod  eft  c d.  Ideo  rcdle  fle  Agnaturi  s & — He* 
Et  quia  quadratum  d g componitur  ex  quadrato  cg&cd 
< facit  autem  quadratum  c G,4%:  & quadratum  C d, facit 
4 zofc%)Jdeo  linea  d Gredle  fle fignabit,%/%. 

Et  cum  trahenda  c h flt  femidiameter,  cuius  quadratum  facit 
4%, i quo  fubtratflum  quadratum  CD(id  eil,<Sfc-f-yfciofcfc) 
relinquitquadratu  d H.redefignatur  dh  fle 
Et  quia  a sdiamet  e tfua  longitudine  facit  4 ^,a  B aute  facit 
1 *>,fequitur  b e facere  3 2«,cum  a b linea  fit  fubtrada. Deinde 
fi  de  B e fubtrahas  b D,  facientem  iua  longitudine  j-  \ , fitfcg 

aequalisl/neae  B G.fatisclare  uides  D E flgnandam  fic 
Et  fle  facilifii  iucundiifima  ratiocinatione  poteris  tibi  formare 
Salium  exemplorum inilrumentaliu  copiofum  thefaurum  dic. 

Videamus  nunc  ufum  eoru;  n ety  enim  talia  froflri  nomino 
•exempla  inflrumentalia. 

Si  ( exempli  gratia)  profitereris  publice  Euclidis  tertium- 
de  cimum  aut  quartumdecimum , ubi  fere  ubiq*  incidit  ufus 
• ^ * • < . JDD  tetra# 


MlCHASlirl  STIFEtTT 

' tetragonorum,  pentagonoru,  dccagonorum  dic,  iibpfeurorfS, 
& uelles  uaria  (ut  decet)  exempla  proponere  in  rebus  talibus.- 
alio  qui  non  faciliter  inueniendis , tunc  polles  tibi  huiufmodi 
exempla  pro  neccHJtate  tali  conftruere,atque  uti  eis . Scilicet, 
dandi  fint  tibi  tres  circuli  cum  infcriptione  fuorum  pentagono 
rum,atqj  decagonorum : quorum  circulorum  primus  fua  dia* 
metro  faciat  izo,  fecundi  diameter  faciat  3 6,  terti)  faciat  48. 
uelishp  fingolorum  circulorum  pentagonos  faciliter  & repente' 
reperire  per  exempla  inftrumentale,quod  dedi.  Recipe  primo* 
(H  placet  Jmaximum  illorum.  Et  quia  1 1«,  (tanquam  pars  dia- 
metri quarta)  facit  30.  pentagoni  autem  latus  uc  lignatum  ha- 
bes, 1 0% — A 2 ow  (haec  eft  linea  D G figurae  pofitar)&  cum 

1 olfaciat  3 o}facit  1 $.900,8 i 1 rt.z7ooo,&  i$%.8ioooo.Red 
pio  igitur  10%,  id  eft  900  o. Deinde  recipio  20  %$.f.i  6200000. 
quibus  praepono  (ficut  mihi  pidiura  lineae  omnia  ad  manus  tra 
dit)»/$.facit  1 6 2ooooo.cui  praepono  9ooo,interpofito  figno  * 

lubtradlopt.Vnde  fic flabit  hoc  £Jd  inueni, 9000-*/$!  6200000«. 
Et  huic  praepono  ( ut  picflura  lineae  etia  indicat ) boc  fignu  */%» 
interponto  pundf  o.Sic  igitur  facili  negocio  inueni  latus  penta > 
goni , circulo  inferibendi  ( cuius  diameter  faciat  1 zo ) facere- 

*/$.?000 I 6200000. 

Sequitur  circulus,cuius  diameter  facit  3 6. 

Praefcribo rrtihi  igiturhanc  progrefltonem.cum  1 ^faciat 
9,  tanquam  pars  quarta  circuli. 

o.  $♦  rt.  %$< 

I-  9 . 81,  7 »9*  6j*6i. 

Vnde  iterum  infpicfo  pidhiram  lineae  D G.  J%,  1 o % — z o$%«  • 
Et  rccipiqprimo  r o %,id  eft  8 1 o.  Deinde  recipio  20$$,  id  eft, 

* 1 3 1 2 20. cui  ppono  fignu,/$,ut  docet  me  pidhira.fir  J%i  3 1 220* 
cui  praepono  1 0 zenfos  priores,i.8 1 o.interpofito  figno  — ,ut 
fic  flet  8 1 o — 1 3 1 z zo.  Et  fic  praepono  huic  toti,  tignum 

interpoffto  pun<flo,tunc  inueni  latus  pentagoni  circulo  inferi 
bendiiCuius  diameter  facit  3 6,  facere  hunc  numerum,  > 

Sequit 


Arithmeticas  Libs*  29+ 

Sequitur  tertius  circulus.coius  diameter  facit  48« 

Cum  igitur  pars  quarta  diametri,  tanquam  1 "K , faciat  r 2,  fic 
ftabit  inuentionis  huius  progreffio. 

°*  c*.  ffc 

*•  »**  <44*  1718»  107  3*» 

Praeteribo  igitur  mihi  (uolenti  habere  latus  pentagoni  interi* 
bendi  circulo, cuius  diameter  faciat  48  Mineam  d G.id  eft, 
V%.  10  i— 20  oVnde primo  recipio  10%,  i,  1440  .Deinde 
zoifc.  hoc  eft,  4 14710.  Et  fic  mox  habeo  latus  pentagoni  hoc; 
Vfc.  1440 — Vfc4i472o. 

fctffchaec  eadem  pidura^/%,  10  % — A* coaequatur  infinitis 
.pentagonorum  aequilaterorum  lateribus. 

Sed  & alium  ufurn  ufde. 

Proponitur  mihiifte  numerus.y^.^o  — petitur 
I me,  ut  o flendam  numerum  diametri  circuli  circumfcribcndi 
pentagono.cuius  latus  pentagonicum  habeat  numerum  prae* 
didum . Hic  ego  mox  praetentem  habeo  aequatione  ex  figura 
mea  inftrumentali,&abicg  haefitatione  aliqua  dico, 

Vfc.jofc — »0%%,  aequari -V%i6to. 

Item  quadratum  noui  quadrato  aequari,  ut 
lofc — io&%,buicpo — ^,6  io. 

D/uido  igitur  90 — y^i6io, per  io — x o (qui eft  numerus 
zenforum)  5C  facilis  eft  diuifio;  fic  enim  ftat. 

00 — J^XfSpo  (p. 

*o — J%?o 

Fac/t  igitur  1 ?.Vnde  nefacit  3. & eft  quarta  pars  diametri. 
Vnde  quater  3 faciunt  i2,inuentam  diametrum. 

Longum  nimis  eftet.iam  eodem  modo  dicere  deafijs  lineis, 
quo  de  linea  figurae  pofitaeinftrumentaIi,D  t,dixi,Tu  autem 

^liquasjtua  diligentia  exequere  Ac* 

DD  ij  Secunda 


• MlCHABlIf  STIFEL11 
V Secunda  figura  inftrumentalis..  "• 


Hacceft  figura  i^timiexempli,repraeientansquamlibetl/** 
neam  diuidendam  fecundum  proportione  habentem  medium  - 
& duo  extrema . Quamcuncg  enim  lineam  redam  proponas 
diuidendam,modo  prardido,tunc  aequabuntur  ei  figurationes 
lineae  a b ,Qi  operor  quemadmodum  circa  figuram  iuperiorem  ■ 

copiote: 


Arithmeticas  Liber  rn.  2$i 

copiofe  de  hac  tc docui*  Vt  flt linea, faciens  ioo.diuidcnda 
fecundum  proportionem  habentem  medium&  duo  extrema, 
tunc  recipio  hanc  progreflionem  fequentem  ,eo  quod  x?  fit 
quarta  pars  de  ioq» 

lf.  c«. 

(•  »y»  6x?4  ijdij**  390  6i?4 

Prafcribofcp  mihi  numerum  line*  a d hunc  , A 20  % — i 5^ 
Itacp  recipio  20  % j 25-  oo.cui  praepono  Rgnu  A.facit  J\  ixyoo. 
do*  autem  radices  faciunt  j-o;.  Sic  igiturinueni  portionem 
maiore  diuifionis  meae  efle  A 1 25-00 — 5-0 . Deinde  pr*fcribo 
mihi  alteram  partem  diuifionis  huius , iuxta  numerum  line* 
DB.huncuidelicef,  6iz — A 20 Faciunt  autem  6 iyo. 
i quibus  fubtraho  A 20%.  lofcjaciunt 125-00. 

Itacp  1 s 0 ■ — Ai  25-00  ,erit  portio  diuifionis  minor»  H*  autem 
portiones  du*  addit*  ad  fe,  faciunt  100. 

Hoc  exemplum  infirumentale  ideo  pofuf , qudd  uix  fit  ali# 
qua  propofitio  in  toto  tertiodecimo  Euclidis  &quartoded* 
mo  etiam,qu*  expreflifs  uerbis.non  requiratdiuifionem  line* 
fecundum  proportionem  habentem  medium  & duo  extrema» 

Sequitur  tertia  figura  inftrumentalis» 

FEft  & huius  line*  b c (qu*  in  fequenti  figura  patet)  fre# 
quens  mentio  in  libris  Euclidis  memoratis : ideo  eam  hoc  loco 
ponere  uolui», 

DD  iij  Sedi 


1 


, MrCHAEtll  STIVBXpH' 

-A. 


S<d  fufficiunt  ifla  quar  (uperiusdix/,  ut  afra  fira/fta  (Migm* 
LcAot  ex  ijspoffu  inuenirc. 

De 


Arithmeticas  Liber  rii.  *$* 

De  exemplis  regulae  Algcbrae  pertinentibus 
ad  caput  Textum  praeceptorum* 

Caput  x 1 1* 

Ncredibile  eft,quimlate  uagetur  fecundarunt 
radicum  ufus,quarum exempla,  ordo  Si  ratio  di« 
cendorum,nunc  requirit»  Sunt  autem  exempla 
huiufmodi.ordine  praeceptorum, ultima. Ea  uero 
quae  circa  illa  exepla  funt  dicenda, optime  doceri 
poflunt  fub  ipia  exemplorum  tradatione. 

Primum  exemplum  capitis  huius» 

SVnt  tres  lineae  rquarum  prima  & fecunda  continent  iuper 
fidem  quadrangulam  redangulam,  area  lua  240  facient^. 
Et  eadem  prima, & tertia, continent  quadrangulum  redangu* 
Ium  area  fua  660  faciens.  Secunda  uero  8i  tertia  continet  qua 
drangulum  redangulum/aciens  area  fua  1380, 

Quantum  fodt  harum  linearum  unaquarcgt' 

Prima  facit  1 a*.  Secunda  fadt  1 a.  Tertia  fadt  j.b£ 

Figura  exempli  huius. 

UA  »R 


»'A 


1 

f ^4-  0« 

«A  * V 

fA/ 

r • » 1 • . 1 

n ** 

j 

Notum 


Michaelis  S tifb  li  i 

Notum  eft  autetn.ut  fu  perflcie  quadrangula  rccSanguIa  ,6U 
uifa, per  duas  lineas, fcfcinterfecantcs  ad  angulos  redos, faciat 

?uatuor  partes  illius  diuifionis,  q ad  inuicc  lint  ^portionales. 

'acit  autem  fuperficies  quadrata  (quam  uides  contineri  fub  fe 
eunda)  i a *.Dicergo  nunc,  140  dant  660,  quantum  dat  1 a *. 
Facit  1380.  Multiplico  igitur 240  in  i38o.Et66omulriplico 
in  1 a *,facit  produdum  illud  660  A*.Et  ficaequantur  660  a * 
cum  331  zo  0.  Facit  igitur*  a*.  5-0 17* . Cuius  radix  quadrata 
facit»/*  j-o  1 7? .Et  tantum  fecit  1 a ,id  eft, linea  fecunda. 

Multiplico  iam  (pro  inuentione  prim*  line*  facientis 
fecundam  lineam, quae  iam  inuenta  eft, per  prfmam.f„/*5-o7  j-? 
multiplico  per  1 ^.feu  perV*  1 * .facit»/*  j-o  1 7?*.  & aequantur 
ei  140  ( uides  enim  fatis  ex  figura,  ut  1 2«  in  1 a,  faciat  240)« 
Diuide  igitur  240 , per  »/*  ro  17^,  tunc  inuenies  1 facere 
%/*i  1477.  & haec  eft  quantitas  primae  lineae. 

Deinde  uides  fuperficicm  660, contineri  fub  prima  di  tertia 
(ficutiup^rficiem,i  380  fub  fecunda  di  tertia  contineri  uides). 
Multiplico  igitur  eas  lineas  inter  fe,id  eft,»/*  1 i^ff  multiplico 
tfn  1 B;facitv*i  1457  b * aequatam  660,  Diuido  igitur  66o(.i, 
*/*43j-6oo) pery*i»477  (tanquam  pernumerum  radicum) 
tunc  inuenio  1 B (id  eft, lineam  tertiam)  facere»/*  37 9T* 
Probatio  exempli 

prima,  fecunda,  tertia. 

W7Y 

Vide  an  prima  in  fecundam  faciat  z4o,feu»%76oo.Et  prima 
in  tertiam  faciat  660, Et  fecunda  in  tertiam  faciat  1380, 
Exemplum  fecundum  capitis  huius. 

E tcft  Chriflophorifub  mutata  tamen  pronunciatione . 

E St  chorda  extenta  fupra  monochordum,  inaequaliter  di* 
uifa  per  ponticulum,ita  ut  partes  chordae  illius  fic  diuifae, 
reddant  ad  inufcem  muticum  quoddam  interuallQ.  Moueatur 
autem  poftea  pontiadusediuidens  chordam  illam)  ueriuspor 
tionem  minorem  ;eacg  motione  abfeindat  partem  quartam 

minoris 


Arithmeticae  Libbr  it  i; 

minoris  portloni^atcp  maior  portio  ficadauda,  reddat  dia- 
paion  cum  diapente,ad  portionem  minorem.  Moueatur  ucro 
ponticulus  iterum,uerfus  portione  maiorem,  ita  utabfcindat 
partem  tertiam  deaudaufta  portione priori,&  tdnc  reddat  al- 
tera portionum  ad  alteram  unifonum. 

Quae  (lio  eft,  quod  fuerit  iuuellum  illud  muficum, 
quod  portiones  ad  inuicem  reddebant  antequim 
primo  ponticulus  moueretur. 

Hoc  exemplum  eft  Chriftophori  37,  pro  prima  fua  regula 
politum. Quod  ideo  repeto,utex  collatione  meae  pronunciati- 
onis,cum  ea  pronuciatione  quam  Chriftophorus  ponit, difeas 
huius  formae  exempla  ponere  quantum  libuerit. 

Facit  portio  maior  chordae  1 
Facit  portio  minor  chordae  1 A. 

Quia  uero  ex  prima  motione  ponticuli  abfeinditur  pars 
quarta  de  minore  portione,quae  accedit  ad  maiorem  portio* 
nem, ideo  transfero  * a de  1 a ad  1 di  fic  faciet  portio  maior 
'A.Portio  uero  minor  retinet  folumodo  £ A.Etlic  maior 
portio  ad  minore  > refonatdiapaion  cum  diapente.i.facit  pro- 
portionem triplam.Triplabisigrtur  |>i,tunc  habebis  aequati* 
onem,qua  uel  radices  primaspoflis  refoluere  infecundas,  uel 
fecundas  in  primas.  Solemus  autem  nos  refoluere  fecundas  in 
primas,nifi  commoditas  aliud  iudicct.  Cum  igitur  (itaequatio 
inter  ' A & | A , & denominatores  fint  aequales  inter  fe. 

ideo  erunt  etiam  numeratores  inter  fe  aequati . Ideotg  Terjcio 
denominatores , & referuo  aequationem  inter  nominatores* 
Qua  redufta  ad  fimplicia,habcbisaequatione  inter  42«,  & 8 A* 
V nde  1 a facit  k ^.Ergo  i facit  x A.Et  fic  eft  proportio  du* 
pia  ne,  ad  1 A,&eftinuentum,^  portio  maior  diapafon  refo* 
naucrit  fupra  minorem  portionem,antequam  ponticulus  mo- 
ueretur pri rao.  Sed  probemus. 

Ponamus  portionem  maiorem  facere  »4, & minorem  1 
fle  fit  diapalon.  Dum  autem  transfero  partem  quartam  duo* 

EE  denarij 


MicHAfltu  Srrtziri 

deflari]  ad  14, tunc  maior  portio  faciet  27,  & ex  altera  parte 
remanent  ^.Erit  igitur  tunc  inter  porriones,diapaibn  cum  dia 
pente;cam,pportioiam  iit  tripla  inter  portiones/ub  qua  pro- 
portione confidit  diapafon  cum  diapente,  Podea  transfero 
(iuxta  exempli  prononciationem  ) partem  tertiam  de  maiore 
portione  ad  minorem,  id  cd,transfero  9 de  27  ad  p.tunc  utro- 
biq;  fiunt  1 8,Ed  ergo  unifonus  fatfus  per  fecundam  ponticuli 

motionem. 

: ' 

Exemplum  tertium  capitis  huius/umptum 
iuxta  cap.  ix  primi  libri  Almag.  Ptolemaei, 

Sint  duae  lineae  defeendentes  ab  angulo  aliquo,  quarum  Ion 
gior  faciat  3900.  & minor  earu  faciat  3380.  Refledaturfcp 
altera  in  alteram,faciat'cg  reflexa  maioris  3 3 60,  & reflexa  mi* 
noris faciat  29 1 2.  Diuidatbg  reflexa  maioris,defcendemenr 
minore  fic, ut  fuperior  portio  defcedentis  minoris  faciat  1980, 
& inferior  portio  faciat  1400.Ec  reflexa  minoris  defcendentifj 
diuidat  defeendentem  maiorem  f?c,ut  fuperior  portioilliusde 
kendentis  faciat  1 7 1 6t8C  inferior  portio  faciat  2 1 84. 

Quaedio  ed  dc  partibus  redexarum}quae  fiunt  ex  inter - 
iedione  earum, quanta  unaquaeqj  earum  fir, 
Propoflt/onem  operationis  huiusCquae  perfpicue  patet  ir» 
fequenti  figura ) ponit  Ioannes  de  monte  regio  ex  Ptolemaeo: 
quam  ego  mihi  fic  formaui. 

r Si  proportio  quam  facit  una  defcendentium,fua  portione 
Inferiore,  ad  fuam  portionem  fuperiorem,  fubtrahatur  i pro* 
portione,  quam  eiufdem  defcedentis  reflexa  fadt,fua  parte  in- 
* feriore,  ad  partem  fuam  fuperiorem , relinquit  proportionem, 
quam  facit  reliqua  defeendens  integra,  ad  portionem  fuam 
Inferiorem  • 

Iuxta  hanc  propofltonem  fic  dabit  aequatio  una» 

3380.  5767760 — 17161$ 


Ia 


1409» 


t ^ 


Arithmeticas  Liber  iii#  i$4 


Tigtunmpi 
bniitf  tortu* 


.1 


Io  minoribus  uero  terminis  Oc  flat  aequatio# 

i6p4  36960 — ni« 

70.  142« 

Ea  uero  reduda  ad  aequationem  integrorum  Oc  liabit# 

Vt  t j«  34  flnt  «qnaueij-8  7 too — 770 1«. 

EE  ij  Deinde 


V 


x 


Digiti^  by  Google 

a 


MlCHAELlS  STlFELir 


Deinde  reduefla  ad  ffmplicia  fic  dabit: 

Vt  3 13624  fint  aequatae  15-87100. 

Facit  igitur  1 1«,,  825-.  Et  fic  inuentaefunt  lineae  DCpor 
tiones.Nam  o f facit  Siy^Et  fc facit  25-3 5-, 

Reflat  iam  inuentio  portionum  reflexae  minoris,  cuius  in* 
uentionis  aequatio  fic  flat. 

>980  a.  3900, 

4076800 1400  A#  2184« 

Ea  in  minoribus  fic  ftar. 


99  A+  25~. 

203840  — 70  a,  14, 

Ad  integra  uero  redudta  fic  flat, 
1386  a aequata  5-096000—  175-0  Jl, 


Redu&a  uero  aequatione  ad  fimplida,  aequabuntur 

3136A  cum  5-096000,.  Facit  ia.  1625-,. 
Et  fic  etiam  funt  inuentac  portioneslineaereflexae  B E* 
Facit  enim  b f.  i 625-.  Et  f b facit  1 287,. 

FProba  boeper  inuerfionem  hoc  modo. 


Sint  duae  lineae  defeendentes  ab  angulo  aliquo,  quarum  lon- 
gior faciat  39oo,&  minor  earum  faciat  3380,  refle<flatur'c^ 
altera  in  alteram,  faciafcp  reflexa  maioris  3 3 60,  & reflexa  mi- 
noris faciat  29 1 2.  Diufdanrtg  reflexae  fe  mutuo  in  pundo  in- 
terfedionis.ita  ut  portio  inferior  reflexae  maioris,faciat  25-35-, 
& fuperior  8 2 5 portio  inferior  reflexae  minoris,faciat  1625-,. 
fiiperior  uero  portio  eius  faciat  1 287,. 

Quaeflio  iam  efl.de  partibus  defeendentium, quanta  uideli* 
cetunaquarep  earum  fit.. 

Sic  autem  habet  huius  operationispropofitio, 

FSi  proportio  quam  facit  una  defeendentium  integra  ad 
partem  fiiam  fuperiorc.fubtra liatur  i proportione  quam  eiufc 
dem  defeendentis  reflexa  tota  facit  ad  portionem  fuam  fuperi 

orem» 


X 


Arithmeticas  Liber  m* 

orem,  tunc  relinquitur  proportio  alterius  reflexae,  quam  Ipfa 
tota  facit  ad  partem  fuam  inferiorem, 

Obferuabis  aute,  quod  dum  proportio  dicitur  proportioni 
efle  aquata.ut  hoc  non  aliter  intelligas,quim  f?  minutia  dice- 
retur aequata  minutiae : id  quod  fignificatum  efle  uolui  in  ope- 
rationibus fuperioribus  exepli  huius,ubi  proportiones  aqua- 
tas ad  inuicem,(?gnaui  uirgula,ac  fl  eflent  minutia.  Non  aute 
opus  eft,ut  operationes  hoc  loco  repetam.Nam  propofitio  itu 
dicat  tibi  proportionem  fubtrahendam,  atep  etiam  eam  i qua 
debet  fieri  fubtratfio;  Et  fadla  fubtradione,ofl:endit  tibi  etiam 
proportionem  illam, cui  tua  relida  proportio  aquetur . Quid 
uis  amplius  < 

Sed  quia  deicedentes  prioris  exempli  faciunt  angulum  acu 
tum,uolo  tibi  fuperaddereduo  exempla'  alia  rationalium  nu* 
merorum : quorum  unum  faciat  angulumobtuiuni  per  driccn 
dentes,  & alterum  faciat  angulum  rertura* 


Exemplum  anguli  obtufi» 

-A. 


. MlCHABtlS  STIFBLI I 


AD»  i 6 1 8* 

A E<  444*  * 1 

DB.  i07»# 

E c.  3 z J-  6* 

AB»  3700» 

AC»  3 7 0 0» 

D F»  3 l f» 

1F,  IJ-7  3* 

FC,  4 1 x j-. 

FB.  1 » 7 

D C,  4440» 

B B«  3848« 

Sequentis  exempli  defcendentea  linear,defcendunt  ab  angulo  redo» 


AD.  9 4 y 0* 

AB»  ? ? 0 0« 

^ D B.  7 3 5 0« 

B C»  z 7 0 0,- 

AB»  1 6 8 OO» 

A C.  1 t 600* 

B F*  l j-  z 8 8» 

D F.  97  O Z, 

F E.  4 z 1 z» 

1 F C»  604 8« 

B B.  1 ? J 0 0« 

D C*  1 J'75’0# 

Ex  calculatione  aut  facile  fcics  angulum  exempli  huius  ede 
redum. Scilicet  quadratum  D C arquale  eft  quadratis  A C,Sd 
• • a D«Si  autem  eflet  m/nus,tunc  angulus  eiTet  acutus»  Et  fi  ctftt 
maius, tunc  angulus  eiTet  obtufus. 

Exemplum 


Arithmeticas  Liber  iit* 

Exemplum  quartum  capitis  huius>&  eft  Adami. 

TRcs  fune  foeti  >quorum  primus  dicit  ad  fecundum,Si  mihi 
dares  dimidiu  fummar  tuar, tunc  haberem  i oo  f^.Et  fecun 
dus  dicit  ad  tertium ; Si  mihi  dares  fummar  tuar  parte  tertiam, 
tunc;  haberem  i oo  flo.  Et  tertius  ad  primum  dicit : Si  tu  mihi 
dares  fumma;  tuar  partem  quartam.tunc  haberem  i oo 
Quacftio  eft,quantum  quifep  eorum  habeat* 

Primus  habet  i 2«,  florenorum. 

Secundus  habet  i a florenorum* 
Tertiushabet  i B florenorum.  , 

Quod  autem  primus  petit  i fecundo  dimidium  fummar, 
quam  ipie  fecundus  habet,  ut  ipie  primus  habeat  loof^,  fatis 
mihi  indicat,arquationemefTeinter  i ^-f-iAjSi  i oo  florenos. 
Sic  aut  ioleo  ponere  frada  huiufmodi,  ,Aacquaratioofl% 

Ergo  zze-f-  i Aarquantur  zoof^.Et  i a arquat  zoof^ — zzc. 
Facit  ergo  i a,i  oo  ^ — z z^.id  quod  mihi  referuoloco  uniusA* 
Habuit  igitur  primus  i z*  florenorum. 

Et  fecundus  zoo  — Zlft. 

Et  tertius  i b flor. 

Petit  autem  fecundus  tertiam  partem  fummar  tertrj  ibcij.ut 
ficipfefecudus habeat  loof^.Itaqjiam  zoojt’ — zz^-f- |b, 
arqua ntuf  i oo  florenis.Sic  ego  foleo  ponere  huiufmodi  fradi 
ones,  ut  denominator  refpiciat  totum  numeratorem,  ut 
tfoo~/ ^"^'Barquata  100.  Aequa  nturftaqj  600  — 6iz- f-  1 B 
cum  300.  Atcphacatquatione  uides fatis, ut  1 b refoluatur in 
6 24 — 300.  Et  fle  primus  habuit  1 ^ florenorum. 

Secundus  zoo  fc — zz*,. 

Tertius^zc— 300^. 

Petit  autem  tertius  partem  quartam  fummar,  quam  habet 
primus,ut  fle  ipie  rertius  etiam  habeat  centum  florenos. 
Ita  e#  6 5^-300  arquant  1 00.  Item 1X00  arquant  1 ooff. 
Et  fle  zy  z — 1 zoo  sequantur 400, Item  zj-  assequatur  1 600  f£* 
. Facit  1 24,64 

. Habuit 


Michaelis  Stifelii 

Habuit  igitur  primus  i ^,id  eft,  64  Secundus  habuit; 
aoo — x l^.i. 7 1 ft*  Et  tertius  habuit  6 — 3 oo.hoc  cft,84 
Quod  facile  poteris  probare* 

TPonit  Ad  a mus  QC  alia  pulchra  exempla  pro  regula  Falfl, 
quae  cum  fimiles  habeant  operationes  huic  operationi  propo* 
firac  iam  oftcn£c,idco  ea  prartermitto.Habct  etia  Chriftopho 
rus  egregiam  copiam  huiufmodi  exemplorum, quae  cogor  ob- 
tnittere  penuria  temporis:  deinde  decer,ut  rem  hanc  contraha, 
ita  ut  caput  hoc  fuperiora  non  excedat, nimia  prolixitate. 
Vice  tamen  omniu  talium  exemplojt, adhuc  unu  fuperaddam. 
Exemplum  quintum  capitis  huius,in  quo  for 
mando  imitatus  fum  Chriftophorum, talia  ex* 
empla  ponentem  multa. 

TRes  focrj  fant , quorum  primus  dicit  ad  reliquos : Si  uos 
adhuc  haberetis  1 00  tunc  fumma  florenorum  ueftroru 
effet  ad  fummam  meam  dupla . Secundus  dicit  ad  reliquos:  Si 
uos  haberetis  adhuc  100  f^tunc  fumma  ueft ra  eflet  ad  meam 
tripla. Tertius  dicit  adre!iquos:Si  adhuc  haberetis  1 00  f^.tunc 
fumma  ueftra  quadrupla  eflet  ad  fummam  meam» 

Quarftio  eft, quantum  quifq$  eorum  habeat* 

Primus  habet  j iz  florenorum. 

Et  reliqui  habent  1 a florenorum  ftinuf. 

Dicit  autem  primus,  quod  fumma  reliquorum  dupla  eflet 
ad  fummam  fuam.fi  adhuc  haberent  1 00  f^.Ergo  1 a-*-  ioof£ 
aequantur  x iz  florenorum.  Sequitur  ulterius,qudd  1 a faciat 
xxz — 1 oo.Itaq;  fecundus  & tertius  fimul,  habent  — 100«. 
Quibus  florenis  addita  fumma  primi,fadt  3 xz — 100  ft.&cft 
fumma  omnium, quod  obleruabis. 

Secudus  dicit,  iumma  primi  & tertij  ( adaurta  1 00  florenis) 
futuram  cfie  triplam  ad  fuam . Pono  igitur  fecundo  foc/o  1 B» 
tunc  reliqui  duo  habent  fummam  omnium,minus  ca.quam  fc* 
eundus  haber.hoc eft, reliqui  habet  hanc  fumma, 3 xz-i  00- 1 B* 
Cum  autem  fecundus  dicat  de  fumma  hac  reliquorum,q>  eflet 

eripit 


Arithmeticae  Li.brr  m.  2p? 

tripla  adfummam  fuam,fi  ipfiadjiuc  haberent-ioo  ft.Sequitui? 
crgo.qudd  3 b aequentur  3 zc — 1 b.  Et  per  redudioncm,  3.^5 
aequantur  4 B.FacU  igitur  1 B.i^Cum  igitur  primus  habeat 
1 , habet  fecundus  ^e.  ' 1 

Tertius  dicit  ad  reliquos  duos, Si  haberetis  100  .tunciuBB 
ma  ueftra  ad  meam  efletquadrupla.  Pono  /git  pro  tertij  fuma 
1 c.tunc  reliqui  habent  3 a*—  looft — 1 c.  Aequantur  igitur 
3 — 1 c cum  4 C.  Et  facit  1 c (ut  uidesj  jr\ 

At qp  ita  Primus  habet  1 zc. 

Secundus  habet  | ac. 

Tertiusuerohabet}ie«  ?. 

Et  hae  tres  fummaeiimul  fumptae,  faciunt  1 £*Jc,fcafZze, 
Et  cum  fit  fummaomnfUjfitqj  etiam  3 zc—i  00  iuma  omnium, 
fatisconftateasinter  feaequari.  Itacg  perredudiones^jH 
•aequantur  zo 00. Facit  1 ac.  13-3  73. 

Vnde  primus  habet  15-371,  - : 

Secundus  habet  1 15-75, 

Tertiusbabet^zjl, 

TEx  fila  operatione  facile  formabis  reliqua  exempla 
fimilia.quorum  tibi  uariationem  breuiter  o flendam. 

TRcs  focij  funt.  Quorum  primus  dicit  ad  reliquos : Si  ego 
adhuc  haberem  100  fotunc  fumma  mea  eiTet  aequalis  fum. 
mae  ueftrae.  Secundus  dicit  ad  reliquos;  Si  ego  adhuc  haberem 
1 00  tunc  eflet  mea  fumma, ad  ueftranyiupla.Tertius  dicit . 

ad  reliquos : Etego  ii  haberem  100  haberem  fummamquat 
ad  ueflram  comparata, cifet  tripla. 

Summa  primi  97} 

Summa  fecundi  4 rnfc 
Summa  tertn 

Aliud.  ... 

rSunt tres  focrj , quorum  primusdicit  ad  reliquos ; Si  uoa 
«e  fumma  ueftra  remoucritis  100  f£,  tunc  fumma  mea  eiTet- 

FF  fum  mae 


Michabiis  St  it  e iii 

fummae  ueftrat  aequalis  • Secundus  dicit  adreliquos  :Sf  uos  de  , 
fumma  ueftra  remoneretis  i oo  ff.tunc  fuma  mea  eflet  adfum*r 
mam  ueftram  dupla.  Tertius  dicit  ad  reliquos,Si  uos  de  fuma, 
florenoru  quam  habetis,remoueritis  i oo  jt  > tunc  lumma  mea 
eflet  ad  fummam  ueftram  tripla. 

Quaeftio  cft.quantum  quiicjj  eorum  habeat* 
Primushabetj-4-n 
Secundus  uero  habet  7 K* 

Tertius  autem  8 1 7?  ft. 

Aliud. 

FTres  focij  funt, quorum  primus  dicit  ad  reliquos : Si  ege 
de  fumma  mea  remonerem  1 0 o ft,  tunc  fumma  ueftra  eflet  ad 
fummam  meam  quadrupla.Secundus  dicit  ad  re!iquos:Si  ego 
de  fumma  mea  remouere  1 00  f^,  tunc  fumma  ueftra  ad  meam 
eflet  tripla. Tertius  dicit  ad  reliquos : Et  fi  ego  de  fumma  mea 
fcmoucrem  1 00  .tunc  fumma  ueftra  eflet  ad  meam  dupla* 
Primus  habet  »847!  R*  _ 

Secundus  uero  habet  3 3 o 7j 

T crtius  habet  4 °7t? 

f Aliud.  ‘ 

FTres  fbdj  funt,quorfi  primus  dicit  ad  reliquos.  Si  darem 
nobis  100  tunc  fumma  ueftra  ad  meam  fieret  quintupla. 
Secundus  dicit  ad  reliquos, Si  ego  uobis  dare  1 00  ft.tunc  fuma 
ueftra  ad  meam  eflet  fextupla  .Tertius  dicit  ad  reliquos,Et  ego 
fi  uobis  darem  1 00  tunc  fumma  ueftra  ad  fummam  meam 

fieret  feptupla*  Primus  habet  1887!  ft» 

Secundus  i7Ti - 
Tertiushabet  i66T§ft* 

Aliud. 

FTres  focij  funt,quorum  primus  dicit  ad  reliouos,  Si  dare 
tis  mihi  1 00  fttunc  fumma  mea  eflet  fummac  ueftrae  aqualis; 
Secundus  dicit  ad  re!iquos,Si  daretis  mihi  100  tunc  fumma 

mea  eflet  ad  fumo#  ueftram  dupla  .Tertius  dicit  ad  r eliquos : 


I 


1 


Arithmeticae  Libbh  iiu  2 

Sidaretfsmihi  i ooft  tunciumma  meaeffetad  (intimam  uc* 
' Aram  tripla.  Primus  habet  6377  f£» 

Secundus  1 1877  flore. 

Tatius  oao  habet  1 4*77  <?. 

Aliud. 

TTres  focij  funt, quorum  primus  dicit  ad  reliquos»  Si  dare 
t/s  mihidimidium  fummae  ueftrar,tunc  habaem  1 00  florenos. 
Secundus  dicit  ad  reliquos,Si  daretis  mihi  tertiam  partem  pe* 
cuniarueftrar,tunchaberem  i oo  ft%  Tertius  dicit  ad  reliquos, 

' Si  daretis  mihi  fumae  ucftrar  partem  quarta,tunc  habere  10  a 
Summa  primi  l977 
Summa  fecundi  64^^. 

Summa  tertii  767%  k- 
Aliud. 

T Sunt  tres  forij, quorum  primus  dic/f  ad  reliquos»  Si  uob ia 
darem  fuminz  meae dimidium,tuc  uos  haberetis  i oo  florenos. 
Secundus  dicit  ad  reliquos:  Si  uobis  darem  parte  tertiam  ifuin 
mxmea^tunc haberetis  100  Tertiusdicitad  reIiquos:Si 

dare  uobis  parte  quarta  fumae  meae, tunc  uos  haberetis  1 oo 
Primus  habet 
Secundus  39 

..Tatias  uero  habet  34  fr 

Et  fle  de  Bmilibus  exemplis  alrjs  produces  debitas  fiimmas. 
Exemplum  capitis  huius  foetum. 

Eteft  Cbrifto.175). 

T Res  mercatores  focietare  faciat.  Primusimponit  looft. 

Secundus  imponit  z 00  fc . Et  tertiusimponit  300  flore* 
& manent  in  focietate  01a  per  1 2 menf.  Sed  poft  menfes  duos» 
^iponit  primusaliquot  libras  de  pipere, cuius  3 ISualent  1 
Et  poft  menfes  quatuor  imponit  fecundus  roaflfam  argenti» 
cuius  1 marca  ualef  7 flo.Peradis  aut  duodecim  mentibus  prae 
didis.rcc/pir  primus  5-0  ff  de  lucro : fecundus  recipit  1 1 o flor, 
tertius  recipit  90  florenos» 

/ FF  i)  Quacftio 


r ' MrCHAE  LI S STIFBtll 

Quaeftfoeft  de  primo,  uidelicet  quot  /pfe  libras  de  pipere 
impofuerit.Et  de  fecundo,  quot  ille  marcas  argeti  ionpofuetit*. 

Facit  primo  i ie  librarum. 

Et  fecundo  i a marcarum 

Cum  aute  tres  librat  faciant  i faciet  i ^librarum  j^flo- 
renorum.Etftetitcumj^fif  infocietate  i o menf.  ( poft  duo* 
enim  menfes  impofuit  piper  & c)  Facit  fo2e  ieu  37  acft.Et  cum 
1 00  ftetit  1 2 menf.  facit  1 200. 

Fadt  ergo  primo  1 100  -f-  3 

'Sic  (ut  de  fecundo  dicam)  cum  1 marca  faciat  7 faciet  1 a 
marcarum  7 a florenorum.  Cum  quibus  ftetit  in  focietate  illa 
per  8 menfes  ( quia  poft  qaatuor  menfes  impofuitargentum) 
facit  s 6 A Et  cum  200  ftetit  per  1 2 menfes. facit  2400  flY 
Sumaergo  fumajt  fecudi  facitinfocietate  illa  2400-f- j-6  a f(,. 

Tertius  uero  ftetit  in  focietate  illa  cum  300  ff,  per  1 2 menf». 
facit  3 60  in  focietate  illa*. 

Vnde  fic  ftat  exemplum. 

‘ j-t»L 
1 10 
90 

Satis  uides,  ut diuiibrf«i.7zoo-f-  3 3-6  A.)fa<ftusfit 

ex  aggregatione  fecundorum  terminorum  regulae  DeTrtV 
Et  tertius  terminus,id  eft  2jo.fa<ftus  fitex  aggregatione  quae 
torum  terminorum, qui  lucrum  definiunto 

Fit  autem  refolutio  numerorum  Cofficorum,  in  numeros 
abfolutos,ex  infimoordinc.Vt  7200-1-3^-24 -4-5-6  a dant 
mihi  3 600  ffj,  quantum  dant  mihi  2 5-0.  facit  90^.  Multiplico 
igitur  extremos  terminos  inter  fe, facit  hunenumeru  CQfftcum 
6480  00  -f— 3 00  24-4-5-040  A.Et  multiplico  etiam  medios  inter 
fe.fatit  multiplicatio  900000.  Et  fic  habes  aequationem  qua 
poftis  refbluere  1 A in  numep<  radicum. Vnde  facfta  redudione 
inuenies  1 Afacere5-o  — ^^a.Quare  y^Afaciet  2800-3714*. 
Et  fic  ex  diuifore  fiunt  10009«. 

latu» 


• 1 

1 200-4-3  7-24 

7ioo-f-3  7^-f— 

2400  -j-  ?6a 
3600 

iyo 

1 


Arithmeticas  Liber  iit,  ipp 

Iatn  igitur  reiblue  1 1*  in  numerum  abfolutum,ex  fupremo 
ordine, fic  uidelicet: 

loooodant  mihi  12004-3  f2*.ergoij-o  dant  mihi  j-o. 

Fac  ut  prius,id  eft.mulciplica  extremos  inter  fe.  Deinde  multi- 
plica medios  interfe.Etfic  inueniesarquationem  inter  j-ooooo 
300000-1-833  f 2*.  Etperredudiortem2oooooarquantur 
83  Facit  1 Je.240.Et  cum  1 a facfet(utfuperiusuidimus) 
yo  — .*  fequitur  quod  1 a faciat  3 

Primus  igitur  poft  duos  menfcs  iippofuit  240  hb.piperis. 
Secundus  uero  poft4tnenfcs  impofuit  3 mare,  argenti. 

Exemplum  capitis  huius  feptimum. 
EteftChriftophori  182. 

TRm  mercato  res  focietatem  faciunt.  Primus  imponit  3 f 
ultra  fummam  quam  fecundus  imponit . Sumrfia  autem 
florenorum  impolitorum  i fecundo  & tertio, facit  84.  Recipit 
autem  tertiU9  pro  parte  lucri  fui  2 1 fr.  Lucrum  uero  totale  fa- 
cit 66  florenos.  Quatftio  eftquantum  quilibet  fingu- 
lariter  impofuerit,&  quantum  primus  receperit  de  lucro, quan 
tumcg  fecundus  receperit.. 

Exemplum  Pcftat.. 

|2*-f-3r  IA’ 

f ip-f — f 5«.  1 66  ib 

84 — 1 24  , u 

Ex  infimo  ordine  refoluitur  1 ic.  Scilicet  119-j-i  ii  multi* 
plicantur  per  2 r,ttyic  hoc  quod  fir.acquatur  illi  produdo.quod 
ex  84 — 1 j&  per  66  multiplicatis  fft.Vt44pp-f-  2 1 ^ jequant. 
£J44—6<S^..  Facit  ne,  3 jv 


70 

1 ^ 

3r 

66 

p 

4?  • • 

. Eadtfeltur  ia, 30, 

Et  l B fac<t 

- 

FF 

I A 

I B 

II 


Exemi 


.T 


Michablis  Stipelii 

Exemplum  odauuro  capitis  huius* 
Et  eft  Chriftophori  1 8 1 • 


T Res  mercatores  Imponunt  385-  flor,  lucrantur^  «5*4  ft*. 

Lucrum  autem  fic  diuidunt.ut  pars  tertia  Iucri,quod  reci< 
pit  primus,(it  aequalis  parti  quartae  Iucri,quod  recipit  fecudus* 
Quoties  autem  primus  recipit  ik  ft.toties  tertius  redpit  7 flo* 

Quaeft  io  eft, quantum  quilibet  receperit» 

& quantum  quilibet  impofuerit* 

Sic  autem  ftat  exemplum* 


I 2$ 

I A 
t B 


0-4 


fC 
l D 
I E 


Reiotuitur  autem  1 D in  i } C C eo  quod  pars  tertia  de  1 efle 
aequalis  parti  quartae  de  1 D).Sic  1 Erefoluiturin  lfc.Cumcm 
primus  recipiat  a£,dum  tertius  recipit  7,  necefie  eft  tx  ex  mul 
tiplicatioqe  tali  bac  in  cruce  flat  aequatio  produdorum. 


7— 

Vnde  fle  amodo  ftabit  exemplum  Sf 
> 1 2e 

$8f  - * A «J4 

* I B 

Vnde  5 "77  c aequantur  15-4  :ed  qudd  numerus  ille  /3-4  colligat 
(ut  fit  in  focietatibus)  ex  terminis  quartis.  Facit  ergo  1 c,  jo. 

Vnde  amodo  Gc  ftat  figura  exempli» 


iguratum. 

Ise 


3*1 


12$ 

IA 
I B 


»3*4 


3® 

4® 

84 


Videbis  igitur  1 2$  facere  77, 
Et  1 a facere  100»  . * 

Et  1 B facere  uidebis»  10* 


Exemplum 


Arithmeticae  Liber  ii*,  300 

Exemplum  nonum  capitis  huius* 

Et  eft  Imitatio  exempli  Chriftophori  1 1 2* 

TRes  fhnt  focn , quorum  quilibet  fuam  fummam  floreno* 
rum  habet. E t primus  de  (limma  fua  duplat  luminas  duo 
rum  reliquorum . Idem  poftea  facit  (ecundus.  Facit  & tertius 
poftea  idem.  Quo  fado.habet  quilibet  eorum  248 
Quae  Ilio  eft  quot  flo»  quilibet  eorum  primum  habuerit» 
Summa  omnium  1 c,  • 

Primus  habuit  1 >e»  , 

Secundus  habuit  ia*  f 

Tertius  habuit  ib.  v 
Fadt  autem  1 b.  i c — 1 3e—  1 a* 

Poft  primi  foctj  dona.adquirit 
Secundus  2 A» 

TertiusiC — 22^—2  a*  ► 

Primus  referuatx  oe — 1 C* 

Poft  fecundi  iocij  donationem.adquirit 

Primus  4^ — iC. 

Tcrtius4C — 42$, — 4 A» 

Secundus  referuat  4 a — 1 C. 

Poft  certi)  (ocii  donationem,acquirit 

Primus8  2e— 4C.  * " * 

Secundus  8 a — 2C.  * 

Tertius  referuat  7 C— 8 2^ — 8 a, 
Ettflaetrespoftremaelumae.interfe  funt  aequatae.  Nam  luxta 
pronunciationem  exempli, facit  quaelibet  earum  248  fc.  Et  fic 
fumma  omnium  facit  744  ^.  Et  tantum  facit  1 C.  lta<$ 
Primus  habet  8 1«, — 297 6, 

Secundus  habet  8 a — 1488» 

Cum  igitur  duae  fumma:  hae  (in  t inter  fe  arquatae,lnuen(es  1 a 
facere  i2e — is  6, 

Tertius  habet  6696 — 1 6 2$,. 

Et  quia  haec  titricg  fuperiorum  duorum  eft  aequalis,uidelicet 
illi  82^—  a?7tf,inuenies  1 ^facete  40),  Itacp 


* , r.  e 


Michablis  Stifelii  P> 

* . • . V T - •* 

Itacp  Primushabuft40)f^. 

Secundus  habuit  z i 7 ft?. 

Ternus  habuit  »z4f^.  ••  , r 

Quod  probare  poteris  iuxta  prohunciationem  8<c*.  f 

Exemplum  capitis  huius  decimum;  "* 

E St  quadrangulum  retftangulum  contentum  fub  lateribus; 

, quorum  unum  facit  1 4 fua  longitudine,  &atreru  facit  1 z. 
Trahitur  autem  i latere  maiore  orthogonaIis,in  oppofirum  Ia* 
tus, ita  ut  quadrangulumillud  diuida  tur  in  duo  quadrangula, 
quorum  diametri  ambae  fimul  fumptae,fint  ad  latus  maius,uue 
gri  quadranguli, duplae. 

Quaeftio  eft  de  lateribus  quadrangulorum 
partialiumjquantum  (k  unuraquodcp. 

\ A 


Quia  quadratum  lineae  AB  aequale  eft  duobus  quadratis 
bc&aC,  ideo  facit  1 fc-f- 144,6^  huic  aequatur  1 a %,ut  fatis  ex 
figura  uides.  Simili  ratione  340  — zS  zc  -f-  1 % aequantur 
784 — r^A-f- 1 A i,  cum uterc^  numerorS  coftfcorum  referat 
quadratum  lineae  a E>, Reduc  igitur  aequationem  illam,ut  r a * 

maneat 


Arithmeticae  Liber  i i i.  jof 

maneat  aequatum  reliquis  particulis  aequationis  huius.Scilfcet 
i a % aequatur  $6  a 4—  i% — 28^ — 444.Etquiafuperius  ia% 
aequabatur  cum  1%-}-  i44,ideo  relinquitur  1 fc  4- 144  aquari 
f6A-t-i?f— 2 8a<i— 444.  Et  hac  aequatione  reduda  inue- 
nics  j-6  Atcquari  28*4— 5-88. Quare  1 a facit 
Vel  ita  operare  pro  refolutione  1 A,ut  uidcliccc  aquatio  ca 

datfuper  lineam  a C, quali  a c n5efletnota.  Scilicet  t a * , * 

aequa  f huic  coflico  numero  j-  8 8 — j-6a4-ia%4-282*_  , * 

Facit  ia  (ut  prius)' 11  . *•. 

Sicergo  ftabit  amodo  figura  exempli,  ut  pro  ia,  ponatur 
ad  lineam  a b numerus  radicum,  in  quem  refoluitur  ia  Fr  fir 
linea  a d recipithunc  numerum * r^&c. 

Vel  lic  operare. 

Cum  quadratum  a b faciat  1 3*4- 1 44,fequitur  qudd  r a fecit 
'44-  Sic  cu  quadrata  lineae  a d faciat  540  *8*4- 1 1 ' 
lequitur  lineam  ipfam  ad  facere/*^*—  282*4-  ^.UaqJ 

A.340—  28  *-f- 1 ^.4,- .*/%.»  fc-f-i  144  aequatur  28  :ut  habet 
^nunciatio.Quaregredudioneaeqtionis  28 — 1^4.  f44 
(id  eft,Iinea ia  d)  aequabitur  ^.540-23*4-  1 fc.ideft.idem 
aequatur  ubtjpfi , quare  quadratu  aequabitur  quadrato.  Scilicet 
Ho-^28*>4-,s  aequat  51284-1  ,%-V%3 , 36*4-45- »r 84. 

Keduc  aequationem , tunc  y88  -f-  28  * uidebis  aquari 
Y*  * 1 3 6 J-f-4r » r84.Et  quadratu  unius  aequabitur  quadrato 
alterius : fcz  3 136*4-43-  15-84 aequantor  343-7444.  3 2028  oe 
4-784%(tantu  enim  facit  5-884- 28*  in  fe).  Vnde  x quatione 
hac  reduda,  inuenies  tandem  1 % aequari  145«, — 45- , Et  faciet 
radix  aequationis  huius  minor  j*. 

FStudiofe  uero  uolui  exempli  huius  operationes  difficilio- 
res ponere,ut  uarqs  exemplis  uarieeatem  miram  operarionum 
inefle, paucis  (ut  licebat)  Ugnificarem,  ateg  rjs  omnibus  iubin* 
dicarem  immenfam  radicum  fecundatu  ufumiex  quibus  fnero 
diligentem  Ledorem  libi  alia  atqj  alia  poffe  inuenire  arque 
Jbrmare,ut  nihilopus  fuerit  me  pluribus  rem  hancagere! 

GG  Ledori* 


K~'  ' MiCHABLI*  STIfBLIi 

l^dori  autem  meo, mea  hac  opera ,Gc  fer u ire  uolui,ut  diliges 
eia  mea, me  ei  infinuarem  atqj  fidei/,  potius  qolm  erudita,  tra* 
datione  feu  oftenfione  eorum  quae  doceo,  hoc  ab  eo  impetra# 
rem, ut  memor  mei  effet  aliquSdo  in  orationibus  fuis  adLhri^ 
ftum.Cui  gloria  fit,  per  Euangelium  fuum , etiam /□  iius  do- 
cis & creaturis  fuis  temporalibus* Arnen* 

Caput  xiii«  quod  Epilogi  uicc  repetit  mentione* 
perfedionis  regulae  Algcbrar , cum  exempli* 
quibufdam  Hieronymi  Cardani  ad 
hanc  rem  pertinentibus; 


d d en  d v m eft  nunc,  Epilogiuice,  Caput 
ultimum  libri  huius,  quod  continear  exempla  ta* 
KA\Z«:  |(a  qualibus  ledor  exadiusde  peifedione  Alge» 

I brac&difputare&iudicarepoflit . Ea  igitur  qua 

II  hoc  Capite  dicenda  funt , dicam  ut  inciderint  per 

occafionem  exemploro,  quemadmodum  in  iuperioribus  fex 
exemplorum  Capitibus  non  abfcp  frucflu  rerum  Arithmetica 
rum(ut  puto)fcci.  Accedamus  igitur  ad  exempla  qualia  Ca- 
put hoc  ultimum  requirit.  < 

, -Primum  exemplum  Capitis  huius.  Et  eft  Hieronymi 

Cardani  8 3 .Capitis  66,  Arith.  fuar.  *•' 

Eft  progreifio  Geometrica  trium  terminorum  ab  unitate 
, incipiens,  cuius  aggregatum  ex  primo  & fecundo  termi- 
nis.diuifum  per  tertium,  item  aggregatum  ex  fecundo  & te*» 
. lio  terminis,diuifuro  per  primum  terminu , item  aggregatura 
cx  primo  & tertio  terrainisLdiuifum  per  fecundum,  faciat  1 * . 
Quxftio  cft,quar  aut  quata  fit  ifta  progrcflio.Facit.  #.  iH, 

Diuifiones  font.  * 


.1 


hjb  1 


Summa 


Arithmeticas  Lirer  mi.  ?e* 
Summa  omnium  quotientum. 

r% 

Iftamigftur  fu rnmam, aequat  pronanda  t/o  exempli  ,cum  1 3 , 
Vnde,  per  redadionem  ad  Integra,  13% aequantur  i%%-f — xrc. 
-f—iie-f-r.  Et  per  debitam  particularum  tranipofltionem, 
de  qua  in  fuperioribus  Capitibus  dixi,  inaequatur  huic  nume 
rocofftcofequeti.  13% — zet — zi«, — ‘i  .Ex  hoc  igitur  nume 
ro,iam(iuxtaregu1am  Algebrae  meam)extrahenda  e flet  radix 
Zenfizenflca,  quae  proculdubio  proderet  numerum  illum  Ia# 
tentem  fub  ne  polita ,quem  quaerimus.Sed  ego  fateor  meas  uf 
res  huic  operationi.atqg  flmilibusefle  impares.  IUis  auteami* 
cis  meis  hoc  negocium  committo, qui  aliquando, me  praetente 
gloriati  funt.fe  omnia  ifla , quae  inuenerim  potuifle  inuenire, 
n ocium  eis  id  faciendi  haerent . Cum  autem  uideam  eos  flbi 
ocium  inuenire,quantum  fufficit.pro  acquiredis  pecunijs.idfcg 
in  quolibet  anno  non  temel,mihf uero  rnuideant.fi  uel  trienntj 
fpacio  temel , gratus  aliquis  auditor  me  accedat,  qui  potio# 
ra  Arithmeticae  praecepta  diteere  cupiar,! icere  mihi  puto,ut  iu 
xta  gloriationem  eorum  hanc(ut  caetera  tranfeam)ab  eis  id  o* 
neris  exigam , quatenus  me  iam  fatigatum  iuuent.  cum  iflud 
facile  poflmt.ftante  eorum  felici  & forti  confidentia  inuenien* 
di  noua  dC  intelligendi  aliorum  inuenta  obfcure  tradita . Ego 
tamen.ut  ferio  loquar , exiflimo  illud  fandi  loanms  Bapt  iftae. 
Nemo  poreft  accipere  aliquid,nifl ei  datu  fuerit  deluper , etiam 
intelligendum  «fle  de  fpinis  iflis,et  fcientiarum  et  diuitiarum. 
Sed  ad  exemplum  redeamus.  Cardanus  ingenioflfllmetradf 
dir  nobis  huius  exempli  folutionem.  Aequat  autem  ille  1 3%  re 
liquis  particulis  aequationis  politae  & inuentae , & fle  alia  uia, 
pulchre  inuenit  folutionem, Scilicet,  Ex  urracp  parte  aequatio* 
nis, extrahendas  radices  uidit  quadratas,  pauculo  auxilio  adhf 
bito, Sciens  enim,quod  aequalitas  manear, fl aequalibus  aequa# 

* GG  x lia  ad- 


' ; Michaelis  StifeIit 
toaddantur.cumexuna  parte  aequationis, haberet  1 3%,  ex  alia 
autem  parte  haberet  .Vidit  ex  u- 

trac^  parte  addendos.eflc  3%  • Sic  enim  ex  una  parte  flebant 
1 6 %,td  eft, numerus  codicus, radicem  quadrata mhabens  ,&  ex 
altera  parte  fiebat  ifte  numerus  coftlcus  quadratus  »c* 

1 , Sic  enim  icimus  etiam  numeros  hos  necef# 
farioede  quadratos.  i»i.fZ3zi«iz3431*»i*34S'43l,i«Et(lc 
deinceps  1 * -4-  z a*-f- 1 .Facit  radix  quadrata  1 Je-f- 1 * Item 

t fadt  radix  quadrata  ise 

-f-i.Item  ifcrt-f— z/? 

dix quadrata,  ict-f-1%-4- 1 z*-f-  1 . Etfic  deinceps  ininttnf- 
tum.Nec  huic  rei  officir,fi  pro  lignis  addiroru  ponantur  ligna 
fubtradorum.Sic  autem  ftat  exemplum  ad  extradionetn  ra# 
dicis . ? i 

O O O 

-3% 

Sed  primo  extraho  radicem  ex  1^.  facit »*.  quem  pono  in 
locum  Quotientis.Eum  deinde  dupla  tum , pono  fub  numero 
cuborum.Si  dico  quoties  inuenio  z%in  zet  facit  ize(quampo 
no  ad  locum  Quotientis)  multiplico  igitur  ne  in  z*  fiunt  zc* 
quosfubtraho  i zct.remanet  nihil  ♦ Deinde  multiplico  1 z«in- 
uentam  in  fe, facit  »%.qui  fubtradus  a 3%. relinquit  zfc.Poftea 
hoc  quod  eft  in  quotiete  tota,  duplo, duplatumfcp  pono  fub  refl 
duo  relido.atcp  diaido.Dico  em  zfcin  z%fupra  politis, inuenio 
femel  .Vnde  pono  in  Qaotiente,et  multiplico, atqt  (ubtraho. 
Deinde  multiplico  1 in  fe,et  fubtraho  etc.Haec  forte uerbofiuj 
dixi  cfe  fuerit  neceftariu,(ed  oportuit  me  eti3  tardiorib.feruire. 

Vides  itacp  ut  radix  quadrata  ex  una  parte  aequationis,  fa 
dathuncnumerumcoflicum.ifc-f-  ne-f-  • .&  radix  quadrata 
ex  altera  parte  aequationis  faciat  4 zc.  Cum  autem  quadrata 
fuerint  aequalia , necefle  eft  ut  etiam  eoxum  radices  lint  ad  in- 

^ uicem 


ARirHMHTlCltB?  LlBBR  III*  £0$ 

ufcem  aequales  .Itacp^  aequantur  ffc-f-  na-f- 1 , Aequatur 
igitur  i%(utex  redudione  uides  ) ym. — i , facit  radix  maior 
*:±yV  (nam  radix  minor  facit  *— ^*r) 

- H^cfetpro^mo 

* ♦ 1 j, 

Quotiens  ergoprimae  diuifionis  facit  S — Aio 
Quotiens  autem  fecundae  diuifionis  facit  j--f-A»o 
Quotiens  tertiae  diuifionis  facit  3 . &c. 

Exemplum  fecundum  capitis  huiua 

Et  eft  Hieronymi  48 . Capitii  fui  66, 

Eft  progreflio  Geometrica  incipiens  ab  unitate,  terminos 
habens-quin<$ , & dum  quilibet  terminorum  diuidit  fum* 
an«m  aIiorum,fiun  t ex  aggregatione  quincy  terminorum  illo* 
tum  3 s 6t  ' 1 . Pfi 

Progreflio  eft. 

1,  n*.  »&.  1 c*. 

Quotiensprimus*  • 
l -f-  12«.— f—  ifc-f-  ict 

Quotiens  fecundus 
ne-f-  ife-f-  irt-f- 1$$ 


«Inmo  VtaoUtu 
iLLm  ilnoii  >/.j 


v ' . .r  * 

o : 


TertiusQuotiens» 
i-t  li-i-  •*- t-»** 

. . I2C 

Quartus  Quotiens» 

1 “f"  ,rg -+- ifcfc 
»* 

Quintus  Quotiens* 

»rt 

Quoticntes  igitur  ifti  flmul  additi  faciunt  Minutiam,cuius 
numerator  (icftar*  GG  3 


% 

j£»  < • nwijtjCf. 


i • 

tohof 

T.bn^lnsbni 

tir.csl 

{ t n.; 19*  b 

rt  Si 

v| 

■ - 1 -1 

[ipOTiUTlfcl. 

P ' 

• 

. .1  L. 

t ;;•> 

• 

1 JlQ*  ; tg)T 

HtfiV 

■ -'s^ncijp 

•r* 

* 

[ 771£f 

fotim.ribM 

M ichaelii  STrPEtrr 

cct.c£.**rt.4/l«%tyk 

i«  x « 3«  4*  4*  3«  *»  » 

Diuifor  autem  huius  numeratoris  facit  i zfi. 

RcdudUsuero  (ignis  coflicis  fic flabit  numerator# 

o.  2$,.  ct.  /?.  %c*.  n* 

. i*  x*  3.  4*  4'  3*  **  »■• 

Denominator  uero  feu  diuifor  numeratoris  huius  e it,  /*%. 

Et  ilia  minutia  aequatur  numero  huic.  3 
Sed  jy6  ^aequantur  numeratori  minutiae  praecedenti»» 
Etfic  inaequatur 

3**— 4/?—4^ 

— -3  it — — I*  • _ 

Et  ex  fumma  hac,pofterioris  partis , de  aequatione  propoli ta, 
Jam  quaerenda  effet  eft,  radix  Zenzenfizen  fica.  Quod 

cum  fit  difficile,  alia  uia  reperit  Hieronymus  Cardanus  refo- 
tutionem  unius  radicis,pofitaepro  fecundo  termino  progref» 
fionis  inueniendae. 

Sed  aequatis  35-6  & reliquis  particulis  aequationis  omni# 
bus(ut  iuperius  ufdimus)addit  utriqj  parti  aequationis 
fic  3 6 inaequantur 

1 +■  rtfc 

Quxreutrobicp radicem quadtatara>tunc inuenies  ipz ae# 
quaricum.  1 ict-f-  1%-f-  »*e-f — »'• 

Iterum  adde  utricg partium  aequationis.  i&.tuncxe& 
aequabuntur  1 f—  | — 1 .Iterum  quaere  radi* 

cem  quadratam  ex  utracg  parte  aequationis , tunc  inuenies  4 
^xe.xquari.  1%  1. Hac  aequatione  redu<Sa,inuenies  1* 

aequari  43« — 1. 
facit  Radix  maior  x-f-%/%3 

Radix  uero  minor  fadt  •& ucracg  refpondet  exempla 

Vnde  progreilio  maioris  radicis  fic  fiat. 


t 


IM 


Afcirn METiCAB  Libik  rii« 

974-A9408. 

Quotientes  huiusprogreffiotiii. 

Primus*  ijx — A»7j*8. 

Secundas*  i 3 z-f- A < 73 18. 

Tertius.  37-f-Aio8i.  1:. 

Quartus  Quotiens  facit  1 8.  .1 

Quintus.  37 — A» 083.  r ■ ' - 

Progreflio  minoris  radicis* 

1.»— A}«  7— A4S*  — A^7r. 

?7 — A?4°8. 

Quotientes  huius  progreflflonis  fuxta  erempfi 
pronunciationem  iunt. 

Primus.  i3s-f-A»73»8.  t , 

n Secundus.  1 31 — A»73*8.  uj  /,-  . 

Tertius.  37 — A10S3.  ' ; . ?; 

Quartus  facit  18.  5 

Quintus.  j7-hA*®83. 

Exemplum  CapitishufusTertium/ 

Et  efl  Hicrony.Card ■ 1 8 .Capiti  1 66. 

Sunttres  numeri  continue  proportionales,cum  quorff  quo* 
libet  diuido  iy.&  inuenio  quotientes  trium  harum  dfuifio- 
num  fimul  fumptos.facere  eam  fummam>quam  facit  multipli 
catio  eorum  diuiforam,  inter  fe,quam'<$  additio  eorundem  di 
uiforum  ad  le  facit. 

Quarftio  cft  qui  Gnt  numeri  flli.Non  amem  hic  po« 
teris  recipere. 

ne.  1%.  »c?. 

Nara  tunc  necelTario  fieri  fignificaretur , fecundum  nume- 
rum efle  quadratum  primi , Id  quod  fieri  neceile  eft  folutnmo- 
do,dum  progreffio  incipit  abunitate,&c. 

- Recipecrgo.  ne.  1 a.  i b.  tunc  Quotientes  fic  ftant: 

*j •.  * 


ne. 


14» 


I B. 


Kic 


XV 


' 


jr 


w.r.  - JMiCHABLIS  STIPELPr*  t.\ 

Hic  obferua,quod  medius  minutiae  denominator  xqaa 
turipfi  minutia:  mediae , co  quod  denomina tores  fint  adinui- 
cem  proportionaIes,fub  aequalibus  numeratoribus,  Itaqj  i a. 
aequatur  7^. facit  igitur  i a%.  xy  .Etideo ia. facit y • Vndcfrc 
dant  numeri  exenipii  amodo. 

i^.  y.  i B* 

Et  cum  numeri  ad  inuicemfint  proporf  ionales , fequitur. 
multiplicationem  extremorum  inter  te,  aequari  produco  mul 
tiplicationis  medi] in  fe.  Scilicet  nz  b aequatur  xy. 

Quia  uero  in  pronunciatione  exempli  habes,  quod  multi* 
plicatio  eorum  numerorum  inter  fe , debeat  facere  fummanf 
aequalem  ei  quae  fit  ex  additione  numerorum  illorum  inter  fe, 
ex  i xg  uero  in  i b fiant  xy.  multiplica  nda  per  medium,  id  ed 
per  y. fequitur  fummam  aggregationis  facere,  i xy, 

Itaqj  pronunciatio  exempli  praetentis  iam  uerfa  ed  in  pro* 
nunciationem  hanc. 

FDiuiditur  numerus  ixy  «.intres  partes  adinuicem  pro< 
portionaIes,quorum  medius  eft  y.  Quaeritur  ergo  quanti 
funt  extremi. 

Sic  dant  numeri  iuxta  pronunciationem  hanc 

i y*  ixo — r tqj,  n j/iir 

Nam  ny — — y.  facit  i B.  Erit  ergo  aequatio  inter  xy.  8C 

ixo  xg — i fc.Cumfint  numeri  proportionales.  Itaqj  i£.arqua* 
tur  ixoift — xy.facit  nz.6o — »/%jy7y . et  ed  radix  aequatio» 
nis  minor.Nam  maior  radix  facit  y7r« 

Sic  ergo  dat  inuenta  progTeflio.tfo — y7f.y*tfo-f- 

Nifi  autem  utereris  hac  indudria  reducendi  pronunciatio* 
nem  priorum  ad  poderiorum  pronunciationem,  negocium 
tibinafcererurcumiX4A  B aequata  xyA  ^ 

Exemplum  Capitis  huius  Quartum,  ■ 

DEteJl  Hiero* Car.  8 y . Capita  6 6 nummi  tamen  uariatu. 

Iuiditur  numerus  r x in  duaspartes}quarum  partiu  qua» 
>;;;  drac 


ArithmetiCae  Liber  iii. 

drata, multiplicata  /n  fummam  cubicoru  earum  faciut  6804.0  « 
Quae  ft  io  eft  quantae  fint  panes  iUae, 

S*  hfc  receperis  pro  partibus  illis  iie&i  a.  flue  ne&ix 

— i2e.Tuncamboquadrata(ideft  144-4-1  fc — 24  irinam 
bos  cubos(id  eft,  1 7 28  -f-  3 6 — 431  olfacient  hunc  numerS 
coflficuiua  multiplicatione  248832-4- 19008  — 103680  2« 

— 1728»* -4-72  fcfc . Qui  aequatur  cum  68040,  Et  fic  17281« 
— 19008 i-f- 1036801«, — »80792  .aequant 7 2 ii. Facit  1 i% 

' 24 ct  — - 2 64%-f—  14402«, — xy» ».  Exilio  igitur  numero  cof* 
fico  iam  extrahenda  eiTet  radix  Zenfizenftca.  Quod  cum  non 
poffimus  prae  flare, alia  uia  incedcndu  erit, qua  folutio  inuenia 
cur . Eam  Cardanus  pulcherrime  monftrauit.  Docuit  coipi 
numeros  inueniendos  ita  repraefentare* 

6-4-12«.  6 — 12«. 

' Eft  autem  6 dimidium  numeri  diuidendiydic« 
Quadrata  partium. 

36-f-rxie-f-li 

jd—  |x2fc-f-»i 

facit  aggregatum  excis, 

71  -f- 

Cubi  partium  fupt. 

216-4-  so8oe-f — 13&-4-  it* 

216 — 1082« -4- 18  i — it* 

Aggregatum  ex  rjs  cubis  facit 

# . 43*  -t-3*  i / 

Itaqj  multiplicatio  amborum  quadrator&inr  ambos  cubos 
(id  e(l,72  -4- 2 i in  43 1 3 6 i)  facit  hunc  numerum.  3 1 1 04 

-h  34J,6fc“f~ 7i%S% 

Cui  numero  cofiico  aequantur.  68040  . Et  per  redudionem 
72%%  aequantur  36936  — 3496  i* 

Fadt  1 913 — 48 

Facit  igitur  1%.  9.' 

Et  1 ^ facit  u 


HH  Vixje 


( - 

p/  0/  4 » • 

& > ; 

* MlCHAELlS  t 4TIFBLI!»  -\ 

Vnde  partes  illae  funt.  j .8i  9» 

^fiede au[s  infinitis exemplis,in quibus  regulae  Algebrx  nfc 
hil  deeft,( quar  omnia  exempla  artis  calculatori*  comp«bm 
ditabit*  ulla  aliqua  exceptione)  liat  nobis  in  mulrisd*^J™ 
uar iarum  radicum  extractio,  quales  ipfa  in  uarqs  exemplis  re 

^Vtocerte5 ex’  omnibus  quae  hic,atqj  in  fcpertoribusd^ 
qudd  fl  quis  haberet  abfolutam  artem  extrahendi  radices  om-. 
nes  ille  per  regulam  meam  datam  .immediate,  & abit*  ulla  ali 
qua  alia  requirendi  induftria , abioluerct  °mma  exemp  q 
uel  formata  funt,uel  formari  pollent  unquim . ExM™ 

'me  per  ifta  omnfa  fatl<i  dem5ftralTe.quim  folida  fit  ratio  mea 
quaPpro  odo  regulis  AlgebraeC  quales  Chriftophorus  ponit) 

U"tu£^ 

mortuorum refufcitatorp&iudexfuwri  faeculi  .brffKnobis 

fupplidbus  tuis,ut  hae  fpinae.non  fufFocent  In  n0^s(f^t, 
tuUedte toto  affetfu diligamus, qudd dplores  noftrostule^ 
r is,6C languores  nothos  portaueris , propter fniquitatesno* 
ftras  uulneratus  fis,fi<  attritus  fls  propter  falera  noftta -Nunc 
difciplina  pacis  ooftrsefuper  te.quod  liuore  tuo  fanati  furnus. 
Sit  igitur  uilis  omnis  fcientia,  huic  diurnae  fcientiae  tuae  com# 
parata, & fauor  hominum  naufea  fit.ad  diuinam  benetf- 
* centiam  tuam  comparatus, 

Arnen, 

• • - 

rv*  • % 

. * ' » y , *•  _ * mm 

. •• 

« * _ , * f 

) • ‘ 

. - , • . ..  .*•  . ...  11,  * 
' 1.  ^ .0  ■ ■ ■ ••  • ^ . 

/•;i  “*  \ > .<  • — 

w • V 

„ - ’J  4'  • -1  • • - » 

- *•*» 

> 

% 

k 


I 


APPENDIX,  AD  MECOENATEM? 

SVV  M D0M1NVM  ADOLJ>HVM  GLAVBVR.CK  ' 
Francofordienfem  patricium , de  Arirh» 
mctica  Hieronymi  Car- 
dani, 

Ri  TH  M B TiC  A HieronymiCardani  talis  eft. 
Mi  domine  Adolphe,  ut  fefe  tibi  fatis  abunde  fit 
commendatura.,  dum  eam  legeris . Habet  enim 
multa  rara, quae  alibi  nufquam  legimus . Deles 
dant  autem  me  quardam  exempla  eius  ade<5#  ut 
quiefeere  non  potuerim, donec  earibi  peculiariter  referipta 
mitterem.Orote  nihilominus,  amore  artium  ,qt»s  tantopere1 
coIis,quatenuseam  Arithmeticam  totam  legas  I principiodi- 
ligentiiTime.Si  afluefcas.figna  eius, quibus  ipfe  utitur,  trans&- 
gurare  ad  figna  noftra . Qoamuis  enim  (?gna  quibus  ipfe  uti a 
tur,uetuftiora  fint  noftris.umen  noftra  figna  (meo  quide  i udi 
cio)illis  funt  commodiora.Quid  autem  ex  eo  libro  didicerim, 
ego  (praeter  exempla  quar  Capite  ultimo,  ultimi  libri  pofui, 
atcg  ea  quae  iam  ponam)  indicaui  in  mea  Algebra. 

Haec  funt  autem  exempla  Cardani,quorum  ope 
rationes  me  mire  deledant. 

Exemplum  Hiero.Car.quod  Cap.<S<S.eft 
quartumdecimum, 

SVpponamus  ambitum  terrae  continere  miliaria.  443 10.  & 
aues  duas  ex  eodem  loco  uolare  fupra  circulum  ambitur, 
una  earum uolante  uerfus  orientem, altera  uerius  occidens 
tem,  donec  (icuolantes  per  ambitum  terrae , tandem  conue* 
niant.Faciatautemuna  earum  progreftione  Arithmeticam, 
Ita  ut  primo  die  conficiat  miiliarium  unum , fecundo  die  con- 
ficiat 1 miliaria.Tertio  die  3.  Et  ftc  deinceps.  Secunda  uero  a- 
uis  faciat  iuo  uolatu  progreffionem  naturalem  numerorum 
cubicorum.Itauidelicet  ut  primo  die  conficiat  miliariuununi 
% HH  z Secun 


Appendix  Mich.  Stipelii  t/ 
Secundo  dic  confidat  milliaria  a.  Tertio  die  coficiat  milliaria 
*7 . Et  fic  deinceps . Quoto  dieconuenlent  aues  illae  i , 
Refpondetur  in  una  radice  dierum.  Pcrada  igitur  124  die* 
rum  couenient.  Videamus  autem  quantum  faciat  12«  dierum 
Sc$  terminusultimusprogreifionis  Arithmeticae  incipientis 
ab  unitate, progredientis^  ordine  naturali  numerorum,fem- 
. per  coincidit  cum  numero  terminorum  eiufdem  progrefiio- 
nis.  Igitur  ultimus  terminus  progreiTionis  quam  facit  una  2* 
uium  illarum,  facit  1 2^  miliariorum , cui  additus  rerm/nUs  pri* 
mus, facite»  14-4- 1. Hoc  aggregatum , fi  multiplicetarpcrdi- 
midium  numeri  locorum  ieu  terminorum  progreflionis  illius 
id  dft,per  £2*. tunc  producitur  haec  fumma  mtlIiariorum,quani 
fecerat  una  auis.uidelicet 

Producta  hoc  modo  fumma  miliariorum  primae  auis,  quae- 
renda eii  fumma  miliarioruiecundaeauis.Sic  multiplica  fum* 
mam  milliariorum  primae  auis  in  ie,  tunc  mox  habebisfum- 
mam  milliariorum  auis  fecundae. 

Secunda  iditur  auis  uolauerat  milliaria  dum 

conueniflent.  Hoc  autem  eft  quadratum  numeri  ,ieufommae 
prioris  uoIatus.Sicenim  res  habet,Progreil?one  pofita  cubo- 
rum, ab  unita  re  natura  liter  progredientium , qui  fignatifint 
luis  radicib.  cubicis(»d  eft, numeris  ab  unitate  naturaliter  pro* 
gredientibus)Summa  omnium  cuborum  fimu!  collcda , facit 
numerum  quadratum , cuius  radix  quadrata , Gt  iirnima  om- 
nium  radicum,eorundem  cuborum.  Vc  ______ 

••  *♦  3*  4«  6 • 7.  8. 

l»  8.  *7»  64»  ;zf»  Ii6.  j-is, ' 

9*  »o.  11,  12.  <|«  14, 

7 1 oop»  1331,  »7*3,  1197»  1744. 

I*  17  18  t?  il 

337r«  409  49*3«  5-*3*«  £8f9,  8000. 

Sicut  1.2,3.  addita,  faciunt  6.  ita  etiam  1 .8.2  7,addjta, Faciunt 

3* 


De  Arithmetica  Cardant  207 
$6.  cuius  radix  eft  6 . itac$  'W+JfZr*-  '^cum  *fe*  '^Hoccft 
quadra  tu,  cu  radice  fua , ftmul  lumpta.ideft,  ' *+» ^ 

aequantur  4431  o .hoc  loco.  V ede  per  reductionem  ad  integra 
177*40  aequantur  2 re.  -{-  3^-f-  l^Addc  ia  munita» 
tem  urricp  partium  aequationis,tunc  utrobiqj  habebis  quadra 
tum  radicis  rationalis,  manente  (ut fcis)  aequa  tione.Iraqj  ra# 
dix  quadrata  de  177 241. facit  421 . Et  radix  quadrata  de  1 %% 
■+“  -t-  **  -f-  #.  facit  1*  -f-  -f-  , . NeceiTe  eft 

autem  ut  quorum  quadrata  aequantur, eorum  etiam  radices  ae* 
quentur.Cum  igitur.  1 % -f-  ne  -f-  1 .aequentur.  42 1 . Reflat 


• O T " «I  ■ | « 

ut  1 . aequetur  420 — i^Jtacp  1^.  facit  20.. 

' Prima  igitur  auis  uolauera t 2 tp  Mil. 

Secunda  uoIauerat44 100  Millia. 

Scilicet  progreflio  numerorum  naturalis  ad  unitate  uft»  ad 
20  facit  2 10  unitates. 

EtprogreiTio  naturalis  cuborum  ab  unitatcufc$ad8ooo. 
(qui  efl  uigefimus)  facit  44 1 00  unitates,  faciunt  autem /2 1 o. 
QC  44 1 oo.fimu!  addita  443 1 0. 

Potuit  nihilominus  exemplum  praeiens  praeter  operatio* 
nem  hanc  iucundam4aliam habere  operationem,uide!icet  cum 
ilimma  cuborum  faciat  quadratum  fumtnae  radicum  (ut  did3 
eftjfic  poteft  formari  pronuntiatio . 

Quaeratur  numerus^dquem  additum  fuum  quadratum , 
faciat. 44  3 * o. 

Numerus  efl  i^.eios  quadratum  eft  i%.Itacp  i&-f- 
quantur 443 , o.Vnde  i&  601443 10—  n*  fccit  ne.2 10, Er 
go  facit  44100. 

Inuentis  itacp  mrflliarns.rcflat  otdies  etiam  inuenias . Refol 
ue  2 1 o.in  progreflionem  numerorum  naturalemdd  eft. 

Quaeratur  progreflio  numerorum  naturalis , cuius  termini 
additifacianr  2ip. 

Cuilibet  fammae  progrefllonis  numerorum  natural/s.poe 
ceft  aequari  fradio  haec  Si  igitur  ea  trquetur  2 ic.fc, 

HH  3 det 


* — 


A P P EITDI  X 

ciet  tibi  i*>.  2 o. Et  fot  habebit  progreffto illa  terminos  • Itenr 
Maximus  terminus  faciet  etiam  io  unitates* 

Sic  'ipoteft  aequari  cuilibet  fammae  cuborfl pro 

gredientium  naturaliter  ab  unitate.Si  igitur  aequetur  44,0°  • 
inuenies iterum  i?e fecere  lo.ficut prius,&c. 

Exemplum  aliud  Hiero. Car.  quod  ponit  Capire  s • -nu- 
meris tamen  furdis  mutatis  in  rationales* 

QVidam  lufit  tribus  diebus.  Primo  die  lucratus eft  quam 
tum  prius  habuit. Secundo  die  lucratus  eft  radicem  qua- 
dratam totius  pecuniae  prioris  plus  2 florenis.T ertio  die  lucra 
tuscft  quantum  facit  quadratum  fammar  fuperioristotius* 

Et  tunc  inuenit  fummam  totam  omnium  fupradi&orum  fa* 

cere«fjTo. 

Quacftio.  Quantum.habuit  i principio?  Habuit  primo 
|^,Et  primo  die  lucratus  eft  ^.Habuit  ergo  iam  /^.Secundo 
ftacp  die  lucratus  eft  1 Je-f-  2. Vides  iam  quo  confilio  receptus 
fll^i  principio  operationis,uidelicet,ut  iam  poflecia*  edaci. 
Dic  igitur  fecundo,poft peradu  ludum, habuit.  1 %-f- 1 se-f— : *• 
Tertio  dic  lucratus  eft  fumma  quadratam  de  1 %-f- 
Hoc  eft.  1 %*-+»  -t-  r % -f-4^  -b*  4*Et  f?c  illo  die,poft  ludum 

habuit  fummam  hanc  • 1 -f—  %-f-  j^-f—  6 • Et  harc 

fumma  aequatur  (iuxta  pronunciationem  exempli)huicnume 
to.j-fj-o.Quod  cumita  fit,  & uideas  fummam  praedidam  efle 
aggregatam, ex  quadrato  quodam, atep  ex  radice  eius,  NeceF 
fe  eft  ut  etiam  j-j-  j-o.fit  numerus  aggregatus  ex  quadrato  quo- 
dam , fumpto  cum  (ua  radice  • Vnde  hoc  exemplum  fecundas 
|ium  fequitur. 

Quaeritur  numerus  ad  quem  additum  iuum  quadratum  fa- 
ciat j-jto  . ' 

1 , Pone  igitur  quod  quadratum  illud  faciat  1 a h tunc  radi» 
eius  quadrata  faciet  ia.  Etfic  iAfc-f-  1 A. aequabitur  j-j-j-o.^ 
•Itacp  1 Adaequabit  j-j-j-o— l A.Facit  1 A.74, Ergo  cum.  1 Jfc 
lC$  -l.  6 l-i- s K-t-6»  aiquetur. j-j-j-o  , Sequitur  quod.  74* 
i u .atquetur 


db  Arith.  Hier.  Cardani  308 
jequetur  i %-f-  i.Naroficutprardicfia/uroiiia  (quam  di- 
xi aequari  huic  numero.  j-j-ycOeft  aggregata  cx  i fc-f- 
& ex  quadrato  eius.  Sic  s r s o . eft  aggregatus  ex  74 . QC  radice 
eius , fcilicet  74 . & 5-476. faciunt  additione  fui  5- 5- 5-0  • Et  cum 
74  aequetur  huic  fummarC ut  didum  eft)  1 %-f~  i.ie-f-  z. Sequi* 
cur  1 fc.facere  71 — ne.  Facit  itacp  ne.  8.  Cuius  quadratum 
eft  64.Itaqtlu(orilIeprimoantequ2m  primo  die  luderet  ,ha* 
buit  id  eft, 3 x f£.  Et  primo  die  ludes  acquiffuit  ludedo  {%  id 
eft,  3 z f^.Et  fic  habuit  64^.  Secundo  dieiucratus  fuit  radicem 
quadratam  de  64.  id  eft  8 f^.plus  x ff.Et  fic  fecundo  die  poft  lu 
dum  habuit  74  * Tertio  igitur  die  lucra  tus  eft. 5-476  f(  . Hoc 
eft.quadratum  de  74.Et  fic  tandem  habuit  5- 5-5-0 

Exemplum  Hieronymi  Cardani  quod  Capite  6 6. ponit, 
loconoaagefimoquinto.mutatum  eft  autem  e|t 
numeris  irrationalibus  in  numeros 
rationales. 


QVaerantur  quatuor  numeri  continue  'proportionafet , 
quorum  fumma  aggregationis  faciat  45-.Ec  fumma  ag- 
gregationis quadratorum  eorum  faciat  765-. 

*•  Si  fuerint  quatuor  numeri  continue  proportionales , fu  e* 
ritc^  aggregatum  quadra  torum(ut  hiceft  76y)diuifum  per  ag 
gregatum  e*  numeris  illis  continue  proportionalibus  ( ut  hic 
eft  45-  )tunc  quotiens  diuiOonis  illius , sequatur  Quotienti  dii, 
de  quo  iam  dicam. 

Summam  aggregationis  quadratorumCut  hic  eft  7* r)fub- 
.trahe  2 quadrato  aggregationis  numerorum  ( ut  hic  eft  xp.zj-  • 
cum  numeri  aggregati  faciant  45- ) & 2 dimidio  relidi  illius 
(quod  dimidium  hiceft.630. ) fubrrahe  quadrarum  aggrega* 
Cionis  duorum  numerorum  mediorum  ( de  quibus  paulo  infe 
■fius)0ihoc  relidura  diuide'pcr  aggregatum  ex  medrjs  illis  nti 
meris  duobus.  Tunc  quotiens  diuifionisillius  sequatur  Quo* 
cienti  dii  dequo  fopcrii»  dixi, 

• / • •.  * **  i-  '♦  Porte 


Appendix  Mich.  Stifelii 

Pone  ergo,qudd  duo  medij  illi  numeri 'ex  qua  tuor  propor* 
tionaIibus,umul  fumpti)fac/ant 1 3«.  tunc  quadratu  aggrega* 
tionis eorum  facit  i fc.  E t fic  Aquabitur  i7(ide?i,Quo* 

tienti  prouenfenti  ex  diuifione  765-  per  47.  Ergo  per  reaudio* 
nem  fiet  ut  1 aequetur  630 — 17  2«  .Facit  12«.  18.  Et  tantum 
faciunt  duo  numeri  medij . Faciunt  ergo  duo  numeri  extremi 
17.  cum  fumma  omnium  qua  ruor  faciat  45-. 

Vides  iam  ut  exemplum  illud  prardidum  .requirat  exem- 
plum iecundarium,tanquam  partem  fui  alteram.  Et  hocfic 
pronunciatur.  Diuide  18. & 17. in  quatuor  partes  continue 
proportionales.ita  ut  1 8 . conftituat  duas  partes  medias,&  27 
coftituat  duas  partes  extremas. 

Partes  illae  ficftant, 

13^  IA,  18 — IA»  27—13«. 

Cum  autem  fuerint  quatuor  numeri  continue  proportiona 
fes,tunc  fi  ex  aggregato  duorum  mediorum, feceris  cubum,  6C 
cubus  ille  diuidaturptr  aggregatum  colledumex  additione 
extremorum,  et  tripfb  aggregati  mediorum,  tunc  quoties  pro 
ueniens  aequatur  produdo  prouenienti  ex  multiplicatione, 
oel  mediorum  in  fe.uel  extremorum  inter  fe,  Vt  numeris  fic 
flantibus.  8, 12. 18.  27, 


1 

1 8 

18 

»7  | 

12 

18  . 

12 

18 

Addo  iz-&  18. fiunt  30. cuius  cubus  facie  1 7000. Hunc  cubuff 
diuiferisper  aggregatum  omnium  numerorum  figurat  huius 
id  eft.per  127.  tunc  producitur  quantum  faciunt  duo  extremi 
(ideft,8  & 27)inter  (e  multiplicati.  Vel  quantum  faciunt  duo 
medij  (id  eft,  1 2 & 1 8)/nter  fe  multiplicati. 

Sic  etiam  in  exemplo  noftro , duo  medrj  faciunt  additione 
fla. iS.cuius  cubus  facit  7832.  quidiuiiusper  aggregatum  ex 


Db  Arithmetica  Cardani,  ;op 

f8  ter  ,Si  duobus  extremis  femel(id  e ft,  per  8 0 facit  7*.Ec  tan 
tum  facit  etiam  1 a multiplicatu  in  18  — 1 A.Itacp  is  a — ia% 
aequantur  7 *.fadc  • a.6. 

Sic  175«. — 1 % aequantur  7 2.faciti2*.  3*. 

Sic  igitur  dant  numeri quatuor  continue  proportionales 
exempli  nodriprarfemis. 

3.  6*  14»  24. 

Si  aGt  fle  deterint  quatuor  numeri  cotinue  proportionales, 
iie.  ia.  if — 1 2«.  30 — ia. 

Tunc  huiufmodi  pronunciatione  fubindicar. 

Diuidantur  1 y 8t  30  in  quatuor  partes  continue  propor- 
tionalcs.ita  ut  1 j condituat  primam  Si  tertiam , Et  30  con- 
ditua  t fecundam  6i  quartam» 

Quae  autem  ed  proportioaggregari  ex  prima  8i  tertia,  ad 
aggregatu  ex  fecunda  8i  quarta»  ea  ed  proportio  primae  par- 
tis ad  fecundam . Sic  igitur  proportio  1 ? ad  3 o fatis  indicat 
partes  fle  reprarientari.  124,  224.  42««  8 2^ Ita q*  ij* 2«, aequan- 
tor 47(idefl,ij- i-30.  )fadt  1 2^.3. Et  (ic  dant  numeri, 

3»  <>.  14  24 

Si  autem  fle  decerint  numeri  quatuor  continue  propor- 
tionale*, 

1.5«,  9 — 15«.  IA.  3 6 — 1 A, 

Tunc  talis  fubintelligtur  pronunciatio  exempli» 
Diuidantur  9 Si  \6  in  quatuor  partes  continue  propor* 
tionales,ita  ut  9 condituat  primam &fccundam.Si  36  confti* 
cuat  tertiam  Si  quartam» 

Quae  autem  ed  proportio  primae  Si  iecundae  fimiri  fumpta 
rum,ad  tertiam  Si  quartam  fimuHumptas , ea  proportio  dimi 
diaca, dabit  proportionem  primae  ad  fecundam.  Iterum  igitur 
inueniUntur  partes  fle  reprarfentar/.  1 2^.2  2^.42«. 82«.Et  fic  ice» 
rum  ij-2«aequamur4j'(idcd,9-f-3^)faciti2«iterum  3» 

Sic  fi  prima  fn  tertiam  multiplicata  faciat  3 6. et  fecunda 
io  quarum  multiplicata  faciat  144.  Cum  proportio  inter  pro 

II  durta 


'Appendix  Mich,  Stifelii  ' 

ducSa  polita  fit  dupla  .necefie  eft  uc  proportio  inter  primam  et 
fccunaam  fit  dupla. 

Sic  fi  prima  in  fecunda  multiplicata  faciat  18 . Et  tertia  ia 
quartam  faciat  288.  Cum  fit  proportio  288  ad  18  • fedecupla, 
equitur  fecundam  ad  primam  efle  duplam, • 

Aliud  exemplum  Hiero . Cardani.quod  iumptum  cft  ex  Capi 
te  y 1 Arithmeticae  fuae.Sunt  tamen  ita  numeri  exempli 
mutati, ut  pro  irrationalibus  habeamus  rationales. 

Eluidarur  numerus  ille  468.  in  duae  partes , ita  ut  quadra 
tgm  partis  minoris , multiplicaturo  in  partem  maiorem, 
•mpirj’.  Et  quadratum  partis  maioris  multiplicatam 
in  partem  minorem  laciar.  14706 1 2 j-* 
i Hic  obferuandum  eil,  quod  radices  cubicar,numerorum  il* 
Iorum  duorum  qui  in  hac  pronunciationeexprimuntur , me- 
diant proportionaliter  inter  partes  diuifionis . Sic  igitur  fiant 
duae  partes  diuifionis  cum  fuit  medijs  proportionalibus  in* 
terpofitis.  ne.  175-.  245*.  468 — ne.  Notum  eft  autem  ut 
primus  numerus  multiplicatus  in  tertium,  faciat  quantum  fc* 
eundus  in  fc.ltacp  245-24  aequatur  3o62j-.fjadt  12^.  1 zj-.Ergo 
468—  i^e.facir  3 4 j.ltac^iamfic  fiant  numeri. 

izj-.  i7j.  24J-.  343. 

Et  1 rj-.cum  )43. funt  partes  diuifionis  praednfiae. 

Simile  exemplum  de  Arithmetica  progreflione  quatuor 
terminorum  fic  pronunciarerur . Diuidatur  numerus  ifte 
2 3 . in  duas  partes , ita  ut  duplum  partis  minoris , additum  ad 
partem  maiorem.faciat  3 0.  Et  duplum  parris  maioris , additu 
ad  partem  minorem  faciat  39. 

Sicut  autem  circa  exemplum  fuperfas,di(fium  fuit.quod  ra 
dices  cubicar,numerorum  in  pronunciatione  politorum , me* 
dient  proportionaliter,idefi,iuxta  progreflionem  Geometri* 
<cam  .fic  nunc  dico, quod  partes  tertiae, ex  utroqp  numero  in  pro 
nunciatione  exempli  fimilis,pofito,medient  inter  parces  diui* 

fionis 


De  Arithmetica  Cardani  510 
flonis,i  uxta  progreffionem  Arithmeticam  • Vt  fic  liet  difpofi; 
tio.ne.  10.  i3«*3— “i5®. 

Haec  Ideo  dicuntur  , ut  uidea*  rationem  eorum  quae  dida 
funt  circa  exemplum  Cardani  iam  poRtum.  Scis  enim  ex  rjs 
quae  libro  primo  docui,  ut  quod  in  Geometrica  progrefftonc 
eft  radix  cubica  numeri, in  Arithmetica  eft  tertia  pars  numeri* 
v Et  quocftffcGeomctrica  eft  quadratum^n  Arithmetica  eft  du* 
plum,&c. 

Aliud  Exemplum  Hieronymi  Cardani,quod 
eft  96  Capite  66, 

QVaerantur  duo  numeri, quoru  additio  ad  ie,  faciat  quam 
tum  multiplicatio  eorum  inter  fe.lpfi  uero  numeri  Colle* 
diadfummam  fuorum  quadratorum  , faciant  cum  tota  ag« 
gregatione  20. 

Quaeftio.  Quantum  faciunt  numeri  illi ' Minor  facit  1^. 
Maior  fecit  1 a — 12« . Ergo  fumma  amborum  fecit  1 a « Et 
tantum  fecit  etiam  multiplicatio  eorum  inter  fe.Id  quod  figu* 
rahaec  pulchre  repraeien 
tat.  Deinde  quadratum 
maius  partiale, fecit 
20 — » i — lA.eoqudd 
iuxta  pronunciationem 
exempli  huiusnofeciat 
xe.nitt  adipium  accedat 
. altero  quadratS partia- 
le , quod  faciat  1 % . dC  in 
lupe»  ambae  radices  qua 
dratorum  illorum  par* 
tialiumfecientes  ia. ac- 
cedant. 

Quadratum  igitur  ta 


n 

1 A V. 

; al 

<%0— A 

« 

1 


ia — 1 i* 


II 


parti* 


f 


Appbndix  Mich*  Stifblii. 

particularum ,feu  partialium  fuper  Acierum  e/as.  Et  radix  ehu 
quadrata  fac  it  ia.  ut  nccefle  fit  eandem  fuperfidem  quadra* 
tam  totalem, etiam  facere  lAfc.Itaqj  ia*  aequatur  zo  4- »a  . 
FadtiA.  r, 

Reloluto  lam  i A.refoluenda  reflat  i ^ . quae  facile  refolui- 
tur. Scilicet  una  exfiiperfidebus  altera  parte  longioribus.area 
fua  facit  ia,  id  eft,  j-.Eteara  fuperfidem  continent  duae  lineae 
quarum  una  facit  i z*  Qc  altera  facit  y — 1 2$,.  Et  fic.yie, — 1 
aequantur  y.  cum  utrunq;  eorum  fit  area  e/ufdem  fuperfleiei  al- 
tera parte  longioris. V nde  1 1*  facit,  x£ — tanquam  nu- 
merum minorem . Et  fic  1 a — 1 z^maior  numerus  facit  x £ 
-f-  %/fci  Quadratum  ergo  minoris  facit  7 i- — «/%3i?.Et 

quadratum  maioris  numeri facit  7^  — f—  %/  ^3 1?.  Vndeaggre* 
garum  quadratorum  facit  1 y. ad  quod  fi  addas  aggregatum  ex 
ipfis  numerisCquod  facit  jOcolligentur  fimul  xolvt  habet  pro 
nuncia  tfo  exepli.  Iccm  xj — % i & x r -f- % 1 i i nter  fc  mul 
tiplicata,faciunt  y.  J ^ 

Et  ad  hunc  modum  fiunt  etiam  exempla  illa  ,quae  Carda- 
nus  ponit  pro  regulis  fuis  ambabus , quarum  unam  uocat  De 
duplidpi! teram  uocat  De  medio. Quale  eft  exempli!  fequens. 

• Qiiaera  n t ur  duo  numeritquorum  quadrata  fimul  addita  fa. 

dant  y x.  Qi.  uno  dudo  in  alterum , produdum  fiat,  quod  cum 
numerisipfisambobus  illis  fumptum,faciat  34. 

Minor  fadat  12*.  Et  maior/ac/at  tunc-ambo  G* 

mul  faciunt  1 a.  Vnde  fic  flabit  exemplum  relatum  ad  figuram  . 
quadrati.  k 

Cjuoi 


'X 


a 


4 


Db  Arfthmstica  Cardani 


*»* 


I H 


I A—  I H 


Cum  igitur  rA.  fit  radix.quadrata,  huius  figurati  quadrati 
totalis.ideo  arca  quadrati  facit  i a % *Et  fi  particula*  eins  ora# 
nes  in  unam  iummatn  collegerisdnuenies  ix  o — xa.  Etgo  ac* 
quatur  fummae  illi  iA%JFacit  ia,  io.Etficfupcrficiesuna,al* 
cera  parte  longior,facit  24.  quae  cum  contineatur  fubduabua 
linei*,quarumunafaciati2e.&altcra  faciat  10—  i*e.  Sequis 
tur  eandem  fiiper fidem  etiam  facere  102*—  1 Etficucnit 

aequatio  inter  1 o 2* — 1 % & 24*facir  »2«.  4.&C. 

Item  hoc  exemplum. 

Quaerantur  duo  numeri, quorum  quadrata  fimu!  addita 
fadant  j a-Dudo  autem  uno  in  alterS , nat  produdutn , 1 quo 
iubtradi  duo  numeri  illi,rclinquant  14» 

II  j Figui* 


< 

. 

1 

u 

•f  - 

: 1 
1 }* 

sz  — 

- 

r 1 

>•* 

Ut 


Appendix  Mich.  Stipe  u t 
Figura  exempli  huius  fic  ftat. 


* 


Ii 

14-t-iA  » 

■ 

4 

> 

r*—  *i 

\ * • 

Ut 


IA— IK 


ile 


Item  hoc  exemplum. 

Qu  serantur  duo  numeri, quorum  multiplicatio  inter  fc,  cu 
additione  eorundem  numesonim  ad  produdfi  illud,faciat  >4. 
Quadra 
ta  uero 
fufla.re 
motis  ip 
fis  radiet 
buscorS 
faciat  4» 

Sic  ftat 
«xempU 
huius  fle 
gura. 


3+—  1 A 

' 

SA 

* 

V f 

> 

4 2,— J A 

IA— 11«. 


©e  Arith.  Hier*  Carda  ni  01» 

Item  hoc  exempluma&c. 

Quaerantur  duo  numeri,  quorum  multiplicatio  inter  ie,re 
notis  i produdo  /pl?s  numeris, faciat  14 . Et  quadrata  cotum 
addita  ad  ie,cum  radicibus  fu  is  iuperadditis  faciant  61» 
Figura  exempli  huius  fic  ftit. 


»% 

1 

»4-1- U 

ia — tae 

< $ 

i 

tfz—  i*—i  . 

* 

> 

: ■ : -i 

• 

Exemplum  aliud  Hiero.  Car.  nifl  quod  numeri 
funt  mutati. 


QVaerantur  duo  numeri,quorum  differentia  multiplicata 
in  differentiam  quadra  totum  fuouim,faciat  79Z.  aggre 
ga tum'q$  numerorum  illorum  duorum , multiplicatum  in  ag« 
gregatum  quadratorum  eorum,faciat. s7i  0. 

Maior  numerus.  tA-f-Uc 
Minor  numerus,  ia  — ia* 

Differentia  eorum  eft.  2 ic 
Aggregatum  eorum  eft.  *a«  * 7 . 

Quadratum  maioris.  1 a * -f-  1 ^-f-z  i*  A. 

Quadratum  minoris.  1 a fc  -f- 1 z a^A* 

Differentia  quadratorum.  4^a. 

Aggregatum  quadratorum,  x a i -f-  a & 

- Itacg 


1 


%r 


f.  Appendix  Mich.  Stifbui 

\ta<$  a ^multiplicatae  in  4^  a firdunt  8 *a  .quae  aequantur 
Toi.fadt  i iA.99* 

Item  » a multiplicata  in  a*  % -f-  z%fecit4Ace-f-4%A.aeqwi 


tanWf  _ r 

Superius  autem  uidimus  i % A facere  ?9.Ergo  4 % a faciunt 

ao6.Etfic4  At*  aeqoanrur.  r 3 x4.facit  1 Art.r331.6dt  ia.ii 
Reiolutoiam  1 A.repete  pronunciationerojScilicet  Multi- 
plica differentiam  numerorum  in  differentiam  quadratorum 
id  eft,a  at  <n  44*eiadt  8 8 ^.aequatos  79  a,  facit  1 *?.Ergo  1 a« 
facit )« 

Numerus  igitur  maior  eft.  14« 

Et  numerus  minor  eft. 8. 

Aliud  exemplum. 

Diuidc  76  * in  tres  partes  continue  proportionales , ita  ut 
multiplicatio  medij  in  duos  extremos, faciat.  1 148. 

3 8 -f- 1 Summa  duorum  extremorum. 

38 — 1««.  Eft  pars  media..  . 

Eft  autem  3 8 pars  dimidiaex  76 . 

Cum  ergo  multiplicatio  medi]  ,id  eft,  3 8«—  Pc.  In  duos  ex- 
tremos.hoceftjin  38-f-  i^.fadat  1444 — » %.  Sequitur  quod 
hoc  produtffum  aequetur  numero  pofitoin  pronunciatione» 
<deft.1a48.6dt  1*.  i^.Etfic  ia*  facit  i4*Vnde38 — uefa 
dt  14.  di.  eft  pars  diuifionis  media. Oritur  autem  iam  noua  pro» 
nunciatio  haec  cum  38-f-  1 ae  faciant  y a*. 

Diuidantur  ya . in  duas  partes,  ita  ut  24  mediet  interea» 

proportionalirer  - 

Sic  ftant  partes  diuiGonis  illius. 

1 A.  14.  ya — ia* 

Itacp  1 A.in  ya — 1 A.fadtyiA — 1 A%.3cquatay7*.»cit 


<A  * itacp  7 6 diuiditur  ( iuxu  priorem  pronuntiationem ) in; 

|64a4.  36, &c.  ....  . 

Aliud  exemplum». 

r . ..I  „ Quaeran- 


De  Aritkjset,  Cardani  31; 

Quaerantur  tres  numeri  continue  proportionales,  ita  ut 
multiplicatio  duorum  extremorum , per  differentiam , quam 
babent  extremi  flmuUuftra  numerum  medium , faciant 43  3 s» 
Et  multiplicatio  eiuidem  differentiae,  in  fumtnam  omnium 
trium  faciat  6069, 

1 A -f-  1 1«,.  Eft  fumma  extremorum. 
ia — ne,,  Eft  fumma  medrj, 
z a,  Eft  fumma  omnium  trium, 

2 ie  Eft  differentia  quam  habent  extremi  ultra  mediu. 

Itacg  2 ie,  multiplicatae  in  fummam  extremorum, id  eft , in  ia 
-f-  1 i«.faciunr,2i«.  A-j—  2 fc.aequara.43  3 j-.  Deinde  2 it  multi 
plicatae  in  2 A feu  in  fummam  omnium,  faciunt  4 1*  a aequa- 
ta 6069 , 

Confer  iam  duas  aequationes  illas , Nam  ex  priore  fequitur 
qudd  11«,  a faciat  4nr-f  2*£x  pofteriore aute  (equitur  quod 
1 1«,  A.fadat  9 , Sequitur  ergo  quod  St  in* 

ter  fc  aequentur. Quia  quae  uni  & eidem  funt  aequalia,  etiam  fi* 
bi  inuicem  fimt  aequalia. Ergo(per  redutftionem)  1 7340 — 8 fc 
aequantur.  12  138.  facit  i%.6j-o^Et  1 1«. facit  zyl. 

Reftat  iam  ut  1 a. etiam  refoluatur.facit  autem  (ut  paulo  fu 
perius  ufdimus)  1 ica,  — £?.Cum  igitur  duo  ilfa  inter  fe  fintx- 
qualia,Diuideutruncpper  1 i«,.tunc inuenies  » A. aequari, feu 
facere. ^^.Cum autem  11«, faciat z^.facient^i?,.  toz.Itacp 
tfo^.diuifapcr  icz.faciuntj-ps-.Ettantumfacit  ia.  Quare 
1 A — 1 ie.ideft,mediusnumerusfaeir  34.Et  1 a -f-i  i«,ideft, 
fumma  duorum  extremorum  facit  8;.  Iam  igitur  oritur  noua 
quacftio  baec. 

Diufdantur  8 j*  in  duas  partes , ita  ut  34  mediet  inter  eas 
proportionaliter. 

Sic  fiant  numeri. 

1 fi.  34.  8y — 1 B. 

VndeSj-B — 1 Bfc  aequaturi  1 j6. facit  1 Bi7.Etficftant 
numeri  exempli*  17.  34.  68, 

KK  Exem 


Michahlis  stifblii 

Exemplum  Hieronymi  Cirdani.5>4* 

Capitis  66, 

aVaerantur  duo  numeri,  quorum  differentia  in  fcdutfa, 
faciat  quantum  multiplicatio  unius  in  alserum  • Et  corQ 
ata  faciant  io. 


Haec  eft  figura  Exempli* 


1 Afc-f-l* 

XlZA 

! 

4% 

e >43* 

zo — 1 A\  — t fc-f—Zfc  A 

Differentia  maioris  numeri  iupra  minorem  facit  z quae 

multiplicata  in  fe,fact'at  4%  .Et  huic  aequatur  produdu  unius 
numeri  in  alterum.id  eft,  1 a % — 1 facit  1 a fc.  5-  %. 

Item  radix  quadrata  totius  figurae,  facit  z a ( & eff  fumma 
amborum  numerorum)  Vnde4A%. eftarea  totiusiuperfl- 
c iei , Item  area  eiufdem  fuperficieifacit  zo  -f-8  fc.ut  uides  ex 

colle 


De  Artthmettca  Cardant  ^14 

collecffione  particularum  eius . Et  (ic  1 A $ facit  y-f-  2 

Et  quia  fuperius  uidifti etiam  1 a fc  facere  y %.  ideo  (equitor, 
3*.  aequari  y.  facit  igitur  1*1  f.Et  1 2e  facit  y%iy. 

Refoluta  f3£.Reiratut  lArcfoIuatur.  Vidimus  autem  iu< 
periusquod  1 A % faciat  y fc.id  eft,8  j.  Ergo  1 AfaciWfc8£« 

Sunt  ergo  numeri  inuenti« 
Primus.ideft.m/nor  y%8  \ — j. 
Sccundus.ideft.maior 
Differentia  eorum  cft  J%6\, 

Vide  ut  differentia  inic  faciat  6j.  Et  tantum  facit  numerus 
tauentus  minor, in  maiorem  multiplicatus. 

Quadrarum  maioris.  10-f— /fcyy£. 

Quadratum  minoris,  10  — yy|. 

Exemplum  Cardani  78  Capitis  66, 

D Iuidantur,  «82,  intres  partes  continue  proportionales^ 
ita  quod  prima  multiplicata  per  fecundam, et  iecun« 
da  per  tertiam,  & tertia  per  primam , faciant  7 644. 

Diuide  7644  per  1 8 2,  tunc  producitur  media  pars , quae  fa* 
cit  41, Reftat  igitur  ut  duae  reliquae  partes  iimul  faciant  140. 
Sic  igitur  ftant  partes  diuiffonis. 

12«,.  42.  140 — nz. 

Itacp  1402« — ii- aequantur,  1 7^4. facirt2«..| 4,  Vndeflc 
ftant  partes  inuentae.  14,  42.  12 6, 

Exemplum  aliud, 

D Iuidantur  78  in  tres  partes  continue  proportionales,  ita 
ut  eodem  numero(id  eft,  78)diuiio  per  quamlibet  partii! 
cius,exadditione  Quotientum  fiant  isf. 

Sic  ftant  partes  diuiffonis, 

»2«,  ia  1 B. 

Sic  ergo  ftant  Quotientes* 

1 25l.  7S* 

«•34*  »A, 

Regula 


* B* 

KK  * 


Bigi*. 


Appendix  Mich.  Stifeli* 

Regula.  Quantum  flt  ex  multiplicatione  medij  In  fe > tan« 
tum  flt  ex  additione  Quotientum  ad  fe. 

Fit  autem  ex  multiplicatione  in  fc  t>\4.  Ht  ex  additione 
trium  Quotientum  politorum  fiunt  1 8 s-  V t patet  ex  pronun 
datione  exempli.Ergo  nr/^4. aquatur  cu,  189.  facit  1 A fc.  3 14« 
facit  1A.18.Vnde  amodo  lic  dant  partes  diuifionis. 

t*i,  18.  60 — iic,. 

Etficdo?* — 1 fctequStur  314  .facit  1 o^.tf.EtOc  partes  diu| 
Conis  praedictae  funt. 

6»  tti  si* 

Exemplum  Hieronymi  Cardani  1 10 
Capitis66. 

QVarrantur  tres  numeri  continue  proportionales,  quorO 
primus  multiplicatus  in  fecundum , faciat  10 . &ag* 
gregatum  quadratorum  primi  & fecundi,  aequetur  quadra# 
to  terttj , 

Sic  dant  numeri  tres. 

I IO.  tOO-’ 

I.  |5£.  Irt»  , * '' 

Sic  dant  quadrata. 

f IOO.  lOOOO»' 

t.  I I .LUioo 

Duo  ergo  quadrata  priora  aquatur  tertio.  Et  lic  ™ 73 
equatur  Reduc  aequationem  addenominatoresaequa- 

les,tunc'(remotisdenominatonbus)uidebisaequari  1 
100%% cum  roooo  .facit  r iqooo — 100%% ♦ Et  1 %% facit 
Jiizyoo — 5-0. Et  1 %,facit»/ fcVfci2j-op  — yo,  Et  11«,  facit 
fcfc  Vfc  1 z yo  o — 5-0 . Et  ed  numerus  primus  qui  quaerebatuj 
Secundus  ergo  numerus  facit  hanc  minutiam. 

10 

— f 

Hoc  ed  ,J  n s 0 0 -f-  ♦ 


Et  ter* 


Db  Arithmetica  Cardant^ 

Et  tertius  facit  hanc  minuriam. 

|00 

J ii. J ij-ooooooooooooo  — 2000000» 
Hoceft.y%%„/%j-oooo-f— xoo, 

Obferua  Igitur,qudd  diuidcre  loperJ^J $125-00 ~y® 
(quod  ad  Algorithmum  pertinet  )eftdiuidere  10000.  per/* 
nyoo — yo.Sicdiuidere  loo.pery^.y^joooooooooooo* 
- 20000  oo.eftdiuidere.ioooooooo,  peryjyoooooooocooo* 
~ 2 0000  oo. 

Sic  ergo  ftant  tres  numeri  exempli  huius  Iduent/. 

Primus.  2 joo — j-o. 

Secundus.  «/iWif  25-00 -f-  5-0 
Tertius.  ij-oooo-f-xoo 
Proba  Primo ufde an  multiplicatio*/ $125-00 — j-o.In 
J ij^oooo  -f-  2 00, faciat  »/fcix  5-00  -f-  j-o . Sic  enim  (cies  radi- 
ces eorum  zenfizenficas  ( id  eft , numeros  ipfos  exempli)  eflc 
continue  proportionales. 

Secundo  ulde  an  multiplicatio  J $ 1 25-00  — f o.In  A ixj-oo 
-f  j-  o. faciat  10000 . Sic  enim  (cles.radlces  eorum  Zenfizenff 
cas,inter(e  multiplicatas,  facere*/  $$10000,  Hoc  eft  10 , ut  ha 
betpronunc/atlo. 

Tertio  uide.utru  %/$.%/$  1 x j-oo — j-o  addita  ad  */  $,A  125-0® 
-f—  j-o, faciat  J $5-0000 -f—  200, 

Sic  autem  ftat  exemplum  ad  regulam 
additionis, 

^%.y%i2j-oo-t-  ro.-f-./iVfiifeo — yo 

J $.*/$•  *r00-f-J-0,-f-V  J.%/^1  XJ-OO j-o 

Summa  mulriplfcationis  huius  facit. 

A j-oooo-f-xoo.  Ergo  additio  facit  */$.  J $j-oooo-f-  200* 

Sic*/$$  */$»  25-00 — j-o,ad 
J $$.  A 1 25-00  -f-  5 0. facit 
/ $$.*/  $5-0000-+-  200. 

KK  , 


Exem- 


Appendi^  Mtch*  Stifelii 

Exemplum  Hiero.Car.  u i.  Capitis  66. 

Ouaerc  numeros  qua  tuor  continue  proportionales , quortr 
multiplicatio  inter  fe  faciat  8 1 .Produdum  uero  primi  tofe, 
eundum  faciat  6. 

Sic  ftant  numeri, 

ne«  6.  36  * • a>^- 

i#  ri&«  icx*  ifi* 

Notum  eft  autem  ut  produdum  duorum  mediorum  inter  Ie, 
fit  radix  quadrata  prodadi  quod  fit  ex  quatuor  proportionali 
bus  continue. inter  fe . Itat*  HS*qu«ur  ?cEt  fic  !«P“' 

tureum  ti^.fae/t  i%J|.»4'Et  1 1 taar.V4.f-1  | -4  iaat V 

Vnde  fic  ftabunt  numeri  reioluti. 

Jffii 4»  4/%%J’4»  a ir. 

Exemplum  Hiero-Car.  8o.Capitis  66, 

Geometrice  pronundatunv 

/^Onftituatur  triangulus , habens  latera  continue  propor* 

SitdUmeter  circuli  u partium  fui , quae  diuidatur  fecun# 
dum  proportionem  habentem  medium  & duo  extrema,  & pci 
eundum  diuifionis  illius.trahatur  chorda  orthogonaliter , 
Junc  dimidia  pars  chordae  illius,  erit  latus  medium  trianguli 
conftiruendi.a:  portio  minor,diuifae  diametri, erit  latus  minus 
& fic  latus  maius  (eu  hypotenufa  trianguli  ,er4  chorda  arcus 

interceptiiduobuslateribuspracdidis. 

f d eft  femidiameter  circuli  • Et  B D eft  portio  maior 
diuifediametri.Et  a b minor  portio  eft. 

Satis  autem  uides , geometrica  ratione , b c cite  medium 
proportionale  inter  a b & b dEft  autem  a c aequalis  b d,  Vnde 

cumadfaciat  u.  faciet  a b.  18—^180. 

Facfcifcpbc  * 03^80  — ' i8S*Ec  a c faciet  %/%  1 80  * 

Et  fic  linea:  funt  cotinue  proportionales  uidelicet  a b,b  c.et  c a 
Et  quadratum  lineae  a b,cum  quadrato  lineae  b coaequantur 
quadrato  line»  a c fcu  bd,Semidiameter  eft  f d* 


)D>  Arithmetica  Caudaxi*  * iG 


Qjitdratum  lineae  a b facit  5-04— <J  $23  3 280» 
V^uadramm  lineae  a c.feubd.fac/t  2 16 — 

r. „n,h  , appendix  exempli, 

contCe.  ^ulu* , habens  angulos  proportionale 

tero^J?.t//«II?U^Um-  ^ ^ c inferipeum  heptagono  aequila 
redi  Er  mp  iP  tur  angulus  minimus  oidelicet  a.ualet  | uniu 

c/us»  uWd/c«  c.ua!et  | unius  redi,6 

rrx»r^fbo>,“^  a*-*** 


Demonftrationes,  Quod 


Appendix  MjCH*  Stifelie 


Qu6d  autem  maximus eoram  ualeat  | unius  redi  ,dc  der 
monftro . Angulus  d facit  unius  redi , ut  norum  eft  omnes 
angulos  heptagoni  cuiuslibet.ualere  i o redis,  6ic . Et  anguli 
illi  duo  uidelicet  d a b.&  d b a.fimul  computat/.faciunt  f unius 
redi.eo  quod  f?nt  anguli  trianguli, &c.Er  cum  fint  aequales  in* 
ter  fe .facit  quilibet  eorum  | untuius  red/.Ergo  neceflc  eft  an- 
gulum a b c ualeref  unius  redi,  cum  angulus  b totalis  ualeat 
'4  unius  redi, 

Quop 


de  Ari th.  Hier*  Cardani.  ^17 

Quod  uero  medius  eortim , ideft , b c a,ualeat  % unius  redi 
Hc  demonftro.  Quadrangulis  a d b c,  habet  angulos  quatuor 
redis  aquales,&  duo  maiores  fimul  fumpt/ualent  V°  unius  re 
di. Ergo  duo  minores  ualebunt(ii  (imirl  computentur)funius 
redi,&  utercp  eorum  ualebit  ieparatim  f unius  redi. 

Demum  quod  minimus  eorum  ,ideft,  b a c oaleat  f redis. 
Patet  ex  pradidis,Sci!icct  a b c,eft  triangulus,  cuius  angulus 
b ualet  | unius  redi, & angulus  c ualet  * unius  redi,  ut  demon 
liratum  eit.  Ergo  angulos  eius  a ualebit  f unius  redi.  Quia 
necefle  eit  tres  angulos  cuiuslibet  trianguli  fimul  fumptosTco 
cinere  duos  redos.  Itaq,-^  fubtrada  i 2,  Relinquunt-i-. 
Item  quia  angulus  d a c,  facit  | unius  redi,  ut  paulo  fupcrius 
• 'i  aemonftratum,  & d a b angulus, facit  \ unius  redi,  necefle 
eit  b a c fecere  \ unius  redice. 

Sequuntur  nunc  quaedam  pulchrae  redudiones  aequa 
cionum  Hiero.  Card.ex  Capite  2 2,  & ex  Capite 
S r.tranicriptar. 

S Int  aquata. 2f-f- 4 x ce.  cum  KJae-f-yj-.Quaftioeft 

quantum  faciat  1 xz. 

Sic  operatio  fit. 

Additur  utriquepartium  aquationis  hoc  connexum.  1 $ 

— f-  10  24— f—  Et  tunc  x ce-f-6fc-j- 10  3 o],  aquabantur 

cum  lfc-f -16  xq,-\—6o» 

Diuide  iam  utruncp  aquatorum , per  x 2*  6 . tunc  inue# 

nies  1 % -f-  j-.aequari  cum.  1 ic-f- 1 o.Et  cum  1 aquetur,  1 24 
-f-j. faciet  i^V^yi-f-r. 

Sequituralia  redudio  aquationis  & refolutio  radicis, 
per  Hieronymum  Cardanum. 

Sintaquati  j ce,  huic  connexo,  21  *>-f-  1 8 . Eft  quaftio 
quantum  faciat  1 a*.  Operatio  Cardani. 

Adde  utricg  partium  aquationis  1 2 fc-f-9  a* , tunc  inues 
nies aquari  3 ce-f-ixfc-f-^cum  ufc-t-30 1* -f-  is.DiuI 

LL  de  iam 


c Appendix.  Mich.  Stipeui 

de  iam  utruncp  aequatorum  per  3 2$  -f-  3 . Et  fic  i %-f-  3 ie.se- 

2 nabuntur cum42* -f-6.facit  i%.i  Je-f-^.Etfic/nuenfturi  2« 
icere  3. 

Aliaeiufdem  Car.redudlio. 

Sit  1 c*. aequatus  8 24^  7.  Quarflioefl  quantum  faciat.  i?« 
Addeutricp  partium  aequationis  unitatem, tunc  ice-f- 1 ae- 
quantur 8 — 8.Diuide  iam  utranc$  partem  aequationis  per 

1 2e  -f-  1 .tunc  inuenies  1 % — 1 ^-f- 1 . aequari  cum  8 . Et  fic 
1 $ aequabitur  1 2e-f— 7.fi*cit  1 2«.Vfc  74 -j-  r* 

Sic  fl  1 c*. aequetur  8 1*  — 7. Subtraho  ab  utracp  parte  aequa 
tionis  1 .Et  fic  1 c* — 1 .aequatur.  8 — 8.  Diuideotrancppar 

fem  aequationis  per  1 2«, — i.tuncjinuenfes.  i%-f-  i2c-f-  f. 
aequari 8. Et (ic  inaequabitur 7—  1 2e.fccit  1 2«.  Ji7%. — j. 

Quando  autem  uis  diuidere  1 re-|- 1 .per  1 2«,  -f-  1 .tone  op 
time  (mea  quidem  fententia)  facies  fi  fic  opereris,  at  1 re-f- 1 
fic  ponas  ad  ordinem.  1 re  -f— o fc-f-  o 2«,  -f-  1 «Sic  inquam  figna 
coflica  fe  fequi  debent.ut  nullum  intermediorum  obmittatur . 
Et  ut  te  iuuem  ulterius(nam  in  Cardano  modum  hunc  oon  in 
ucnies)uolo  exemplum  praefens  perficere  diuidendo. 

— xi  x^i 

.rrt-f—  0%-j— tf*e-f-*t'  (1 
x ^ -4-  x* 

X^~j -X  ’ y 

XlQ-f-X. 

Sic  fi  uelis  diuidere  1 ce  — 1 .per  i2e — 1«  flabit  figura  ope# 
rationis  fic. 

si  siz 

%-f- jcrae — «r.  (1  %-f -m-f-i. 

xi t-~s 

xi*, — x 

xi*. — x 

Sic  fi  uelis  diuidere  1 et  4- 1 per  ne—  1 . fic  flabit  figura 
operationis. 


De  Arithmetica  Caadani  *|ig 

— x% — r*z 

x^. — x 


xiz—  x 


xv?.— x 

§ic  fi  uelis  diuidere  i rt  -f-s  per  i a^-f-  z.Gcftabft 

— 4 *e 

x | rt  -f-  & fr-f-  x?  ^e-f—  % ( i %— - aaq-f-4, 

-nc-t-* 

Sic  fi  uelis  diuiderc  8jrt  -f-  i x y ♦ per  x a*—  j,  fic  ftabit  tv> 
emplum . 

— >01—  foiz 

Ert 02c-f- (4$ — lofy—if, 

?*l — i 

Sic  fi  odis  diuiderc  i6&— 8 i.per  x i*— j,  Sic  fiat  ffgu* 
ra  exempli. 

,*>e — j 

j 


Sicfiuelis  diuidere  jxfi-f-  lox^perx^. — 4 .facit  Quor 
tics  diuifionis.  1 6 %%-f- 3 1 ct-t 64  % -f-  iiS^-f-ixi^ElfiC 
de  alijs  infinitis* 

Exemplum  pulchrum,unius  ex  alio; 

Tres  uiatores  dum  fimul  ambularent, peram  inuenerunt,in 
qua  erant  73  ft. 

LL  a M 


c Appbndix  Mich«  Stifeiii 

Ad  hanc  fummam  flore,  cum  primus  & fecundus  pecunil 
fuameontuhflent.inuentumeft,  fummam  illam  efle duplam 
ad  fummam  primi  di  cercrj . computatam  cum  (limma  fecundi 
& tertij. 

Collecta  autem  fumma  primi  di  tcrtrj,ad  illos  73  ftf.  inuen- 
tum  cft , fummam  illam  efle  triplam , ad  fummam  iccuadi di 
terti)  .computatam  cum  fumma  primi  di  fecundi. 

Collcda  uero  fumma  fecundi  di  tertij  ,ad  illos  73^.  fnuen* 
tum  cfl, fummam  illam  efle  quadruplam  .ad  fummam  primi  ec 
fecundi,computatam  cum  fumma  primi  di  terti). 

Quaeftio « Quantum  pecunia;  habuit  quilibet  uiatorum 
illorum , 

Pone  quod  primos  di  fecundus.habnerint  1 K florenorum 
Et  quod  fumma  primi  di  tertij.cum  fumma  fecundi  di  tertij.fa- 
ciat  ia  florenorum.  Tunc  i^-f-73. aequatur  ia  Jacit  igitur 
1 a.  • ,am  fi  huic  fumma;  addat  1 2«,.  tunc  prouenit  fum- 

ma  omnium  uiatorum  duplicata.uidelicetfumma  primi  difc 
eundi, primi  di  tertij. Secundi  di  tertij/aciutu  52e:r7,fi% 

. Secundo  pone  quod  primus  et  tertius  habeant  1 b floreno* 
rum ,tunc  fumma  fecundi  di  tertij , cum  fumma  primi  di  fecun 
di  faciunt  - iB.Etfic.i  B-f-73.  aequant 

Item, per  redudionem  ad  intcgra,aequantur  z b -f-  14  6.  cum 
p^-f-zip — 6 b 1 Item 8 B , aequantur  9 14.  -f-  7 3 facit  1 B* 

9 7^-+ 7! 

$ * 

Tertio  pone  quod  fecundus  & tertius  habeant  i c florea 
norum,tunc  fumma  primi  di  fecundi,cum  fumma  primi  di  ter 
ti)  faciunt  lC#  Etfic  1 c-f-7 3. aequantur  cum  61*. 

-f-  1 4 6 — 4 C.  E t per  r edudion  em.  y c.aequantur  62^  -f-  7 3 . 
Et  fic  1 C ( fi  refoluatur) facit  . 

Sicut  autem  cft  fumma  omnium  trium  duplica* 

(a(utfuperiusuidimus)  ita  B-f- 1 C.eft  famma  omnia 

duplicata.Nam  1 ^.eflfumma  primi  di  fecundi.Et  1 B,  facies 


Db  Arithmetica  Cardant.  *;ip 

!****•««  fumma  primi  & terti) . Sic  i c faciens  ffae£\eft 
fumraa  Affundi  & terti].  Itaque  fumma  omnium  duplica* 
ta  facit  40  . Et  illa  igitur  aequatur  fumraaromniufupe* 
r|or/,  idclr}  3 -r^Et  per  reductionem  ad  integra , aequatur 
raoie-f-  a^zo.cum  z66iz-f-  »898.  Facit  n«.  7. 

5""1  1 b.  9^-7\Hoceft  17.  Et  1 C.Hoc' 

citzj. 

Sequitur  iam  alia  pars  exempli. 

Tres  u/atores  habent  aliquot  ff.Primus  Si  fecundus  habent 
7 flo.Primus  Si  tertius  habent  1 7.Secundus  Si  tertius  x)  f(, 
Quaeftio.Qiiantum  habet  uftusquisc^. 

Pone  qudd  primus  habeat  iDft.  Tunc  fecundus  habebit 
7 — i D florenorfi.Si  tertiushabebit  17 — 1 D flo.  Item  idem 
tertius  habebit  Z3  — 7 1 d.  flor.  Hoc  eft  i*-f-»D.sequ» 

ta»7 — iDft. 

Facit  id.  {ff. 

Itacp  primus  habuit 
Secundus  habuit  6 yft. 

Tertiushabuit  16^. 

Habes  iam, mi  domine  Adofphe  congefta  in  hoc  appendi 
te  omnia  illa, quae  me  maxime  deledferunt,  ex  tota  illa  Hiero 
nymi  Cardani  Arithmetica.Optoautem.ut  tu  aliquando 
alia  atqp  meliora  ex  ea  excerpas. 

Vale. 


Finis  operis  Arithmetice» 
Micbaclis  Stifelij, 


LL  $ 


Db  Erratis*  

Dno  & 'amico  fuo  Iohanni  Petrcio  MichacI  Stifcl 
Gratiam  St  pacem  in  Chrifto. 

Oft/,uir  optime.ut  ifte  liber  nofter  ultra  quinque 
n/um,  quafi  captiuus  fuerit  detentus,  antequam 
ad  manus  tuas  deuenirer,&  fatis  conflat  conda# 
tionem  hanc  moleftam  fuifte,cum  mih/.tum  libe 
ralium  artium  ftudiofis  multis.  Poftea  ufus  con- 
filio  amicorum,(imulaui  me  uelle  librum  locupletarent  ea  oc- 
cafione  librum  retraherem  ad  manus  meas.  SuccefTitbg  confi» 
l(um,atcp  ita  coepi  refcribere  illu  ab  exordio,  & inter  fcriben# 
dum  multa  quae  inddiilent  addeba,  multa c^C ut  fit)  mutabam. 
Cum  aute  me  poftea  meus  promiftor  irritaret  iniuria,&  fpem 
mercedis  eriperer,  dediti  ab  incepto,  donec  me  compellarent 
uiri, quibus  fi  difficilis  fuiflem,nephasefTeduxifTem.  IUiteno 
minabant  mihi,&  honorificis  uerbis  ornabanr,a  tcg  ita  reiedd 
opusdenuo  inftaurare  perrexi.  Cuq?  poftea  ftud/oforu  qui- 
dam referrent,  te  praeftituiiTe  tempus  nundinarum  Francoror* 
dienfium  jp  xd/tione  libri,  modo  ego  morxcaufam  non  dare, 
atqj  me  pollicitationibus  folicitarent  ut  opus  maturare,  adeo 
feftinare  coepi, ut  mctcpus  relegendi  quae  didaffem  deficeret* 
Et  hinc  nata  funt  errata  quxdam,quorum  me  mea  cofcientia 
reum  agit,  tecg  abfoluit.  Quanqua  in  tua  quocp  officina  non* 
nulla  ientiam  efle  nata,  fortaflis  roiniftrorum  tuorum  incuria* 
Optimiautem  typographi  officio  uideris  mihi  fundus  eftir, 
quod  mihi  librum  remiferis  corrigendum,  i tam  remoto  loco* 
Sunt  enim  errata  quxdam  admifla  talia,  qualia  forfitan  nullus 
alius  prxter  me  commode  cmendaflcquticft  primum  inter  ilia 
quae  ponam*  Vale* 

Regulam 


Errata.  • 

Regulam  de  inuentionejlaterum  numeroru  polygonalfum 
politam  folio.  24,  facie  i.tncipieteilinea  ij.  Sic  lege Lecfitor. 
Numerum  propolitum  multiplica  per  differentiam  progredi# 
onis  tuae  duplatam,6:  a numero  produdfo  fubtrahe numerum 
qui  fit  minor  una  unitate  quim  differentia.  Deinde  dimidia- 
tam differentiam  multiplicatam  in  fe  adde  priori  producto ycx 
t radice  quadrata  aggregati  illius  fubtrahe  dimidiatam  dme* 
rentiam  progreflionis  tuae,  tunc  remanebit  extremum  maius 
progreffionis  illius,  atc$  ita  continuabis  progreffionem  tuam 
abunitate  ulqj  ad  extremum  maius  inuentum.  Etquotproue 
ncrint  termini,tot  puneffa  habebit  latus  unum  numeri  tui  po# 
Iygonalis,dum  in  figuram  talem  polygonalem  reioluitur. 

Regulam  inueniendi  extremum  maius  proportionalitatis 
Harmonicae , per  minus  extremum  & medium,  quae  ponitur 
folio  9 8. facie  1 . ffc  lege.  Multiplica  duos  tuos  numeros  inter 
fe,  & ,pdu<3um  diuide  per  differentia,  quae  eft  inter  differentia 
amborum  & terminu  minorem.  Item  in  fine  exempli  adducfU 
pro  regula  illa, dele  has  duasuoccs.  Differentiam  amborum. 


Folio  97.  facie  1 . pro  j I 7 | ia 

» 1 

repone  3 1 6 I 9 

Folio  1 x.  facie  x.  linea  pcnultima . Lege, incopofiti, pro  cora 

Soliti.  Itemfolioxo.  facie  1. linea  14.  Lege. 3.1  r. pro  i.ifv 
tem  folio  X4.  facie  x.  linea  pcnultima,  lege,  369.  pro  X69. 
Item  folio  16. facie  1.  linea  X3.(?clege.  Medius  terminus  mul- 
tiplicatus per  numerum  cellulani.  Et  facie  x.  in  tertio  ordine 
figurae  quadrangulatae,  transuerfaliter  procedendo, lege,  189. 
pro  1 98.  Item  folio  5-4.  facie  x.  linea  x6.  pro  rt 

Et  folio  99.  facie  x.  linea  6.  pro  Harmonicam,lege,  Contra# 
harmonicam-  Et  folio  64.  facie  1 . linea  9.  fic  lege.  Male enim 
Illa  fe  continent  intra  fines  fuos.  Et  folio  66.  facie  1.  linea  16; 

LL  iitj  lege 


I 


Errata.' 

lege  fic.  3.  mi:  in  (e cubice  multiplicata  faciunt  3 z**.  ja  J'. 
Et  ibidem  linea  x6.pro  ij-.mir  lege,  30.mirEtfoli09f.fo*- 
de  r.  Ii.  za.Iege  1 1 7^  Cad : pro  1 1 £ Cad.  Item  folio  106. 
facie  x.  li.iy.  fic  lege.  Vt  a b,ad  a b n.  Etfolio  108.  facie  1. 
linea  x.  $ b d.  lege  AB.  Et  facie  z.li.  1 1,  pro  a b.lege,b  c.. 
Folio  1 10.  facie  z.  Ii.  3.  lege.Radices  numerorum*  Et  ibidem: 
linea  y.  lege,*/rt../rt  60  — «/$% zoo.  Et  folio  ixi.  facie  i.Ifo 
13.  lege  fic.  Quado  unus  terminus  .pportionis  irrationalis  fb- 
erit  irrationalis  etc.  Et  ibidem  Ii.  z8 . lege,rationaliu  pro  irra* 
tionalium.  Folio  146, facie  z.  Ii.  1 s.  lege.  Si  nunqua  occurrar.. 
Et  fequeti  li.  lege,  quod  tunc  fande  etc.  Item  fol.  1 5-4. facie  1. 
poft  figura  li.  6.,p,comenfurabiIem,lege  incomenfurabilem. 

Folio  zoo  .facie  1 . Ii . i z .lege  Vfc  1 7 -f-  3 . — — 3 , 

folio  Z07.  facie  z.  poft  figuram  li.  8 . lege  fic.  J%.  -f- 

3 6 z3 8.  Et  linea  ultima  eiufdem  faciei  Iege.y%„/%4 14 7z  — 
36x88.  Item  folio  zc  8.  facie  z.li.  z 3.  lege  fic.  ^.9000  — 

1 6Z00000,  EtiequentiIi.lege>y%.7zeo — ^279x0000. 

Folio  z 1 z.  facie  1.  linea  1 5*.  pro  quatuor,Iege,(ex.  Et  folio 
z ly.  facie  1 . li.  1 . lege,  Cuius  fcmidiameter  fit  a c.  Et  linea  6. 
pro  c b.lege.c  f.  Item  folio  Z3  i.focie  1. Ii.  4.  lege  izze — 3 6. 
Item  folio  Z3j-.  facie  1.  linea  iz.  lege,  non  comprarhendat. 
Item  folio  Z43 . facie  z.linca  1 8 Jege,plures  radices  quim  una. 
Item  folio  Z4 1.  facie  1 li.  14.  fic  lege.  1 88.  qui  numerus  eft  iz* 
de  hoc  numero  coftico  dic.  Item  folio  z y 6.  fode  z.  in  fine  pri- 
miexempli, pro  iz lege, 2°.  Etfolio  Z70. facie  i.li.  iz.lege 
fic  C id  eft  60  — 10 — y.).  Et  folio  Z84.  focie  1 . linea  z.  lege, 
'/%4oyooo.diuiditurin./%  1 0 1 zyo.&  %/$  1 01  zyo,  Etfolio  z86. 
fode  1 ,li.  7*Sicut(pofito  hoc  exempb  Z700  — lyo^ut  dixii 
multiplicares  dimidio  numeri  radicum  in  fe*  Item  folio  293» 
focie  1 .li.  6.  pro  iuuellum.  lege.interuallum.  Et  linea  z 6,  pro^. 
■ominatores.  lege,  numeratores. 

• Folio  Z44,  fode  z,  ctfock  1*  (equentis  folij,  ubicuntp  inu* 
«.  n ai* 


Em.  AT  A, 

netis  1 1 *£.lege,  pro  eis,  9 1«.  Item  ibidem  pro  71 — i*z,  lege 
54  — 3^*  Etibidem.pro.63e-t-36.aut  ifracquarf3^-f-7*« 
lege  tu  fic.  62*,-f-z7,aut  »fc,  aequari  3 3«,-j- 3-4. 

Quod  folio  7 9.  $ portiones  irrationales  minoris  inaequali* 
tatis,  pro  ^portionibus  irrationalibus  maioris  inaequalitatis» 
error  cft  parui  momentf.poter/t  enim  ledor  relationem  mu# 
rare  ad  libitum,  utcuncg  termini  relationis  ponantur.  Et  q» 
folio  z6 1 . facie  z.  ubi  exemplum  quintumdecimu  ponitur  ad 
regulam  De  tri iub  hoc  Diuiiore  z j- z.  nihil  quidem  erratG  eft, 
mallem  tame  hunediuiiorem  eflc  pofitu.  i8o-f-3ie.  Sic  enim 
regulariter  colliguntur  Diuifores  ex  fecundis  terminis  huiuf# 
modi  exemplorum,  Diuilbrautcrp  ifte  zj-z.formatuseftex 
hac  diipofftione  terminorum  regulae  De  tri* 
ne.  80,  3Z7,  1040. 

Inueniet  etiam  Ledor  nonnunqua  poni, fiue, pro  fine.Item 
nrm  pro  numeru.  Item  Sed  pro  icilicet»  Si  eiuimodi  alia  quae 
ledorem  non  remorantur* 

Inueniet  etia  aliquado  peccata  qualia  ^phibet  puerorure# 
gulae,ucl  maxime  nobis  ienibus.  Vt  folio  3<>4.facie  z.ubi  dum 
de  diuiOone  partiu  numeri  cuiusda  fcribere,mox  excidit  mihi 
partiu  memoria  (neicioqua  mentis  diftradione)ira  ut  referre 
mafculino  genere,non  partes  numeri.ied  numeros  partium* 

Item  folio  z 1 1.  facie  1 . Cum  ledorem  infpedurum  fuper- 
fleies  corporu  regularium,  remififlem  ad  Geometria  Alberti 
Dureri.poftea  poiui  uocabula  demonftra  tiua  .quibus  ledor  re 
uocatur  tanquam  ad  prsrfentes  figuras.  Cum  uero  oculos  cir# 
cufer  r,  nihil  eoru  inuenit,quae  uocabula  uidebantur  ,pmittere. 
Male  me  habet  error  ifte  prae  exteris.  Sed  cum  nimium  feftina 
rem  quatenus  ad  praeftitutum  tempus  abfoluerem  librum, 8C 
metuere  fore  ut  deliniationes  illae  figurarum  mihi  multu  tem- 
poris fuflrurarentur,uidus  hoc  tedio,  remifi  ledorem  ad  Geo* 
metriam  praedidam*  Poftera  aero  die,  cum  me  foliciraret 

Lcdoris 


c 


Errata. 

Lf  floris  inopia,  cui  uidelicet  deeiTer  copia  uidedi  GeomctriS 
Dureri,tediO  q>  me  prius  uicerat  difcufli,  illudq*  ego  uici  rur* 
fum.dcliniado  figuras  illas  fic  intermiflas.atc#  ita  fecunda  harc 
emedare  coepi  quae  prius  fcripfera.  Si  aute  paulo  altius  emeda 
tione  illa  incepifle.fublata  quide  fuiflet  foeda  harc  diferepatia, 
at  pditis(ut  uideo)chartulis  figuratu  illaru.quas  libro  impofii 
era.Ieflori  nihilo  meli?  fuiflet  cSfultu.  Oportet  igit  ut  uel  bic 
falte  figuraro  huiufmodi  delrniatioes  intueri  atej  intelligerc 
poflitLeflor.  * 

Superficies  corporisquattuorbafiS 

Talis  figura  excifa,& 
coplicata  dabit  figuram 
corporis  regularis  quat 
tuor  bafium. 


Figura . faper ffeiei  de 
corpore  regulari  iex  ba* 
fiumut  in  plano  explica 
cur. 

Talis  figura  excifa,& 
complicata  Cubi  folidi* 
tatem refert,  feucorpo* 
ris  regularis  fex  fuperflei 


erum. 


Supficies  corporis 
regularis  oflo  bafii 
in  plano  exprefla. 

Talis  figura  excifa 
& coplicata  fpeciem 
corporum  regularia 
oflo  bafium  refi?rf. 


TaHs  figu- 
ra' excifa  8C 
complicata 
cftendct  tibi 
quid  fit  Cor» 
pus  regulare 
duodecim  ba 
fium. 


r Item  dum  inciperem  fcribere  tertium  librum,  iubrjt  ani 
tnum  meum  recordatio  de  quodam  iniquotBonacbo,quinoc 
impiam  luam  uitam  agit  in  Auftria.  Harc  ideo  dico,  q>  ledor 
in  praefata  parte  libri  me  comotum  fuifie  intelliget  fuper  qua- 
dam difeeptatione  habita  cum  monacho  illo.  Reputet  igitur 
ledor  me  illic  uoluifle  fabula  texere  aut  hiftoriaro,exeplo  O» 
uidij  in  faftis  fuis, modo hiftorias  intermifeeris  rebus  fuis Ceti 
is, modo  fabulas,mecg  ( fic  inqua  animo  reputet  ledor)ob  in* 
genrj  inopia  defecide,  atep  conceptum  argumentum  ita  inter* 

mififlc» 


Figura  iug 
fidei  corpo* 
ris  regularis 
uiglti  bafiu. 


Talis  figura, 
cxcifa  de 
pyro,&  com 
plicata,  prae- 
bet figurae  fo 
fidae  regula* 
ris  uigiti  b& 
umuifionc. 


I. 

mffffle.  Vale  led or.  Erraeatg  mea  lute  boni  confule,&  ifa 
jatisfacfifone  mea  benigne  accepta  excufa,  Breu/  autem  (deo 
dante)  habebis  per  me  noua  rationem  calculandi  operationes 
plgcbricas  lingua  tamen  Germanica.  Iterum  bene  ualc  mi 
lector. 


Ptfn  JToto» 

di  qJTT.  (S.diiu 


Gollaa-(£^.  ^lao*)
Internet Archive Audio

Featured

Top

Images

Featured

Top

Software

Featured

Top

Texts

Featured

Top

Video

Featured

Top

Mobile Apps

Browser Extensions

Archive-It Subscription

Save Page Now

Full text of "Arithmetica integra. Authore Michaele Stifelio. Cum praefatione Philippi Melanchthonis"

See other formats
